Արտահայտությունների փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, օրինակները, լուծումները: Արտահայտությունների փոխակերպում լոգարիթմներով, օրինակներով, լուծումներով Փոխակերպում էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտությունների օրինակներ

հիմնական հատկությունները.

1. logax + logay = log (x y);
2. logax − logay = log(x: y):

նույն հիմքերը

log6 4 + log6 9.

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։

Լոգարիթմների լուծման օրինակներ

Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը՝ a > 0, a ≠ 1, x >

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Անցում դեպի նոր հիմք

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Տես նաեւ:

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարելի է ուսումնասիրել կանոնը՝ ցուցանիշը 2,7 է և Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվից երկու անգամ:

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:

Օրինակներ լոգարիթմների համար

Վերցրեք արտահայտությունների լոգարիթմը

Օրինակ 1
ա). x=10ac^2 (a>0, c>0):

Ըստ հատկությունների 3,5 մենք հաշվարկում ենք

2.

3.

Օրինակ 2 Գտեք x եթե

Օրինակ 3. Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը

Հաշվեք log(x), եթե

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխարկել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Այս կանոնները պետք է հայտնի լինեն՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր չի կարող լուծվել։ Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ ամեն ինչ կարելի է սովորել մեկ օրում։ Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

1. logax + logay = log (x y);
2. logax − logay = log(x: y):

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմը։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է. նույն հիմքերը. Եթե ​​հիմքերը տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն դիտարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո միանգամայն նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, վերահսկողություն. քննությանը առաջարկվում են նմանատիպ արտահայտություններ ամենայն լրջությամբ (երբեմն՝ գործնականում առանց փոփոխության):

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է նրանց առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա՝ որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը։

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք լոգարիթմի նշանից առաջ թվերը մուտքագրել հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:

Եկեք ձերբազատվենք վեճի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը լոգարիթմ է, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.

Վերջին օրինակը, կարծում եմ, պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։

Լոգարիթմների բանաձևեր. Լոգարիթմները լուծումների օրինակներ են:

Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4 կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը պատասխանն է՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե հիմքերը տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, ապա կստանանք.

Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ հնարավոր է փոխանակել լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտարարի մեջ է:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների փաստարկները ճշգրիտ ցուցիչներ են: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, իսկ հետո պարզեցինք լոգարիթմները:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում պահանջվում է թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն բանաձևերը.

Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեքն է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.

Իսկապես, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան, որ այս աստիճանի b թիվը տա a թիվը։ Ճիշտ է, սա նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը «կախված» են դրա վրա:

Ինչպես բազային փոխակերպման նոր բանաձևերը, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես հիմքից հանել է քառակուսին և լոգարիթմի արգումենտը: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

Եթե ​​ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական ​​քննությունից 🙂

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք հետևանքներ են լոգարիթմի սահմանումից: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, որքան էլ զարմանալի է, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

1. լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած a հիմքի վրա հենց այդ հիմքից հավասար է մեկի:
2. լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:

Տես նաեւ:

b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա նշանակում է արտահայտությունը. Հաշվարկել լոգարիթմը նշանակում է գտնել x () այնպիսի հզորություն, որի դեպքում հավասարությունը ճիշտ է

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

Վերոնշյալ հատկությունները պետք է հայտնի լինեն, քանի որ դրանց հիման վրա գրեթե բոլոր խնդիրներն ու օրինակները լուծվում են լոգարիթմների հիման վրա: Մնացած էկզոտիկ հատկությունները կարող են ստացվել այս բանաձևերով մաթեմատիկական մանիպուլյացիաների միջոցով

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Հաշվարկելիս լոգարիթմների գումարի և տարբերության բանաձևերը (3.4) հաճախ են հանդիպում: Մնացածը որոշ չափով բարդ են, բայց մի շարք առաջադրանքներում դրանք անփոխարինելի են բարդ արտահայտությունները պարզեցնելու և դրանց արժեքները հաշվարկելու համար։

Լոգարիթմների ընդհանուր դեպքեր

Ընդհանուր լոգարիթմներից մի քանիսն այն լոգարիթմներն են, որոնց հիմքը նույնիսկ տասը է՝ էքսպոնենցիալ կամ դյուզ:
Տասը հիմքի լոգարիթմը սովորաբար կոչվում է բազային տասը լոգարիթմ և ուղղակի նշանակվում է lg(x):

