So lösen Sie identisch gleiche Ausdrücke. Konvertierungen identischer Ausdrücke
Grundlegende Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen.
Die Verschiebungseigenschaft der Addition: Der Wert der Summe ändert sich nicht durch die Permutation der Terme. Für beliebige Zahlen a und b gilt die Gleichheit
Kombinationseigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, können Sie die Summe der zweiten und dritten zur ersten Zahl addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Die Verschiebungseigenschaft der Multiplikation: Der Wert des Produkts ändert sich nicht durch die Permutation der Faktoren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Kombinationseigenschaft der Multiplikation: Um das Produkt zweier Zahlen mit der dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.
Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Verteilungseigenschaft: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Aus den verschiebbaren und kombinativen Eigenschaften der Addition folgt: In jeder Summe können Sie die Terme beliebig umordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.
Beispiel 1 Berechnen wir die Summe 1,23 + 13,5 + 4,27.
Dazu ist es zweckmäßig, den ersten Term mit dem dritten zu kombinieren. Wir bekommen:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Aus den transponierbaren und kombinatorischen Eigenschaften der Multiplikation folgt: In jedem Produkt können Sie die Faktoren beliebig neu anordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.
Beispiel 2 Finden wir den Wert des Produkts 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.
Kombinieren wir den ersten Faktor mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten, erhalten wir:
1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.
Die Verteilungseigenschaft ist auch wahr, wenn die Zahl mit der Summe von drei oder mehr Termen multipliziert wird.
Zum Beispiel gilt für alle Zahlen a, b, c und d die Gleichheit
a (b + c + d) = ab + ac + ad.
Wir wissen, dass die Subtraktion durch Addition ersetzt werden kann, indem die entgegengesetzte Zahl zur subtrahierten Zahl zur subtrahierten Zahl addiert wird:
Dies ermöglicht einen numerischen Ausdruck tippe a-b betrachte die Summe der Zahlen a und -b, der numerische Ausdruck der Form a + bcd gilt als Summe der Zahlen a, b, -c, -d usw. Die betrachteten Eigenschaften von Einwirkungen gelten auch für solche Summen .
Beispiel 3 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 3,27-6,5-2,5 + 1,73.
Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 3,27, -6,5, -2,5 und 1,73. Durch Anwenden der Additionseigenschaften erhalten wir: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (-6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.
Beispiel 4 Berechnen wir das Produkt 36 · ().
Den Multiplikator kann man sich als Summe der Zahlen und - vorstellen. Mit der Verteilungseigenschaft der Multiplikation erhalten wir:
36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.
Identitäten
Definition. Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.
Definition. Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.
Finden Sie die Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y bei x = 5, y = 4:
3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,
3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.
Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y gleich sind.
Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x = 1, y = 2 nehmen sie gleiche Werte an:
Sie können jedoch Werte für x und y angeben, damit die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn zum Beispiel x = 3, y = 4, dann
Die Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x + y und 2xy sind nicht identisch.
Die Gleichheit 3 (x + y) = x + 3y, wahr für alle Werte von x und y, ist eine Identität.
Echte Zahlengleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.
Identitäten sind also Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken:
a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),
ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.
Andere Beispiele für Identitäten können angeführt werden:
a + 0 = a, a + (-a) = 0, a-b = a + (- b),
a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (-b) = ab.
Konvertierungen identischer Ausdrücke
Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm identisch ist, heißt identische Transformation oder einfach durch Umwandeln des Ausdrucks.
Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt.
Um den Wert des Ausdrucks xy-xz anhand der Werte von x, y, z zu ermitteln, müssen Sie drei Schritte ausführen. Für x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2 erhalten wir beispielsweise:
xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.
Dieses Ergebnis kann durch Ausführen von nur zwei Schritten erhalten werden, wenn wir den Ausdruck x (y-z) verwenden, der mit dem Ausdruck xy-xz identisch ist:
xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck xy-xz durch den identisch gleichen Ausdruck x (y-z) ersetzt haben.
Identische Transformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Einige der identischen Transformationen wurden bereits durchgeführt, zum Beispiel die Reduzierung ähnlicher Terme, die Erweiterung von Klammern. Erinnern wir uns an die Regeln für die Durchführung dieser Transformationen:
Um solche Terme anzugeben, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gesamten Buchstabenteil multiplizieren.
wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes Begriffs in Klammern eingeschlossen bleibt;
Steht vor den Klammern ein Minuszeichen, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird.
