نظریه حد- یکی از شاخه های آنالیز ریاضی که می توان به آن مسلط شد، دیگران در محاسبه حدود مشکل دارند. مسئله یافتن محدودیت ها کاملاً کلی است، زیرا ده ها ترفند وجود دارد. محدودیت راه حل هااز انواع مختلف هم بر اساس قانون L'Hôpital و هم بدون آن می توان محدودیت های مشابهی را یافت. این اتفاق می افتد که یک برنامه در یک سری از عملکردهای بی نهایت کوچک به شما امکان می دهد به سرعت به نتیجه دلخواه برسید. تعدادی ترفند و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد حد یک تابع با هر پیچیدگی را پیدا کنید. در این مقاله سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی که اغلب در عمل با آنها مواجه می شوند را درک کنیم. ما در اینجا تئوری و تعریف حد را ارائه نمی دهیم، منابع زیادی در اینترنت وجود دارد که در آن جویده می شود. بنابراین، بیایید به محاسبات عملی بپردازیم، اینجاست که "نمی دانم! نمی دانم چگونه! به ما یاد ندادند!"

محدودیت های محاسباتی با استفاده از جایگزینی

مثال 1. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5)، x = 3).
راه حل: نمونه هایی از این نوع در تئوری با جایگزینی معمول محاسبه می شوند

محدودیت 18/11 است.
هیچ چیز پیچیده و عاقلانه ای در چنین حدودی وجود ندارد - آنها ارزش را جایگزین کردند، محاسبه کردند، در پاسخ حد را نوشتند. با این حال، بر اساس چنین محدودیت هایی، به همه آموزش داده می شود که اولین کاری که باید انجام شود این است که یک مقدار را با یک تابع جایگزین کنید. علاوه بر این، حدود پیچیده است، آنها مفهوم بی نهایت، عدم قطعیت و مانند آن را معرفی می کنند.

حد را با نامحدودی از نوع بی نهایت بر بی نهایت تقسیم کنید. تکنیک های افشای عدم قطعیت

مثال 2. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4)، x = بی نهایت).
راه حل: حدی از شکل یک چند جمله ای تعیین می شود که بر یک چند جمله ای تقسیم می شود و متغیر به سمت بی نهایت میل می کند.

یک جایگزینی ساده از مقداری که متغیر باید برای یافتن حدود پیدا شود کمکی نمی کند، ما عدم قطعیت شکل بی نهایت تقسیم بر بی نهایت را دریافت می کنیم.
نظریه حد عرق الگوریتم محاسبه حد این است که بیشترین توان "x" را در صورت یا مخرج پیدا کنیم. علاوه بر این، صورت و مخرج توسط آن ساده شده و حد تابع پیدا می شود

از آنجایی که مقدار با یک متغیر تا بی نهایت به صفر میل می کند، آنها نادیده گرفته می شوند یا در عبارت نهایی به شکل صفر نوشته می شوند.

بلافاصله از تمرین، می توانید دو نتیجه بگیرید که یک اشاره در محاسبات است. اگر متغیر به بی نهایت متمایل باشد و درجه صورت از درجه مخرج بیشتر باشد، حد برابر با بی نهایت است. در غیر این صورت، اگر چند جمله ای در مخرج از مرتبه بالاتر از صورت باشد، حد صفر است.
حد را می توان با فرمول های زیر نوشت

اگر تابعی به شکل یک سیاهه معمولی بدون کسر داشته باشیم، حد آن برابر با بی نهایت است.

نوع بعدی محدودیت مربوط به رفتار توابع نزدیک به صفر است.

مثال 3. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2)، x = 0).
راه حل: در اینجا نیازی به خارج کردن عامل پیشرو چند جمله ای نیست. دقیقا برعکس، باید کوچکترین درجه صورت و مخرج را پیدا کرد و حد را محاسبه کرد.

مقدار X ^ 2; x زمانی که متغیر به سمت صفر میل می کند به صفر تمایل دارند، بنابراین، آنها نادیده گرفته می شوند، بنابراین ما دریافت می کنیم

که حد 2.5 است.

حالا تو می دانی چگونه حد یک تابع را پیدا کنیماگر متغیر به بی نهایت یا 0 تمایل داشته باشد، به چند جمله ای تقسیم بر چند جمله ای تقسیم می شود. اما این تنها بخش کوچک و آسانی از مثال ها است. از مطالب زیر یاد خواهید گرفت نحوه افشای عدم قطعیت حدود یک تابع.