Արձանագրությունից երեւում է, որ արձանագրության մեջ հիմնականը գրված չէ։ Օրինակ

Բնական լոգարիթմն այն լոգարիթմն է, որի հիմքը ցուցիչն է (նշվում է ln(x)):

Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարելի է ուսումնասիրել կանոնը՝ ցուցանիշը 2,7 է և Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվից երկու անգամ: Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:

Եվ մեկ այլ կարևոր հիմք երկու լոգարիթմն է

Ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է փոփոխականի վրա բաժանվածի

Ինտեգրալ կամ հակաածանցյալ լոգարիթմը որոշվում է կախվածությամբ

Վերոնշյալ նյութը ձեզ բավարար է լոգարիթմների և լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների լայն դաս լուծելու համար։ Նյութը յուրացնելու համար միայն մի քանի ընդհանուր օրինակներ բերեմ դպրոցական ծրագրից և բուհերից։

Օրինակներ լոգարիթմների համար

Վերցրեք արտահայտությունների լոգարիթմը

Օրինակ 1
ա). x=10ac^2 (a>0, c>0):

Ըստ հատկությունների 3,5 մենք հաշվարկում ենք

2.
Լոգարիթմների տարբերության հատկությամբ մենք ունենք

3.
Օգտագործելով հատկությունները 3.5 մենք գտնում ենք

Թվացյալ բարդ արտահայտությունը, օգտագործելով մի շարք կանոններ, պարզեցվում է ձևին

Լոգարիթմի արժեքների որոնում

Օրինակ 2 Գտեք x եթե

Լուծում. Հաշվարկի համար մենք կիրառում ենք 5 և 13 հատկությունները մինչև վերջին կիսամյակը

Փոխարինեք արձանագրության մեջ և սգացեք

Քանի որ հիմքերը հավասար են, մենք հավասարեցնում ենք արտահայտությունները

Լոգարիթմներ. Առաջին մակարդակ.

Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը

Հաշվեք log(x), եթե

Լուծում. Վերցրեք փոփոխականի լոգարիթմը, որպեսզի գրեք լոգարիթմը տերմինների գումարի միջոցով

Սա լոգարիթմների և դրանց հատկությունների հետ ծանոթանալու միայն սկիզբն է։ Զբաղվեք հաշվարկներով, հարստացրեք ձեր գործնական հմտությունները - շուտով ձեզ պետք կգան ձեռք բերված գիտելիքները լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար: Ուսումնասիրելով նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները՝ մենք կընդլայնենք ձեր գիտելիքները մեկ այլ ոչ պակաս կարևոր թեմայի՝ լոգարիթմական անհավասարությունների համար...

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխարկել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Այս կանոնները պետք է հայտնի լինեն՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր չի կարող լուծվել։ Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ ամեն ինչ կարելի է սովորել մեկ օրում։ Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

1. logax + logay = log (x y);
2. logax − logay = log(x: y):

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմը։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է. նույն հիմքերը. Եթե ​​հիմքերը տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log6 4 + log6 9:

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն դիտարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո միանգամայն նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, վերահսկողություն. քննությանը առաջարկվում են նմանատիպ արտահայտություններ ամենայն լրջությամբ (երբեմն՝ գործնականում առանց փոփոխության):

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է նրանց առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա՝ որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը։

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք լոգարիթմի նշանից առաջ թվերը մուտքագրել հենց լոգարիթմի մեջ:

Ինչպես լուծել լոգարիթմները

Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:

Եկեք ձերբազատվենք վեճի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը լոգարիթմ է, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.

Վերջին օրինակը, կարծում եմ, պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։ Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4 կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը պատասխանն է՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե հիմքերը տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, ապա կստանանք.

Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ հնարավոր է փոխանակել լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտարարի մեջ է:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների փաստարկները ճշգրիտ ցուցիչներ են: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, իսկ հետո պարզեցինք լոգարիթմները:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում պահանջվում է թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն բանաձևերը.

Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեքն է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.

