فرآیند باینری تبدیل اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزادسیمال، اعشاری، اکتال
تبصره 1
اگر می خواهید عددی را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید، بهتر است آن را به سیستم اعداد اعشاری و تنها پس از آن از عدد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری تبدیل کنید.
قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری
در محاسبات، با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی ایفا می کند. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) آمده است.
هنگام تبدیل یک عدد دودویی به اعشاری، لازم است عدد دودویی را به شکل یک چند جمله ای نشان دهیم که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه نشان داده می شود، در این مورد. 2 دلار، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_2 $ = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
شکل 1. جدول 1
مثال 1
عدد $ 11110101_2 $ تبدیل به نماد اعشاری می شود.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 1 $ درجه پایه $ 2 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
$11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 4 + 1 + 12 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) دلار
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به اعشاری، باید آن را به صورت یک چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار نمایش داده می شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_8 $ = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
شکل 2. جدول 2
مثال 2
عدد 75013_8 $ به نماد اعشاری تبدیل می شود.
راه حل.با استفاده از جدول $ 2 $ درجه پایه $ 8 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
75013_8 دلار = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان داد که هر عنصر آن به صورت حاصل ضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد $ نشان داده می شود. 16 $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
شکل 3. جدول 3
مثال 3
عدد $ FFA2_ (16) $ را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 3 $ درجه پایه 8 $، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = (610442 $)
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به باینری، باید به ترتیب بر 2 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با 1 دلار باقی بماند. یک عدد در سیستم دودویی به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 4
عدد $ 22_ (10) $ را به نماد دودویی تبدیل کنید.
راه حل:
شکل 4.
$22_{10} = 10110_2$
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به هشتی، باید آن را به ترتیب بر 8 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باقی بماند. عدد اکتال به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نمایش داده می شود.
مثال 5
عدد $ 571_ (10) $ به نماد هشتی تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 5.
$571_{10} = 1073_8$
- برای تبدیل یک عدد از سیستم اعشاری به سیستم هگزا دسیمال، باید به ترتیب بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. عدد در سیستم هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 6
عدد $ 7467_ (10) $ به نماد هگزادسیمال تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 6.
7467_ دلار (10) = 1D2B_ (16) دلار
برای تبدیل کسر صحیح از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عددی که باید تبدیل شود را به صورت متوالی در پایه سیستمی که باید به آن تبدیل شود ضرب کرد. کسر در سیستم جدید در قالب بخش های کامل از آثار، با شروع از اول ارائه خواهد شد.
به عنوان مثال: $ 0.3125 _ ((10)) $ در octal به نظر می رسد $ 0.24 _ ((8)) $.
در این حالت، زمانی که یک کسر نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری می‌تواند با کسر اعشاری نهایی مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این حالت، تعداد ارقام در کسر ارائه شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح کامل می مانند و کسرهای منظم در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم سه گانه ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
شکل 7. جدول 4
مثال 7
عدد 1001011_2 $ را به نماد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل... با استفاده از جدول 4، بیایید عدد را از باینری به هشتی تبدیل کنیم:
$001 001 011_2 = 113_8$
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقم) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم، صفرها را به عدد بالایی اضافه کرد، سپس هر تتراد را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
اهداف درس:
- مطالب مورد مطالعه را در سیستم اعداد تکرار کنید.
- آموزش تبدیل یک عدد از سیستم اعشاری به هر سیستم اعداد موقعیتی دیگر و بالعکس.
- تسلط بر اصول انتقال اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر؛
- توسعه تفکر منطقی
در طول کلاس ها
در ابتدای درس، مروری کوتاه و بررسی تکالیف.
