حجم یک بدنه انقلاب محدود شده با خطوط را به صورت آنلاین پیدا کنید. نحوه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی با استفاده از انتگرال معین

مانند مشکل پیدا کردن منطقه، شما به مهارت های ترسیم مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می‌توانید با کمک مواد آموزشی و تبدیل‌های هندسی نمودارها بر یک تکنیک گرافیکی ماهر و سریع تسلط پیدا کنید. اما، در واقع، من قبلاً بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام.

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد، با استفاده از یک انتگرال معین می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول قوس، مساحت یک سطح را محاسبه کنید. انقلاب و خیلی چیزهای دیگر. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. ارائه کرده اید؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

- حول محور آبسیسا؛
- حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را پوشش خواهد داد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل عملاً مانند چرخش رایج تر حول محور آبسیسا است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این حتی آنقدر هم یک امتیاز نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

یک شکل صاف حول یک محور

مثال 1

حجم یک جامد را که با چرخاندن شکلی که با خطوطی حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل: همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با کشیدن یک شکل صاف شروع می شود... یعنی در یک هواپیما لازم است یک شکل محدود با خطوط ساخته شود و فراموش نکنید که این معادله محور را تعیین می کند. چگونه می توان یک نقاشی را کارآمدتر و سریعتر ساخت، می توانید در صفحات پیدا کنید نمودارها و خواص توابع ابتداییو انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل... این یک یادآوری چینی است و من دیگر در این مرحله متوقف نمی‌شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه می اندازد، این اوست که حول محور می چرخد.در نتیجه چرخش، چنین بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که در مورد محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما کتاب مرجع برای روشن کردن چیزی تنبل است، بنابراین ما جلوتر می رویم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

همیشه باید یک عدد قبل از انتگرال در فرمول وجود داشته باشد. این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم که چگونه می توان محدودیت های یکپارچه سازی "a" و "bh" را تعیین کرد، از نقشه تکمیل شده به راحتی قابل حدس زدن است.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید نگاهی به نقاشی بیندازیم. یک شکل صاف با یک نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در تمرینات عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف را در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است: بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است، که کاملاً منطقی است.

بیایید حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده است ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه انقلاب ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این همان تعداد مرد سبز کوچک است که تصور شما می تواند در بشقاب پرنده قرار دهد.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل محدود شده با خطوط تشکیل شده است، بیابید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

دو کار پیچیده تر را در نظر بگیرید که در عمل نیز رایج هستند.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش شکل محدود شده توسط خطوط حول محور آبسیسا به دست می آید، محاسبه کنید، و

راه حل: در نقاشی یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است بکشید، بدون اینکه فراموش کنید که معادله محور را مشخص می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی آن را حول محور بچرخانید، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت در حجم بدن.

ابتدا به شکل مشخص شده با رنگ قرمز نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. اجازه دهید حجم این مخروط کوتاه شده را مشخص کنیم.

شکل مشخص شده با رنگ سبز را در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را از طریق مشخص کنیم.

و بدیهی است که تفاوت حجم ها دقیقاً حجم «دونات» ماست.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل مشخص شده با رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود راه حل اغلب کوتاه تر می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند که پرلمن (یکی دیگر) در کتاب به آن اشاره کرده است هندسه جالب... به شکل مسطح در مسئله حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعاً بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی استدلال می کند و به ما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشیم. اخیراً چند فصل را با علاقه زیاد دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای علوم انسانی هم موجود است. نه، نیازی به لبخند زدن نیست که وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و دید وسیع در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از انحراف غزلی، فقط مناسب است که کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که از چرخش حول محور یک شکل مسطح با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید، جایی که.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در نوار اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های آماده ادغام در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، بگذارید مطالب درسی در مورد آن را به شما یادآوری کنم تبدیل هندسی نمودارها: اگر آرگومان بر دو بخش پذیر باشد، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. یافتن حداقل 3-4 امتیاز مطلوب است توسط جداول مثلثاتیبرای تکمیل دقیق تر نقاشی حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
یک شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز یک مهمان نسبتاً مکرر در آزمایشات است. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل یافتن مساحت یک شکلبه روش دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. این هم معنای عملی در زندگی دارد! همانطور که معلم روش تدریس من با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را به نحو مطلوب مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او تشکر عمیق خود را اعلام می کنم، به خصوص که من از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

خواندن آن را به همه حتی قوری های کامل توصیه می کنم. علاوه بر این، جذب مواد در بخش دوم در محاسبه انتگرال های دوگانه بسیار ارزشمند خواهد بود..

