تقسیم یک دایره به قطعات مساوی، ساختن چند ضلعی های منظم

یک دایره را به 4 و 8 قسمت مساوی تقسیم کنید

انتهای قطرهای متقابل عمود بر هممانندوBD(شکل 1) دایره را در مرکز نقطه تقسیم کنیدOبه 4 قسمت مساوی با اتصال انتهای این قطرها می توانید یک مربع به دست آوریدآآفتابدی.

اگر زاویهSOAبین قطرهای متقابل عمود بر همAEوباجی(شکل 2) به نصف تقسیم شده و قطرهای متقابل عمود بر هم بکشیدDHوBf، سپس انتهای آنها دایره ای را در مرکز نقطه جدا می کندOبه 8 قسمت مساوی با اتصال انتهای این قطرها می توانید یک هشت ضلعی منظم بدست آوریدABCDEFGH.

برنج. عکس. 1 2

تقسیم دایره به 3، 6 و 12 قسمت

برای تقسیم یک دایره به 6 قسمت مساوی، از مساوی اضلاع یک شش ضلعی منتظم به شعاع دایره محصور شده استفاده کنید. اگر دایره ای با مرکز در نقطه داده شودO(شکل 3) و شعاعآر، سپس از انتهای یکی از قطرهای آن (نقاطآودی، از مرکزها، کمان های دایره ای را با شعاع رسم کنیدآر... نقاط تلاقی این کمان ها با یک دایره معین، آن را به 6 قسمت مساوی تقسیم می کند. با اتصال متوالی نقاط یافت شده، یک شش ضلعی منظم به دست می آوریدABCDEF.

اگر دایره در مرکز یک نقطه باشدO(شکل 4) باید به 3 قسمت مساوی تقسیم شود، سپس با شعاع مساوی با شعاع این دایره، فقط از یک سر قطر مثلاً یک نقطه، قوس کشیده شود.دی... نکته هاVوباتقاطع این کمان با یک دایره مشخص و همچنین نقطهآدومی را به 3 قسمت مساوی تقسیم کنید. اتصال نقطه هاآ, Vوبا، می توانید یک مثلث متساوی الاضلاع بدست آوریدABC.

برنج. شکل 3 4

برای تقسیم دایره به 12 قسمت، تقسیم دایره به 6 قسمت دو بار تکرار می شود (شکل 5)، با استفاده از انتهای قطرهای متقابل عمود بر هم به عنوان مرکز: نقاط.آوجی, دیوجی... نقاط تلاقی کمان های کشیده شده با دایره داده شده آن را به 12 قسمت تقسیم می کند. با اتصال نقاط ساخته شده می توانید یک دوازده گون معمولی بدست آورید.

برنج. 5

یک دایره را به 5 قسمت تقسیم کنید

O(شکل 6) را به 5 قسمت تبدیل کنید، به صورت زیر عمل کنید. برای مثال یکی از شعاع های یک دایرهOM، همانطور که قبلا توضیح داده شد به نصف تقسیم می شود. از وسط بخشOMنقطهنشعاعآر1 برابر با بخشآن، یک کمان دایره بکشید و یک نقطه را علامت بزنیدآرتقاطع این قوس با قطری که شعاع به آن تعلق داردOM... بخشARبرابر است با ضلع یک پنج ضلعی منتظم که به صورت دایره ای محاط شده است. پس از آخرآقطر عمود برOM، شعاعآر2 برابر با بخشAR، یک قوس دایره ای رسم کنید. نکته هاVوEمحل تلاقی این کمان با یک دایره مشخص، دو رأس پنج ضلعی را مشخص می کند.

دو قله دیگر (باودی) نقاط تقاطع کمان های دایره ای با شعاع هستندآر2 با مراکز در نقاطVوEبا یک دایره معین که در نقاطی متمرکز شده استO... رئوس یک پنج ضلعی منظمABCDEدایره داده شده را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنید.

برنج. 6

تقسیم یک دایره به 7 قسمت

برای تقسیم یک دایره در مرکز یک نقطهO(شکل 6) به 7 قسمت، لازم است یک قوس کمکی با شعاع از نقطه 1 رسم شود.آربرابر با شعاع دایره داده شده، که دایره را در نقطه قطع می کندم... از نقطهنعمود بر خط مرکزی افقی را پایین می‌آورم. از نقطهآشعاع برابر با شعاعMN7 سری دور دایره بسازید و هفت نقطه دلخواه را بدست آورید که با اتصال آنها یک هفت ضلعی منظم بدست می آیدABCDEFG.

