این ماشین حساب ریاضی آنلاین در صورت نیاز به شما کمک می کند حد یک تابع را محاسبه کنید... برنامه محدودیت راه حل هانه تنها به مسئله پاسخ می دهد، بلکه می دهد راه حل دقیق با توضیحات، یعنی روند محاسبه حد را نشان می دهد.

این برنامه می تواند برای دانش آموزان سال آخر دبیرستان در آمادگی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام بررسی دانش قبل از امتحان، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید تدریس خود و / یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، ضمن اینکه سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

عبارت تابع را وارد کنید

محاسبه حد

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این مشکل بارگذاری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه اشتباه در تصمیم گیری شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید و چه در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

حد تابع در x-> x 0

اجازه دهید تابع f (x) در مجموعه ای از X تعریف شود و نقطه \ (x_0 \ در X \) یا \ (x_0 \ notin X \) تعریف شود.

از X دنباله ای از نقاط غیر از x 0 بگیرید:
x 1، x 2، x 3، ...، x n، ... (1)
همگرا به x *. مقادیر تابع در نقاط این دنباله نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند
f (x 1)، f (x 2)، f (x 3)، ...، f (x n)، ... (2)
و بحث وجود حد آن قابل طرح است.

تعریف... عدد A حد تابع f (x) در نقطه x = x 0 (یا در x -> x 0) نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) به x 0 از مقادیر آرگومان همگرا شود. x غیر از x 0 دنباله مربوطه (2) از تابع مقادیر به A همگرا می شود.

$$ \ lim_ (x \ تا x_0) (f (x)) = A $$

تابع f (x) فقط می تواند یک حد در نقطه x 0 داشته باشد. این نتیجه از این واقعیت است که دنباله
(f (x n)) فقط یک حد دارد.

تعریف دیگری از محدودیت تابع وجود دارد.

تعریفعدد A حد تابع f (x) در نقطه x = x 0 نامیده می شود اگر برای هر عدد \ (\ varepsilon> 0 \) یک عدد \ (\ delta> 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه \ (x \ در X، \; x \ neq x_0 \) با ارضای نابرابری \ (| x-x_0 | با استفاده از نمادهای منطقی، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری
\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ وجود \ دلتا> 0) (\ forall x \ در X, \; x \ neq x_0, \; | x-x_0 | توجه داشته باشید که نابرابری‌های \ (x \ neq x_0 , \; | x-x_0 | تعریف اول مبتنی بر مفهوم محدودیت دنباله اعداد است، بنابراین اغلب به آن "زبان توالی" می گویند. تعریف دوم "\ (\ varepsilon - \ delta \)" نامیده می شود. تعریف.
این دو تعریف از حد یک تابع معادل هستند و بسته به اینکه کدام یک برای حل یک مشکل خاص راحت تر است، می توانید از هر کدام از آنها استفاده کنید.

توجه داشته باشید که تعریف حد تابع "در زبان دنباله ها" را تعریف حد یک تابع از نظر هاینه و تعریف حد تابع "در زبان \ (\ varepsilon - می نامند. \ delta \)" تعریف حد یک تابع طبق کوشی نامیده می شود.

حد تابع در x-> x 0 - و در x-> x 0 +

در ادامه از مفاهیم محدودیت های تابع یک طرفه استفاده خواهیم کرد که به صورت زیر تعریف می شوند.

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 نامیده می شود، اگر برای هر دنباله (1) همگرا به x 0، که عناصر آن xn بزرگتر (کمتر) x 0 هستند، دنباله مربوطه است. (2) به A همگرا می شود.

این به صورت نمادین به صورت زیر نوشته شده است:
$$ \ lim_ (x \ تا x_0 +) f (x) = A \; \ چپ (\ lim_ (x \ تا x_0-) f (x) = A \ راست) $$

می توانید یک تعریف معادل از محدودیت های یک طرفه یک تابع "در زبان \ (\ varepsilon - \ delta \)" ارائه دهید:

تعریفعدد A حد راست (چپ) تابع f (x) در نقطه x 0 نامیده می شود اگر برای هر \ (\ varepsilon> 0 \) \ (\ delta> 0 \) وجود داشته باشد به طوری که برای همه x راضی کننده باشد. نابرابری های \ (x_0 ورودی های نمادین:

\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ وجود \ دلتا> 0) (\ forall x, \; x_0

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n) اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک باشدε > 0 یک عدد N وجود دارد که همه مقادیر را نشان می دهد x n، که برای آن n> N، نابرابری را برآورده می کند

| x n - a |< ε. (6.1)

آنها آن را به صورت زیر می نویسند: یا x n →آ.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

الف - ε< x n < a + ε, (6.2)

به این معنی که نقاط x n، با شروع از مقداری n> N، در داخل بازه (a-ε، a + ε ) یعنی به هر کوچکی بیفتندε -همسایگی نقطه آ.

دنباله ای که دارای حد باشد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد یک تابع تعمیم مفهوم حد یک دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f (n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f (x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه این تابع D (f)، یعنی نقطه ای که هر همسایگی آن شامل نقاطی از مجموعه D (f) غیر از آ... نقطه آممکن است به مجموعه D (f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f (x) در x →اگر برای هر دنباله ای (xn) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f (x n)) دارای حد A یکسان هستند.

این تعریف نامیده می شود تعریف حد یک تابع طبق هاینه،یا " به زبان سکانس ها”.

تعریف 2... عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f (x) در x →a اگر، با تعیین یک عدد مثبت دلخواه و کوچک ε، می توان چنین δ را پیدا کرد> 0 (بسته به ε) که برای همه ایکسدراز کشیده درε-همسایگی های عدد آ، یعنی برای ایکسارضای نابرابری
0 < x-a< ε ، مقادیر تابع f (x) در آن قرار خواهد گرفتε-همسایگی عدد A، یعنی.| f (x) -A |< ε.