مثال 5

به شما یک شکل مسطح داده می شود که با خطوط،، محدود شده است.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن شکل صافی که توسط این خطوط حول یک محور محدود شده است، بدست آورید.

توجه!حتی اگر فقط بخواهید اول پاراگراف دوم را بخوانید لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را تعریف می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را تعریف می کند. در مقابل ما سهمی بی اهمیت است که "در کنار خود قرار دارد."

شکل مورد نیاز، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل... علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول اینکه دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال ها، و ریشه ها در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال دچار سردرگمی شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز می تواند بسیار غم انگیزتر باشد، من فقط توابع بهتری را برای این کار انتخاب کردم.

راه منطقی تری برای حل آن وجود دارد: این شامل عبور به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس بروم؟ به طور کلی، شما باید "X" را از طریق "Y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین بیرون کشید:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

حالا بیایید به محور نگاه کنیم: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکلی که ما نیاز داریم روی قسمتی است که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در این مورد، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً با آن آشنا هستید پیدا کنید: ... چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه داشته باشید: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

منطقه را پیدا کنید:

بنابراین در بخش:

به نحوه انجام ادغام توجه کنید، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در مورد صحت ادغام شک دارند، مشتقات را پیدا می کنم:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) بیایید حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم یک بدنه انقلاب، در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس بروید. این قبلاً در پاراگراف قبلی انجام شده و به تفصیل شرح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم بدنه انقلاب را باید به عنوان اختلاف در حجم یافت.

شکل مشخص شده با رنگ قرمز را حول محور بچرخانید و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می شود. بیایید این حجم را از طریق تعیین کنیم.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور بچرخانید و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش مشخص کنید.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

و در اینجا مزیت یکپارچه سازی است که اخیراً در مورد آن صحبت کردم، پیدا کردن آن بسیار آسان تر است به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

با این حال، یک پروانه بیمار.

توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملا متفاوتی خواهید داشت، البته با حجم متفاوت.

مثال 6

یک شکل صاف به شما داده می شود که با خطوط و یک محور محدود شده است.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام کردن روی یک متغیر، مساحت یک شکل صاف را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح که توسط این خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. علاقه مندان همچنین می توانند مساحت شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب نقطه 1 را بررسی کنند). اما اگر تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول یک محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی با حجم متفاوت به دست خواهید آورد، اتفاقاً پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند حل کنند).

حل کامل دو نکته پیشنهادی تکلیف در پایان درس.

آه، و فراموش نکنید که برای درک بدنه های انقلاب و درون یکپارچگی، سر خود را به سمت راست متمایل کنید!

چگونه با استفاده از یک انتگرال معین حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

بعلاوه یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه انقلاب... مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: شما باید بتوانید حل کنید انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط داشته و فرمول نیوتن-لایبنیتس را در آن اعمال کنید انتگرال معین ... مانند مشکل پیدا کردن منطقه، شما به مهارت های ترسیم مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با کمک مواد روش شناختی بر یک تکنیک نموداری ماهر و سریع تسلط پیدا کنید ... اما، در واقع، من قبلاً بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد، با استفاده از یک انتگرال معین می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول یک قوس، مساحت سطح یک را محاسبه کنید. بدن، و خیلی بیشتر. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

– حول محور آبسیسا؛ - حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را پوشش خواهد داد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل عملاً مانند چرخش رایج تر حول محور آبسیسا است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل ، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این حتی آنقدر هم یک امتیاز نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

