با استفاده از روش ماتریس معکوس سیستم معادلات را به صورت آنلاین حل کنید. قانون کرامر روش ماتریس معکوس

در قسمت اول کمی مطالب نظری، روش جایگزینی و همچنین روش جمع ترم به ترم معادلات سیستم را در نظر گرفتیم. به همه کسانی که از طریق این صفحه وارد سایت شده اند توصیه می کنم قسمت اول را مطالعه کنند. شاید برخی از بازدیدکنندگان مطالب را خیلی ساده بیابند، اما در جریان حل سیستم های معادلات خطی، من چندین نکته و نتیجه گیری بسیار مهم را در مورد حل مسائل ریاضی به طور کلی بیان کردم.

و اکنون قاعده کرامر و همچنین حل سیستم معادلات خطی را با استفاده از ماتریس معکوس (روش ماتریسی) تحلیل خواهیم کرد. تمام مطالب به روشی ساده، دقیق و قابل فهم ارائه شده است، تقریباً همه خوانندگان قادر خواهند بود نحوه حل سیستم ها را به روش های بالا بیاموزند.

ابتدا قاعده کرامر را برای سیستمی از دو معادله خطی در دو مجهول به تفصیل در نظر می گیریم. برای چی؟ - بالاخره ساده ترین سیستم را می توان با روش مدرسه حل کرد، روش جمع ترم به ترم!

واقعیت این است که حتی گاهی اوقات، اما چنین وظیفه ای وجود دارد - حل یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول با توجه به فرمول های کرامر. دوم، یک مثال ساده‌تر به شما کمک می‌کند بفهمید که چگونه از قانون کرامر برای یک مورد پیچیده‌تر استفاده کنید - سیستمی از سه معادله با سه مجهول.

علاوه بر این، سیستم های معادلات خطی با دو متغیر وجود دارد که توصیه می شود دقیقاً طبق قانون کرامر حل شوند!

سیستم معادلات را در نظر بگیرید

در مرحله اول، دترمینان را محاسبه می کنیم، نامیده می شود تعیین کننده اصلی سیستم.

روش گاوس

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد و برای یافتن ریشه ها باید دو عامل دیگر را محاسبه کنیم:
و

در عمل، معیارهای فوق را می توان با یک حرف لاتین نیز نشان داد.

ریشه های معادله را با فرمول های زیر بدست می آوریم:
,

مثال 7

حل یک سیستم معادلات خطی

راه حل: می بینیم که ضرایب معادله به اندازه کافی بزرگ است، در سمت راست کسری اعشاری با کاما وجود دارد. کاما یک مهمان نسبتاً نادر در تمرینات عملی در ریاضیات است؛ من این سیستم را از یک مسئله اقتصاد سنجی گرفتم.

چگونه چنین سیستمی را حل کنیم؟ می توانید سعی کنید یک متغیر را بر حسب متغیر دیگری بیان کنید، اما در این صورت احتمالاً کسرهای فانتزی وحشتناکی خواهید داشت که کار با آنها بسیار ناخوشایند است و طراحی راه حل بسیار وحشتناک به نظر می رسد. می توانید معادله دوم را در 6 ضرب کنید و تفریق ترم به ترم را انجام دهید، اما همان کسرها در اینجا ظاهر می شوند.

چه باید کرد؟ در چنین مواردی، فرمول های کرامر به کمک می آیند.

;

پاسخ: ,

هر دو ریشه دارای دم بی نهایت هستند و تقریباً یافت شدند که برای مسائل اقتصاد سنجی کاملاً قابل قبول (و حتی رایج) است.

در اینجا به نظرات نیازی نیست، زیرا کار طبق فرمول های آماده حل می شود، با این حال، یک اخطار وجود دارد. هنگام استفاده از این روش، اجباریبخشی از تکلیف قطعه زیر است: "به این معنی که سیستم فقط یک راه حل دارد"... در غیر این صورت، داور ممکن است شما را به دلیل بی احترامی به قضیه کرامر مجازات کند.

بررسی اضافی نخواهد بود، که برای انجام آن در ماشین حساب راحت است: مقادیر تقریبی را در سمت چپ هر معادله در سیستم جایگزین می کنیم. در نتیجه با یک خطای کوچک باید اعدادی را بدست آورید که در قسمت های مناسب قرار دارند.

مثال 8

پاسخ در کسرهای نامنظم معمولی ارائه شده است. چک کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (مثال اتمام و پاسخ در پایان درس).