برنج. 7

تقسیم یک دایره به تعداد دلخواه از قسمت های مساوی

اگر در هیچ یک از گزینه های قبلاً در نظر گرفته شده شرایط مشکل را برآورده نکرد، از تکنیکی استفاده می شود که به شما امکان می دهد دایره را به تعداد دلخواه از قسمت های مساوی تقسیم کنید و چند ضلعی های منتظم متناظر را با تعداد دلخواه اضلاع بسازید.

چنین ساختاری را با استفاده از مثال تقسیم یک دایره در مرکز نقطه در نظر بگیریدO(شکل 8 الف) به 7 قسمت مساوی. ابتدا باید دو قطر متقابل عمود بر هم بکشید که یکی از آنها مثلاً از نقطه عبور می کند.آ، باید به 7 قسمت مساوی تقسیم شود که با نقاط 1 ... 7 محدود می شود. از نقطهآ، از مرکز، با شعاعآربرابر قطر دایره داده شده، باید قوسی رسم کرد که تقاطع آن با ادامه قطر دوم، نقاط را مشخص می کند.آر1 وآر2 ... سپس از طریق نقاطآر1 وآر2 (شکل 8b) و نقاط زوج که از تقسیم قطر بدست می آیندA7(نقاط 2. 4 و 6)، خطوط مستقیم بکشید. نکته هاV, با, دیوE, اف, جیمحل تلاقی این خطوط با یک دایره و نقطه معینآدایره را با مرکز تقسیم کنیدOبه 7 قسمت مساوی با اتصال متوالی نقاط ساخته شده، می توانید یک هفت ضلعی منتظم که در یک دایره حک شده است رسم کنید.

برنج. هشت

1. اطلاعات نظری پیشینه

1.1. سازه های هندسی

تقسیم یک دایره به قسمت های مساوی

برخی از قطعات دارای عناصری هستند که به طور مساوی در اطراف توزیع شده اند. هنگام ساخت نقشه های قطعات با عناصر مشابه، لازم است بتوان دایره را به قسمت های مساوی تقسیم کرد. تکنیک های تقسیم دایره به قسمت های مساوی در شکل نشان داده شده است. 1

برنج. 1. تقسیم یک دایره به قطعات مساوی

با دقت کافی، می توانید با استفاده از جدول ضرایب برای محاسبه طول ضربه، دایره را به هر تعداد قسمت مساوی تقسیم کنید.

با تعداد قطعات مساوی روی یک دایره (جدول 1) ضریب مربوطه را پیدا می کنیم. وقتی ضریب به دست آمده را در قطر دایره ضرب می کنیم، طول وتر را به دست می آوریم که با قطب نما روی دایره قرار می دهیم.

جدول 1 - ضریب تعیین طول وتر

تعداد قطعات یک دایره	ضریب

فیله کردن بین دو خط

هنگام ترسیم خطوط کلی جزئیات فنی و در سایر ساختارهای فنی، اغلب لازم است که جفت (انتقالات صاف) از یک خط به خط دیگر انجام شود. پیوند دو ضلع یک زاویه با کمانی با شعاع قوس داده شده R به ترتیب زیر انجام می شود:

- به موازات دو طرف گوشه در فاصله ای برابر با R، دو خط مستقیم کمکی بکشید.

- نقطه تقاطع این خطوط مرکز صرف خواهد بود.

- از مرکز صرف، عمود بر خطوط مستقیم مشخص شده ساخته می شود.

- نقاط تلاقی عمودها با خطوط مستقیم داده شده را نقاط مزدوج می نامند.

- یک قوس با شعاع R از مرکز جفت گیری کشیده می شود و نقاط جفت گیری را به هم وصل می کند.

در شکل 2 نمونه هایی از ساخت فیله را در زمانی که شعاع قوس فیله مشخص شده است نشان می دهد. در این مورد، باید مرکز و نقاط میت را تعریف کنید. کانتور قسمت با استفاده از قطب نما مشخص شده است.

