گسترش توابع در سری های توانی

تجزیه یک تابع در یک سری از Taylor، Maclaurin و Laurent در یک سایت برای آموزش مهارت های عملی. این بسط سری یک تابع به ریاضیدانان ایده ای برای تخمین مقدار تقریبی یک تابع در نقطه ای از دامنه آن می دهد. محاسبه چنین مقداری از یک تابع در مقایسه با استفاده از جدول Bredis بسیار ساده تر است، بنابراین در عصر محاسبات بی ربط است. بسط یک تابع در سری تیلور یعنی محاسبه ضرایب جلوی توابع خطی این سری و نوشتن آن به شکل صحیح. دانش‌آموزان این دو ردیف را با هم اشتباه می‌گیرند و متوجه نمی‌شوند که حالت کلی چیست و مورد دوم چیست. یک بار برای همیشه یادآوری می کنیم که سری Maclaurin یک مورد خاص از سری تیلور است، یعنی این سری تیلور است، اما در نقطه x = 0. همه اطلاعیه های کوتاه از گسترش توابع شناخته شده مانند e ^ x ، Sin (x)، Cos (x) و دیگران، اینها بسط های سری تیلور هستند، اما در نقطه 0 برای آرگومان. برای توابع یک آرگومان پیچیده، سری Laurent متداول ترین کار در TFKP است، زیرا نشان دهنده یک سری بی نهایت دو طرفه است. حاصل جمع دو ردیف است. پیشنهاد می کنیم به طور مستقیم به یک نمونه تجزیه در سایت نگاه کنید، با کلیک بر روی "مثال" با هر عدد و سپس دکمه "راه حل" بسیار آسان است. به چنین بسط سری یک تابع است که یک سری بزرگ مرتبط می شود، که تابع اصلی را در ناحیه خاصی در امتداد محور ارتین محدود می کند، اگر متغیر متعلق به ناحیه آبسیسا باشد. آنالیز برداری در مقابل رشته جالب دیگری در ریاضیات قرار می گیرد. از آنجایی که هر اصطلاح نیاز به بررسی دارد، زمان زیادی برای این فرآیند نیاز است. هر سری تیلور را می توان با یک سری Maclaurin مرتبط کرد و x0 را با صفر جایگزین کرد، اما برای یک سری Maclaurin، گاهی اوقات واضح نیست که سری تیلور به عقب نشان داده شود. به همان اندازه که انجام آن به شکل خالص آن الزامی نیست، اما برای خودسازی عمومی جالب است. هر سری Laurent مربوط به یک سری توان بی نهایت دو طرفه در توان های صحیح z-a است، به عبارت دیگر، یک سری از همان نوع تیلور، اما در محاسبه ضرایب کمی متفاوت است. در مورد منطقه همگرایی سری Laurent کمی بعد، پس از چندین محاسبات نظری صحبت خواهیم کرد. مانند قرن گذشته، بسط گام به گام یک تابع در یک سری به سختی تنها با آوردن عبارت ها به یک مخرج مشترک امکان پذیر است، زیرا توابع موجود در مخرج ها غیرخطی هستند. محاسبه تقریبی مقدار عملکردی مستلزم فرمول بندی مسائل است. به این واقعیت فکر کنید که وقتی آرگومان سری تیلور یک متغیر خطی است، بسط در چندین عمل انجام می شود، اما یک تصویر کاملاً متفاوت، زمانی که یک تابع پیچیده یا غیرخطی به عنوان آرگومان تابع گسترش یافته عمل می کند، آنگاه فرآیند انجام می شود. نمایش چنین تابعی در یک سری توانی بدیهی است، زیرا چنین است بنابراین، محاسبه مقدار آن، هرچند تقریبی، اما در هر نقطه از دامنه تعریف، با حداقل خطا که تأثیر کمی بر محاسبات بعدی دارد، آسان است. این موضوع در مورد سری Maclaurin نیز صدق می کند. زمانی که لازم است تابع در نقطه صفر محاسبه شود. با این حال، خود سری Laurent در اینجا با تجزیه صفحه با واحدهای خیالی نشان داده می شود. همچنین حل صحیح مشکل در روند کلی بدون موفقیت نخواهد بود. در ریاضیات، این رویکرد شناخته شده نیست، اما به طور عینی وجود دارد. در نتیجه می‌توان به زیر مجموعه‌های به اصطلاح نقطه‌ای به نتیجه رسید و در بسط یک تابع در یک سری، باید از روش‌های شناخته‌شده برای این فرآیند مانند کاربرد تئوری مشتقات استفاده کرد. یک بار دیگر، ما به درستی معلم، که فرضیات خود را در مورد نتایج محاسبات پس از محاسبات انجام داده است، متقاعد می شویم. توجه داشته باشیم که سری تیلور که طبق تمامی قوانین ریاضی به دست آمده است، وجود دارد و بر روی کل محور عددی تعریف شده است، اما کاربران عزیز سرویس سایت، نوع تابع اصلی را فراموش نکنید، زیرا ممکن است مشخص شود. که در ابتدا لازم است محدوده تعریف تابع تنظیم شود، یعنی نقاطی را بنویسیم و از ملاحظات بعدی حذف کنیم که در آنها تابع در حوزه اعداد واقعی تعریف نشده است. یعنی سرعت شما را در حل مشکل نشان خواهد داد. ساخت یک سری Maclaurin با مقدار صفر آرگومان از این قاعده مستثنی نخواهد بود. در عین حال، هیچ کس فرآیند یافتن دامنه تعریف یک تابع را لغو نکرد و شما باید با جدیت تمام به این اقدام ریاضی نزدیک شوید. اگر سری Laurent شامل قسمت اصلی باشد، پارامتر "a" یک نقطه منفرد ایزوله نامیده می شود، و سری Laurent در یک حلقه گسترش می یابد - این محل تقاطع مناطق همگرایی قطعات آن است، از این رو قضیه مربوطه است. به دنبال خواهد داشت. اما همه چیز آنقدر پیچیده نیست که در نگاه اول برای یک دانش آموز بی تجربه به نظر می رسد. با مطالعه فقط سری تیلور، می توان به راحتی سری Laurent را درک کرد - یک مورد کلی برای گسترش فضای اعداد. هر گونه بسط یک تابع به یک سری فقط در یک نقطه از دامنه تابع قابل انجام است. شما باید ویژگی های چنین توابعی را در نظر بگیرید، به عنوان مثال، تناوب یا تمایز بی نهایت. همچنین پیشنهاد می کنیم از جدول بسط های آماده سری تیلور توابع ابتدایی استفاده کنید، زیرا یک تابع را می توان تا ده ها سری توان مختلف نشان داد که از برنامه ماشین حساب آنلاین ما قابل مشاهده است. سری آنلاین Maclaurin به راحتی قابل تشخیص است، در صورت استفاده از سرویس منحصربفرد سایت، فقط کافیست عملکرد ثبت شده صحیح را وارد کنید و در عرض چند ثانیه پاسخ ارائه شده را دریافت خواهید کرد، دقت و صحت آن تضمین می شود. یک فرم نوشتاری استاندارد می توانید فوراً نتیجه را در یک نسخه تمیز برای تحویل به معلم بازنویسی کنید. درست است که ابتدا تحلیلی تابع مورد بررسی را در حلقه ها تعیین کنیم، و سپس به طور صریح ادعا کنیم که در یک سری Laurent در همه این حلقه ها قابل گسترش است. مهم است که اعضای سری Laurent حاوی درجات منفی را نادیده نگیرید. تا حد امکان روی این موضوع تمرکز کنید. از قضیه لوران در مورد بسط یک تابع در یک سری در توان های عدد صحیح استفاده کنید.