حد با عدم قطعیت از نوع 0/0 و روش های محاسبه آن

بلافاصله همه این قانون را به یاد می آورند که طبق آن تقسیم بر صفر غیرممکن است. با این حال، تئوری حدود در این زمینه به معنای توابع بی نهایت کوچک است.
برای وضوح چند مثال را در نظر می گیریم.

مثال 4. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1)، x = -1).
راه حل: وقتی مقدار متغیر x = -1 را با مخرج جایگزین می کنیم، صفر می گیریم، همان چیزی که در صورت می گیریم. بنابراین ما داریم عدم قطعیت فرم 0/0.
مقابله با چنین عدم قطعیتی ساده است: شما باید چند جمله ای را فاکتور بگیرید، یا بهتر است بگوییم، عاملی را انتخاب کنید که تابع را صفر می کند.

پس از تجزیه، حد تابع را می توان به صورت نوشتاری نوشت

این کل تکنیک برای محاسبه حد یک تابع است. اگر حدی از شکل چند جمله ای تقسیم بر چند جمله ای وجود داشته باشد، همین کار را می کنیم.

مثال 5. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10)، x = 2).
راه حل: تعویض رو به جلو نشان می دهد
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
آن چه که ما داریم نوع عدم قطعیت 0/0.
ما چند جمله ای ها را بر یک عامل تقسیم می کنیم که تکینگی را معرفی می کند


معلمانی هستند که آموزش می دهند که چند جمله ای های مرتبه 2، یعنی از شکل "معادلات درجه دوم" باید از طریق ممیز حل شوند. اما تمرین واقعی نشان می دهد که طولانی تر و گیج کننده تر است، بنابراین از شر ویژگی های الگوریتم مشخص شده خلاص شوید. بنابراین تابع را به صورت ضرایب اول می نویسیم و حد را برمی شماریم

همانطور که می بینید، محاسبه چنین محدودیت هایی مشکلی ندارد. در زمان مطالعه حدود، شما می دانید که چگونه چند جمله ای ها را تقسیم کنید، حداقل طبق برنامه ای که باید قبلاً گذرانده باشید.
از جمله وظایف برای نوع عدم قطعیت 0/0مواردی وجود دارد که باید فرمول های ضرب اختصاری را در آنها اعمال کنید. اما اگر آنها را نمی شناسید، با تقسیم یک چند جمله ای بر یک تک جمله ای، می توانید فرمول مورد نظر را بدست آورید.

مثال 6. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2-9) / (x-3)، x = 3).
راه حل: ما یک عدم قطعیت از نوع 0/0 داریم. در صورت حساب، فرمول ضرب اختصاری را اعمال می کنیم

و حد مورد نیاز را محاسبه کنید

روش افشای عدم قطعیت با ضرب در مزدوج

این روش برای حدودی اعمال می‌شود که در آن توابع غیرمنطقی توسط عدم قطعیت ایجاد می‌شوند. صورت یا مخرج در نقطه محاسبه صفر می شود و مشخص نیست که چگونه مرز را پیدا کنیم.

مثال 7. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6)، x = 2).
راه حل:ما متغیر را در فرمول حد نشان می دهیم

تعویض یک عدم قطعیت از نوع 0/0 می دهد.
بر اساس نظریه حدود، طرح دور زدن این ویژگی، ضرب عبارت غیر منطقی در مزدوج است. برای اینکه عبارت تغییر نکند، مخرج باید بر همان مقدار تقسیم شود.

با قانون اختلاف مربع ها، شمارنده را ساده کرده و حد تابع را محاسبه می کنیم

اصطلاحاتی را که یک تکینگی در حد ایجاد می کنند ساده می کنیم و جایگزینی را انجام می دهیم

مثال 8. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x)، x = 3).
راه حل: جایگزینی رو به جلو نشان می دهد که حد دارای ویژگی شکل 0/0 است.

برای گسترش، ضرب و تقسیم بر مزدوج به صورتگر می کنیم

نوشتن اختلاف مربع ها

ما اصطلاحاتی را که تکینگی را معرفی می کنند ساده می کنیم و حد تابع را پیدا می کنیم

مثال 9. حد یک تابع را پیدا کنید
لیم ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2)، x = 2).
راه حل: 2 را در فرمول جایگزین کنید

ما گرفتیم عدم قطعیت 0/0.
مخرج باید در عبارت مزدوج ضرب شود و در صورتگر باید معادله درجه دوم را حل کنید یا با در نظر گرفتن تکینگی آن را به عوامل تبدیل کنید. از آنجایی که مشخص است 2 یک ریشه است، ریشه دوم را با قضیه ویتا می یابیم

بنابراین، صورت را در فرم می نویسیم

و در حد جایگزین کنید

با کاهش اختلاف مربع ها از شر تکینگی های صورت و مخرج خلاص می شویم.