برنج. 2. تکنیک های ساخت جفت

در فناوری، اغلب لازم است خطوط منحنی متشکل از تعداد زیادی کمان دایره ای کوچک با تغییر تدریجی در شعاع انحنای آنها ترسیم شود. چنین خطوطی را نمی توان با قطب نما ترسیم کرد. این منحنی ها به کمک شابلون ها رسم می شوند و به آنها منحنی های منحنی می گویند. لازم است نظم تشکیل یک منحنی منحنی را مطالعه کرد و تعدادی از نقاط متعلق به آن را روی نقشه ترسیم کرد. نقاط توسط یک منحنی صاف با یک خط نازک با دست به هم متصل می شوند و ضربه با استفاده از یک قطعه انجام می شود.

برای ترسیم منحنی های منحنی، باید مجموعه ای از چندین قطعه داشته باشید. با انتخاب یک الگوی مناسب، لبه یک تکه الگو را تا حد امکان در نقاط مختلف قرار دهید. حلقه زدن

در بخش بعدی، باید لبه قطعه را به دو یا سه نقطه دیگر تنظیم کنید، در حالی که قطعه باید قسمتی از منحنی از قبل مشخص شده را لمس کند. روش رسم منحنی در امتداد منحنی در شکل نشان داده شده است. 3.

برنج. 3. ساخت منحنی از یک قطعه.

در شکل شکل 4 نمونه ای از ساخت بیضی در امتداد محورهای داده شده را نشان می دهد

برنج. 4. ساختن بیضی

در شکل شکل 5 نمونه ای از ساخت سهمی را با تقسیم اضلاع زاویه AOC به همان تعداد قسمت مساوی نشان می دهد. در شکل شکل 6 نمونه ای از ساختن یک دایره را نشان می دهد. داده شده

دایره به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود. مماس بر دایره از طریق نقاط تقسیم رسم می شود. روی مماس ترسیم شده از نقطه 12، طول این دایره رسم شده و به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود. با شروع از نقطه l بر روی مماس ها به دایره، قطعاتی برابر با 1/12 محیط، 1/6، 1/4 و غیره به طور متوالی گذاشته می شوند.

برنج. 5. ساخت سهمی

برنج. 6. ساخت گیره

برنج. 7 ساخت موج سینوسی

شکل 8 ساخت مارپیچ ارشمیدس

در شکل شکل 7 تکنیکی را برای ساخت یک سینوسی نشان می دهد. دایره داده شده به 12 قسمت مساوی تقسیم می شود، یک پاره خط مستقیم به اندازه طول باز شده به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می شود.

تقسیم یک دایره به سه قسمت مساوی. مربعی با زوایای 30 و 60 درجه با یک پایه بزرگ موازی با یکی از خطوط مرکزی تنظیم کنید. در امتداد هیپوتانوس از نقطه 1 (تقسیم اول) یک وتر بکشید (شکل 2.11، آ) بدست آوردن تقسیم دوم - نقطه 2. مربع را برگردانید و وتر دوم را رسم کنید، تقسیم سوم - نقطه را بدست آورید. 3 (شکل 2.11، ب). نقاط اتصال 2 و 3; 3 و 1 مستقیم، یک مثلث متساوی الاضلاع به دست آورید.

برنج. 2.11.

الف، ب - جبا استفاده از مربع؛ v- استفاده از قطب نما

همین مشکل را می توان با قطب نما حل کرد. قرار دادن پایه تکیه گاه قطب نما در انتهای پایین یا بالایی قطر (شکل 2.11، v) کمانی را توصیف کنید که شعاع آن برابر با شعاع دایره است. دسته اول و دوم را دریافت کنید. تقسیم سوم در انتهای مخالف قطر قرار دارد.

تقسیم یک دایره به شش قسمت مساوی

محلول قطب نما برابر با شعاع تنظیم شده است آرحلقه ها از انتهای یکی از قطرهای دایره (از نقاط 1, 4 ) کمان ها را توصیف می کند (شکل 2.12، الف، ب). نکته ها 1, 2, 3, 4, 5, 6 دایره را به شش قسمت مساوی تقسیم کنید. با اتصال آنها با خطوط مستقیم، یک شش ضلعی منظم دریافت می کنید (شکل 2.12، ب).