چگونه فرمول های ریاضی را در وب سایت جاسازی کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانگونه است که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که Wolfram Alpha به طور خودکار تولید می کند در سایت قرار می گیرند. علاوه بر سادگی، این روش همه کاره به بهبود دید سایت شما در موتورهای جستجو کمک می کند. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار می کند)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور منظم از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، پس توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید، یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرور). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود آپلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم که پیچیده‌تر و زمان‌برتر است، سرعت بارگذاری صفحات سایت شما را افزایش می‌دهد و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، به هیچ وجه روی سایت شما تأثیری نخواهد داشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم، زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از من پیروی کنید و در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو نسخه کد گرفته شده از سایت اصلی MathJax یا از صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این انواع کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین تگ ها ویا درست بعد از برچسب ... طبق گزینه اول MathJax سریعتر لود می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را ردیابی و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در داشبورد سایت خود، یک ویجت برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث اضافه کنید، نسخه اول یا دوم کد بارگیری ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر به آن قرار دهید. ابتدای قالب (به هر حال، این به هیچ وجه ضروری نیست زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون، نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید، و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود جاسازی کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر یک از این زمان ها یک تکرار نامیده می شود.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور از آن جدا می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای به دست می آوریم که قبلاً از 400 مکعب کوچکتر تشکیل شده است. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.

