نماد متعلق است. نشانه های ریاضی
بی نهایت.جی والیس (1655).
اولین بار در رساله ریاضیدان انگلیسی جان ولیس "درباره مقاطع مخروطی" مشاهده شد.
پایه لگاریتم های طبیعی ال اویلر (1736).
ثابت ریاضی، عدد ماورایی. این شماره گاهی اوقات نامیده می شود نپروفبه افتخار اسکاتلندی هادانشمند ناپیر، نویسنده کار "توضیح جدول شگفت انگیز لگاریتم ها" (1614). برای اولین بار، ثابت به طور ضمنی در ضمیمه ترجمه انگلیسی اثر فوق الذکر ناپیر، منتشر شده در سال 1618 وجود دارد. همان ثابت ابتدا توسط ژاکوب برنولی، ریاضیدان سوئیسی، در مسیر حل مسئله ارزش نهایی درآمد بهره محاسبه شد.
2,71828182845904523...
اولین استفاده شناخته شده از این ثابت، جایی که با حرف نشان داده می شد ب، در نامه های لایب نیتس به هویگنس، 1690-1691 یافت می شود. حرف هدر سال 1727 شروع به استفاده از اویلر کرد و اولین چاپ با این نامه اثر او "مکانیک، یا علم حرکت، تشریح تحلیلی" در سال 1736 بود. به ترتیب، همعمولا نامیده می شود شماره اویلر... چرا نامه انتخاب شد ه، دقیقاً معلوم نیست. شاید این به این دلیل است که کلمه با آن شروع می شود نمایی("نمایی"، "نمای"). فرض دیگر این است که حروف آ, ب, جو دقبلاً به طور گسترده برای مقاصد دیگر استفاده می شد و هاولین نامه "رایگان" بود.
نسبت محیط به قطر. دبلیو جونز (1706)، ال. اویلر (1736).
یک عدد ثابت ریاضی، یک عدد غیر منطقی. عدد پی، نام قدیمی آن عدد لودولف است. مانند هر عدد غیر منطقی، π با یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی نشان داده می شود:
π = 3.141592653589793 ...
برای اولین بار تعیین این عدد با حرف یونانی π توسط ریاضیدان بریتانیایی ویلیام جونز در کتاب "مقدمه ای جدید بر ریاضیات" استفاده شد و پس از آثار لئونارد اویلر به طور کلی پذیرفته شد. این نام گذاری از حرف اولیه کلمات یونانی περιφερεια - دایره، پیرامون و περιμετρος - محیط می آید. یوهان هاینریش لمبرت غیرمنطقی بودن π را در سال 1761 و آدرین ماری لژاندر در سال 1774 غیرمنطقی بودن π 2 را ثابت کردند. لژاندر و اویلر فرض کردند که π می تواند ماورایی باشد، یعنی. نمی تواند هیچ معادله جبری را با ضرایب صحیح برآورده کند، که در نهایت در سال 1882 توسط فردیناند فون لیندمان اثبات شد.
واحد خیالی L. Euler (1777، در حال چاپ - 1794).
معلوم است که معادله x 2 = 1دو ریشه دارد: 1 و -1 ... واحد خیالی یکی از دو ریشه معادله است x 2 = -1، که با یک حرف لاتین مشخص می شود من، یک ریشه دیگر: -من... این نامگذاری توسط لئونارد اویلر پیشنهاد شد که اولین حرف کلمه لاتین را برای آن انتخاب کرد خیالی(خیالی). او همچنین تمام توابع استاندارد را به منطقه پیچیده گسترش داد، یعنی. مجموعه اعداد قابل نمایش در فرم a + ib، جایی که آو ب- اعداد واقعی. اصطلاح «عدد مختلط» به طور گسترده توسط کارل گاوس، ریاضیدان آلمانی در سال 1831 استفاده شد، اگرچه این اصطلاح قبلاً توسط ریاضیدان فرانسوی لازار کارنو در سال 1803 به همین معنی استفاده می شد.
بردارهای واحد دبلیو همیلتون (1853).
بردارهای واحد اغلب با محورهای مختصات سیستم مختصات (به ویژه با محورهای سیستم مختصات دکارتی) مرتبط هستند. بردار واحد جهت دار در امتداد محور NS، نشان داده شده است من، بردار واحد هدایت شده در امتداد محور Y، نشان داده شده است jو بردار واحد در امتداد محور هدایت شده است ز، نشان داده شده است ک... بردارها من, j, ک Ort نامیده می شوند، آنها دارای ماژول واحد هستند. اصطلاح "ort" توسط ریاضیدان انگلیسی، مهندس Oliver Heaviside (1892) معرفی شد. من, j, ک- ریاضیدان ایرلندی ویلیام همیلتون.
قسمت کامل عدد، antje. K. Gauss (1808).
قسمت صحیح عدد [x] عدد x بزرگترین عدد صحیح است که از x تجاوز نمی کند. بنابراین، = 5، [-3.6] = - 4. تابع [x] را "antje of x" نیز می نامند. نماد تابع "قسمت صحیح" توسط کارل گاوس در سال 1808 معرفی شد. برخی از ریاضیدانان ترجیح می دهند به جای آن از علامت E (x) که در سال 1798 توسط لژاندر پیشنهاد شد استفاده کنند.
زاویه موازی. N.I. لوباچفسکی (1835).
در هواپیمای لوباچفسکی - زاویه بین خط مستقیمبعبور از نقطهOموازی مستقیمآفاقد نقطهO، و عمود بر ازOبر آ. α طول این عمود است. همانطور که نقطه حذف شده استOاز مستقیم آزاویه موازی از 90 درجه به 0 درجه کاهش می یابد. لوباچفسکی فرمولی برای زاویه موازی ارائه کردNS( α ) = 2arctg e - α / q , جایی که q- مقداری ثابت مرتبط با انحنای فضای لوباچفسکی.
مقادیر ناشناخته یا متغیر آر دکارت (1637).
در ریاضیات، متغیر کمیتی است که با مجموعه ای از مقادیر مشخص می شود که می تواند بگیرد. این می تواند هم به معنای یک کمیت فیزیکی واقعی باشد که به طور موقت جدا از بافت فیزیکی آن در نظر گرفته می شود و هم به معنای کمیت انتزاعی است که در دنیای واقعی مشابهی ندارد. مفهوم متغیر در قرن هفدهم به وجود آمد. در ابتدا تحت تأثیر خواسته های علوم طبیعی، که مطالعه حرکت، فرآیندها و نه فقط حالت ها را برجسته می کرد. این مفهوم برای بیان خود نیاز به اشکال جدیدی داشت. جبر الفبایی و هندسه تحلیلی توسط رنه دکارت فقط از این قبیل اشکال جدید بودند. برای اولین بار یک سیستم مختصات مستطیلی و عناوین x، y توسط رنه دکارت در اثر خود "گفتمان در مورد روش" در سال 1637 معرفی شد. پیر فرما نیز به توسعه روش مختصات کمک کرد، اما آثار او برای اولین بار پس از مرگش منتشر شد. دکارت و فرما از روش مختصات فقط در هواپیما استفاده کردند. روش مختصات برای فضای سه بعدی اولین بار توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم به کار گرفته شد.
بردار. او کوشی (1853).
از ابتدا، بردار به عنوان جسمی شناخته می شود که دارای قدر، جهت و (به صورت اختیاری) یک نقطه کاربردی است. مبانی حساب بردار همراه با مدل هندسی اعداد مختلط توسط گاوس (1831) ظاهر شد. عملیات توسعه یافته با بردارها توسط همیلتون به عنوان بخشی از حساب کواترنیونی او منتشر شد (بردار توسط اجزای خیالی کواترنیون تشکیل شد). همیلتون خود این اصطلاح را ابداع کرد بردار(از کلمه لاتین بردار, حامل) و برخی از عملیات تحلیل برداری را شرح داد. این فرمالیسم توسط ماکسول در آثارش در مورد الکترومغناطیس مورد استفاده قرار گرفت و از این طریق توجه دانشمندان را به یک حساب جدید جلب کرد. عناصر تحلیل برداری گیبس (دهه 1880) به زودی منتشر شد و سپس هیوساید (1903) به تحلیل برداری ظاهری مدرن داد. خود علامت برداری توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئی کوشی در سال 1853 به کار گرفته شد.
جمع، تفریق. جی ویدمن (1489).
علائم مثبت و منفی ظاهراً در مدرسه ریاضی آلمانی "kossists" (یعنی جبرگرایان) اختراع شد. آنها در کتاب درسی یان (یوهانس) ویدمن، شمارش سریع و خوب برای همه معامله گران، منتشر شده در سال 1489 استفاده شده است. قبل از آن، اضافه با حرف نشان داده می شد پ(از لاتین به علاوه"بیشتر") یا کلمه لاتین et(ضرب ربط «و»)، و تفریق یک حرف است متر(از لاتین منهای"کمتر، کمتر"). در ویدمن، نماد به علاوه نه تنها جایگزین، بلکه جایگزین "و" می شود. منشا این نمادها نامشخص است، اما به احتمال زیاد قبلاً از آنها در معاملات به عنوان شاخص سود و زیان استفاده می شد. هر دو نماد به زودی در اروپا رایج شدند - به استثنای ایتالیا که حدود یک قرن از نام های قدیمی استفاده می کرد.
ضرب. W. Outred (1631)، H. Leibniz (1698).
علامت ضرب به شکل صلیب مورب در سال 1631 توسط ویلیام اوترد انگلیسی معرفی شد. قبل از او اغلب از این نامه استفاده می شد م، اگرچه نامگذاری های دیگری پیشنهاد شد: نماد یک مستطیل (ریاضیدان فرانسوی اریگون، 1634)، یک ستاره (ریاضیدان سوئیسی یوهان ران، 1659). بعداً گوتفرید ویلهلم لایب نیتس صلیب را با یک نقطه (پایان قرن هفدهم) جایگزین کرد تا آن را با حرف اشتباه نگیرد. ایکس; قبل از او، چنین نمادگرایی در میان ستاره شناس و ریاضیدان آلمانی Regiomontanus (قرن پانزدهم) و دانشمند انگلیسی توماس هاریوت (1560-1621) یافت شد.
بخش. I. Rahn (1659)، G. Leibniz (1684).