این تعریف نامیده می شود تعریف حد کوشی یک تابع،یا «در زبان ε - δ “.

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f (x) به صورت x →یک دارد حدبرابر A، این به صورت نوشته می شود

. (6.3)

در صورتی که دنباله (f (xn)) برای هر روش تقریبی به طور نامحدود افزایش (یا کاهش می‌یابد) ایکستا حد شما آ، سپس می گوییم که تابع f (x) دارد محدودیت بی پایان،و آن را به صورت زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود ارزش بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن بی نهایت است نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده کنید.

قضیه 1 ... اگر هر محدودیتی وجود دارد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر... عباراتی مانند 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - نامشخص هستند، برای مثال نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع «افشای عدم قطعیت ها» نامیده می شود.

قضیه 2. (6.7)

آن ها شما می توانید به حد در پایه درجه با یک توان ثابت بروید، به ویژه، ;

(6.8)

(6.9)

قضیه 3.

(6.10)

(6.11)

جایی که ه » 2.7 پایه لگاریتم طبیعی است. فرمول های (6.10) و (6.11) اولین نامیده می شوند حد فوق العادهو دومین حد قابل توجه.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد

اگر x → a و همزمان x> a، سپس x می نویسند→ a + 0. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0 + 0، +0 را بنویسید. به طور مشابه، اگر x →a و علاوه بر این، x a-0. شماره و بر این اساس فراخوانی می شوند محدود در سمت راستو محدود باقی مانده است کارکرد f (x) در نقطه آ... برای اینکه حدی از تابع f (x) به صورت x → وجود داشته باشدa لازم و کافی است تا ... تابع f (x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

. (6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

,

یعنی عبور از حد تحت علامت تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر مساوات (6.15) نقض شود، گفته می شود در x = x o عملکرد f (x) این دارد زنگ تفريح.تابع y = 1 / x را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 نقطه حدی مجموعه D (f) است، زیرا در هر همسایگی آن، یعنی، هر بازه باز حاوی نقطه 0 حاوی نقاطی از D (f) است، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f (x o) = f (0) تعریف نشده است، بنابراین تابع در نقطه x o = 0 ناپیوستگی دارد.

تابع f (x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o، اگر حد

,

و پیوسته در نقطه باقی مانده است x o، اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل تداوم آن در این نقطه در سمت راست و چپ است.

برای اینکه تابع در نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر f (x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f (x o) نباشد، می گویند عملکرد f (x) در نقطه x o دارد شکست از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد است+ ∞ یا -∞ یا وجود ندارد، سپس می گویند که در نقطه x o تابع دارای شکاف است نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x برای x→ +0 حدی برابر با + ∞ دارداز این رو، در نقطه x = 0 دارای ناپیوستگی نوع دوم است. تابع y = E (x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای اعداد صحیح دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم v یک تابع پیوسته به صورت یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم هر کمیت منجر به دومین حد قابل توجه می شود. چنین وظایفی برای مثال عبارتند از: رشد سهم طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تولید مثل باکتری ها و غیره.

در نظر گرفتن نمونه Ya.I. Perelmanتفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد ... در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر اتصال بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار زیادی در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده را در نظر بگیریم. بگذارید بانک 100 den بگذارد. واحدها با نرخ 100% در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این تاریخ 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا بیایید ببینیم چه چیزی به 100 den تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از نیم سال 100 den. واحدها به 100 افزایش خواهد یافت× 1.5 = 150 و شش ماه بعد - 150× 1.5 = 225 (واحد پولی). اگر اتصال هر 1/3 سال انجام شود، پس از سال 100 den. واحدها به 100 تبدیل شود× (1 +1/3) 3 اینچ 237 (واحد پولی). بازه زمانی پیوستن به پول با بهره را تا 0.1 سال، تا 0.01 سال، تا 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال معلوم می شود:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (واحد پولی)،

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (واحد پولی)،

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (واحد پولی).

با کاهش نامحدود در شرایط ضمیمه بهره، سرمایه تعهدی بی‌نهایت رشد نمی‌کند، بلکه به حد معینی نزدیک می‌شود که تقریباً برابر با 271 است. سرمایه تخصیص‌یافته 100% در سال نمی‌تواند بیش از 2.71 برابر افزایش یابد، حتی اگر مبلغ تعهدی. بهره هر ثانیه به سرمایه اضافه می شد زیرا حد

مثال 3.1.با استفاده از تعریف حد یک دنباله عددی، ثابت کنید که دنباله x n = (n-1) / n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.ما باید ثابت کنیم که هر چه باشدε ما> 0 را در نظر نگرفتیم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n N نابرابری زیر برقرار است:| x n -1 |< ε.

هر e> 0 را بگیرید. x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n، سپس برای یافتن N کافی است نابرابری 1 / n را حل کنیم.< ه. بنابراین n> 1 / e و بنابراین، N را می توان به عنوان قسمت صحیح 1 / در نظر گرفت. e، N = E (1 / e ). بنابراین ما ثابت کردیم که حد.

مثال 3.2 ... حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل.قضیه حد مجموع را اعمال می کنیم و حد هر جمله را می یابیم. برای n→ ∞ صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و ما نمی توانیم مستقیماً قضیه حد نصاب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x nبا تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n... سپس با اعمال حد نصاب و قضیه حد مجموع، متوجه می‌شویم:

.

مثال 3.3. ... پیدا کردن .

راه حل. .

در اینجا از قضیه حد درجه استفاده کرده ایم: حد درجه برابر با درجه حد پایه است.

مثال 3.4 ... پیدا کردن ( ).