Beispiel 1 Geben wir ähnliche Terme in der Summe 5x + 2x-3x an.
Wir werden die Regel der Reduzierung solcher Bedingungen anwenden:
5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.
Diese Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation.
Beispiel 2 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b-3c).
Anwenden der Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Pluszeichen vorangestellt ist:
2a + (b-3c) = 2a + b-3c.
Die durchgeführte Transformation basiert auf der kombinativen Eigenschaft der Addition.
Beispiel 3 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck a- (4b-c).
Verwenden wir die Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Minuszeichen vorangestellt ist:
a- (4b-c) = a-4b + c.
Die durchgeführte Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation und der Kombinationseigenschaft der Addition. Zeigen wir es. Wir stellen in diesem Ausdruck den zweiten Term - (4b-c) als Produkt (-1) (4b-c) dar:
a-(4b-c) = a + (-1) (4b-c).
Durch Anwenden der angegebenen Aktionseigenschaften erhalten wir:
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.
Dieser Artikel bietet eine Initiale Vorstellung von Identitäten... Hier definieren wir eine Identität, führen die verwendete Notation ein und geben natürlich verschiedene Beispiele für Identitäten.
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Was ist Identität?
Es ist logisch, die Präsentation des Materials mit zu beginnen Definitionen von Identität... Im Lehrbuch von Yu. N. Makarychev, Algebra für 7 Klassen, wird die Definition einer Identität wie folgt angegeben:
Definition.
Identität- dies gilt für alle Werte der Variablen. jede gültige numerische Gleichheit ist auch eine Identität.
In diesem Fall weist der Autor sofort darauf hin, dass diese Definition in Zukunft klargestellt wird. Diese Verfeinerung findet in Klasse 8 statt, nachdem Sie sich mit der Definition der zulässigen Werte von Variablen und OVS vertraut gemacht haben. Die Definition wird so:
Definition.
Identitäten- Dies sind echte numerische Gleichheiten sowie Gleichheiten, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gelten.
Warum sprechen wir bei der Definition einer Identität in der 7. Klasse über alle Werte der Variablen und in der 8. Klasse über die Werte der Variablen aus ihrer ODZ? Bis Klasse 8 wird ausschließlich mit ganzzahligen Ausdrücken (insbesondere mit Monomen und Polynomen) gearbeitet, und sie sind für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Daher sagen wir in der 7. Klasse, dass Identität eine Gleichheit ist, die für alle Werte der Variablen gilt. Und in der 8. Klasse tauchen Ausdrücke auf, die bereits nicht für alle Werte von Variablen Sinn machen, sondern nur für Werte aus deren ODZ. Daher beginnen wir, Identitäten Gleichheiten zu nennen, die für alle zulässigen Werte der Variablen wahr sind.
Identität ist also besonderer Fall Gleichberechtigung. Das heißt, jede Identität ist eine Gleichheit. Aber nicht jede Gleichheit ist eine Identität, sondern nur eine solche Gleichheit, die für beliebige Werte von Variablen aus ihrem zulässigen Wertebereich gilt.
Identitätszeichen
Es ist bekannt, dass in der Notation von Gleichheiten ein Gleichheitszeichen der Form "=" verwendet wird, links und rechts davon einige Zahlen oder Ausdrücke. Wenn wir diesem Zeichen eine weitere horizontale Linie hinzufügen, erhalten wir Identitätszeichen"≡", oder wie es auch genannt wird Identitätszeichen.
Das Identitätszeichen wird normalerweise nur verwendet, wenn betont werden muss, dass wir nicht nur mit Gleichheit, sondern mit Identität konfrontiert sind. In anderen Fällen unterscheidet sich die Notation von Identitäten in der Form nicht von Gleichheiten.
Beispiele für Identitäten
Es ist Zeit zu führen Beispiele für Identitäten... Dabei hilft uns die Definition von Identität im ersten Absatz.
Numerische Gleichheiten 2 = 2 und sind Beispiele für Identitäten, da diese Gleichheiten wahr sind und jede wahre numerische Gleichheit per Definition eine Identität ist. Sie können als 2≡2 und geschrieben werden.