اکنون به بررسی قانون کرامر برای سیستمی متشکل از سه معادله با سه مجهول می پردازیم:

تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا کنید:

اگر، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است (راه حلی ندارد). در این مورد، قانون کرامر کمکی نخواهد کرد، باید از روش گاوسی استفاده کنید.

اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد و برای یافتن ریشه ها باید سه عامل دیگر را محاسبه کنیم:
, ,

و در نهایت، پاسخ با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

همانطور که می بینید ، مورد "سه در سه" اساساً با حالت "دو در دو" تفاوتی ندارد ، ستون اعضای آزاد به طور متوالی از چپ به راست در امتداد ستون های تعیین کننده اصلی "راه می رود".

مثال 9

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

راه حل: بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم.

، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پاسخ: .

در واقع، با توجه به اینکه تصمیم گیری بر اساس فرمول های آماده انجام می شود، در اینجا دوباره چیز خاصی برای اظهار نظر وجود ندارد. اما چند نکته قابل توجه است.

این اتفاق می افتد که در نتیجه محاسبات، کسرهای تقلیل ناپذیر "بد" به دست می آیند، به عنوان مثال:.
من الگوریتم "درمان" زیر را توصیه می کنم. اگر کامپیوتری در دست ندارید، این کار را انجام می دهیم:

1) ممکن است یک خطای محاسباتی وجود داشته باشد. به محض اینکه با کسری "بد" روبرو شدید، باید بلافاصله بررسی کنید آیا شرط به درستی بازنویسی شده است... اگر شرط بدون خطا بازنویسی شود، لازم است که تعیین کننده ها را با استفاده از بسط توسط یک ردیف دیگر (ستون) دوباره محاسبه کنیم.

2) اگر در نتیجه بررسی هیچ خطایی پیدا نشد، به احتمال زیاد در شرایط کار اشتباه تایپی وجود داشته است. در این صورت با آرامش و با احتیاط کار را تا آخر حل می کنیم و سپس حتما بررسی کنیدو ما آن را پس از تصمیم گیری در یک کپی تمیز منتشر می کنیم. البته، بررسی پاسخ کسری یک کار ناخوشایند است، اما این یک استدلال خلع سلاح برای معلم خواهد بود، که، خوب، بسیار دوست دارد برای هر لایک بایاکایی منهای بگذارد. نحوه رسیدگی به کسرها در پاسخ مثال 8 به تفصیل آمده است.

اگر رایانه ای در دست دارید، از یک برنامه خودکار برای بررسی آن استفاده کنید که در همان ابتدای درس به صورت رایگان قابل دانلود است. به هر حال، سودمندترین استفاده از برنامه (حتی قبل از شروع راه حل) است، بلافاصله مرحله میانی را که در آن اشتباه کرده اید، خواهید دید! همین ماشین حساب به طور خودکار جواب سیستم را به روش ماتریسی محاسبه می کند.

تذکر دوم. هر از چند گاهی سیستم هایی وجود دارند که در معادلات آنها برخی از متغیرها وجود ندارد، به عنوان مثال:

در اینجا، معادله اول فاقد متغیر است، و دومی - یک متغیر. در چنین مواردی، نوشتن صحیح و با دقت عامل اصلی بسیار مهم است:
- صفرها به جای متغیرهای گم شده قرار می گیرند.
به هر حال، منطقی است که تعیین کننده ها را با صفر توسط ردیف (ستون) که در آن صفر وجود دارد، باز کنید، زیرا محاسبات بسیار کمتر است.

مثال 10

سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (نمونه ای از اتمام و پاسخ در پایان درس).

برای سیستمی متشکل از 4 معادله با 4 مجهول، فرمول های کرامر بر اساس اصول مشابه نوشته می شوند. یک مثال زنده را می توان در درس ویژگی های تعیین کننده یافت. کاهش ترتیب تعیین کننده - پنج عامل تعیین کننده مرتبه 4 کاملاً قابل حل هستند. اگرچه این کار قبلاً کاملاً یادآور چکمه استاد روی سینه یک دانش آموز خوش شانس است.

حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس

روش ماتریس معکوس اساسا یک مورد خاص است معادله ماتریسی(به مثال شماره 3 درس مشخص شده مراجعه کنید).

برای مطالعه این بخش، باید بتوانید دترمینال ها را بسط دهید، ماتریس معکوس را پیدا کنید و ضرب ماتریس را انجام دهید. لینک های مربوطه در طول مسیر داده خواهد شد.

مثال 11

حل یک سیستم با روش ماتریسی

راه حل: بیایید سیستم را به صورت ماتریسی بنویسیم:
، جایی که

لطفا به سیستم معادلات و ماتریس ها نگاهی بیندازید. با چه اصل ما عناصر را در ماتریس می نویسیم، فکر می کنم همه متوجه می شوند. تنها نظر: اگر برخی از متغیرها در معادلات گم شده بودند، باید صفرها در مکان های مربوطه در ماتریس قرار داده شوند.

