Уравнение на права линия върху равнина.
Векторът на посоката е права линия. Нормален вектор

Правата линия на равнина е една от най-простите геометрични фигури, които познавате от началните класове и днес ще научим как да се справяме с нея, използвайки методите на аналитичната геометрия. За да овладеете материала, трябва да можете да изградите права линия; знаете какво уравнение се използва за дефиниране на права линия, по-специално права линия, минаваща през началото и прави линии, успоредни на координатните оси. Тази информация може да бъде намерена в ръководството Графики и свойства на елементарни функции, аз го създадох за matan, но разделът за линейната функция се оказа много сполучлив и подробен. Затова, скъпи чайници, първо загрейте там. Освен това трябва да имате основни познания за вектори, в противен случай разбирането на материала ще бъде непълно.

В този урок ще разгледаме начините, по които можете да напишете уравнението на права линия върху равнина. Препоръчвам да не пренебрегвате практическите примери (дори и да изглеждат много прости), тъй като ще ги снабдя с елементарни и важни факти, техники, които ще са необходими в бъдеще, включително в други раздели на висшата математика.

• Как да напиша уравнението на права линия с наклон?
• Как ?
• Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?
• Как да напиша уравнението на права линия от точка и нормален вектор?

и започваме:

Уравнение на права линия с наклон

Нарича се добре познатата "училищна" форма на уравнението на правата линия уравнение на права линия с наклон... Например, ако права линия е дадена от уравнение, тогава нейният наклон е:. Помислете за геометричното значение на този коефициент и как неговата стойност влияе върху местоположението на правата линия:

Курсът по геометрия доказва това наклонът на правата линия е тангенс на ъгълмежду положителната посока на остаи тази линия:, а ъгълът се "развива" обратно на часовниковата стрелка.

За да не претрупвам чертежа, нарисувах ъгли само за две линии. Помислете за "червената" линия и нейния наклон. Както по-горе: (ъгъл "алфа" е обозначен със зелена дъга). За "синята" линия с наклона е вярно равенството (ъгълът "бета" е обозначен с кафявата дъга). И ако тангенсът на ъгъла е известен, тогава, ако е необходимо, е лесно да се намери и самият ъгълизползвайки обратната функция - арктангенс. Както се казва, тригонометрична таблица или микрокалкулатор в ръка. Поради това, наклонът характеризира степента на наклон на правата линия към оста на абсцисата.

В този случай са възможни следните случаи:

1) Ако наклонът е отрицателен:, тогава линията, грубо казано, върви отгоре надолу. Примери са "сини" и "пурпурни" прави линии в чертежа.

2) Ако наклонът е положителен: тогава линията върви отдолу нагоре. Примери са "черни" и "червени" линии в чертежа.

3) Ако наклонът е нула:, тогава уравнението приема формата и съответната права линия е успоредна на оста. Пример е "жълта" права линия.

4) За семейство прави линии, успоредни на оста (няма пример на чертежа, освен самата ос), наклонът не съществува (тангента 90 градуса не е дефинирана).

Колкото по-голям е наклонът на модула, толкова по-стръмна е графиката на правата линия.

Например, помислете за два реда. Ето защо линията е с по-стръмен наклон. Нека ви напомня, че модулът ви позволява да игнорирате знака, само нас ни интересува абсолютни стойностикоефициенти на наклон.

От своя страна правата линия е по-стръмна от правите. .

Обратно: колкото по-малък е наклонът по модул, толкова по-плоска е правата линия.

За директно неравенството е вярно, следователно правата линия е по-плоска. Детска пързалка, за да не засаждате синини и подутини върху себе си.

Защо е необходимо това?

Удължете мъките си Познаването на горните факти ви позволява незабавно да видите грешките си, по-специално грешките в графиката - ако чертежът се оказа "очевидно нещо не е наред". Препоръчително е вие незабавнобеше ясно, че например правата линия е много стръмна и върви отдолу нагоре, а правата линия е много плитка, близо до оста и върви отгоре надолу.

В геометричните задачи често се появяват няколко прави линии, така че е удобно да ги обозначим по някакъв начин.

Обозначения: правите линии са обозначени с малки латински букви:. Популярна опция е обозначаването със същата буква с естествени индекси. Например петте прави линии, които току-що разгледахме, могат да бъдат обозначени с .

Тъй като всяка права линия се определя еднозначно от две точки, тя може да бъде обозначена с тези точки: и т.н. Нотацията ясно предполага, че точките принадлежат на права линия.