راه حل.اعمال قضیه اختلاف حدی غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل را داریم ∞-∞ ... فرمول عضو مشترک را تبدیل می کنیم:

.

مثال 3.5 ... تابع f (x) = 2 1 / x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.اجازه دهید از تعریف 1 حد یک تابع بر حسب یک دنباله استفاده کنیم. دنباله ای (xn) را در نظر بگیرید که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f (xn) = برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1 / n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1 / n، همچنین به سمت صفر گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6 ... ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.اجازه دهید x 1، x 2، ...، x n، ... دنباله ای باشد که برای آن
... چگونه دنباله (f (x n)) = (sin x n) برای x های مختلف رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = sin p n = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n + p / 2، سپس sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 برای همه nو از این رو محدودیت. پس وجود ندارد.

ویجت برای محاسبه محدودیت ها به صورت آنلاین

در پنجره بالا به جای sin (x) / x تابعی را که می خواهید حد آن را پیدا کنید وارد کنید. در پنجره پایین عددی را که x تمایل دارد وارد کنید و دکمه Calcular را فشار دهید، حد مورد نظر را بدست آورید. و اگر در پنجره نتیجه در گوشه سمت راست بالای نمایش مراحل را کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

قوانین ورود تابع: sqrt (x) - ریشه مربع، cbrt (x) - ریشه مکعب، exp (x) - توان، ln (x) - لگاریتم طبیعی، sin (x) - سینوس، cos (x) - کسینوس، tan (x) مماس است، cot (x) کوتانژانت است، آرکسین (x) آرکسینوس است، آرکوس (x) کسینوس معکوس است، آرکتان (x) مماس قوس است. نشانه ها: * ضرب، / تقسیم، ^ توان، به جای بی نهایتبی نهایت. به عنوان مثال: تابع مانند این sqrt وارد می شود (tan (x / 2)).