Numerische Gleichheiten der Form 2 + 3 = 5 und 7−1 = 2 · 3 sind ebenfalls Identitäten, da diese Gleichungen wahr sind. Das heißt, 2 + 3≡5 und 7−1≡2 · 3.
Kommen wir zu Beispielen für Identitäten, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen in ihrer Notation enthalten.
Betrachten Sie die Gleichheit 3 (x + 1) = 3 x + 3. Für jeden Wert der Variablen x gilt die geschriebene Gleichheit aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Addition, daher ist die ursprüngliche Gleichheit ein Beispiel für Identität. Hier ist ein weiteres Identitätsbeispiel: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, hier setzt sich der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und y aus allen Paaren (x, y) zusammen, wobei x und y beliebige Zahlen außer Null sind.
Aber die Gleichheiten x + 1 = x − 1 und a + 2 b = b + 2 a sind keine Identitäten, da es Werte von Variablen gibt, für die diese Gleichheiten falsch sind. Für x = 2 wird beispielsweise die Gleichheit x + 1 = x − 1 zur falschen Gleichheit 2 + 1 = 2−1. Außerdem wird die Gleichheit x + 1 = x − 1 für keinen Wert der Variablen x erreicht. Und die Gleichheit a + 2 b = b + 2 a wird zu einer falschen Gleichheit, wenn wir unterschiedliche Werte der Variablen a und b annehmen. Für a = 0 und b = 1 erhalten wir beispielsweise die falsche Gleichheit 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Die Gleichheit | x | = x, wobei | x | - Variable x, ist auch keine Identität, da sie für negative Werte von x nicht gilt.
Beispiele für die bekanntesten Identitäten sind sin 2 α + cos 2 α = 1 und a log a b = b.
Abschließend möchte ich anmerken, dass wir im Mathematikstudium ständig auf Identitäten stoßen. Die Eigenschaftsdatensätze von Aktionen mit Zahlen sind Identitäten, zum Beispiel a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 und a + (- a) = 0. Auch die Identitäten sind
§ 2. Identische Ausdrücke, Identität. Identische Konvertierung eines Ausdrucks. Identitätsnachweise
Finden Sie die Werte der Ausdrücke 2 (x - 1) 2x - 2 für die angegebenen Werte der Variablen x. Schreiben wir die Ergebnisse in die Tabelle:
Sie können zu dem Schluss kommen, dass die Werte der Ausdrücke 2 (x - 1) 2x - 2 für jeden gegebenen Wert der Variablen x gleich sind. Aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion 2 (x - 1) = 2x - 2. Daher ist für jeden anderen Wert der Variablen x auch der Wert des Ausdrucks 2 (x - 1) 2x - 2 gleich zueinander. Solche Ausdrücke werden identisch gleich genannt.
Zum Beispiel sind die Ausdrücke 2x + 3x und 5x Synonyme, da diese Ausdrücke für jeden Wert der Variablen x erhalten die gleichen Werte(dies folgt aus der Verteilungseigenschaft der Multiplikation bezüglich der Addition, da 2x + 3x = 5x).
Betrachten Sie nun die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy. Wenn x = 1 und b = 1 sind, sind die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich:
3x + 2y = 3 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 1 ∙ 1 = 5.
Sie können jedoch solche Werte von x und y angeben, für die die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Zum Beispiel, wenn x = 2; y = 0, dann
3x + 2y = 3 2 + 2 ∙ 0 = 6,5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Daher gibt es Werte von Variablen, für die die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht gleich sind. Daher sind die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht identisch.
Basierend auf dem Vorstehenden sind Identitäten insbesondere Gleichheiten: 2 (x - 1) = 2x - 2 und 2x + 3x = 5x.
Eine Identität ist jede Gleichheit, die die bekannten Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen enthält. Zum Beispiel,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b+c) = ab+ac;
ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.
Es gibt auch solche Gleichheiten wie Identitäten:
a + 0 = a; a 0 = 0; a (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a 1 = a; a (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Wenn wir ähnliche Terme im Ausdruck -5x + 2x - 9 reduzieren, erhalten wir 5x + 2x - 9 = 7x - 9. In diesem Fall sagen sie, dass der Ausdruck 5x + 2x - 9 durch den Ausdruck 7x - 9 ersetzt wurde das ist damit identisch.
Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden unter Verwendung der Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt. Insbesondere identische Transformationen mit der Erweiterung von Klammern, der Konstruktion ähnlicher Terme und dergleichen.
Beim Vereinfachen des Ausdrucks müssen identische Transformationen durchgeführt werden, d. h. beim Ersetzen eines Ausdrucks durch einen identischen Ausdruck, der kürzer sein sollte.
Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - ).
1) -0,3 m 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;
2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - ein + 2 B + 3 B - ein= 3a + 5b + 2.
Um zu beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist (mit anderen Worten, um Identität zu beweisen, verwenden Sie identische Transformationen von Ausdrücken.
Die Identität kann auf eine der folgenden Arten nachgewiesen werden:
- führe identische Transformationen der linken Seite durch und reduziere sie dadurch auf die Form der rechten Seite;
- führe identische Transformationen der rechten Seite durch und reduziere sie dadurch auf die Form der linken Seite;
- führt identische Transformationen seiner beiden Teile durch, wodurch beide Teile zu denselben Ausdrücken erhoben werden.
Beispiel 2. Beweisen Sie die Identität:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);
3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.
Abschnitt
1) Wir transformieren die linke Seite dieser Gleichheit:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.
Durch identische Transformationen wurde der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichheit auf die Form der rechten Seite reduziert und damit bewiesen, dass diese Gleichheit eine Identität ist.
2) Wir transformieren die rechte Seite dieser Gleichheit:
5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b) = 10 A - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.
Durch identische Transformationen wurde die rechte Seite der Gleichheit auf die Form der linken Seite reduziert und damit bewiesen, dass diese Gleichheit eine Identität ist.
3) In diesem Fall ist es praktisch, sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichheit zu vereinfachen und die Ergebnisse zu vergleichen:
2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Durch identische Transformationen wurden die linke und rechte Seite der Gleichheit auf die gleiche Form reduziert: 26x - 44. Daher ist diese Gleichheit eine Identität.
Welche Ausdrücke heißen identisch? Nennen Sie ein Beispiel für identische Ausdrücke. Welche Gleichheit nennt man Identität? Nennen Sie ein Identitätsbeispiel. Wie nennt man die Identitätsumwandlung eines Ausdrucks? Wie kann man die Identität nachweisen?
- (mündlich) Oder gibt es Ausdrücke, die identisch sind:
1) 2a + a und 3a;
2) 7x + 6 und 6 + 7x;
3) x + x + x und x 3;
4) 2 (x - 2) und 2x - 4;
5) m – n und n – m;
6) 2a p und 2p ∙ a?
- Sind die Ausdrücke:
1) 7x - 2x und 5x;
2) 5a - 4 und 4 - 5a;
3) 4m + n und n + 4m;
4) a + a und a 2;
5) 3 (a - 4) und 3a - 12;
6) 5m n und 5m + n?
- (Verbal) ist die Lüge-Identität:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7p - 1 = -1 + 7p;
3) 3 (x - y) = 3x - 5y?
- Klammer öffnen:
- Klammer öffnen:
- Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:
- Nennen Sie einige Ausdrücke, identische Ausdrücke 2a + 3a.
- Vereinfachen Sie Ihren Ausdruck mit den Permutations- und Verbindungseigenschaften der Multiplikation:
1) -2,5 x 4;
2) 4p (-1,5);
3) 0,2 x (0,3 g);
4) - x<-7у).
- Den Ausdruck vereinfachen:
1) -2p ∙ 3,5;
2) 7a (-1.2);
3) 0,2 x (-3y);
4) - 1 m∙ (-3n).
- (Verbal) Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a (-2b).
- Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;
2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);
4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).
- Erweitern Sie die Klammern und reduzieren Sie die ähnlichen Begriffe:
1) 3 (8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2 (3p - 1);
3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);
4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4 (x - 20) wenn x = 2,4;
2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 wenn a = 10;
3) 1,2 (m – 5) – 1,8 (10 – m), wenn m = –3,7;
4) 2x - 3 (x + y) + 4y, wenn x = -1, y = 1.