مثال 1

حجم یک جامد را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با کشیدن یک شکل صاف شروع می شود... یعنی در هواپیما لازم است یک شکل محدود با خطوط بسازید؛ در عین حال، فراموش نکنید که معادله محور را تعیین می کند. چگونه می توان یک نقاشی را کارآمدتر و سریعتر انجام داد، می توانید در صفحات پیدا کنید نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل ... این یک یادآوری چینی است و من دیگر در این مرحله متوقف نمی‌شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است و این اوست که حول محور می چرخد. نتیجه چرخش، بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل است که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما کتاب مرجع برای نگاه کردن به آن تنبل است، بنابراین ما جلوتر می رویم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید نگاهی به نقاشی بیندازیم. یک شکل صاف با یک نمودار سهمی در بالا محدود شده است. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در تمرینات عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف را در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است: بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است.

بیایید حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده است ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

مثال 2

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

دو کار پیچیده تر را در نظر بگیرید که در عمل نیز رایج هستند.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش شکل محدود شده توسط خطوط حول محور آبسیسا به دست می آید، محاسبه کنید، و

راه حل:یک شکل صاف در نقاشی بکشید که با خطوط،،، محدود شده است، فراموش نکنید که این معادله محور را تعیین می کند:

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت در حجم بدن.

و بدیهی است که تفاوت حجم ها دقیقاً حجم «دونات» ماست.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل مشخص شده با رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود راه حل اغلب کوتاه تر می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه آن یکی) در کتاب متوجه آن شده است. هندسه جالب... به شکل مسطح در مسئله حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعاً بهترین بود. همان کتاب پرلمن که توسط او در سال 1950 نوشته شده است، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی استدلال می کند و می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه زیاد دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای علوم انسانی هم موجود است. نه، نیازی به لبخند زدن نیست که وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و دید وسیع در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از انحراف غزلی، فقط مناسب است که کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که از چرخش حول محور یک شکل مسطح با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید، جایی که.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در نوار اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های تقریبا آماده ادغام داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود: سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید توسط جداول مثلثاتی و با دقت بیشتری نقشه را اجرا کنید. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز یک مهمان نسبتاً مکرر در آزمایشات است. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل یافتن مساحت یک شکل به روش دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. این هم معنای عملی در زندگی دارد! همانطور که معلم روش تدریس من با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را به نحو مطلوب مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او تشکر عمیق خود را اعلام می کنم، به خصوص که من از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

به شما یک شکل مسطح داده می شود که با خطوط محدود شده است،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید. 2) حجم جسمی را که با چرخاندن شکل صافی که توسط این خطوط حول یک محور محدود شده است، بدست آورید.

توجه!حتی اگر فقط بخواهید اول پاراگراف دوم را بخوانید لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار دارای دو بخش است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نیاز، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل ... علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود: - در بخش ; - در بخش

از همین رو:

راه منطقی تری برای حل آن وجود دارد: این شامل عبور به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس بروم؟ به طور کلی، شما باید "X" را از طریق "Y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین بیرون کشید:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

حالا بیایید به محور نگاه کنیم: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکلی که ما نیاز داریم روی قسمتی است که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در این مورد، در قسمت، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: ... چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شودبه شدت از پایین به بالا !

منطقه را پیدا کنید:

بنابراین در بخش:

به نحوه انجام ادغام توجه کنید، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در مورد صحت ادغام شک دارند، مشتقات را پیدا می کنم:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) بیایید حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور بچرخانید و با حجم بدنه حاصل از چرخش مشخص کنید.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

تعریف 3. جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک شکل مسطح حول محوری به دست می آید که شکل را قطع نمی کند و در همان صفحه با آن قرار دارد.

محور چرخش در صورتی که محور تقارن شکل باشد می تواند شکل را قطع کند.

قضیه 2.
، محور
و قطعات خط
و

حول یک محور می چرخد
... سپس حجم چرخش حاصل را می توان با فرمول محاسبه کرد

(2)

اثبات برای چنین بدنه، بخش با آبسیسا دایره ای با شعاع است
، به معنای
و فرمول (1) نتیجه لازم را می دهد.

