Двоичен процес. Преобразуване на числа в двоична, шестнадесетична, десетична, осмична бройна системи
Забележка 1
Ако искате да преведете число от една бройна система в друга, тогава е по-удобно първо да го преведете в десетичната бройна система и едва след това от десетичната бройна система към която и да е друга бройна система.
Правила за преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична
В изчисленията, използвайки машинна аритметика, преобразуването на числа от една бройна система в друга играе важна роля. По-долу са основните правила за такива трансформации (преводи).
При преобразуване на двоично число в десетично число е необходимо двоичното число да се представи под формата на полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифрата на числото и съответната степен на основното число, в този случай $ 2 $, а след това трябва да изчислите полинома според правилата на десетичната аритметика:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
Фигура 1. Таблица 1
Пример 1
Числото $ 11110101_2 $ се преобразува в десетична нотация.
Решение.Използвайки горната таблица от $ 1 $ степени на база $ 2 $, ние представяме числото под формата на полином:
$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 2 + 6 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
За да преобразувате число от осмичната бройна система в десетична, трябва да го представите като полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифрата на числото и съответната степен на основното число, в този случай $ 8 $, а след това трябва да изчислите полинома според правилата на десетичната аритметика:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
Фигура 2. Таблица 2
Пример 2
Числото $ 75013_8 $ се преобразува в десетична нотация.
Решение.Използвайки таблицата с $ 2 $ степени на база $ 8 $, ние представяме числото под формата на полином:
$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
За да преобразувате число от шестнадесетичната бройна система в десетична, е необходимо да го представите като полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифрата на числото и съответната степен на основното число, в този случай $ 16 $ и след това трябва да изчислите полинома според правилата на десетичната аритметика:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
Фигура 3. Таблица 3
Пример 3
Преобразувайте числото $ FFA2_ (16) $ в десетична нотация.
Решение.Използвайки горната таблица от $ 3 $ градуса на база $ 8 $, ние представяме числото като полином:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = (10)42 $_
Правила за преобразуване на числа от десетична бройна система в друга
- За да преобразувате число от десетично в двоично, то трябва да бъде разделено последователно на $ 2 $, докато остане остатък, по-малък или равен на $ 1 $. Числото в двоичната система е представено като последователност от последния резултат от деленето и остатъка от деленето в обратен ред.
Пример 4
Преобразувайте числото $ 22_ (10) $ в двоична нотация.
Решение:
Фигура 4.
$22_{10} = 10110_2$
- За да преобразувате число от десетично в осмично число, то трябва да бъде разделено последователно на $ 8, докато има остатък, по-малък или равен на $ 7. Осмичното число е представено като последователност от цифри от последния резултат от деленето и остатъка от деленето в обратен ред.
Пример 5
Числото $ 571_ (10) $ се преобразува в осмична нотация.
Решение:
Фигура 5.
$571_{10} = 1073_8$
- За да преобразувате число от десетично в шестнадесетично, то трябва да бъде разделено последователно на $16, докато остане остатък, по-малък или равен на $15. Числото в шестнадесетичната система е представено като последователност от цифри на последния резултат от деленето и остатъка от деленето в обратен ред.
Пример 6
Числото $ 7467_ (10) $ се преобразува в шестнадесетична система.
Решение:
Фигура 6.
7467 $ (10) = 1D2B_ (16) $
За да се преобразува правилна дроб от десетичната бройна система в недесетична, е необходимо последователно да се умножи дробната част от числото, което трябва да се преобразува, по основата на системата, в която се изисква да се преобразува. Фракцията в новата система ще бъде представена под формата на цели части от произведения, като се започне с първата.
Например: $ 0,3125 _ ((10)) $ в осмичен брой ще изглежда като $ 0,24 _ ((8)) $.
В този случай може да срещнете проблем, когато безкрайна (периодична) дроб в недесетична бройна система може да съответства на крайна десетична дроб. В този случай броят на цифрите във фракцията, представена в новата система, ще зависи от необходимата прецизност. Трябва също да се отбележи, че целите числа остават цели, а правилните дроби остават дроби във всяка бройна система.