Իսկապես, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան, որ այս աստիճանի b թիվը տա a թիվը։ Ճիշտ է, սա նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը «կախված» են դրա վրա:

Ինչպես բազային փոխակերպման նոր բանաձևերը, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես հիմքից հանել է քառակուսին և լոգարիթմի արգումենտը: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

Եթե ​​ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական ​​քննությունից 🙂

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք հետևանքներ են լոգարիթմի սահմանումից: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, որքան էլ զարմանալի է, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

1. լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած a հիմքի վրա հենց այդ հիմքից հավասար է մեկի:
2. լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:

Լոգարիթմի ընդունելի միջակայք (ODZ):

Հիմա եկեք խոսենք սահմանափակումների մասին (ODZ - փոփոխականների թույլատրելի արժեքների տարածք):

Մենք հիշում ենք, որ, օրինակ, քառակուսի արմատը չի կարելի վերցնել բացասական թվերից. կամ եթե ունենք կոտորակ, ապա հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Նմանատիպ սահմանափակումներ կան լոգարիթմների համար.

Այսինքն՝ և՛ արգումենտը, և՛ հիմքը պետք է մեծ լինեն զրոյից, և հիմքը չի կարող հավասար լինել։

Ինչո՞ւ է այդպես։

Սկսենք պարզից. ասենք, որ. Հետո, օրինակ, թիվը չկա, քանի որ ինչ աստիճան էլ բարձրացնենք, միշտ ստացվում է։ Ընդ որում, դա ոչ մեկի համար գոյություն չունի։ Բայց միևնույն ժամանակ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած բանի (նույն պատճառով՝ հավասար է ցանկացած աստիճանի)։ Հետևաբար, օբյեկտը ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում, և այն պարզապես դուրս է շպրտվել մաթեմատիկայից:

Մեզ մոտ նման խնդիր կա՝ ցանկացած դրական աստիճանի դեպքում՝ սա, բայց դա ընդհանրապես չի կարելի հասցնել բացասական աստիճանի, քանի որ զրոյի բաժանումը կստացվի (հիշեցնում եմ դա)։

Երբ մենք բախվում ենք կոտորակային հզորության բարձրացման խնդրին (որը ներկայացված է որպես արմատ. Օրինակ՝ (այսինքն), բայց գոյություն չունի։

Հետեւաբար, բացասական պատճառներն ավելի հեշտ է դեն նետել, քան խառնվել դրանց հետ:

Դե, քանի որ ա բազան մեզ համար միայն դրական է, ուրեմն ինչ աստիճան էլ բարձրացնենք, միշտ խիստ դրական թիվ ենք ստանալու։ Այսպիսով, փաստարկը պետք է դրական լինի: Օրինակ՝ այն գոյություն չունի, քանի որ այն որևէ չափով բացասական թիվ չի լինի (և նույնիսկ զրո, հետևաբար այն էլ չկա)։

Լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների դեպքում առաջին քայլը ODZ-ը գրելն է: Ես օրինակ բերեմ.

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Հիշեք սահմանումը. լոգարիթմը այն ուժն է, որով հիմքը պետք է բարձրացվի՝ փաստարկ ստանալու համար: Եվ պայմանով այս աստիճանը հավասար է.

Ստանում ենք սովորական քառակուսի հավասարումը. Այն լուծում ենք Վիետայի թեորեմի միջոցով՝ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արտադրյալը։ Հեշտ է վերցնել, սրանք թվեր են և.

Բայց եթե դուք անմիջապես վերցնեք և գրեք այս երկու թվերն էլ պատասխանում, կարող եք 0 միավոր ստանալ առաջադրանքի համար։ Ինչո՞ւ։ Եկեք մտածենք, թե ինչ կլինի, եթե այս արմատները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ:

Սա ակնհայտորեն կեղծ է, քանի որ հիմքը չի կարող բացասական լինել, այսինքն՝ արմատը «երրորդ կողմ» է։

Նման տհաճ հնարքներից խուսափելու համար հարկավոր է գրել ODZ-ը նույնիսկ նախքան հավասարումը լուծելը.

Այնուհետև, ստանալով արմատները և, անմիջապես հեռացնում ենք արմատը և գրում ենք ճիշտ պատասխանը։

Օրինակ 1(փորձեք ինքներդ լուծել) :

Գտե՛ք հավասարման արմատը. Եթե ​​կան մի քանի արմատներ, ապա ձեր պատասխանում նշեք ավելի փոքրը:

Լուծում:

Նախ, եկեք գրենք ODZ-ը.