اگر شکل با نمودارهای دو تابع پیوسته محدود شود
و
، و بخش های خط
و
، علاوه بر این
و
، سپس هنگام چرخش حول محور آبسیسا جسمی به دست می آید که حجم آن است

مثال 3. حجم چنبره ای را که با چرخاندن دایره ای محدود به دایره به دست می آید، محاسبه کنید

حول محور آبسیسا

آر راه حل. دایره زیر با نمودار تابع محدود می شود
، و از بالا -
... تفاوت مربع های این توابع:

حجم مورد نظر

(گراف انتگرال نیم دایره بالایی است، بنابراین انتگرال نوشته شده در بالا مساحت نیم دایره است).

مثال 4. بخش سهموی با پایه
، و ارتفاع ، دور پایه می چرخد. حجم جسم به دست آمده (لیموی کاوالیری) را محاسبه کنید.

آر راه حل. سهمی را همانطور که در شکل نشان داده شده است قرار دهید. سپس معادله آن
، و
... مقدار پارامتر را پیدا کنید :
... بنابراین، حجم مورد نیاز:

قضیه 3. اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی با نمودار یک تابع غیر منفی پیوسته محدود شود
، محور
و قطعات خط
و
، علاوه بر این
، حول محور می چرخد
... سپس حجم بدنه حاصل از انقلاب را می توان با فرمول پیدا کرد

(3)

ایده اثبات. ما بخش را تقسیم کردیم
نقطه ها

، به قطعات تقسیم شده و خطوط مستقیم بکشید
... کل ذوزنقه به نوارهایی تجزیه می شود که تقریباً می توان آنها را مستطیل هایی با پایه در نظر گرفت.
و ارتفاع
.

سیلندر حاصل از چرخش چنین مستطیلی در امتداد ژنراتیکس بریده شده و منبسط می شود. ما یک متوازی الاضلاع "تقریبا" با ابعاد دریافت می کنیم:
,
و
... حجم آن
... بنابراین، برای حجم یک بدنه انقلاب یک برابری تقریبی خواهیم داشت

برای به دست آوردن برابری دقیق، لازم است تا حد مجاز در
... مجموع نوشته شده در بالا مجموع انتگرال تابع است
بنابراین، در حد، انتگرال را از فرمول (3) بدست می آوریم. قضیه ثابت می شود.

تبصره 1. در قضایای 2 و 3 شرط
را می توان حذف کرد: فرمول (2) به طور کلی به علامت غیر حساس است
، و در فرمول (3) کافی است
جایگزین توسط
.

مثال 5. بخش سهموی (پایه
، ارتفاع ) حول ارتفاع می چرخد. حجم جسم حاصل را بیابید.

راه حل. سهمی را همانطور که در شکل نشان داده شده است قرار دهید. و اگرچه محور چرخش از شکل عبور می کند، آن - محور - محور تقارن است. بنابراین، فقط نیمه سمت راست بخش باید در نظر گرفته شود. معادله سهمی
، و
، به معنای
... برای حجم داریم:

تبصره 2. اگر مرز منحنی ذوزنقه منحنی را با معادلات پارامتری به دست آوریم
,
,
و
,
سپس فرمول های (2) و (3) را می توان با جایگزین استفاده کرد بر
و
بر
وقتی تغییر می کند تیاز جانب
قبل از .

مثال 6. شکل توسط اولین قوس سیکلوئید محدود شده است
,
,
، و آبسیسا. حجم جسم را که با چرخاندن این شکل حول: 1) محور به دست می آید، بیابید
; 2) محورها
.

راه حل. 1) فرمول کلی
در مورد ما:

2) فرمول کلی
برای شکل ما:

ما از دانش آموزان دعوت می کنیم تا همه محاسبات را به تنهایی انجام دهند.

تبصره 3. بگذارید بخش منحنی با یک خط پیوسته محدود شود
و پرتوها
,

، حول محور قطبی می چرخد. حجم بدن حاصل را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

مثال 7. بخشی از شکل محدود شده توسط کاردیوئید
خارج از دایره
، حول محور قطبی می چرخد. حجم بدن را که در این حالت به دست می آید را بیابید.