Правила за преобразуване на числа от двоична бройна система в друга
- За да преобразувате число от двоична бройна система в осмична, то трябва да бъде разделено на триади (тройки от цифри), като се започне с най-малкия бит, като се допълва най-значимата триада с нули, ако е необходимо, след което се заменя всяка триада със съответната осмична цифра според Таблица 4.
Фигура 7. Таблица 4
Пример 7
Преобразувайте числото $ 1001011_2 $ в осмична нотация.
Решение... Използвайки таблица 4, нека преобразуваме числото от двоично в осмично:
$001 001 011_2 = 113_8$
- За да преобразувате число от двоична бройна система в шестнадесетична, то трябва да бъде разделено на тетради (четири цифри), започвайки с най-малкия бит, ако е необходимо, добавяйки нули към старшата тетрада, след което заменете всяка тетрада със съответната осмична цифра според към Таблица 4.
Цели на урока:
- повторете изучавания материал по бройната система;
- научете се да преобразувате число от десетичната система във всяка друга позиционна бройна система и обратно;
- овладеят принципите на прехвърляне на числа от една система в друга;
- развиват логическото мислене.
По време на занятията
В началото на урока кратък преглед и проверка на домашната работа.
В каква форма се представя цифровата информация в паметта на компютъра?
За какво се използват бройните системи?
Какви видове бройни системи познавате? Дайте вашите примери.
По какво се различават позиционните системи от непозиционните?
Целта на нашия урок е да се научим как да преобразуваме число от десетичната система във всяка друга позиционна бройна система и обратно. Но първо ще разгледаме как можете
представлява всяко неотрицателно цяло число:
В позиционните системи стойността на записа на цяло число се определя съгласно следното правило: нека a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - запис на числото A и i - цифри, тогава
където p е цяло число, по-голямо от 1, което се нарича основа
За да може за дадено p всяко неотрицателно цяло число да бъде записано съгласно формула (1) и освен това по уникален начин, числовите стойности на различните цифри трябва да са различни цели числа, принадлежащи на интервала от 0 до р-1.
1) Десетична система
цифри: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
число 5735 = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0
2) Троична система
цифри: 0,1,2
число 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0
Забележка: индексът в числовото обозначение обозначава основата на числовата система, в която е записано числото. За десетичната бройна система индексът може да бъде пропуснат.
Представяне на отрицателни и дробни числа:
Във всички позиционни системи знакът '-' се използва за записване на отрицателни числа, както и в десетичната система. За разделяне на цялото число от дробната част се използва запетая. Стойността на записа ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am на числото A се определя по формулата, която е обобщение на формула (1):
75,6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1
–2,314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична:
Трябва да се разбере, че при превод на число от една числова система в друга количествената стойност на числото не се променя, а само формата на запис на числото се променя, точно както при превод на името на число, например от руски на английски.
Преобразуването на числа от произволна бройна система в десетична се извършва чрез директно изчисление, като се използва формула (1) за цели числа и формула (2) за дробни числа.
Преобразуване на числа от десетични в произволни.
Преобразуването на число от десетичната система в основна p система означава намиране на коефициентите във формула (2). Понякога това е лесно да се направи с обикновен избор. Например, да предположим, че искате да преобразувате числото 23,5 в осмична система. Лесно е да се види, че 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 –1 = 27,48. Ясно е, че отговорът не винаги е толкова очевиден. В общия случай се използва методът за отделно преобразуване на целите и дробните части на число.
За превеждане на цели числа се използва следният алгоритъм (получен на базата на формула (1)):
1. Намерете частното и остатъка след разделяне на числото на p. Остатъкът ще бъде следващата цифра ai (j = 0,1,2 ...), записваща числото в новата бройна система.
2. Ако частното е нула, тогава преводът на числото е завършен, в противен случай прилагаме клауза 1 към частното.
Забележка 1. Цифрите ai в записа на числата са номерирани отдясно наляво.
Забележка 2. Ако p> 10, тогава е необходимо да въведете обозначения за числа с числови стойности, по-големи или равни на 10.