اطلاعات عددی در حافظه کامپیوتر به چه صورت است؟
سیستم های اعداد برای چه مواردی استفاده می شوند؟
چه نوع سیستم های عددی را می شناسید؟ مثال های خود را بیاورید
سیستم های موقعیتی چه تفاوتی با غیر موقعیتی دارند؟
هدف از درس ما این است که یاد بگیریم چگونه یک عدد را از سیستم اعشاری به هر سیستم اعداد موقعیتی دیگری تبدیل کنیم و بالعکس. اما در ابتدا، ما به این خواهیم پرداخت که چگونه می توانید
هر عدد صحیح غیر منفی را نشان می دهد:
در سیستم های موقعیتی، مقدار ثبت یک عدد صحیح طبق قانون زیر تعیین می شود: اجازه دهید a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - ثبت عدد A و i - ارقام، سپس
که در آن p یک عدد صحیح بزرگتر از 1 است که به آن ریشه می گویند
برای اینکه هر عدد صحیح غیرمنفی طبق فرمول (1) نوشته شود و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد برای یک p معین، مقادیر عددی ارقام مختلف باید اعداد صحیح متفاوت متعلق به بازه 0 تا p-1 باشد. .
1) سیستم اعشاری
ارقام: 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9
شماره 5735 = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0
2) سیستم سه تایی
ارقام: 0،1،2
شماره 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0
توجه: زیرنویس در نماد اعداد نشان دهنده پایه سیستم اعدادی است که عدد در آن نوشته شده است. برای سیستم اعداد اعشاری، شاخص را می توان حذف کرد.
نمایش اعداد منفی و کسری:
در تمام سیستم های موقعیتی، علامت '-' برای نوشتن اعداد منفی و همچنین در سیستم اعشاری استفاده می شود. برای جدا کردن عدد صحیح از قسمت کسری از کاما استفاده می شود. مقدار رکورد ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am از عدد A با فرمول تعیین می شود که تعمیم فرمول (1) است:
75.6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1
–2.314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)
تبدیل اعداد از سیستم اعداد دلخواه به اعشاری:
باید درک کرد که هنگام ترجمه یک عدد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر، مقدار کمی عدد تغییر نمی کند، بلکه فقط شکل نوشتن عدد تغییر می کند، درست مانند هنگام ترجمه نام یک عدد، به عنوان مثال، از روسی به انگلیسی.
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد دلخواه به اعشاری با محاسبه مستقیم با استفاده از فرمول (1) برای اعداد صحیح و فرمول (2) برای اعداد کسری انجام می شود.
تبدیل اعداد از اعشار به دلخواه.
تبدیل یک عدد از سیستم اعشاری به سیستم p پایه به معنای یافتن ضرایب در فرمول (2) است. گاهی اوقات انجام این کار با یک انتخاب ساده آسان است. برای مثال فرض کنید می خواهید عدد 23.5 را به سیستم اکتال تبدیل کنید. به راحتی می توان فهمید که 23.5 = 16 + 7 + 0.5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 –1 = 27.48. واضح است که پاسخ همیشه چندان واضح نیست. در حالت کلی از روش ترجمه جداگانه اعداد صحیح و کسری یک عدد استفاده می شود.
برای ترجمه اعداد صحیح از الگوریتم زیر استفاده می شود (به دست آمده بر اساس فرمول (1)):
1. ضریب و باقیمانده را پس از تقسیم عدد بر p پیدا کنید. باقیمانده رقم بعدی ai (j = 0,1,2 ...) خواهد بود که عدد را در سیستم اعداد جدید ثبت می کند.
2. اگر ضریب صفر باشد، ترجمه عدد کامل است، در غیر این صورت بند 1 را به ضریب اعمال می کنیم.
نکته 1. ارقام ai در رکورد اعداد از راست به چپ شماره گذاری می شوند.
نکته 2. اگر p> 10 باشد، باید برای اعدادی که مقادیر عددی آنها بزرگتر یا مساوی 10 باشد، عناوین وارد کنید.
تبدیل عدد 165 به سیستم اعداد هفتگانه.
165: 7 = 23 (باقيمانده 4) => a 0 = 4
23: 7 = 3 (باقيمانده 2) => a 1 = 2
3: 7 = 0 (باقی مانده 3) => a 2 = 3
بیایید نتیجه را بنویسیم: a 2 a 1 a 0, i.e. 3247.
پس از بررسی فرمول (1)، از صحت ترجمه مطمئن خواهیم شد:
3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.
برای ترجمه قطعات کسری اعداد، از الگوریتمی استفاده می شود که بر اساس فرمول (2) به دست آمده است:
1. جزء کسری عدد را در p ضرب کنید.