Այժմ մենք հիշում ենք, թե ինչ է լոգարիթմը. ի՞նչ ուժի կարիք ունեք հիմքը բարձրացնելու փաստարկ ստանալու համար: Երկրորդում. Այն է:

Թվում է, թե ավելի փոքր արմատը հավասար է: Բայց դա այդպես չէ. ըստ ODZ-ի, արմատը երրորդ կողմ է, այսինքն՝ այն ամենևին էլ այս հավասարման արմատը չէ։ Այսպիսով, հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ.

Պատասխան. .

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հիշեք լոգարիթմի սահմանումը ընդհանուր տերմիններով.

Երկրորդ հավասարության մեջ փոխարինեք լոգարիթմի փոխարեն.

Այս հավասարությունը կոչվում է հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը. Թեեւ ըստ էության այս հավասարությունը պարզապես այլ կերպ է գրված լոգարիթմի սահմանում:

Սա այն ուժն է, որին դուք պետք է բարձրացնեք հասնելու համար:

Օրինակ:

Լուծե՛ք հետևյալ օրինակները.

Օրինակ 2

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում:

Հիշեք կանոնը բաժնից. այսինքն՝ աստիճանը մինչև հզորություն բարձրացնելիս ցուցանիշները բազմապատկվում են։ Եկեք կիրառենք այն.

Օրինակ 3

Ապացուցեք դա։

Լուծում:

Լոգարիթմների հատկությունները

Ցավոք, առաջադրանքները միշտ չէ, որ այդքան պարզ են. հաճախ նախ անհրաժեշտ է պարզեցնել արտահայտությունը, բերել այն սովորական ձևի, և միայն դրանից հետո հնարավոր կլինի հաշվարկել արժեքը: Դա անելն ամենահեշտն է՝ իմանալով լոգարիթմների հատկությունները. Այսպիսով, եկեք սովորենք լոգարիթմների հիմնական հատկությունները: Ես կապացուցեմ դրանցից յուրաքանչյուրը, քանի որ ցանկացած կանոն ավելի հեշտ է հիշել, եթե գիտես, թե որտեղից է այն գալիս։

Այս բոլոր հատկությունները պետք է հիշել, առանց դրանց լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների մեծ մասը հնարավոր չէ լուծել:

Իսկ հիմա լոգարիթմների բոլոր հատկությունների մասին ավելի մանրամասն։

Սեփականություն 1:

Ապացույց:

Թող ուրեմն.

Ունենք՝ , հ.թ.դ.

Հատկություն 2. Լոգարիթմների գումարը

Նույն հիմքով լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին. .

Ապացույց:

Թող ուրեմն. Թող ուրեմն.

Օրինակ:Գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

Լուծում.

Բանաձևը, որը դուք սովորեցիք, օգնում է պարզեցնել լոգարիթմների գումարը, այլ ոչ թե տարբերությունը, ուստի այս լոգարիթմները հնարավոր չէ միանգամից համատեղել: Բայց դուք կարող եք հակառակն անել՝ «կոտրել» առաջին լոգարիթմը երկուսի. Եվ ահա խոստացված պարզեցումը.
.
Ինչու է սա անհրաժեշտ: Դե, օրինակ՝ ի՞նչ նշանակություն ունի։

Հիմա դա ակնհայտ է.

Հիմա հեշտացրեք ինքներդ ձեզ.

Առաջադրանքներ.

Պատասխանները:

Հատկություն 3. Լոգարիթմների տարբերություն.

Ապացույց:

Ամեն ինչ նույնն է, ինչ 2-րդ կետում.

Թող ուրեմն.

Թող ուրեմն. Մենք ունենք:

Վերջին կետի օրինակն այժմ ավելի պարզ է.