Преобразуване на числото 165 в седмична бройна система.
165: 7 = 23 (остатък 4) => a 0 = 4
23: 7 = 3 (остатък 2) => a 1 = 2
3: 7 = 0 (остатък 3) => a 2 = 3
Нека запишем резултата: a 2 a 1 a 0, т.е. 3247.
След като проверим формулата (1), ще се уверим, че преводът е правилен:
3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.
За превод на дробни части от числа се използва алгоритъм, получен въз основа на формула (2):
1. Умножете дробната част от числото по p.
2. Цялата част от резултата ще бъде следващата цифра am (m = –1, –2, –3…), записваща числото в новата бройна система. Ако дробната част на резултата е равна на нула, тогава преобразуването на числото е завършено, в противен случай прилагаме точка 1 към него.
Забележка 1. Цифрите a m в записа на числата са подредени отляво надясно във възходящ ред на абсолютната стойност на m.
Забележка 2. Обикновено броят на дробните цифри в новия запис на числото е предварително ограничен. Това ви позволява да извършите приблизителен превод с определена точност. В случай на безкрайни дроби това ограничение осигурява крайността на алгоритъма.
Преобразуване на двоично число 0,625.
0,625 2 = 1,25 (цялата част 1) => a -1 = 1
0,25 2 = 0,5 (цяла част 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (цялата част 1) => a- 3 = 1
Така че 0,62510 = 0,1012
След като проверим формулата (2), ще се уверим, че преводът е правилен:
0,1012 = 1 2 -1 + 0 2- 2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.
Преобразувайте числото 0,165 в четвъртичната бройна система, ограничена до четири четвъртични цифри.
0,165 4 = 0,66 (цяла част 0) => a -1 = 0
0,66 4 = 2,64 (цяла част от 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (цялата част 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (цяла част от 2) => a -4 = 2
И така, 0,16510 "0,02224
Нека извършим обратен превод, за да сме сигурни, че абсолютната грешка не надвишава 4–4:
0,02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1 / 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Преобразуване на числа от една произволна система в друга
В този случай първо трябва да преобразувате числото в десетичната система, а след това от десетичната в необходимата.
Специален метод се използва за преобразуване на числа за системи с множество бази.
Нека p и q са основите на две бройни системи. Ще наречем тези бройни системи с множество бази, ако p = qn или q = pn, където n е естествено число. Така например бройните системи с основи 2 и 8 са бройни системи с множество бази.
Нека p = qn и е необходимо число от бройната система с основа q да се прехвърли в числовата система с основа p. Разделяме целите и дробните части от записа на числото на групи от n последователно записани цифри отляво и отдясно на запетаята. Ако броят на цифрите в записа на цялата част от числото не е кратен на n, тогава съответният брой нули трябва да се добави вляво. Ако броят на цифрите в записа на дробната част от число не е кратен на n, тогава отдясно се добавят нули. Всяка такава група цифри от число в старата бройна система ще съответства на една цифра от число в новата бройна система.
Преобразуване на 1100001,111 2 в 4-кратна бройна система.
След добавяне на нули и избиране на двойки числа, получаваме 01100001.11102.
Сега нека преведем всяка двойка числа поотделно, като използваме елемента Преобразуване на числа от една произволна система в друга.
И така, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Да предположим, че сега е необходимо да се извърши прехвърляне от система с голям корен q към система с по-малък корен p, т.е. q = p n. В този случай една цифра от числото в старата бройна система съответства на n цифри от числото в новата бройна система.
Пример: Нека проверим предишния превод на число.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
В шестнадесетичната система има числа с числови стойности 10,11,12,13,14,15. За да ги обозначите, използвайте първите шест букви на латинската азбука A, B, C, D, E, F.
Ето таблица с числа от 0 до 16, написани на база 10, 2, 8 и 16.
| Десетично число | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| В осм | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| В двоичен | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| шестнадесетичен | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | А | Б | ° С | д | Е | Ф | 10 |
За да пишете шестнадесетични цифри, можете да използвате и малките латински букви a-f.