- Vereinfachen Sie den Ausdruck und finden Sie seine Bedeutung:
1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) wenn x = -0,7;
2) 1,7 (y - 11) - 16,3, wenn b = 20;
3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1) wenn a = -1;
4) 5 (m – n) – 4m + 7n, wenn m = 1,8; n = -0,9.
- Beweisen Sie die Identität:
1) – (2x – y) = y – 2x;
2) 2 (x - 1) - 2x = -2;
3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;
4) s – 2 = 5 (s + 2) – 4 (s + 3).
- Beweisen Sie die Identität:
1) – (m – 3n) = 3n – m;
2) 7 (2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);
4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7m - 3.
- Die Länge einer der Seiten des Dreiecks beträgt 1 cm und die Länge jeder der anderen beiden Seiten ist 2 cm länger. Schreiben Sie den Umfang des Dreiecks als Ausdruck auf und vereinfachen Sie den Ausdruck.
- Die Breite des Rechtecks beträgt x cm und die Länge ist 3 cm länger als die Breite. Schreiben Sie den Umfang des Rechtecks als Ausdruck auf und vereinfachen Sie den Ausdruck.
1) x – (x – (2x – 3));
2) 5m – ((n – m) + 3n);
3) 4p – (3p – (2p – (r + 1)));
4) 5x – (2x – ((y – x) – 2y));
5) (6a - b) - (4a - 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2 n - 0,48 m).
- Erweitern Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5 Jahre - (6 Jahre - (7 Jahre - (8 Jahre - 1)));
6) (2,1a - 2,8b) - (1a - 1b).
- Beweisen Sie die Identität:
1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);
2) – (– 3p) – (– (8 – 5p)) = 2 (4 – d);
3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).
- Beweisen Sie die Identität:
1) 12a - ((8a - 16)) = -4 (4 - 5a);
2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Beweisen Sie, dass der Wert des Ausdrucks
1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2m) hängt nicht vom Wert der Variablen ab.
- Beweisen Sie, dass für jeden Wert der Variablen der Wert des Ausdrucks
a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)
ist die gleiche Nummer.
- Beweisen Sie, dass die Summe von drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen durch 6 teilbar ist.
- Beweisen Sie, dass, wenn n eine natürliche Zahl ist, der Wert des Ausdrucks -2 (2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) eine gerade Zahl ist.
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Nachdem wir uns mit dem Begriff der Identitäten beschäftigt haben, können wir mit dem Studium identisch gleicher Ausdrücke fortfahren. Der Zweck dieses Artikels ist es, zu erklären, was es ist, und mit Beispielen zu zeigen, welche Ausdrücke mit anderen identisch sind.
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Identisch gleiche Ausdrücke: Definition
Das Konzept der identisch gleichen Ausdrücke wird normalerweise zusammen mit dem Konzept der Identität im Rahmen des Schulalgebrakurses studiert. Hier ist eine grundlegende Definition aus einem Lehrbuch:
Definition 1
Identisch gleich einander werden solche Ausdrücke sein, deren Werte für alle möglichen Werte der Variablen, die in ihrer Zusammensetzung enthalten sind, gleich sind.
Außerdem werden solche numerischen Ausdrücke als identisch angesehen, wenn dieselben Werte übereinstimmen.
Dies ist eine ziemlich breite Definition, die für alle ganzzahligen Ausdrücke korrekt ist, deren Bedeutung sich nicht ändert, wenn sich die Werte der Variablen ändern. Später wird es jedoch notwendig, diese Definition zu klären, da es neben Ganzzahlen auch andere Arten von Ausdrücken gibt, die für bestimmte Variablen keinen Sinn ergeben. Daraus ergibt sich das Konzept der Zulässigkeit und Unzulässigkeit bestimmter Werte von Variablen sowie die Notwendigkeit, den Bereich der zulässigen Werte zu bestimmen. Lassen Sie uns eine genauere Definition formulieren.
Definition 2
Identisch gleiche Ausdrücke Sind diejenigen Ausdrücke, deren Werte für alle zulässigen Werte der in ihrer Zusammensetzung enthaltenen Variablen gleich sind. Numerische Ausdrücke sind identisch, vorausgesetzt, sie haben dieselben Werte.
Der Ausdruck "für alle gültigen Variablenwerte" bezieht sich auf all diejenigen Variablenwerte, für die beide Ausdrücke Sinn machen. Wir werden diese Position später erläutern, wenn wir Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke geben.
