Formeln zur Ableitung elementarer Funktionen. Formeln und Ableitungsregeln (Finden der Ableitung)

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Die Funktion y = f(x) sei im Intervall X definiert. Derivat Funktion y \u003d f (x) am Punkt x o wird als Grenze bezeichnet

Wenn diese Grenze endlich, dann wird die Funktion f(x) aufgerufen differenzierbar am Punkt x o; außerdem erweist es sich an dieser Stelle als notwendig und kontinuierlich.

Wenn die betrachtete Grenze gleich ¥ (oder - ¥) ist, dann vorausgesetzt, dass die Funktion an dem Punkt x o stetig ist, werden wir sagen, dass die Funktion f(x) an einem Punkt hat x o unendliche Ableitung.

Die Ableitung wird durch die Symbole bezeichnet

y ¢, f ¢(xo), , .

Das Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen. Die geometrische Bedeutung der Ableitung ist, dass die Ableitung ist Neigung Tangente an die Kurve y=f(x) an einem gegebenen Punkt x o; körperlicher Sinn -, dass die zeitliche Ableitung des Weges die momentane Geschwindigkeit des sich bewegenden Punktes in geradliniger Bewegung s = s(t) zum Zeitpunkt t o ist.

Wenn ein mit eine konstante Zahl ist und u = u(x), v = v(x) einige differenzierbare Funktionen sind Regeln befolgen Differenzierung:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) wenn y = f(u), u = j(x), d.h. y = f(j(x)) - komplexe Funktion, oder Überlagerung, zusammengesetzt aus differenzierbaren Funktionen j und f, dann , oder

6) wenn es zu einer Funktion y = f(x) eine inverse differenzierbare Funktion x = g(y) und ¹ 0 gibt, dann .

Basierend auf der Definition der Ableitung und den Ableitungsregeln kann man eine Liste tabellarischer Ableitungen der elementaren Grundfunktionen zusammenstellen.

1. (um)" = m um - 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Berechnen Sie die Ableitung des Exponentialausdrucks
y=u v , (u>0), wobei u und v Wesen der Funktion x Ableitungen an einem bestimmten Punkt haben du",v".

Wenn wir die Gleichheit y=u v logarithmieren, erhalten wir ln y = v ln u.

Gleichstellung von Derivaten in Bezug auf x aus beiden Teilen der erhaltenen Gleichheit unter Verwendung der Regeln 3, 5 und der Formel für die Ableitung der logarithmischen Funktion haben wir:

y"/y = vu"/u + v" ln u, woher y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Wenn zum Beispiel y \u003d x sin x, dann y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Wenn die Funktion y = f(x) an einem Punkt differenzierbar ist x, d.h. hat an dieser Stelle eine endliche Ableitung ja", dann \u003d y "+a, wobei a®0 bei Dx® 0; daher D y \u003d y" Dx + a x.

Der Hauptteil des Funktionsinkrements, linear zu Dx, wird aufgerufen Funktion Differential und wird mit dy bezeichnet: dy \u003d y "Dx. Wenn wir y \u003d x in diese Formel einsetzen, erhalten wir dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx, also dy \u003d y "dx, d.h. das Symbol zur Bezeichnung der Ableitung kann wie ein Bruch betrachtet werden.

D-Funktionsinkrement j ist das Inkrement der Ordinate der Kurve und das Differential d j ist das Inkrement der Ordinate der Tangente.

Finden wir für die Funktion y=f(x) ihre Ableitung y ¢= f ¢(x). Die Ableitung dieser Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung Funktionen f(x), oder zweite Ableitung, und bezeichnet ist.

In gleicher Weise werden definiert und bezeichnet:

Ableitung dritter Ordnung - ,

Ableitung vierter Ordnung -

und überhaupt Ableitung n-ter Ordnung - .

Beispiel 15 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Entscheidung. Nach Regel 3 ist y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

Beispiel 16. Finde y", y = tg x + .

Entscheidung. Unter Verwendung der Regeln zum Differenzieren der Summe und des Quotienten erhalten wir: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Beispiel 17. Derivat finden komplexe Funktion y= ,
u=x 4 +1.

Entscheidung. Nach der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion erhalten wir: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Da u \u003d x 4 +1, dann
(2 x 4 +2+ .

Beispiel 18.

Entscheidung. Stellen wir die Funktion y= als Überlagerung zweier Funktionen dar: y = e u und u = x 2 . Wir haben: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x. Ersetzen x2 anstatt u, erhalten wir y=2x .

Beispiel 19. Finde die Ableitung der Funktion y=ln sin x.

