ماشین حساب آنلاین راه حل محدود. حل محدودیت های آنلاین

قانون L'Hôpital (p. L.) محاسبه حدود توابع را تسهیل می کند. به عنوان مثال، شما باید حد یک تابع را پیدا کنید که نسبت توابع به صفر باشد. آن ها رابطه تابع عدم قطعیت 0/0 است. به آشکار شدن آن کمک خواهد کرد. در حد، نسبت توابع را می توان با نسبت مشتقات این توابع جایگزین کرد. آن ها باید مشتق صورت را بر مشتق مخرج تقسیم کرد و حد را از این کسر گرفت.

1. عدم قطعیت 0/0. مورد اول L.

اگر = 0، پس اگر دومی وجود داشته باشد

2. عدم قطعیت فرم ∞ / ∞ دوم دوم.

یافتن محدودیت هایی از این نوع، عدم قطعیت های افشایی نامیده می شود.

اگر = ∞، پس اگر دومی وجود داشته باشد.

3. عدم قطعیت های 0⋅∞، ∞- ∞، 1 ∞ و 0 0 با تبدیل به عدم قطعیت های 0/0 و ∞ / ∞ کاهش می یابد. این ورودی به عنوان یک نشانه مختصر از مورد در هنگام یافتن حد عمل می کند. هر عدم قطعیتی به روش خود آشکار می شود. قانون L'Hôpital را می توان چندین بار اعمال کرد تا زمانی که از عدم قطعیت خلاص شویم. استفاده از قانون L'Hôpital زمانی مفید است که نسبت مشتقات را بتوان راحت‌تر از نسبت توابع به شکلی راحت‌تر تبدیل کرد.

0⋅∞ حاصلضرب دو تابع است، اولی به صفر و دومی به بی نهایت میل می کند.
∞- ∞ تفاوت توابع متمایل به بی نهایت است.
1 ∞ درجه، پایه آن به یک میل می کند و توان به بی نهایت میل می کند.
∞ 0 درجه، پایه آن به بی نهایت و درجه به صفر میل می کند.
0 0 درجه، پایه آن به 0 و توان نیز به سمت صفر میل می کند.

مثال 1. در این مثال، عدم قطعیت 0/0 است

مثال 2. در اینجا ∞ / ∞

در این مثال ها مشتقات صورت را بر مشتقات مخرج تقسیم می کنیم و مقدار حد را جایگزین x می کنیم.

مثال 3. نوع عدم قطعیت 0⋅∞ .

عدم قطعیت 0⋅∞ را به ∞ / ∞ تبدیل می کنیم، برای این کار x را به صورت کسری 1/x به مخرج منتقل می کنیم، مشتق صورت را در صورت، و مشتق مخرج را در مخرج می نویسیم.

مثال 4 حد یک تابع را محاسبه کنید

در اینجا عدم قطعیت شکل ∞ 0 ابتدا تابع را لگاریتم می کنیم سپس حد را از آن می یابیم.

برای دریافت پاسخ باید e را به توان 1- برسانید، e -1 را می گیریم.

مثال 5. حد if x → 0 را محاسبه کنید

راه حل. نوع عدم قطعیت ∞ -∞ با کاهش کسر به مخرج مشترک، از ∞-∞ به 0/0 عبور می کنیم. ما قانون L'Hôpital را اعمال می کنیم، اما دوباره عدم قطعیت 0/0 دریافت می کنیم، بنابراین L. باید برای بار دوم اعمال شود. راه حل به نظر می رسد:

= = = =
= =

مثال 6 حل کنید

راه حل. نوع عدم قطعیت ∞ / ∞ است، باز کردن آن را دریافت می کنیم

در موارد 3)، 4)، 5)، ابتدا تابع لگاریتم می شود و حد لگاریتم پیدا می شود و سپس حد مورد نظر e به توان حاصل افزایش می یابد.

مثال 7. حد را محاسبه کنید

راه حل. در اینجا عدم قطعیت 1∞ است. A = را نشان می دهیم

سپس lnA = = = = 2.

