پیشرفت حسابیدنباله ای از اعداد (اعضای یک پیشرفت) نامیده می شود.

که در آن هر عبارت بعدی با عبارت قبلی متفاوت است که به آن نیز گفته می شود تفاوت مرحله یا پیشرفت.

بنابراین، با تنظیم مرحله پیشرفت و اولین عبارت آن، می توانید هر یک از عناصر آن را با فرمول پیدا کنید

خواص پیشروی حسابی

1) هر عضو پیشروی حسابی، که از عدد دوم شروع می‌شود، میانگین حسابی عضو قبلی و بعدی پیشروی است.

عکس آن نیز صادق است. اگر میانگین حسابی اعضای فرد ( زوج) مجاور پیشروی برابر با عبارت بین آنها باشد، این دنباله از اعداد یک تصاعد حسابی است. این عبارت بررسی هر توالی را بسیار آسان می کند.

همچنین با خاصیت پیشروی حسابی می توان فرمول فوق را به موارد زیر تعمیم داد

اگر شرایط را در سمت راست علامت مساوی بنویسیم، تأیید این امر آسان است

اغلب در عمل برای ساده کردن محاسبات در مسائل استفاده می شود.

2) مجموع n جمله اول پیشروی حسابی با فرمول محاسبه می شود

فرمول مجموع یک پیشروی حسابی را به خوبی به خاطر بسپارید، این فرمول برای محاسبات ضروری است و در موقعیت های ساده زندگی بسیار رایج است.

3) اگر شما نیاز دارید که نه کل مجموع، بلکه بخشی از دنباله را که از جمله k -ام شروع می شود، پیدا کنید، فرمول جمع زیر مفید خواهد بود.

4) یافتن مجموع n ترم یک پیشروی حسابی که از عدد k ام شروع می شود بسیار جالب است. برای این کار از فرمول استفاده کنید

این مطالب نظری را به پایان می رساند و به سمت حل مشکلات رایج در عمل می رود.

مثال 1. جمله چهلم پیشروی حسابی 4؛ 7؛ ... را بیابید.

راه حل:

با توجه به شرط، داریم

مرحله پیشرفت را تعیین کنید

با استفاده از فرمول شناخته شده، چهلمین عبارت پیشرفت را پیدا می کنیم

مثال 2. پیشروی حسابی با ترم های سوم و هفتم آن به دست می آید. جمله اول پیشروی و مجموع ده را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید عناصر داده شده پیشرفت را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم، در نتیجه مرحله پیشرفت را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم تا اولین جمله پیشرفت حسابی را پیدا کنیم

مجموع ده عضو اول پیشرفت را محاسبه می کنیم

بدون استفاده از محاسبات پیچیده، تمام مقادیر مورد نیاز را پیدا کردیم.

مثال 3. یک تصاعد حسابی توسط مخرج و یکی از اعضای آن داده می شود. اولین عضو پیشرفت را پیدا کنید، مجموع 50 عضو آن که با 50 شروع می شود و مجموع 100 نفر اول.

راه حل:

بیایید فرمول صدمین عنصر پیشرفت را بنویسیم

و اولی را پیدا کنید

بر اساس اولی، ترم 50 پیشرفت را پیدا می کنیم

مجموع قسمت پیشرفت را پیدا کنید

و مجموع 100 مورد اول

کل پیشرفت 250 است.

مثال 4.

تعداد اعضای یک پیشروی حسابی را بیابید اگر:

a3-a1 = 8، a2 + a4 = 14، Sn = 111.

راه حل:

معادلات را بر حسب جمله اول و گام پیشروی می نویسیم و تعریف می کنیم

مقادیر به دست آمده را با فرمول جمع جایگزین می کنیم تا تعداد اعضای جمع را مشخص کنیم

انجام ساده سازی ها

و معادله درجه دوم را حل کنید

از دو مقدار یافت شده برای شرایط مشکل، تنها عدد 8 مناسب است. بنابراین، مجموع هشت عضو اول پیشرفت 111 است.

مثال 5.

معادله را حل کنید

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

راه حل: این معادله حاصل جمع یک تصاعد حسابی است. بیایید اولین عبارت آن را بنویسیم و تفاوت در پیشرفت را پیدا کنیم

یا حساب نوعی دنباله عددی منظم است که خصوصیات آن در درس جبر مدرسه بررسی می شود. این مقاله به طور مفصل به این سوال می‌پردازد که چگونه می‌توان مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کرد.