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا کنید:
، ماتریس جابجایی متمم های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده می پردازیم:

در اینجا واجد شرایط در خط اول گسترش یافته است.

توجه! اگر ماتریس معکوس وجود نداشته باشد و حل سیستم با روش ماتریسی غیرممکن باشد. در این حالت سیستم با روش حذف مجهولات (روش گاوس) حل می شود.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسید

ارجاع:دانستن معنی دو زیرنویس در جبر خطی مفید است. رقم اول شماره خطی است که این عنصر در آن قرار دارد. رقم دوم تعداد ستونی است که این عنصر در آن قرار دارد:

یعنی یک زیرنویس دوتایی نشان می دهد که آیتم در ردیف اول، ستون سوم، و برای مثال، آیتم در ردیف 3، ستون 2 قرار دارد.

در نظر گرفتن سیستم معادلات جبری خطی(SLAE) در خصوص nناشناس ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم را به صورت "جمع شده" می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i = 1 آ ij ایکس j = ب من ، i = 1،2، ...، n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم معادلات خطی در نظر گرفته شده را می توان در آن نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم... ماتریس ستونی بکه عناصر آن سمت راست معادلات سیستم است، ماتریس سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم... ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستم معادلات جبری خطی که به شکل نوشته شده است تبر = ب، هست یک معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارای یک ماتریس معکوس و سپس حل سیستم است تبر = ببا فرمول داده می شود:

x = A -1 ب.

مثالحل سیستم روش ماتریسی

راه حلماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنید

بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم، در امتداد خط اول گسترش می یابد:

تا جایی که Δ ≠ 0 ، سپس آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

از این رو، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیبه نظر می رسد:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

در اینجا a i j و b i (i =؛ j =) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها، می توانیم سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

که در آن A = (a i j) ماتریسی متشکل از ضرایب مجهولات سیستم (5.1) است که نامیده می شود. ماتریس سیستم، X = (x 1، x 2، ...، x n) T، B = (b 1، b 2، ...، b m) T بردارهای ستونی هستند که به ترتیب از مجهولات x j و عبارت های آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1, c 2, ..., c n) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1) اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1، x 2، ...، x n، هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C = (c 1, c 2, ..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حل،اگر او حداقل یک راه حل دارد. سیستم نامیده می شود ناسازگاریا نامحلولاگر راه حلی نداشته باشد

که با اختصاص ستون عبارات آزاد به ماتریس A از سمت راست تشکیل می شود، نامیده می شود سیستم ماتریس توسعه یافته

سوال سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی ... سیستم معادلات خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A بر هم منطبق باشند، یعنی: r (A) = r (A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1)، سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد، سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (در این مورد، سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود تعریف نشده). در حالت سوم، سیستم (5.1) تعداد بی نهایت جواب دارد.

سیستم تنها در صورتی که r (A) = n یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات (mn) نیست. اگر m> n باشد، معادلات m-n پیامدهای دیگر هستند. اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید بتوانید سیستم هایی را که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است حل کنید - به اصطلاح سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1،

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n.

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) روش گاوس، یا روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) به روش ماتریسی.

مثال 2.12... سیستم معادلات را کاوش کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. بدیهی است، برای مثال، مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r (A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

از این رو، رتبه ماتریس توسعه یافته r (A) = 3 است. از آنجایی که r (A)  r (A)، سیستم ناسازگار است.

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A * A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت از مرتبه n است.

ماتریس واحد- چنین ماتریس مربعی، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می گذرد یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن ماتریس هایی با تعداد سطر و ستون یکسان.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که غیر منحط باشد.

ماتریس A = (A1, A2, ... A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای سمت راست معادلات) ماتریس E را اختصاص دهید.
با استفاده از تبدیل جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون های واحد کاهش دهید. در این حالت، لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که ماتریس واحد E در زیر ماتریس A جدول اصلی به دست آید.
ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های Jordan، ماتریس A را به ماتریس هویت E می آوریم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس واحد به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می توانند به شکل زیر باشند:

AX = B، XA = B، AXB = C،

در جایی که A، B، C ماتریس های مشخص شده هستند، X ماتریس مورد نیاز است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس آن حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن یک ماتریس از یک معادله، آن معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که معکوس ماتریس است (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران، آنها نیز کاربرد پیدا می کنند روش های ماتریسی... این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. چنین روش هایی برای تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. بیشتر اوقات، این روش ها زمانی مورد استفاده قرار می گیرند که ارزیابی مقایسه ای از عملکرد سازمان ها و واحدهای ساختاری آنها ضروری باشد.

