حل معادلات مدولار به صورت آنلاین معادلات آنلاین
استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت و ساز ساختمان، و حتی ورزش استفاده می شود. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان به بعد کاربرد آنها افزایش یافته است. معادلات توان یا نمایی معادلاتی هستند که در آنها متغیرها برحسب توان و مبنا یک عدد است. مثلا:
حل معادله نمایی به 2 مرحله نسبتاً ساده می رسد:
1. باید بررسی شود که آیا پایه های معادله سمت راست و چپ یکسان هستند یا خیر. اگر زمینه ها یکسان نیست، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. پس از یکسان شدن پایه ها، درجه ها را با هم برابر می کنیم و معادله جدید حاصل را حل می کنیم.
فرض کنید یک معادله نمایی به شکل زیر داده شده است:
شایسته است حل این معادله را با تحلیل مبنا شروع کنیم. پایه ها متفاوت هستند - 2 و 4، و برای حل باید یکسان باشیم، بنابراین 4 را مطابق فرمول زیر تبدیل می کنیم - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
به معادله اصلی اضافه کنید:
براکت ها را بردارید \
بیان می کنیم \
از آنجایی که درجات یکسان هستند، آنها را کنار می گذاریم:
پاسخ: \
کجا می توان معادله نمایی را با حل کننده آنلاین حل کرد؟
می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. یک حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله ای با هر پیچیدگی را به صورت آنلاین در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید یک دستورالعمل ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.
I. تبر 2 = 0 – ناقص معادله ی درجه دو (b = 0، c = 0 ). راه حل: x = 0. پاسخ: 0.
حل معادلات
2x (x + 3) = 6x-x 2.
راه حل.بیایید براکت ها را با ضرب گسترش دهیم 2 برابربرای هر ترم داخل پرانتز:
2x 2 + 6x = 6x-x 2; ما عبارت ها را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم:
2x 2 + 6x-6x + x 2 = 0; ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:
3x 2 = 0، بنابراین x = 0.
پاسخ: 0.
II. تبر 2 + bx = 0 –ناقص معادله ی درجه دو (c = 0 ). راه حل: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 یا ax + b = 0 → x 2 = -b / a. پاسخ: 0; -b / a.
5x 2 -26x = 0.
راه حل.عامل مشترک را حذف کنید NSخارج از پرانتز:
x (5x-26) = 0; هر عامل می تواند صفر باشد:
x = 0یا 5x-26 = 0→ 5x = 26، هر دو طرف تساوی را بر تقسیم می کنیم 5 و دریافت می کنیم: x = 5.2.
پاسخ: 0; 5,2.
مثال 3. 64x + 4x 2 = 0.
راه حل.عامل مشترک را حذف کنید 4 برابرخارج از پرانتز:
4x (16 + x) = 0. ما سه عامل داریم، 4 ≠ 0، بنابراین، یا x = 0یا 16 + x= 0. از آخرین برابری x = -16 بدست می آوریم.
پاسخ: -16; 0.
مثال 4.(x-3) 2 + 5x = 9.
راه حل.با استفاده از فرمول مربع اختلاف دو عبارت، براکت ها را باز می کنیم:
x 2 -6x + 9 + 5x = 9; تبدیل به شکل: x 2 -6x + 9 + 5x-9 = 0; ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:
x 2 -x = 0; بیرون بردن NSبراکت ها، دریافت می کنیم: x (x-1) = 0. از این رو یا x = 0یا x-1 = 0→ x = 1.
پاسخ: 0; 1.
III. تبر 2 + c = 0 –ناقص معادله ی درجه دو (b = 0 ) راه حل: تبر 2 = -c → x 2 = -c / a.
اگر (-c/a)<0 ، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. اگر (-s / a)> 0
مثال 5. x 2 -49 = 0.
راه حل.
x 2 = 49، بنابراین x = ± 7. پاسخ:-7; 7.
مثال 6. 9x 2 -4 = 0.
راه حل.
اغلب لازم است مجموع مربع ها (x 1 2 + x 2 2) یا مجموع مکعب ها (x 1 3 + x 2 3) ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، در موارد کمتر - مجموع مقادیر معکوس از مجذورات ریشه ها یا مجموع ریشه های مربع حسابی از ریشه های معادله درجه دوم:
قضیه ویتا می تواند در این مورد کمک کند:
x 2 + px + q = 0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
اجازه دهید بیان کنیم در سراسر پو q:
1) مجموع مجذورات ریشه های معادله x 2 + px + q = 0;
2) مجموع مکعب های ریشه های معادله x 2 + px + q = 0.