Ավելի բարդ օրինակ. Ինքներդ գուշակեք, թե ինչպես որոշել:

Այստեղ հարկ է նշել, որ քառակուսի լոգարիթմների վերաբերյալ մենք չունենք մեկ բանաձև։ Սա արտահայտության նման մի բան է. սա չի կարելի միանգամից պարզեցնել:

Հետևաբար, եկեք շեղվենք լոգարիթմների վերաբերյալ բանաձևերից և մտածենք, թե ինչ բանաձևեր ենք մենք առավել հաճախ օգտագործում մաթեմատիկայի մեջ: Դեռ 7-րդ դասարանից:

Այն -. Պետք է վարժվել այն փաստին, որ նրանք ամենուր են։ Եվ էքսպոնենցիալ, և եռանկյունաչափական և իռացիոնալ խնդիրներում դրանք հանդիպում են: Հետեւաբար, դրանք պետք է հիշել:

Եթե ​​ուշադիր նայեք առաջին երկու տերմիններին, ապա պարզ է դառնում, որ սա քառակուսիների տարբերություն:

Պատասխան՝ ստուգելու համար.

Պարզեցրեք ինքներդ ձեզ:

Օրինակներ

Պատասխանները.

Հատկություն 4. Ցուցանիշի ստացում լոգարիթմի փաստարկից.

Ապացույց:Եվ այստեղ մենք օգտագործում ենք նաև լոգարիթմի սահմանումը. թող, ապա։ Ունենք՝ , հ.թ.դ.

Այս կանոնը կարող եք հասկանալ այսպես.

Այսինքն՝ փաստարկի աստիճանը վերցվում է լոգարիթմից առաջ՝ որպես գործակից։

Օրինակ:Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում: .

Ինքներդ որոշեք.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

Հատկություն 5. Ցուցանիշի ստացում լոգարիթմի հիմքից.

Ապացույց:Թող ուրեմն.

Ունենք՝ , հ.թ.դ.
Հիշեք՝ սկսած հիմքերըաստիճանը տրվում է որպես հակադարձթիվ, ի տարբերություն նախորդ դեպքի!

Հատկություն 6. Ցուցանիշի ստացում հիմքից և լոգարիթմի արգումենտը.

Կամ եթե աստիճանները նույնն են.

Հատկություն 7. Անցում դեպի նոր բազա.

Ապացույց:Թող ուրեմն.

Ունենք՝ , հ.թ.դ.

Հատկություն 8. լոգարիթմի հիմքի և արգումենտի փոխանակում.

Ապացույց:Սա 7-րդ բանաձևի հատուկ դեպքն է՝ եթե փոխարինենք, կստանանք՝ , p.t.d.

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ:

Օրինակ 4

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Մենք օգտագործում ենք թիվ 2 լոգարիթմների հատկությունը՝ նույն հիմքով լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին.

Օրինակ 5

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում:

Մենք օգտագործում ենք թիվ 3 և 4 լոգարիթմների հատկությունը.

Օրինակ 6

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում:

Օգտագործելով թիվ 7 գույքը - անցեք բազային 2.

Օրինակ 7

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում:

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը:

Եթե ​​կարդում եք այս տողերը, ուրեմն կարդացել եք ամբողջ հոդվածը։

Եվ դա թույն է:

Հիմա ասեք մեզ, թե ինչպես եք հավանում հոդվածը:

Սովորե՞լ եք լուծել լոգարիթմներ: Եթե ​​ոչ, ապա ո՞րն է խնդիրը:

Գրեք մեզ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում:

Եվ այո, հաջողություն ձեր քննություններին:

Միասնական պետական ​​քննությանը և OGE-ին և ընդհանրապես կյանքում

Բ7 խնդիրը տալիս է արտահայտություն, որը պետք է պարզեցվի: Արդյունքը պետք է լինի սովորական թիվ, որը կարելի է գրել պատասխանների թերթիկի վրա: Բոլոր արտահայտությունները պայմանականորեն բաժանված են երեք տեսակի.

1. լոգարիթմական,
2. Ցույց,
3. Համակցված.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտություններն իրենց մաքուր ձևով գրեթե երբեք չեն գտնվել։ Այնուամենայնիվ, իմանալը, թե ինչպես են դրանք հաշվարկվում, կարևոր է:

Ընդհանուր առմամբ, B7 խնդիրը լուծվում է բավականին պարզ և բավականին միջին շրջանավարտի ուժերի սահմաններում է։ Հստակ ալգորիթմների բացակայությունը փոխհատուցվում է դրա ստանդարտով և միատեսակությամբ: Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները պարզապես շատ մարզումների միջոցով:

Լոգարիթմական արտահայտություններ

B7 խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը պարունակում է լոգարիթմներ այս կամ այն ​​ձևով: Այս թեման ավանդաբար համարվում է բարդ, քանի որ այն սովորաբար ուսումնասիրվում է 11-րդ դասարանում՝ ավարտական ​​քննություններին զանգվածային պատրաստության դարաշրջանում: Արդյունքում շատ շրջանավարտներ շատ աղոտ պատկերացում ունեն լոգարիթմների մասին։

Բայց այս առաջադրանքում ոչ ոք չի պահանջում խորը տեսական գիտելիքներ։ Մենք կհանդիպենք միայն ամենապարզ արտահայտություններին, որոնք պահանջում են պարզ պատճառաբանություն և կարող են լավ տիրապետել ինքնուրույն: Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք պետք է իմանաք լոգարիթմների հետ գործ ունենալու համար.

Բացի այդ, պետք է կարողանալ արմատներն ու կոտորակները փոխարինել հզորություններով ռացիոնալ ցուցիչով, այլապես որոշ արտահայտություններում պարզապես լոգարիթմի նշանի տակից հանելու բան չի լինի։ Փոխարինման բանաձևեր.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Առաջին երկու արտահայտությունները փոխակերպվում են որպես լոգարիթմների տարբերություն.
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3։

Երրորդ արտահայտությունը հաշվարկելու համար դուք պետք է ընտրեք աստիճաններ՝ և՛ հիմքում, և՛ արգումենտում: Նախ, եկեք գտնենք ներքին լոգարիթմը.

Ապա - արտաքին:

Log a log b x-ի պես կառուցվածքները շատերին թվում են բարդ և չհասկացված: Մինչդեռ սա ընդամենը լոգարիթմի լոգարիթմն է, այսինքն. log a (log b x ). Սկզբում հաշվարկվում է ներքին լոգարիթմը (տեղադրել log b x = c), իսկ հետո արտաքինը՝ log a c :

էքսպոնենցիալ արտահայտություններ

Էքսպոնենցիալ արտահայտություն կանվանենք a k ձևի ցանկացած կառուցում, որտեղ a և k թվերը կամայական հաստատուններ են, իսկ a > 0: Նման արտահայտությունների հետ աշխատելու մեթոդները բավականին պարզ են և դիտարկվում են 8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերին:

Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք պետք է իմանաք: Այս բանաձեւերի կիրառումը գործնականում, որպես կանոն, խնդիրներ չի առաջացնում։

1. a n a m = a n + m;
2. a n / a m = a n − m;
3. (a n) m = a n m;
4. (ա բ) n = a n b n;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Եթե ​​հանդիպում է ուժերով բարդ արտահայտություն, և պարզ չէ, թե ինչպես մոտենալ դրան, ապա օգտագործվում է ունիվերսալ տեխնիկա՝ տարրալուծում պարզ գործոնների: Արդյունքում, աստիճանների հիմքերում մեծ թվերը փոխարինվում են պարզ և հասկանալի տարրերով։ Այնուհետև մնում է միայն կիրառել վերը նշված բանաձևերը, և խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները՝ 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2:

Լուծում. Մենք ուժի բոլոր հիմքերը բաժանում ենք հիմնական գործոնների.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189:
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6:
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Համակցված առաջադրանքներ

Եթե ​​գիտեք բանաձևերը, ապա բոլոր էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտությունները լուծվում են բառացիորեն մեկ տողում։ Այնուամենայնիվ, B7 խնդրի դեպքում հզորությունները և լոգարիթմները կարող են համակցվել՝ կազմելով բավականին ուժեղ համակցություններ:

Այժմ ընդհանուր տեսանկյունից կանդրադառնանք լոգարիթմներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպմանը։ Այստեղ մենք կվերլուծենք ոչ միայն արտահայտությունների փոխակերպումը, օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, այլ կդիտարկենք արտահայտությունների փոխակերպումը ընդհանուր լոգարիթմներով, որոնք պարունակում են ոչ միայն լոգարիթմներ, այլև ուժեր, կոտորակներ, արմատներ և այլն: Ինչպես միշտ, մենք բոլոր նյութերը կտրամադրենք բնորոշ օրինակներով՝ լուծումների մանրամասն նկարագրությամբ:

Էջի նավարկություն.