دانش آموزان ریاضی بالاتر باید بدانند که مجموع یک سری توانی معین متعلق به بازه همگرایی سری که به ما داده شده است یک تابع متمایز پیوسته و بی نهایت است. این سوال مطرح می شود: آیا می توان ادعا کرد که تابع دلخواه f (x) مجموع یک سری توان معین است؟ یعنی تحت چه شرایطی f-ija f (x) را می توان با یک سری توانی نشان داد؟ اهمیت چنین سؤالی در این واقعیت نهفته است که تقریباً می توان f-yu f (x) را با مجموع چند جمله اول سری توان، یعنی با یک چند جمله ای جایگزین کرد. این جایگزینی یک تابع با یک عبارت نسبتاً ساده - یک چند جمله ای - هنگام حل برخی از مسائل نیز راحت است، یعنی: هنگام حل انتگرال، هنگام محاسبه و غیره.

ثابت شده است که برای برخی از fu و f (x)، که در آن می توان مشتقات را تا مرتبه (n + 1) ام، از جمله دومی، در همسایگی (α - R؛ x 0 + R) محاسبه کرد. از یک نقطه x = α فرمول معتبر است:

این فرمول نام دانشمند معروف بروک تیلور را دارد. سری که از قبلی بدست می آید سری Maclaurin نام دارد:

قانونی که امکان اجرای بسط را در سری Maclaurin می دهد:

1. مشتقات مرتبه اول، دوم، سوم ... را تعیین کنید.
2. مشتقات x = 0 را محاسبه کنید.
3. سری Maclaurin را برای این تابع بنویسید و سپس فاصله همگرایی آن را تعیین کنید.
4. بازه (-R; R)، جایی که بخش باقیمانده از فرمول Maclaurin را تعیین کنید

R n (x) -> 0 به عنوان n -> بی نهایت. اگر چنین وجود داشته باشد، تابع f (x) در آن باید با مجموع سری Maclaurin منطبق باشد.

اجازه دهید اکنون سری Maclaurin را برای توابع فردی در نظر بگیریم.

1. بنابراین، اولین مورد f (x) = e x خواهد بود. البته چنین تابعی با توجه به ویژگی هایش مشتقاتی از مرتبه های مختلف دارد و f (k) (x) = e x که k برابر است با x = 0 جایگزین کنید. f (k) (0) = e 0 = 1، k = 1,2 ... بر اساس موارد فوق، سطر e x به شکل زیر خواهد بود:

2. سری Maclaurin برای تابع f (x) = sin x. اجازه دهید فوراً روشن کنیم که f-s برای همه مجهولات مشتقاتی خواهد داشت، علاوه بر f "(x) = cos x = sin (x + n / 2)، f" "(x) = -sin x = sin (x + 2) * n / 2) ...، f (k) (x) = sin (x + k * n / 2)، که در آن k برابر هر عدد طبیعی است. یعنی با محاسبات ساده می توانیم به این نتیجه برسیم. که سری f (x) = sin x به این شکل خواهد بود:

3. حالا بیایید سعی کنیم f-yu f (x) = cos x را در نظر بگیریم. برای همه مجهولات، مشتقاتی از نظم دلخواه دارد و | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

بنابراین، ما مهم‌ترین توابعی را که می‌توان به یک سری Maclaurin گسترش داد، فهرست کرده‌ایم، با این حال، آنها با سری تیلور برای برخی از توابع تکمیل می‌شوند. اکنون آنها را نیز فهرست می کنیم. همچنین شایان ذکر است که سری تیلور و مکلارین بخش مهمی از کارگاه حل سری در ریاضیات عالی هستند. بنابراین، تیلور در رتبه بندی قرار می گیرد.

1. اولین سری برای f-ii f (x) = ln (1 + x) خواهد بود. مانند مثال‌های قبلی، برای f (x) = ln (1 + x)، می‌توانیم یک سری با استفاده از شکل کلی سری Maclaurin اضافه کنیم. با این حال، سری Maclaurin را می توان بسیار ساده تر برای این عملکرد به دست آورد. با ادغام یک سری هندسی خاص، یک سری برای f (x) = ln (1 + x) از چنین نمونه ای دریافت می کنیم:

2. و دومی که در مقاله ما نهایی خواهد شد، سری f (x) = arctan x خواهد بود. برای x متعلق به بازه [-1؛ 1]، تجزیه معتبر است:

همین. این مقاله به بررسی پرکاربردترین سری های تیلور و مکلارین در ریاضیات عالی، به ویژه در دانشگاه های اقتصاد و فنی پرداخته است.

"بسط سری Maclaurin تابع f (x) را بیابید"- این دقیقاً همان چیزی است که یک تکلیف ریاضی بالاتر به نظر می رسد، که برخی از دانش آموزان می توانند انجام دهند، در حالی که دیگران نمی توانند با مثال ها کنار بیایند. راه های مختلفی برای گسترش یک سری در قدرت ها وجود دارد، در اینجا روشی برای گسترش توابع در سری Maclaurin ارائه می شود. هنگام توسعه یک تابع در یک سری، باید در محاسبه مشتقات خوب باشید.

مثال 4.7 یک تابع را در توان های x بسط دهید

محاسبات: تجزیه تابع را طبق فرمول Maclaurin انجام می دهیم. ابتدا مخرج تابع را گسترش می دهیم

در نهایت بسط را در عدد ضرب می کنیم.
جمله اول مقدار تابع در صفر f (0) = 1/3 است.
اجازه دهید مشتقات تابع مرتبه اول و بالاتر f (x) و مقدار این مشتقات را در نقطه x = 0 پیدا کنیم.




علاوه بر این، با منظم بودن تغییر در مقدار مشتقات در 0، فرمول مشتق n را می نویسیم.

بنابراین، ما مخرج را به شکل یک بسط در یک سری Maclaurin نشان می دهیم

در عدد ضرب می کنیم و بسط مورد نیاز تابع را در یک سری به توان x بدست می آوریم

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد.
همه نکات کلیدی بر اساس توانایی محاسبه مشتقات و تعمیم سریع ارزش مشتق بالاترین مرتبه در صفر است. مثال‌های زیر به شما کمک می‌کنند یاد بگیرید که چگونه یک تابع را به سرعت در یک ردیف مرتب کنید.

مثال 4.10 بسط سری Maclaurin یک تابع را پیدا کنید

محاسبات: همانطور که ممکن است حدس بزنید، کسینوس موجود در صورت را به یک ردیف تجزیه می کنیم. برای این کار می توانید از فرمول های کمیت های بینهایت کوچک استفاده کنید یا می توانید بسط کسینوس را بر حسب مشتقات استخراج کنید. در نتیجه به سری بعدی در توان های x می رسیم

همانطور که می بینید، ما حداقل محاسبات و نمایش فشرده ای از بسط را در یک سری داریم.