راه حل.
1) اصطلاح x 1 2 + x 2 2با مجذور دو طرف برابری به دست می آید x 1 + x 2 = -p;
(x 1 + x 2) 2 = (- p) 2; پرانتزها را گسترش دهید: x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; جمع مورد نیاز را بیان کنید: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2x 1 x 2 = p 2 -2q. ما یک برابری مفید دریافت کردیم: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
2) اصطلاح x 1 3 + x 2 3ما با فرمول مجموع مکعب ها را به شکل زیر نشان می دهیم:
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q ).
یک برابری مفید دیگر: x 1 3 + x 2 3 = -p · (p 2 -3q).
مثال ها.
3) x 2 -3x-4 = 0.بدون حل معادله، مقدار عبارت را محاسبه کنید x 1 2 + x 2 2.
راه حل.
x 1 + x 2 = -p = 3،و کار x 1 ∙ x 2 = q =در مثال 1) برابری:
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.ما داریم -پ= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q = x 1 x 2 = -4. سپس x 1 2 + x 2 2 = 9-2 (-4) = 9 + 8 = 17.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 17.
4) x 2 -2x-4 = 0.محاسبه کنید: x 1 3 + x 2 3.
راه حل.
با قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله درجه دوم کاهش یافته است x 1 + x 2 = -p = 2،و کار x 1 ∙ x 2 = q =-4. بیایید دریافتی توسط ما را اعمال کنیم ( در مثال 2) برابری: x 1 3 + x 2 3 = -p (p 2 -3q) = 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.
پاسخ: x 1 3 + x 2 3 = 32.
سوال: اگر یک معادله درجه دوم بی سابقه به ما داده شود چه؟ پاسخ: همیشه می توان آن را با تقسیم آن بر ترم بر ضریب اول «کاهش» کرد.
5) 2x2 -5x-7 = 0.بدون تصمیم گیری، محاسبه کنید: x 1 2 + x 2 2.
راه حل.یک معادله درجه دوم کامل به ما داده می شود. دو طرف تساوی را بر 2 تقسیم کنید (ضریب اول) و معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست آورید: x 2 -2.5x-3.5 = 0.
بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه ها برابر است با 2,5 ; محصول ریشه است -3,5 .
ما به همان روش به عنوان مثال حل می کنیم 3) با استفاده از برابری: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2 = 0.پیدا کردن:
ما این برابری را تغییر می دهیم و با قضیه ویتا، مجموع ریشه ها را جایگزین می کنیم -پ، و محصول ریشه از طریق q، فرمول مفید دیگری بدست می آوریم. هنگام استخراج فرمول، از برابری 1 استفاده شد: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
در مثال ما x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙ x 2 = q =-2. این مقادیر را در فرمول به دست آمده جایگزین می کنیم:
7) x 2 -13x + 36 = 0.پیدا کردن:
این مجموع را تبدیل می کنیم و فرمولی به دست می آوریم که با آن می توان مجموع ریشه های مربع حسابی را از ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کرد.
ما داریم x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙ x 2 = q = 36. این مقادیر را با فرمول مشتق شده جایگزین کنید:
مشاوره : همیشه امکان یافتن ریشه های معادله درجه دوم را به صورت مناسب بررسی کنید، زیرا 4 بررسی شده فرمول های مفیدبه شما این امکان را می دهد که به سرعت کار را کامل کنید، در درجه اول در مواردی که متمایز کننده یک عدد "ناخوشایند" است. در همه موارد ساده ریشه ها را پیدا کنید و آنها را عمل کنید. به عنوان مثال، در آخرین مثال، ما ریشه ها را مطابق قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها باید برابر باشد. 13 ، و محصول ریشه 36 ... این اعداد چیست؟ البته، 4 و 9.حالا مجموع جذر این اعداد را محاسبه کنید: 2+3=5. خودشه!
I. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کاهش یافته.
مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + px + q = 0برابر ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را با استفاده از قضیه ویتا بیابید.
مثال 1) x 2 -x-30 = 0.این معادله درجه دوم را کاهش داد ( x 2 + px + q = 0)، ضریب دوم p = -1و مدت آزاد q = -30.ابتدا مطمئن شوید که معادله داده شده دارای ریشه است و ریشه ها (در صورت وجود) به اعداد صحیح بیان می شوند. برای این، کافی است که ممیز مربع کامل یک عدد صحیح باشد.