Արտահայտություններ լոգարիթմներով և լոգարիթմական արտահայտություններով

Կոտորակներով գործողություններ կատարելը

Նախորդ պարբերությունում մենք վերլուծեցինք հիմնական փոխակերպումները, որոնք կատարվում են լոգարիթմներ պարունակող առանձին կոտորակներով։ Այս փոխակերպումները, իհարկե, կարող են իրականացվել յուրաքանչյուր առանձին կոտորակի հետ, որն ավելի բարդ արտահայտության մաս է, օրինակ՝ ներկայացնելով համանման կոտորակների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և գործակիցը։ Բայց բացի առանձին կոտորակների հետ աշխատելուց, նման արտահայտությունների փոխակերպումը հաճախ ենթադրում է կոտորակների հետ համապատասխան գործողություններ կատարելը: Հաջորդիվ, մենք կքննարկենք այն կանոնները, որոնցով իրականացվում են այդ գործողությունները:

5-6-րդ դասարաններից մենք գիտենք այն կանոնները, որոնցով . Հոդվածում կոտորակների հետ գործողությունների ընդհանուր տեսքմենք ընդլայնել ենք այս կանոնները սովորական կոտորակներից դեպի A/B ընդհանուր ձևի կոտորակներ, որտեղ A-ն և B-ն որոշ թվային, բառացի կամ փոփոխականներով արտահայտություններ են, իսկ B-ն նույնականորեն ոչ զրոյական է: Հասկանալի է, որ լոգարիթմներով կոտորակները ընդհանուր կոտորակների հատուկ դեպքեր են։ Եվ այս առումով պարզ է, որ իրենց գրառումներում լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ գործողությունները կատարվում են նույն կանոններով։ Այսինքն:

• Նույն հայտարարներով երկու կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար համապատասխանաբար գումարեք կամ հանեք համարիչները, իսկ հայտարարը թողեք նույնը:
• Տարբեր հայտարարներով երկու կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար հարկավոր է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի և կատարել համապատասխան գործողությունները՝ համաձայն նախորդ կանոնի։
• Երկու կոտորակ բազմապատկելու համար հարկավոր է գրել կոտորակ, որի համարիչը սկզբնական կոտորակների համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալը։
• Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է բաժանվող կոտորակը բազմապատկել բաժանարարի փոխադարձով, այսինքն՝ համարիչով և հայտարարով վերադասավորվող կոտորակով։

Ահա լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ գործողություններ կատարելու օրինակներ։

Օրինակ.

Կատարե՛ք գործողություններ լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ՝ ա), բ) , մեջ) , Գ) .

Լուծում.

ա) Ավելացված կոտորակների հայտարարներն ակնհայտորեն նույնն են. Հետևաբար, ըստ նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման կանոնի, մենք գումարում ենք համարիչները, իսկ հայտարարը թողնում ենք նույնը. .

բ) Այստեղ հայտարարները տարբեր են. Հետեւաբար, նախ ձեզ հարկավոր է կոտորակները բերել նույն հայտարարի. Մեր դեպքում հայտարարներն արդեն ներկայացված են որպես արտադրյալներ, և մեզ մնում է վերցնել առաջին կոտորակի հայտարարը և դրան ավելացնել երկրորդ կոտորակի հայտարարից բացակայող գործոնները։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք ձևի ընդհանուր հայտարար . Այս դեպքում հանված կոտորակները վերածվում են ընդհանուր հայտարարի՝ օգտագործելով լրացուցիչ գործոններ՝ համապատասխանաբար լոգարիթմի և x 2 ·(x+1) տեսքով: Դրանից հետո մնում է հանել նույն հայտարարներով կոտորակները, ինչը դժվար չէ։

Այսպիսով, լուծումը հետևյալն է.

գ) Հայտնի է, որ կոտորակների բազմապատկման արդյունքը կոտորակն է, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալն է, հետևաբար.

Հեշտ է տեսնել, որ դա հնարավոր է ֆրակցիայի կրճատումերկուսով և տասնորդական լոգարիթմով, արդյունքում ունենք .

դ) Կոտորակների բաժանումից անցնում ենք բազմապատկման՝ կոտորակ-բաժանարարը փոխարինելով իր փոխադարձով։ Այսպիսով

Ստացված կոտորակի համարիչը կարող է ներկայացվել այսպես , որից հստակ երևում է համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը՝ x գործակիցը, դրանով կարող եք կրճատել կոտորակը.