ویلیام اوترد از اسلش جلو / به عنوان علامت تقسیم استفاده کرد. گوتفرید لایبنیتس شروع به نشان دادن تقسیم با دو نقطه کرد. قبل از آنها، نامه نیز اغلب استفاده می شد دی... با شروع از فیبوناچی، از خط افقی کسر نیز استفاده می شود که توسط هرون، دیوفانتوس و در نوشته های عربی استفاده شده است. در انگلستان و ایالات متحده، نماد ÷ (ابلوس) رایج شد که توسط یوهان ران (احتمالاً با مشارکت جان پل) در سال 1659 پیشنهاد شد. تلاش کمیته استانداردهای ملی ریاضی آمریکا ( کمیته ملی الزامات ریاضی) خارج کردن obelus از تمرین (1923) ناموفق بود.
درصد M. de la Port (1685).
یک صدم کل، به عنوان یک گرفته شده است. خود کلمه "درصد" از کلمه لاتین "pro centum" گرفته شده است که به معنای "در صد" است. در سال 1685 کتاب «راهنمای حساب تجاری» نوشته ماتیو دو لا پورتا در پاریس منتشر شد. در یک جا، درصدها بود که سپس مخفف «cto» (مخفف cento) بود. با این حال، حروف‌نویس این «cto» را با کسری اشتباه گرفته و «%» را چاپ می‌کند. بنابراین به دلیل چاپ اشتباه این علامت مورد استفاده قرار گرفت.
درجه. R. Descartes (1637)، I. Newton (1676).
نماد مدرن توان توسط رنه دکارت در کتاب خود معرفی شد. هندسه ها"(1637)، اما، فقط برای درجات طبیعی با توان های بزرگتر از 2. بعدها، اسحاق نیوتن این شکل از نشانه گذاری را به توان های منفی و کسری (1676) گسترش داد، که تفسیر آنها قبلاً در این زمان ارائه شده بود: ریاضیدان فلاندری و مهندس سیمون استوین، ریاضیدان انگلیسی جان والیس و ریاضیدان فرانسوی آلبر ژیرار.
ریشه حسابی n-ام قدرت یک عدد واقعی آ≥0، یک عدد غیر منفی است n- درجه از آن است آ... ریشه حسابی درجه 2 را جذر می گویند و بدون تعیین درجه می توان آن را نوشت: √. ریشه حسابی درجه 3 را ریشه مکعب می گویند. ریاضیدانان قرون وسطی (به عنوان مثال، کاردانو) ریشه دوم را با نماد Rx (از لاتین) نشان می دادند. رادیکس، ریشه). نام مدرن برای اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی کریستوف رودولف، از مدرسه کوسیست، در سال 1525 استفاده شد. این نماد از حرف اول تلطیف شده همان کلمه می آید ریشه... خط بالای عبارت رادیکال در ابتدا وجود نداشت. بعداً توسط دکارت (1637) برای هدفی متفاوت (به جای براکت) معرفی شد و این ویژگی به زودی با علامت ریشه ادغام شد. ریشه مکعبی در قرن شانزدهم به شرح زیر تعیین شد: R x .u.cu (از لات. Radix universalis cubica). آلبر ژیرارد (1629) شروع به استفاده از نامگذاری معمولی یک ریشه درجه دلخواه کرد. این قالب به لطف اسحاق نیوتن و گوتفرید لایب نیتس تثبیت شد.
لگاریتم، لگاریتم اعشاری، لگاریتم طبیعی. I. Kepler (1624)، B. Cavalieri (1632)، A. Prinsheim (1893).
اصطلاح "لگاریتم" متعلق به ریاضیدان اسکاتلندی جان ناپیر است. "شرح جدول شگفت انگیز لگاریتم"، 1614)؛ از ترکیب کلمات یونانی λογος (کلمه، رابطه) و αριθμος (عدد) بوجود آمده است. لگاریتم جی ناپیر یک عدد کمکی برای اندازه گیری نسبت دو عدد است. تعریف مدرن لگاریتم اولین بار توسط ریاضیدان انگلیسی ویلیام گاردینر (1742) ارائه شد. طبق تعریف، لگاریتم یک عدد ببا دلیل آ (آ ≠ 1، a> 0) - توان مترکه باید عدد را به آن افزایش داد آ(به نام پایه لگاریتم) برای بدست آوردن ب... نشان داده شده است ورود ب.بنابراین، m = ورود به سیستم a ب, اگر a m = b.
اولین جداول لگاریتم اعشاری در سال 1617 توسط هنری بریگز، استاد ریاضیات آکسفورد منتشر شد. بنابراین، در خارج از کشور، لگاریتم های اعشاری اغلب لگاریتم بریگز نامیده می شوند. اصطلاح "لگاریتم طبیعی" توسط پیترو منگولی (1659) و نیکلاس مرکاتور (1668) معرفی شد، اگرچه معلم ریاضیات لندن، جان اسپیدل، جدولی از لگاریتم های طبیعی را در سال 1619 جمع آوری کرد.
تا پایان قرن نوزدهم، هیچ نماد پذیرفته شده ای برای لگاریتم، پایه وجود نداشت. آسپس در سمت چپ و بالای نماد نشان داده شده است ورود به سیستمسپس روی آن در نهایت، ریاضیدانان به این نتیجه رسیدند که راحت ترین مکان برای پایه، پس از نماد، زیر خط است. ورود به سیستم... علامت لگاریتم - حاصل مخفف کلمه "لگاریتم" - تقریباً همزمان با ظهور اولین جداول لگاریتم به اشکال مختلف ظاهر می شود. ورود به سیستم- آی. کپلر (1624) و جی. بریگز (1631)، ورود به سیستم- در B. Cavalieri (1632). تعیین لوگاریتمبرای لگاریتم طبیعی توسط ریاضیدان آلمانی آلفرد پرینگشیم (1893) معرفی شد.
سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت. دبلیو اوترد (اواسط قرن 17)، آی. برنولی (قرن 18)، ال. اویلر (1748، 1753).
اختصارات سینوس و کسینوس توسط ویلیام اوترید در اواسط قرن هفدهم معرفی شد. اختصارات مماس و کوتانژانت: tg، ctgآنها توسط یوهان برنولی در قرن 18 معرفی شدند و در آلمان و روسیه گسترش یافتند. کشورهای دیگر از نام این توابع استفاده می کنند برنزه، تختپیش از این، در آغاز قرن هفدهم، توسط آلبر ژیرار پیشنهاد شد. تئوری توابع مثلثاتی توسط لئونارد اویلر (1748، 1753) به شکل مدرن خود آورده شد و ما تثبیت نمادگرایی واقعی را مدیون او هستیم.اصطلاح "توابع مثلثاتی" توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی گئورگ سیمون کلوگل در سال 1770 معرفی شد.
خط سینوسی ریاضیدانان هندی در ابتدا نامیده می شد "آره جیوا"(«نیمه سیم» یعنی نیم وتر)، سپس کلمه "آرچا"حذف شد و خط سینوس به سادگی فراخوانی شد جیوا... مترجمان عربی این کلمه را ترجمه نکرده اند جیواکلمه عربی "واتار"، به معنی سیم و وتر کمان و با حروف عربی رونویسی شد و شروع به نامیدن خط سینوس کرد. جیبا... از آنجایی که در عربی، مصوت های کوتاه نشان داده نمی شود، اما یک "و" طولانی در کلمه است جیبااعراب که به همان شکل نیمه مصوت "y" نشان داده می شود، شروع به تلفظ نام خط سینوس کردند. جیبه، که در لغت به معنای "حفره"، "سینوس" است. هنگام ترجمه آثار عربی به لاتین، مترجمان اروپایی این واژه را ترجمه می کردند جیبهکلمه لاتین سینوسی, با همین معنیاصطلاح "مماس" (از لات.تنگن- مربوطه) توسط ریاضیدان دانمارکی توماس فینکه در کتاب هندسه گرد (1583) معرفی شد.
آرکسین. C. Scherfer (1772)، J. Lagrange (1772).
توابع مثلثاتی معکوس توابع ریاضی هستند که برعکس توابع مثلثاتی هستند. نام تابع مثلثاتی معکوس از نام تابع مثلثاتی مربوطه با اضافه کردن پیشوند "قوس" (از lat. قوس- قوس).توابع مثلثاتی معکوس معمولاً شامل شش تابع هستند: arcsin، arccos، arctg، arcctg، arcsec و arccosec. برای اولین بار، نمادهای ویژه برای توابع مثلثاتی معکوس توسط دانیل برنولی (1729، 1736) استفاده شد.نحوه نشان دادن توابع مثلثاتی معکوس با پیشوند قوس(از لات آرکوس، arc) در ریاضیدان اتریشی کارل شرفر ظاهر شد و توسط ریاضیدان، ستاره شناس و مکانیک فرانسوی جوزف لوئیس لاگرانژ تثبیت شد. به این معنی است که مثلاً یک سینوس معمولی به شما امکان می دهد وتری را پیدا کنید که آن را در امتداد قوس یک دایره منقبض می کند و تابع معکوس مشکل مخالف را حل می کند. تا پایان قرن نوزدهم، مدارس ریاضی انگلیسی و آلمانی نام‌های دیگری را پیشنهاد کردند: گناه. -1 و 1 / گناه، اما آنها به طور گسترده استفاده نمی شود.
سینوس هایپربولیک، کسینوس هایپربولیک. W. Riccati (1757).
مورخان اولین ظهور توابع هذلولی را در آثار ریاضیدان انگلیسی آبراهام دی مویور (1707، 1722) کشف کردند. تعریف مدرن و مطالعه دقیق آنها توسط وینچنزو ریکاتی ایتالیایی در سال 1757 در کار "Opusculorum" انجام شد، او همچنین نامگذاری آنها را پیشنهاد کرد: ش,فصل... ریکاتی از در نظر گرفتن یک هذلولی منفرد اقدام کرد. کشف مستقل و مطالعه بیشتر خواص توابع هذلولی توسط ریاضیدان، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی یوهان لامبرت (1768) انجام شد، که موازی گسترده ای از فرمول های مثلثات معمولی و هذلولی ایجاد کرد. N.I. لوباچفسکی متعاقباً از این توازی استفاده کرد و سعی کرد ثبات هندسه غیر اقلیدسی را ثابت کند که در آن مثلثات معمولی با یک هذلولی جایگزین می شود.