Време е да загреем малко:

Как да напиша уравнението на права линия с наклон?

Ако точка, принадлежаща на определена права линия, и наклонът на тази права линия са известни, тогава уравнението на тази права линия се изразява с формулата:

Пример 1

Приравнете права с наклон, ако е известно, че точката принадлежи на тази права линия.

Решение: Уравнението на правата линия се съставя по формулата ... В такъв случай:

Отговор:

Прегледсе изпълнява елементарно. Първо, разглеждаме полученото уравнение и се уверяваме, че нашият наклон е на място. Второ, координатите на точката трябва да отговарят на това уравнение. Нека ги заместим в уравнението:

Получава се правилното равенство, което означава, че точката удовлетворява полученото уравнение.

Изход: Уравнението е правилно.

По-сложен пример за решение "направи си сам":

Пример 2

Направете уравнението на права линия, ако е известно, че нейният ъгъл на наклон спрямо положителната посока на оста е и точката принадлежи на тази права линия.

Ако имате някакви затруднения, прочетете отново теоретичния материал. По-точно, по-практично, пропускам много от доказателствата.

Последният звънец удари, абитуриентското тържество утихна, а зад портите на родното ни училище всъщност ни очаква аналитичната геометрия. Шегите свършиха.... Или може би тепърва започват =)

Носталгично размахваме химикалка към познатото и се запознаваме с общото уравнение на права линия. Тъй като именно това се използва в аналитичната геометрия:

Общото уравнение на правата линия има вида:, къде са някои числа. Освен това коефициентите едновременноне са равни на нула, тъй като уравнението губи смисъла си.

Нека облечем уравнението на наклона в костюм и вратовръзка. Първо, нека преместим всички термини в лявата страна:

Терминът с "x" трябва да бъде поставен на първо място:

По принцип уравнението вече има формата, но според правилата на математическия етикет коефициентът на първия член (в този случай) трябва да е положителен. Смяна на знаците:

Запомнете тази техническа характеристика!Правим първия коефициент (най-често) положителен!

В аналитичната геометрия уравнението на права линия почти винаги ще бъде дадено в общ вид. Е, ако е необходимо, лесно е да го приведете до изгледа "училище" с наклона (с изключение на прави линии, успоредни на оста на ординатата).

Нека се запитаме какво достатъчнознаете как да изградите права линия? Две точки. Но повече за този случай от детството по-късно, сега придържа към правилото на стрелките. Всяка права линия има добре дефиниран наклон, към който е лесно да се "адаптира" вектор.

Вектор, който е успореден на права, се нарича вектор на посоката на тази права.... Очевидно всяка права линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те ще бъдат колинеарни (съпосочени или не - няма значение).

Ще обозначя вектора на посоката, както следва:.

Но един вектор не е достатъчен за изграждане на права линия, векторът е свободен и не е обвързан с нито една точка от равнината. Следователно е необходимо допълнително да се знае някаква точка, която принадлежи на правата линия.

Как да приравним права линия от точка и вектор на посока?

Ако някаква точка, принадлежаща на права линия, и векторът на посоката на тази права линия са известни, тогава уравнението на тази права линия може да се състави по формулата:

Понякога се нарича каноничното уравнение на правата .

Какво да правя кога една от координатитее нула, ще видим практически примери по-долу. Между другото, забележете - и двете наведнъжкоординатите не могат да бъдат равни на нула, тъй като нулевият вектор не определя конкретна посока.

Пример 3

Приравнете права линия от точка и вектор на посока

Решение: Уравнението на правата линия се съставя по формулата. В такъв случай:

Използвайки свойствата на пропорцията, ние се отърваваме от фракциите:

И привеждаме уравнението в общ вид:

Отговор:

Рисуването в такива примери, като правило, не е необходимо да се прави, а в името на разбирането:

На чертежа виждаме началната точка, първоначалния вектор на посоката (може да бъде отделен от всяка точка на равнината) и конструираната линия. Между другото, в много случаи е най-удобно да се построи права линия с помощта на уравнение с наклон. Лесно е да трансформираме нашето уравнение във формата и лесно да изберете още една точка, за да построите права линия.

Както беше отбелязано в началото на този раздел, правата линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те са колинеарни. Например, нарисувах три такива вектора: ... Който и вектор на посока да изберем, резултатът винаги ще бъде едно и също уравнение на права линия.