پایه لگاریتم e است، بنابراین برای به دست آوردن پاسخ باید مربع e را بدست آورید، e 2 را به دست می آوریم.

گاهی اوقات مواردی وجود دارد که نسبت توابع دارای حدی است، در مقابل نسبت مشتقات که ندارد.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

زیرا sinx محدود است و x به طور نامحدود رشد می کند، جمله دوم 0 است.

این تابع هیچ محدودیتی ندارد، زیرا به طور مداوم بین 0 و 2 در نوسان است، p.L برای این مثال قابل استفاده نیست.

افشای عدم قطعیت های فرم 0/0 یا ∞ / ∞ و برخی عدم قطعیت های دیگر ناشی از محاسبه حدرابطه دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ با کمک قاعده L'Hôpital (در واقع دو قانون و تذکر به آنها) بسیار ساده می شود.

اصل قوانین L'Hôpital این است که در شرایطی که محاسبه حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ عدم قطعیت هایی به شکل 0/0 یا ∞ / ∞ می دهد، حد نسبت دو تابع را می توان با حد جایگزین کرد. نسبت آنها مشتقاتو به این ترتیب نتیجه مشخصی بدست می آید.

بیایید به تدوین قوانین L'Hôpital برویم.

قانون L'Hôpital برای مورد حد دو کمیت بی نهایت کوچک... اگر توابع f(ایکس) و g(ایکس آآ، و در این محله g"(ایکس آبرابر یکدیگر و برابر با صفر

().

قانون L'Hôpital برای مورد حد از دو مقدار بی نهایت بزرگ... اگر توابع f(ایکس) و g(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه قابل تمایز هستند آ، به استثنای خود نقطه آ، و در این محله g"(ایکس) ≠ 0 و اگر و اگر حدود این توابع به عنوان x به مقدار تابع در نقطه تمایل دارد آبرابر یکدیگر و برابر بی نهایت

(),

پس حد نسبت این توابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها

().

به عبارت دیگر، برای عدم قطعیت های شکل 0/0 یا ∞ / ∞، حد نسبت دو تابع برابر است با حد نسبت مشتقات آنها، در صورت وجود دومی (متناهی یا نامتناهی).

ملاحظات.

1. قوانین L'Hôpital همچنین زمانی که توابع قابل اجرا هستند f(ایکس) و g(ایکس) برای تعریف نشده اند ایکس = آ.

2. اگر هنگام محاسبه حد نسبت مشتقات توابع f(ایکس) و g(ایکس) دوباره به عدم قطعیت شکل 0/0 یا ∞ / ∞ می رسیم، سپس قوانین L'Hôpital باید چندین بار (حداقل دو بار) اعمال شوند.

3. قوانین L'Hôpital همچنین زمانی قابل اجرا هستند که آرگومان توابع (x) به یک عدد محدود تمایل نداشته باشد. آو تا بی نهایت ( ایکس → ∞).

عدم قطعیت انواع دیگر را نیز می توان به عدم قطعیت های 0/0 و ∞ / ∞ کاهش داد.

افشای عدم قطعیت ها از انواع «صفر تقسیم بر صفر» و «بی نهایت تقسیم بر بی نهایت»

مثال 1.

ایکس= 2 منجر به عدم قطعیت شکل 0/0 می شود. بنابراین، مشتق هر تابع و به دست می آوریم

مشتق چند جمله ای در صورت حساب محاسبه شد و در مخرج - مشتق تابع لگاریتمی پیچیده... قبل از آخرین علامت مساوی، معمول است حد، به جای x دو را جایگزین کنید.

مثال 2.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید:

راه حل. جایگزینی یک مقدار در یک تابع معین ایکس

مثال 3.حد نسبت دو تابع را با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید:

راه حل. جایگزینی یک مقدار در یک تابع معین ایکس= 0 منجر به عدم قطعیت شکل 0/0 می شود. بنابراین مشتقات توابع را در صورت و مخرج محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:

مثال 4.محاسبه

راه حل. جایگزینی مقدار x برابر به اضافه بی نهایت در تابع داده شده منجر به عدم قطعیت شکل ∞ / ∞ می شود. بنابراین، قانون L'Hôpital را اعمال می کنیم:

اظهار نظر. اجازه دهید به مثال هایی بپردازیم که در آنها قانون L'Hôpital باید دو بار اعمال شود، یعنی به حد نسبت مشتقات دوم برسیم، زیرا حد نسبت مشتقات اول عدم قطعیت شکل 0 است. /0 یا ∞ / ∞.