Пример: Нека преобразуваме числото 110101001010101010100.11 2 в шестнадесетична бройна система.
Нека използваме кратността на основите на бройните системи (16 = 2 4). Нека групираме числата по четири, като добавим необходимия брой нули отляво и отдясно
000110101001010101010100,1100 2
и, позовавайки се на таблицата, получаваме: 1A9554, C 16
Изход:
Коя бройна система е по-добра за записване на числа е въпрос на удобство и традиция. От техническа гледна точка е удобно да се използва двоична система в компютър, тъй като тя използва само две цифри 0 и 1 за запис на число, което може да бъде представено с две лесно различими състояния „няма сигнал“ и „има сигнал”.
От друга страна, за човек е неудобно да се занимава с двоични записи на числата поради факта, че те са по-дълги от десетичните числа и в тях има много повтарящи се цифри. Ето защо, ако е необходимо да се работи с машинно представяне на числа, използвайте осмична или шестнадесетична бройна система. Основите на тези системи са цели степени на две и следователно числата могат лесно да бъдат преведени от тези системи в двоични и обратно.
Записваме задачата у дома:
а) Запишете датата на раждане на всички членове на вашето семейство в различни числови системи.
б) Преобразувайте числата от двоично в осмично и шестнадесетично и след това проверете резултатите, като извършите обратния превод:
а) 1001111110111.011 2;
Калкулаторът ви позволява да преобразувате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малка от 2 и повече от 36 (все пак 10 цифри и 26 латински букви). Числата могат да бъдат дълги до 30 знака. Използвайте символа за въвеждане на дробни числа. или, . За да преобразувате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основата на оригиналната бройна система във второто и основата на числовата система, към която искате да преведете числото в третото поле, и след това щракнете върху бутона "Вземи запис".
Оригинален номер записани в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -та бройна система.
Искам да получа запис на номера 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Вземете Record
Завършени преводи: 1363703
Бройни системи
Броевите системи са разделени на два вида: позиционени не позиционен... Използваме арабската система, тя е позиционна, има и римската - просто не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число определя еднозначно стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа примерът с число.
Пример 1... Да вземем числото 5921 в десетичен запис. Нека номерираме числото от дясно на ляво, започвайки от нула:
Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.
Пример 2... Помислете за реалното десетично число 1234,567. Нека го номерираме, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:
Числото 1234,567 може да се запише в следния вид: 1234,567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 + 1 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
Най-простият начин за прехвърляне на число от една бройна система в друга е да преведете числото първо в десетичната бройна система, а след това полученият резултат в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
За да преобразувате число от произволна бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, започвайки от нула (мястото вляво от десетичната запетая), подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сбора от произведенията на цифрите на числото по основата на числовата система в степента на позицията на тази цифра:
1.
Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетична нотация.
Решение: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Преобразувайте E8F.2D 16 в десетична нотация.
Решение: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,1751
Отговор: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да бъдат преведени отделно.
Преобразуване на цялата част от число от десетичната бройна система в друга бройна система
Цялата част се преобразува от десетичната бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на числовата система, докато се получи целият остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от прехвърлянето ще бъде запис от баланса, като се започне с последния.
3.
Преобразувайте число 273 10 в осмична бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1, 34/8 = 4 и остатък 2, 4 е по-малък от 8, така че изчисленията са завършени. Записът от остатъците ще изглежда така: 421
Преглед: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, резултатът е същият. Това означава, че преводът е направен правилно.
Отговор: 273 10 = 421 8
Нека разгледаме превода на правилни десетични дроби в различни бройни системи.
Преобразуване на дробната част от число от десетичната бройна система в друга бройна система
Припомнете си, че се нарича правилната десетична дроб реално число с нула цяло число... За да преобразувате такова число в основната N бройна система, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част стане нула или се получи необходимият брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с ненулева цяло число, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като се въвежда последователно в резултата.
4.
Преобразуване на двоично число 0,125 10.
Решение: 0,125 2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25 2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5 2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата , и тъй като дробната част е равна на нула , тогава транслацията е пълна).