Entscheidung. Bezeichne u=sin x, dann wird die Ableitung der komplexen Funktion y=ln u durch die Formel y" = (ln u)" u (sin x)" x = berechnet.

Beispiel 20. Finde die Ableitung der Funktion y= .

Entscheidung. Der Fall einer durch mehrere Überlagerungen erhaltenen komplexen Funktion ist durch die sukzessive Anwendung von Regel 5 erschöpft:

Beispiel 21. Berechnen Sie die Ableitung y=ln .

Entscheidung. Wenn wir Logarithmen bilden und die Eigenschaften von Logarithmen verwenden, erhalten wir:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3+1)-1/3tg 5x.

Durch Differenzieren beider Teile der letzten Gleichheit erhalten wir:

2.2. Limitanalyse in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

In der Wirtschaftsforschung wird häufig eine spezifische Terminologie verwendet, um sich auf Derivate zu beziehen. Zum Beispiel, wenn f(x) Es gibt Produktionsfunktion, der die Abhängigkeit des Outputs eines Produkts von den Kosten des Faktors ausdrückt x, dann f"(x) namens Grenzprodukt; wenn g(x) ist eine Kostenfunktion, d. h. eine Funktion g(x) drückt die Abhängigkeit der Gesamtkosten vom Produktionsvolumen aus x, dann g"(x) namens Grenzkosten .

Randanalyse in der Volkswirtschaftslehre- eine Reihe von Methoden zur Untersuchung der sich ändernden Kosten- oder Ergebniswerte, wenn sich das Produktionsvolumen, der Verbrauch usw. ändern. basierend auf der Analyse ihrer Grenzwerte. Hauptsächlich geplante Berechnungen auf der Grundlage gewöhnlicher statistischer Daten werden in Form von zusammenfassenden Indikatoren durchgeführt. In diesem Fall besteht die Analyse hauptsächlich in der Berechnung von Durchschnittswerten. In einigen Fällen ist jedoch eine genauere Untersuchung unter Berücksichtigung der Grenzwerte erforderlich. Beispielsweise wird bei der Bestimmung der Kosten für die Getreideproduktion in einem Gebiet für die Zukunft berücksichtigt, dass die Kosten unter sonst gleichen Bedingungen von den erwarteten Mengen der Getreideernte abweichen können, da dies wiederum auf den schlechtesten Böden der Fall ist am Anbau beteiligt sind, werden die Produktionskosten höher sein als auf der Fläche im Durchschnitt.

Wenn die Beziehung zwischen zwei Indikatoren v und x ist analytisch gegeben: v = f(x) - dann Durchschnittswert stellt die Relation dar v/x, a ultimative- Derivat.

Arbeitsproduktivität finden. Lassen Sie die Funktion
u = u(t), das die Produktionsmenge ausdrückt u Während der Arbeit T. Lassen Sie uns die Menge der während dieser Zeit produzierten Waren berechnen
Dt \u003d t 1 - t 0: Du \u003d u (t 1) - u (t 0) \u003d u (t 0 + Dt) - u (t 0). Durchschnittliche Arbeitsproduktivität ist das Verhältnis der produzierten Leistung zur aufgewendeten Zeit, d.h. z vgl.= Du/Dt.

Produktivität der Arbeiter z(t 0) im Moment t 0 heißt die Grenze, zu der z strebt, vgl. für Dt®0: . Die Berechnung der Arbeitsproduktivität wird daher auf die Berechnung der Ableitung reduziert: z (t 0) \u003d u "(t 0).

Die Produktionskosten K homogener Produkte sind eine Funktion der Produktionsmenge x. Daher können wir K = K(x) schreiben. Nehmen Sie an, dass die Produktionsmenge um D zunimmt x. Die Produktionskosten x + Dх entsprechen den Produktionskosten K(x + Dх). Folglich ist die Erhöhung der Produktionsmenge D x entspricht dem Produktionskosteninkrement DK = K(x + Dх) - K(x).

Die durchschnittliche Erhöhung der Produktionskosten beträgt DK/Dх. Dies ist der Zuwachs der Produktionskosten pro Einheitszuwachs der Produktionsmenge.

Die Grenze wird aufgerufen Grenzkosten der Produktion.

Wenn gekennzeichnet durch u(x) der Verkauf geht voran x Wareneinheiten, heißt es Grenzerlös.