در فرآیند بکارگیری روش های تحلیل ماتریسی، مراحل مختلفی را می توان تشخیص داد.

در مرحله اولتشکیل یک سیستم شاخص های اقتصادی انجام می شود و بر اساس آن ماتریسی از داده های اولیه تهیه می شود که جدولی است که در آن تعداد سیستم ها در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)، و در امتداد ستون های عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، m).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقدار شاخص های موجود نشان داده می شود که به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.

پس از آن، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر بزرگترین مقدار تقسیم شده و ماتریسی از ضرایب استاندارد تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای تشکیل دهنده ماتریس مربع هستند. اگر آنها اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس یک فاکتور وزنی خاص اختصاص داده می شود ک... ارزش دومی با قضاوت متخصص تعیین می شود.

در آخرین مورد، مرحله چهارممقادیر یافت شده رتبه بندی R jبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.

روش‌های ماتریسی مشخص شده باید به‌عنوان مثال در تحلیل مقایسه‌ای پروژه‌های سرمایه‌گذاری مختلف و همچنین در ارزیابی سایر شاخص‌های اقتصادی فعالیت‌های سازمان‌ها مورد استفاده قرار گیرد.

مبحث 2. سیستم معادلات جبری خطی.

مفاهیم اساسی.

تعریف 1... سیستم مترمعادلات خطی با nناشناخته سیستمی به شکل است:

اعداد کجا و هستند

تعریف 2... راه حل سیستم (I) مجموعه ای از مجهولات است که هر معادله این سیستم به یک هویت تبدیل می شود.

تعریف 3... سیستم (I) نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد و ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد سیستم مفصلی نامیده می شود مسلم - قطعیاگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد، و تعریف نشدهدر غیر این صورت.

تعریف 4... معادله فرم

تماس گرفت صفر، و یک معادله از فرم

تماس گرفت ناسازگار... بدیهی است که سیستم معادلات حاوی یک معادله ناسازگار ناسازگار است.

تعریف 5... دو سیستم معادلات خطی نامیده می شوند مساوی است بااگر هر راه حل یک سیستم به عنوان راه حلی برای سیستم دیگر عمل کند و برعکس، هر راه حل سیستم دوم راه حل اولی باشد.

نمادگذاری ماتریسی یک سیستم معادلات خطی.

سیستم (I) را در نظر بگیرید (نگاه کنید به §1).

بیایید نشان دهیم:

ماتریس ضریب برای مجهولات

ماتریس - ستونی از اعضای آزاد

ماتریس - ستون مجهولات

تعریف 1.ماتریس نامیده می شود ماتریس اصلی سیستم(I) و ماتریس ماتریس توسعه یافته سیستم (I) است.

با تعریف برابری ماتریس، سیستم (I) با برابری ماتریس مطابقت دارد:

سمت راست این برابری با تعریف حاصل ضرب ماتریس ها ( به تعریف 3 § 5 از فصل 1 مراجعه کنید) را می توان فاکتورسازی کرد:

، یعنی

برابری (2) تماس گرفت نماد ماتریسی سیستم (I).

حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m = n، یعنی تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، یعنی. ... سپس سیستم (I) از §1 یک راه حل منحصر به فرد دارد

جایی که Δ = det Aاصلی نامیده می شود تعیین کننده سیستم(I)، Δ منبا جایگزینی از دترمینان Δ بدست می آید منستون -ام در هر ستون اعضای آزاد سیستم (I).

مثال: حل سیستم به روش کرامر:

توسط فرمول ها (3) .

ما عوامل تعیین کننده سیستم را محاسبه می کنیم:

برای بدست آوردن دترمینان، ستون اول در دترمینان را با ستون عضو آزاد جایگزین کردیم. با جایگزینی ستون 2 در تعیین کننده با ستونی از عبارت های آزاد، به دست می آوریم. به روشی مشابه، با جایگزینی ستون سوم در تعیین کننده با ستونی از عبارات آزاد، به دست می آوریم. راه حل سیستم:

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از ماتریس معکوس.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m = nو ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است. سیستم (I) را به صورت ماتریس می نویسیم ( §2 را ببینید):

از آنجا که ماتریس آغیر انحطاط، پس ماتریس معکوس دارد ( قضیه 1، بخش 6، فصل 1 را ببینید). دو طرف مساوی را ضرب کنید (2) به ماتریس، سپس

با تعریف ماتریس معکوس. از برابری (3) ما داریم

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید

نشان می دهیم

در مثال (بخش 3)، ما تعیین کننده را محاسبه کردیم، بنابراین، ماتریس آماتریس معکوس دارد. سپس به موجب (4) ، یعنی

. (5)

پیدا کردن ماتریس ( §6 فصل 1 را ببینید)

, , ,

روش گاوس

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود:

... (من)

لازم است تمام راه حل های سیستم (I) پیدا شود یا از ناسازگاری سیستم اطمینان حاصل شود.