کاربرد

محدودیت های آنلاین سایت برای تجمیع کامل مطالب تصویب شده توسط دانش آموزان و دانش آموزان. چگونه با استفاده از منبع خود محدودیت آنلاین را پیدا کنیم؟ انجام این کار بسیار آسان است، فقط باید تابع اصلی را با متغیر x به درستی بنویسید، بی نهایت مورد نظر را از انتخابگر انتخاب کنید و دکمه "Solution" را فشار دهید. در صورتی که حد یک تابع باید در نقطه ای x محاسبه شود، باید مقدار عددی این نقطه را مشخص کنید. پاسخ حل حد را در عرض چند ثانیه و به عبارتی آنی دریافت خواهید کرد. با این حال، اگر داده های نادرست ارائه دهید، سرویس به طور خودکار شما را در مورد یک خطا مطلع می کند. تابع وارد شده قبلی را تصحیح کنید و راه حل صحیح را تا حد مجاز بدست آورید. برای حل حدود، از تمام ترفندهای ممکن استفاده می شود، به ویژه از روش L'Hôpital استفاده می شود، زیرا جهانی است و سریعتر از سایر روش های محاسبه حد تابع منجر به پاسخ می شود. دیدن نمونه هایی که ماژول در آنها وجود دارد جالب است. به هر حال، طبق قوانین منبع ما، ماژول با خط عمودی کلاسیک در ریاضیات "|" نشان داده می شود. یا Abs (f (x)) از لاتین مطلق. اغلب برای محاسبه مجموع یک دنباله اعداد به یک راه حل برای حد نیاز است. همانطور که همه می دانند، شما فقط باید مجموع جزئی دنباله مورد مطالعه را به درستی بیان کنید، و سپس همه چیز بسیار ساده تر است، به لطف خدمات وب سایت رایگان ما، زیرا محاسبه حد از مجموع جزئی، مجموع نهایی عددی است. توالی. به طور کلی، نظریه گذر به حد، مفهوم اساسی همه تحلیل های ریاضی است. همه چیز دقیقاً مبتنی بر عبور به حد است، یعنی حل حدود در پایه علم تحلیل ریاضی قرار می گیرد. در انتگرال گیری، گذر به حد نیز استفاده می شود، زمانی که انتگرال طبق نظریه به صورت مجموع تعداد نامحدودی از ناحیه ها نمایش داده می شود. جایی که تعداد نامحدودی از چیزی وجود دارد، یعنی تمایل تعداد اشیاء به بی نهایت، آنگاه نظریه انتقال حد همیشه به اجرا در می آید، و در شکل عمومی پذیرفته شده این راه حلی برای حدود آشنا است. راه حل آنلاین محدودیت در سایت سایت یک سرویس منحصر به فرد برای دریافت پاسخ دقیق و آنی در زمان واقعی است. حد یک تابع (مقدار محدود یک تابع) در یک نقطه معین، محدود کننده برای دامنه تابع، مقداری است که وقتی آرگومان آن به یک نقطه معین میل می کند، مقدار تابع مورد بررسی به آن گرایش پیدا می کند. غیرمعمول نیست، و حتی اغلب می گوییم، که دانش آموزان هنگام مطالعه آنالیز ریاضی، سؤال حل محدودیت های آنلاین را دارند. هنگامی که در مورد حل یک محدودیت آنلاین با یک راه حل دقیق فقط در موارد خاص تعجب می کنید، مشخص می شود که مقابله با یک کار دشوار بدون استفاده از یک ماشین حساب حد محاسبه غیرممکن است. حل محدودیت ها توسط سرویس ما تضمین دقت و سادگی است محدودیت یک تابع تعمیم مفهوم حد یک دنباله است: در ابتدا حد یک تابع در یک نقطه به عنوان حد در نظر گرفته شد. دنباله ای از عناصر محدوده مقادیر یک تابع، متشکل از تصاویر نقاط دنباله ای از عناصر حوزه تعریف یک تابع که به یک نقطه داده شده همگرا می شوند (محدودیتی که در آن در نظر گرفته می شود). اگر چنین محدودیتی وجود داشته باشد، گفته می شود که تابع به مقدار مشخص شده همگرا می شود. اگر چنین محدودیتی وجود نداشته باشد، آنگاه گفته می شود که تابع واگرا می شود. حل محدودیت ها به صورت آنلاین برای کاربران به یک پاسخ آسان تبدیل می شود، مشروط بر اینکه بدانند چگونه با استفاده از یک وب سایت محدودیت را به صورت آنلاین حل کنند. بیایید متمرکز بمانیم و اجازه ندهیم اشتباهات ما را در قالب رتبه بندی های نامطلوب به دردسر بیاندازند. مانند هر راه حل آنلاین محدودیت ها، مشکل شما با رعایت کلیه قوانین و مقررات برای دستیابی به راه حل، به شکلی راحت و قابل فهم و با راه حلی دقیق ارائه می شود. اغلب، تعریف حد یک تابع به زبان محله ها فرموله می شود. در اینجا محدودیت های تابع فقط در نقاطی در نظر گرفته می شود که برای دامنه تعریف تابع محدود کننده هستند، به این معنی که در هر همسایگی یک نقطه معین، نقاطی از دامنه همین تابع وجود دارد. این به ما امکان می دهد در مورد تمایل آرگومان تابع به یک نقطه معین صحبت کنیم. اما لازم نیست که نقطه محدود دامنه تعریف متعلق به خود دامنه تعریف باشد و این با حل حد ثابت می شود: مثلاً می توان حد یک تابع را در انتهای یک بازه باز در نظر گرفت. تابع تعریف شده است. در این مورد، خود مرزهای بازه در محدوده تعریف گنجانده نشده است. از این نظر، سیستم محله های سوراخ شده یک نقطه معین، مورد خاصی از چنین پایه ای از مجموعه ها است. حل محدودیت ها به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق به صورت واقعی و با استفاده از فرمول ها به صورت صریح انجام می شود. شما می توانید در زمان و مهمتر از همه در هزینه صرفه جویی کنید، زیرا ما هزینه ای نمی خواهیم. اگر در نقطه‌ای از دامنه تابع حدی وجود داشته باشد و حل این حد برابر با مقدار تابع در این نقطه باشد، در آن نقطه تابع ثابت می‌شود. در وب سایت ما راه حل محدودیت ها به صورت آنلاین و بیست و چهار ساعته در هر روز و هر دقیقه در دسترس است. استفاده از ماشین حساب حد بسیار مهم است و نکته اصلی این است که هر بار که نیاز به آزمایش دانش خود دارید از آن استفاده کنید. دانش آموزان از تمام این قابلیت ها سود واضحی دارند. محاسبه حد، استفاده و به کارگیری تنها تئوری، همیشه آنطور که دانشجویان مجرب دانشکده های ریاضی دانشگاه های کشور می گویند آسان نخواهد بود. این واقعیت زمانی که هدفی وجود داشته باشد، واقعیت باقی می ماند. معمولاً راه حل یافت شده از حدود، به صورت محلی برای فرمول بندی مسائل قابل اجرا نیست. دانش آموز به محض اینکه یک ماشین حساب آنلاین محدودیت برای خود در اینترنت و دسترسی رایگان و نه تنها برای خودش، بلکه برای همه پیدا کند، خوشحال می شود. انتصاب باید به عنوان ریاضیات، به طور کلی، درک آن در نظر گرفته شود. اگر در اینترنت بپرسید که چگونه محدودیت آنلاین را با جزئیات پیدا کنید، انبوه سایت هایی که در نتیجه درخواست ظاهر می شوند به روشی که ما آن را انجام خواهیم داد کمکی نمی کند. اختلاف اضلاع در برابری حادثه ضرب می شود. حد قانونی اولیه یک تابع باید با فرمول بندی خود مسئله ریاضی تعیین شود. همیلتون درست می‌گفت، اما باید به گفته‌های هم‌عصرانش هم توجه کرد. محاسبه محدودیت های آنلاین به هیچ وجه آنقدرها که در نگاه اول برای کسی به نظر می رسد کار دشواری نیست. به منظور شکستن حقیقت تئوری های تزلزل ناپذیر. با بازگشت به وضعیت اولیه، لازم است حد را به سرعت، کارآمد و به شکلی منظم محاسبه کنید. چگونه می توانست در غیر این صورت انجام شود؟ این رویکرد بدیهی و موجه است. ماشین حساب حد برای افزایش دانش، بهبود کیفیت نوشتن تکالیف و بالا بردن روحیه عمومی در بین دانش آموزان طراحی شده است، بنابراین برای آنها مناسب خواهد بود. فقط باید هر چه سریعتر فکر کنید و ذهن پیروز خواهد شد. صحبت صریح در مورد محدودیت‌های اصطلاحات درون‌یابی آنلاین یک شغل بسیار پیچیده برای متخصصان حرفه‌ای است. ما نسبت سیستم تفاوت های برنامه ریزی نشده را در نقاطی از فضا پیش بینی می کنیم. و دوباره مشکل به عدم قطعیت کاهش می‌یابد، با توجه به این واقعیت که حد یک تابع در بی‌نهایت و در یک همسایگی معین از یک نقطه محلی در یک محور ابسیسا معین پس از یک تبدیل وابسته به عبارت اولیه وجود دارد. تجزیه و تحلیل صعود نقاط در هواپیما و در بالای فضا آسان تر خواهد بود. در حالت کلی، در مورد اشتقاق یک فرمول ریاضی، چه از نظر ماهیت و چه در تئوری، گفته نشده است، به طوری که ماشین حساب آنلاین حد برای هدف مورد نظر خود در این معنا مورد استفاده قرار می گیرد. بدون تعریف محدودیت آنلاین، محاسبه بیشتر در زمینه تحقیقات فضایی منحنی برایم دشوار است. از نظر یافتن پاسخ صحیح واقعی آسان تر نخواهد بود. اگر نقطه معینی در فضا از قبل تعریف نشده باشد، نمی توان حد را محاسبه کرد؟ بیایید در دسترس بودن پاسخ برای رشته تحصیلی را رد کنیم. حل حدود را می توان از دیدگاه آنالیز ریاضی سرآغاز مطالعه توالی نقاط روی محور دانست. این واقعیت که یک محاسبه در حال اجرا است ممکن است بی ربط باشد. اعداد به عنوان یک دنباله بی نهایت قابل نمایش هستند و پس از اینکه حد را به طور آنلاین بر اساس تئوری حل کردیم، با رکورد اولیه شناسایی می شوند. فقط به نفع بهترین ارزش توجیه شده است. نتیجه محدودیت تابع، به عنوان یک خطای آشکار یک مشکل نادرست مطرح شده، می تواند ایده فرآیند مکانیکی واقعی یک سیستم ناپایدار را مخدوش کند. توانایی بیان معنا به طور مستقیم در میدان دید. پس از مقایسه محدودیت آنلاین با نماد مقدار حدی یک طرفه مشابه، بهتر است از بیان صریح آن با استفاده از فرمول های ریخته گری خودداری کنید. علاوه بر شروع اجرای متناسب تکلیف. پس از اینکه توانستیم حد یک طرفه را محاسبه کنیم و آن را در بی نهایت بنویسیم، چند جمله ای را گسترش می دهیم. بازتاب های ساده در تحلیل ریاضی به نتیجه واقعی منجر می شود. تصمیم ساده حدود اغلب به درجه متفاوتی از برابری تصاویر ریاضی مخالف انجام شده کاهش می یابد. خطوط و اعداد فیبوناچی محاسبه‌گر حد آنلاین را رمزگشایی کردند، بسته به این، می‌توانید یک محاسبه غیرمحدود را سفارش دهید و شاید پیچیدگی در پس‌زمینه فروکش کند. روند باز کردن نمودار روی یک صفحه در یک برش از فضای سه بعدی در حال انجام است. این امر منجر به نیاز به دیدگاه های مختلف در مورد یک مسئله پیچیده ریاضی شد. با این حال، نتیجه طولانی نخواهد بود. با این حال، روند مداوم تحقق کار از پایین به بالا فضای خطوط را مخدوش می کند و محدودیت آنلاین برای آشنایی با فرمول بندی مسئله را ثبت می کند. طبیعی بودن فرآیند انباشته شدن مسائل، نیاز به دانش را در تمام زمینه های رشته های ریاضی تعیین می کند. یک ماشین حساب حد عالی به ابزاری ضروری در دستان دانش آموزان ماهر تبدیل می شود و آنها از تمام مزایای آن نسبت به آنالوگ های پیشرفت دیجیتال قدردانی می کنند. در مدارس برای چیزی محدودیت آنلاین متفاوت از موسسات نامیده می شود. با تغییر آرگومان، مقدار تابع افزایش می یابد. لوپیتال گفت که یافتن حد تابع تنها نیمی از نبرد است، باید کار را به نتیجه منطقی خود رساند و پاسخ را به شکل گسترده ارائه کرد. واقعیت برای حضور واقعیات در پرونده کافی است. جنبه های تاریخی مهم رشته های ریاضی با محدودیت آنلاین مرتبط است و اساس مطالعه نظریه اعداد را تشکیل می دهد. رمزگذاری صفحه در فرمول های ریاضی به زبان مشتری در مرورگر موجود است. نحوه محاسبه حد با روش قانونی قابل قبول بدون اجبار تغییر تابع در امتداد محور آبسیسا. به طور کلی، واقعیت فضا تنها به تحدب یک تابع یا تقعر آن بستگی ندارد. تمام مجهولات را از مسئله حذف کنید و حل محدودیت ها به کمترین هزینه منابع ریاضی شما را کاهش می دهد. راه حل مشکل فرموله شده عملکرد را صد در صد برطرف می کند. مقدار مورد انتظاری که رخ می دهد، محدودیت آنلاین را با جزئیات با توجه به انحراف از کمترین رابطه خاص نشان می دهد. سه روز پس از تصمیم ریاضی اتخاذ شده به نفع علم گذشت. این یک فعالیت واقعاً ارزشمند است. بدون دلیل برای نداشتن محدودیت، آنلاین به معنای واگرایی در رویکرد کلی برای حل مشکلات موقعیتی است. بهترین نام برای محدودیت یک طرفه با عدم قطعیت 0/0 در آینده مورد تقاضا خواهد بود. منبع می تواند نه تنها زیبا و خوب باشد، بلکه زمانی مفید است که بتواند حد را برای شما محاسبه کند. دانشمند بزرگ در دوران دانشجویی به بررسی کارکردهای نگارش یک اثر علمی پرداخت. ده سال گذشت. قبل از تفاوت های ظریف، ارزش آن را دارد که به صراحت در مورد انتظارات ریاضی به نفع این واقعیت اظهار نظر کنیم که حد تابع واگرایی اصول را وام می گیرد. آنها به آزمون سفارش داده شده پاسخ دادند. در ریاضیات، موقعیت استثنایی در تدریس، به اندازه کافی عجیب، مطالعه محدودیت آنلاین با روابط خارجی متقابل است. همانطور که در موارد معمول این اتفاق می افتد. شما مجبور نیستید چیزی را بازتولید کنید. پس از تجزیه و تحلیل رویکردهای مطالعه دانش آموزان به نظریه های ریاضی، تصمیم گیری در مورد حدود را به طور کامل به مرحله پس از پایان نهایی واگذار می کنیم. معنی مطلب زیر همین است، متن را بررسی کنید. شکست به طور منحصر به فردی یک عبارت ریاضی را به عنوان جوهر اطلاعات دریافت شده تعریف می کند. حد آنلاین جوهره تعیین موقعیت واقعی سیستم ریاضی نسبیت بردارهای چند جهته است. از این نظر منظورم بیان نظر خودم است. مانند کار قبلی. محدودیت متمایز آنلاین با جزئیات تأثیر خود را بر دیدگاه ریاضی مطالعه متوالی تجزیه و تحلیل برنامه‌ای در زمینه تحقیق گسترش می‌دهد. در چارچوب نظریه، ریاضیات چیزی بالاتر از یک علم است. وفاداری با عمل تایید می شود. اگر حد به اشتباه محاسبه شود، قطع عمدی زنجیره اعداد متوالی که حرکت رو به بالا را شروع می کنند، غیرممکن است. سطح دو طرفه به شکل طبیعی در اندازه کامل بیان می شود. برای فرصت کاوش در تجزیه و تحلیل ریاضی، حد یک تابع، دنباله یک سری تابعی را به عنوان یک همسایگی اپسیلون در یک نقطه مشخص در بر می گیرد. برخلاف تئوری توابع، اشتباهات در محاسبات مستثنی نمی شوند، اما این توسط وضعیت ارائه شده است. با تقسیم بر حد یک مسئله آنلاین، می توانید یک تابع واگرایی متغیر را برای یک محصول سریع یک سیستم غیرخطی فضای سه بعدی ترسیم کنید. مورد بی اهمیت در هسته عملکرد قرار دارد. برای تحلیل این پرونده لازم نیست دانشجو باشید. مجموعه لحظات محاسبه مداوم، در ابتدا، حل محدودیت ها به عنوان عملکرد کل سیستم یکپارچه پیشرفت در امتداد محور ارتین بر روی مقادیر متعدد اعداد تعریف می شود. ما به عنوان مقدار پایه کوچکترین مقدار ممکن ریاضی را در نظر می گیریم. نتیجه گیری واضح است. فاصله بین هواپیماها به گسترش نظریه محدودیت‌های آنلاین کمک می‌کند، زیرا استفاده از روش محاسبه واگرا جنبه قطبی اهمیت معنای ذاتی ندارد. اگر ماشین‌حساب حد بر روی سرور قرار داشته باشد، یک انتخاب عالی است، این را می‌توان بدون تحریف اهمیت تغییر سطح در نواحی در نظر گرفت، در غیر این صورت مشکل خطی بودن بیشتر خواهد شد. تجزیه و تحلیل کامل ریاضی، ناپایداری سیستم را به همراه توصیف آن در ناحیه کوچکترین محله نقطه نشان داد. به عنوان هر حد از یک تابع در امتداد محور تقاطع ارتین ها و ابسیساها، می توان مقادیر عددی اشیاء را در یک حداقل همسایگی معین از نظر توزیع عملکرد فرآیند تحقیق محصور کرد. بیایید کار را نقطه به نقطه یادداشت کنیم. تقسیم بندی بر اساس مراحل نگارش وجود دارد. ادعاهای دانشگاهی مبنی بر اینکه محاسبه حد واقعاً دشوار است یا اصلاً آسان نیست، با تجزیه و تحلیل دیدگاه های ریاضی همه دانشجویان کارشناسی و کارشناسی ارشد بدون استثنا پشتیبانی می شود. نتایج میانی احتمالی دیری نخواهد آمد. حد بالا به طور آنلاین به طور دقیق حداقل مطلق تفاوت سیستم اشیاء را مورد مطالعه قرار می دهد، که فراتر از آن خطی بودن فضای ریاضیات مخدوش می شود. پس از نوشتن ماشین‌حساب حد تفریق آنلاین، دانش‌آموزان از تقسیم‌بندی مساحت بزرگ برای محاسبه شانس‌های متعدد استفاده نمی‌کنند. پس از شروع، دانش آموزان را از تجدید نظر در وظایف مطالعه محیط فضایی در ریاضیات منع خواهیم کرد. از آنجایی که قبلاً حد تابع را پیدا کرده‌ایم، بیایید یک نمودار از مطالعه آن در یک صفحه بسازیم. محورهای ترتیبی را با رنگ خاصی انتخاب کنید و جهت خطوط را نشان دهید. ثبات وجود دارد. عدم قطعیت برای مدت طولانی در هنگام نگارش پاسخ وجود داشته است. حد یک تابع را در یک نقطه به سادگی با تجزیه و تحلیل تفاوت بین حدود در بی نهایت تحت شرایط اولیه محاسبه کنید. این روش برای هر کاربر شناخته شده نیست. ما به یک تحلیل ریاضی نیاز داریم. تصمیم‌گیری در مورد محدودیت‌ها، تجربه را برای سال‌های آینده در ذهن نسل‌ها انباشته می‌کند. غیرممکن است که این روند را پیچیده نکنید. دانش آموزان از همه نسل ها مسئول نتیجه گیری آن هستند. همه موارد فوق ممکن است در غیاب یک استدلال ثابت برای موقعیت توابع در اطراف یک نقطه خاص که از نظر تفاوت در قدرت محاسباتی از ماشین حساب های حد عقب مانده اند شروع به تغییر کنند. بیایید یک مطالعه از تابع انجام دهیم تا پاسخ حاصل را به دست آوریم. نتیجه گیری واضح نیست. حذف توابع به طور ضمنی تعریف شده از تعداد کل پس از تبدیل عبارات ریاضی، آخرین مرحله برای یافتن محدودیت های آنلاین به درستی و با دقت بالا باقی می ماند. در مورد قابل قبول بودن تصمیم صادر شده قرار گرفت. روند ادامه دارد. توالی را جدا از توابع قفل کنند و با استفاده از تجربه عظیم خود، ریاضیدانان باید حد پشت توجیه جهت صحیح در مطالعه را محاسبه کنند. چنین نتیجه ای نیازی به افزایش نظری ندارد. نسبت اعداد را در یک محله از یک نقطه غیرصفر روی ابسیسا به سمت زاویه تمایل متغیر مکانی متغیر آنلاین ماشین حساب تحت مسئله نوشتاری در ریاضیات تغییر دهید. بیایید دو ناحیه را در فضا به هم وصل کنیم. اختلاف نظر حل‌کننده‌ها در مورد اینکه چگونه حد یک تابع ویژگی‌های مقادیر یک طرفه را در فضا به دست می‌آورد را نمی‌توان توسط عملکردهای کنترل‌شده تشدید شده دانش‌آموزان نادیده گرفت. خط محدودیت آنلاین ریاضیات یکی از کم مناقشه‌ترین موقعیت‌ها را در مورد عدم قطعیت در محاسبه همین حدود گرفته است. یک ماشین‌حساب حد آنلاین برای ارتفاع مثلث‌ها و مکعب‌های متساوی الساقین با ضلع‌های سه شعاع دایره به دانش‌آموز کمک می‌کند تا در مراحل اولیه علم از صمیم قلب یاد بگیرد. حل محدودیت ها در مطالعه یک سیستم ضعیف ریاضی عملکردی از سمت سطح مطالعه را به عهده وجدان دانش آموزان بگذاریم. در مورد نظریه اعداد، دیدگاه دانشجو مبهم است. هر کدام نظر خود را دارند. جهت گیری صحیح در مطالعه ریاضی به محاسبه حد به معنای واقعی کمک می کند، همانطور که در دانشگاه های کشورهای پیشرفته مرسوم است. کوتانژانت در ریاضیات به عنوان یک ماشین حساب حد محاسبه می شود و نسبت دو تابع مثلثاتی ابتدایی دیگر یعنی کسینوس و سینوس استدلال است. این راه حل نصف کردن بخش ها است. بعید است که رویکرد دیگری وضعیت را به نفع لحظه گذشته حل کند. برای مدت طولانی می توان گفت که چگونه محدودیت آنلاین بدون فکر کردن بسیار دشوار و بی فایده است، اما این رویکرد باعث ایجاد نظم و انضباط درونی دانش آموزان برای بهتر شدن می شود.