مثال 4.16 یک تابع را در توان های x بسط دهید:
7 / (12-x-x ^ 2)
محاسبات: در این نوع مثال ها باید کسر را برحسب مجموع ساده ترین کسرها بسط داد.
اکنون نحوه انجام این کار را نشان نمی دهیم، اما با کمک ضرایب تعریف نشده به مجموع کسرهای dox می رسیم.
در مرحله بعد، مخرج ها را به صورت نمایی می نویسیم

باقی مانده است که اصطلاحات را با استفاده از فرمول Maclaurin گسترش دهیم. با جمع کردن عبارات در توان های یکسان "x"، فرمولی برای عبارت کلی بسط تابع در یک سری ایجاد می کنیم.



اجرای آخرین بخش از انتقال به سری در ابتدا دشوار است، زیرا ترکیب فرمول ها برای شاخص های جفت و جفت (درجه) دشوار است، اما با تمرین بهتر و بهتر خواهید شد.

مثال 4.18 بسط سری Maclaurin یک تابع را پیدا کنید

محاسبات: مشتق این تابع را بیابید:

بیایید تابع را در یک سری با استفاده از یکی از فرمول های مک لارن گسترش دهیم:

سریال ها به صورت ترم به ترم خلاصه می شوند بر این اساس که هر دو کاملاً همزمان هستند. با ادغام کل سری به صورت ترم، بسط تابع را در یک سری به توان x بدست می آوریم

یک انتقال بین دو خط آخر بسط وجود دارد که در ابتدا زمان زیادی از شما می گیرد. تعمیم فرمول سری برای همه آسان نیست، بنابراین نگران این نباشید که نمی توانید یک فرمول زیبا و فشرده به دست آورید.

مثال 4.28 بسط سری Maclaurin یک تابع را پیدا کنید:

لگاریتم را به صورت زیر می نویسیم

با استفاده از فرمول Maclaurin، تابع لگاریتم را در توان های x گسترش دهید

تا کردن نهایی در نگاه اول دشوار است، اما هنگامی که نشانه های متناوب را تغییر می دهید، همیشه چیزی مشابه دریافت می کنید. درس ورودی مبحث زمانبندی توابع در یک ردیف اکنون کامل شده است. دیگر طرح های تجزیه به همان اندازه جالب در مواد زیر به تفصیل مورد بحث قرار خواهند گرفت.

اگر تابع f (x)در برخی از بازه های حاوی نقطه است آ، مشتقات همه سفارشات، سپس فرمول تیلور را می توان برای آن اعمال کرد:

جایی که r n- به اصطلاح باقی مانده یا باقیمانده سری را می توان با استفاده از فرمول لاگرانژ تخمین زد:

، جایی که عدد x بین آن قرار دارد NSو آ.

اگر برای مقداری ارزش x r n®0 برای n® ¥، سپس در حد، فرمول تیلور برای این مقدار به یک همگرا تبدیل می شود سریال تیلور:

بنابراین تابع f (x)را می توان در یک سری تیلور در نقطه مورد بررسی گسترش داد NS، اگر:

1) دارای مشتقات تمام سفارشات است.

2) سری ساخته شده در این نقطه همگرا می شود.

در آ= 0 یک سری به نام دریافت می کنیم نزدیک مکلارین:

مثال 1 f (x) = 2ایکس.

راه حل... اجازه دهید مقادیر تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم NS=0

f (x) = 2ایکس, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2ایکس ln2، f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2ایکس ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2ایکسلوگاریتم n 2, f (n) ( 0) = 2 0 لوگاریتم n 2 = ln n 2.

با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به فرمول سری تیلور، به دست می آوریم:

شعاع همگرایی این سری برابر با بی نهایت است؛ بنابراین، این بسط برای - ¥ معتبر است.<ایکس<+¥.

مثال 2 NS+4) برای تابع f (x) =ه ایکس.