Պատասխան.

ա), բ) , մեջ) , Գ) .

Պետք է հիշել, որ կոտորակների հետ գործողություններն իրականացվում են՝ հաշվի առնելով գործողությունների կատարման հերթականությունը՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում, իսկ եթե կան փակագծեր, ապա առաջինը կատարվում են փակագծերի գործողություններ։

Օրինակ.

Կատարեք գործողություններ կոտորակներով .

Լուծում.

Սկզբում կատարում ենք փակագծերում կոտորակների գումարում, որից հետո կիրականացնենք բազմապատկում.

Պատասխան.

Այս պահին մնում է բարձրաձայն ասել երեք բավականին ակնհայտ, բայց միևնույն ժամանակ կարևոր կետեր.

Արտահայտությունների փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները

Ամենից հաճախ լոգարիթմներով արտահայտությունների փոխակերպումը ներառում է լոգարիթմի սահմանումն արտահայտող նույնականությունների օգտագործումը և . Օրինակ՝ հղում անելով a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 հիմնական լոգարիթմական նույնականությանը, մենք կարող ենք x−5 log 5 7 արտահայտությունը ներկայացնել որպես x−7, և բանաձևը անցում կատարելու համար։ գերանի նոր հիմքը , որտեղ a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 հնարավորություն է տալիս արտահայտությունից անցնել 1−lnx տարբերությանը։

Արմատների, հզորությունների, եռանկյունաչափական ինքնությունների հատկությունների կիրառում և այլն։

Լոգարիթմներով արտահայտությունները, բացի բուն լոգարիթմներից, գրեթե միշտ պարունակում են ուժեր, արմատներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և այլն։ Հասկանալի է, որ նման արտահայտությունները փոխակերպելու համար լոգարիթմների հատկությունների հետ մեկտեղ կարող են պահանջվել հզորությունների, արմատների հատկությունները և այլն։ Մենք առանձին-առանձին վերլուծել ենք հատկությունների յուրաքանչյուր բլոկի կիրառումը արտահայտությունների փոխակերպման համար, համապատասխան հոդվածների հղումները կարելի է գտնել կայքի բաժնում www.site արտահայտությունները և դրանց փոխակերպումը: Այստեղ մենք ցույց կտանք մի քանի օրինակների լուծումը հատկությունների օգտագործման վերաբերյալ լոգարիթմների հետ համատեղ:

Օրինակ.

Պարզեցնել արտահայտությունը .

Լուծում.

Նախ փոխակերպենք արմատներով արտահայտությունները։ ODZ x փոփոխականի վրա բնօրինակ արտահայտության համար (որը մեր դեպքում դրական իրական թվերի բազմություն է), կարող եք արմատներից անցնել կոտորակային ցուցիչներով հզորությունների, այնուհետև օգտագործել նույն հիմքերով ուժերը բազմապատկելու հատկությունը. . Այս կերպ,

Այժմ մենք ներկայացնում ենք համարիչը ձևով (որը թույլ է տալիս կատարել աստիճանի հատկությունը աստիճանով, անհրաժեշտության դեպքում տեսնել աստիճանների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպումը, ինչպես նաև թվի ներկայացումը, որը թույլ է տալիս փոխարինել սինուսի և քառակուսիների գումարը: Միևնույն փաստարկի կոսինուսը մեկով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք միավորը լոգարիթմի նշանի տակ: A, Ինչպես գիտեք, միասնության լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Գրենք կատարված փոխակերպումները.

Զրոն խորանարդում զրո է, ուստի մենք անցնում ենք արտահայտությանը .

Կոտորակը, որի համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը՝ ոչ զրոյի (մեր դեպքում դա ճիշտ է, քանի որ հեշտ է հիմնավորել, որ բնական լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտության արժեքը մեկից տարբեր է) հավասար է զրոյի։ . Այս կերպ,

Հետագա փոխակերպումները կատարվում են բացասական թվից կենտ աստիճանի արմատը որոշելու հիման վրա. .

Քանի որ 2 15-ը դրական թիվ է, ապա մենք կարող ենք կիրառել արմատների հատկությունները, որոնք հանգեցնում են վերջնական արդյունքի. .

Պատասխան.