Ինչպես հիշում եք դպրոցական երկրաչափության ուսումնական ծրագրից, եռանկյունը պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք գծային հատվածներից, որոնք միացված են երեք կետերով, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա: Եռանկյունը կազմում է երեք անկյուն, այստեղից էլ պատկերի անվանումը: Սահմանումը կարող է տարբեր լինել. Եռանկյունը կարելի է անվանել նաև երեք անկյուն ունեցող բազմանկյուն, պատասխանը նույնպես ճիշտ է։ Եռանկյունները բաժանվում են հավասար կողմերի թվով և նկարների անկյուններով: Այսպիսով, այդպիսի եռանկյունները տարբերվում են որպես հավասարաչափ, հավասարակողմ և բազմակողմանի, ինչպես նաև ուղղանկյուն, սուր անկյունաձև և բութանկյուն:

Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու շատ բանաձևեր կան: Ընտրեք, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, այսինքն. որ բանաձեւն օգտագործել, միայն դուք: Բայց հարկ է նշել միայն որոշ նշումներ, որոնք օգտագործվում են բազմաթիվ բանաձևերում եռանկյունու տարածքը հաշվարկելու համար: Այսպիսով, հիշեք.

S-ը եռանկյան մակերեսն է,

a, b, c եռանկյան կողմերն են,

h-ն եռանկյան բարձրությունն է,

R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է,

p-ը կիսաշրջագիծ է:

Ահա մի քանի հիմնական նշում, որոնք կարող են օգտակար լինել, եթե ամբողջովին մոռացել եք ձեր երկրաչափության դասընթացը: Ստորև կտրվեն եռանկյունու անհայտ և առեղծվածային տարածքը հաշվարկելու առավել հասկանալի և ոչ բարդ տարբերակները: Դա դժվար չէ և օգտակար կլինի ինչպես ձեզ տանը, այնպես էլ ձեր երեխաներին օգնելու համար։ Եկեք հիշենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել եռանկյունու մակերեսը այնքան հեշտ, որքան տանձը խփելը.

Մեր դեպքում եռանկյունու մակերեսն է` S = ½ * 2,2 սմ * 2,5 սմ = 2,75 քառ. Հիշեք, որ մակերեսը չափվում է քառակուսի սանտիմետրերով (սմ2):

Ուղղանկյուն եռանկյունը և դրա մակերեսը:

Ուղղանկյուն եռանկյունը այն եռանկյունն է, որի մեկ անկյունը հավասար է 90 աստիճանի (հետևաբար այն կոչվում է ուղիղ անկյուն): Ուղղանկյունը ձևավորվում է երկու ուղղահայաց գծերով (եռանկյան դեպքում՝ երկու ուղղահայաց հատված)։ Ուղղանկյուն եռանկյունում կարող է լինել միայն մեկ ուղիղ անկյուն, քանի որ Ցանկացած եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180 աստիճան է: Ստացվում է, որ մյուս 2 անկյունները պետք է կիսեն մնացած 90 աստիճանները, օրինակ՝ 70 և 20, 45 և 45 և այլն։ Այսպիսով, դուք հիշեցիք հիմնականը, մնում է պարզել, թե ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյունու տարածքը: Պատկերացրեք, որ մեր առջև ունի այսպիսի ուղղանկյուն եռանկյունի, և մենք պետք է գտնենք դրա տարածքը Ս.

1. Ուղղանկյուն եռանկյունու տարածքը որոշելու ամենահեշտ ձևը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Մեր դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսն է` S = 2,5 սմ * 3 սմ / 2 = 3,75 քառ.

Սկզբունքորեն, այլևս անհրաժեշտ չէ եռանկյունու տարածքը այլ կերպ հաշտեցնել, քանի որ միայն այս մեկն օգտակար կլինի առօրյա կյանքում և կօգնի։ Բայց կան նաև տարբերակներ՝ եռանկյունու տարածքը սուր անկյուններով չափելու համար:

2. Հաշվարկի այլ մեթոդների համար դուք պետք է ունենաք կոսինուսների, սինուսների և շոշափողների աղյուսակ: Դատեք ինքներդ, ահա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսները հաշվարկելու մի քանի տարբերակներ, որոնք դեռ կարող եք օգտագործել.