متمایز کننده را پیدا کنید دی= b 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
حال طبق قضیه ویتا، مجموع ریشه ها باید برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است. ( -پ، و حاصلضرب برابر با عبارت آزاد است، یعنی. ( q). سپس:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30.باید دو عدد را طوری انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر باشد -30 ، و مجموع آن است واحد... اینها اعداد هستند -5 و 6 . پاسخ: -5; 6.
مثال 2) x 2 + 6x + 8 = 0.معادله درجه دوم کاهش یافته را با ضریب دوم داریم p = 6و یک عضو رایگان q = 8... بیایید مطمئن شویم که ریشه های عدد صحیح وجود دارد. متمایز کننده را پیدا کنید د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... متمایز D 1 مربع کامل عدد است 1 بنابراین، ریشه های این معادله اعداد صحیح هستند. اجازه دهید ریشه ها را طبق قضیه ویتا انتخاب کنیم: مجموع ریشه ها برابر است با –P = -6، و محصول ریشه است q = 8... اینها اعداد هستند -4 و -2 .
در واقع: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. پاسخ: -4; -2.
مثال 3) x 2 + 2x-4 = 0... در این معادله درجه دوم کاهش یافته، ضریب دوم p = 2و مدت آزاد q = -4... متمایز کننده را پیدا کنید د 1زیرا ضریب دوم یک عدد زوج است. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. متمایز یک مربع کامل از عدد نیست، بنابراین، ما انجام می دهیم خروجی: ریشه های این معادله اعداد صحیح نیستند و با قضیه ویتا قابل یافتن نیستند.یعنی طبق معمول با استفاده از فرمول ها (در این مورد با استفاده از فرمول ها) این معادله را حل خواهیم کرد. ما گرفتیم:
مثال 4).یک معادله درجه دوم برای ریشه های آن بسازید اگر x 1 = -7، x 2 = 4.
راه حل.معادله مورد نظر به شکل زیر نوشته می شود: x 2 + px + q = 0و بر اساس قضیه ویتا –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... سپس معادله به شکل زیر در می آید: x 2 + 3x-28 = 0.
مثال 5).یک معادله درجه دوم برای ریشه های آن بسازید اگر:
II. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کامل تبر 2 + bx + c = 0.
مجموع ریشه ها منهای است بتقسیم بر آ، محصول ریشه است باتقسیم بر آ:
x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.
مثال 6).مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم را بیابید 2x 2 -7x-11 = 0.
راه حل.
ما مطمئن می شویم که این معادله ریشه داشته باشد. برای این کار کافی است یک عبارت برای ممیز بنویسید و بدون محاسبه آن فقط مطمئن شوید که ممیز بزرگتر از صفر است. دی=7 2 -4∙2∙(-11)>0 ... حالا بیایید استفاده کنیم قضیه ویتابرای معادلات درجه دوم کامل
x 1 + x 2 = -b: a=- (-7):2=3,5.
مثال 7)... حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید 3x 2 + 8x-21 = 0.
راه حل.
متمایز کننده را پیدا کنید د 1از ضریب دوم ( 8 ) یک عدد زوج است. د 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 ... معادله درجه دوم دارد 2 ریشه، طبق قضیه ویتا حاصل ضرب ریشه ها است x 1 ∙ x 2 = c: a=-21:3=-7.
I. تبر 2 + bx + c = 0- معادله درجه دوم کلی
ممیز D = b 2 - 4ac.
اگر D> 0، پس ما دو ریشه واقعی داریم:
اگر D = 0، سپس یک ریشه داریم (یا دو ریشه مساوی) x = -b / (2a).
اگر D<0, то действительных корней нет.
مثال 1) 2x 2 + 5x-3 = 0.
راه حل. آ=2; ب=5; ج=-3.
D = b 2 - 4ac= 5 2 -4 ∙ 2 ∙ (-3) = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0; 2 ریشه واقعی
4x 2 + 21x + 5 = 0.
راه حل. آ=4; ب=21; ج=5.
D = b 2 - 4ac= 21 2 - 4 ∙ 4 ∙ 5 = 441-80 = 361 = 19 2> 0; 2 ریشه واقعی
II. تبر 2 + bx + c = 0 – معادله درجه دوم جزئی با یک ثانیه زوج
ضریب ب
مثال 3) 3x 2 -10x + 3 = 0.
راه حل. آ=3; ب= -10 (عدد زوج)؛ ج=3.
مثال 4) 5x 2 -14x-3 = 0.
راه حل. آ=5; ب= -14 (عدد زوج)؛ ج=-3.
مثال 5) 71x 2 + 144x + 4 = 0.