راه حل. هر دو خط، و از این رو شکلی که آنها را محدود می کنند، در مورد محور قطبی متقارن هستند. بنابراین باید تنها بخشی را در نظر گرفت که برای آن
... منحنی ها در همدیگر تلاقی می کنند
و

در
... علاوه بر این، رقم را می توان به عنوان تفاوت بین دو بخش در نظر گرفت و بنابراین حجم را می توان به عنوان تفاوت بین دو انتگرال محاسبه کرد. ما داریم:

وظایف برای یک راه حل مستقل

1-قطعه مدور که قاعده آن
، ارتفاع ، دور پایه می چرخد. حجم یک بدنه انقلاب را پیدا کنید.

2. حجم یک پارابولوئید انقلاب را که پایه آن است، بیابید و ارتفاع است .

3. رقم محدود شده توسط astroid
,
حول محور آبسیسا می چرخد. حجم جسمی که در این حالت به دست می آید را بیابید.

4. شکلی که با خطوط محدود شده است
و
حول محور آبسیسا می چرخد. حجم یک بدنه انقلاب را پیدا کنید.

استفاده از انتگرال برای یافتن حجم بدنه های انقلاب

سودمندی عملی ریاضیات به این دلیل است که بدون

دانش ریاضی خاص برای درک اصول دستگاه و استفاده از فناوری مدرن دشوار است. هر فرد در زندگی خود باید محاسبات نسبتاً پیچیده ای را انجام دهد، از فناوری رایج استفاده کند، فرمول های لازم را در کتاب های مرجع پیدا کند و الگوریتم های ساده ای برای حل مسائل بنویسد. در جامعه مدرن، تخصص های بیشتری که نیاز به سطح تحصیلات بالایی دارند با کاربرد مستقیم ریاضیات مرتبط هستند. بنابراین، برای یک دانش آموز، ریاضیات به یک موضوع حرفه ای مهم تبدیل می شود. نقش اصلی به ریاضیات در شکل گیری تفکر الگوریتمی تعلق دارد، توانایی عمل بر اساس یک الگوریتم معین و طراحی الگوریتم های جدید را تقویت می کند.

با مطالعه مبحث استفاده از انتگرال برای محاسبه احجام اجسام انقلاب، از دانش آموزان دعوت می کنم در کلاس های اختیاری موضوع: "حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال" را در نظر بگیرند. در زیر دستورالعمل هایی برای در نظر گرفتن این موضوع وجود دارد:

1. مساحت شکل صاف.

از درس جبر می دانیم که مسائل عملی به مفهوم انتگرال معین منجر شده است..gif "width =" 88 "height =" 51 ">. Jpg" width = "526" height = "262 src =" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "width =" 127 "height =" 25 src = ">.

برای یافتن حجم یک جسم چرخشی که از چرخش ذوزنقه منحنی حول محور Оx، محدود به خط چین y = f (x)، محور Оx، خطوط مستقیم x = a و x = b تشکیل شده است، محاسبه می کنیم. فرمول

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "width =" 352 "height =" 283 src = "> Y

3. حجم سیلندر.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "width =" 85 "height =" 51 "> .. gif" width = "13" height = "25"> .. jpg " width = "401" height = "355"> مخروط با چرخاندن یک مثلث قائم الزاویه ABC (C = 90) حول محور Ox که پایه AC روی آن قرار دارد به دست می آید.

قطعه AB روی خط مستقیم y = kx + c قرار دارد، جایی که https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "width =" 59 "height =" 41 src = ">.

بگذارید a = 0، b = H (H ارتفاع مخروط است)، سپس Vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "width =" 13 "height =" 23 src = ">.

5. حجم مخروط بریده شده.

با چرخاندن ذوزنقه مستطیلی شکل ABCD (CDOx) حول محور Ox می‌توان یک مخروط کوتاه به دست آورد.

قطعه AB روی خط مستقیم y = kx + c قرار دارد، جایی که ، c = r.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه A می گذرد (0; r).

بنابراین، خط مستقیم به نظر می رسد https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width =" 303 "height =" 291 src = ">

بگذارید a = 0، b = H (H ارتفاع مخروط کوتاه شده است)، سپس https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "width =" 36 "height =" 17 src = "> = .