این پیشرفت چیست؟

قبل از شروع به بررسی این سوال (چگونه مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم)، ارزش آن را دارد که بدانیم چه چیزی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هر دنباله ای از اعداد حقیقی که با جمع کردن (کاهش) مقداری از هر عدد قبلی به دست می آید، پیشروی جبری (حسابی) نامیده می شود. این تعریف که به زبان ریاضیات ترجمه شده است به این شکل است:

در اینجا i عدد ترتیبی عنصر ردیف a i است. بنابراین، با دانستن تنها یک دانه، می توانید به راحتی کل سری را بازسازی کنید. پارامتر d در فرمول را اختلاف پیشروی می نامند.

به راحتی می توان نشان داد که تساوی زیر برای سری اعداد مورد بررسی صادق است:

a n = a 1 + d * (n - 1).

یعنی برای یافتن مقدار عنصر n در ترتیب، اختلاف d را به عنصر اول a 1 n-1 بار اضافه کنید.

مجموع یک پیشروی حسابی چقدر است: فرمول

قبل از ارائه فرمول برای مقدار مشخص شده، ارزش دارد که یک مورد خاص ساده را در نظر بگیرید. با توجه به پیشرفت اعداد طبیعی از 1 تا 10، باید مجموع آنها را پیدا کنید. از آنجایی که تعداد اعضای کمی در پیشرفت (10) وجود دارد، می توان مشکل را به صورت مستقیم حل کرد، یعنی همه عناصر را به ترتیب جمع کرد.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

شایان ذکر است که یک چیز جالب توجه است: از آنجایی که هر عبارت بعدی با مقدار یکسانی d = 1 متفاوت است، پس مجموع زوج اول با دهم، دوم با نهم و غیره نتیجه یکسانی خواهد داشت. واقعا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

همانطور که می بینید از این مجموع فقط 5 عدد وجود دارد، یعنی دقیقا دو برابر کمتر از تعداد عناصر سریال. سپس با ضرب تعداد مجموع (5) در نتیجه هر مجموع (11)، به نتیجه ای می رسید که در مثال اول به دست آمده است.

اگر این استدلال را تعمیم دهیم، می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

این عبارت نشان می دهد که اصلاً لازم نیست همه عناصر را در یک ردیف جمع کنید، کافی است مقدار اول a 1 و آخرین a n و همچنین تعداد کل عبارت های n را بدانید.

اعتقاد بر این است که گاوس برای اولین بار زمانی که به دنبال راه حلی برای مسئله ای بود که معلم مدرسه خود تعیین کرده بود، به این برابری فکر کرد: 100 عدد صحیح اول را جمع کنید.

مجموع عناصر از m تا n: فرمول

فرمول ارائه شده در پاراگراف قبل به این سوال پاسخ می دهد که چگونه می توان مجموع یک پیشروی حسابی (عناصر اول) را پیدا کرد، اما اغلب در مسائل لازم است یک سری از اعداد را در وسط پیشرفت جمع کنیم. چگونه انجامش بدهیم؟

ساده ترین راه برای پاسخ به این سوال با در نظر گرفتن مثال زیر است: بگذارید مجموع عبارت های m-th تا n-ام را پیدا کنید. برای حل مسئله، یک قطعه معین از m تا n از پیشرفت باید به شکل یک سری عددی جدید ارائه شود. در این نمایش، عبارت m ام a m اولین و a n n- (m-1) خواهد بود. در این حالت، با اعمال فرمول استاندارد برای جمع، عبارت زیر را دریافت می کنید:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

نمونه ای از استفاده از فرمول ها

با دانستن چگونگی یافتن مجموع یک پیشرفت حسابی، ارزش آن را دارد که مثال ساده ای از استفاده از فرمول های داده شده را در نظر بگیرید.