قانون L'Hôpital را خودتان اعمال کنید و سپس راه حل را ببینید

افشای عدم قطعیت های شکل "صفر ضربدر بی نهایت"

مثال 12.محاسبه

راه حل. ما گرفتیم

این مثال از هویت مثلثاتی استفاده می کند.

افشای عدم قطعیت های انواع «صفر به توان صفر»، «بی نهایت به توان صفر» و «یک به توان بی نهایت»

عدم قطعیت های فرم، یا معمولاً با استفاده از لگاریتم یک تابع از فرم به شکل 0/0 یا ∞ / ∞ کاهش می یابد.

برای محاسبه حد یک عبارت، باید از هویت لگاریتمی استفاده کرد که یک مورد خاص از ویژگی لگاریتم است. .

با استفاده از هویت لگاریتمی و خاصیت پیوستگی تابع (برای فراتر رفتن از علامت حد)، حد باید به صورت زیر محاسبه شود:

به طور جداگانه، شما باید حد بیان را در توان پیدا کنید و بسازید هبه درجه ای که پیدا شد

مثال 13.

راه حل. ما گرفتیم

مثال 14.با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید

راه حل. ما گرفتیم

حد بیان را در توان محاسبه می کنیم

مثال 15.با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید

قانون L'Hôpital و افشای عدم قطعیت ها
افشای عدم قطعیت ها از انواع «صفر تقسیم بر صفر» و «بی نهایت تقسیم بر بی نهایت»
افشای عدم قطعیت های شکل "صفر ضربدر بی نهایت"
افشای عدم قطعیت های انواع «صفر به توان صفر»، «بی نهایت به توان صفر» و «یک به توان بی نهایت»
افشای عدم قطعیت های شکل "بی نهایت منهای بی نهایت"

قانون L'Hôpital و افشای عدم قطعیت ها

افشای عدم قطعیت های فرم 0/0 یا ∞ / ∞ و برخی عدم قطعیت های دیگر با استفاده از قانون L'Hôpital بسیار ساده شده است.

اصل قوانین L'Hôpital این است که در شرایطی که محاسبه حد نسبت دو تابع عدم قطعیت هایی به شکل 0/0 یا ∞ / ∞ می دهد، حد نسبت دو تابع را می توان با حد نسبت مشتقات آنها جایگزین کرد. و به این ترتیب می توان نتیجه قطعی به دست آورد.

به طور کلی، قوانین L'Hôpital به معنای چندین قضیه است که می تواند در فرمول بعدی بیان شود.

قانون L'Hôpital... اگر توابع f(ایکس) و g(ایکس) در برخی از همسایگی های نقطه، به استثنای، شاید، خود نقطه، و در این همسایگی قابل تمایز هستند.

(1)

در برابری (1)، مقداری که متغیر به آن گرایش دارد، می‌تواند یک عدد محدود، یا بی‌نهایت یا منهای بی‌نهایت باشد.

عدم قطعیت انواع دیگر را نیز می توان به عدم قطعیت های 0/0 و ∞ / ∞ کاهش داد.

افشای عدم قطعیت ها از انواع «صفر تقسیم بر صفر» و «بی نهایت تقسیم بر بی نهایت»

مثال 1.محاسبه

ایکس= 2 منجر به عدم قطعیت شکل 0/0 می شود. بنابراین، قانون L'Hôpital را اعمال می کنیم:

مثال 2.محاسبه

راه حل. جایگزینی یک مقدار در یک تابع معین ایکس

مثال 3.محاسبه

راه حل. جایگزینی یک مقدار در یک تابع معین ایکس= 0 منجر به عدم قطعیت شکل 0/0 می شود. بنابراین، قانون L'Hôpital را اعمال می کنیم:

مثال 4.محاسبه

اظهار نظر. اگر حد نسبت مشتق عدم قطعیت به شکل 0/0 یا ∞ / ∞ باشد، قانون L'Hôpital را می توان دوباره اعمال کرد، یعنی. رفتن به حد نسبت مشتقات دوم و غیره.