تعریف 1.ما یک تحول ابتدایی سیستم می نامیم(I) هر یک از سه عمل:

1) حذف معادله صفر؛

2) افزودن قسمتهای مربوط به معادله دیگر به دو طرف معادله، ضرب در عدد l.

3) جابجایی مکان های عبارت ها در معادلات سیستم به طوری که مجهول های با اعداد یکسان در همه معادلات مکان های یکسانی را بگیرند، یعنی. اگر مثلاً در معادله 1 ترم های 2 و 3 را تغییر داده باشیم، در تمام معادلات سیستم باید به همین ترتیب عمل شود.

روش گاوس این است که سیستم (I) با تبدیل‌های ابتدایی به یک سیستم معادل تقلیل می‌یابد که راه‌حل آن مستقیماً یافت می‌شود یا غیرقابل تصمیم‌گیری آن مشخص می‌شود.

همانطور که در بخش 2 توضیح داده شد، سیستم (I) به طور منحصر به فردی توسط ماتریس توسعه یافته آن تعیین می شود و هر تبدیل اولیه سیستم (I) با تبدیل اولیه ماتریس توسعه یافته مطابقت دارد:

تبدیل 1) مربوط به حذف ردیف صفر در ماتریس است، تبدیل 2) معادل افزودن به ردیف متناظر ماتریس است، ردیف دیگر آن ضرب در عدد l، تبدیل 3) معادل جایگشت ستون ها در ماتریس است.

به راحتی می توان فهمید که برعکس، هر تبدیل اولیه ماتریس با یک تبدیل ابتدایی سیستم (I) مطابقت دارد. با توجه به موارد فوق به جای عملیات با سیستم (I) با ماتریس توسعه یافته این سیستم کار خواهیم کرد.

در ماتریس، ستون 1 از ضرایب در تشکیل شده است x 1، ستون 2 - از ضرایب در x 2و غیره. در مورد تنظیم مجدد ستون ها، به خاطر داشته باشید که این شرط نقض شده است. به عنوان مثال، اگر ستون های 1 و 2 را در جای خود جابجا کنیم، اکنون ستون 1 حاوی ضرایب برای x 2، و در ستون 2 - ضرایب در x 1.

سیستم (I) را با روش گاوس حل خواهیم کرد.

1. تمام ردیف های صفر در ماتریس را در صورت وجود خط بزنید (یعنی تمام معادلات صفر در سیستم (I) را خط بزنید).

2. بررسی کنید که آیا ردیفی در بین ردیف های ماتریس وجود دارد که در آن همه عناصر به جز آخرین مورد برابر با صفر هستند (بیایید چنین ردیفی را ناسازگار بنامیم). بدیهی است که چنین ردیفی با یک معادله ناسازگار در سیستم (I) مطابقت دارد، بنابراین سیستم (I) هیچ راه حلی ندارد و این جایی است که فرآیند به پایان می رسد.

3. اجازه دهید ماتریس فاقد ردیف های ناسازگار باشد (سیستم (I) شامل معادلات ناسازگار نیست). اگر a 11 = 0سپس در سطر 1 عنصری غیر از صفر (به جز آخرین) پیدا می کنیم و ستون ها را طوری مرتب می کنیم که در ردیف اول در ردیف اول صفر نباشد. حال فرض می کنیم که (یعنی جای عبارت های مربوطه را در معادلات سیستم (I) تغییر می دهیم).