Mit Hilfe der Ableitung kannst du das Inkrement der Funktion berechnen, das dem Inkrement des Arguments entspricht. Bei vielen Problemen ist es bequemer, die prozentuale Zunahme (relative Zunahme) der abhängigen Variablen entsprechend der prozentualen Zunahme der unabhängigen Variablen zu berechnen. Dies bringt uns zum Konzept der Elastizität einer Funktion (manchmal auch als relative Ableitung). Gegeben sei also eine Funktion y = f(x), für die es eine Ableitung y ¢ = f ¢(x) gibt. Funktionselastizität y = f(x) bezüglich Variable x Grenze nennen

Es wird mit E x (y) = x/y f ¢ (x) = bezeichnet.

Elastizität relativ x ist die ungefähre prozentuale Zunahme der Funktion (Zunahme oder Abnahme), die einer 1%igen Zunahme der unabhängigen Variablen entspricht. Ökonomen messen die Empfindlichkeit oder Sensibilität von Verbrauchern gegenüber Preisänderungen eines Produkts unter Verwendung des Konzepts der Preiselastizität. Die Nachfrage nach einigen Produkten ist durch die relative Empfindlichkeit der Verbraucher gegenüber Preisänderungen gekennzeichnet, kleine Preisänderungen führen zu großen Änderungen der gekauften Menge. Die Nachfrage nach solchen Produkten wird genannt relativ elastisch oder einfach flexibel. Bei anderen Produkten reagieren die Verbraucher relativ unempfindlich auf Preisänderungen, d. h. eine signifikante Preisänderung führt nur zu einer geringen Änderung der Anzahl der Käufe. In solchen Fällen die Nachfrage relativ unelastisch oder einfach unelastisch. Begriff ausgesprochen unelastisch Nachfrage bezeichnet den Extremfall, dass eine Preisänderung keine Änderung der nachgefragten Menge zur Folge hat. Ein Beispiel ist die Nachfrage von Patienten akute Form Diabetes für Insulin oder die Nachfrage von Süchtigen nach Heroin. Umgekehrt, wenn Käufer bei der kleinsten Preissenkung ihre Einkäufe bis an die Grenze ihrer Möglichkeiten steigern, dann sagen wir, dass die Nachfrage ist perfekt elastisch.

Funktionsextremum

Die Funktion y=f(x) wird aufgerufen zunehmend (abnehmend) in irgendeinem Intervall, wenn für x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Wenn eine differenzierbare Funktion y = f(x) auf einem Segment zunimmt (abnimmt), dann ist ihre Ableitung auf diesem Segment f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Punkt x o namens Punkt lokales Maximum (Minimum) der Funktion f(x), falls es eine Umgebung des Punktes gibt x o, für alle Punkte, für die die Ungleichung f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)) gilt.

Die maximalen und minimalen Punkte werden aufgerufen Extrempunkte, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind seine extrem.

Die notwendigen Voraussetzungen extrem. Wenn Punkt x o ein Extremum der Funktion f(x) ist, dann ist entweder f ¢(x o) = 0, oder f ¢(x o) existiert nicht. Solche Punkte werden aufgerufen kritisch, wo die Funktion selbst am kritischen Punkt definiert ist. Die Extrema einer Funktion sollten unter ihren kritischen Punkten gesucht werden.

Die erste hinreichende Bedingung. Lassen x o- kritischer Punkt. Wenn f ¢ (x) beim Durchgang durch den Punkt x oändert das Pluszeichen in Minus, dann am Punkt x o Die Funktion hat ein Maximum, ansonsten ein Minimum. Ändert die Ableitung beim Durchlaufen eines kritischen Punktes nicht das Vorzeichen, dann am Punkt x o es gibt kein Extremum.

Die zweite hinreichende Bedingung. Die Funktion f(x) habe eine Ableitung
f ¢ (x) in einer Umgebung eines Punktes x o und die zweite Ableitung genau an der Stelle x o. Wenn f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o ist ein lokaler minimaler (maximaler) Punkt der Funktion f(x). Wenn =0, dann muss man entweder die erste hinreichende Bedingung verwenden oder höhere Ableitungen einbeziehen.

Auf einer Strecke kann die Funktion y = f(x) entweder an kritischen Stellen oder an den Enden der Strecke ihren Minimal- oder Maximalwert erreichen.

Beispiel 22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Entscheidung. Da f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d 3. Extreme Punkte können nur an diesen Punkten sein. Da beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 2 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum. Beim Durchgang durch den Punkt x 2 \u003d 3 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 \u003d 3 ein Minimum. Berechnung der Werte der Funktion in Punkten
x 1 = 2 und x 2 = 3 finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu bauen, der auf drei Seiten mit Maschendraht eingezäunt ist und auf der vierten Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es ein laufende Meter des Gitters. Bei welchem ​​Seitenverhältnis hat die Site die größte Fläche?