راه حل محدودیت های عملکرد آنلاین... مقدار محدود یک تابع یا دنباله تابعی را در یک نقطه پیدا کنید، محاسبه کنید نهاییمقدار تابع در بی نهایت تعیین همگرایی یک سری اعداد و خیلی بیشتر به لطف سرویس آنلاین ما انجام می شود -. ما به شما اجازه می‌دهیم محدودیت‌های عملکرد خود را به‌سرعت و با دقت آنلاین پیدا کنید. شما خودتان متغیر تابع و حدی که آرزو دارد را وارد کنید، سرویس anash تمام محاسبات را برای شما انجام می دهد و پاسخی دقیق و ساده می دهد. و برای یافتن محدودیت آنلاینشما می توانید هر دو سری عددی و توابع تحلیلی حاوی ثابت های حرفی را وارد کنید. در این حالت، محدودیت تابع یافت شده، این ثابت ها را به عنوان آرگومان های ثابت در عبارت در بر خواهد داشت. خدمات ما هرگونه مشکل پیچیده پیدا کردن را حل می کند محدودیت های آنلاین، کافی است تابع و نقطه ای که باید محاسبه شود را مشخص کنید محدودیت عملکرد... با محاسبه محدودیت های آنلاین، می توانید از روش ها و قوانین مختلفی برای حل آنها استفاده کنید و در عین حال نتیجه را بررسی کنید حل محدودیت های آنلایندر سایت www.site ، که منجر به انجام موفقیت آمیز کار می شود - از اشتباهات و اشتباهات خود جلوگیری خواهید کرد. یا می توانید کاملاً به ما اعتماد کنید و از نتیجه ما در کار خود استفاده کنید، بدون اینکه تلاش و زمان اضافی برای محاسبات مستقل حد تابع صرف کنید. ما اجازه ورود محدودیت هایی مانند بی نهایت را می دهیم. لازم است عبارت مشترک دنباله عددی وارد شود و www.siteمقدار را محاسبه خواهد کرد محدود کردن آنلاینبه اضافه یا منهای بی نهایت.