4. ردیف 1 را ضرب کنید و نتیجه را به ردیف 2 اضافه کنید، سپس ردیف 1 را ضرب کنید و نتیجه را به ردیف 3 اضافه کنید و به همین ترتیب ادامه دهید. بدیهی است که این فرآیند معادل حذف مجهولات است x 1از تمام معادلات سیستم (I) به جز معادلات اول. در ماتریس جدید، در ستون 1 زیر عنصر صفر می گیریم یک 11:

5. تمام سطرهای صفر را در ماتریس خط بزنید، در صورت وجود، بررسی کنید که آیا یک ردیف ناسازگار وجود دارد (اگر یک ردیف وجود دارد، پس سیستم ناسازگار است و این جایی است که راه حل به پایان می رسد). بیایید بررسی کنیم که آیا وجود خواهد داشت a 22 / = 0، اگر بله، در سطر 2 عنصری غیر از صفر پیدا می کنیم و ستون ها را طوری مرتب می کنیم که. بعد، عناصر ردیف 2 را در ضرب می کنیم و با عناصر مربوط به ردیف 3 اضافه کنید، سپس - عناصر ردیف 2 را با عناصر مربوط به ردیف 4 و غیره اضافه کنید تا زمانی که صفرهای زیر را بدست آوریم. یک 22 /

اقدامات انجام شده معادل حذف مجهولات است x 2از تمام معادلات سیستم (I) به جز 1 و 2. از آنجایی که تعداد سطرها محدود است، بنابراین، پس از تعداد محدودی از مراحل، دریافت می کنیم که یا سیستم ناسازگار است، یا به یک ماتریس پله ای می رسیم ( به تعریف 2 §7 از فصل 1 مراجعه کنید) :

اجازه دهید سیستم معادلات مربوط به ماتریس را بنویسیم. این سیستم معادل سیستم (I) است.

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم؛ جایگزین در معادله قبلی، پیدا کردن، و غیره، تا زمانی که به دست آوریم.

تبصره 1.بنابراین، هنگام حل سیستم (I) با روش گاوس، به یکی از موارد زیر می رسیم.

1. سیستم (I) ناسازگار است.

2. اگر تعداد سطرهای ماتریس با تعداد مجهولات () برابر باشد، سیستم (I) راه حل منحصر به فردی دارد.

3. اگر تعداد سطرهای ماتریس کمتر از تعداد مجهول ها باشد، سیستم (I) دارای مجموعه بی نهایت راه حل است.

از این رو قضیه زیر صادق است.

قضیه.سیستم معادلات خطی یا ناسازگار است، یا دارای یک راه حل منحصر به فرد است، یا - مجموعه بی نهایتی از راه حل ها.

مثال ها. حل سیستم معادلات با روش گاوس یا اثبات ناسازگاری آن:

ب) ;

الف) سیستم داده شده را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

ما معادلات 1 و 2 سیستم اصلی را مبادله کردیم تا محاسبات را ساده کنیم (به جای کسری، فقط با اعداد صحیح با استفاده از چنین جایگشتی عمل خواهیم کرد).

ما یک ماتریس توسعه یافته را می سازیم:

هیچ خط پوچ وجود ندارد. هیچ خط ناهماهنگی وجود ندارد، مجهول اول را از تمام معادلات سیستم به استثنای 1 حذف کنید. برای انجام این کار، عناصر ردیف اول ماتریس را در "-2" ضرب کنید و آنها را با عناصر مربوط به ردیف 2 اضافه کنید، که معادل ضرب معادله 1 در "-2" و جمع کردن با معادله 2 است. . سپس عناصر ردیف 1 را در "-3" ضرب می کنیم و با عناصر مربوط به ردیف سوم جمع می کنیم. معادله 2 سیستم داده شده را در "-3" ضرب کنید و آن را به معادله 3 اضافه کنید. ما گرفتیم

سیستم معادلات با ماتریس مطابقت دارد). - (به تعریف 3§7 از فصل 1 مراجعه کنید).

روش ماتریس معکوس یک مورد خاص است معادله ماتریسی

حل یک سیستم با روش ماتریسی

راه حل: اجازه دهید سیستم را به صورت ماتریسی بنویسیم و جواب سیستم را با فرمول پیدا کنیم (آخرین فرمول را ببینید)

ماتریس معکوس را با فرمول پیدا کنید:
، ماتریس جابجایی متمم های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

ابتدا به عامل تعیین کننده می پردازیم:

در اینجا واجد شرایط در خط اول گسترش یافته است.

اکنون باید 9 مینور را محاسبه کرده و در ماتریس مینورها بنویسید

در حین حل محاسبه مینورها بهتر است با جزئیات رنگ آمیزی شود، اگرچه با تجربه خاصی می توان آنها را به شمردن خطاها به صورت شفاهی عادت داد.

ترتیب محاسبه مینورها اصلا مهم نیست، اینجا خط به خط آنها را از چپ به راست محاسبه کردم. محاسبه مینورها توسط ستون ها امکان پذیر بود (این حتی راحت تر است).

بدین ترتیب:

- ماتریس مینورهای عناصر مربوطه ماتریس.

- ماتریس متمم های جبری.

- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری.