در زیر یک دنباله عددی وجود دارد که باید مجموع اعضای آن را پیدا کنید که با عدد 5 شروع می شود و به عدد 12 ختم می شود:

اعداد داده شده نشان می دهد که تفاوت d برابر با 3 است. با استفاده از عبارت عنصر n، می توانید مقادیر 5 و 12 ترم های پیشرفت را پیدا کنید. معلوم می شود:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

با دانستن مقادیر اعداد در انتهای پیشرفت جبری در نظر گرفته شده و همچنین دانستن اینکه کدام اعداد در ردیف اشغال می شوند، می توانید از فرمول حاصل از جمع به دست آمده در پاراگراف قبل استفاده کنید. معلوم خواهد شد:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

شایان ذکر است که این مقدار می تواند متفاوت به دست آید: ابتدا با استفاده از فرمول استاندارد مجموع 12 عنصر اول را پیدا کنید، سپس با استفاده از همان فرمول مجموع 4 عنصر اول را محاسبه کنید، سپس دومی را از مجموع اول کم کنید.

به عنوان مثال، دنباله \ (2 \); \(5\); \(هشت\)؛ \(یازده\)؛ \ (14 \) ... یک تصاعد حسابی است، زیرا هر عنصر بعدی با عنصر قبلی سه تفاوت دارد (با اضافه کردن یک سه گانه می توان از عنصر قبلی به دست آورد):

در این پیشرفت، تفاوت \ (d \) مثبت است (برابر با \ (3 \)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.

با این حال، \ (d \) نیز می تواند منفی باشد. مثلا, در پیشروی حسابی \ (16 \); \(ده\)؛ \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... اختلاف پیشروی \ (d \) برابر با منهای شش است.

و در این صورت هر عنصر بعدی کوچکتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش.

نماد پیشرفت حسابی

پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.

اعدادی که پیشرفت را تشکیل می دهند آن را صدا می کنند اعضای(یا عناصر).

آنها با همان حروف پیشروی حسابی نشان داده می شوند، اما با یک شاخص عددی برابر با تعداد عنصر به ترتیب.

به عنوان مثال، پیشروی حسابی \ (a_n = \ چپ \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) از عناصر \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) و غیره.

به عبارت دیگر، برای پیشرفت \ (a_n = \ چپ \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ راست \) \)

حل مسئله برای پیشرفت حسابی

در اصل، اطلاعات فوق در حال حاضر برای حل تقریباً هر مشکلی برای یک پیشرفت حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.

مثال (OGE). پیشرفت حسابی با شرایط \ (b_1 = 7؛ d = 4 \) مشخص می شود. \ (b_5 \) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \ (b_5 = 23 \)

مثال (OGE). سه جمله اول پیشروی حسابی آورده شده است: \ (62; 49; 36 ... \) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید..
راه حل:

	اولین عناصر دنباله به ما داده شده است و می دانیم که یک پیشرفت حسابی است. یعنی هر عنصر با عنصر همسایه به همان تعداد متفاوت است. با کم کردن عنصر قبلی از عنصر بعدی، دریابید که کدام یک را کم کنید: \ (d = 49-62 = -13 \).
	اکنون می توانیم پیشرفت خود را به عنصر (اولین منفی) مورد نیاز خود بازگردانیم.
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(-3\)

مثال (OGE). چندین عنصر متوالی از پیشروی حسابی داده شده است: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) مقدار عنصر نشان داده شده با حرف \ (x \) را بیابید.
راه حل:

	برای پیدا کردن \ (x\) باید بدانیم که عنصر بعدی چقدر با عنصر قبلی تفاوت دارد، به عبارت دیگر، تفاوت پیشرفت. بیایید آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا کنیم: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \).
	و اکنون بدون هیچ مشکلی مورد دلخواه را پیدا می کنیم: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	آماده. میتونی جواب بنویسی

پاسخ: \(7,5\).

مثال (OGE). پیشروی حسابی با شرایط زیر مشخص می شود: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:

ما باید مجموع شش ترم اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما معانی آنها را نمی دانیم، فقط عنصر اول به ما داده شده است. بنابراین، ابتدا مقادیر را به نوبه خود با استفاده از داده شده محاسبه می کنیم: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) و با محاسبه شش عنصر مورد نیاز، مجموع آنها را پیدا می کنیم.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

مبلغ مورد نظر شما پیدا شده است.

پاسخ: \ (S_6 = 9 \).

مثال (OGE). در پیشرفت حسابی \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). تفاوت بین این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \ (d = 7 \).

فرمول های مهم پیشرفت حسابی

همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل پیشروی حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید (تفاوت از پیشرفت).