مثال 5.محاسبه

راه حل. ما پیدا می کنیم

در اینجا قانون L'Hôpital دو بار اعمال می شود، زیرا هم حد نسبت توابع و هم حد نسبت مشتقات عدم قطعیتی از شکل ∞ / ∞ می دهد.

مثال 6.محاسبه

دسته ای از گنجشک ها را با چشمانی برآمده تصور کنید. نه، این نه رعد است، نه یک طوفان، یا حتی یک پسر بچه با تیرکمان در دستانش. فقط یک گلوله توپ بزرگ و بزرگ در میان جوجه ها پرواز می کند. دقیقا قوانین L'Hôpitalبا حدودی که در آن عدم قطعیت وجود دارد یا.

قوانین L'Hôpital یک روش بسیار قدرتمند است که به شما امکان می دهد تا به سرعت و به طور موثر عدم قطعیت های ذکر شده را از بین ببرید، تصادفی نیست که در مجموعه ای از مسائل، در تست ها، آزمایش ها، اغلب یک کلیشه پایدار پیدا می شود: "محدود را محاسبه کنید، عدم استفاده از قانون L'Hôpital". الزامی که با پررنگ برجسته شده است را می توان با وجدان راحت به هر محدودیتی از دروس نسبت داد. محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها, محدودیت های شگفت انگیز. روش های حل محدود, معادل های قابل توجه، جایی که عدم قطعیت «صفر به صفر» یا «بی نهایت تا بی نهایت» مواجه می شود. حتی اگر کار به طور خلاصه فرموله شود - "محدودیت ها را محاسبه کنید"، به طور ضمنی گفته می شود که شما از همه چیز، هر چیزی استفاده خواهید کرد، اما نه از قوانین L'Hôpital.

در مجموع دو قاعده وجود دارد که هم از نظر ماهیت و هم از نظر روش کاربرد بسیار شبیه به یکدیگر هستند. علاوه بر مثال های مستقیم در مورد موضوع، ما همچنین مطالب اضافی را مطالعه خواهیم کرد که در مطالعه بیشتر تجزیه و تحلیل ریاضی مفید خواهد بود.

من بلافاصله رزرو می کنم که قوانین به صورت مختصر "عملی" ارائه می شود و اگر مجبور به قبولی در تئوری هستید، توصیه می کنم برای محاسبات دقیق تر به کتاب درسی مراجعه کنید.

اولین قانون L'Hôpital

توابعی را در نظر بگیرید که بی نهایت کوچکاز برخی نقطه نظرات. اگر محدودیتی برای رابطه آنها وجود دارد، برای از بین بردن عدم اطمینان، می توانید استفاده کنید دو مشتقات- از صورت و از مخرج. که در آن: ، به این معنا که .

توجه داشته باشید : حد نیز باید وجود داشته باشد وگرنه قاعده جاری نمی شود.

از مطالب فوق چه نتیجه ای حاصل می شود؟

ابتدا باید بتوانید پیدا کنید مشتقات توابعو هر چه بهتر - بهتر =)

ثانیاً، مشتقات به طور جداگانه از صورت و SEPARATE از مخرج گرفته می شوند. لطفا با قانون افتراق ضریب اشتباه نگیرید !!!

و ثالثاً، "X" می تواند در هر جایی تلاش کند، از جمله تا بی نهایت - اگر فقط عدم قطعیت وجود داشته باشد.

بیایید به مثال 5 مقاله اول برگردیم در مورد محدودیت ها، که در آن نتیجه زیر به دست آمد:

اولین قانون L'Hôpital برای عدم قطعیت 0:0 اعمال می شود:

همانطور که می بینید، تمایز صورت و مخرج ما را به یک پاسخ نیمه چرخشی سوق داد: دو مشتق ساده پیدا کردیم، یک "دو" را در آنها جایگزین کردیم و معلوم شد که عدم قطعیت بدون هیچ ردی ناپدید شد!