تکرار می کنم مراحلی که انجام دادیم در درس به تفصیل تحلیل شد. چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا کنم؟

حال برعکس ماتریس را می نویسیم:

در هیچ موردی ماتریس را وارد نمی کنیم، این محاسبات بعدی را به طور جدی پیچیده می کند... اگر تمام اعداد ماتریس بدون باقیمانده بر 60 بخش پذیر باشند، تقسیم باید انجام شود. اما در این مورد، وارد کردن یک منهای به ماتریس بسیار ضروری است؛ برعکس، محاسبات بعدی را ساده می کند.

باقی مانده است که ضرب ماتریس را انجام دهیم. شما می توانید نحوه ضرب ماتریس ها را در درس یاد بگیرید عملیات ماتریسی... اتفاقاً دقیقاً همان مثال در آنجا تحلیل می شود.

توجه داشته باشید که تقسیم بر 60 انجام شده است آخرین موضوع ولی به همان اهمیت.
گاهی اوقات ممکن است به طور کامل تقسیم نشود، یعنی. ممکن است کسرهای "بد" ایجاد شود. در چنین مواردی چه باید کرد، قبلاً وقتی قانون کرامر را تجزیه و تحلیل کردیم، گفتم.

پاسخ:

مثال 12

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید.

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (نمونه ای از اتمام و پاسخ در پایان درس).

جهانی ترین راه برای حل سیستم است روش حذف مجهولات (روش گاوس)... توضیح الگوریتم چندان آسان نیست، اما من سعی کردم!.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

پاسخ ها:

مثال 3:

مثال 6:

مثال 8: , ... می توانید نمونه راه حل این مثال را مشاهده یا دانلود کنید (لینک زیر).

مثال های 10، 12:

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی از سیستم معادلات خطی به طور کلی دارید، احساس می کنید که یک قوری هستید، پس توصیه می کنم از اصول اولیه در صفحه شروع کنید و مطالعه درس مفید است.

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی در طول زندگی خود به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها نیز در ازای پول پول می گیرند - پرتره گاوس روی اسکناس 10 مارک آلمانی (قبل از معرفی یورو) بود و گاوس هنوز از روی تمبرهای پستی معمولی به طور مرموزی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این نظر ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس 5 برای تسلط بر آن کافی است. باید بتوانید جمع و ضرب کنید!تصادفی نیست که معلمان اغلب روش حذف متوالی مجهولات را در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر می گیرند. به طور متناقض، روش گاوس برای دانش آموزان سخت ترین است. جای تعجب نیست - کل نکته در روش شناسی است و من سعی خواهم کرد در مورد الگوریتم روش به شکل قابل دسترس به شما بگویم.

ابتدا اجازه دهید دانش در مورد سیستم های معادلات خطی را نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوسی قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است نامناسب است. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای برای وضعیت نقاط شماره 2-3 در نظر گرفته شده است. توجه داشته باشید که الگوریتم خود روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با روش گاوس حل کنید.

در مرحله اول باید بنویسید ماتریس سیستم توسعه یافته:
... ضرایب بر چه اساسی نوشته شده است، فکر می کنم همه می توانند ببینند. نوار عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - فقط یک خط زیر برای سهولت طراحی است.

ارجاع: توصیه می کنم به خاطر بسپاریدمقررات جبر خطی.ماتریس سیستم آیا ماتریسی فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته - این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اعضای آزاد است، در این مورد: ... هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از ثبت سیستم ماتریس توسعه یافته، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آن ها نیز گفته می شود تحولات ابتدایی.

دگرگونی های ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها قابل تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس حاوی (یا ظاهر می شود) ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید ... در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ها ظاهر شد، پس از آن نیز می آید حذف... من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن یک صفر.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)با هر تعداد، غیر صفر... به عنوان مثال، یک ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود که خط اول را بر 3- تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: ... این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل ماتریس های بیشتر را ساده می کند.

5) این تحول سخت ترین است، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنیدغیر صفر ماتریس ما را از یک مثال عملی در نظر بگیرید:. ابتدا، تبدیل را با جزئیات کامل شرح می دهم. خط اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید: اکنون می توان خط اول را با -2: "بازگشت" تقسیم کرد. همانطور که می بینید، خطی که اضافه می کند لی – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط به WHICH THE ADDITION را تغییر می دهد UT.