همانطور که سینوس و کسینوس مثلثاتی مختصات یک نقطه روی یک دایره مختصات هستند، سینوس و کسینوس هذلولی مختصات یک نقطه روی یک هذلولی هستند. توابع هذلولی بر حسب توابع نمایی بیان می شوند و ارتباط نزدیکی با توابع مثلثاتی دارند: sh (x) = 0.5 (e x -e -x) , ch (x) = 0.5 (e x + e -x). با قیاس با توابع مثلثاتی، مماس هذلولی و کوتانژانت به ترتیب به عنوان نسبت های سینوس و کسینوس هذلولی، کسینوس و سینوس تعریف می شوند.
دیفرانسیل. G. Leibniz (1675، در چاپ 1684).
قسمت اصلی و خطی افزایش تابع.اگر تابع y = f (x)یک متغیر x برای x = x 0مشتق، و افزایشیΔy = f (x 0 +؟ X) -f (x 0)کارکرد f (x)را می توان به عنوان نشان دادΔy = f "(x 0) Δx + R (Δx) , عضو کجاست آربی نهایت کوچک در مقایسه باΔx... ترم اولdy = f "(x 0) Δxدر این بسط دیفرانسیل تابع نامیده می شود f (x)در نقطهx 0... V آثار گوتفرید لایب نیتس، یاکوب و یوهان برنولی کلمه"تفاوت"به معنای "افزایش" استفاده می شود، برنولی آن را با Δ نشان می دهد. G. Leibniz (1675، در چاپ 1684) از نماد برای "تفاوت بی نهایت کوچک" استفاده کرد.د- حرف اول کلمه"دیفرانسیل"، توسط او از"تفاوت".
انتگرال نامعین. G. Leibniz (1675، در چاپ 1686).
کلمه "انتگرال" برای اولین بار توسط ژاکوب برنولی (1690) در چاپ استفاده شد. شاید این اصطلاح از لاتین گرفته شده باشد عدد صحیح- کل بر اساس فرضی دیگر، اساس کلمه لاتین بود یکپارچه- آوردن به حالت قبلی، بازیابی. علامت ∫ برای نشان دادن یک انتگرال در ریاضیات استفاده می شود و یک تصویر تلطیف شده از حرف اول یک کلمه لاتین است. خلاصه -مجموع اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی، بنیانگذار حساب دیفرانسیل و انتگرال، گوتفرید لایبنیتس در پایان قرن هفدهم استفاده شد. یکی دیگر از بنیانگذاران حساب دیفرانسیل و انتگرال، اسحاق نیوتن، در آثار خود نمادگرایی جایگزینی برای انتگرال ارائه نکرد، اگرچه او گزینه های مختلفی را امتحان کرد: یک نوار عمودی روی یک تابع یا یک نماد مربع که در مقابل یک تابع قرار می گیرد یا مرز آن را دارد. انتگرال نامعین برای یک تابع y = f (x)مجموعه ای از تمام ضد مشتقات یک تابع معین است.
یک انتگرال معین جی فوریه (1819-1822).
انتگرال معین یک تابع f (x)با حد پایین تر آو حد بالایی برا می توان به عنوان تفاوت تعریف کرد F (b) - F (a) = a ∫ b f (x) dx ، جایی که F (x)- برخی ضد مشتقات تابع f (x) ... انتگرال معین a ∫ ب f (x) dx عددی برابر با مساحت شکل محدود شده توسط محور آبسیسا، با خطوط مستقیم x = aو x = bو نمودار تابع f (x)... ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی، رسمی کردن یک انتگرال معین را به شکلی که ما در آغاز قرن نوزدهم به آن عادت کرده ایم، پیشنهاد کرد.
مشتق. G. Leibniz (1675)، J. Lagrange (1770، 1779).
مشتق مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل است که میزان تغییر یک تابع را مشخص می کند f (x)در مورد تغییر استدلال ایکس ... این به عنوان حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن تعریف می شود، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل کند، در صورتی که چنین حدی وجود داشته باشد. تابعی که در نقطه ای مشتق محدود داشته باشد در این نقطه متمایز نامیده می شود. فرآیند محاسبه مشتق را تمایز می گویند. فرآیند معکوس یکپارچه سازی است. در حساب دیفرانسیل کلاسیک، مشتق اغلب از طریق مفاهیم نظریه حدود تعریف می شود، با این حال، از نظر تاریخی، نظریه حدود دیرتر از حساب دیفرانسیل ظاهر شد.
اصطلاح مشتق توسط جوزف لوئیس لاگرانژ در سال 1797 معرفی شد. dy / dx- گوتفرید لایب نیتس در سال 1675. روشی که در آن مشتق زمانی با یک نقطه روی یک حرف نشان داده می شود از نیوتن (1691) آمده است.اصطلاح روسی "مشتق تابع" اولین بار توسط یک ریاضیدان روسی استفاده شدواسیلی ایوانوویچ ویسکواتوف (1779-1812).
مشتق جزئی. A. Legendre (1786)، J. Lagrange (1797، 1801).
برای توابع بسیاری از متغیرها، مشتقات جزئی تعیین می شوند - مشتقات با توجه به یکی از آرگومان ها، با فرض ثابت بودن سایر آرگومان ها محاسبه می شوند. تعیین ها ∂f / ∂ ایکس, ∂ z / ∂ yتوسط ریاضیدان فرانسوی آدرین ماری لژاندر در سال 1786 معرفی شد. fایکس ",z x"- جوزف لوئیس لاگرانژ (1797، 1801) ∂ 2 z / ∂ x 2, ∂ 2 z / ∂ ایکس ∂ y- مشتقات جزئی مرتبه دوم - ریاضیدان آلمانی کارل گوستاو یاکوب یاکوبی (1837).
تفاوت، افزایش I. Bernoulli (اواخر قرن 17 - نیمه اول قرن 18)، L. Euler (1755).
نماد افزایش با حرف Δ اولین بار توسط یوهان برنولی ریاضیدان سوئیسی استفاده شد. نماد دلتا پس از آثار لئونارد اویلر در سال 1755 رایج شد.
مجموع ال اویلر (1755).
مجموع حاصل جمع کردن مقادیر (اعداد، توابع، بردارها، ماتریس ها و غیره) است. برای نشان دادن مجموع n عدد a 1، a 2، ...، an از حرف یونانی "sigma" Σ استفاده می شود: a 1 + a 2 + ... + an = Σ ni = 1 ai = Σ n 1 یک من علامت Σ برای مجموع توسط لئونارد اویلر در سال 1755 معرفی شد.
کار کنید. K. Gauss (1812).
حاصل ضرب حاصل ضرب است. برای نشان دادن حاصل ضرب n عدد a 1، a 2، ...، an از حرف یونانی "pi" Π استفاده می شود: a 1 · a 2 · ... · an = Π ni = 1 ai = Π n 1 یک من به عنوان مثال، 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 =؟ 50 1 (2i-1). علامت Π برای این اثر توسط ریاضیدان آلمانی کارل گاوس در سال 1812 معرفی شد. در ادبیات ریاضی روسیه، اصطلاح "کار" برای اولین بار توسط لئونتی فیلیپوویچ ماگنیتسکی در سال 1703 استفاده شد.
فاکتوریل. K. Crump (1808).
فاکتوریل یک عدد n (که با n ! مشخص می شود، "Ento-factorial" تلفظ می شود) حاصلضرب تمام اعداد طبیعی تا و شامل n است: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. مثلا 5 تا! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. طبق تعریف، 0 در نظر گرفته شده است! = 1. فاکتوریل فقط برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود. فاکتوریل عدد n برابر است با تعداد جایگشت های n عنصر. مثلا 3! = 6، در واقع،
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
تمام شش و تنها شش جایگشت سه عنصر.
اصطلاح "فاکتوریال" توسط ریاضیدان و سیاستمدار فرانسوی لوئی فرانسوا آنتوان آربوگاست (1800) با نام n! - کریستین کرامپ ریاضیدان فرانسوی (1808).
مدول، قدر مطلق. K. Weierstrass (1841).
مدول، قدر مطلق یک عدد واقعی x یک عدد غیر منفی است که به صورت زیر تعریف شده است: | x | = x برای x ≥ 0، و | x | = -x برای x ≤ 0. برای مثال، | 7 | = 7، | - 0.23 | = - (- 0.23) = 0.23. مدول یک عدد مختلط z = a + ib یک عدد واقعی برابر با √ (a 2 + b 2) است.
اعتقاد بر این است که اصطلاح "ماژول" توسط ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی، شاگرد نیوتن، راجر کوتس، پیشنهاد شده است. گوتفرید لایبنیتس نیز از این تابع استفاده کرد که آن را "ماژول" نامید و به آن اشاره کرد: mol x. نام عمومی پذیرفته شده برای قدر مطلق در سال 1841 توسط ریاضیدان آلمانی کارل وایرشتراس معرفی شد. برای اعداد مختلط، این مفهوم توسط ریاضیدانان فرانسوی آگوستین کوشی و ژان روبرت آرگان در آغاز قرن نوزدهم معرفی شد. در سال 1903، دانشمند اتریشی کنراد لورنتس از همین نماد برای طول یک بردار استفاده کرد.
هنجار. ای. اشمیت (1908).
هنجار تابعی است که بر روی یک فضای برداری تعریف شده و مفهوم طول یک بردار یا مدول یک عدد را تعمیم می دهد. علامت "هنجارها" (از کلمه لاتین "norma" - "قاعده"، "نمونه") توسط ریاضیدان آلمانی Erhard Schmidt در سال 1908 معرفی شد.
حد. S. Luillier (1786)، W. Hamilton (1853)، بسیاری از ریاضیدانان (تا آغاز قرن بیستم)
حد یکی از مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی است، به این معنی که یک مقدار متغیر مشخص در فرآیند تغییر آن به طور نامحدود به یک مقدار ثابت معین نزدیک می شود. مفهوم محدودیت در سطح شهودی در اوایل نیمه دوم قرن هفدهم توسط آیزاک نیوتن و همچنین ریاضیدانان قرن هجدهم مانند لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت. اولین تعاریف دقیق از محدودیت سکانس توسط برنارد بولزانو در سال 1816 و آگوستین کوشی در سال 1821 ارائه شد. نماد لیم (3 حرف اول از کلمه لاتین limes - border) در سال 1787 توسط ریاضیدان سوئیسی Simon Antoine Jean Luillier ظاهر شد، اما استفاده از آن هنوز شبیه موارد مدرن نیست. عبارت lim به شکلی آشناتر برای ما، اولین بار توسط ریاضیدان ایرلندی ویلیام همیلتون در سال 1853 استفاده شد.وایرشتراس نامی نزدیک به مدرن معرفی کرد، اما به جای پیکان معمولی از علامت مساوی استفاده کرد. این پیکان در آغاز قرن بیستم به یکباره توسط چندین ریاضیدان ظاهر شد - به عنوان مثال، توسط ریاضیدان انگلیسی گادفرید هاردی در سال 1908.