به این ترتیب، در بسیاری از مثال‌ها می‌توانید از شر تکینگی خلاص شوید، و هر جا که اختلاف ریشه داده‌شده با جایگزینی به صفر تبدیل شود، باید به کاربرد توجه کرد. انواع دیگر محدودیت ها مربوط به توابع نمایی، توابع بی نهایت کوچک، لگاریتم ها، محدودیت های ویژه و تکنیک های دیگر است. اما می‌توانید در مقاله‌های مربوط به محدودیت‌های ذکر شده در زیر در این مورد مطالعه کنید.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n) اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک باشدε > 0 یک عدد N وجود دارد که همه مقادیر را نشان می دهد x n، که برای آن n> N، نابرابری را برآورده می کند

| x n - a |< ε. (6.1)

آنها آن را به صورت زیر می نویسند: یا x n →آ.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

الف - ε< x n < a + ε, (6.2)

به این معنی که نقاط x n، با شروع از مقداری n> N، در داخل بازه (a-ε، a + ε ) یعنی به هر کوچکی بیفتندε -همسایگی نقطه آ.

دنباله ای که دارای حد باشد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد یک تابع تعمیم مفهوم حد یک دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f (n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f (x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه این تابع D (f)، یعنی نقطه ای که هر همسایگی آن شامل نقاطی از مجموعه D (f) غیر از آ... نقطه آممکن است به مجموعه D (f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f (x) در x →اگر برای هر دنباله ای (xn) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f (x n)) دارای حد A یکسان هستند.

این تعریف نامیده می شود تعریف حد یک تابع طبق هاینه،یا " به زبان سکانس ها”.

تعریف 2... عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f (x) در x →a اگر، با تعیین یک عدد مثبت دلخواه و کوچک ε، می توان چنین δ را پیدا کرد> 0 (بسته به ε) که برای همه ایکسدراز کشیده درε-همسایگی های عدد آ، یعنی برای ایکسارضای نابرابری
0 < x-a< ε ، مقادیر تابع f (x) در آن قرار خواهد گرفتε-همسایگی عدد A، یعنی.| f (x) -A |< ε.

این تعریف نامیده می شود تعریف حد کوشی یک تابع،یا «در زبان ε - δ “.

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f (x) به صورت x →یک دارد حدبرابر A، این به صورت نوشته می شود

. (6.3)

در صورتی که دنباله (f (xn)) برای هر روش تقریبی به طور نامحدود افزایش (یا کاهش می‌یابد) ایکستا حد شما آ، سپس می گوییم که تابع f (x) دارد محدودیت بی پایان،و آن را به صورت زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود ارزش بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن بی نهایت است نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده کنید.

قضیه 1 ... اگر هر محدودیتی وجود دارد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر... عباراتی مانند 0/0، ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - نامشخص هستند، برای مثال نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع «افشای عدم قطعیت ها» نامیده می شود.

قضیه 2. (6.7)

آن ها شما می توانید به حد در پایه درجه با یک توان ثابت بروید، به ویژه، ;

(6.8)

(6.9)

قضیه 3.

(6.10)

(6.11)

جایی که ه » 2.7 پایه لگاریتم طبیعی است. فرمول های (6.10) و (6.11) اولین نامیده می شوند حد فوق العادهو دومین حد قابل توجه.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد

اگر x → a و همزمان x> a، سپس x می نویسند→ a + 0. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0 + 0، +0 را بنویسید. به طور مشابه، اگر x →a و علاوه بر این، x a-0. شماره و بر این اساس فراخوانی می شوند محدود در سمت راستو محدود باقی مانده است کارکرد f (x) در نقطه آ... برای اینکه حدی از تابع f (x) به صورت x → وجود داشته باشدa لازم و کافی است تا ... تابع f (x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

. (6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

,

یعنی عبور از حد تحت علامت تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر مساوات (6.15) نقض شود، گفته می شود در x = x o عملکرد f (x) این دارد زنگ تفريح.تابع y = 1 / x را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 نقطه حدی مجموعه D (f) است، زیرا در هر همسایگی آن، یعنی، هر بازه باز حاوی نقطه 0 حاوی نقاطی از D (f) است، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f (x o) = f (0) تعریف نشده است، بنابراین تابع در نقطه x o = 0 ناپیوستگی دارد.