با این حال، گاهی اوقات شرایطی وجود دارد که تصمیم گیری "سر به سر" بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در اولین مثال ما نیاز داریم نه عنصر پنجم \ (b_5 \)، بلکه سیصد و هشتاد و ششم \ (b_ (386) \) را پیدا کنیم. چیست، ما \ (385 \) بار چهار اضافه می کنیم؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر، باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. برای شمردن شکنجه خواهی شد...

بنابراین، در چنین مواردی، آنها "سر به سر" را حل نمی کنند، بلکه از فرمول های خاصی که برای پیشروی حسابی مشتق شده اند استفاده می کنند. و اصلی ترین آنها فرمول nمین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \ (n \) جمله های اول هستند.

فرمول \ (n \) - امین عضو: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \)، که در آن \ (a_1 \) اولین جمله پیشرفت است.
\ (n \) - شماره عنصر مورد جستجو.
\ (a_n \) عضوی از پیشرفت با عدد \ (n \) است.

این فرمول به ما اجازه می دهد تا حداقل عنصر سه صدم و حتی میلیونمین عنصر را به سرعت پیدا کنیم، تنها با دانستن اولین و تفاوت پیشرفت.

مثال. پیشرفت حسابی با شرایط مشخص می شود: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (b_ (246) \) را پیدا کنید.
راه حل:

پاسخ: \ (b_ (246) = 1850 \).

فرمول مجموع n عبارت اول: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \)، که در آن

\ (a_n \) - آخرین ترم جمع شده.

مثال (OGE). پیشرفت حسابی با شرایط \ (a_n = 3,4n-0,6 \) مشخص می شود. مجموع اولین \ (25 \) اعضای این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		برای محاسبه مجموع بیست و پنج عنصر اول، باید ارزش جمله اول و بیست و پنجم را بدانیم. پیشرفت ما با فرمول ترم n بسته به تعداد آن داده می شود (به جزئیات مراجعه کنید). بیایید اولین عنصر را با جایگزین کردن یکی به جای \ (n \) محاسبه کنیم.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		اکنون عبارت بیست و پنجم را پیدا می کنیم و به جای \ (n \) بیست و پنج را جایگزین می کنیم.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		خوب حالا می توانیم بدون مشکل مقدار مورد نیاز را محاسبه کنیم.
\ (S_ (25) = \) \ (\ فراک (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فراک (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \ (S_ (25) = 1090 \).

برای مجموع \ (n \) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) به جای \ (a_n \) فرمول را جایگزین کنید \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). ما گرفتیم:

فرمول مجموع n عبارت اول: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)، که در آن

\ (S_n \) - جمع مورد نیاز \ (n \) عناصر اول.
\ (a_1 \) - اولین ترم جمع شده.
\ (d \) - تفاوت پیشرفت.
\ (n \) - تعداد موارد در مجموع.

مثال. مجموع اولین \ (33 \) - اعضای سابق پیشروی حسابی را بیابید: \ (17 \); \ (15.5 \); \(چهارده\)…
راه حل:

پاسخ: \ (S_ (33) = - 231 \).

مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی

اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. ما موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان می بریم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه باید کمی فکر کنید (در ریاضیات، این می تواند مفید باشد ☺)

مثال (OGE). مجموع تمام جمله های منفی پیشرفت را بیابید: \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18.7 \) ...
راه حل:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		کار بسیار شبیه به کار قبلی است. همچنین شروع به حل می کنیم: ابتدا \ (d \) را پیدا می کنیم.
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		اکنون \ (d \) را در فرمول برای مجموع ... و در اینجا یک تفاوت ظریف ظاهر می شود - ما \ (n \) را نمی دانیم. به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عبارت باید اضافه شود. چگونه متوجه شویم؟ بیایید فکر کنیم. وقتی به اولین عنصر مثبت رسیدیم، اضافه کردن عناصر را متوقف می کنیم. یعنی باید تعداد این عنصر را دریابید. چگونه؟ بیایید فرمول محاسبه هر عنصر از پیشرفت حسابی را بنویسیم: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) برای مورد خود.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n-1) 0.3 \)		ما باید \ (a_n \) بزرگتر از صفر باشد. بیایید دریابیم که در چه زمانی \ (n \) این اتفاق خواهد افتاد.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		هر دو طرف نابرابری را بر \ (0,3 \) تقسیم می کنیم.
\ (n-1> \) \ (\ فراک (19,3) (0,3) \)		حرکت منهای یک، به یاد داشته باشید که علائم را تغییر دهید
\ (n> \) \ (\ فراک (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		محاسبه می کنیم ...
\ (n> 65,333 ... \)		... و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت دارای عدد \ (66 \) خواهد بود. بر این اساس، آخرین منفی دارای \ (n = 65 \) است. بیایید آن را بررسی کنیم فقط در مورد.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		بنابراین، ما باید اولین عناصر \ (65 \) را اضافه کنیم.
\ (S_ (65) = \) \ (\ فراک (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		پاسخ آماده است.