Нека съставим уравнението на права линия по точка и вектор на посоката:

Ние уреждаме пропорцията:

Разделяме двете страни на –2 и получаваме познатото уравнение:

Желаещите могат по подобен начин да тестват вектори или всеки друг колинеарен вектор.

Сега нека решим обратната задача:

Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?

Много просто:

Ако една права е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е векторът на посоката на тази права.

Примери за намиране на вектори на посоката на прави линии:

Твърдението ни позволява да намерим само един насочен вектор от безкрайно множество, но нямаме нужда от повече. Въпреки че в някои случаи е препоръчително да се намалят координатите на векторите на посоката:

И така, уравнението дефинира права линия, която е успоредна на оста и координатите на получения вектор на посоката се разделят удобно на –2, като се получава точно основният вектор като вектор на посоката. Логично е.

По същия начин, уравнението определя права линия, успоредна на оста, и, разделяйки координатите на вектора на 5, получаваме орта като вектор на посоката.

Сега нека изпълним проверете пример 3... Примерът се повиши, така че ви напомням, че в него сме направили уравнението на права линия по точка и вектор на посока

Първо, по уравнението на правата линия възстановяваме нейния вектор на посоката: - всичко е наред, получихме оригиналния вектор (в някои случаи той може да се окаже колинеарен с оригиналния вектор и това обикновено е лесно да се забележи от пропорционалността на съответните координати).

Второ, координатите на точката трябва да отговарят на уравнението. Заместваме ги в уравнението:

Получи се правилното равенство, за което много се радваме.

Изход: Задачата е изпълнена правилно.

Пример 4

Приравнете права линия от точка и вектор на посока

Това е пример за решение "направи си сам". Решение и отговор в края на урока. Силно препоръчително е да направите проверка според току-що разгледания алгоритъм. Винаги се опитвайте (ако е възможно) да проверите черновата. Глупаво е да се правят грешки, където те могат да бъдат 100% избегнати.

В случай, че една от координатите на вектора на посоката е нула, те действат много просто:

Пример 5

Решение: Формулата не работи, защото знаменателят на дясната страна е нула. Има изход! Използвайки свойствата на пропорцията, пренаписваме формулата във формата, а останалата част се търкаля по дълбока коловоза:

Отговор:

Преглед:

1) Реконструирайте вектора на посоката на правата линия:
- полученият вектор е колинеарен с оригиналния вектор на посоката.

2) Заменете координатите на точката в уравнението:

Получава се правилното равенство

Изход: задачата е изпълнена правилно

Възниква въпросът, защо да се занимавам с формулата, ако има универсална версия, която така или иначе ще работи? Има две причини. Първо, дробната формула много по-добре запомнени... И второ, липсата на универсална формула е това рискът от объркване се увеличава значителнопри заместване на координати.

Пример 6

Приравнете права линия по протежение на точка и вектор на посока.

Това е пример за решение "направи си сам".

Нека се върнем към вездесъщите две точки:

Как да направим уравнението на права линия от две точки?

Ако са известни две точки, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, може да се състави по формулата:

Всъщност това е един вид формула и ето защо: ако са известни две точки, тогава векторът ще бъде векторът на посоката на тази права. На урока Вектори за манекениразгледахме най-простия проблем - как да намерим координатите на вектор по две точки. Според този проблем координатите на вектора на посоката:

Забележка : точките могат да се "разменят" и да се използва формулата ... Такова решение би било еквивалентно.

Пример 7

Приравнете права линия от две точки .

Решение: Използваме формулата:

Сресваме знаменателите:

И разбъркайте тестето:

Сега е удобно да се отървете от дробни числа. В този случай трябва да умножите и двете части по 6:

Отваряме скобите и си спомняме уравнението:

Отговор:

Прегледочевидно - координатите на първоначалните точки трябва да отговарят на полученото уравнение:

1) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

2) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

Изход: уравнението на правата линия е правилно.

Ако поне единот точки не удовлетворява уравнението, потърсете грешката.

Струва си да се отбележи, че графичната проверка в този случай е трудна, тъй като можете да построите права линия и да видите дали точките принадлежат към нея. , не е толкова лесно.

Ще отбележа и няколко технически аспекта на решението. Може би в тази задача е по-изгодно да използвате огледалната формула и в същите точки направи уравнение:

Това са по-малки фракции. Ако желаете, можете да следвате решението до края и резултатът трябва да е същото уравнение.

Втората точка е да погледнете крайния отговор и да разберете дали може да се опрости допълнително? Например, ако се получи уравнение, тогава е препоръчително да го намалите с две: - уравнението ще зададе същата права линия. Това обаче вече е тема за разговор относително положение на правите линии.