Sie können auch die folgende Definition angeben:
Definition 3
Gleich gleiche Ausdrücke sind Ausdrücke, die sich in einer Identität auf der linken und rechten Seite befinden.
Beispiele für Ausdrücke, die einander gleich sind
Schauen wir uns anhand der obigen Definitionen einige Beispiele für solche Ausdrücke an.
Beginnen wir mit numerischen Ausdrücken.
Beispiel 1
2 + 4 und 4 + 2 sind also identisch zueinander, da ihre Ergebnisse gleich sind (6 und 6).
Beispiel 2
Ebenso sind die Ausdrücke 3 und 30 identisch: 10, (2 2) 3 und 2 6 (um den Wert des letzten Ausdrucks zu berechnen, müssen Sie die Eigenschaften des Grades kennen).
Beispiel 3
Die Ausdrücke 4 - 2 und 9 - 1 sind jedoch nicht gleich, da ihre Werte unterschiedlich sind.
Kommen wir zu Beispielen für wörtliche Ausdrücke. A + b und b + a sind identisch gleich, und dies hängt nicht von den Werten der Variablen ab (die Gleichheit der Ausdrücke wird in diesem Fall durch die Verschiebungseigenschaft der Addition bestimmt).
Beispiel 4
Wenn beispielsweise a gleich 4 und b gleich 5 ist, sind die Ergebnisse immer noch dieselben.
Ein weiteres Beispiel für identisch gleiche Ausdrücke mit Buchstaben ist 0 x y z und 0. Was auch immer die Werte der Variablen in diesem Fall sind, wenn sie mit 0 multipliziert werden, ergeben sie 0. Die ungleichen Ausdrücke sind 6 x und 8 x, da sie für kein x gleich sind.
Für den Fall, dass die Bereiche der zulässigen Werte der Variablen beispielsweise in den Ausdrücken a + 6 und 6 + a oder ab 0 und 0 oder x 4 und x und den Werten der Ausdrücke selbst übereinstimmen für alle Variablen gleich sind, werden solche Ausdrücke als identisch gleich betrachtet. Also, a + 8 = 8 + a für jeden Wert von a und auch a b 0 = 0, da die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 am Ende 0 ergibt. Die Ausdrücke x 4 und x sind für jedes x aus dem Intervall [0, + ∞) identisch.
Der Gültigkeitsbereich eines Ausdrucks kann sich jedoch vom Gültigkeitsbereich eines anderen unterscheiden.
Beispiel 5
Nehmen wir zum Beispiel zwei Ausdrücke: x - 1 und x - 1 x x. Für die erste von ihnen ist der Bereich der zulässigen Werte von x die gesamte Menge der reellen Zahlen und für die zweite die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, denn dann erhalten wir 0 im Nenner , und eine solche Aufteilung ist nicht definiert. Diese beiden Ausdrücke haben einen gemeinsamen Bereich, der durch die Schnittmenge zweier separater Bereiche gebildet wird. Wir können daraus schließen, dass beide Ausdrücke x - 1 x x und x - 1 für alle reellen Werte der Variablen außer 0 sinnvoll sind.
Die grundlegende Eigenschaft des Bruchs lässt uns auch den Schluss zu, dass x - 1 x x und x - 1 für jedes x gleich sein werden, das nicht 0 ist. Dies bedeutet, dass diese Ausdrücke im gemeinsamen Bereich zulässiger Werte identisch sind und für jedes reelle x nicht von identischer Gleichheit gesprochen werden kann.
Ersetzen wir einen Ausdruck durch einen anderen, der ihm identisch ist, dann wird dieser Vorgang als Identitätstransformation bezeichnet. Dieses Konzept ist sehr wichtig, und wir werden in einem separaten Artikel ausführlich darüber sprechen.
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Nachdem Sie sich eine Vorstellung von Identitäten gemacht haben, ist es logisch, mit der Bekanntschaft fortzufahren. In diesem Artikel werden wir die Frage beantworten, was identische Ausdrücke sind und anhand von Beispielen herausfinden, welche Ausdrücke identisch sind und welche nicht.
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Was sind identisch gleiche Ausdrücke?