Մենք որոշեցինք օգտագործել առաջին բանաձեւը և փոքր բծերով (նոթատետրում նկարեցինք և օգտագործեցինք հին քանոնն ու անկյունաչափը), բայց ստացանք ճիշտ հաշվարկ.

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2): Մենք ստացանք հետևյալ արդյունքները 3.6 = 3.7, բայց հաշվի առնելով բջիջների տեղաշարժը, մենք կարող ենք ներել այս նրբերանգը:

Isosceles եռանկյունին և դրա մակերեսը:

Եթե ​​դուք կանգնած եք հավասարաչափ եռանկյունու բանաձևը հաշվարկելու առաջադրանքով, ապա ամենահեշտ ձևն է օգտագործել հիմնականը և, ինչպես համարվում է, եռանկյունու տարածքի դասական բանաձևը:

Բայց նախ, նախքան հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը գտնելը, մենք կիմանանք, թե ինչպիսի գործիչ է դա: Հավասարաչափ եռանկյունը նույն երկարությամբ երկու կողմերով եռանկյուն է: Այս երկու կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմը կոչվում է հիմք: Մի շփոթեք հավասարաչափ եռանկյունին հավասարակողմի հետ, այսինքն. կանոնավոր եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են: Նման եռանկյունու մեջ անկյունների, ավելի ճիշտ՝ դրանց չափի հատուկ միտումներ չկան։ Այնուամենայնիվ, հավասարաչափ եռանկյունու հիմքի անկյունները հավասար են, բայց տարբերվում են հավասար կողմերի միջև եղած անկյունից: Այսպիսով, դուք արդեն գիտեք առաջին և հիմնական բանաձևը, մնում է պարզել, թե ինչ այլ բանաձևեր են հայտնի հավասարաչափ եռանկյունու տարածքը որոշելու համար.

Եռանկյունը ամենապարզ երկրաչափական ձևն է, որն ունի երեք կողմ և երեք գագաթ: Իր պարզության շնորհիվ եռանկյունը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է տարբեր չափումներ իրականացնելու համար, և այսօր գործիչը կարող է օգտակար լինել գործնական և կենցաղային խնդիրներ լուծելու համար։

Եռանկյունու առանձնահատկությունները

Նկարը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է հաշվարկների համար, օրինակ՝ գեոդեզիստներն ու աստղագետները գործում են եռանկյունների հատկությունների վրա՝ հաշվարկելու տարածքներն ու հեռավորությունները։ Այս գործչի տարածքով հեշտ է արտահայտել ցանկացած n-gon տարածքը, և այս հատկությունը օգտագործվել է հին գիտնականների կողմից՝ բազմանկյունների տարածքների համար բանաձևեր ստանալու համար: Եռանկյունների հետ մշտական ​​աշխատանքը, հատկապես ուղղանկյուն եռանկյունու հետ, հիմք դարձավ մաթեմատիկայի մի ամբողջ ճյուղի՝ եռանկյունաչափության համար։

Եռանկյունի երկրաչափություն

Երկրաչափական գործչի հատկությունները ուսումնասիրվել են դեռևս հնագույն ժամանակներից. եռանկյունու մասին ամենավաղ տեղեկությունը հայտնաբերվել է եգիպտական ​​պապիրուսում 4000 տարի առաջ: Այնուհետև պատկերն ուսումնասիրվել է Հին Հունաստանում և եռանկյունու երկրաչափության մեջ ամենամեծ ներդրումն են ունեցել Էվկլիդեսը, Պյութագորասը և Հերոնը: Եռանկյունու ուսումնասիրությունը երբեք չդադարեց, և 18-րդ դարում Լեոնարդ Էյլերը ներկայացրեց գործչի ուղղանկյուն և Էյլերի շրջանի հայեցակարգը: 19-րդ և 20-րդ դարերի վերջին, երբ թվում էր, թե բացարձակապես ամեն ինչ հայտնի է եռանկյունու մասին, Ֆրենկ Մորլին ձևակերպեց թեորեմը անկյան եռաչափերի վերաբերյալ, իսկ Վացլավ Սիերպինսկին առաջարկեց ֆրակտալ եռանկյունի։

Կան հարթ եռանկյունների մի քանի տեսակներ, որոնք մեզ ծանոթ են դպրոցական երկրաչափության դասընթացից.