پاسخ: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

مثال (OGE). پیشرفت حسابی با شرایط مشخص می شود: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). حاصل جمع عنصر \ (26 \) تا \ (42 \) را بیابید.
راه حل:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	در این مشکل، شما همچنین باید مجموع عناصر را پیدا کنید، اما نه از اول، بلکه از \ (26 \) - th. برای چنین موردی ما هیچ فرمولی نداریم. چگونه تصمیم بگیریم؟ آسان - برای بدست آوردن مجموع از \ (26 \) th به \ (42 \) - اوه ، ابتدا باید مجموع \ (1 \) - th تا \ (42 \) - اوه را پیدا کنید و سپس مجموع را کم کنید از آن ابتدا به \ (25 \) - th (به تصویر مراجعه کنید).
	برای پیشرفت ما \ (a_1 = -33 \)، و تفاوت \ (d = 4 \) (بالاخره، این چهار مورد است که به عنصر قبلی اضافه می کنیم تا عنصر بعدی را پیدا کنیم). با دانستن این موضوع، مجموع اولین عناصر \ (42 \) - yh را پیدا می کنیم.
\ (S_ (42) = \) \ (\ فراک (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ فراک (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	اکنون مجموع اولین \ (25 \) - عناصر ty است.
\ (S_ (25) = \) \ (\ فراک (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فراک (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	در نهایت پاسخ را محاسبه می کنیم.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

پاسخ: \ (S = 1683 \).

برای پیشروی حسابی، چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفتیم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.

یادداشت های مهم!
1. اگر به جای فرمول‌ها بیهوده می‌بینید، کش را پاک کنید. نحوه انجام آن در مرورگر خود در اینجا نوشته شده است:
2. قبل از شروع خواندن مقاله، به ناوبری ما برای یافتن مفیدترین منبع برای آن توجه کنید

دنباله عددی

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه (در مورد ما، آنها) باشد. هر چند عدد بنویسیم همیشه می توانیم بگوییم کدام یک اول است کدام دوم و همینطور تا آخر یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله عددی
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد -امین) همیشه یک است.
به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را چند حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو:.

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی بوئتیوس در قرن ششم معرفی شد و در معنای گسترده تر به عنوان یک دنباله اعداد بی پایان شناخته شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته گرفته شده است که توسط یونانیان باستان اشغال شده بود.

این یک دنباله عددی است که هر عضو آن برابر با قبلی است که به همان عدد اضافه می شود. این عدد را تفاضل پیشروی حسابی می نامند و با نشان داده می شود.

سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله اعداد دارای پیشروی حسابی هستند و کدام دنباله ها نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیده شد؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
هست یکپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار عضو آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراه پیدا کردنش

1. روش

می‌توانیم به مقدار قبلی تعداد پیشرفت اضافه کنیم تا به ترم سوم پیشرفت برسیم. خوب است که چیز زیادی برای جمع بندی نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، عضو دهم پیشرفت حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم، چه؟ جمع کردن بیش از یک ساعت طول می کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ارائه کرده اند که در آن نیازی نیست تفاوت پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنید. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید ... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید ، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که چگونه مقدار عضو دهم این پیشروی حسابی اضافه می شود:


به عبارت دیگر:

سعی کنید به طور مستقل مقدار یک عضو از یک پیشرفت محاسباتی را از این طریق بیابید.

محاسبه شد؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که اعضای پیشروی حسابی را به صورت متوالی به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - آن را به شکل کلی در می آوریم و دریافت می کنیم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی صعودی و گاهی کاهشی هستند.