یکی از مفاهیم اساسی آنالیز ریاضی است محدودیت عملکردو محدودیت توالیدر یک نقطه و در بی نهایت، مهم است که بتوانیم به درستی حل کنیم محدودیت ها... با خدمات ما، این کار دشواری نخواهد بود. راه حلی ساخته شده است محدودیت های آنلایندر عرض چند ثانیه، پاسخ دقیق و کامل است. مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال با شروع می شود عبور به حد, محدودیت هاتقریباً در تمام زمینه های ریاضیات عالی استفاده می شود، بنابراین داشتن یک سرور در دسترس است راه حل های آنلاین را محدود کنید، که سایت است.

حد تابع در بی نهایت:
| f (x) - a |< ε при |x| >ن

تعیین حد کوشی
اجازه دهید تابع f (ایکس)در برخی از همسایگی های نقطه در بی نهایت، برای | x | تعریف شده است > عدد a حد تابع نامیده می شود f (ایکس)به عنوان x به بی نهایت ()، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک ε باشد > 0 ، یک عدد N ε وجود دارد > کبسته به ε به طوری که برای همه x، | x | > N ε، مقادیر تابع متعلق به همسایگی ε نقطه a است:
| f (x) - a |< ε .
حد یک تابع در بی نهایت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در.