تابع زتا، د تابع زتای ریمان... بی ریمان (1857).
تابع تحلیلی متغیر مختلط s = σ + it، برای σ> 1، به طور مطلق و یکنواخت توسط سری دیریکله تعیین می شود:
ζ (s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ....
برای σ> 1، نمایش در قالب یک محصول اویلر معتبر است:
ζ (s) = Πپ (1-p -s) -s،
که در آن محصول بر تمام اعداد اول p گرفته می شود. تابع زتا نقش مهمی در نظریه اعداد دارد.به عنوان تابعی از یک متغیر واقعی، تابع زتا در سال 1737 (منتشر شده در سال 1744) توسط L. Euler معرفی شد، که نشان دهنده گسترش آن به یک محصول بود. سپس این تابع توسط ریاضیدان آلمانی L. Dirichlet و به ویژه با موفقیت توسط ریاضیدان و مکانیک روسی P.L. چبیشف هنگام مطالعه قانون توزیع اعداد اول. با این حال، عمیق ترین ویژگی های تابع زتا بعدها، پس از کار ریاضیدان آلمانی گئورگ فردریش برنهارد ریمان (1859)، که در آن تابع زتا به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط در نظر گرفته شد، کشف شد. او همچنین نام "عملکرد زتا" و علامت ζ (s) را در سال 1857 معرفی کرد.
تابع گاما، تابع Γ اویلر. A. Legendre (1814).
تابع گاما یک تابع ریاضی است که مفهوم فاکتوریل را به حوزه اعداد مختلط گسترش می دهد. معمولا با Γ (z) نشان داده می شود. تابع r اولین بار توسط لئونارد اویلر در سال 1729 معرفی شد. با فرمول تعیین می شود:
Γ (z) = لیمn → ∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
تعداد زیادی از انتگرال ها، محصولات بی نهایت و مجموع سری ها بر حسب تابع Γ بیان می شوند. این به طور گسترده ای در نظریه اعداد تحلیلی استفاده می شود. نام "تابع گاما" و علامت Γ (z) توسط ریاضیدان فرانسوی آدرین ماری لژاندر در سال 1814 پیشنهاد شد.
تابع بتا، تابع B، تابع اویلر B. جی بینه (1839).
تابعی از دو متغیر p و q که برای p> 0، q> 0 با برابری تعریف شده است:
B (p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
تابع بتا را می توان بر حسب تابع Γ بیان کرد: B (p, q) = Γ (p) Г (q) / Г (p + q).همانطور که تابع گاما برای اعداد صحیح تعمیم فاکتوریل است، تابع بتا نیز به نوعی تعمیم ضرایب دو جمله ای است.
بسیاری از خواص با استفاده از تابع بتا توصیف شده استذرات بنیادیشرکت در تعامل قوی... این ویژگی مورد توجه فیزیکدان نظری ایتالیایی قرار گرفتگابریل ونزیانودر سال 1968 این شروع را نشان دادنظریه ریسمان
نام "تابع بتا" و علامت B (p, q) در سال 1839 توسط ریاضیدان، مکانیک و ستاره شناس فرانسوی ژاک فیلیپ ماری بینه معرفی شد.
اپراتور لاپلاس، لاپلاس. آر مورفی (1833).
عملگر دیفرانسیل خطی Δ، که تابع φ (x 1، x 2، ...، x n) را در n متغیر x 1، x 2، ...، x n اختصاص می دهد:
Δφ = ∂ 2 φ / ∂х 1 2 + ∂ 2 φ / ∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂х n 2.
به طور خاص، برای یک تابع φ (х) از یک متغیر، عملگر لاپلاس با عملگر مشتق دوم منطبق است: Δφ = d 2 φ / dx 2. معادله Δφ = 0 معمولاً معادله لاپلاس نامیده می شود. از این رو نام "اپراتور لاپلاس" یا "لاپلاسی" منشأ گرفته است. نماد Δ توسط رابرت مورفی فیزیکدان و ریاضیدان انگلیسی در سال 1833 معرفی شد.
اپراتور همیلتون، اپراتور نابلا، همیلتونی. O. Heaviside (1892).
عملگر دیفرانسیل برداری فرم
∇ = ∂ / ∂x من+ ∂ / ∂y j+ ∂ / ∂z ک,
جایی که من, j، و ک- بردارهای واحد مختصات. عملیات اصلی تحلیل برداری و همچنین عملگر لاپلاس به روشی طبیعی از طریق عملگر nabla بیان می شود.
در سال 1853، ریاضیدان ایرلندی، ویلیام روآن همیلتون، این عملگر را معرفی کرد و نماد ∇ را به شکل یک حرف یونانی معکوس Δ (دلتا) برای آن ابداع کرد. در همیلتون، نوک نماد به سمت چپ اشاره داشت؛ بعداً، در آثار ریاضیدان و فیزیکدان اسکاتلندی پیتر گاتری تیت، نماد شکل مدرن خود را به دست آورد. همیلتون این نماد را کلمه "atled" نامید (کلمه "دلتا" برعکس بخوانید). بعدها، دانشمندان انگلیسی، از جمله الیور هیوساید، شروع به نامیدن این نماد "نابلا"، پس از نام حرف ∇ در الفبای فنیقی، جایی که وجود دارد، کردند. منشأ این نامه مربوط به یک ساز موسیقی از نوع چنگ است که در یونانی باستان به معنی "چنگ" است. اپراتور اپراتور همیلتون یا اپراتور نابل نامیده می شد.
عملکرد. I. Bernoulli (1718)، L. Euler (1734).
یک مفهوم ریاضی که رابطه بین عناصر یک مجموعه را منعکس می کند. می توان گفت که یک تابع یک "قانون" است، یک "قاعده" که طبق آن هر عنصر از یک مجموعه (که دامنه تعریف نامیده می شود) با عنصری از مجموعه دیگر (به نام دامنه مقادیر) مرتبط است. مفهوم ریاضی یک تابع بیانگر یک ایده شهودی است که چگونه یک کمیت مقدار کمیت دیگر را کاملاً تعیین می کند. اغلب اصطلاح "تابع" به یک تابع عددی اشاره دارد. یعنی تابعی که یک عدد را به عدد دیگر اختصاص می دهد. برای مدت طولانی، ریاضیدانان بدون پرانتز استدلال می کردند، به عنوان مثال، بنابراین - φх. برای اولین بار چنین نامگذاری توسط یوهان برنولی ریاضیدان سوئیسی در سال 1718 استفاده شد.پرانتز فقط برای بسیاری از آرگومان ها استفاده می شد، یا اگر آرگومان یک عبارت پیچیده بود. رکوردهایی که امروزه نیز مورد استفاده قرار می گیرند، انعکاس آن دوران هستند.sin x، lg xاما به تدریج استفاده از پرانتز f (x) به یک قانون کلی تبدیل شد. و اعتبار اصلی این امر متعلق به لئونارد اویلر است.
برابری. ر رکورد (1557).
علامت مساوی توسط رابرت رکورد، پزشک و ریاضیدان ولزی در سال 1557 پیشنهاد شد. شکل نماد بسیار طولانی تر از شکل فعلی بود، زیرا تصویر دو بخش موازی را تقلید می کرد. نویسنده توضیح داد که هیچ چیز در جهان برابرتر از دو بخش موازی با طول یکسان نیست. قبل از آن، در ریاضیات باستان و قرون وسطی، برابری به صورت شفاهی (مثلاً est egale). رنه دکارت در قرن هفدهم شروع به استفاده از æ (از لات. aequalis) و از علامت مساوی مدرن برای نشان دادن اینکه ضریب می تواند منفی باشد استفاده کرد. فرانسوا ویت تفریق را با علامت مساوی نشان می دهد. نماد رکورد بلافاصله پخش نشد. گسترش نماد رکورد با این واقعیت مانع شد که از زمان های قدیم همین نماد برای نشان دادن موازی خطوط مستقیم استفاده می شده است. در پایان تصمیم گرفته شد که نماد موازی سازی عمودی باشد. در قاره اروپا، علامت "=" توسط گوتفرید لایبنیتس تنها در اواخر قرن 17-18 معرفی شد، یعنی بیش از 100 سال پس از مرگ رابرت رکورد، که برای اولین بار از آن استفاده کرد.
تقریباً برابر، تقریباً برابر. A. Gunther (1882).
امضا کردن " ≈ «به عنوان نماد رابطه معرفی شد» تقریباً برابر با «آدام ویلهلم زیگموند گونتر» ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی در سال 1882 است.
کم و بیش. تی گاریوت (1631).
این دو علامت توسط توماس گاریوت، ستاره شناس، ریاضیدان، قوم شناس و مترجم انگلیسی در سال 1631 به کار گرفته شد و قبل از آن از کلمات "بیشتر" و "کمتر" استفاده می شد.
قابلیت مقایسه K. Gauss (1801).
مقایسه - نسبت بین دو عدد صحیح n و m، به این معنی که تفاوت n-m این اعداد بر یک عدد صحیح معین a تقسیم می شود که به آن ماژول مقایسه می گویند. نوشته شده است: n≡m (mod a) و "اعداد n و m قابل مقایسه هستند mod a" را بخوانید. به عنوان مثال، 3≡11 (mod 4)، زیرا 3-11 بر 4 بخش پذیر است. اعداد 3 و 11 مدول 4 قابل مقایسه هستند. بنابراین، عبارت در یک قسمت مقایسه را می توان با علامت مخالف به قسمت دیگر منتقل کرد، و مقایسه با یک ماژول را می توان اضافه، کم، ضرب کرد، هر دو قسمت مقایسه را می توان در یک عدد ضرب کرد و غیره. . مثلا،
3≡9 + 2 (mod 4) و 3-2≡9 (mod 4)
همزمان مقایسه صحیح و از یک جفت مقایسه صحیح 3≡11 (mod 4) و 1≡5 (mod 4) موارد زیر صحیح است:
3 + 1≡11 + 5 (Mod 4)
3-1≡11-5 (Mod 4)
3 1≡11 5 (Mod 4)
3 2 ≡11 2 (Mod 4)
3 23≡11 23 (Mod 4)
روش‌هایی برای حل مقایسه‌های مختلف در نظریه اعداد در نظر گرفته می‌شوند، یعنی. روش‌هایی برای یافتن اعداد صحیح که مقایسه‌های یک نوع یا دیگری را برآورده می‌کنند.مقایسات مدولار برای اولین بار توسط کارل گاوس، ریاضیدان آلمانی در کتاب "تحقیقات حسابی" در سال 1801 استفاده شد. او همچنین نمادگرایی ایجاد شده در ریاضیات را برای مقایسه پیشنهاد کرد.