• սուր անկյուն - գործչի բոլոր անկյունները սուր են;
• բութ - ձևն ունի մեկ բութ անկյուն (ավելի քան 90 աստիճան);
• ուղղանկյուն - նկարը պարունակում է մեկ ուղիղ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի;
• isosceles - երկու հավասար կողմերով եռանկյունի;
• հավասարակողմ - բոլոր հավասար կողմերով եռանկյունի:
• Իրական կյանքում կան բոլոր տեսակի եռանկյուններ, և որոշ դեպքերում մեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել երկրաչափական գործչի մակերեսը:

Եռանկյունի մակերեսը

Մակերեսը գնահատվում է այն բանի, թե որքան հարթություն է սահմանում այդ ձևը: Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել վեց եղանակով՝ գործել կողմերի, բարձրության, անկյունների, ներգծված կամ շրջանագծի շառավղով, ինչպես նաև օգտագործելով Հերոնի բանաձևը կամ հաշվարկելով կրկնակի ինտեգրալը այն գծերի երկայնքով, որոնք կապում են հարթությունը: Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ամենապարզ բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է, h-ը նրա բարձրությունն է:

Այնուամենայնիվ, գործնականում մեզ համար միշտ չէ, որ հարմար է գտնել երկրաչափական գործչի բարձրությունը։ Մեր հաշվիչի ալգորիթմը թույլ է տալիս հաշվարկել տարածքը՝ իմանալով.

• երեք կողմ;
• երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը;
• մի կողմ և երկու անկյուն:

Երեք կողմերի տարածքը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը.

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

որտեղ p-ը եռանկյան կիսաշրջագիծն է:

Երկու կողմերի և անկյունի տարածքի հաշվարկն իրականացվում է դասական բանաձևի համաձայն.

S = a × b × մեղք (ալֆա),

որտեղ ալֆան անկյունն է a և b կողմերի միջև:

Մի կողմի և երկու անկյունների տարածքը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք հարաբերակցությունը, որը.

ա / մեղք (ալֆա) = բ / մեղք (բետա) = գ / մեղք (գամմա)

Պարզ համամասնությամբ մենք որոշում ենք երկրորդ կողմի երկարությունը, այնուհետև հաշվարկում ենք տարածքը S = a × b × sin (ալֆա) բանաձևով: Այս ալգորիթմը լիովին ավտոմատացված է, և անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել նշված փոփոխականները և ստանալ արդյունքը։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակներ կյանքից

Սալիկապատ սալիկներ

Ենթադրենք, որ ցանկանում եք հատակը հարթել եռանկյուն սալիկներով, և անհրաժեշտ նյութի քանակը որոշելու համար պետք է իմանալ մեկ սալիկի և հատակի մակերեսը: Ենթադրենք, դուք պետք է մշակեք 6 քառակուսի մետր մակերես սալիկների միջոցով, որոնց չափերն են a = 20 սմ, b = 21 սմ, c = 29 սմ: Ակնհայտ է, որ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար հաշվիչը օգտագործում է Հերոնի բանաձևը: և կտա արդյունք.

Այսպիսով, մեկ սալիկի տարրի մակերեսը կազմում է 0,021 քառակուսի մետր, իսկ հատակի բարելավման համար անհրաժեշտ է 6 / 0,021 = 285 եռանկյունի: 20, 21 և 29 թվերը կազմում են Պյութագորասի եռյակը՝ բավարարող թվեր։ Եվ ճիշտ է, որ մեր հաշվիչը հաշվարկել է նաև եռանկյան բոլոր անկյունները, իսկ գամմա անկյունը ուղիղ 90 աստիճան է։