2. قسمت صحیح نتیجه رقم بعدی am (m = –1، –2، –3…) خواهد بود که عدد را در سیستم اعداد جدید ثبت می‌کند. اگر قسمت کسری حاصل برابر با صفر باشد، ترجمه عدد کامل است، در غیر این صورت نقطه 1 را به آن اعمال می کنیم.
نکته 1. ارقام a m در رکورد اعداد به ترتیب صعودی قدر مطلق m از چپ به راست مرتب شده اند.
نکته 2. معمولاً تعداد ارقام کسری در رکورد جدید عدد از قبل محدود می شود. این به شما امکان می دهد ترجمه تقریبی را با دقت مشخص انجام دهید. در مورد کسرهای نامتناهی، این محدودیت محدود بودن الگوریتم را تضمین می کند.
تبدیل عدد باینری 0.625.
0.625 2 = 1.25 (کل قسمت 1) => a -1 = 1
0.25 2 = 0.5 (قسمت صحیح 0) => a- 2 = 0
0.5 2 = 1.00 (کل قسمت 1) => a- 3 = 1
بنابراین 0.62510 = 0.1012
پس از بررسی فرمول (2)، از صحت ترجمه مطمئن خواهیم شد:
0.1012 = 1 2 -1 + 0 2- 2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0.5 + 0.125 = 0.625.
عدد 0.165 را به سیستم اعداد چهارتایی، محدود به چهار رقم چهارتایی تبدیل کنید.
0.165 4 = 0.66 (قسمت صحیح 0) => a -1 = 0
0.66 4 = 2.64 (قسمت صحیح از 2) => a -2 = 2
0.64 4 = 2.56 (کل قسمت 2) => a -3 = 2
0.56 4 = 2.24 (قسمت صحیح از 2) => a -4 = 2
بنابراین، 0.16510 "0.02224
بیایید یک ترجمه معکوس انجام دهیم تا مطمئن شویم که خطای مطلق از 4-4 تجاوز نمی کند:
0.02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1 / 128 = 21/128 = 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
تبدیل اعداد از یک سیستم دلخواه به سیستم دیگر
در این حالت ابتدا باید عدد را به سیستم اعشاری و سپس از اعشاری به عدد مورد نیاز تبدیل کنید.
روش خاصی برای ترجمه اعداد برای سیستم هایی با پایه های متعدد استفاده می شود.
فرض کنید p و q پایه های دو سیستم عددی باشند. اگر p = qn یا q = pn، که در آن n یک عدد طبیعی است، این سیستم‌های عددی را با پایه‌های متعدد می‌نامیم. بنابراین، برای مثال، سیستم های اعداد با پایه های 2 و 8، سیستم های اعداد با پایه های متعدد هستند.
فرض کنید p = qn و لازم است یک عدد از سیستم اعداد با پایه q به سیستم اعداد با پایه p منتقل شود. قسمت های صحیح و کسری اعداد ضبط شده را به گروه های n رقمی متوالی در سمت چپ و راست کاما تقسیم می کنیم. اگر تعداد ارقام در ضبط قسمت صحیح عدد مضرب n نباشد، باید تعداد صفرهای مربوطه را به سمت چپ اضافه کرد. اگر تعداد ارقام در رکورد جزء کسری یک عدد مضرب n نباشد، در سمت راست صفرها اضافه می شوند. هر گروه از ارقام یک عدد در سیستم اعداد قدیمی با یک رقم از یک عدد در سیستم اعداد جدید مطابقت دارد.
تبدیل 1100001111 2 در سیستم اعداد 4 برابری.
پس از جمع صفرها و انتخاب جفت اعداد، 01100001.11102 به دست می آید.
حالا بیایید هر جفت اعداد را جداگانه با استفاده از مورد تبدیل اعداد از یک سیستم دلخواه به سیستم دیگر ترجمه کنیم.
بنابراین، 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
فرض کنید اکنون لازم است یک انتقال از یک سیستم با ریشه q بزرگ به یک سیستم با ریشه p کوچکتر انجام شود، یعنی. q = p n. در این حالت، یک رقم از عدد در سیستم اعداد قدیمی با n رقم از عدد در سیستم اعداد جدید مطابقت دارد.