راه حل. آ=71; ب= 144 (عدد زوج)؛ ج=4.
مثال 6) 9x 2 -30x + 25 = 0.
راه حل. آ=9; ب= -30 (عدد زوج)؛ ج=25.
III. تبر 2 + bx + c = 0 – معادله ی درجه دو نمای خصوصی ارائه شده است: a-b + c = 0.
ریشه اول همیشه منهای یک و ریشه دوم همیشه منهای است باتقسیم بر آ:
x 1 = -1، x 2 = -c / a.
مثال 7) 2x 2 + 9x + 7 = 0.
راه حل. آ=2; ب=9; ج= 7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a-b + c = 0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 = -1، x 2 = -c / a = -7 / 2 = -3.5.پاسخ: -1; -3,5.
IV. تبر 2 + bx + c = 0 – معادله درجه دوم یک فرم خاص ارائه شده است : a + b + c = 0.
ریشه اول همیشه یک است و ریشه دوم است باتقسیم بر آ:
x 1 = 1، x 2 = c / a.
مثال 8) 2x 2 -9x + 7 = 0.
راه حل. آ=2; ب=-9; ج= 7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a + b + c = 0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 = 1، x 2 = c / a = 7/2 = 3.5.پاسخ: 1; 3,5.
صفحه 1 از 1 1
در این ویدئو، مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل شده اند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل است که آنها را ساده ترین آنها می نامند.
برای شروع، بیایید تصمیم بگیریم: یک معادله خطی چیست و ساده ترین آنها چیست؟
معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.
ساده ترین معادله به معنای ساخت است:
تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین معادلات کاهش می یابد:
- در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
- عبارت‌های حاوی متغیر را به یک سمت علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به سمت دیگر منتقل کنید.
- عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
- معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $ x $ تقسیم کنید.
البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات، پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $ x $ صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:
- معادله اصلاً راه حلی ندارد. به عنوان مثال، وقتی چیزی شبیه 0 $ \ cdot x = 8 $ دریافت می کنید، یعنی. یک صفر در سمت چپ و یک عدد غیر صفر در سمت راست وجود دارد. در ویدیوی زیر چندین دلیل را به طور همزمان بررسی خواهیم کرد که چرا چنین وضعیتی ممکن است.
- راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد این است که معادله به ساختار $ 0 \ cdot x = 0 $ کاهش یافته است. کاملاً منطقی است که صرف نظر از اینکه چه $ x $ را جایگزین کنیم، باز هم "صفر برابر با صفر" خواهد بود، یعنی. برابری عددی صحیح
اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها در مشکلات زندگی واقعی کار می کند.
نمونه هایی از حل معادلات
امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی، معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.
چنین سازه هایی تقریباً به همین روش حل می شوند:
- اول از همه، شما باید پرانتزها را در صورت وجود گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
- سپس مشابه بیاورید
- در نهایت، متغیر را ضبط کنید، i.e. هر چیزی که با یک متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - باید در یک جهت منتقل شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند باید به طرف دیگر منتقل شود.
سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری به دست آمده بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.
از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتز یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منهای" اشتباه می شود.
علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید ما با ساده ترین کارها شروع خواهیم کرد.
طرحی برای حل ساده ترین معادلات خطی
برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:
- در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
- ما متغیرها را ترشح می کنیم، i.e. هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
- ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
- ما همه چیز را به ضریب "x" تقسیم می کنیم.
البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی در آن وجود دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.
حل مثال های واقعی از معادلات خطی ساده
مشکل شماره 1
در مرحله اول باید براکت ها را گسترش دهیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را در دست بگیریم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیا بنویسیم:
ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست می‌دهیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:
\ [\ فراک (6x) (6) = - \ فراک (72) (6) \]
پس جواب گرفتیم.
مشکل شماره 2
در این مشکل می‌توانیم پرانتزها را رعایت کنیم، پس بیایید آنها را بسط دهیم:
هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم پیش برویم، i.e. ما متغیرها را ترشح می کنیم:
در اینجا موارد مشابه وجود دارد:
در چه ریشه هایی اجرا می شود. پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $ x $ هر عددی است.