البته در عمل آنها با این جزئیات توضیح نمی دهند، اما کوتاهتر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد... رشته معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که سیر ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

"بازنویسی ماتریس و بازنویسی خط اول:"

«ابتدا ستون اول. در پایین، باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

حالا برای ستون دوم. بالای –1 ضرب در –2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: "

و ستون سوم. بالای -5 ضرب در -2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم ترتیبی محاسبات را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوس عملاً در جیب شماست. اما، البته، ما روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه:دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" اقدامات با ماتریسبه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. تقریبا حل شده است.

ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش می دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. راستی چرا خط اول را در 2- ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی– ماتریس را به شکل پلکانی بیاورید: ... در طراحی تکلیف، "نردبان" با یک مداد ساده مشخص شده است و اعدادی که روی "پله ها" قرار دارند دایره می شوند. اصطلاح "نوع مرحله" به خودی خود کاملاً نظری نیست؛ در ادبیات علمی و آموزشی اغلب به آن گفته می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "پیچیده" شود - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

در معادله پایین، ما از قبل یک نتیجه آماده داریم:.

اولین معادله سیستم را در نظر بگیرید و در آن مقدار شناخته شده "بازی" را جایگزین کنید:

اجازه دهید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم که روش گاوس برای حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول مورد نیاز است.

مثال 1

حل سیستم معادلات به روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و دوباره، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. اکشن را از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به عدد سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد... به طور کلی، -1 خوب خواهد بود (و گاهی اوقات اعداد دیگر)، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که واحد معمولاً در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد آماده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند.... حالا خوبه

واحد در سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

ما صفرها را فقط با کمک تبدیل "سخت" بدست می آوریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ ضروری است به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما به طور مداوم (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم، خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه کنید:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، -5، -1). برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله ثبت می شود:

لازم نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید... ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً به این صورت است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را به حیله گری پف می کنیم - SEQUENTIAL و با توجه:

و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا بررسی کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر -2 تقسیم می کنیم، زیرا هرچه اعداد کوچکتر باشند، راه حل آسان تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در 2- اضافه کنید:

سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و اضافه کنید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

اکنون برعکس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز" می شوند.

در معادله سوم، از قبل یک نتیجه آماده داریم:

ما به معادله دوم نگاه می کنیم:. معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت، معادله اول:. «یَمِک» و «ز» معلوم است، مطلب کم است:

پاسخ:

همانطور که قبلاً بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه، آسان و سریع است.

مثال 2

این یک نمونه کار خودتان، یک نمونه نهایی و پاسخ در انتهای آموزش است.

لازم به ذکر است که شما دوره تصمیم گیریممکن است با مسیر تصمیم من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است... اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول خط دوم را ضرب در -1 اضافه کنید... یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

حالا بالا سمت چپ -1 است که برای ما خوب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی بدن انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم را نیز تغییر دادیم و به مکان دوم منتقل کردیم، به این ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نیاز را داریم.

(4) ردیف دوم ضرب در 2 به ردیف سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر - یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر در قسمت پایین چیزی شبیه به آن داشته باشیم و بر این اساس، ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی اشتباهی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی نمونه ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند." به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند:
بله، اینجا هدیه معلوم شد:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان آموزش. راه حل شما ممکن است با راه حل من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی... در ماتریس توسعه یافته سیستم، به جای متغیرهای گمشده، صفر قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم به شرح زیر است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. آیا اعداد دیگری ممکن است وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید. با این کار صفرهای مورد نظر در ستون اول به ما می رسد.

یا مثال شرطی دیگر: ... در اینجا سه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم خط دوم ضرب در -4 را اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا، سردرگمی، اشتباه در محاسبات امکان پذیر است و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره .... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی یک قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی به طور مستقیم واضح است. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک... الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس نیز می تواند در آنجا ثابت شود.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به صورت گام به گام در آوریم.

تبدیل های اولیه انجام شده:
(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد.توجه! در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من به شدت از تفریق منع می کنم - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط جمع کن!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شد.توجه داشته باشید که در "پله ها" ما نه تنها از یک، بلکه به -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) ردیف دوم در 5 ضرب به ردیف سوم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم به 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در می آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) دومی به سطر اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" سمت چپ بالا سازماندهی شده است.
(2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله دوم بدتر می شود ، "کاندیدا" برای آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم به خط دوم اضافه شد که در 3- ضرب شد.
مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود .
(5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد.
(6) خط دوم در -1 ضرب شد، خط سوم بر -83 تقسیم شد.واضح است که هواپیما به طور منحصر به فردی توسط سه نقطه مختلف تعیین می شود که روی یک خط مستقیم قرار ندارند. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با نقاط متعلق به آنها. .اگر اعضای رایگان