Как да напишем уравнението на права линия. Уравнение на права линия, преминаваща през точка, уравнение на права линия, преминаваща през две точки, ъгъл между две прави линии, наклон на права линия

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия върху равнина. Нека дадем примери за изграждане на общо уравнение на права линия, ако са известни две точки от тази права линия или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права линия. Нека представим методите за трансформиране на уравнението в общ вид в канонична и параметрична форма.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси... Помислете за уравнение от първа степен или линейно уравнение:

Ax + By + C=0,

(1)

където А, Б, В- някои константи и поне един от елементите Аи Бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение в равнина дефинира права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система на равнина всяка права линия може да бъде определена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система на равнина дефинира права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че линията Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение и за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л... Нека изберем координатна система, така че оста волсъвпада с права линия Ли оста Ойбеше перпендикулярна на него. След това уравнението на правата линия Лще приеме следната форма:

y = 0.

(2)

Всички точки на права линия Лще удовлетвори линейно уравнение (2), а всички точки извън тази права линия няма да удовлетворяват уравнение (2). Първата част от теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и нека е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите Аи Бразличен от нула. Нека намерим местоположението на точките, чиито координати удовлетворяват уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите Аи Бсе различава от нула, то уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например за А≠ 0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото място на точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме тъждеството

брадва 0 +от 0 +° С=0.

(3)

Нека извадим тъждество (3) от (1):

А(х−х 0)+Б(г−г 0)=0.

(4)

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) дефинира някаква права.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенство (4) следва, че вектор с компоненти ( x − x 0 , y − y 0) е ортогонална на вектора нс координати ( А, Б}.

Помислете за някаква права линия Лпреминаване през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярно на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х, y) принадлежи на правата линия Л... След това векторът с координати x − x 0 , y − y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларно произведение на векторите ни е равно на нула). Назад, ако точка М(х, y) не лежи на правата линия Л, след това векторът с координати x − x 0 , y − y 0 не е ортогонално на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) дефинират една и съща линия, нормалните вектори н 1 ={А 1 ,Б 1) и н 2 ={А 2 ,Б 2) са колинеарни. Тъй като векторите н 1 ≠0, н 2 ≠ 0, тогава съществува число λ , Какво н 2 =н 1 λ ... Следователно имаме: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ ... Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ ... Очевидно съвпадащите линии имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножаване на уравнение (5) по λ и като извадим от него уравнение (6) получаваме:

Тъй като първите две равенства от изрази (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2 = 0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ ... Забележката е доказана.

Забележете, че уравнение (4) дефинира уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата линия и точката, принадлежаща на тази права линия, са известни, тогава общото уравнение на правата линия може да бъде построено с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права линия минава през точка М= (4, −1) и има нормален вектор н= (3, 5). Построете общото уравнение на правата линия.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, Б= 5. За да построим общо уравнение на права линия, ние заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Векторът е успореден на правата линия Ли следователно е пердикулярна на нормалния вектор на правата линия Л... Нека построим нормален вектор на права линия Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни е равно на нула. Можем да запишем напр. н={1,−3}.

За да построим общото уравнение на правата линия, ще използваме формула (4). Заместете в (4) координатите на точката М 1 (можем да вземем и координатите на точката М 2) и нормален вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата линия, дадена от уравнение (9), минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на правата. вектор q={−Б, А) е насочващият вектор на правата линия (12).

Вижте обратна трансформация.

Пример 3. Права линия върху равнина се представя със следното общо уравнение:

Преместете втория член надясно и разделете двете страни на уравнението на 2 · 5.

Общото уравнение на правата линия:

Частни случаи на общото уравнение на правата линия:

какво ако ° С= 0, уравнение (2) ще има вида

брадва + от = 0,

и правата линия, дефинирана от това уравнение, минава през началото, тъй като координатите на началото са х = 0, г= 0 удовлетворява това уравнение.

б) Ако в общото уравнение на правата линия (2) Б= 0, тогава уравнението приема формата

брадва + С= 0, или.

Уравнението не съдържа променлива г, а правата линия, дефинирана от това уравнение, е успоредна на оста Ой.

в) Ако в общото уравнение на правата линия (2) А= 0, то това уравнение приема формата

от + С= 0, или;

уравнението не съдържа променлива х, а правата линия, която дефинира, е успоредна на оста вол.