След като получи отговора в пример 7 за всеки случай проверих дали ВСИЧКИ коефициенти на уравнението се делят на 2, 3 или 7. Въпреки че най-често такива намаления се извършват дори по време на решението.

Пример 8

Приравнете права линия през точки .

Това е пример за независимо решение, което просто ще ви позволи да разберете и изработите по-добре изчислителната техника.

Подобно на предишния параграф: ако във формулата един от знаменателите (координата на вектора на посоката) изчезва, тогава го пренаписваме като. Отново забележете колко неудобна и объркваща изглежда тя. Не виждам особен смисъл да давам практически примери, тъй като вече сме решили такъв проблем (виж № 5, 6).

Линия нормален вектор (нормален вектор)

Какво е нормално? Казано по-просто, нормата е перпендикуляр. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на тази права. Очевидно всяка права линия има безкрайно много от тях (както и вектори на посоката) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочени или не - няма разлика).

Разглобяването с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако една права е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормален вектор на тази права.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат "извадени" от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор просто се "отстраняват".

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата линия. Нека проверим ортогоналността на тези вектори с помощта на точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се образува уравнението на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Можеш да го усетиш в червата си. Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на правата линия се определя еднозначно - това е "твърда структура" с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнението на права линия от точка и нормален вектор?

Ако е известна точка, принадлежаща на права линия и нормалният вектор на тази права линия, тогава уравнението на тази права линия се изразява с формулата:

Тук всичко беше направено без дроби и други изненади. Това е нашият нормален вектор. Обичам го. И уважение =)

Пример 9

Приравнете права линия по една точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използваме формулата:

Получава се общото уравнение на правата линия, нека проверим:

1) „Премахнете“ координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, първоначалният вектор е получен от условието (или трябва да се получи колинеарен вектор).

2) Проверете дали точката отговаря на уравнението:

Истинско равенство.

След като сме се уверили, че уравнението е правилно, ще изпълним втората, по-лесна част от задачата. Изваждаме насочващия вектор на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията изглежда така:

За учебни цели подобна задача за независимо решение:

Пример 10

Приравнете права линия от точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също така важни видове уравнения на права линия върху равнина.

Уравнение на права линия в сегменти.
Уравнение на права линия в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има вида, където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е равен на нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обикновена задача е да се представи общото уравнение на права линия под формата на уравнение на права линия на отсечки. Как е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно в някои задачи на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Ние нулираме "играта" и уравнението приема формата. Желаната точка се получава автоматично:.

По същия начин с оста - точката, в която правата пресича оста на ординатата.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки. Статията" " Обещах ви да анализирате втория метод за решаване на представените задачи за намиране на производната за дадена графика на функция и допирателна към тази графика. Ще анализираме този метод в , не пропускайте! Защов следващия?

Факт е, че там ще се използва формулата за уравнението на права линия. Разбира се, можете просто да покажете тази формула и да ви посъветвате да я научите. Но е по-добре да се обясни - откъде идва (как се извлича). Необходимо е! Ако го забравите, бързо го възстановетеняма да е трудно. Всичко е подробно описано по-долу. И така, имаме две точки A в координатната равнина(x 1; y 1) и B (x 2; y 2), през посочените точки се начертава права линия:

Ето формулата за правата линия:

* Тоест, при заместване на конкретни координати на точки, получаваме уравнение от вида y = kx + b.

** Ако тази формула е просто "назъбена", тогава има голяма вероятност да се объркате с индексите при NS... В допълнение, индексите могат да бъдат обозначени по различни начини, например:

Ето защо е важно да разберете значението.

Сега заключението на тази формула. Всичко е много просто!

Триъгълниците ABE и ACF са сходни по остър ъгъл (първият знак за сходство на правоъгълните триъгълници). От това следва, че отношенията на съответните елементи са равни, т.е.

Сега просто изразяваме тези сегменти по отношение на разликата в координатите на точките:

Разбира се, няма да има грешка, ако напишете отношенията на елементите в различен ред (основното е да запазите съответствието):

Резултатът ще бъде същото уравнение на правата линия. Това е всичко!

Тоест, независимо как са обозначени самите точки (и техните координати), разбирайки тази формула, винаги ще намерите уравнението на права линия.

Формулата може да бъде извлечена с помощта на свойствата на векторите, но принципът на извод ще бъде същият, тъй като ще говорим за пропорционалността на техните координати. В този случай работи същото подобие на правоъгълни триъгълници. Според мен изходът, описан по-горе, е по-ясен)).