زمانی که قوانین L'Hôpital باید به صورت متوالی دو یا چند بار اعمال شوند، غیر معمول نیست (این در مورد قانون دوم نیز صدق می کند). بیایید آن را برای درس مثال 2 عصر یکپارچهسازی با سیستمعامل بیرون بکشیم در مورد محدودیت های شگفت انگیز:

دو تا نان شیرینی دوباره روی تخت دو طبقه در حال خنک شدن هستند. بیایید قانون L'Hôpital را اعمال کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله اول، مخرج گرفته می شود مشتق تابع مرکب... پس از آن، تعدادی از ساده سازی های میانی را انجام می دهیم، به ویژه، از کسینوس خلاص می شویم، که نشان می دهد که تمایل به وحدت دارد. عدم قطعیت برطرف نشده است، بنابراین قانون L'Hôpital را دوباره اعمال می کنیم (خط دوم).

من عمدا ساده ترین مثال را انتخاب نکردم تا بتوانید یک خودآزمایی کوچک انجام دهید. در صورتی که کاملاً مشخص نیست چگونه پیدا شده اند مشتقات، باید تکنیک تمایز خود را تقویت کنید، اگر تمرکز با کسینوس مشخص نیست، لطفاً به آن بازگردید محدودیت های شگفت انگیز... من در نظرات گام به گام چندان نکته ای نمی بینم، زیرا قبلاً در مورد مشتقات و محدودیت ها با جزئیات کافی صحبت کرده ام. تازگی مقاله در خود قوانین و برخی راه حل های فنی نهفته است.

همانطور که قبلا ذکر شد، در بیشتر موارد قوانین L'Hôpital نیازی به استفاده ندارند، اما اغلب توصیه می شود از آنها برای بررسی دقیق راه حل استفاده کنید. اغلب، اما نه همیشه. بنابراین، به عنوان مثال، نمونه ای که به تازگی در نظر گرفته شده است بسیار سودآورتر است معادل های شگفت انگیز.

قانون دوم L'Hôpital

برادر 2 با دو هشت خوابه دعوا می کند. به همین ترتیب:

اگر محدودیتی برای رابطه وجود دارد بی نهایت بزرگدر نقطه توابع:، سپس برای از بین بردن عدم قطعیت، می توانید استفاده کنید دو مشتق- SEPARATE از صورت و SEPARATE از مخرج. که در آن: ، به این معنا که هنگام افتراق صورت و مخرج، مقدار حد تغییر نمی کند.

توجه داشته باشید : حد باید وجود داشته باشد

باز هم در مثال های کاربردی مختلف معنی می تواند متفاوت باشد، از جمله بی پایان. مهم این است که عدم اطمینان وجود داشته باشد.

بیایید مثال شماره 3 درس اول را بررسی کنیم: ... ما از قانون دوم L'Hôpital استفاده می کنیم:

به محض اینکه در مورد غول ها صحبت می کنیم، دو حد متعارف را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

مثال 1

محاسبه حد

دریافت پاسخ با روش‌های «معمول» آسان نیست، بنابراین، برای افشای عدم تعین «بی‌نهایت تا بی‌نهایت»، از قانون L'Hôpital استفاده می‌کنیم:

بدین ترتیب، تابع خطی مرتبه رشد بالاتر از لگاریتم با پایه بزرگتر از یک( و غیره.). البته "x" در درجات بالاتر نیز چنین لگاریتمی را "کشش" خواهد کرد. در واقع، تابع نسبتا کند رشد می کند و رشد می کند برنامهنسبت به همان "x" صاف تر است.

مثال 2

محاسبه حد

یک شات آشنا دیگر. برای رفع ابهام، از قانون L'Hôpital استفاده می کنیم، علاوه بر این، دو بار متوالی:

تابع نمایی، با پایه بزرگتر از یک( و غیره.) از مرتبه رشد بالاتری نسبت به تابع توانی با درجه مثبت.