Entscheidung. Bezeichnen Sie die Seiten der Website durch x und j. Die Fläche des Standorts ist S = xy. Lassen j ist die Länge der an die Wand angrenzenden Seite. Dann muss per Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher ist y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei 0 £ x £ a/2 (die Länge und Breite der Fläche dürfen nicht negativ sein). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 für x = a/4, woraus
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für x< a/4 S ¢ >0, und für x > a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Da S kontinuierlich ist und seine Werte an den Enden von S(0) und S(a/2) gleich Null sind, ist der gefundene Wert der größte Wert der Funktion. Somit ist das günstigste Aspektverhältnis des Standorts unter den gegebenen Bedingungen des Problems y = 2x.

Beispiel 24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p » 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), um möglichst wenig Material für seine Herstellung zu verwenden?

Entscheidung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Daher ist S(R) = 2p(R 2 + 16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 für R 3 = 8, also
R = 2, H = 16/4 = 4.

Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen

Bestimmung 1

Die Berechnung der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung.

Bezeichne die Ableitung $y"$ oder $\frac(dy)(dx)$.

Bemerkung 1

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, wird nach den Grundregeln die Differentiation in eine andere Funktion umgewandelt.

Betrachten Sie die Tabelle der Derivate. Beachten wir, dass Funktionen nach dem Finden ihrer Ableitungen in andere Funktionen umgewandelt werden.

Die einzige Ausnahme ist $y=e^x$, das sich in sich selbst verwandelt.

Ableitungs-Differenzierungsregeln

Meistens ist es beim Auffinden einer Ableitung nicht nur erforderlich, sich die Ableitungstabelle anzusehen, sondern zuerst die Ableitungsregeln und den Beweis der Ableitung des Produkts anzuwenden und erst dann die Ableitungstabelle elementarer Funktionen zu verwenden .

1. Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen

$C$ ist eine Konstante (Konstante).

Beispiel 1

Differenziere die Funktion $y=7x^4$.

Entscheidung.

Finde $y"=(7x^4)"$. Wir nehmen die Zahl $7$ für das Vorzeichen der Ableitung heraus, wir erhalten:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

Anhand der Tabelle müssen Sie den Wert der Ableitung der Potenzfunktion finden:

$=7 \cdot 4x^3=$

Wir transformieren das Ergebnis in die in der Mathematik akzeptierte Form:

Antworten:$28x^3$.

2. Die Ableitung der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Beispiel 2

Differenziere die Funktion $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Entscheidung.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

Wenden Sie die Ableitungsregel der Ableitung Summe und Differenz an:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

Beachten Sie, dass beim Differenzieren alle Potenzen und Wurzeln in die Form $x^(\frac(a)(b))$ umgewandelt werden müssen;

wir entfernen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

Nachdem wir uns mit den Differenzierungsregeln befasst haben, werden einige von ihnen (z. B. wie die letzten beiden) gleichzeitig angewendet, um das Umschreiben eines langen Ausdrucks zu vermeiden.

wir haben einen Ausdruck von elementaren Funktionen unter dem Vorzeichen der Ableitung erhalten; Verwenden wir die Ableitungstabelle:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

Transformation in die in der Mathematik akzeptierte Form:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

Beachten Sie, dass es beim Ermitteln des Ergebnisses üblich ist, Terme mit gebrochenen Potenzen in Wurzeln und negative in Brüche umzuwandeln.

Antworten: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. Die Formel für die Ableitung des Funktionsprodukts:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Beispiel 3

Differenziere die Funktion $y=x^(11) \ln x$.

Entscheidung.

Zuerst wenden wir die Regel zur Berechnung der Ableitung des Funktionsprodukts an und verwenden dann die Ableitungstabelle:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \lnx-1)$.

Antworten: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Die Formel für die Ableitung einer privaten Funktion:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Beispiel 4

Differenziere die Funktion $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Entscheidung.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

Gemäß den Vorrangregeln mathematischer Operationen führen wir zuerst eine Division und dann eine Addition und Subtraktion durch, also wenden wir zuerst die Regel zur Berechnung der Ableitung des Quotienten an:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

wenden Sie die Ableitungsregeln von Summe und Differenz an, öffnen Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Antworten:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Beispiel 5

Differenzieren wir die Funktion $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Entscheidung.