Преглед на изхода чрез векторни координати >>>

Нека върху координатната равнина се построи права линия, минаваща през две дадени точки A (x 1; y 1) и B (x 2; y 2). Нека маркираме върху правата произволна точка C с координати ( х; г). Ние също така означаваме два вектора:

Известно е, че за вектори, лежащи на успоредни линии (или на една права линия), съответните им координати са пропорционални, тоест:

- записваме равенството на съотношенията на съответните координати:

Нека разгледаме пример:

Намерете уравнението на права линия, минаваща през две точки с координати (2; 5) и (7: 3).

Дори не е нужно да изграждате самата права линия. Прилагаме формулата:

Важно е да хванете кореспонденцията при съставянето на съотношението. Няма как да сбъркате, ако напишете:

Отговор: y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0,4x + 5,8

За да се уверите, че полученото уравнение е намерено правилно, не забравяйте да направите проверка - заменете в него координатите на данните в условието на точки. Трябва да получите правилни равенства.

Това е всичко. Надявам се материалът да ви е бил полезен.

С уважение, Александър.

P.S: Ще бъда благодарен, ако ни разкажете за сайта в социалните мрежи.

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Можете да начертаете безкрайно много прави линии през всяка точка.

Една права линия може да бъде начертана през всякакви две несъвпадащи точки.

Две несъответстващи прави линии на равнина или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три опции за относителното положение на две прави линии:

• прави линии се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнение на правата линия.

Определение... Всяка права линия на равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

с константа А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би Свъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- правата минава през началото

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- правата линия съвпада с оста ох

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми, в зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор.

Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка А (1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение... При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написана по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия по протежение на точка и вектор на посоката.

По аналогия с параграфа, който разглежда уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието

Аα 1 + Вα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка A (1, 2).

Решение... Уравнението на необходимата права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

в x = 1, y = 2получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

C = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделете на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на правата.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример... Дадено е общо уравнение на правата линия 12x - 5y - 65 = 0... Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнение на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между правите в равнината.

Определение... Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това остър ъгъл между тези линии

ще се дефинира като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2... Две прави линии са перпендикулярни,

ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

А 1 = λА, В 1 = λВ... Ако също С 1 = λС, то правите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на линията y = kx + b

се представя от уравнението:

Разстояние от точка до линия.

Теорема... Ако е дадена точка M (x 0, y 0),разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство... Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

права. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Правата линия, минаваща през точка K (x 0; y 0) и успоредна на правата y = kx + a, се намира по формулата:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Където k е наклонът на правата линия.

Алтернативна формула:
Правата линия, минаваща през точката M 1 (x 1; y 1) и успоредна на правата Ax + By + C = 0, се представя от уравнението

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Направете уравнение на правата линия, минаваща през точка K ( ;) успоредна на правата y = х + .

Пример №1. Съставете уравнението на правата линия, минаваща през точката M 0 (-2,1) и в същото време:
а) успоредно на правата 2x + 3y -7 = 0;
б) перпендикулярно на правата 2x + 3y -7 = 0.
Решение ... Представяме уравнението с наклона като y = kx + a. За да направите това, преместете всички стойности с изключение на y в дясната страна: 3y = -2x + 7. След това разделяме дясната страна на коефициент 3. Получаваме: y = -2 / 3x + 7/3
Намерете уравнението NK, минаващо през точка K (-2; 1), успоредна на правата y = -2 / 3 x + 7/3
Замествайки x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1, получаваме:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
или
y = -2 / 3 x - 1/3 или 3y + 2x +1 = 0

Пример №2. Напишете уравнението на права линия, успоредна на правата 2x + 5y = 0 и образуваща заедно с координатните оси триъгълник, чиято площ е 5.
Решение ... Тъй като правите линии са успоредни, уравнението на желаната права линия е 2x + 5y + C = 0. Площта на правоъгълен триъгълник, където a и b са неговите крака. Намерете пресечните точки на желаната права линия с координатните оси:
;
.
Така че A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Заместете във формулата за площта: ... Получаваме две решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y - 10 = 0.

Пример №3. Направете уравнението на правата линия, минаваща през точката (-2; 5) и успоредна на правата 5x-7y-4 = 0.
Решение. Тази права линия може да бъде представена с уравнението y = 5/7 x - 4/7 (тук a = 5/7). Уравнението на търсената права линия е y - 5 = 5/7 (x - (-2)), т.е. 7 (y-5) = 5 (x + 2) или 5x-7y + 45 = 0.