Трябва да се помни: ако правата линия е успоредна на някаква координатна ос, тогава в нейното уравнение няма термин, съдържащ едноименната координата с тази ос.

г) Кога ° С= 0 и А= 0, уравнение (2) приема формата от= 0, или г = 0.

Това е уравнението на оста вол.

д) Кога ° С= 0 и Б= 0 уравнение (2) може да се запише като брадва= 0 или х = 0.

Това е уравнението на оста Ой.

Взаимно подреждане на прави линии върху равнина. Ъгълът между правите в равнината. Условието за успоредност на правите. Условие за перпендикулярност за прави линии.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Векторите S 1 и S 2 се наричат ​​направляващи за техните линии.

Ъгълът между правите l 1 и l 2 се определя от ъгъла между векторите на посоката.
Теорема 1: cos ъгъл между l 1 и l 2 = cos (l 1; l 2) =

Теорема 2:За да бъдат 2 прави равни, е необходимо и достатъчно:

Теорема 3:така че 2 прави линии са перпендикулярни, е необходимо и достатъчно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Общо уравнение на равнината и неговите специални случаи. Уравнение на равнината в сегменти.

Общо уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Специални случаи:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - равнината минава през началото

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - равнина || OZ

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - равнина || OY

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - равнина || OX

5.A = 0 и D = 0 By + Cz = 0 - равнината преминава през OX

6.B = 0 и D = 0 Ax + Cz = 0 - равнината преминава през OY

7.C = 0 и D = 0 Ax + By = 0 - равнината преминава през OZ

Взаимно подреждане на равнини и прави линии в пространството:

1. Ъгълът между правите в пространството е ъгълът между техните вектори на посоката.

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) = =

2. Ъгълът между равнините се определя чрез ъгъла между техните нормални вектори.

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) = =

3. Косинусът на ъгъла между правата и равнината може да бъде намерен чрез греха на ъгъла между вектора на посоката на правата и нормалния вектор на равнината.

4. 2 прави || в пространството, когато техните || векторни водачи

5. 2 самолета || когато || нормални вектори

6. По подобен начин се въвеждат понятията за перпендикулярност на правите и равнините.

Въпрос номер 14

Различни видове уравнения на права линия върху равнина (уравнение на права на отсечки, с наклон и др.)

Уравнение на права линия в сегменти:
Да предположим, че в общото уравнение на правата линия:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - правата линия минава през началото.

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

Уравнение на права линия с наклон:

Всяка права линия, която не е равна на оста OU (B не = 0), може да бъде записана в следващата. форма:

k = tgα α е ъгълът между права линия и положително насочена линия OX

b - точката на пресичане на правата линия с оста OY

Док:

Ax + Wu + C = 0

Wu = -Ah-C |: B

Уравнение на права линия в две точки:

Въпрос номер 16

Крайният предел на функцията в точката и при x → ∞

Крайно ограничение в точка x 0:

Числото A се нарича граница на функцията y = f (x) при x → x 0, ако за всяко E> 0 съществува b> 0, така че за x ≠ x 0, отговарящо на неравенството | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Границата се обозначава: = A

Крайната граница в точката + ∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f (x) при x → + ∞ ако за всяко E> 0 съществува C> 0 такова, че за x> C неравенството |f (x) - A |< Е

Границата се обозначава: = A

Крайна граница при -∞:

Числото A се нарича граница на функцията y = f (x) for x → -∞,ако за някоя Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Определение.Всяка права линия в равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

и константите A, B не са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на правата линия.В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - правата минава през началото

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - правата линия е успоредна на оста Ox

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - правата линия е успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор

Определение.В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + Vy + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точка А (1, 2), перпендикулярна на (3, -1).

Решение... При A = 3 и B = -1, уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно, C = -1 ... Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е равен на нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На равнината уравнението на правата линия, написана по-горе, се опростява:

ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Извиква се дроб = k наклонправ.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение.Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон

Ако общият Ax + Vu + C = 0 доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се извиква уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права линия по точка и вектор на посока

По аналогия с параграфа, разглеждащ уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете спецификацията на права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение.Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти удовлетворяват условието А α 1 + В α 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата

Ax + Wu + C = 0.