Դպրոցական առաջադրանք

Դպրոցական խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է գտնել եռանկյան մակերեսը՝ իմանալով, որ կողմը a = 5 սմ է, իսկ վերքի ալֆա և բետա անկյունները համապատասխանաբար 30 և 50 աստիճան են: Այս խնդիրը ձեռքով լուծելու համար մենք նախ կգտնենք b կողմի արժեքը՝ օգտագործելով կողմերի հարաբերակցության և հակադիր անկյունների սինուսների հարաբերակցությունը, այնուհետև կորոշենք տարածքը՝ օգտագործելով S = a × b × sin (ալֆա) պարզ բանաձևը: Եկեք խնայենք ժամանակը, մուտքագրենք տվյալները հաշվիչի ձևի մեջ և ստանանք ակնթարթային պատասխան։

Հաշվիչն օգտագործելիս կարևոր է ճիշտ նշել անկյուններն ու կողմերը, հակառակ դեպքում արդյունքը սխալ կլինի։

Եզրակացություն

Եռանկյունը եզակի պատկեր է, որը կարելի է գտնել ինչպես իրական կյանքում, այնպես էլ վերացական հաշվարկներում։ Օգտագործեք մեր առցանց հաշվիչը՝ գտնելու բոլոր տեսակի եռանկյունների տարածքը:

Եռանկյունի մակերեսը որոշելու համար կարող են օգտագործվել տարբեր բանաձևեր: Բոլոր մեթոդներից ամենահեշտը և ամենահաճախ օգտագործվողը բարձրությունը հիմքի երկարությամբ բազմապատկելն է, այնուհետև արդյունքը երկուսի բաժանելն է: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը հեռու է միակից: Ստորև կարող եք կարդալ, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը տարբեր բանաձևերի միջոցով:

Առանձին-առանձին մենք կքննարկենք եռանկյան հատուկ տեսակների տարածքը հաշվարկելու մեթոդները `ուղղանկյուն, հավասարաչափ և հավասարակողմ: Մենք ուղեկցում ենք յուրաքանչյուր բանաձևի կարճ բացատրություն, որը կօգնի ձեզ հասկանալ դրա էությունը:

Եռանկյունու տարածքը գտնելու ունիվերսալ եղանակներ

Հետևյալ բանաձևերը օգտագործում են հատուկ կոնվենցիաներ. Մենք կվերծանենք դրանցից յուրաքանչյուրը.

• a, b, c - մեր դիտարկած գործչի երեք կողմերի երկարությունները.
• r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է ներգծել մեր եռանկյունու մեջ.
• R-ն այն շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է նկարագրել դրա շուրջը.
• α - b և c կողմերի կողմից ձևավորված անկյան արժեքը;
• β-ն անկյունն է a-ի և c-ի միջև;
• γ - a և b կողմերի կողմից ձևավորված անկյան արժեքը.
• h - մեր եռանկյունու բարձրությունը, իջեցված α անկյունից դեպի a կողմը;
• p - a, b և c կողմերի գումարի կեսը:

Տրամաբանական է, թե ինչու է հնարավոր այս կերպ գտնել եռանկյան մակերեսը։ Եռանկյունը հեշտությամբ կարելի է լրացնել զուգահեռագծին, որում եռանկյան մի կողմը կգործի որպես անկյունագիծ: Զուգահեռագծի մակերեսը հայտնաբերվում է նրա կողմերից մեկի երկարությունը բազմապատկելով դեպի դրան գծված բարձրության արժեքով: Անկյունագիծը այս պայմանական զուգահեռագիծը բաժանում է 2 միանման եռանկյունների։ Հետևաբար, ակնհայտ է, որ մեր սկզբնական եռանկյունու մակերեսը պետք է հավասար լինի այս օժանդակ զուգահեռագծի տարածքի կեսին:

S = ½ a b sin γ

Ըստ այս բանաձևի՝ եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով նրա երկու կողմերի երկարությունները, այսինքն՝ a և b, նրանց կողմից ձևավորված անկյան սինուսով։ Այս բանաձևը տրամաբանորեն բխում է նախորդից։ Եթե ​​բարձրությունը β անկյանց իջեցնենք b կողմ, ապա, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունների, a կողմի երկարությունը γ անկյան սինուսով բազմապատկելիս ստանում ենք եռանկյան բարձրությունը, այսինքն. հ.