هویت. بی ریمان (1857).
هویت - برابری دو عبارت تحلیلی که برای هر مقدار مجاز حروف موجود در آن معتبر است. برابری a + b = b + a برای همه مقادیر عددی a و b صادق است و بنابراین یک هویت است. برای نوشتن هویت در برخی موارد، از سال 1857، از علامت "≡" (بخوانید "یکسان برابر") استفاده می شود که نویسنده آن در این کاربرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ فردریش برنهارد ریمان است. می توانید بنویسید a + b ≡ b + a.
عمود بودن. پی اریگون (1634).
عمود بر موقعیت نسبی دو خط مستقیم، صفحه یا یک خط مستقیم و یک صفحه است که در آن شکل های نشان داده شده یک زاویه قائمه تشکیل می دهند. علامت ⊥ برای نشان دادن عمود بودن در سال 1634 توسط ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی پیر اریگون معرفی شد. مفهوم عمودگرایی تعدادی تعمیم دارد، اما همه آنها، به عنوان یک قاعده، با علامت ⊥ همراه هستند.
موازی سازی. W. Outred (نسخه پس از مرگ 1677).
موازی رابطه بین اشکال هندسی معین است. به عنوان مثال، خطوط مستقیم. بسته به هندسه های مختلف متفاوت تعریف می شود. برای مثال، در هندسه اقلیدس و در هندسه لوباچفسکی. علامت موازی از زمان های قدیم شناخته شده است؛ هرون و پاپوس اسکندریه از آن استفاده می کردند. در ابتدا، نماد مشابه علامت مساوی فعلی بود (فقط طولانی تر)، اما با ظاهر شدن علامت دوم، برای جلوگیری از سردرگمی، نماد به صورت عمودی چرخانده شد ||. در این شکل، او برای اولین بار در نسخه پس از مرگ آثار ریاضیدان انگلیسی ویلیام اوترد در سال 1677 ظاهر شد.
تقاطع، اتحاد. جی پیانو (1888).
محل تلاقی مجموعه ها مجموعه ای است که آن و تنها آن عناصری به آن تعلق دارند که به طور همزمان به همه مجموعه های داده شده تعلق دارند. اتحاد مجموعه ها - مجموعه ای حاوی تمام عناصر مجموعه های اصلی. تقاطع و اتحاد نیز به عملیات روی مجموعه هایی گفته می شود که بر اساس قوانین فوق مجموعه های جدیدی را به برخی از مجموعه ها اختصاص می دهند. ∩ و ∪ به ترتیب نشان داده می شوند. به عنوان مثال، اگر
A = (♠ ♣)و B = (♣ ♦)،
که
А∩В = {♣ }
А∪В = {♠ ♣ ♦ } .
شامل، شامل. E. Schroeder (1890).
اگر A و B دو مجموعه باشند و هیچ عنصری در A وجود نداشته باشد که متعلق به B نباشد، A در B وجود دارد. آنها A⊂B یا B⊃A را می نویسند (B حاوی A است). مثلا،
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
نمادهای "حاوی" و "حاوی" در سال 1890 توسط ریاضیدان آلمانی منطق دان ارنست شرودر ظاهر شد.
وابستگی. جی پیانو (1895).
اگر a عنصری از مجموعه A باشد، a∈A می نویسند و می خوانند "a متعلق به A است". اگر a عنصری از مجموعه A نیست، a∉A بنویسید و "و متعلق به A نیست" را بخوانید. در ابتدا، رابطه "شامل" و "متعلق" ("یک عنصر است") متمایز نشد، اما به مرور زمان این مفاهیم تمایز را طلب کردند. علامت عضویت ∈ اولین بار توسط جوزپه پیانو ریاضیدان ایتالیایی در سال 1895 استفاده شد. نماد ∈ از حرف اول کلمه یونانی εστι - بودن می آید.
کمیت کننده جهان شمولیت، کمیت کننده وجود. G. Genzen (1935)، C. Pearce (1885).
کمیت یک نام کلی برای عملیات منطقی است که ناحیه صدق یک محمول را نشان می دهد (گزاره ریاضی). فیلسوفان مدتهاست که به عملیات منطقی که دامنه صدق یک محمول را محدود می کند توجه داشته اند، اما آنها را به عنوان یک کلاس جداگانه از عملیات جدا نکرده اند. اگرچه ساختارهای کمی-منطقی به طور گسترده هم در گفتار علمی و هم در گفتار روزمره استفاده می شود، رسمیت یافتن آنها تنها در سال 1879 در کتاب منطق دان، ریاضیدان و فیلسوف آلمانی فردریش لودویگ گوتلوب فرگه "حساب مفاهیم" صورت گرفت. نام‌گذاری‌های فرگه مانند ساختارهای گرافیکی حجیم به نظر می‌رسیدند و پذیرفته نشدند. متعاقباً، نمادهای موفق بسیاری پیشنهاد شد، اما نماد پذیرفته شده عمومی به ∃ تبدیل شد برای کمیت کننده وجود (بخوانید "وجود دارد"، "وجود دارد")، که توسط فیلسوف، منطق دان و ریاضیدان آمریکایی چارلز پیرس در سال 1885 پیشنهاد شد، و ∀ برای کمیت‌گر جهان‌شمولی (بخوانید «هر»، «همه»، «همه»)، که توسط ریاضیدان و منطق‌دان آلمانی، گرهارد کارل اریش گنتزن، در سال 1935 با قیاس با نماد کمی‌ساز وجودی (حروف اول معکوس کلمات انگلیسی Existence و Any) شکل گرفت. ). به عنوان مثال، ورودی
(∀ε> 0) (∃δ> 0) (∀x ≠ x 0، | x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
به شرح زیر است: "برای هر ε> 0، δ> 0 وجود دارد به طوری که برای همه x برابر x 0 نیست و نابرابری را ارضا می کند | x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
مجموعه تهی. N. Burbaki (1939).
مجموعه ای که هیچ عنصری ندارد. علامت مجموعه خالی در کتاب های نیکلاس بورباکی در سال 1939 معرفی شد. Bourbaki نام مستعار جمعی برای گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که در سال 1935 ایجاد شد. یکی از اعضای گروه Bourbaki آندره ویل، نویسنده نماد Ø بود.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
در ریاضیات، یک اثبات به عنوان دنباله ای از استدلال درک می شود که بر اساس قوانین خاصی ساخته شده است و نشان می دهد که یک گزاره خاص درست است. از زمان رنسانس، پایان اثبات توسط ریاضیدانان با علامت اختصاری "Q.E.D."، از عبارت لاتین "Quod Erat Demonstrandum" - "آنچه برای اثبات لازم بود" مشخص شد. هنگام ایجاد یک سیستم حروفچینی کامپیوتری ΤΕΧ در سال 1978، پروفسور علوم کامپیوتر آمریکایی دونالد ادوین کنوت از یک نماد استفاده کرد: یک مربع پر شده، به اصطلاح "نماد هالموس" که به نام ریاضیدان آمریکایی مجارستانی پل ریچارد هالموس نامگذاری شده است. امروزه تکمیل یک برهان معمولاً با نماد Halmos نشان داده می شود. به طور متناوب، از علائم دیگری استفاده می شود: مربع خالی، مثلث قائم الزاویه، // (دو خط موم)، و همچنین مخفف روسی "ch.d."
نماد ریاضی("زبان ریاضیات") یک سیستم نشانه گذاری گرافیکی پیچیده است که برای بیان ایده ها و قضاوت های ریاضی انتزاعی به شکلی قابل خواندن برای انسان استفاده می شود. این سیستم (از نظر پیچیدگی و تنوع) بخش قابل توجهی از سیستم های نشانه غیر گفتاری مورد استفاده بشر را تشکیل می دهد. این مقاله سیستم علامت گذاری بین المللی پذیرفته شده را توصیف می کند، اگرچه فرهنگ های مختلف گذشته خود را داشتند و حتی برخی از آنها تا به امروز کاربرد محدودی دارند.
توجه داشته باشید که نماد ریاضی، به عنوان یک قاعده، همراه با شکل نوشتاری برخی از زبان های طبیعی استفاده می شود.
علاوه بر ریاضیات بنیادی و کاربردی، نمادهای ریاضی به طور گسترده ای در فیزیک و همچنین (تا حدی) در مهندسی، علوم کامپیوتر، اقتصاد و به طور کلی در تمام زمینه های فعالیت انسانی که در آن از مدل های ریاضی استفاده می شود، استفاده می شود. تفاوت‌های بین سبک واقعی نمادگذاری ریاضی و کاربردی در طول متن مورد بحث قرار خواهد گرفت.