برنج. 2.12.

همین کار را می توان با یک خط کش و یک مربع با زوایای 30 درجه و 60 درجه انجام داد (شکل 2.13). در این حالت، هیپوتنوز مربع باید از مرکز دایره عبور کند.

برنج. 2.13.

تقسیم یک دایره به هشت قسمت مساوی

نکته ها 1, 3, 5, 7 در تقاطع خطوط مرکزی با یک دایره دراز بکشید (شکل 2.14). چهار نقطه دیگر با استفاده از یک مربع زاویه 45 درجه پیدا می شود. هنگام گرفتن امتیاز 2, 4, 6, 8 هیپوتنوز مربع از مرکز دایره می گذرد.

برنج. 2.14.

تقسیم دایره به هر تعداد قسمت مساوی

برای تقسیم دایره به هر تعداد قسمت مساوی، از ضرایب ارائه شده در جدول استفاده کنید. 2.1.

طول لوتر، که روی یک دایره مشخص گذاشته شده است، با فرمول تعیین می شود ل = dkجایی که ل- طول وتر؛ د- قطر یک دایره مشخص؛ ک- ضریب تعیین شده بر اساس جدول. 1.2.

جدول 2.1

ضرایب تقسیم دایره ای

برای تقسیم دایره ای با قطر معین 90 میلی متر، به عنوان مثال، به 14 قسمت، به شرح زیر عمل کنید.

در ستون اول جدول 2.1 تعداد تقسیمات را پیدا کنید NS،آن ها 14. از ستون دوم ضریب را بنویسید ک،متناسب با تعداد بخش ها NS.در این حالت برابر با 0.22252 است. قطر دایره داده شده در یک ضریب ضرب می شود و طول وتر به دست می آید. l = dk = 90 0.22252 = 0.22 میلی متر. طول وتر حاصل با کولیس 14 بار در یک محیط معین رسم می شود.

یافتن مرکز کمان و تعیین قدر شعاع

قوس دایره ای مشخص می شود که مرکز و شعاع آن مشخص نیست.

برای تعیین آنها، باید دو آکورد غیر موازی بکشید (شکل 2.15، آ) و عمودها را به نقاط میانی آکوردها برگردانید (شکل 2.15، ب). مرکز Oقوس در محل تلاقی این عمودها قرار دارد.

برنج. 2.15.

جفت

هنگام انجام نقشه های مهندسی و همچنین هنگام علامت گذاری قطعات کار در تولید، اغلب لازم است خطوط مستقیم را با قوس های دایره ای یا قوس دایره ای با قوس های دایره های دیگر به هم متصل کنید. انجام جفت شدن

با صرفانتقال صاف یک خط مستقیم به یک کمان دایره یا یک قوس به قوس دیگر نامیده می شود.

برای ساختن جفت‌ها، باید شعاع جفت‌ها را بدانید، مراکزی را که کمان‌ها از آن‌ها کشیده شده‌اند، پیدا کنید. مراکز جفت گیری(شکل 2.16). سپس باید نقاطی را پیدا کنید که در آن یک خط به خط دیگر می رود، یعنی. نقاط صرفهنگام ساخت یک نقشه، خطوط جفت گیری باید دقیقاً به این نقاط آورده شوند. نقطه پیوند قوس دایره ای و خط مستقیم بر روی عمودی است که از مرکز قوس به خط مستقیم مزدوج افتاده است (شکل 2.17، آ، یا در خطی که مرکز کمان های جفت را به هم وصل می کند (شکل 2.17، ب). بنابراین، برای ساختن هر مزدوج با کمانی با شعاع معین، باید پیدا کنید مرکز جفت گیریو نقطه (نکته ها) جفت شدن

برنج. 2.16.

برنج. 2.17.

پیوستن دو خط مستقیم متقاطع توسط کمانی با شعاع معین. خطوط مستقیم متقاطع در زوایای راست، تند و منفرد داده شده است (شکل 2.18، آ). لازم است ترکیب این خطوط مستقیم با کمانی به شعاع معین ساخته شود آر.

برنج. 2.18.

برای هر سه مورد، ساختار زیر را می توان اعمال کرد.