تابع f (x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o، اگر حد

,

و پیوسته در نقطه باقی مانده است x o، اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل تداوم آن در این نقطه در سمت راست و چپ است.

برای اینکه تابع در نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر f (x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f (x o) نباشد، می گویند عملکرد f (x) در نقطه x o دارد شکست از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد است+ ∞ یا -∞ یا وجود ندارد، سپس می گویند که در نقطه x o تابع دارای شکاف است نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x برای x→ +0 حدی برابر با + ∞ دارداز این رو، در نقطه x = 0 دارای ناپیوستگی نوع دوم است. تابع y = E (x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای اعداد صحیح دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم v یک تابع پیوسته به صورت یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم هر کمیت منجر به دومین حد قابل توجه می شود. چنین وظایفی برای مثال عبارتند از: رشد سهم طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تولید مثل باکتری ها و غیره.

در نظر گرفتن نمونه Ya.I. Perelmanتفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد ... در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر اتصال بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار زیادی در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده را در نظر بگیریم. بگذارید بانک 100 den بگذارد. واحدها با نرخ 100% در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این تاریخ 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا بیایید ببینیم چه چیزی به 100 den تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از نیم سال 100 den. واحدها به 100 افزایش خواهد یافت× 1.5 = 150 و شش ماه بعد - 150× 1.5 = 225 (واحد پولی). اگر اتصال هر 1/3 سال انجام شود پس از یک سال 100 دن. واحدها به 100 تبدیل شود× (1 +1/3) 3 اینچ 237 (واحد پولی). بازه زمانی پیوستن به پول با بهره را تا 0.1 سال، تا 0.01 سال، تا 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال معلوم می شود:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (واحد پولی)،

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (واحد پولی)،

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (واحد پولی).

با کاهش نامحدود در شرایط ضمیمه بهره، سرمایه تعهدی بی‌نهایت رشد نمی‌کند، بلکه به حد معینی نزدیک می‌شود که تقریباً برابر با 271 است. سرمایه تخصیص‌یافته 100% در سال نمی‌تواند بیش از 2.71 برابر افزایش یابد، حتی اگر مبلغ تعهدی. بهره هر ثانیه به سرمایه اضافه می شد زیرا حد

مثال 3.1.با استفاده از تعریف حد یک دنباله عددی، ثابت کنید که دنباله x n = (n-1) / n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.ما باید ثابت کنیم که هر چه باشدε ما> 0 را در نظر نگرفتیم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n N نابرابری زیر برقرار است:| x n -1 |< ε.

هر e> 0 را بگیرید. x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n، سپس برای یافتن N کافی است نابرابری 1 / n را حل کنیم.< ه. بنابراین n> 1 / e و بنابراین، N را می توان به عنوان قسمت صحیح 1 / در نظر گرفت. e، N = E (1 / e ). بنابراین ما ثابت کردیم که حد.

مثال 3.2 ... حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل.قضیه حد مجموع را اعمال می کنیم و حد هر جمله را می یابیم. برای n→ ∞ صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و ما نمی توانیم مستقیماً قضیه حد نصاب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x nبا تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n... سپس با اعمال حد نصاب و قضیه حد مجموع، متوجه می‌شویم:

.

مثال 3.3. ... پیدا کردن .

راه حل. .

در اینجا از قضیه حد درجه استفاده کرده ایم: حد درجه برابر با درجه حد پایه است.

مثال 3.4 ... پیدا کردن ( ).

راه حل.اعمال قضیه اختلاف حدی غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل را داریم ∞-∞ ... فرمول عضو مشترک را تبدیل می کنیم:

.

مثال 3.5 ... تابع f (x) = 2 1 / x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.اجازه دهید از تعریف 1 حد یک تابع بر حسب یک دنباله استفاده کنیم. دنباله ای (xn) را در نظر بگیرید که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f (xn) = برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1 / n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1 / n، همچنین به سمت صفر گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6 ... ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.اجازه دهید x 1، x 2، ...، x n، ... دنباله ای باشد که برای آن
... چگونه دنباله (f (x n)) = (sin x n) برای x های مختلف رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = sin p n = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n + p / 2، سپس sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 برای همه nو از این رو محدودیت. پس وجود ندارد.