صعودی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از اعضا بیشتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

در حال کاهش- پیشرفت هایی که در آن هر مقدار بعدی از اعضا کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چه مقدار خواهد بود:

از آن به بعد:

بنابراین، مطمئن شدیم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی کار می کند.
سعی کنید خود به تنهایی ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج به دست آمده را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت محاسباتی

بیایید کار را پیچیده کنیم - ویژگی پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و بر اساس فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

اجازه دهید، a، سپس:

کاملا درسته معلوم می شود که ابتدا آن را پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، پس هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرط به ما اعداد داده شود؟ قبول کنید، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال فکر کنید آیا می توان با هر فرمولی این مشکل را در یک اقدام حل کرد؟ البته، بله، و این اوست که ما اکنون سعی خواهیم کرد عقب نشینی کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به این صورت مشخص کنیم که فرمول پیدا کردن آن را می‌دانیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• عضو قبلی پیشرفت این است:
• عضو بعدی پیشرفت این است:

بیایید اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

معلوم می شود که مجموع اعضای قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر شده عضو پیشرفت است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار عضوی از پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع و بر آن تقسیم کرد.

درست است، ما همان عدد را گرفتیم. بیایید مواد را درست کنیم. مقدار پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، زیرا اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! تنها یک فرمول برای یادگیری باقی مانده است، که طبق افسانه ها، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس، به راحتی آن را برای خودش استنباط کرد.

هنگامی که کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که به بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر مشغول بود، این مشکل را در درس مطرح کرد: "مجموع تمام اعداد طبیعی را از تا (طبق منابع دیگر تا) فراگیر محاسبه کنید." تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (کارل گاوس بود) در عرض یک دقیقه پاسخ صحیح به مسئله را داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید یک پیشروی حسابی متشکل از اعضای -ام داریم: ما باید مجموع اعضای داده شده از پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم تمام مقادیر را به صورت دستی جمع کنیم، اما اگر در کار لازم باشد مجموع اعضای آن را همانطور که گاوس به دنبال آن بود، پیدا کنیم، چه؟

بیایید پیشرفت داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی را انجام دهید.


این را امتحان کرده ای؟ به چه چیزی توجه کرده اید؟ درست! مجموع آنها برابر است

حالا به من بگویید، چند جفت از این قبیل در پیشرفت داده شده وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو عضو یک پیشروی حسابی مساوی و جفت های مساوی مشابه است، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مشکلات، ترم هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت در پیشرفت را می دانیم. سعی کنید در فرمول مجموع، فرمول هفتمین جمله را جایگزین کنید.
چه کار کردین؟

آفرین! حالا بیایید به مسئله ای که به کارل گاوس داده شد برگردیم: خودتان محاسبه کنید مجموع اعدادی که از -ام شروع می شوند و مجموع اعدادی که از -ام شروع می شوند چقدر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع اعضا برابر است و مجموع اعضا. اینطوری تصمیم گرفتی؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم ثابت شد و در تمام این مدت، افراد شوخ طبع از خواص یک پیشروی حسابی با قدرت و اصلی استفاده می کردند.
به عنوان مثال، مصر باستان و جاه طلبانه ترین مکان ساخت و ساز آن زمان را تصور کنید - ساخت هرم ... شکل یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


آیا این یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم با زدن انگشتت روی مانیتور بشماری، آخرین فرمول و همه چیزهایی که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به یاد می آوری؟

در این مورد، پیشرفت به صورت زیر است:.
تفاوت پیشروی حسابی.
تعداد اعضای پیشروی حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش می شماریم).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. جمع شد؟ آفرین، شما به مجموع شرایط پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک های موجود در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

تمرین

وظایف:

1. ماشا تا تابستان در حال خوش فرم شدن است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. ماشا چند بار در هفته ها چمباتمه بزند، اگر در اولین تمرین اسکوات انجام دهد.
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در آن چقدر است؟
3. هنگام ذخیره کنده‌ها، چوب‌برها آن‌ها را به‌گونه‌ای روی هم می‌چینند که هر لایه بالایی یک کنده کمتر از لایه قبلی داشته باشد. اگر کنده ها اساس سنگ تراشی باشند، چند تنه در یک سنگ تراشی وجود دارد.

پاسخ ها:

1. بیایید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:پس از دو هفته، ماشا باید یک بار در روز چمباتمه بزند.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی.
   تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، ما این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله -امین یک پیشرفت حسابی بررسی می کنیم:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   داده های موجود را با فرمول جایگزین کنید:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است با.