Отговор: 0.125 10 = 0.001 2
Резултатът вече е получен!
Бройни системи
Има позиционни и непозиционни бройни системи. Арабската цифрова система, която използваме в ежедневието е позиционна, но римската не. В позиционните бройни системи позицията на числото определя еднозначно големината на числото. Нека да разгледаме това, като използваме десетичното число 6372 като пример. Нека изброим това число от дясно на ляво, започвайки от нула:
Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Числото 10 определя числовата система (в този случай е 10). Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.
Помислете за реалното десетично число 1287,923. Нека го номерираме, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:
Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + · 10 10 -3.
Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:
C n с n + C n-1 с n-1 + ... + C 1 с 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
където Ц n е цяло число в позиция н, Д -k - дробно число в позиция (-k), с- бройна система.
Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от много цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система - от множество числа (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двоичната бройна система - от набора от числа (0,1), в шестнадесетичната бройна система - от набора от числа (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), където A, B, C, D, E, F съответстват на числата 10,11 Представени са числа ,12,13,14,15.
| маса 1 | |||
|---|---|---|---|
| Нотация | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | Б |
| 12 | 1100 | 14 | ° С |
| 13 | 1101 | 15 | д |
| 14 | 1110 | 16 | Е | 15 | 1111 | 17 | Ф |
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
За да преобразувате числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетична бройна система и след това от десетичната бройна система да го преведете в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.
Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична нотация (SS) в десетична SS. Решение:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Пример2. Преобразувайте 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
Пример 3 ... Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична основа в десетична SS. Решение:
Тук А-заменено с 10, Б- в 11, ° С- в 12, Ф- до 15.
Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преведете отделно цялата част от числото и дробната част от числото.
Цялата част от числото се преобразува от десетичната SS в друга бройна система - чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на числовата система (за двоичен SS - на 2, за 8-аричен SS - на 8, за 16-ари - с 16 и т.н.) ), докато се получи цял остатък, по-малък от основата CC.
Пример 4 ... Нека преобразуваме числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато се раздели на 2, дава частното 79, а остатъкът 1. Освен това, числото 79, когато се раздели на 2, дава частното 39 и остатъкът 1 и т.н. В резултат на това, след като изградим число от останалата част от разделението (отдясно наляво), получаваме числото в двоичния SS: 10011111 ... Следователно можем да напишем:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 ... Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Когато преобразувате число от десетичен SS в осмичен SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цял остатък по-малък от 8. В резултат на това, изграждайки числото от остатъците от разделението (от дясно на ляво), получаваме числото в осмичен SS: 1147 (виж фиг. 2). Следователно можем да напишем:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 ... Преобразувайте числото 19673 от десетичен в шестнадесетичен SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Както се вижда от фигура 3, чрез последователно разделяне на 19673 на 16 получихме остатъците 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната система числото 12 съответства на C, а числото 13 съответства на D. Следователно, нашата шестнадесетичното число е 4CD9.
За да преобразувате правилните десетични дроби (реално число с нулева цяла част) в основата s, това число трябва да се умножи последователно по s, докато се получи чиста нула в дробната част, или получаваме необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се добавят последователно към резултата).
Нека разгледаме горното с примери.
Пример 7 ... Преобразувайте числото 0,214 от десетичен в двоичен SS.
| 0.214 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Както се вижда от фиг. 4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако умножението води до ненулево число с цяла част, тогава цялата част се записва отделно (вляво от числото), а числото се записва с нула цяло число. Ако при умножение се получи число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато се получи чиста нула в дробната част или се получи необходимия брой цифри. Записвайки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме необходимото число в двоичната бройна система: 0. 0011011 .