ویجت برای محاسبه محدودیت ها به صورت آنلاین

در پنجره بالا به جای sin (x) / x تابعی را که می خواهید حد آن را پیدا کنید وارد کنید. در پنجره پایین عددی را که x تمایل دارد وارد کنید و دکمه Calcular را فشار دهید، حد مورد نظر را بدست آورید. و اگر در پنجره نتیجه در گوشه سمت راست بالای نمایش مراحل را کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

قوانین ورود تابع: sqrt (x) - ریشه مربع، cbrt (x) - ریشه مکعب، exp (x) - توان، ln (x) - لگاریتم طبیعی، sin (x) - سینوس، cos (x) - کسینوس، tan (x) مماس است، cot (x) کوتانژانت است، آرکسین (x) آرکسینوس است، آرکوس (x) کسینوس معکوس است، آرکتان (x) مماس قوس است. نشانه ها: * ضرب، / تقسیم، ^ توان، به جای بی نهایتبی نهایت. به عنوان مثال: تابع مانند این sqrt وارد می شود (tan (x / 2)).

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله به شما در درک محدودیت های توانایی های خود یا درک محدودیت های کنترل کمک نمی کنیم، اما سعی می کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت ها را در ریاضیات عالی درک کنیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سوال اول: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا دانش آموزان اغلب با آنها روبرو می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید یک متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر بی نهایت به عدد معینی نزدیک شود آ ، سپس آ حد این مقدار است.

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f (x) = y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع به آن گرایش دارد NS تمایل به یک نقطه خاص آ ... نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

به نظر دست و پا گیر است، اما نوشتن آن بسیار ساده است:

لیم- از انگلیسی حدحد است.

برای تعریف حد نیز توضیح هندسی وجود دارد، اما در اینجا به تئوری نمی پردازیم، زیرا بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه مند هستیم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم NS به مقداری تمایل دارد، به این معنی که متغیر مقدار عدد را نمی گیرد، اما بی نهایت به آن نزدیک است.

بیایید یک مثال عینی بیاوریم. چالش پیدا کردن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین کنید x = 3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر علاقه مند هستید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در مثال ها NS می تواند برای هر ارزشی تلاش کند. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است NS به بی نهایت تمایل دارد:

به طور مستقیم واضح است که هر چه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کمتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود NS معنی 1 / x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید NS ... با این حال، این ساده ترین مورد است. یافتن حد اغلب چندان واضح نیست. عدم قطعیت هایی مانند 0/0 یا بی نهایت / بی نهایت ... در چنین مواقعی چه باید کرد؟ برای متوسل شدن به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت / بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، بی نهایت هم در صورت و هم در مخرج به دست می آید. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشت که چگونه یک تابع می تواند به گونه ای تبدیل شود که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم NS در مقطع ارشد چه اتفاقی می افتد؟

از مثالی که قبلاً در بالا در نظر گرفته شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای افشای عدم قطعیت هایی مانند بی نهایت / بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر NSبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما، اکنون 10 درصد تخفیف در نظر گرفته شده است

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی در تابع مقدار x = -1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. ریشه ها را بیابید و بنویسید:

بیایید کوتاه کنیم و دریافت کنیم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیتی مانند 0/0 - صورت و مخرج را در نظر بگیرید.

برای سهولت در حل مثال ها، جدولی با محدودیت های برخی از توابع ارائه می دهیم:

حکومت L'Hôpital در داخل

تکنیک قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

اگر در حد عدم قطعیت وجود داشته باشد، مشتق صورت و مخرج را می گیریم تا زمانی که عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hôpital به این صورت است:

یک نکته مهم : حدی که در آن به جای صورت و مخرج مشتقات صورت و مخرج باشد باید وجود داشته باشد.

و حالا یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی 0/0 ... بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، ابهام به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم که بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخی برای این سوال بیابید که "چگونه در ریاضیات بالاتر حد را حل کنیم". اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید و از کلمه "اصلا" برای این کار وقت ندارید، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.

نظریه حد یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مشکل حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل انواع محدودیت ها وجود دارد. ده ها تفاوت ظریف و ترفند برای حل این یا آن محدودیت وجود دارد. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اساسی محدودیت‌ها را که در عمل رایج‌تر هستند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. در قرن نوزدهم آگوستین لوئی کوشی فرانسوی زندگی می‌کرد که پایه‌های آنالیز ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق، به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید بگویم که همین کوشی برای همه دانشجویان دانشکده های فیزیک و ریاضی در کابوس می بیند، خواب می بیند و خواهد داشت، زیرا او تعداد زیادی قضایای آنالیز ریاضی را ثابت کرد و یک قضیه از دیگری نفرت انگیزتر است. در این راستا تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. یاد بگیرید که با انواع اساسی محدودیت ها کنار بیایید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای قوری قابل فهم باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از اینکه چرا مادربزرگ پشمالو است….