مثال: بیایید ترجمه قبلی یک عدد را بررسی کنیم.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
در سیستم هگزادسیمال اعدادی با مقادیر عددی 10،11،12،13،14،15 وجود دارد. برای تعیین آنها، از شش حرف اول الفبای لاتین A، B، C، D، E، F استفاده کنید.
در اینجا جدولی از اعداد 0 تا 16 وجود دارد که در پایه 10، 2، 8 و 16 نوشته شده است.
| عدد اعشاری | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| به صورت اکتال | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| در باینری | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| هگزادسیمال | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | آ | ب | سی | دی | E | اف | 10 |
برای نوشتن ارقام هگزادسیمال می توانید از حروف کوچک لاتین a-f نیز استفاده کنید.
مثال: عدد 110101001010101010100.11 2 را به یک سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل می کنیم.
بیایید از تعدد پایه های سیستم های اعداد استفاده کنیم (16 = 2 4). بیایید اعداد را چهار گروه کنیم و تعداد صفرهای لازم را به چپ و راست اضافه کنیم
000110101001010101010100,1100 2
و با مراجعه به جدول بدست می آوریم: 1A9554, C 16
خروجی:
اینکه کدام سیستم اعداد برای نوشتن اعداد بهتر است یک موضوع راحت و سنتی است. از نقطه نظر فنی، استفاده از یک سیستم باینری در رایانه راحت است، زیرا فقط از دو رقم 0 و 1 برای ثبت یک عدد استفاده می کند که می تواند با دو حالت به راحتی قابل تشخیص "بدون سیگنال" و "وجود دارد" نمایش داده شود. یک سیگنال».
از سوی دیگر، پرداختن به نمادهای باینری اعداد برای شخص ناخوشایند است، زیرا آنها از اعداد اعشاری طولانی تر هستند و ارقام تکرار شونده زیادی در آنها وجود دارد. بنابراین، اگر لازم است با نمایش ماشینی اعداد کار کنید، از سیستم اعداد هشت یا هگزادسیمال استفاده کنید. پایه های این سیستم ها از توان های اعداد صحیح دو است و بنابراین اعداد را می توان به راحتی از این سیستم ها به دودویی و بالعکس ترجمه کرد.
ما تکلیف را در خانه می نویسیم:
الف) تاریخ تولد همه اعضای خانواده خود را در سیستم های اعداد مختلف ثبت کنید.
ب) اعداد را از باینری به هشتی و هگزادسیمال تبدیل کنید و سپس با انجام ترجمه معکوس نتایج را بررسی کنید:
الف) 1001111110111.011 2;
ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. اعداد می توانند حداکثر 30 کاراکتر باشند. از نماد برای وارد کردن اعداد کسری استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن ترجمه کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.
شماره اصلی ثبت شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -ام سیستم اعداد.
من می خواهم یک رکورد از شماره در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.
رکورد دریافت کنید
ترجمه های کامل: 1363703
سیستم های اعداد
سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست... ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، و رومی نیز وجود دارد - فقط موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. این را با در نظر گرفتن مثال یک عدد به راحتی می توان فهمید.
مثال 1... بیایید عدد 5921 را به صورت اعشاری در نظر بگیریم. با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:
عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را تعیین می کند. مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
مثال 2... عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:
عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 0 + 4 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
ساده ترین راه برای انتقال یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که عدد را ابتدا به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه به دست آمده را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری
برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری کافی است ارقام آن را با شروع از صفر (محل سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2 شماره گذاری کنید. مجموع حاصلضرب ارقام را بیابید. عدد بر اساس سیستم اعداد در توان موقعیت این رقم:
1.
عدد 1001101.1101 2 را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
E8F.2D 16 را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0.125 + 0.05078125 = 3727.151
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه ترجمه شوند.
تبدیل قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
کل قسمت از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعدادی دیگر با تقسیم متوالی کل قسمت عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا کل باقیمانده که کمتر از پایه سیستم اعداد است به دست آید. نتیجه انتقال یک ورودی از موجودی خواهد بود که با آخرین مورد شروع می شود.
3.
تبدیل عدد 273 10 به سیستم اعداد اکتالی.
راه حل: 273/8 = 34 و باقیمانده 1، 34/8 = 4 و باقیمانده 2، 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبات کامل است. رکورد باقی مانده به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8
بیایید ترجمه کسرهای اعشاری صحیح را در سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.
تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
به یاد بیاورید که کسر اعشاری صحیح نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر... برای تبدیل چنین عددی به سیستم اعداد پایه N، باید عدد را به ترتیب در N ضرب کنید تا قسمت کسری صفر شود یا تعداد ارقام مورد نیاز به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با یک قسمت صحیح متفاوت از صفر به دست آید، آنگاه قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.
4.
تبدیل عدد باینری 0.125 10.
راه حل: 0.125 2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25 2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5 2 = 1.0 (1 رقم سوم نتیجه است. ، و از آنجایی که جزء کسری برابر با صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2
نتیجه قبلاً دریافت شده است!
سیستم های اعداد
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم موقعیتی است، اما سیستم رومی اینطور نیست. در سیستم‌های عددی موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصربه‌فرد بزرگی عدد را تعیین می‌کند. بیایید با استفاده از عدد اعشاری 6372 به عنوان مثال به این نگاه کنیم. بیایید با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ بشماریم:
سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نمایش داد:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری کنیم:
سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + 2 · 10 10 -3.
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
C n س n + C n-1 س n-1 + ... + C 1 س 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
که در آن Ц n یک عدد صحیح در موقعیت است n، Д -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم های اعداد اعداد در سیستم اعداد اعشاری از ارقام زیادی تشکیل شده است (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، در سیستم اعداد هشتگانه - از مجموعه ای از اعداد (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم اعداد باینری - از مجموعه اعداد (0،1)، در سیستم اعداد هگزادسیمال - از مجموعه اعداد (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9، A، B، C، D، E، F)، که در آن A، B، C، D، E، F با اعداد 10،11 مطابقت دارد. اعداد، 12،13،14،15 در سیستم های اعداد مختلف ارائه شده است.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | دی |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | اف |
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری
با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.
مثال 1. عدد 1011101.001 را از نماد دودویی (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125
مثال2. 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
مثال 3 ... عدد AB572.CDF را از پایه هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- تا 15
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.
قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری تبدیل می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای یک SS باینری - بر 2، برای یک SS 8 عددی - بر 8، برای 16-ary - در 16، و غیره) ) تا زمانی که یک باقیمانده کامل، کمتر از CC پایه به دست آید.
مثال 4 ... بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که از شکل مشاهده می شود. 1، عدد 159 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 را می دهد. علاوه بر این، عدد 79 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 و غیره را می دهد. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، عدد را در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 ... بنابراین می توانیم بنویسیم:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 ... بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از 8 به دست آید. عدد را در SS octal دریافت می کنیم: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین می توانیم بنویسیم:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 ... عدد 19673 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنید.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی 19673 بر 16، مابقی 4، 12، 13، 9 را به دست آوردیم. در سیستم هگزادسیمال، عدد 12 مربوط به C و عدد 13 مربوط به D است. بنابراین، ما عدد هگزادسیمال 4CD9 است.
برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به پایه s، این عدد باید به صورت متوالی در s ضرب شود تا زمانی که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید، در غیر این صورت تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر در حین ضرب، عددی با قسمت صحیح متفاوت از صفر به دست آید، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (به ترتیب به نتیجه اضافه می شوند).
بیایید با مثال موارد فوق را در نظر بگیریم.
مثال 7 ... عدد 0.214 را از اعشاری به SS باینری تبدیل کنید.
| 0.214 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. اگر حاصل ضرب یک عدد غیرصفر با یک قسمت صحیح باشد، آنگاه قسمت صحیح جداگانه (در سمت چپ عدد) نوشته می شود و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر هنگام ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم اعداد باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .
بنابراین می توانیم بنویسیم:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 ... بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری، این عدد به ترتیب در 2 ضرب می شود. در مرحله سوم، 0 شد. بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 ... بیایید عدد 0.214 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد 12 و 11 با اعداد C و B مطابقت دارند. بنابراین، داریم:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
مثال 10 ... تبدیل اعشاری به اعشاری SS 0.512.
| 0.512 | ||
| ایکس | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.728 |
بدست آورد:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 ... تبدیل عدد 159.125 از اعشاری به باینری SS. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به این نتیجه می رسیم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 ... تبدیل عدد 19673.214 از اعشاری به SS هگزادسیمال. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به دست می آوریم.