محدودیت های مشابهی در طول مواجه می شوند مطالعه عملکرد کامل، یعنی هنگام پیدا کردن مجانب نمودارها... آنها همچنین در برخی از وظایف در مورد توجه قرار می گیرند نظریه احتمال... به شما توصیه می کنم به دو مثال در نظر گرفته شده توجه داشته باشید، این یکی از معدود مواردی است که هیچ چیز بهتر از تفکیک صورت و مخرج نیست.

در ادامه متن، من بین قاعده اول و دوم L'Hôpital تمایز قائل نمی شوم، این فقط به منظور ساختار مقاله انجام شده است. به طور کلی، از نظر من، اعداد غیر ضروری بدیهیات، قضایا، قواعد، خصوصیات ریاضی تا حدودی مضر است، زیرا عباراتی مانند "طبق نتیجه 3 تا قضیه 19 ..." فقط در چارچوب یک کتاب درسی خاص آموزنده است. . در منبع دیگری از اطلاعات، همان "نتیجه 2 و قضیه 3" خواهد بود. چنین اظهاراتی فقط برای خود نویسندگان رسمی و راحت است. در حالت ایده آل، بهتر است به ماهیت یک واقعیت ریاضی اشاره کنیم. استثنا عبارت‌های تاریخی است که به عنوان مثال، اولین حد فوق العادهیا دومین محدودیت فوق العاده.

ما به توسعه موضوعی ادامه می دهیم که توسط یکی از اعضای آکادمی علوم پاریس، مارکیز گیوم فرانسوا د لوپیتال به ما پیشنهاد شده بود. مقاله مفهوم عملی واضحی به خود می گیرد و در یک کار نسبتاً رایج لازم است:

برای گرم کردن، بیایید با چند گنجشک کوچک سر و کار داشته باشیم:

مثال 3

حد را می توان با خلاص شدن از شر کسینوس از قبل ساده کرد، با این حال، به شرط احترام بگذارید و بلافاصله صورت و مخرج را متمایز کنید:

در فرآیند یافتن مشتقات، هیچ چیز غیر استاندارد وجود ندارد، بنابراین، در مخرج، معمول است قانون تمایزآثار .

مثال مورد نظر حل و فصل و پس از آن است محدودیت های شگفت انگیز، در پایان مقاله محدودیت های دشوار به مورد مشابهی پرداخته شده است.

مثال 4

حد را با قانون L'Hôpital محاسبه کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. شوخی کردم خوب =)

یک موقعیت معمولی زمانی است که پس از تمایز، کسرهای سه یا چهار طبقه به دست می آیند:

مثال 5

با استفاده از قانون L'Hôpital حد را محاسبه کنید

برنامه خودش را پیشنهاد می کند معادل قابل توجه، اما مسیر کاملاً با شرط از پیش تعریف شده است:

پس از تمایز، من اکیداً توصیه می کنم از شر کسری چند طبقه خلاص شوید و حداکثر ساده سازی را انجام دهید.... البته دانش‌آموزان پیشرفته‌تر می‌توانند مرحله آخر را رها کرده و بلافاصله بنویسند: ، اما در برخی محدوده ها حتی دانش آموزان ممتاز گیج می شوند.

مثال 6

با استفاده از قانون L'Hôpital حد را محاسبه کنید

مثال 7

با استفاده از قانون L'Hôpital حد را محاسبه کنید

اینها نمونه هایی برای راه حلی هستند که خودتان انجام دهید. در مثال 7، هیچ چیز را نمی توان ساده کرد، کسر پس از تمایز بسیار ساده است. اما در مثال 8، پس از اعمال قانون L'Hôpital، بسیار مطلوب است که از ساختار سه طبقه خلاص شوید، زیرا محاسبات راحت ترین نخواهد بود. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. اگر مشکلی دارید - جدول مثلثاتیبرای کمک به.

و زمانی که پس از تمایز، عدم قطعیت وجود داشته باشد، ساده سازی ها کاملا ضروری است حذف نشده است.