هر محدودیتی سه قسمت دارد:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد محدودیت، در این مورد. ورودی به عنوان "x تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "x" در عمل، متغیرهای دیگری وجود دارد. در تمرینات عملی، مطلقاً هر عددی می تواند به جای واحد باشد و همچنین بی نهایت ().
3) در این مورد تحت علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: "محدودیت تابع زمانی که x تمایل به وحدت دارد."

بیایید سؤال مهم بعدی را تجزیه و تحلیل کنیم - عبارت "x به دنبالبه یک "؟ و به هر حال "تلاش" چیست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، اگر بتوانم بگویم، پویا... بیایید یک دنباله بسازیم: اول، سپس،… , ….
یعنی عبارت «x به دنبالبه یک "باید به صورت زیر فهمیده شود -" x "به ترتیب مقادیر می گیرد، که بی نهایت به وحدت نزدیک بوده و عملاً با آن منطبق است.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

پس قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفته ایم، اما حتی چنین مواردی در عمل یافت می شود، و علاوه بر این، نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

فهمیدن چیست؟ این در صورتی است که به طور نامحدود افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "x" بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع به طور نامحدود افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید خودتان موارد زیر را تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین انواع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر در جایی شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که، سعی کنید یک دنباله بسازید،،. اگر پس از آن،،.

نکته: به بیان دقیق، این رویکرد با ساخت دنباله از چندین عدد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، اما حتی با یک میلیون:، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا فقط سعی می کنیم عدد را به تابع وصل کنیم.

2) باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند ، ، و غیره.

اکنون گروهی از حدود را در نظر می گیریم که، و تابع یک کسری است که در صورت و مخرج آن چند جمله ای وجود دارد.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. چه چیزی در اوج بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین ما به اصطلاح عدم قطعیت گونه را داریم. کسی فکر می کند که و پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و شما باید از تکنیک های راه حلی استفاده کنید که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه محدودیت های یک نوع معین را حل کنیم؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و با بالاترین توان آن را پیدا می کنیم:

بالاترین درجه در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین در بالاترین توان پیدا می کنیم:

بالاترین توان مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به این صورت است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

جواب همین است، نه بی نهایت.

چه چیزی اساساً در طراحی راه حل مهم است؟

ابتدا عدم قطعیت را در صورت وجود نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از یک علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع شده است.

ثالثاً، در حد، مطلوب است که علامت گذاری شود که چه چیزی و کجا تلاش می کند. هنگامی که کار با دست کامل می شود، راحت تر است که آن را به این صورت انجام دهید:

بهتر است از یک مداد ساده برای علامت گذاری استفاده کنید.

البته، شما نمی توانید هیچ کاری از این کار انجام دهید، اما پس از آن، شاید معلم کاستی های موجود در راه حل را یادداشت کند یا شروع به پرسیدن سوالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین توان می یابیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
ما انتخاب میکنیم بهترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای افشای عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
طراحی کامل تکلیف ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "x" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "x" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار کردن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم کنید. یک راه حل تمیز ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

ضبط به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بی نهایت کوچک است.

بنابراین، هنگام افشای عدم قطعیت گونه، می توانیم دریافت کنیم عدد محدود، صفر یا بی نهایت.

حدود با عدم قطعیت یک نوع و روشی برای حل آنها

گروه بعدی از حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: چند جمله ای در صورت و مخرج وجود دارد، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حد را حل کنید
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را در کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی: اگر در صورت و مخرج چند جمله ای وجود داشته باشد و شکل آن عدم قطعیت باشد، برای آشکار شدن آن شما باید صورت و مخرج را در نظر بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و / یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شد، پس از صفحه بازدید کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ دوره ریاضیات مدرسه... به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید، اغلب مورد نیاز است و اطلاعات از کاغذ بهتر جذب می شود.

بنابراین، ما حد خود را تعیین می کنیم

بیایید صورت و مخرج را فاکتور کنیم

برای اینکه عدد را فاکتور بگیرید، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

اول، ما تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن:.

اگر تفکیک بزرگ باشد، برای مثال 361، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم، تابع ریشه مربع در ساده ترین ماشین حساب موجود است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد تشخیص دهنده اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود دارد.

بعد، ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه چيز. شمارنده گسترش یافته است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده کردن آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به اختصار:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

طبیعتاً در آزمون، در آزمون، در امتحان، تصمیم هرگز با این جزئیات شرح داده نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتور بگیریم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، یک راه حل "پاک".