3. بیایید مشکل هرم را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، پس فقط در یک دسته از لایه ها، یعنی.
   بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید خلاصه کنیم

1. - دنباله ای عددی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند صعودی و کاهشی باشد.
2. یافتن فرمول-امین عضو پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.
4. مجموع اعضای یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشروی حسابی. سطح متوسط

دنباله عددی

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند باشد. ولی همیشه میتونید بگید کدوم اوله کدوم دومی و ... یعنی میتونیم شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله عددیمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک عدد منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد را می توان با یک عدد طبیعی خاص و تنها یکی مرتبط کرد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را چند حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو:.

بسیار راحت است اگر بتوان ترم توالی را با فرمولی به دست آورد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول ترم نهم

ما فرمولی را تکراری می نامیم که در آن برای پیدا کردن عضو، باید قبلی یا چندین مورد قبلی را بدانید:

برای مثال، برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از چنین فرمولی، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خب حالا فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. برای چی؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک پیشروی حسابی، فرمول n ام را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ و این چیزی است که:

(به این دلیل است که به آن تفاوت می گویند که برابر است با اختلاف اعضای متوالی پیشرفت).

پس فرمول این است:

سپس جمله صدم این است:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس که پسری 9 ساله بود، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع اعداد اول و آخر مساوی است، مجموع عدد دوم و آخر اما یکی است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. چند جفت از این دست وجود خواهد داشت؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع اولین اعضای هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی است. هر بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعداد مورد علاقه ما یک پیشرفت حسابی را با جمله اول و تفاوت تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت عبارت است از:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عضو در مرحله پیشرفت هستند؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم در پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز، ورزشکار بیش از روز قبل m می دود. اگر روز اول کیلومتر متر را بدود چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه‌سوار هر روز کیلومترها بیشتر از دوچرخه‌سوار قبلی می‌راند. روز اول کیلومتر را رانندگی کرد. برای طی کردن کیلومتر چند روز باید سفر کند؟ در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یخچال هر سال چقدر کاهش یافته است، اگر به روبل برای فروش گذاشته شود، شش سال بعد به روبل فروخته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع اولین اعضای این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا آورده شده است:، یافتن آن ضروری است.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   ریشه بدیهی است که مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
   بیایید مسافت طی شده را برای آخرین روز با استفاده از فرمول ترم محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده:. پیدا کردن: .
   این نمی تواند ساده تر باشد:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشروی حسابی. به طور خلاصه در مورد اصلی

این یک دنباله عددی است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشروی حسابی می تواند صعودی () و کاهشی () باشد.

مثلا:

فرمول برای یافتن جمله n یک پیشرفت حسابی

نوشته شده توسط فرمول، که در آن تعداد اعداد در پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد تا در صورتی که اعضای همسایه آن شناخته شده باشند، به راحتی عضوی از پیشرفت را پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع اعضای یک تصاعد حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این خطوط هستید، پس خیلی باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در آن 5 درصد هستید!

اکنون مهمترین چیز می آید.

شما نظریه ای را در مورد این موضوع کشف کردید. و، دوباره، این است ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل این است که ممکن است این کافی نباشد ...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون، برای پذیرش در مؤسسه با بودجه و، از همه مهمتر، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. اینها آمار است.

اما این موضوع اصلی نیز نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بسیار بیشتری برای آنها وجود دارد و زندگی روشن تر می شود؟ نمیدانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئناً بهتر از دیگران در امتحان باشید و در نهایت خوشحال تر باشید؟

دستی برای حل مشکلات در مورد این موضوع.

در امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت برای مدتی وظایف را حل کنید.

و اگر آنها را حل نکردید (بسیار!)، مطمئناً به جایی خواهید رفت که اشتباه احمقانه ای دارید یا به سادگی به موقع نخواهید رسید.

مثل ورزش است - باید آن را بارها و بارها تکرار کنید تا مطمئن شوید که برنده شوید.

مجموعه ای را که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه دست خود را با وظایف ما پر کنید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. همه کارهای پنهان را در این مقاله به اشتراک بگذارید -
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف مخفی در تمام 99 مقاله آموزش - خرید کتاب درسی - 499 روبل

بله، ما 99 مقاله از این دست در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها به یکباره باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای مخفی برای تمام طول عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط روی تئوری تمرکز نکنید.