1. یک نقطه پیدا کنید O- مرکز جفت گیری، که باید در فاصله ای قرار گیرد آراز طرفین گوشه، یعنی. در نقطه تلاقی خطوط مستقیم که به موازات اضلاع گوشه در فاصله قرار دارند آراز آنها (شکل 2.18، ب).

برای کشیدن خطوط مستقیم موازی با اضلاع گوشه، از نقاط دلخواه گرفته شده روی خطوط مستقیم، با دهانه قطب نما برابر با R،سریف ها بسازید و مماس هایی بر روی آنها رسم کنید (شکل 2.18، ب).

• 2. نقاط صرف را بیابید (شکل 2.18، ج). برای انجام این کار، از نقطه Oعمودها را به خطوط مستقیم داده شده پایین بیاورید.
• 3. از نقطه O، از مرکز، کمانی با شعاع معین را توصیف کنید آربین نقاط صرف (شکل 2.18، ج).

می توان آن را به دو صورت تقسیم کرد. برای یکی از آنها به قطب نما و خط کش نیاز دارید و برای دومی به خط کش و نقاله. اینکه کدام گزینه ارجح است به شما بستگی دارد.

شما نیاز خواهید داشت

• - قطب نما
• - خط کش
• - نقاله

دستورالعمل ها

بگذارید دایره ای به شعاع R داده شود، لازم است آن را با استفاده از قطب نما به سه قسمت مساوی تقسیم کنید. قطب نما را به اندازه شعاع دایره باز کنید. می توانید در این مورد از خط کش استفاده کنید یا می توانید سوزن قطب نما را در مرکز دایره قرار دهید و ساق را به دایره ای که دایره را توصیف می کند ببرید. به هر حال خط کش بعداً به کار می آید.سوزن قطب نما را در هر جایی از محیط دایره قرار دهید و با مداد یک کمان کوچک بکشید که طرح بیرونی دایره را قطع می کند. سپس سوزن قطب نما را روی نقطه تقاطع یافت شده قرار دهید و دوباره قوس را با همان شعاع (برابر با شعاع دایره) بکشید. این مراحل را تکرار کنید تا زمانی که نقطه تقاطع بعدی با اولین نقطه منطبق شود. شش نقطه با فاصله مساوی روی دایره دریافت خواهید کرد. باقی مانده است که از طریق یک سه نقطه را انتخاب کنید و آنها را با خط کش به مرکز دایره متصل کنید و یک دایره تقسیم بر سه خواهید داشت.

برای تقسیم دایره به سه قسمت با استفاده از نقاله، کافی است به یاد داشته باشید که یک دور کامل حول محور آن 360 درجه - است. سپس زاویه مربوط به یک سوم دایره 360 درجه - / 3 = 120 درجه - است. حالا سه برابر زاویه 120 درجه را در قسمت بیرونی دایره کنار بگذارید و نقاط به دست آمده روی دایره را با مرکز وصل کنید.

توجه داشته باشید

اگر نقاط را نه به مرکز، بلکه به یکدیگر متصل کنید، یک مثلث متساوی الاضلاع خواهید داشت.

روش توضیح داده شده در مرحله اول همچنین به شما امکان می دهد تقسیم دایره را به شش قسمت مساوی بدست آورید.

با استفاده از یک قطب نما و یک خط کش، می توانید دایره را به تعداد زیادی قسمت تقسیم کنید. ریاضیدانان ثابت کرده اند که می توان به 2، 3، 4، 5، 6، 8، 10، 12، 15، 16، 17، ...، 257، ... تقسیم کرد، به 7، 9، 11، 13، 14، ... قطعات نمی توانند ...

متأسفانه هیچ راه واحدی برای تقسیم وجود ندارد. در اینجا مهمترین آنها آورده شده است.

1) تقسیم دایره به 6، 3، 12، 24، ...، 3 × 2 k (k = 0،1،2،3،…) قسمت های مساوی.

ما شروع می کنیم تقسیم یک دایره به 6 قسمت... برای این کار با همان محلول قطب نما که برای رسم دایره استفاده شد، از هر نقطه از دایره، مانند مرکز، باید یک دایره رسم کرد. سپس این روش را تکرار کنید و نقطه تلاقی دایره های شروع و جدید را به عنوان مرکز در نظر بگیرید.