بیایید صورت و مخرج را فاکتور کنیم.

صورت کسر:
مخرج:



,

در این مثال چه چیزی مهم است؟
اولاً باید خوب بفهمید که چگونه صورت آشکار می شود، ابتدا 2 را خارج از پرانتز بیرون آوردیم و سپس از فرمول اختلاف مربع ها استفاده کردیم. این فرمول را باید شناخت و دید.

مبحث 4.6 محاسبه حدود

حد یک تابع به این بستگی ندارد که در نقطه حد تعریف شده باشد یا خیر. اما در عمل محاسبه حدود توابع ابتدایی، این شرایط ضروری است.

1. اگر تابع ابتدایی است و اگر مقدار محدود آرگومان متعلق به دامنه تعریف آن باشد، محاسبه حد تابع به یک جایگزینی ساده با مقدار محدود آرگومان کاهش می یابد، زیرا حد تابع ابتدایی f (x) در x با هدفآ ، که در دامنه تعریف گنجانده شده است، برابر است با مقدار خاص تابع در x = آ، یعنی lim f (x) = f ( آ) .

2. اگر x به بی نهایت تمایل داردیا آرگومان به عددی گرایش پیدا می کند که به دامنه تابع تعلق ندارد، در هر صورت یافتن حد تابع مستلزم مطالعه خاصی است.

در زیر ساده‌ترین محدودیت‌ها بر اساس ویژگی‌های حدود آمده است که می‌توان از آنها به عنوان فرمول استفاده کرد:

موارد پیچیده تر برای یافتن حد یک تابع:

هر کدام جداگانه در نظر گرفته می شود.

این بخش راه های اصلی افشای عدم قطعیت ها را تشریح می کند.

1. موردی که برای x با هدفآ تابع f (x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک است

الف) ابتدا باید مطمئن شوید که حد تابع با جایگزینی مستقیم پیدا نمی شود و با تغییر مشخص شده در آرگومان، نسبت دو کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. با توجه به تعریف حد یک تابع، آرگومان x به مقدار حدی خود میل می کند و هرگز با آن منطبق نمی شود.

به طور کلی، اگر حد یک تابع جستجو شود x با هدفآ ، پس باید به خاطر داشت که x مقادیر را نمی گیرد آ، یعنی x برابر با a نیست.

ب) قضیه بزوت اعمال می شود. اگر به دنبال حد کسری باشیم که صورت و مخرج آن چند جمله‌ای هستند که در نقطه حدی محو می‌شوند. آ، پس با توجه به قضیه فوق، هر دو چند جمله ای بدون باقی مانده بر x- بخش پذیر هستند. آ.

ج) نامعقول بودن در صورت یا مخرج با ضرب صورت یا مخرج در مزدوج در عبارت غیر منطقی از بین می رود، سپس پس از ساده سازی، کسر لغو می شود.

د) از اولین حد قابل توجه (4.1) استفاده می شود.

ه) از قضیه هم ارزی بینهایت کوچک و مقادیر بی نهایت کوچک زیر استفاده می کنیم:

2. موردی که در x با هدفآ تابع f (x) نشان دهنده نسبت دو کمیت بی نهایت بزرگ است

الف) تقسیم صورت و مخرج کسری بر بالاترین توان مجهول.

ب) به طور کلی می توانید از قانون استفاده کنید

3. موردی که برای x با هدفآ تابع f (x) حاصلضرب یک کمیت بی نهایت کوچک را با یک کمیت بی نهایت بزرگ نشان می دهد.

کسری به شکلی تبدیل می شود که صورت و مخرج آن به طور همزمان به 0 یا بی نهایت میل می کنند، یعنی. مورد 3 به مورد 1 یا مورد 2 کاهش می یابد.

4. موردی که در x با هدفآ تابع f (x) تفاوت دو کمیت مثبت بی نهایت بزرگ را نشان می دهد

این مورد به یکی از روش های زیر به نوع 1 یا 2 کاهش می یابد:

الف) کاهش کسرها به مخرج مشترک؛

ب) تبدیل تابع به کسری.

ج) رهایی از بی منطقی.

5. موردی که در x با هدفآ تابع f (x) نشان دهنده درجه ای است که پایه آن به 1 و توان به بی نهایت میل می کند.

تابع به گونه ای تبدیل شده است که از دومین حد قابل توجه (4.2) استفاده می کند.

مثال.پیدا کردن .