راه حل... مشتقات تابع e را بیابید ایکسو ارزش آنها در نقطه NS=-4.

f (x)= e ایکس, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e ایکس, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e ایکس, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e ایکس, f (n) ( -4) = e -4 .

بنابراین، سری تیلور مورد نیاز تابع به شکل زیر است:

این بسط برای - ¥ نیز معتبر است<ایکس<+¥.

مثال 3 ... گسترش تابع f (x)= ln ایکسدر یک سری در قدرت ( NS- 1),

(یعنی در سری تیلور در مجاورت نقطه NS=1).

راه حل... مشتقات این تابع را بیابید.

با جایگزینی این مقادیر در فرمول، سری تیلور مورد نیاز را دریافت می کنیم:

با استفاده از آزمون d'Alembert، می توان مطمئن شد که سری برای همگرا هستند

½ NS- 1 ½<1. Действительно,

سری همگرا می شود اگر ½ NS- 1 ½<1, т.е. при 0<ایکس<2. При NS= 2 یک سری متناوب به دست می آوریم که شرایط آزمون لایب نیتس را برآورده می کند. در NS= 0 تابع تعریف نشده است. بنابراین، دامنه همگرایی سری تیلور بازه نیمه باز است (0؛ 2).

اجازه دهید بسط های به دست آمده را به روشی مشابه در سری Maclaurin (یعنی در مجاورت نقطه) ارائه کنیم. NS= 0) برای برخی از توابع ابتدایی:

(2) ,

(3) ,

(آخرین تجزیه نامیده می شود سری دوجمله ای)

مثال 4 ... یک تابع را در یک سری توان بسط دهید

راه حل... در بسط (1) جایگزین می کنیم NSبر - NS 2، دریافت می کنیم:

مثال 5 ... تابع سری Maclaurin را گسترش دهید

راه حل... ما داریم

با استفاده از فرمول (4) می توانیم بنویسیم:

جایگزین کردن برای NSبه فرمول -NS، ما گرفتیم:

از اینجا متوجه می شویم:

با گسترش براکت ها، مرتب کردن مجدد اصطلاحات سری و کاهش اصطلاحات مشابه، به دست می آوریم

این سری در بازه همگرا می شود

(-1؛ 1)، زیرا از دو سری به دست می آید که هر کدام در این بازه همگرا می شوند.

اظهار نظر .

از فرمول های (1) - (5) نیز می توان برای گسترش توابع مربوطه در یک سری تیلور استفاده کرد. برای بسط توابع در توان های عدد صحیح مثبت ( ها). برای انجام این کار، بر روی یک تابع معین، لازم است چنین تبدیل های یکسانی انجام شود تا یکی از توابع (1) - (5) به دست آید، که در آن، به جای NSهزینه های k ( ها) m، جایی که k یک عدد ثابت است، m یک عدد صحیح مثبت است. اغلب تغییر متغیر راحت است تی=هاو تابع حاصل را با توجه به t در یک سری Maclaurin گسترش دهید.

این روش قضیه منحصر به فرد بودن بسط یک تابع در یک سری توانی را نشان می دهد. ماهیت این قضیه این است که در مجاورت یک نقطه، دو سری توان متفاوت را نمی توان به دست آورد که به یک تابع همگرا شوند، مهم نیست که چگونه بسط آن انجام شود.

مثال 6 ... یک تابع را در یک سری تیلور در همسایگی یک نقطه بسط دهید NS=3.

راه حل... این مشکل را می توان مانند قبل با استفاده از تعریف سری تیلور حل کرد که برای آن لازم است مشتقات تابع و مقادیر آنها را در NS= 3. با این حال، استفاده از تجزیه موجود آسان تر خواهد بود (5):

سری حاصل برای همگرا می شود یا -3<ایکس- 3<3, 0<ایکس< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

مثال 7 ... سری تیلور را با قدرت بنویسید ( NS-1) توابع .

راه حل.

مجموعه در همگرا می شود ، یا 2< ایکس 5 پوند