Пример. Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка А (1, 2).

Решение.Уравнението на желаната права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0. Според дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. за x = 1, y = 2 получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

Уравнение на права линия в сегменти

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме: или

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата линия с оста Ox, и б- координатата на пресечната точка на правата линия с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права на отсечки.

С = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия

Ако двете страни на уравнението Ax + Vy + C = 0 се умножат по числото което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормално уравнение на права линия. Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример... Дадено е общо уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения на тази права линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнение на тази права с наклон: (разделете на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример... Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Направете уравнение по права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Решение.Правото уравнение има вида:, ab / 2 = 8; ab = 16; а = 4, а = -4. а = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример... Начертайте уравнението на правата линия, минаваща през точка А (-2, -3) и началото.

Решение. Правото уравнение има вида: , където x 1 = y 1 = 0; х 2 = -2; y 2 = -3.

Ъгъл между прави линии в равнина

Определение.Ако са дадени две прави линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острият ъгъл между тези линии ще бъде определен като

.

Две прави линии са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави линии са перпендикулярни, ако k 1 = -1 / k 2.

Теорема.Правите Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато пропорционалните коефициенти A 1 = λA, B 1 = λB. Ако и С 1 = λС, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави линии се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия

Определение.Правата линия, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, се представя с уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до правата линия Ax + Vy + C = 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример... Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

Пример... Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение... Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример... Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от връх C.

Решение... Намираме уравнението на страната AB: ; 4 х = 6 у - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k =. Тогава y =. Защото височината преминава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо:.

Отговор: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Можете да начертаете безкрайно много прави линии през всяка точка.

Една права линия може да бъде начертана през всякакви две несъвпадащи точки.

Две несъответстващи прави линии на равнината или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три опции за относителното положение на две прави линии:

• прави линии се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на правата линия.

Определение... Всяка права линия в равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

с константа А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би Свъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- правата минава през началото

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- правата линия съвпада с оста ох

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми, в зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор.

Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка А (1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение... При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За намиране на коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

С = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написана по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Wu + C = 0доведете до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се извиква

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия по протежение на точка и вектор на посока.

По аналогия с параграфа, който разглежда уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието

Аα 1 + Вα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка А (1, 2).

Решение... Уравнението на необходимата права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

в x = 1, y = 2получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU.

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

С = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделете на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на правата.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия 12x - 5y - 65 = 0... Необходимо е да се напишат различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнение на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между правите в равнината.

Определение... Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това остър ъгъл между тези линии

ще бъде определено като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2... Две прави линии са перпендикулярни,

ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

А 1 = λА, В 1 = λВ... Ако също С 1 = λС, то правите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на правата линия y = kx + b

се представя с уравнението:

Разстояние от точка до линия.

Теорема... Ако е дадена точка M (x 0, y 0),разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство... Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

права. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Можете да начертаете безкрайно много прави линии през всяка точка.

Една права линия може да бъде начертана през всякакви две несъвпадащи точки.

Две несъответстващи прави линии на равнината или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три опции за относителното положение на две прави линии:

• прави линии се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на правата линия.

Определение... Всяка права линия в равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

с константа А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би Свъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- правата минава през началото

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- правата линия съвпада с оста ох

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми, в зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор.

Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка А (1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение... При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За намиране на коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

С = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написана по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Wu + C = 0доведете до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се извиква

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия по протежение на точка и вектор на посока.

По аналогия с параграфа, който разглежда уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и насочващ вектор на права линия.

Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието

Аα 1 + Вα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка А (1, 2).

Решение... Уравнението на необходимата права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

в x = 1, y = 2получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU.

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

С = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделете на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на правата.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия 12x - 5y - 65 = 0... Необходимо е да се напишат различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнение на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение в сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между правите в равнината.

Определение... Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това остър ъгъл между тези линии

ще бъде определено като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2... Две прави линии са перпендикулярни,

ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

А 1 = λА, В 1 = λВ... Ако също С 1 = λС, то правите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на правата линия y = kx + b

се представя с уравнението:

Разстояние от точка до линия.

Теорема... Ако е дадена точка M (x 0, y 0),разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство... Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

права. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.