یوتیوب دانشگاهی
1 / 5
✪ ورود به سیستم / در ریاضیات
✪ ریاضی پایه 3. جدول اعداد چند رقمی
✪ مجموعه در ریاضی
✪ ریاضیات 19. سرگرمی ریاضی - مدرسه شیشکینا
زیرنویس
هی! این ویدیو در مورد ریاضیات نیست، بلکه در مورد ریشه شناسی و نشانه شناسی است. اما من مطمئن هستم که شما آن را دوست خواهید داشت. برو آیا می دانید که جستجو برای حل معادلات مکعب به شکل کلی چندین قرن طول کشید تا ریاضیدانان؟ تا حدودی به این دلیل است؟ زیرا هیچ نماد روشنی برای افکار روشن وجود نداشت، یا زمان ما فرا رسیده است. نمادهای زیادی وجود دارد که ممکن است گیج شوید. اما من و شما را نمی توان فریب داد، بیایید آن را بفهمیم. این یک حرف بزرگ A معکوس است. این در واقع یک حرف انگلیسی است که ابتدا در کلمات "all" و "any" ذکر شده است. در روسی، این نماد، بسته به زمینه، می تواند به این صورت خوانده شود: برای هر کسی، همه، همه، همه چیز و غیره. ما چنین هیروگلیفی را کمیت کننده جهانی می نامیم. و در اینجا یک کمیت دیگر وجود دارد، اما از قبل وجود دارد. حرف انگلیسی e در Paint از چپ به راست منعکس شد، بنابراین به فعل خارج از کشور "وجود" اشاره می کند، به نظر ما می خوانیم: وجود دارد، وجود دارد، وجود دارد، به روش مشابه دیگری وجود دارد. یک علامت تعجب منحصر به فرد بودن را به چنین کمیت وجودی اضافه می کند. اگر این واضح است، بیایید ادامه دهیم. احتمالاً در کلاس یازدهم با انتگرال های نامعین برخورد کرده اید، می خواهم به شما یادآوری کنم که این فقط نوعی پاد مشتق نیست، بلکه مجموعه ای از تمام پاد مشتق های انتگرال است. بنابراین C، ثابت ادغام را فراموش نکنید. به هر حال، علامت انتگرال خود فقط یک حرف دراز s است که پژواک کلمه لاتین sum است. این دقیقاً معنای هندسی یک انتگرال معین است: جستجوی مساحت یک شکل زیر نمودار با جمع کردن مقادیر بی نهایت کوچک. به نظر من این عاشقانه ترین فعالیت در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. اما هندسه مدرسه از این جهت مفیدتر است که به شما می آموزد منطقی باشید. در سال اول باید درک روشنی از پیامد و معادل بودن آن داشته باشید. خوب نمی توانی در وجوب و کفایت گیج شوی، می فهمی؟ بیایید حتی سعی کنیم کمی عمیق تر کنیم. اگر تصمیم دارید ریاضیات عالی انجام دهید، پس می توانم تصور کنم که همه چیز در زندگی شخصی شما چقدر بد است، اما به همین دلیل است که احتمالاً موافقت خواهید کرد که بر کمی ورزش غلبه کنید. سه نقطه وجود دارد که هر کدام یک قسمت چپ و راست دارد که باید آن را با یکی از سه علامت ترسیم شده وصل کنید. لطفاً روی مکث کلیک کنید، خودتان آن را امتحان کنید و سپس به آنچه که باید به شما بگویم گوش دهید. اگر x = -2، پس | x | = 2، اما از چپ به راست، بنابراین عبارت قبلا ساخته شده است. در پاراگراف دوم نیز در سمت چپ و راست کاملاً به همین صورت نوشته شده است. و نکته سوم را می توان اینگونه بیان کرد: هر مستطیلی متوازی الاضلاع است اما هر متوازی الاضلاع مستطیل نیست. بله، می دانم که شما دیگر کوچک نیستید، اما باز هم تشویق من برای کسانی است که در این تمرین تسلط دارند. خوب، خوب، کافی است، بیایید مجموعه اعداد را به خاطر بسپاریم. از اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود: 1، 2، 3، 4 و غیره. در طبیعت -1 سیب وجود ندارد، اما، اتفاقا، اعداد صحیح به ما اجازه می دهند در مورد چنین چیزهایی صحبت کنیم. حرف ℤ در مورد نقش مهم صفر برای ما فریاد می زند، مجموعه اعداد گویا با حرف ℚ نشان داده می شود و این تصادفی نیست. در زبان انگلیسی کلمه "quotient" به معنای "نگرش" است. به هر حال، اگر جایی در بروکلین یک آمریکایی آفریقایی تبار به سراغ شما آمد و گفت: "واقعی نگه دار!"، مطمئن باشید که این یک ریاضیدان است، یک تحسین کننده اعداد واقعی. خوب، شما باید چیزی در مورد اعداد مختلط بخوانید، مفیدتر خواهد بود. اکنون به عقب برمی گردیم و به کلاس اول معمولی ترین مدرسه یونانی باز می گردیم. به طور خلاصه، الفبای باستانی را به یاد بیاوریم. حرف اول آلفا و سپس بتا است، این قلاب گاما، سپس دلتا و به دنبال آن اپسیلون و به همین ترتیب تا آخرین حرف امگا می آید. مطمئن باشید یونانی ها هم حروف بزرگ دارند، اما الان در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نمی کنیم. ما در مورد سرگرمی بهتر هستیم - در مورد محدودیت ها. اما در اینجا فقط معما وجود ندارد ، بلافاصله مشخص است که نماد ریاضی از کدام کلمه ظاهر شده است. خوب، بنابراین می توانیم به قسمت پایانی ویدیو برویم. لطفاً سعی کنید تعریف محدودیت دنباله اعداد را که اکنون در مقابل شما نوشته شده است بیان کنید. یک مکث کلیک کنید و فکر کنید، و باشد که با کودک یک ساله ای که کلمه "مادر" را تشخیص داده خوشحال شوید. اگر برای هر اپسیلون بزرگتر از صفر یک N طبیعی وجود داشته باشد، و به طوری که برای تمام اعداد یک دنباله عددی بزرگتر از N، نابرابری | xₙ-a |<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
اطلاعات کلی
این سیستم، مانند زبان های طبیعی، از نظر تاریخی تکامل یافته است (به تاریخچه نمادهای ریاضی مراجعه کنید)، و مانند نوشتن زبان های طبیعی سازماندهی شده است، و از آنجا نمادهای زیادی (عمدتا از الفبای لاتین و یونانی) وام گرفته است. نمادها، مانند نوشتار معمولی، با خطوط متضاد در زمینه یکنواخت (سیاه روی کاغذ سفید، نور روی تخته تاریک، متضاد روی مانیتور و غیره) به تصویر کشیده می شوند و معنای آنها در درجه اول با شکل و موقعیت نسبی آنها تعیین می شود. رنگ مورد توجه قرار نمی گیرد و معمولاً مورد استفاده قرار نمی گیرد، اما در هنگام استفاده از حروف، ویژگی های آنها مانند سبک و حتی نوع تایپ که در نوشتار معمولی تأثیری بر معنی ندارد، می تواند نقش متمایز کننده معنا را در علامت گذاری ریاضی ایفا کند.
ساختار
نماد ریاضی معمولی (به ویژه به اصطلاح فرمول های ریاضی) عموماً در یک رشته از چپ به راست نوشته می شوند، اما لزوماً یک رشته متوالی از کاراکترها را تشکیل نمی دهند. بلوک‌های منفرد از نویسه‌ها می‌توانند در نیمه بالا یا پایین خط ظاهر شوند، حتی اگر نویسه‌ها با عمودی همپوشانی نداشته باشند. همچنین برخی از قسمت ها به طور کامل در بالا یا زیر خط قرار دارند. از دیدگاه دستوری، تقریباً هر «فرمول» را می توان ساختاری سازمان یافته به صورت سلسله مراتبی مانند درخت در نظر گرفت.
استاندارد سازی
نماد ریاضی یک سیستم را به معنای رابطه اجزای آن نشان می دهد، اما به طور کلی، نهیک سیستم رسمی (در درک خود ریاضیات) را تشکیل می دهند. آنها، در هر مورد دشوار، حتی نمی توانند به صورت برنامه ای جدا شوند. مانند هر زبان طبیعی، «زبان ریاضیات» مملو از نام‌های متناقض، هموگراف‌ها، تفسیرهای متفاوت (از جمله حاملان آن) از آنچه صحیح تلقی می‌شود و غیره است. این سوال که آیا دو نام به عنوان نمادهای متفاوت در نظر گرفته می شوند یا املای متفاوت یک نماد همیشه به طور واضح حل نمی شود.
برخی از نمادهای ریاضی (عمدتاً مربوط به اندازه‌گیری‌ها) در ISO 31-11 استاندارد شده است، اما به طور کلی، استانداردسازی نمادگذاری نسبتاً کم است.
عناصر نماد ریاضی
شماره
در صورت لزوم استفاده از سیستم اعداد با پایه کمتر از ده، مبنا با زیرنویس نوشته می شود: 20003 8. سیستم های اعداد با پایه های بزرگتر از ده در نمادهای ریاضی پذیرفته شده استفاده نمی شوند (اگرچه، البته، آنها توسط خود علم مطالعه می شوند)، زیرا اعداد کافی برای آنها وجود ندارد. در ارتباط با پیشرفت علم کامپیوتر، سیستم اعداد هگزادسیمال مطرح شده است، که در آن اعداد از 10 تا 15 با شش حرف اول لاتین از A تا F نشان داده می شوند. برای تعیین چنین اعدادی در علوم کامپیوتر، چندین رویکرد مختلف وجود دارد. استفاده می شود، اما به ریاضیات منتقل نشده اند.
زیرنویس ها و زیرنویس ها
براکت ها، کاراکترهای مشابه و جداکننده ها
از پرانتز "()" استفاده می شود:
براکت های مربع "" اغلب در معنی گروه بندی استفاده می شود، زمانی که شما مجبور به استفاده از تعداد زیادی جفت براکت هستید. در این حالت آنها در خارج قرار می گیرند و (با تایپوگرافی منظم) ارتفاع بیشتری نسبت به پرانتزهای داخل دارند.
مربع "" و پرانتز "()" به ترتیب برای نشان دادن فضاهای بسته و باز استفاده می شود.
براکت های فرفری "()" به طور کلی برای استفاده می شوند، اگرچه آنها مشمول همان اخطارهایی هستند که برای براکت های مربعی وجود دارد. براکت های چپ "(" و راست ")" را می توان به طور جداگانه استفاده کرد. هدف آنها شرح داده شده است.
کاراکترهای براکت زاویه " ⟨⟩ (\ Displaystyle \ langle \; \ rangle)»با تایپوگرافی منظم باید گوشه های مبهم داشته باشد و در نتیجه با نمونه های مشابه با زاویه راست یا تند متفاوت باشد. در عمل نباید به این امر امیدوار بود (مخصوصاً هنگام نوشتن فرمول ها به صورت دستی) و باید با استفاده از شهود بین آنها تمایز قائل شد.
جفت نمادهای متقارن (در مورد محور عمودی) اغلب استفاده می شود، از جمله مواردی غیر از موارد ذکر شده، برای برجسته کردن یک قطعه از یک فرمول. هدف از براکت های جفت شده توضیح داده شده است.
شاخص ها
بسته به مکان، زیرنویس ها و زیرنویس ها متمایز می شوند. بالانویس می تواند به معنای قدرت (اما لزوماً به این معنی نیست) برای کاربردهای دیگر باشد.
متغیرها
در علوم مجموعه ای از مقادیر وجود دارد و هر کدام از آنها می تواند مجموعه ای از مقادیر را بگیرد و نامیده شود. متغیرمقدار (متغیر)، یا فقط یک مقدار و ثابت نامیده می شود. در ریاضیات، کمیت ها اغلب از معنای فیزیکی انتزاع می شوند و سپس متغیر تبدیل می شود پریشانمتغیر (یا عددی) که با نمادهایی نشان داده می شود که با عناوین خاص ذکر شده در بالا اشغال نشده است.