برای تقسیم یک دایره به 3 قسمت، باید آن را به 6 قسمت تقسیم کنید و از یک نقطه عبور کنید (شکل 5a). برای تقسیم دایره به 12 قسمت باید آن را به 6 قسمت تقسیم کنید و هر قوس را از وسط تقسیم کنید، سپس می توان روند تقسیم کمان ها را به صورت نامحدود ادامه داد.

طول عمود کاهش یافته از مرکز دایره به سمت شش ضلعی تقریب خوبی برای طول ضلع هفت ضلعی است که در دایره محاط شده است (نشان داده شده با درخشش در شکل 5a). طول عمود بر ≈0.866R، طول ضلع هفت ضلعی ≈0.868R - دقت ≈2%.

2) تقسیم دایره به 2، 4، 8، 16،…، 2 k (k = 1،2،3،…) قسمت های مساوی.

می توانید با کشیدن یک خط مستقیم از مرکز دایره، دایره را با استفاده از یک خط کش به 2 قسمت تقسیم کنید. اما می توانید شعاع دایره را از هر نقطه ای از دایره 3 بار به تعویق بیندازید. نقطه شروع و پایان دایره را به نصف تقسیم می کند (قطری را می توان از طریق آنها ترسیم کرد - شکل 5a). برای تقسیم دایره به 4 قسمت، باید قوس های حاصل را نصف کنید. اجرای متوالی تقسیم کمان های حاصل به نصف، تقسیم دایره را به 8، 16 و غیره تضمین می کند. قطعات.

3) دایره را به 5 قسمت تقسیم کنید.

روش ساخت به کار گرفته شده در ترسیم از نسبت بین اضلاع یک ده ضلعی منظم استفاده می کند. یک 10) و پنج ضلعی منظم ( یک 5) - a 5 2 = R 2 + a 10 2. ساخت و ساز به شرح زیر انجام می شود. بیایید 2 خط مستقیم عمود بر مرکز دایره O. A و B بکشیم - نقاط تقاطع آنها با دایره. از نقطه A، از مرکز، دایره ای به همان شعاع بکشید (نقطه میانی قطعه AO - نقطه C را پیدا کنید). از وسط پاره AO نقطه C دایره دیگری به شعاع CB رسم کنید. قطعه BE برابر با ضلع پنج ضلعی است، OE برابر با ضلع ده ضلعی است (شکل 5b).

می توانید دایره را به روشی که در شکل 5c نشان داده شده است به 5 و 10 قسمت تقسیم کنید. بخش BC - سمت پنج ضلعی، AC - ده ضلعی. خواص قابل توجه پنج ضلعی و ده ضلعی و اینکه چرا روش ساخت نشان داده شده در شکل 5c درست است در فصل بعدی بحث خواهیم کرد.

مدرسه کوکلداش (قرن شانزدهم، تاشکند)

شکل 5d دریافت یک راه حل هندسی تقریبی را برای مسئله تقسیم دایره به هر تعداد قسمت نشان می دهد. برای مثال فرض کنید می خواهید این دایره را به 7 قسمت مساوی تقسیم کنید. اجازه دهید یک مثلث متساوی الاضلاع ABC بر روی قطر دایره AB بسازیم و قطر AB را بر نقطه D نسبت به AD تقسیم کنیم: AB = 2: 7 (در حالت کلی 2: n). برای انجام این کار، باید یک خط مستقیم کمکی بکشید، n + 2 قطعه یکسان را روی آن قرار دهید، نقطه انتهایی را با نقطه B وصل کنید و از طریق نقطه دوم یک خط مستقیم به موازات خط مستقیم BF بکشید. خط DC را تا نقطه تقاطع با دایره رسم کنید. Arc AE قسمت هفتم دایره (در حالت کلی nامین) را تشکیل می دهد. این روش برای n<11 дает погрешность не более 1%.

از الگوریتم هایی برای تقسیم یک دایره به قسمت های مساوی می توان استفاده کرد، به عنوان مثال، برای ساختن نقاط مرجع مارپیچ ها - مارپیچ ارشمیدس، به نام ارشمیدس دانشمند بزرگ یونان باستان (قرن سوم قبل از میلاد)، که برای اولین بار این خط را مطالعه کرد، و لگاریتمی. مارپیچ