قانون.برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم اعداد دیگر، باید عدد اصلی را بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید. ضریب حاصل را دوباره بر اساس سیستم اعداد جدید تقسیم کنید و تا آن زمان تقسیم را ادامه دهید. تا زمانی که ضریب از پایه سیستم اعداد جدید کمتر شود. باقی مانده های حاصل از تقسیم، که از آخرین مورد شروع می شود، به ترتیب معکوس نوشته می شوند. این ثبت شماره در سیستم شماره جدید خواهد بود.
مثال.عدد 135 را از SS 10-ary به سیستم های نمادگذاری 2-ary، 8-ary و hexadecimal تبدیل کنید.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
وظیفه 2.
اعداد زیر 1275,973, 172 را به SS باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید
ترجمه معکوس اعداد از هر SS به 10 رقمی.
1) برای تبدیل یک عدد از هر SS به SS اصلی (ترجمه معکوس)،باید هر رقم این عدد را در پایه SS اصلی ضرب کنید. با یک رقم صفر از راست به چپ شروع کنید و محصولات را اضافه کنید. اگر کسر اعشاری ترجمه می شود، قانون ثبت اعداد صحیح و کسری عدد باید اعمال شود.
2) ترجمه معکوس اعداد طبق فرمول انجام می شود:
که در آن A یک عدد معین است،
g - پایه SS یک عدد معین (= 2 برای 2-ary اس اس،برای سایر SS - مشابه)،
m تعداد ارقام در قسمت صحیح عدد است.
n - تعداد ارقام در قسمت کسری عدد،
الف - مقدار ارقام عدد داده شده (رکورد قسمت کسری عدد با رنگ آبی مشخص شده است).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 = 6 * 8 1 + 6 * 8 0 = 48 + 6 = 54 10 9A 16 = 9 * 16 1 + 10 * 16 0 = 144 + 10 = 154 10
13.4 8 = 1 * 8 1 + 3 * 8 0 + 4 * 8 -1 = 8 + 3 + 0.5 = 11.5 10 (این عدد یک کسر اعشاری است)
تکلیف 3.
اعداد زیر را به SS اعشاری تبدیل کنید:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 = 2585726 ... 10 16A3 16 2BAFD 16
ترجمه اعداد با ریشه ای که توان 2 است و ترجمه معکوس.این SS ها شامل سیستم های اعداد باینری، اکتال و هگزادسیمال می باشند.
قانون. SS باینری به SS Octal. عدد باینری از انتها به گروه های 3 رقمی (از راست به چپ) تقسیم می شود و هر گروه در یک CC جدید به یک عدد تبدیل می شود.
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم اکتال به صورت سه گانه نوشته می شود.
قانون. از SS باینری تا SS هگزا دسیمال: مشابه، اما هر کدام 4 رقم جداگانه
0110.0110.1011 2 = 66B 16
1011.1111.0111 2 = BF7 16
10.1010.0111.0001 2 = 2A71 16
قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم هگزا دسیمال به صورت تتراد نوشته می شود.
ترجمه کسرهای صحیح و نادرست در SS های مختلف.اگر نیاز به ترجمه کسری معمولی دارید، ابتدا باید آن را به کسری اعشاری تبدیل کنید و سپس قوانین تبدیل کسری اعشاری را اعمال کنید.
قانون. تبدیل کسرهای اعشاری کمتر از یک (کسرهای صحیح).
1) لازم است قسمت کسری را با یک خط عمودی جدا کنید.
2) بخش کسری را بر اساس سیستم اعداد جدید ضرب کنید.
3) نتیجه را دقیقاً زیر عدد اصلی بنویسید و از کمترین بیت شروع کنید. اگر انتقالی به یک قسمت کامل دریافت کردید، آن را در سمت چپ خط بنویسید.
4) ضرب جزء کسری تا زمانی انجام می شود که عددی با دقت معین به دست آید یا در سمت راست خط 0 وجود نداشته باشد.
0,728 10 =0,564 8
وظیفه 4.کسرهای صحیح زیر را از SS اعشاری به SS باینری، اکتال، هگزادسیمال تبدیل کنید:.