مشکل شماره 3
معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:
\ [\ چپ (6-x \ راست) + \ چپ (12 + x \ راست) - \ چپ (3-2x \ راست) = 15 \]
در اینجا پرانتزهای متعددی وجود دارد، اما در هیچ چیزی ضرب نمی شوند، فقط علائم متفاوتی در مقابل خود دارند. بیایید آنها را باز کنیم:
ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:
\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]
بیا بشماریم:
ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:
\ [\ فراک (2x) (x) = \ فراک (0) (2) \]
نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید
جدا از کارهای خیلی ساده، موارد زیر را می خواهم بگویم:
- همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
- حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر وجود داشته باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.
صفر همان عدد بقیه است، به هیچ وجه نباید نسبت به آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.
ویژگی دیگر مربوط به باز شدن براکت ها است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به مقابل... و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.
درک این واقعیت ساده به شما این امکان را می دهد که از اشتباهات احمقانه و آزاردهنده در دبیرستان، زمانی که چنین اقداماتی بدیهی تلقی می شوند، اجتناب کنید.
حل معادلات خطی پیچیده
بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، شما نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوماً لغو می شوند.
مثال شماره 1
بدیهی است که اولین قدم گسترش پرانتز است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:
حالا برای حفظ حریم خصوصی:
\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]
در اینجا موارد مشابه وجود دارد:
بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ می نویسیم:
\ [\ varnothing \]
یا بدون ریشه
مثال شماره 2
ما همین مراحل را دنبال می کنیم. گام اول:
همه چیز را با متغیر به سمت چپ و بدون آن به راست حرکت دهید:
در اینجا موارد مشابه وجود دارد:
بدیهی است که این معادله خطی راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:
\ [\ varnothing \]،
یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.
تفاوت های ظریف راه حل
هر دو معادله کاملاً حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی ممکن است همه چیز چندان ساده نباشد: می تواند یک ریشه باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:
قبل از افشای، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. نکته: ضرب می شود هر ترم جداگانه... در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.
و تنها پس از انجام این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید پرانتز را از این نظر گسترش دهید که بعد از آن یک علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی پرانتز وجود دارد، به این معنی که هر چیزی که پایین می آید فقط علائم را تغییر می دهد. در این مورد، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه، منهای پیشرو نیز ناپدید می شوند.
با معادله دوم هم همین کار را می کنیم:
تصادفی نیست که توجه من را به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت جلب می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.
البته، روزی فرا می رسد و شما این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا می دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.
حل معادلات خطی حتی پیچیده تر
آنچه که اکنون می خواهیم حل کنیم، در حال حاضر دشوار است که ساده ترین کار را نام ببریم، اما معنی همان است.
مشکل شماره 1
\ [\ چپ (7x + 1 \ راست) \ چپ (3x-1 \ راست) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]
بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:
بیایید حریم خصوصی را رعایت کنیم:
در اینجا موارد مشابه وجود دارد:
ما آخرین مرحله را انجام می دهیم:
\ [\ فراک (-4x) (4) = \ فراک (4) (- 4) \]
در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، آنها متقابلاً از بین رفتند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.
مشکل شماره 2
\ [\ چپ (1-4x \ راست) \ چپ (1-3x \ راست) = 6x \ چپ (2x-1 \ راست) \]
بیایید مرحله اول را به طور منظم انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، باید چهار عبارت جدید پس از تبدیل وجود داشته باشد:
حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:
بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:
\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]
در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
بار دیگر پاسخ نهایی را دریافت کردیم.
تفاوت های ظریف راه حل
مهم ترین نکته در مورد این دو معادله به این صورت است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی کنیم که در آنها از یک جمله بیشتر است، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از جمله اول می گیریم و با هر عنصر از عنصر دوم ضرب کنید. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. در نتیجه، چهار ترم دریافت می کنیم.
جمع جبری
با مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور از 1 تا 7 دلار، یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. این است که چگونه مجموع جبری با حساب معمولی متفاوت است.
هنگامی که هنگام انجام همه تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.
در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.
حل معادلات با کسری
برای حل چنین مشکلاتی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا الگوریتم خود را به شما یادآوری می کنم:
- براکت ها را باز کنید.
- متغیرهای مجزا
- موارد مشابه را بیاورید.
- تقسیم بر فاکتور
افسوس، این الگوریتم عالی، با همه اثربخشی آن، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.
در این مورد چگونه باید کار کرد؟ همه چیز خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:
- از شر کسری خلاص شوید.
- براکت ها را باز کنید.
- متغیرهای مجزا
- موارد مشابه را بیاورید.
- تقسیم بر فاکتور
"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها با مخرج عددی هستند، یعنی. همه جای مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص می شویم.