Die Funktion y ist ein Quotient zweier Funktionen, also können wir die Regel zur Berechnung der Ableitung eines Quotienten anwenden, aber in diesem Fall erhalten wir eine umständliche Funktion. Um diese Funktion zu vereinfachen, können Sie den Zähler durch den Nenner Term für Term dividieren:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Wenden wir auf die vereinfachte Funktion die Ableitungsregel von Summe und Differenz von Funktionen an:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Antworten: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

In allen folgenden Formeln Buchstaben u und v differenzierbare Funktionen der unabhängigen Variablen werden bezeichnet x: , , aber in Buchstaben ein, c, n- dauerhaft:

1.

3.

4.

5.

6.

Die restlichen Formeln sind sowohl für Funktionen einer unabhängigen Variablen als auch für komplexe Funktionen geschrieben:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8a.

9a.

11a.

12a.

13a.

16a.

17a.

Beim Lösen der folgenden Beispiele werden detaillierte Notizen gemacht. Man sollte jedoch lernen, ohne Zwischeneinträge zu unterscheiden.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion .

Entscheidung. Diese Funktion ist die algebraische Summe von Funktionen. Wir differenzieren es mit den Formeln 3, 5, 7 und 8:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Wenden wir die Formeln 6, 3, 7 und 1 an, erhalten wir

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion und berechnen Sie seinen Wert bei

Entscheidung. Dies ist eine komplexe Funktion mit einem Zwischenargument . Unter Verwendung der Formeln 7a und 10 haben wir

.

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion .

Entscheidung. Dies ist eine komplexe Funktion mit einem Zwischenargument . Wenden wir die Formeln 3, 5, 7a, 11, 16a an, erhalten wir

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion .

Entscheidung. Wir differenzieren diese Funktion durch die Formeln 6, 12, 3 und 1:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion und berechne seinen Wert bei .

Entscheidung. Zuerst transformieren wir die Funktion mit den Eigenschaften von Logarithmen:

Nun differenzieren wir nach den Formeln 3, 16a, 7 und 1:

.

Lassen Sie uns den Wert des Derivats bei berechnen.

Beispiel 7 Finden Sie die Ableitung der Funktion und berechnen Sie ihren Wert bei .

Entscheidung. Wir verwenden die Formeln 6, 3, 14a, 9a, 5 und 1:

.

Berechnen Sie den Wert der Ableitung zu:

.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Die Ableitung einer Funktion hat eine einfache und wichtige geometrische Interpretation.

Wenn die Funktion an einem Punkt differenzierbar x, dann hat der Graph dieser Funktion an der entsprechenden Stelle eine Tangente, und die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung an der betrachteten Stelle.

Die Steigung der an den Graphen der Funktion gezogenen Tangente am Punkt ( x 0 , bei 0), ist gleich dem Wert der Ableitung der Funktion at x = x 0, d.h. .

Die Gleichung für diese Tangente hat die Form

Beispiel 8. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Tangente an einen Funktionsgraphen am Punkt A (3.6).

Entscheidung. Um die Steigung der Tangente zu finden, finden wir die Ableitung dieser Funktion:

x= 3:

Die Tangentengleichung hat die Form

, oder , d.h.

Beispiel 9 Stellen Sie die Gleichung der Tangente auf, die an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse gezogen wird x=2.

Entscheidung. Finden Sie zuerst die Ordinate des Berührungspunkts. Da der Punkt A auf der Kurve liegt, erfüllen seine Koordinaten die Gleichung der Kurve, d.h.

; .

Die Gleichung der Tangente an der Kurve am Punkt hat die Form . Um die Steigung der Tangente zu finden, finden wir die Ableitung:

.

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung der Funktion at x= 2:

Die Tangentengleichung lautet:

, , d.h.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Wenn sich der Körper gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie bewegt s=s(t), dann für einen bestimmten Zeitraum (ab dem Moment T bis jetzt ) es wird etwas gehen. Dann gibt es die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum.

Geschwindigkeit Körperbewegungen zu einem bestimmten Zeitpunkt T heißt die Grenze des Verhältnisses des Weges zum Zeitinkrement, wenn das Zeitinkrement gegen Null geht:

.

Daher ist die zeitliche Ableitung des Weges s T gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt:

.

Die Geschwindigkeit von physikalischen, chemischen und anderen Prozessen wird ebenfalls durch die Ableitung ausgedrückt.

Ableitung der Funktion ist gleich der Änderungsrate dieser Funktion für einen gegebenen Wert des Arguments x:

Beispiel 10 Das Gesetz der Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie ist durch die Formel gegeben (s - in Metern, t - in Sekunden). Finden Sie die Geschwindigkeit des Punktes am Ende der ersten Sekunde.