Քննարկվող գործչի մակերեսը հայտնաբերվում է շրջանագծի շառավիղը, որը կարելի է ներգծել դրա մեջ, իր պարագծով բազմապատկելով: Այսինքն՝ գտնում ենք նշված շրջանագծի կիսաշրջագծի և շառավղի արտադրյալը։

S = a b s / 4R

Ըստ այս բանաձևի՝ մեզ անհրաժեշտ արժեքը կարելի է գտնել՝ նկարի կողմերի արտադրյալը բաժանելով նրա շուրջը նկարագրված շրջանագծի 4 շառավղով։

Այս բանաձևերը համընդհանուր են, քանի որ դրանք հնարավորություն են տալիս որոշել ցանկացած եռանկյունու տարածքը (բազմակողմանի, հավասարաչափ, հավասարակողմ, ուղղանկյուն): Դա կարելի է անել ավելի բարդ հաշվարկների օգնությամբ, որոնց վրա մենք մանրամասն չենք անդրադառնա։

Հատուկ հատկություններով եռանկյունների տարածքները

Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: Այս գործչի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա երկու կողմերը միաժամանակ նրա բարձրությունն են։ Եթե ​​a-ն և b-ն ոտքեր են, իսկ c-ն դառնում է հիպոթենուս, ապա տարածքը հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.

Ինչպե՞ս գտնել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը: Այն ունի երկու կողմ՝ a երկարությամբ և մեկ կողմ՝ b երկարությամբ։ Այսպիսով, նրա մակերեսը կարելի է որոշել՝ a կողմի քառակուսու արտադրյալը 2-ի բաժանելով γ անկյան սինուսի վրա։

Ինչպե՞ս գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը: Նրանում բոլոր կողմերի երկարությունը հավասար է a-ի, իսկ բոլոր անկյունների մեծությունը α է։ Նրա բարձրությունը հավասար է a կողմի երկարության արտադրյալի կեսին 3-ի քառակուսի արմատով: Կանոնավոր եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է a կողմի քառակուսին բազմապատկել 3-ի քառակուսի արմատով և բաժանել 4.

Քառակուսի հայեցակարգ

Ցանկացած երկրաչափական գործչի տարածքի հայեցակարգը, մասնավորապես, եռանկյունի, կապված կլինի այնպիսի գործչի հետ, ինչպիսին է քառակուսին: Ցանկացած երկրաչափական պատկերի մակերեսի միավորի համար կվերցնենք քառակուսու մակերեսը, որի կողմը հավասար է մեկի: Ամբողջականության համար հիշենք երկու հիմնական հատկություն երկրաչափական ձևերի տարածքների հայեցակարգի համար:

Սեփականություն 1:Եթե ​​երկրաչափական ձևերը հավասար են, ապա դրանց տարածքների արժեքները նույնպես հավասար են:

Սեփականություն 2:Ցանկացած ձև կարելի է բաժանել մի քանի ձևերի: Ավելին, սկզբնական գործչի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր բաղկացուցիչ թվերի տարածքների արժեքների գումարին:

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1

Ակնհայտ է, որ եռանկյան կողմերից մեկը ուղղանկյան անկյունագիծն է, որի մի կողմի երկարությունը կազմում է $5 $ (քանի որ $5 $ բջիջները), իսկ մյուսը $6 $ (քանի որ $6 $ բջիջները): Հետևաբար, այս եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի նման ուղղանկյան կեսին: Ուղղանկյան մակերեսը կազմում է

Այնուհետև եռանկյան մակերեսն է

Պատասխան՝ $15 $։

Հաջորդը, մենք կքննարկենք եռանկյունների տարածքները գտնելու մի քանի եղանակներ, մասնավորապես, օգտագործելով բարձրությունը և հիմքը, օգտագործելով Հերոնի բանաձևը և հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը բարձրության և հիմքի առումով

Թեորեմ 1

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես կողմի երկարության արտադրյալի կեսը դեպի այդ կողմ գծված բարձրությունը:

Մաթեմատիկորեն այն կարծես այսպիսին է

$ S = \ ֆրակ (1) (2) αh $

որտեղ $ a $-ը կողմի երկարությունն է, $ h $-ը դեպի այն ձգված բարձրությունն է:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ ABC $ եռանկյունին $ AC = α $-ով: Այս կողմում գծված է $ BH $ բարձրությունը, որը հավասար է $ h $-ի: Եկեք այն կառուցենք մինչև $ AXYC $ քառակուսի, ինչպես նկար 2-ում:

$ AXBH $ ուղղանկյան մակերեսը $ h \ cdot AH $ է, իսկ $ HBYC $ ուղղանկյան մակերեսը $ h \ cdot HC $ է: Հետո

$ S_ABH = \ ֆրակ (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ ֆրակ (1) (2) h \ cdot HC $

Հետևաբար, եռանկյան պահանջվող մակերեսը, ըստ հատկության 2-ի, հավասար է

$ S = S_ABH + S_CBH = \ ֆրակ (1) (2) h \ cdot AH + \ ֆրակ (1) (2) h \ cdot HC = \ ֆրակ (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ ֆրակ (1) (2) αh $

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ 2

Ստորև բերված նկարում գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե բջիջն ունի մեկ մակերես

Այս եռանկյունու հիմքը $ 9 $ է (քանի որ $ 9 $-ը $ 9 $ բջիջ է): Բարձրությունը նույնպես $9 է։ Այնուհետև թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$ S = \ ֆրակ (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40,5 $

Պատասխան՝ 40,5 դոլար:

Հերոնի բանաձեւը

Թեորեմ 2

Հաշվի առնելով $ α $, $ β $ և $ γ $ եռանկյան երեք կողմերը, ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

այստեղ $ ρ $ նշանակում է այս եռանկյան կիսաշրջագիծը:

Ապացույց.

Դիտարկենք հետևյալ պատկերը.

Պյութագորասի թեորեմով $ ABH $ եռանկյունից ստանում ենք

$ CBH $ եռանկյունուց Պյութագորասի թեորեմով մենք ունենք

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

Այս երկու հարաբերություններից մենք ստանում ենք հավասարություն

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $.

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $.

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Քանի որ $ ρ = \ ֆրակ (α + β + γ) (2) $, ապա $ α + β + γ = 2ρ $, հետևաբար.

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Եռանկյունի տարածք - խնդիրների լուծման բանաձևեր և օրինակներ

Ստորև ներկայացված են կամայական եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևերորոնք հարմար են ցանկացած եռանկյան մակերեսը գտնելու համար՝ անկախ նրա հատկություններից, անկյուններից կամ չափերից։ Բանաձևերը ներկայացված են նկարի տեսքով, ահա դրանց ճիշտ օգտագործման կամ հիմնավորման բացատրությունները։ Նաև առանձին նկարը ցույց է տալիս բանաձևերում տառերի նշանակումների և գծագրության գրաֆիկական նշանակումների համապատասխանությունը:

Նշում ... Եթե ​​եռանկյունն ունի հատուկ հատկություններ (հավասարաչափ, ուղղանկյուն, հավասարակողմ), կարող եք օգտագործել ստորև բերված բանաձևերը, ինչպես նաև լրացուցիչ հատուկ բանաձևեր, որոնք վավեր են միայն այս հատկություններով եռանկյունների համար.

• «Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևեր»

Տարածքի բանաձևեր եռանկյունու համար

Բանաձևերի բացատրություններ:
ա, բ, գ- եռանկյունու կողմերի երկարությունները, որի մակերեսը մենք ուզում ենք գտնել
r- եռանկյունու մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղ
Ռ- եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը
հ- եռանկյունու բարձրությունը իջեցված դեպի կողմը
էջ- եռանկյան կիսաշրջագիծ, նրա կողմերի գումարի 1/2 (պարագիծ)
α - եռանկյան a կողմին հակառակ անկյունը
β - եռանկյան b կողմին հակառակ անկյունը
γ - եռանկյան c կողմին հակառակ անկյունը
հ ա, հ բ , հ գ- եռանկյան բարձրությունը՝ իջեցված դեպի a, b, c կողմերը

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տրված նշանակումները համապատասխանում են վերը նշված նկարին, այնպես որ երկրաչափության իրական խնդիր լուծելիս ձեզ համար տեսողականորեն ավելի հեշտ կլինի փոխարինել ճիշտ արժեքները բանաձևի ճիշտ տեղերում:

• Եռանկյան մակերեսն է եռանկյան բարձրության արտադրյալի կեսն այն կողմի երկարությամբ, որին իջեցված է այս բարձրությունը(Ֆորմուլա 1): Այս բանաձեւի ճիշտությունը կարելի է հասկանալ տրամաբանորեն։ Հիմքի վրա իջած բարձրությունը կամայական եռանկյունը կբաժանի երկու ուղղանկյունի: Եթե ​​դրանցից յուրաքանչյուրը լրացնենք b և h չափերով ուղղանկյունի, ապա, ակնհայտորեն, այս եռանկյունների մակերեսը հավասար կլինի ուղղանկյան տարածքի ուղիղ կեսին (Spr = bh):
• Եռանկյան մակերեսն է նրա երկու կողմերի արտադրյալի կեսը՝ նրանց միջև ընկած անկյան սինուսով(Բանաձև 2) (տե՛ս ստորև բերված այս բանաձևով խնդիր լուծելու օրինակ): Չնայած այն հանգամանքին, որ այն կարծես թե ի տարբերություն նախորդի, այն հեշտությամբ կարող է փոխակերպվել դրա մեջ: Եթե ​​բարձրությունը B անկյունից իջեցնենք B կողմ, ապա կստացվի, որ a կողմի արտադրյալը γ անկյան սինուսով, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան սինուսի հատկությունների, հավասար է մեր գծած եռանկյան բարձրությանը. որը մեզ կտա նախորդ բանաձեւը
• Կարելի է գտնել կամայական եռանկյունու տարածքը երկայնքով աշխատանքներգծված շրջանագծի շառավիղի կեսը՝ նրա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարով(Բանաձև 3), այլ կերպ ասած, դուք պետք է բազմապատկեք եռանկյան կիսաշրջագիծը ներգծված շրջանագծի շառավղով (սա ավելի հեշտ է հիշել)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել՝ նրա բոլոր կողմերի արտադրյալը բաժանելով շուրջը շրջագծված շրջանագծի 4 շառավղով (բանաձև 4)
• Բանաձև 5-ը ներկայացնում է եռանկյան տարածքի հայտնաբերումը նրա կողմերի երկարությունների և կիսափերի միջով (նրա բոլոր կողմերի գումարի կեսը)
• Հերոնի բանաձեւը(6) նույն բանաձևի ներկայացումն է՝ առանց կիսաշրջագծային հասկացության օգտագործման, միայն կողմերի երկարությունների միջով
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի քառակուսու արտադրյալին և այս կողմին հարող անկյունների սինուսներին՝ բաժանված այս կողմին հակառակ անկյան կրկնակի սինուսով (Բանաձև 7)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել որպես շրջանագծի երկու քառակուսիների արտադրյալ, որոնք շրջապատված են նրա շուրջը յուրաքանչյուր անկյունի սինուսներով: (Ֆորմուլա 8)
• Եթե ​​հայտնի են մի կողմի երկարությունը և երկու հարակից անկյունների մեծությունը, ապա եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես այս կողմի քառակուսի, որը բաժանված է այս անկյունների կոտանգենսների կրկնակի գումարով (Բանաձև 9)
• Եթե ​​հայտնի է միայն եռանկյան բարձրություններից յուրաքանչյուրի երկարությունը (Բանաձև 10), ապա այդպիսի եռանկյունու մակերեսը հակադարձ համեմատական ​​է այդ բարձրությունների երկարություններին, ինչպես Հերոնի բանաձևի համաձայն.
• Formula 11-ը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան մակերեսը նրա գագաթների կոորդինատներով, որոնք տրվում են որպես արժեքներ (x; y) գագաթներից յուրաքանչյուրի համար: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ստացված արժեքը պետք է ընդունվի մոդուլով, քանի որ առանձին (կամ նույնիսկ բոլոր) գագաթների կոորդինատները կարող են լինել բացասական արժեքների միջակայքում:

Նշում... Ստորև բերված են երկրաչափական խնդիրների լուծման օրինակներ՝ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որը նման չէ, որին այստեղ չկա, գրեք այդ մասին ֆորումում: Լուծումների մեջ «քառակուսի արմատ» նշանի փոխարեն կարող է օգտագործվել sqrt () ֆունկցիան, որում sqrt-ը քառակուսի արմատի նշանն է, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը նշվում է փակագծերում։.Երբեմն պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար խորհրդանիշը √

Առաջադրանք. Գտեք երկու կողմերի երկայնքով գտնվող տարածքը և նրանց միջև եղած անկյունը

Եռանկյան կողմերը 5 և 6 սմ են, նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է։ Գտեք եռանկյան մակերեսը.

Լուծում.

Այս խնդիրը լուծելու համար դասի տեսական մասից կօգտագործենք թիվ երկու բանաձևը։
Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել երկու կողմերի երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի միջով և հավասար կլինի.
S = 1/2 ab sin γ

Քանի որ մենք ունենք լուծման համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները (ըստ բանաձևի), մենք պարզապես պետք է խնդրի վիճակից արժեքները փոխարինենք բանաձևով.
S = 1/2 * 5 * 6 * մեղք 60

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակում մենք գտնում և փոխարինում ենք 60 աստիճանի սինուսի արժեքը արտահայտության մեջ: Այն հավասար կլինի երեքից երկուսի արմատին։
S = 15 √3 / 2

Պատասխանել 7,5 √3 (կախված ուսուցչի պահանջներից, հավանաբար կարող եք թողնել 15 √3 / 2)

Առաջադրանք. Գտե՛ք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Գտե՛ք 3 սմ կողմ ունեցող հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը։

Լուծում.

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել Հերոնի բանաձևով.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Քանի որ a = b = c հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Պատասխանել: 9 √3 / 4.

Առաջադրանք. Տարածքը փոխելիս կողմերի երկարությունը փոխելիս

Քանի՞ անգամ կավելանա եռանկյան մակերեսը, եթե կողմերը մեծացվեն 4 անգամ:

Լուծում.

Քանի որ եռանկյան կողմերի չափերը մեզ անհայտ են, ապա խնդիրը լուծելու համար կենթադրենք, որ կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են կամայական a, b, c թվերին։ Այնուհետև խնդրի հարցին պատասխանելու համար մենք կգտնենք այս եռանկյան մակերեսը, այնուհետև կգտնենք եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը չորս անգամ մեծ են: Այս եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությունը մեզ կտա խնդրի պատասխանը։

Ստորև ներկայացված է խնդրի լուծման տեքստային բացատրությունը քայլերով: Այնուամենայնիվ, հենց վերջում, այս նույն լուծումը ներկայացված է ավելի հեշտ ընթեռնելի գրաֆիկական տեսքով: Ցանկացողները կարող են անմիջապես անցնել լուծումը:

Դա լուծելու համար օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը (տե՛ս վերևում դասի տեսական մասում): Այն կարծես այսպիսին է.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի առաջին տողը)

Կամային եռանկյան կողմերի երկարությունները տրվում են a, b, c փոփոխականներով։
Եթե ​​կողմերը մեծացվեն 4 անգամ, ապա նոր եռանկյան c մակերեսը կլինի.

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(տես ստորև նկարի երկրորդ տողը)

Ինչպես տեսնում եք, 4-ը ընդհանուր գործոն է, որը կարելի է հանել փակագծերից բոլոր չորս արտահայտություններից՝ համաձայն մաթեմատիկայի ընդհանուր կանոնների։
Հետո

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - նկարի երրորդ տողում
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - չորրորդ տող

Քառակուսի արմատը հիանալի կերպով հանված է 256 թվից, ուստի այն հանում ենք արմատի տակից
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի հինգերորդ տողը)

Խնդրում առաջադրված հարցին պատասխանելու համար մենք պարզապես պետք է ստացված եռանկյունու տարածքը բաժանենք բնօրինակի մակերեսով:
Որոշե՛ք մակերեսների հարաբերակցությունը՝ արտահայտությունները միմյանց վրա բաժանելով և ստացված կոտորակը փոքրացնելով։