مثال 8

با استفاده از قانون L'Hôpital حد را محاسبه کنید

برو:

جالب توجه است که عدم قطعیت اولیه پس از اولین تمایز به عدم قطعیت تبدیل شد و قانون L'Hôpital با آرامش بیشتر اعمال می شود. همچنین توجه کنید که چگونه پس از هر "رویکرد" کسری چهار طبقه حذف می شود و ثابت ها به خارج از علامت حد منتقل می شوند. در مثال‌های ساده‌تر، تحمل نکردن ثابت‌ها راحت‌تر است، اما وقتی حد پیچیده است، همه چیز، همه چیز، همه چیز را ساده می‌کنیم. موذی بودن مثال حل شده نیز در این است که برای ، a، بنابراین، در مسیر از بین بردن سینوس ها، تعجب آور نیست که در علائم سردرگم شوید. در خط ماقبل آخر، سینوس ها نمی توانستند کشته شوند، اما مثال نسبتاً دشوار و قابل بخشش است.

روز پیش به یک کار جالب برخوردم:

مثال 9

راستش را بخواهید کمی شک کردم که این حد برابر با چه چیزی باشد. همانطور که در بالا نشان داده شد، "x" از مرتبه رشد بالاتری نسبت به لگاریتم برخوردار است، اما آیا مکعب لگاریتم را "کشش" می کند؟ سعی کن خودت بفهمی کی برنده میشه

بله، قوانین L'Hôpital نه تنها شلیک به گنجشک ها از توپ، بلکه کار پرزحمت است.

به منظور اعمال قوانین L'Hôpital، عدم قطعیت گونه ها به نان شیرینی یا هشتی خسته کاهش می یابد.

تلافی با عدم قطعیت در مثال های شماره 9-13 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. روش های حل محدود... به خاطر فرم، یکی دیگر را در نظر بگیریم:

مثال 10

حد یک تابع را با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید

در مرحله اول، عبارت را به یک مخرج مشترک می آوریم، در نتیجه عدم قطعیت را به عدم قطعیت تبدیل می کنیم. و سپس قانون L'Hôpital را بارگذاری می کنیم:

اتفاقاً در اینجا موردی است که دست زدن به بیان چهار طبقه بیهوده است.

عدم قطعیت همچنین در برابر تبدیل شدن به یا:

مثال 11

حد یک تابع را با استفاده از قانون L'Hôpital محاسبه کنید

محدودیت در اینجا یک طرفه است و چنین محدودیت هایی قبلاً در دفترچه راهنما مورد بحث قرار گرفته است نمودار توابع و خواص... همانطور که به یاد دارید، نمودار لگاریتم "کلاسیک" در سمت چپ محور وجود ندارد، بنابراین ما فقط می توانیم از سمت راست به صفر نزدیک شویم.

قوانین L'Hôpital برای محدودیت های یک طرفه کار می کند، اما ابتدا باید با عدم قطعیت مقابله کنید. در مرحله اول، یک کسر سه طبقه ایجاد می کنیم و عدم قطعیت به دست می آوریم، سپس راه حل از یک طرح الگو پیروی می کند:

پس از تفکیک صورت و مخرج، برای ساده سازی از کسر چهار طبقه خلاص می شویم. در نتیجه، عدم اطمینان ترسیم شد. ما این ترفند را تکرار می کنیم: دوباره کسری را سه طبقه می کنیم و قانون L'Hôpital را دوباره برای عدم قطعیت حاصل اعمال می کنیم:

آماده.

می توان سعی کرد حد اصلی را به دو شیرینی کاهش داد:

اما اولاً مشتق در مخرج دشوارتر است و ثانیاً هیچ چیز خوبی از آن حاصل نمی شود.

بدین ترتیب، قبل از حل مثال های مشابه، باید تجزیه و تحلیل کنید(به صورت شفاهی یا در پیش نویس) کاهش چه عدم قطعیت سودآورتر است - به "صفر تا صفر" یا "بی نهایت تا بی نهایت".

به نوبه خود، همراهان نوشیدن و رفقای عجیب و غریب تر به سمت نور کشیده می شوند. روش تبدیل ساده و استاندارد است.