6. حجم کره.

توپ را می توان با چرخاندن دایره ای با مرکز (0؛ 0) حول محور Ox به دست آورد. نیم دایره ای که بالای محور Ox قرار دارد با این معادله به دست می آید

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> x R.

موضوع: "محاسبه حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال معین"

نوع درس:ترکیب شده.

هدف از درس:یاد بگیرید که حجم اجسام چرخشی را با استفاده از انتگرال محاسبه کنید.

وظایف:

برای تجمیع توانایی انتخاب ذوزنقه های منحنی از تعدادی اشکال هندسی و تمرین مهارت محاسبه مساحت ذوزنقه های منحنی.

با مفهوم شکل حجمی آشنا شوید.

یاد بگیرید که حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.

توسعه تفکر منطقی، گفتار ریاضی شایسته، دقت در ساختن نقاشی ها را ترویج دهید.

پرورش علاقه به موضوع، عمل کردن با مفاهیم و تصاویر ریاضی، تقویت اراده، استقلال، پشتکار در دستیابی به نتیجه نهایی.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

احوالپرسی گروهی ابلاغ اهداف درس به دانش آموزان.

می خواهم درس امروز را با یک مثل شروع کنم. «حکیمی بود که همه چیز را می دانست. یک نفر می خواست ثابت کند که حکیم همه چیز را نمی داند. پروانه را در کف دستانش گرفت و پرسید: حکیم بگو کدام پروانه در دست من است مرده یا زنده؟ و خود او فکر می کند: "زندگی می گوید - من مرده ام، مرده می گوید - من او را آزاد می کنم". حکیم در حال تفکر پاسخ داد: همه چیز در دست توست.

بنابراین بیایید امروز مثمر ثمر کار کنیم، ذخایر جدیدی از دانش به دست آوریم و مهارت ها و توانایی های به دست آمده را در زندگی آینده و فعالیت عملی خود به کار ببریم.«همه چیز در دستان شماست».

II. تکرار مطالبی که قبلا مطالعه شده است.

بیایید نکات اصلی مطالب قبلاً مورد مطالعه را به یاد بیاوریم. برای انجام این کار، ما وظیفه "حذف کلمه اضافی" را انجام می دهیم.

(دانش آموزان یک کلمه اضافی می گویند.)

درست "دیفرانسیل".سعی کنید کلمات باقی مانده را با یک کلمه کلی نام گذاری کنید. (حساب انتگرال.)

بیایید مراحل اصلی و مفاهیم مرتبط با حساب انتگرال را به یاد بیاوریم.

ورزش.شکاف ها را بازیابی کنید. (دانش آموز بیرون می آید و کلمات لازم را با نشانگر می نویسد.)

در نوت بوک کار کنید.

فرمول نیوتن-لایب نیتس توسط فیزیکدان انگلیسی، آیزاک نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) مشتق شده است. و این تعجب آور نیست، زیرا ریاضیات زبانی است که خود طبیعت به آن صحبت می کند.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه از این فرمول در حل وظایف عملی استفاده می شود.

مثال 1: مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل:اجازه دهید نمودار توابع را روی صفحه مختصات رسم کنیم ... ناحیه شکل مورد نظر را انتخاب کنید.

III. یادگیری مطالب جدید.

به صفحه نمایش توجه کنید. در تصویر اول چه چیزی نشان داده شده است؟ (شکل یک شکل صاف را نشان می دهد.)

در تصویر دوم چه چیزی نشان داده شده است؟ آیا این رقم صاف است؟ (شکل یک شکل سه بعدی را نشان می دهد.)

در فضا، روی زمین و در زندگی روزمره، نه تنها با ارقام مسطح، بلکه سه بعدی نیز مواجه می شویم، اما چگونه می توان حجم چنین اجسامی را محاسبه کرد؟ به عنوان مثال: حجم یک سیاره، دنباله دار، شهاب سنگ و غیره.

آنها هم هنگام ساختن خانه ها و هم در ریختن آب از یک ظرف به ظرف دیگر به حجم فکر می کنند. قوانین و تکنیک های محاسبه احجام باید به وجود می آمد، این که چقدر دقیق و مستدل بود، بحث دیگری است.