Entscheidung. Die Geschwindigkeit eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der Ableitung des Weges s zum Zeitpunkt T:

,

Die Geschwindigkeit des Punktes am Ende der ersten Sekunde beträgt also 9 m/s.

Beispiel 11. Ein senkrecht nach oben geworfener Körper bewegt sich nach dem Gesetz , wobei v 0 - Anfangsgeschwindigkeit, g ist die Freifallbeschleunigung. Finden Sie die Geschwindigkeit dieser Bewegung für jeden beliebigen Zeitpunkt T. Wie lange wird der Körper steigen und bis zu welcher Höhe wird er steigen, wenn v0= 40 m/s?

Entscheidung. Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt T gleich der Ableitung des Pfades s zum Zeitpunkt T:

.

Am höchsten Punkt des Aufstiegs ist die Geschwindigkeit des Körpers Null:

, , , , von.

Über 40/ g Sekunden erhebt sich der Körper zu einer Höhe

, m.

Zweite Ableitung.

Ableitung der Funktion im Allgemeinen ist eine Funktion von x. Wenn wir die Ableitung dieser Funktion berechnen, dann erhalten wir die Ableitung zweiter Ordnung oder die zweite Ableitung der Funktion .

Zweite Ableitung Funktionen heißt die Ableitung ihrer ersten Ableitung .

Die zweite Ableitung einer Funktion wird durch eines der Symbole - , , . Auf diese Weise, .

Ableitungen jeder Ordnung werden auf ähnliche Weise definiert und bezeichnet. Zum Beispiel eine Ableitung dritter Ordnung:

oder ,

Beispiel 12. .

Entscheidung. Zuerst finden wir die erste Ableitung

Beispiel 13 Finden Sie die zweite Ableitung einer Funktion und berechnen Sie seinen Wert bei x=2.

Entscheidung. Zuerst finden wir die erste Ableitung:

Durch erneutes Differenzieren finden wir die zweite Ableitung:

Lassen Sie uns den Wert der zweiten Ableitung bei berechnen x=2; wir haben

Die physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung.

Wenn sich der Körper gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie bewegt s = s(t), dann die zweite Ableitung des Pfades s zum Zeitpunkt T gleich der Beschleunigung des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt T:

Somit charakterisiert die erste Ableitung die Geschwindigkeit eines Prozesses und die zweite Ableitung die Beschleunigung desselben Prozesses.

Beispiel 14 Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie . Finden Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Bewegung .

Entscheidung. Die Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der Ableitung des Weges s zum Zeitpunkt t, und Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Pfades s zum Zeitpunkt T. Wir finden:

; dann ;

; dann

Beispiel 15 Die Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung ist proportional zur Quadratwurzel des zurückgelegten Weges (wie zB im freien Fall). Beweisen Sie, dass diese Bewegung unter Einwirkung einer konstanten Kraft auftritt.

Entscheidung. Nach dem Newtonschen Gesetz ist die die Bewegung verursachende Kraft F proportional zur Beschleunigung, d.h.

oder

Je nach Zustand . Differenzieren wir diese Gleichheit, finden wir

Also die wirkende Kraft .

Anwendungen der Ableitung zum Studium einer Funktion.

1) Die Bedingung für die Erhöhung der Funktion: Eine differenzierbare Funktion y = f(x) wächst auf dem Intervall X genau dann monoton, wenn ihre Ableitung größer als Null ist, d.h. y = f(x) f'(x) > 0. Diese Bedingung bedeutet geometrisch, dass die Tangente an den Graphen dieser Funktion einen spitzen Winkel mit positiver Richtung zur x-Achse bildet.

2) Die Bedingung für die Abnahme der Funktion: Eine differenzierbare Funktion y = f(x) fällt auf dem Intervall X genau dann monoton, wenn ihre Ableitung kleiner Null ist, d.h.

y = f(x)↓ f'(x) Diese Bedingung bedeutet geometrisch, dass die Tangente an den Graphen dieser Funktion einen stumpfen Winkel mit der positiven Richtung der x-Achse bildet)

3) Die Bedingung der Konstanz der Funktion: Eine differenzierbare Funktion y = f(x) ist auf dem Intervall X genau dann konstant, wenn ihre Ableitung gleich Null ist, d.h. y = f(x) - Konstante f'(x) = 0 . Diese Bedingung bedeutet geometrisch, dass die Tangente an den Graphen dieser Funktion parallel zur oX-Achse ist, d. H. α \u003d 0)

Funktionsextreme.