زیرا x به 3 تمایل دارد، سپس صورت کسر به عدد 3 2 + 3 * 3 + 4 = 22 و مخرج به عدد 3 + 8 = 11 میل می کند. از این رو،

مثال

در اینجا صورت و مخرج کسری در x تمایل به 2تمایل به 0 (عدم قطعیت فرم)، صورت و مخرج را فاکتور می کنیم، حد (x-2) (x + 2) / (x-2) (x-5) را می گیریم.

مثال

با ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج به صورت، داریم

پرانتزها را در صورت حساب باز کنید، دریافت می کنیم

مثال

سطح 2. مثال. اجازه دهید مثالی از کاربرد مفهوم حد تابع در محاسبات اقتصادی ارائه دهیم. یک تراکنش مالی معمولی را در نظر بگیرید: وام دادن مبلغی اس 0 با این شرط که بعد از مدتی تیمبلغ مسترد خواهد شد اس تی... بیایید مقدار را تعریف کنیم r رشد نسبیفرمول

r = (S T -S 0) / S 0 (1)

رشد نسبی را می توان با ضرب مقدار حاصل به صورت درصد بیان کرد rدر 100.

از فرمول (1)، تعیین مقدار آسان است اس تی:

اس تی= اس 0 (1 + r)

هنگام محاسبه وام های بلندمدت که چندین سال کامل را پوشش می دهند، از طرح بهره مرکب استفاده می شود. این شامل این واقعیت است که اگر برای سال 1 مقدار اس 0 در (1 + افزایش می یابد r) بار، سپس در سال دوم در (1 + r) برابر مقدار افزایش می یابد اس 1 = اس 0 (1 + r)، به این معنا که اس 2 = اس 0 (1 + r) 2. به طور مشابه، معلوم می شود اس 3 = اس 0 (1 + r) 3. از مثال های داده شده، می توانید یک فرمول کلی برای محاسبه رشد مقدار برای استخراج کنید nسالها هنگام محاسبه بر اساس طرح بهره مرکب:

S n= اس 0 (1 + r) n.

در محاسبات مالی از طرح هایی استفاده می شود که سود مرکب چندین بار در سال دریافت می شود. در عین حال توافق شده است نرخ سالانه rو تعداد شارژ در سال ک... به عنوان یک قاعده، شارژ در فواصل منظم، یعنی طول هر بازه، انجام می شود T kبخشی از سال است سپس برای مدت در تیسال (اینجا تینه لزوما یک عدد صحیح) مقدار اس تیبا فرمول محاسبه می شود

(2)

قسمت صحیح عدد کجاست که با خود عدد منطبق است، اگر برای مثال، تی? عدد صحیح

بگذارید نرخ سالانه باشد rو تولید کرد nهزینه در سال در فواصل منظم. سپس برای سال مقدار اس 0 تا مقدار تعیین شده توسط فرمول رشد می کند

(3)

در تحلیل های نظری و در عمل فعالیت های مالی، اغلب با مفهوم "بهره مستمر" مواجه می شود. برای تغییر به سود محاسبه شده پیوسته، لازم است به ترتیب در فرمول های (2) و (3) به طور نامحدود اعداد افزایش یابد. کو n(یعنی هدف گرفتن کو nتا بی نهایت) و محاسبه کنید که توابع به کدام حد محدود می شوند اس تیو اس 1 . ما این روش را برای فرمول (3) اعمال می کنیم:

توجه داشته باشید که محدودیت در بریس های فرفری مانند حد قابل توجه دوم است. از این رو نتیجه می شود که به نرخ سالانه rبا بهره مستمر، مبلغ اس 0 در 1 سال به مقدار افزایش می یابد اس 1 * که از فرمول مشخص می شود

اس 1 * = اس 0 e r (4)

حالا اجازه دهید مجموع اس 0 با بهره قرض داده می شود nیک بار در سال در فواصل منظم. نشان می دهیم r eنرخ سالانه ای که در پایان سال مقدار اس 0 تا یک مقدار ایجاد می شود اس 1 * از فرمول (4). در این صورت خواهیم گفت r e- این هست نرخ بهره سالانه nیک بار در سال، معادل درصد سالانه rبا اقلام تعهدی مستمراز فرمول (3) بدست می آوریم

S * 1 = S 0 (1 + r e / n) n

برابر کردن سمت راست آخرین فرمول و فرمول (4)، تنظیم در آخرین تی= 1، می توانید رابطه بین کمیت ها را استخراج کنید rو r e:

این فرمول ها به طور گسترده در محاسبات مالی استفاده می شوند.