Die Definition von identisch gleichen Ausdrücken erfolgt parallel zur Definition von Identität. Dies geschieht im Algebra-Unterricht der 7. Klasse. In einem Lehrbuch über Algebra für 7 Klassen des Autors Yu.N. Makarychev wird folgende Formulierung gegeben:
Definition.
Sind Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind. Numerische Ausdrücke mit identischen Werten werden auch als identisch gleich bezeichnet.
Diese Definition wird bis Klasse 8 verwendet, sie gilt für Integer-Ausdrücke, da sie für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll sind. Und in der 8. Klasse wird die Definition von identisch gleichen Ausdrücken verfeinert. Lassen Sie uns erklären, warum das verbunden ist.
In der 8. Klasse beginnt das Studium anderer Arten von Ausdrücken, die im Gegensatz zu ganzzahligen Ausdrücken für einige Werte der Variablen möglicherweise keinen Sinn ergeben. Dies zwingt uns, Definitionen von zulässigen und unzulässigen Werten von Variablen sowie den Bereich der zulässigen Werte der ODZ einer Variablen einzuführen und in der Folge die Definition von identisch gleichen Ausdrücken zu klären.
Definition.
Zwei Ausdrücke, deren Werte für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind, heißen identisch gleiche Ausdrücke... Zwei numerische Ausdrücke mit gleicher Bedeutung werden auch als identisch gleich bezeichnet.
In dieser Definition von identisch gleichen Ausdrücken lohnt es sich, die Bedeutung des Ausdrucks „für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen“ zu klären. Es impliziert all solche Werte von Variablen, für die beide identisch gleiche Ausdrücke gleichzeitig Sinn machen. Wir werden diese Idee im nächsten Absatz anhand von Beispielen verdeutlichen.
Die Definition von identisch gleichen Ausdrücken in A.G. Mordkovichs Lehrbuch ist etwas anders:
Definition.
Identisch gleiche Ausdrücke Sind Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Identität.
Die Bedeutung dieser und der vorherigen Definitionen stimmen überein.
Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke
Die im vorherigen Absatz eingeführten Definitionen ermöglichen es uns, Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke.
Beginnen wir mit identisch gleichen numerischen Ausdrücken. Numerische Ausdrücke 1 + 2 und 2 + 1 sind identisch gleich, da sie den gleichen Werten 3 und 3 entsprechen. Auch die Ausdrücke 5 und 30: 6 sind identisch, ebenso wie die Ausdrücke (2 2) 3 und 2 6 (die Werte der letzten Ausdrücke sind gleich gültig). Die numerischen Ausdrücke 3 + 2 und 3−2 sind jedoch nicht identisch gleich, da sie den Werten 5 bzw. 1 entsprechen und nicht gleich sind.
Nun geben wir Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke mit Variablen. Dies sind die Ausdrücke a + b und b + a. Tatsächlich nehmen die geschriebenen Ausdrücke für alle Werte der Variablen a und b die gleichen Werte an (was sich aus den Zahlen ergibt). Zum Beispiel für a = 1 und b = 2 haben wir a + b = 1 + 2 = 3 und b + a = 2 + 1 = 3. Für alle anderen Werte der Variablen a und b erhalten wir ebenfalls gleiche Werte dieser Ausdrücke. Die Ausdrücke 0 x y z und 0 sind auch für beliebige Werte der Variablen x, y und z identisch gleich. Die Ausdrücke 2 x und 3 x sind jedoch nicht identisch gleich, da beispielsweise bei x = 1 ihre Werte nicht gleich sind. Tatsächlich ist für x = 1 der Ausdruck 2 x gleich 2 1 = 2 und der Ausdruck 3 x gleich 3 1 = 3.
Wenn die Bereiche gültiger Variablenwerte in Ausdrücken übereinstimmen, wie zum Beispiel in den Ausdrücken a + 1 und 1 + a oder ab · 0 und 0 oder und, und die Werte dieser Ausdrücke gleich sind für alle Werte von Variablen aus diesen Bereichen, dann ist hier alles klar - diese Ausdrücke sind für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen identisch gleich. Also a + 1≡1 + a für jedes a, die Ausdrücke a · b · 0 und 0 sind für alle Werte der Variablen a und b identisch gleich, und die Ausdrücke und sind für alle x gleich gleich; Hrsg. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008 .-- 240 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