Bestimmung 1: Der Punkt x \u003d x 0 wird aufgerufen Mindestpunkt Funktion y = f(x), wenn dieser Punkt eine Umgebung hat, für deren alle Punkte (außer dem Punkt selbst) die Ungleichung f(x)> f(x 0)

Definition 2: Der Punkt x \u003d x 0 wird aufgerufen Höchstpunkt Funktion y = f(x), wenn dieser Punkt eine Umgebung für alle Punkte hat, von denen (außer dem Punkt selbst) die Ungleichung f(x)< f(x 0).

Definition 3: Der minimale oder maximale Punkt einer Funktion wird Punkt genannt extrem. Der Wert der Funktion an diesem Punkt wird als Extrem bezeichnet.

Bemerkungen: 1. Das Maximum (Minimum) ist nicht notwendigerweise der Maximum (kleinste) Wert der Funktion;

2. Eine Funktion kann mehrere Maxima oder Minima haben;

3. Eine auf einem Segment definierte Funktion kann nur an den inneren Punkten dieses Segments ein Extremum erreichen.

5) Notwendige Bedingung für ein Extremum: Wenn die Funktion y \u003d f (x) am Punkt x \u003d x 0 ein Extremum hat, ist die Ableitung an diesem Punkt gleich Null oder existiert nicht. Diese Punkte werden aufgerufen kritische Punkte der 1. Art.

6) Hinreichende Bedingungen für die Existenz des Extremums der Funktion: Lassen Sie die Funktion y \u003d f (x) im Intervall X stetig sein und haben Sie innerhalb dieses Intervalls als kritischen Punkt der 1. Art x \u003d x 0, dann:

a) ob dieser Punkt eine Umgebung hat, in der für x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, dann ist x = x 0 ein Punkt Minimum Funktionen y = f(x);

b) ob dieser Punkt eine Umgebung hat, in der für x< х 0 f’(x) >0, und für x > x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой maximal Funktionen y = f(x);

c) wenn dieser Punkt eine solche Umgebung hat, dass in ihm sowohl rechts als auch links vom Punkt x 0 die Vorzeichen der Ableitung gleich sind, dann gibt es im Punkt x 0 kein Extremum.

Die Intervalle abnehmender oder steigender Funktionen werden als Intervalle bezeichnet. Monotonie.

Definition1: Die Kurve y = f(x) wird aufgerufen konvex nach unten im Intervall a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется konvex nach oben im Intervall a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Definition 2: Die Intervalle, in denen der Graph der Funktion nach oben oder unten konvex ist, werden genannt in Abständen anschwellen Funktionsgraph.

Eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Kurve konvex ist. Der Graph der differenzierbaren Funktion Y = f(x) ist konvex nach oben im Intervall a< х <в, если f”(x) < 0 и konvex nach unten, falls f”(x) > 0.

Definition 1: Die Punkte, an denen die zweite Ableitung Null ist oder nicht existiert, werden aufgerufen Kritikpunkte zweiter Art.

Definition 2: Der Punkt des Graphen der Funktion Y = f(x), der die Intervalle der Konvexität der entgegengesetzten Richtungen dieses Graphen trennt, wird Punkt genannt Flexion.

Wendepunkt

Beispiel: Gegeben eine Funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Untersuchen Sie die Funktion für Intervalle der Monotonie und Extrempunkte. Bestimmen Sie die Richtung der Konvexität und der Wendepunkte.

Lösung: 1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: D(y) = ;

2. Finden Sie die erste Ableitung: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Lösen wir die Gleichung: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, dann hat diese Gleichung keine Lösung, also gibt es keine Extrempunkte. y' , dann nimmt die Funktion über den gesamten Definitionsbereich zu.

4. Finden Sie die zweite Ableitung: y” = 6x - 4;

5. Lösen Sie die Gleichung: y” = 0, 6x – 4 = 0, x =

Antwort: ( ; - ) - Wendepunkt, die Funktion ist bei x nach oben konvex und bei x nach oben konvex

Asymptoten.

1. Definition: Eine Asymptote einer Kurve ist eine Gerade, der sich der Graph einer gegebenen Funktion unendlich nähert.

2. Arten von Asymptoten:

1) Vertikale Asymptoten. Der Graph der Funktion y = f(x) hat eine vertikale Asymptote, wenn . Die vertikale Asymptotengleichung hat die Form x = a

2) Horizontale Asymptoten. Der Graph der Funktion y = f(x) hat eine horizontale Asymptote, wenn . Die horizontale Asymptotengleichung lautet y = b.