مثال شماره 1
\ [\ فراک (\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]
بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:
\ [\ frac (\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست) \ cdot 4) (4) = \ چپ (((x) ^ (2)) - 1 \ راست) \ cdot 4\]
توجه کنید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در چهار ضرب کنید. بیایید بنویسیم:
\ [\ چپ (2x + 1 \ راست) \ چپ (2x-3 \ راست) = \ چپ (((x) ^ (2)) - 1 \ راست) \ cdot 4 \]
حالا بیایید باز کنیم:
جداسازی متغیر را انجام می دهیم:
ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:
\ [- 4x = -1 \ چپ | : \ چپ (-4 \ راست) \ راست. \]
\ [\ فراک (-4x) (- 4) = \ فراک (-1) (- 4) \]
راه حل نهایی را گرفتیم، به معادله دوم بروید.
مثال شماره 2
\ [\ فراک (\ چپ (1-x \ راست) \ چپ (1 + 5x \ راست)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]
در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:
\ [\ frac (\ چپ (1-x \ راست) \ چپ (1 + 5x \ راست) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]
\ [\ فراک (4x) (4) = \ فرک (4) (4) \]
مشکل حل شده است.
این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.
امتیاز کلیدی
یافته های کلیدی به شرح زیر است:
- الگوریتم حل معادلات خطی را بشناسید.
- قابلیت باز کردن براکت ها
- اگر در جایی توابع درجه دوم دارید، نگران نباشید، به احتمال زیاد در روند تحولات بعدی کوچک می شوند.
- ریشه‌ها در معادلات خطی، حتی ساده‌ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، تمام خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.
امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، نمونه های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!
اجازه دهید دو نوع راه حل برای سیستم های معادلات را در نظر بگیریم:
1. حل سیستم به روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.
به منظور حل سیستم معادلات روش تعویضشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان می کنیم. یک متغیر از هر معادله را بیان کنید.
2. جایگزین. مقدار به دست آمده را به جای متغیر بیان شده با معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را در یک متغیر حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.
برطرف كردن سیستم با جمع ترم به ترم (تفریق)لازم:
1. متغیری را انتخاب کنید که ضرایب مشابهی برای آن ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا تفریق می کنیم، در نهایت معادله ای با یک متغیر بدست می آوریم.
3. معادله خطی حاصل را حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.
راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.
بیایید با استفاده از مثال ها راه حل سیستم ها را با جزئیات در نظر بگیریم.
مثال شماره 1:
بیایید با روش جایگزینی حل کنیم
حل یک سیستم معادلات به روش جایگزینی2x + 5y = 1 (1 معادله)
x-10y = 3 (2 معادله)
1. اکسپرس
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد که از آن به راحتی می توان متغیر x را از معادله دوم بیان کرد.
x = 3 + 10 سال
2. بعد از اینکه بیان کردیم، به جای متغیر x، 3 + 10y را در معادله اول جایگزین می کنیم.
2 (3 + 10 سال) + 5 سال = 1
3. معادله به دست آمده را در یک متغیر حل کنید.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (بسط پرانتز)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25 سال = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0.2
راه حل سیستم معادله، نقاط تقاطع نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، x را پیدا کنید، در اولین پاراگراف که در آنجا بیان کردیم، y را جایگزین می کنیم.
x = 3 + 10 سال
x = 3 + 10 * (- 0.2) = 1
مرسوم است که در وهله اول متغیر x و در مرحله دوم متغیر y را نقطه بنویسیم.
پاسخ: (1؛ -0.2)
مثال شماره 2:
بیایید با روش جمع ترم (تفریق) حل کنیم.
حل یک سیستم معادلات با روش جمع3x-2y = 1 (1 معادله)
2x-3y = -10 (2 معادله)
1. یک متغیر را انتخاب کنید، مثلا x را انتخاب کنید. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 و در دومی 2 است. لازم است ضرایب یکسان شوند، برای این کار ما حق داریم معادلات را ضرب یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول در 2 و دومی در 3 ضرب می شود و مجموع ضریب 6 بدست می آید.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. دومی را از معادله اول کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y = 2
5y = 32 | :5
y = 6.4
3. x را پیدا کنید. y یافت شده را با هر یک از معادلات جایگزین کنید، فرض کنید در معادله اول.
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12.8 = 1
3x = 1 + 12.8
3x = 13.8 |: 3
x = 4.6
نقطه تقاطع x = 4.6 خواهد بود. y = 6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)
آیا می خواهید برای امتحانات رایگان مطالعه کنید؟ مدرس آنلاین رایگان است... شوخی نکن.