Следователно можем да напишем:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 ... Нека преобразуваме числото 0,125 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.125 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.0 |
За да преобразувате числото 0,125 от десетичен SS в двоично, това число се умножава последователно по 2. На третия етап се оказа 0. Следователно се получава следният резултат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 ... Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичен в шестнадесетичен SS.
| 0.214 | ||
| х | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| х | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| х | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| х | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| х | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| х | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата 12 и 11 съответстват на числата C и B. Следователно имаме:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Пример 10 ... Преобразуване на десетично в десетично SS число 0,512.
| 0.512 | ||
| х | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| х | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| х | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Има:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 ... Преобразуване на числото 159.125 от десетичен в двоичен SS. За да направите това, ние превеждаме поотделно цялата част от числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 ... Преобразуване на числото 19673.214 от десетичен в шестнадесетичен SS. За да направите това, ние превеждаме поотделно цялата част от числото (Пример 6) и дробната част от числото (Пример 9). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме.
Правило.За да преобразувате число от една бройна система в друга, трябва да разделите оригиналното число на основата на новата бройна система. Разделете полученото частно отново на основата на новата бройна система и продължете делението дотогава. докато частното е по-малко от основата на новата бройна система. Получените остатъци от делението, като се започне от последното, се записват в обратен ред. Това ще бъде записването на номера в новата номерна система.
Пример.Преобразувайте числото 135 от 10-арни SS в 2-арни, 8-арни и шестнадесетични системи за запис.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
Задача 2.
Преобразувайте в двоичен, осмичен и шестнадесетичен SS следните числа 1275,973, 172
Обратно превеждане на числа от произволен SS в 10-цифрен.
1) За да конвертирате число от произволен SS в оригиналния SS (обратен превод),трябва да умножите всяка цифра от това число по основата на оригиналния SS. започвайки с нула цифра отдясно наляво и добавете продуктите. Ако се превежда десетична дроб, трябва да се приложи правилото за запис на целите и дробните части на числото.
2) Обратното преобразуване на числата се извършва по формулата:
където A е дадено число,
g - база SS на дадено число (= 2 за 2-ариен СС,за други SS - подобни),
m е броят на цифрите в цялата част на числото.
n - броят на цифрите в дробната част на числото,
a - стойността на цифрите на даденото число (записът на дробната част от числото е маркиран в синьо).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 = 6 * 8 1 + 6 * 8 0 = 48 + 6 = 54 10 9A 16 = 9 * 16 1 + 10 * 16 0 = 144 + 10 = 154 10
13,4 8 = 1 * 8 1 + 3 * 8 0 + 4 * 8 -1 = 8 + 3 + 0,5 = 11,5 10 (това число е десетична дроб)
Задача 3.
Преобразувайте следните числа в десетичен SS:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 = 2585726 ... 10 16A3 16 2BAFD 16
Превод на числа с основа, която е степен на 2 и обратен превод.Тези SS включват двоични, осмични, шестнадесетични бройни системи.
Правило. Двоичен SS към осмичен SS. Двоичното число е разделено на групи от по 3 цифри от края (отдясно наляво) и всяка група се преобразува в число в нов CC
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
Правило. За обратното преобразуване всяка осмична цифра се записва като триада.
Правило. От двоичен SS към шестнадесетичен SS: подобни, но отделни по 4 цифри всяка
0110.0110.1011 2 = 66B 16
1011.1111.0111 2 = BF7 16
10.1010.0111.0001 2 = 2A71 16
Правило. За обратното преобразуване всяка шестнадесетична цифра се записва като тетрада.
Превод на правилни и неправилни дроби в различни SS.Ако трябва да преведете обикновена дроб, тогава първо трябва да я преобразувате в десетична дроб и след това да приложите правилата за преобразуване на десетични дроби.
Правило. Преобразуване на десетични дроби, по-малки от единица (правилни дроби).
1) необходимо е да разделите дробната част с вертикална линия;
2) умножете дробната част въз основа на новата бройна система;
3) запишете резултата стриктно под оригиналното число, като се започне от най-малкия бит; ако получите прехвърляне на цяла част, запишете го вляво от реда;
4) умножението на дробната част се извършва, докато се получи число с определена точност или няма 0 вдясно от реда.
0,728 10 =0,564 8
Задача 4.Преобразувайте от десетичен SS в двоичен, осмичен, шестнадесетичен SS на следните правилни дроби:.