Beispiel 1: Finden Sie für die Funktion y = die Asymptoten.

3) Schräge Asymptoten. Die Gerade y = kx + b heißt schiefe Asymptote des Graphen der Funktion y = f(x) falls . Die Werte von k und b werden nach den Formeln berechnet: k = ; b = .

Lösung: , dann ist y = 0 die horizontale Asymptote;

(da x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), dann ist x = 3 die vertikale Asymptote. ,t. d.h. k = 0, dann hat die Kurve keine schiefe Asymptote.

Beispiel 2: Finden Sie für die Funktion y = die Asymptoten.

Lösung: x 2 - 25 ≠ 0 mit x ≠ ± 5, dann sind x \u003d 5 und x \u003d - 5 horizontale Asymptoten;

y = , dann hat die Kurve keine vertikale Asymptote;

k = ; b = , also y = 5x - schiefe Asymptote.

Beispiele für den Aufbau von Funktionsgraphen.

Beispiel 1 .

Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm der Funktion y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), d.h.

(y \u003d x 5 - x 3 - ungerade, y \u003d x 4 + x 2 - gerade)

3. Ist nicht periodisch.

4. Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Wenn x \u003d 0, dann y \u003d - 3 (0; - 3)

wenn Y = 0 ist, ist x schwer zu finden.

5. Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion: Es gibt keine vertikalen Asymptoten, weil es gibt keine x-Werte, für die die Funktion unbestimmt ist; y = , d.h. es gibt keine horizontalen Asymptoten;

k = , d.h. es gibt keine schiefen Asymptoten.

6. Wir untersuchen die Funktion für Intervalle der Monotonie und ihre Extrema: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - kritische Punkte der 1. Art.

Lassen Sie uns die Vorzeichen der Ableitung bestimmen: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - maximaler Punkt; y min \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - Minimalpunkt, Funktion y für x und y .

7. Wir untersuchen die Funktion für Konvexitätsintervalle und Wendepunkte:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - kritischer Punkt 1. Art.

Lassen Sie uns die Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - Wendepunkt, die Funktion ist bei x nach oben konvex und bei x nach unten konvex.

8. Zusätzliche Punkte:

x	- 1
bei	- 19

9. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen:

Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie die Funktion y =

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Finden Sie heraus, ob die gegebene Funktion gerade oder ungerade ist: ,

y(- x) ≠ y(x) ist nicht gerade und y(- x) ≠ - y(x) ist nicht ungerade

3. Ist nicht periodisch.

4. Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: x \u003d 0, dann y \u003d - 2; y = 0, dann , d. h. (0; - 2); ().

5. Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion: seit x ≠ 1, dann ist die Linie x = 1 die vertikale Asymptote;

Differenzieren ist die Berechnung einer Ableitung.

1. Differenzierungsformeln.

Die wichtigsten Differenzierungsformeln sind in der Tabelle aufgeführt. Sie müssen nicht aufgebohrt werden. Nachdem Sie einige Muster verstanden haben, können Sie andere selbstständig aus einigen Formeln ableiten.

1) Beginnen wir mit der Formel (k x+ m)′ = k.
Seine Sonderfälle sind die Formeln x′ = 1 und C′ = 0.

In jeder Funktion der Form y = kx + m ist die Ableitung gleich der Steigung k.

Zum Beispiel gegeben die Funktion y = 2 x+ 4. Seine Ableitung ist an jedem Punkt gleich 2:

(2 x + 4)′ = 2 .

Ableitung der Funktion bei = 9 x+ 5 an jedem Punkt gleich 9 . Usw.

Und lassen Sie uns die Ableitung der Funktion y \u003d 5 finden x. Stellen Sie sich dazu 5 vor x im Formular (5 x+ 0). Wir haben einen Ausdruck erhalten, der dem vorherigen ähnlich ist. Meint:

(5x)′ = (5 x+ 0)′ = 5.

Lassen Sie uns endlich herausfinden, was ist x′.
Wenden wir die Technik aus dem vorherigen Beispiel an: Stellen Sie sich vor x als 1 x+ 0. Dann erhalten wir:

x′ = (1 x+ 0)′ = 1.

Daher haben wir unabhängig die Formel aus der Tabelle abgeleitet:

(0 · x+ m)′ = 0.

Aber dann stellt sich heraus, dass m′ auch gleich 0 ist. Sei m = C, wobei C eine beliebige Konstante ist. Dann kommen wir zu einer anderen Wahrheit: Die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null. Das heißt, wir erhalten eine andere Formel aus der Tabelle.