سال 1612 برای ساکنان شهر لینز اتریش، جایی که در آن زمان، یوهانس کپلر، ستاره شناس معروف، به ویژه برای انگور زندگی می کرد، بسیار پربار بود. مردم در حال آماده کردن بشکه های شراب بودند و می خواستند بدانند که چگونه به طور عملی حجم آنها را تعیین کنند.

بنابراین، آثار مورد توجه کپلر پایه و اساس یک جریان کامل از مطالعات را که در ربع آخر قرن هفدهم به اوج خود رسید، گذاشت. ثبت نام در آثار I. Newton و G.V. حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس. از آن زمان، ریاضیات متغیرهای عظمت جایگاه پیشرو در سیستم دانش ریاضی را به خود اختصاص داده است.

امروز با شما هستیم و در چنین فعالیت های عملی شرکت خواهیم کرد، بنابراین،

موضوع درس ما "محاسبه حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال معین" است.

با انجام کار زیر با تعریف بدنه انقلاب آشنا خواهید شد.

"هزارتو".

ورزش.راهی برای خروج از سردرگمی پیدا کنید و تعریف را یادداشت کنید.

IVمحاسبه احجام.

با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید حجم یک جسم، به ویژه، یک بدنه چرخشی را محاسبه کنید.

جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک ذوزنقه منحنی به دور قاعده آن به دست می آید (شکل 1 و 2).

حجم یک بدنه چرخشی با استفاده از یکی از فرمول ها محاسبه می شود:

1. حول محور OX

2. اگر چرخش ذوزنقه منحنی حول محور سیستم عامل

دانش آموزان فرمول های اساسی را در یک دفتر یادداشت می نویسند.

مربی راه حل را با مثال هایی روی تخته توضیح می دهد.

1. حجم جسمی را که با چرخاندن ذوزنقه منحنی حول محور ارتین به دست می آید را بیابید که با خطوط محدود شده است: x2 + y2 = 64، y = -5، y = 5، x = 0.

راه حل.

جواب: 1163 سانتی متر مکعب.

2. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه سهموی حول محور آبسیسا را بیابید. y =، x = 4، y = 0.

راه حل.

V... شبیه ساز ریاضی

2. مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین نامیده می شود

الف) انتگرال نامعین،

ب) عملکرد،

ج) تمایز

7. حجم جسمی را که با چرخاندن ذوزنقه منحنی حول محور آبسیسا به دست می آید که با خطوط محدود شده است را بیابید:

D/Z. ایمن سازی مواد جدید

محاسبه حجم جسمی که از چرخش گلبرگ به دور محور آبسیسا تشکیل شده است. y = x2، y2 = x.

بیایید نمودارهای تابع را بسازیم. y = x2، y2 = x. نمودار y2 = x را به شکل y = تبدیل می کنیم.

V = V1 - V2 داریم بیایید حجم هر تابع را محاسبه کنیم:

خروجی:

یک انتگرال قطعی پایه ای برای مطالعه ریاضیات است که کمکی بی بدیل در حل مسائل محتوای عملی می کند.

موضوع "انتگرال" به وضوح ارتباط بین ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و فناوری را نشان می دهد.

توسعه علم مدرن بدون استفاده از یک انتگرال غیر قابل تصور است. در این راستا باید در چارچوب آموزش متوسطه تخصصی شروع به مطالعه کرد!

VI... درجه بندی.(همراه با تفسیر.)

عمر خیام بزرگ ریاضیدان، شاعر، فیلسوف است. او دعوت می کند که ارباب سرنوشت شما باشید. گزیده ای از آثار او را می شنویم:

خواهی گفت این زندگی یک لحظه است.
قدر او را بدانید، از او الهام بگیرید.
همانطور که آن را خرج می کنید، می گذرد.
فراموش نکنید: او مخلوق شماست.

حجم یک بدنه انقلاب محدود شده با خطوط را به صورت آنلاین پیدا کنید. نحوه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی با استفاده از انتگرال معین

یک شکل صاف حول یک محور

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شودیک شکل صاف حول یک محور

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
یک شکل صاف حول یک محور