"فهمیده" و "من قادر به حل هستم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و حل کنید!

پیشرفت های حسابی و هندسی

اطلاعات نظری

اطلاعات نظری

	پیشرفت حسابی	پیشرفت هندسی
تعریف	پیشرفت حسابی یک nدنباله ای نامیده می شود که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی که با همان عدد اضافه می شود. د (د- تفاوت پیشرفت ها)	پیشرفت هندسی b nدنباله ای از اعداد غیرصفر است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد q (qمخرج پیشرفت است)
فرمول مکرر	برای هر طبیعی n a n + 1 = a n + d	برای هر طبیعی n b n + 1 = b n ∙ q، b n ≠ 0
فرمول ترم نهم	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1، b n ≠ 0
خاصیت مشخصه
مجموع n عضو اول

نمونه هایی از وظایف با نظرات

تمرین 1

در پیشرفت حسابی ( یک n) یک 1 = -6, یک 2

طبق فرمول ترم n:

یک 22 = یک 1+ d (22 - 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط:

یک 1= -6، بنابراین یک 22= -6 + 21 روز.

لازم است تفاوت بین پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

پاسخ : یک 22 = -48.

تکلیف 2

جمله پنجم یک تصاعد هندسی را پیدا کنید: -3; 6 ؛ ....

راه اول (با استفاده از فرمول n ترم)

با توجه به فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

زیرا ب 1 = -3,

راه دوم (با استفاده از فرمول مکرر)

از آنجایی که مخرج پیشرفت 2- است (q = -2)، پس:

ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : ب 5 = -48.

تکلیف 3

در پیشرفت حسابی ( a n) a 74 = 34; یک 76= 156. جمله هفتاد و پنجم این پیشروی را بیابید.

برای یک پیشرفت حسابی، ویژگی مشخصه است .

از این رو:

.

بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

جواب: 95.

تکلیف 4

در پیشرفت حسابی ( a n) a n= 3n - 4. مجموع هفده جمله اول را بیابید.

برای یافتن مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی، از دو فرمول استفاده می شود:

.

استفاده از کدام یک از آنها در این مورد راحت تر است؟

با شرط، فرمول nامین ترم پیشرفت اصلی مشخص است ( یک n) یک n= 3n - 4. بلافاصله می توانید و را پیدا کنید یک 1، و یک 16بدون یافتن د. بنابراین از فرمول اول استفاده خواهیم کرد.

جواب: 368.

تکلیف 5

در پیشرفت حسابی ( یک n) یک 1 = -6; یک 2= -8. عبارت بیست و دوم را در پیشروی پیدا کنید.

طبق فرمول ترم n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = یک 1+ 21 روز

با شرط، اگر یک 1= -6، پس یک 22= -6 + 21 روز. لازم است تفاوت بین پیشرفت ها را پیدا کنید:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

یک 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

پاسخ : یک 22 = -48.

تکلیف 6

چندین عضو متوالی از یک تصاعد هندسی نوشته شده است:

عبارت را در پیشروی که با حرف x نشان داده شده است پیدا کنید.

هنگام حل، از فرمول ترم n استفاده می کنیم b n = b 1 ∙ q n - 1برای پیشرفت های هندسی اولین عضو پیشرفت. برای پیدا کردن مخرج پیشروی q، باید هر یک از اعضای پیشروی داده شده را بگیرید و بر قبلی تقسیم کنید. در مثال ما، شما می توانید برش بگیرید و تقسیم کنید. به‌جای n در فرمول، 3 را جایگزین می‌کنیم، زیرا لازم است جمله سومی را که با یک پیشروی هندسی داده می‌شود، پیدا کنیم.

با جایگزینی مقادیر یافت شده در فرمول، دریافت می کنیم:

.

پاسخ : .

تکلیف 7

از پیشروی های محاسباتی که با فرمول جمله n ارائه می شود، موردی را که برای آن شرط است انتخاب کنید یک 27 > 9:

از آنجایی که شرط داده شده باید برای بیست و هفتمین ترم پیشرفت انجام شود، در هر چهار مرحله به جای n، 27 را جایگزین می کنیم. در مرحله چهارم، ما دریافت می کنیم:

.

جواب: 4.

تکلیف 8

در پیشرفت حسابی یک 1= 3، d = -1.5. بزرگترین مقدار n که نابرابری برای آن برقرار است را مشخص کنید یک n > -6.