متغیر ایکساگر مجموعه مقادیر پذیرفته شده توسط آن مشخص شده باشد داده شده در نظر گرفته می شود (ایکس)... در نظر گرفتن یک کمیت ثابت به عنوان متغیری که مجموعه مربوطه برای آن مناسب است، راحت است (ایکس)از یک عنصر تشکیل شده است
توابع و اپراتورها
در ریاضیات تفاوت معناداری بین آنها وجود ندارد اپراتور(یگانه)، نقشه برداریو عملکرد.
با این حال، قابل درک است که اگر برای نوشتن مقدار نگاشت از آرگومان های داده شده لازم است مشخص شود، نماد این نگاشت یک تابع را نشان می دهد، در موارد دیگر به احتمال زیاد از یک عملگر صحبت می شود. نمادهای برخی از توابع یک آرگومان با یا بدون پرانتز استفاده می شود. بسیاری از توابع ابتدایی مانند sin x (\ displaystyle \ sin x)یا sin (x) (\ displaystyle \ sin (x))، اما توابع ابتدایی همیشه فراخوانی می شوند کارکرد.
اپراتورها و روابط (یونری و باینری)
کارکرد
تابع را می توان به دو معنا ارجاع داد: به عنوان بیانی از مقدار آن برای آرگومان های داده شده (نوشته شده f (x)، f (x، y) (\ شیوه نمایش f (x)، \ f (x، y))و غیره) یا به عنوان یک تابع. در حالت دوم، فقط نماد تابع بدون پرانتز قرار داده می شود (اگرچه اغلب به صورت تصادفی نوشته می شوند).
عناوین زیادی برای توابع رایج در کار ریاضی بدون توضیح بیشتر وجود دارد. در غیر این صورت، تابع باید به نحوی توصیف شود، و در ریاضیات بنیادی تفاوت اساسی با آن ندارد و با یک حرف دلخواه نیز مشخص می شود. حرف f برای نشان دادن توابع متغیر محبوب ترین است و g و بیشتر یونانی نیز اغلب استفاده می شوند.
تعیین های از پیش تعریف شده (رزرو شده).
با این حال، در صورت تمایل می توان به نام های یک حرفی معنای متفاوتی داد. به عنوان مثال، حرف i اغلب به عنوان یک شاخص در زمینه ای استفاده می شود که از اعداد مختلط استفاده نمی شود، و حرف می تواند به عنوان یک متغیر در نوعی ترکیبی استفاده شود. همچنین، نمادهای نظریه مجموعه ها (مانند ⊂ (\ displaystyle \ زیر مجموعه)"و" ⊃ (\ displaystyle \ supset)") و محاسبات گزاره ای (مانند" ∧ (\ displaystyle \ wedge)"و" ∨ (\ displaystyle \ vee)») را می توان به معنای متفاوت، معمولاً به ترتیب به عنوان یک رابطه سفارش و عملیات باینری استفاده کرد.
نمایه سازی
نمایه سازی به صورت گرافیکی به تصویر کشیده می شود (معمولاً پایین، گاهی اوقات بالا) و به یک معنا راهی برای گسترش محتوای یک متغیر است. با این حال، آن را در سه مفهوم کمی متفاوت (البته همپوشانی) استفاده می شود.
اعداد واقعی
این امکان وجود دارد که چندین متغیر مختلف داشته باشید که آنها را با یک حرف نشان دهید، مشابه استفاده. مثلا: x 1، x 2، x 3… (\ سبک نمایش x_ (1)، \ x_ (2)، \ x_ (3) \ ldots)... معمولاً آنها با نوعی اشتراک به هم متصل می شوند ، اما به طور کلی این ضروری نیست.
علاوه بر این، نه تنها اعداد، بلکه هر نمادی را می توان به عنوان "شاخص" استفاده کرد. با این حال، هنگامی که متغیر و عبارت دیگری به عنوان یک شاخص نوشته می شود، این رکورد به عنوان "متغیر با عدد تعیین شده توسط مقدار عبارت شاخص" تفسیر می شود.
در تحلیل تانسور
در جبر خطی، تحلیل تانسور، هندسه دیفرانسیل با شاخص (به صورت متغیر) می نویسیم.
از دو)، 3> 2 (سه بیشتر از دو است)، و غیره.توسعه نمادگرایی ریاضی ارتباط نزدیکی با توسعه کلی مفاهیم و روش های ریاضی داشت. اولین نشانه های ریاضینشانه هایی برای نشان دادن اعداد وجود داشت - شماره, ظهور که ظاهراً مقدم بر نوشتن بوده است. قدیمی ترین سیستم های شماره گذاری - بابلی و مصری - در اوایل 3 و 1/2 هزاره قبل از میلاد ظاهر شدند. NS.
اولین نشانه های ریاضیزیرا مقادیر دلخواه بسیار دیرتر (از قرن پنجم تا چهارم قبل از میلاد) در یونان ظاهر شد. مقادیر (مساحت ها، حجم ها، زوایا) به عنوان بخش ها و حاصل ضرب دو کمیت همگن دلخواه - به شکل یک مستطیل ساخته شده بر روی بخش های مربوطه به تصویر کشیده شد. در "آغاز" اقلیدس (قرن سوم قبل از میلاد) مقادیر با دو حرف مشخص می شوند - حروف اولیه و نهایی بخش مربوطه، و گاهی اوقات یکی. دارند ارشمیدس (قرن سوم قبل از میلاد) روش اخیر رایج می شود. این نام شامل امکاناتی برای توسعه حساب الفبایی بود. با این حال، در ریاضیات کلاسیک باستان، حساب الفبایی ایجاد نشد.
آغاز حروف و حساب دیفرانسیل و انتگرال در اواخر دوران هلنیستی در نتیجه رهایی جبر از شکل هندسی ظاهر شد. دیوفانتوس (احتمالاً 3 c.) یک ناشناخته را یادداشت کرد ( NS) و درجه آن با علائم زیر:
[- از اصطلاح یونانی dunamiV (dynamis - نیرو)، به معنای مربع مجهول، - از یونانی cuboV (k_ybos) - مکعب]. در سمت راست مجهول یا درجات آن، دیوفانتوس ضرایب را نوشت، به عنوان مثال، 3×5 به تصویر کشیده شد.
(جایی که = 3). هنگام جمع کردن، دیوفانتوس اصطلاحات را به یکدیگر نسبت داد، برای تفریق از علامت خاصی استفاده کرد. دیوفانتوس برابری را با حرف i [از یونانی isoV (isos) - برابر] نشان می داد. مثلا معادله
(ایکس 3 + 8ایکس) - (5ایکس 2 + 1) =NS
دیوفانتوس چنین می نویسد:
(اینجا
به این معنی که واحد عاملی به شکل توان مجهول ندارد).
چندین قرن بعد، هندی ها انواع مختلفی را معرفی کردند نشانه های ریاضیبرای چندین مجهول (مخفف نام رنگ هایی که نشان دهنده مجهولات هستند)، یک مربع، یک جذر، یک عدد تفریق شده. بنابراین، معادله
3NS 2 + 10ایکس - 8 = ایکس 2 + 1
در ضبط براهماگوپتا (قرن هفتم) به نظر می رسد:
بله و 3 یا 10 رو 8
بله و 1 یا 0 رو 1
(یا - از یاوات - طوات - مجهول، وا - از وارگا - عدد مربع، رو - از روپا - سکه روپیه - اصطلاح آزاد، نقطه بالای عدد به معنای عدد کسر شده است).
ایجاد نمادگرایی جبری مدرن به قرن 14 و 17 باز می گردد. با موفقیت های محاسبات عملی و دکترین معادلات مشخص شد. در کشورهای مختلف، خود به خود ظاهر می شود نشانه های ریاضیبرای برخی از اعمال و برای قدرت های یک مقدار نامعلوم. چندین دهه و حتی قرن ها قبل از توسعه این یا آن نماد مناسب می گذرد. بنابراین، در پایان 15 و. ن. شوکه و من. پاچیولی از علائم جمع و تفریق استفاده کرد
(از lat. plus و minus)، ریاضیدانان آلمانی مدرن + (احتمالا به اختصار lat. et) و - را معرفی کردند. در قرن هفدهم. شما می توانید حدود یک دوجین بشمارید نشانه های ریاضیبرای عمل ضرب
متفاوت بودند و نشانه های ریاضیناشناخته و مدرک تحصیلی او در قرن 16 و اوایل قرن 17. برای مثال، بیش از ده نام به تنهایی برای مربع مجهول رقابت کرده اند ببین(از سرشماری - یک اصطلاح لاتین که به عنوان ترجمه یونانی dunamiV عمل می کرد، س(از کوادراتوم)، A (2)، Aii، aa, یک 2و غیره. بنابراین، معادله
x 3 + 5 ایکس = 12
جی. کاردانو (1545) ریاضیدان ایتالیایی شکل زیر را دارد:
از ریاضیدان آلمانی M. Stiefel (1544):
از ریاضیدان ایتالیایی R. Bombelli (1572):
ریاضیدان فرانسوی F. Vieta (1591):
از ریاضیدان انگلیسی تی. هاریوت (1631):
در قرن 16 و اوایل قرن 17. علائم مساوی و براکت ها استفاده می شود: مربع (R. بومبلی ، 1550)، دور (N. تارتالیا, 1556)، فرفری (F. ویتنام, 1593). در قرن شانزدهم. علامت گذاری کسری به شکل امروزی به خود می گیرد.
یک قدم مهم رو به جلو در توسعه نمادگرایی ریاضی، معرفی ویت (1591) بود. نشانه های ریاضیبرای ثابت های دلخواه به شکل صامت های بزرگ الفبای لاتین B، D، که برای اولین بار امکان نوشتن معادلات جبری با ضرایب دلخواه و عمل با آنها را فراهم می کند. Vieta ناشناخته به تصویر کشیده شده در حروف صدادار بزرگ A، E، ... به عنوان مثال، نماد Vieta
در نمادهای ما به این صورت است:
x 3 + 3bx = د
ویت خالق فرمول های جبری بود. آر. دکارت (1637) به علائم جبر ظاهری مدرن داد و مجهولات را با آخرین حروف لات نشان داد. الفبا x، y، z،و مقادیر داده دلخواه - با حروف اولیه الف، ب، ج.او همچنین صاحب رکورد فعلی این مدرک است. نامگذاری های دکارت نسبت به همه موارد قبلی برتری زیادی داشت. بنابراین، آنها به زودی به رسمیت شناخته شدند.