نماد زیر نیز اغلب استفاده می شود:
.

بیایید این تعریف را با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول بنویسیم:
.
این فرض می کند که مقادیر در محدوده تابع هستند.

محدودیت های یک طرفه

حد چپ تابع در بی نهایت:
| f (x) - a |< ε при x < -N

اغلب مواردی وجود دارد که تابع فقط برای مقادیر مثبت یا منفی متغیر x (به طور دقیق تر، در مجاورت نقطه یا) تعریف می شود. همچنین محدودیت در بی نهایت برای مقادیر x مثبت و منفی می تواند مقادیر متفاوتی داشته باشد. سپس از محدودیت های یک طرفه استفاده کنید.

حد چپ در بی نهایتیا حدی که x میل به منهای بی نهایت () دارد به صورت زیر تعریف می شود:
.
حد راست در بی نهایتیا حدی که x تمایل دارد به اضافه بی نهایت ():
.
حدود یک طرفه در بی نهایت اغلب به صورت زیر نشان داده می شود:
; .

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت

حد نامتناهی یک تابع در بی نهایت:
| f (x) | > M برای | x | > ن

تعیین حد نامتناهی با توجه به کوشی
اجازه دهید تابع f (ایکس)در برخی از همسایگی های نقطه در بی نهایت، برای | x | تعریف شده است > K، که در آن K یک عدد مثبت است. حد تابع f (ایکس)همانطور که x به بی نهایت میل می کند ()، برابر است با بی نهایتاگر برای هر عدد دلخواه بزرگ M > 0 ، یک عدد N M وجود دارد > کبسته به M به طوری که برای همه x، | x | > N M، مقادیر تابع متعلق به همسایگی نقطه در بی نهایت است:
| f (x) | > م.
حد نامتناهی که x تمایل به بی نهایت دارد به صورت زیر نشان داده می شود:
.
یا در.

با استفاده از نمادهای منطقی وجود و جهان شمول، تعریف حد نامتناهی یک تابع را می توان به صورت زیر نوشت:
.

به همین ترتیب، تعاریف حدود نامتناهی از نشانه های معین برابر و ارائه شده است:
.
.

تعاریف حدود یک طرفه در بی نهایت.
محدودیت های سمت چپ
.
.
.
حدود درست
.
.
.

تعیین حد تابع هاینه

اجازه دهید تابع f (ایکس)در برخی از همسایگی های نقطه در بی نهایت x تعریف شده است 0 کجا یا یا
عدد a (متناهی یا بینهایت دور) را حد تابع f می گویند (ایکس)در نقطه x 0 :
,
اگر برای هر دنباله ای (x n)همگرا به x 0 : ,
که عناصر آن متعلق به همسایگی، دنباله است (f (x n))به یک همگرا می شود:
.

اگر به عنوان یک همسایگی، همسایگی یک نقطه بی نهایت دور را بدون علامت در نظر بگیریم، آنگاه تعریف حد یک تابع را به عنوان x تمایل به بی نهایت بدست می آوریم. اگر همسایگی سمت چپ یا راست نقطه را در بی نهایت x بگیریم 0 : یا، سپس تعریف حد را دریافت می کنیم زیرا x به ترتیب به منهای بی نهایت و به اضافه بی نهایت تمایل دارد.

تعاریف حد هاینه و کوشی معادل هستند.

نمونه هایی از

مثال 1

با استفاده از تعریف کوشی، آن را نشان دهید
.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
.
بیایید دامنه تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که صورت و مخرج کسر چند جمله ای هستند، تابع برای همه x به جز نقاطی که مخرج در آنها ناپدید می شود، تعریف می شود. بیایید این نکات را پیدا کنیم. معادله درجه دوم را حل می کنیم. ;
.
ریشه معادله:
; .
از آن زمان و.
بنابراین، تابع در تعریف شده است. در آینده از آن استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تعریف حد محدود یک تابع در بی نهایت را با توجه به کوشی بنویسیم:
.
ما تفاوت را تغییر می دهیم:
.
صورت و مخرج را بر تقسیم و در آن ضرب کنید -1 :
.

بگذار باشد.
سپس
;
;
;
.

بنابراین، ما متوجه شدیم که برای
.
.
از این رو نتیجه می شود که
در، و.

از آنجایی که همیشه می توانید آن را افزایش دهید، آن را بگیرید. سپس برای هر کدام،
در .
معنیش اینه که .

مثال 2

بگذار باشد.
با استفاده از تعریف حد کوشی، نشان دهید که:
1) ;
2) .

1) راه حل به عنوان x تمایل به منهای بی نهایت دارد

از آنجا که، پس تابع برای همه x تعریف شده است.
اجازه دهید تعریف حد تابع را در برابر منهای بی نهایت بنویسیم:
.

بگذار باشد. سپس
;
.

بنابراین، ما متوجه شدیم که برای
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
نتیجه این است که برای هر عدد مثبت M، یک عدد وجود دارد، بنابراین برای،
.

معنیش اینه که .

2) راه حل به عنوان x تمایل دارد به اضافه بی نهایت

بیایید تابع اصلی را تبدیل کنیم. صورت و مخرج کسر را در ضرب کنید و فرمول تفاضل مربع ها را اعمال کنید:
.
ما داریم:

.
اجازه دهید تعریف حد مناسب یک تابع را برای:
.

بیایید نماد را معرفی کنیم:.
ما تفاوت را تغییر می دهیم:
.
صورت و مخرج را در:
.

بگذار باشد
.
سپس
;
.

بنابراین، ما متوجه شدیم که برای
.
اعداد مثبت را وارد کنید و:
.
از این رو نتیجه می شود که
در و.

از آنجایی که این برای هر عدد مثبت صادق است، پس
.

منابع:
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.