پیشرفتهای بعدی نشانه های ریاضیارتباط نزدیکی با ایجاد تجزیه و تحلیل بینهایت کوچک داشت که برای توسعه نمادگرایی که اساس آن تا حد زیادی در جبر آماده شده بود.
تاریخ وقوع برخی از علائم ریاضی
| امضا کردن | معنی | چه کسی معرفی کرد | وقتی معرفی شد |
| نشانه های اشیاء فردی | |||
| ¥ | بی نهایت | جی. والیس | 1655 |
| ه | پایه لگاریتم های طبیعی | ال اویلر | 1736 |
| پ | نسبت محیط به قطر | دبلیو جونز ال اویلر | 1706 |
| من | جذر -1 | ال اویلر | 1777 (در چاپ 1794) |
| من j k | بردار واحد، بردار واحد | دبلیو همیلتون | 1853 |
| P (a) | زاویه موازی | N.I. لوباچفسکی | 1835 |
| علائم شی متغیر | |||
| x، y، z | مجهولات یا متغیرها | آر. دکارت | 1637 |
| r | بردار | او. کوشی | 1853 |
| علائم عملیات فردی | |||
| + | علاوه بر این | ریاضیدانان آلمانی | پایان قرن 15 |
| – | منها کردن |
||
| ´ | ضرب | W. فراخوانی شده است | 1631 |
| × | ضرب | جی لایب نیتس | 1698 |
| : | تقسیم | جی لایب نیتس | 1684 |
| a 2, a 3,…, a n | درجه | آر. دکارت | 1637 |
| آی. نیوتن | 1676 |
||
| | ریشه ها | کی رودولف | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| ورود به سیستم | لگاریتم | I. کپلر | 1624 |
| ورود به سیستم | بی کاوالیری | 1632 |
|
| گناه | سینوسی | ال اویلر | 1748 |
| cos | کسینوس |
||
| tg | مماس | ال اویلر | 1753 |
| arc.sin | آرکسین | جی. لاگرانژ | 1772 |
ش | سینوس هایپربولیک | V. Riccati | 1757 |
چ | کسینوس هذلولی |
||
| dx، ddx، ... | دیفرانسیل | جی لایب نیتس | 1675 (در چاپ 1684) |
d 2 x، d 3 x، ... |
|||
| | انتگرال | جی لایب نیتس | 1675 (در چاپ 1686) |
| | مشتق | جی لایب نیتس | 1675 |
| ¦ ¢ x | مشتق | جی. لاگرانژ | 1770, 1779 |
| y |
|||
| ¦ ¢ (x) |
|||
| Dx | تفاوت | ال اویلر | 1755 |
| | مشتق جزئی | الف. لژاندر | 1786 |
| | انتگرال معین | جی فوریه | 1819-22 |
| | مجموع | ال اویلر | 1755 |
| NS | کار | ک. گاوس | 1812 |
| ! | فاکتوریل | کی. کرامپ | 1808 |
| | x | | مدول | K. Weierstrass | 1841 |
| لیم | حد | دبلیو همیلتون، بسیاری از ریاضیدانان | 1853, اوایل قرن بیستم |
| لیم |
|||
| n = ¥ |
|||
| لیم |
|||
| n ® ¥ |
|||
| ایکس | تابع زتا | بی ریمان | 1857 |
| جی | تابع گاما | الف. لژاندر | 1808 |
| V | ویژگی بتا | جی. بینه | 1839 |
| دی | دلتا (اپراتور لاپلاس) | آر. مورفی | 1833 |
| Ñ | نابلا (اپراتور همیلتون) | دبلیو همیلتون | 1853 |
| علائم عملیات متغیر | |||
| jx | عملکرد | آی. برنولی | 1718 |
| f (x) | ال اویلر | 1734 |
|
| نشانه های روابط فردی | |||
| = | برابری | R. رکورد | 1557 |
| > | بیشتر | تی. هریوت | 1631 |
| < | کوچکتر |
||
| º | قابل مقایسه بودن | ک. گاوس | 1801 |
| | موازی سازی | W. فراخوانی شده است | 1677 |
| ^ | عمود بودن | پی اریگون | 1634 |
و. نیوتن در روش شار و روان خود (1666 و سالهای بعد) علائمی را برای شارهای متوالی (مشتقات) یک کمیت (به شکل) معرفی کرد.
و برای افزایش بی نهایت کوچک o... پیش از این، جی. والیس (1655) علامت بی نهایت ¥ را پیشنهاد کرد.
خالق نمادگرایی مدرن حساب دیفرانسیل و انتگرال جی است. لایب نیتس. او، به ویژه، مالک آن است که در حال حاضر استفاده می شود نشانه های ریاضیدیفرانسیل ها
dx، d 2 x، d 3 ایکس
و انتگرال
شایستگی بزرگ در ایجاد نمادگرایی ریاضیات مدرن متعلق به L. اویلر. او (1734) اولین علامت یک عملیات متغیر، یعنی علامت یک تابع را در استفاده عمومی قرار داد. f(ایکس) (از lat.functio). پس از کار اویلر، علائم بسیاری از توابع فردی، به عنوان مثال مثلثاتی، یک شخصیت استاندارد به دست آوردند. از سوی دیگر، اویلر دارای نماد ثابت ها است ه(پایه لگاریتم های طبیعی، 1736)، p [احتمالاً از یونانی perijereia (periphereia) - دایره، پیرامون، 1736]، واحد خیالی
(از imaginaire فرانسوی - خیالی، 1777، منتشر شده در 1794).
در قرن 19. نقش نمادگرایی در حال افزایش است. در این زمان، نشانه های قدر مطلق | x | (به. وایرشتراس, 1841)، بردارها (O. کوشی, 1853)، تعیین کننده
(آ. کیلی, 1841) و غیره. بسیاری از نظریه هایی که در قرن 19 مطرح شدند، برای مثال، حساب تانسور، بدون نمادگرایی مناسب نمی توانند توسعه یابند.
همراه با فرآیند استانداردسازی مشخص شده نشانه های ریاضیدر ادبیات مدرن اغلب می توانید پیدا کنید نشانه های ریاضیتنها در محدوده این مطالعه توسط نویسندگان فردی استفاده می شود.
از دیدگاه منطق ریاضی، از جمله نشانه های ریاضیگروه های اصلی زیر را می توان ترسیم کرد: الف) نشانه های اشیاء، ب) نشانه های عملیات، ج) نشانه های روابط. به عنوان مثال، علائم 1، 2، 3، 4 نشان دهنده اعداد است، یعنی اشیایی که توسط حساب مورد مطالعه قرار می گیرند. علامت جمع + به خودی خود هیچ شیئی را نشان نمی دهد. زمانی موضوع را دریافت می کند که مشخص شود کدام اعداد اضافه شده اند: رکورد 1 + 3 نشان دهنده عدد 4 است. علامت > (بزرگتر از) علامت رابطه بین اعداد است. علامت رابطه زمانی محتوای کاملاً تعریف شده را دریافت می کند که مشخص شود بین کدام اشیاء رابطه در نظر گرفته شده است. به سه گروه اصلی ذکر شده نشانه های ریاضیچهارمین الحاق: د) علائم کمکی که ترتیب ترکیب علائم اصلی را تعیین می کند. ایده کافی از چنین علائمی با پرانتز ارائه می شود که ترتیب انجام اقدامات را نشان می دهد.
علائم هر یک از سه گروه الف، ب) و ج) دو نوع هستند: 1) نشانه های فردی اشیاء، عملیات و روابط کاملاً مشخص، 2) علائم مشترک "غیر موقت" یا "ناشناخته". ، اشیاء، عملیات و روابط.
نمونه هایی از نشانه های نوع اول می توانند ارائه شوند (همچنین به جدول مراجعه کنید):
الف 1) تعیین اعداد طبیعی 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اعداد ماورایی هو p واحد خیالی من.
ب 1) علائم عملیات حسابی +، -، ·، ´,:; استخراج ریشه، تمایز
نشانه های جمع (اتحاد) È و حاصل (تقاطع) Ç مجموعه ها. این همچنین شامل علائم توابع فردی sin، tg، log و غیره می شود.
1) علائم برابری و نابرابری =،>،<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
علائم نوع دوم نشان دهنده اشیاء دلخواه، عملیات و روابط یک کلاس خاص، یا اشیاء، عملیات و روابط، مشروط به برخی شرایط از پیش تعیین شده است. به عنوان مثال، هنگام نوشتن هویت ( آ + ب)(آ - ب) = آ 2 - ب 2 حرف آو بنشان دادن اعداد دلخواه؛ هنگام مطالعه وابستگی عملکردی در = NS 2 حرف NSو y -اعداد دلخواه که با یک رابطه معین متصل می شوند. هنگام حل معادله
NSنشان دهنده هر عددی است که این معادله را برآورده کند (در نتیجه حل این معادله می آموزیم که فقط دو مقدار ممکن +1 و -1 با این شرط مطابقت دارند).
از دیدگاه منطقی، مشروع است که چنین علائم کلی را به عنوان نشانه های متغیر بنامیم، همانطور که در منطق ریاضی مرسوم است، بدون ترس از این واقعیت که "منطقه تغییر" یک متغیر ممکن است متشکل از یک متغیر باشد. یک شی یا حتی "خالی" (به عنوان مثال، در مورد معادلات بدون راه حل). نمونه های دیگری از این نوع نشانه ها عبارتند از:
الف 2) تعیین نقاط، خطوط، صفحات و اشکال هندسی پیچیده تر با حروف در هندسه.
ب 2) علامت گذاری f،، j برای توابع و نماد حساب اپراتور، زمانی که یک حرف Lبرای مثال، یک عملگر دلخواه از فرم را به تصویر بکشید:
نماد "روابط متغیر" کمتر رایج است؛ آنها فقط در منطق ریاضی کاربرد دارند (نگاه کنید به. جبر منطق ) و در تحقیقات نسبتاً انتزاعی، عمدتاً بدیهی، ریاضی.
روشن: Cajori., A history of mathematical notations, v. 1-2، چی، 1928-29.
مقاله در مورد کلمه " نشانه های ریاضی"در دایره المعارف بزرگ شوروی 39767 بار خوانده شد