Пример №4. Решавайки пример 3 (A = 5, B = -7), използвайки формула (2), намираме 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0.

Пример №5. Приравнете правата линия, минаваща през точката (-2; 5) и успоредна на правата 7x + 10 = 0.
Решение. Тук A = 7, B = 0. Формула (2) дава 7 (x + 2) = 0, т.е. х + 2 = 0. Формула (1) е неприложима, тъй като това уравнение не може да бъде решено по отношение на y (тази права е успоредна на оста на ординатите).

Уравнение на права върху равнина.

Както знаете, всяка точка от равнина се определя от две координати във всяка координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на дата и начало.

Определение. Линия на уравнениенаречено съотношението y = f (x) между координатите на точките, които съставляват тази права.

Имайте предвид, че уравнението на линията може да бъде изразено параметрично, тоест всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай времето играе ролята на параметър.

Уравнение на права линия върху равнина.

Определение. Всяка права линия на равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

освен това константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е. А 2 + В 2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на правата линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A  0, B  0 - правата минава през началото

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - правата линия е успоредна на оста Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - правата линия е успоредна на оста Oy

B = C = 0, A  0 - правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B  0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор.

Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + Vy + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точка A (1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).

При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадена точка A в получения израз.

Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно C = -1.

Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата линия, минаваща през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

В равнината уравнението на правата линия, написана по-горе, е опростено:

ако x 1  x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Фракция
= k се нарича наклонправ.

Пример.Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 се сведе до вида:

и посочете
, тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклонк.

Уравнение на права линия по протежение на точка и вектор на посоката.

По аналогия с параграфа, разглеждащ уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете спецификацията на права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение. Всеки ненулев вектор ( 1,  2), чиито компоненти удовлетворяват условието А 1 + В 2 = 0 се нарича насочващ вектор на правата

Ax + Wu + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия с вектор на посоката (1, -1) и преминаване през точка А (1, 2).

Уравнението на желаната права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0. Според дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията:

1A + (-1) B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата има вида: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

за x = 1, y = 2, получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме:
или

, където

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата линия с оста Ox, и б- координатата на пресечната точка на правата линия с оста Oy.

Пример.Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права на отсечки.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако двете страни на уравнението Ax + Vy + C = 0 се разделят на числото
което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcos + ysin - p = 0 -

нормално уравнение на права линия.

Знакът  на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, спуснат от началото към правата линия, а  е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Пример.Дадено е общо уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения на тази права линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнение на тази права линия с наклон: (разделете на 5)

нормално уравнение на правата:

; cos = 12/13; sin = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример.Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Направете уравнение на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Правото уравнение има вида:
, a = b = 1; ab / 2 = 8; а = 4; -4.

a = -4 не съответства на формулировката на проблема.

Обща сума:
или x + y - 4 = 0.

Пример.Начертайте уравнението на правата линия, минаваща през точка А (-2, -3) и началото.

Правото уравнение има вида:
, където x 1 = y 1 = 0; х 2 = -2; y 2 = -3.

Ъгълът между правите в равнината.

Определение. Ако са дадени две прави линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острият ъгъл между тези прави линии ще бъде определен като

.

Две прави линии са успоредни, ако k 1 = k 2.

Две прави линии са перпендикулярни, ако k 1 = -1 / k 2.

Теорема. Прави Ax + Vu + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A са пропорционални 1 =  А, Б 1 =  B. Ако също C 1 =  C, тогава правите линии съвпадат.

Координатите на пресечната точка на две прави линии се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка

перпендикулярно на тази права.

Определение. Правата линия, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, се представя с уравнението:

Разстояние от точка до линия.

Теорема. Ако точка M (x 0 , при 0 ), тогава разстоянието до правата линия Ax + Vy + C = 0 се определя като

.

Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

.

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  =  / 4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.

Намираме уравнението на страната AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = ... Тогава y =
... Защото височината преминава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение:
откъдето b = 17. Общо:
.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналитична геометрия в пространството.

Уравнение на права в пространството.

Уравнение на права линия в пространството по точка и

направляващ вектор.

Вземете произволна линия и вектор (m, n, p) успоредно на дадената права. вектор Наречен вектор на посокатаправ.

На правата линия вземете две произволни точки M 0 (x 0, y 0, z 0) и M (x, y, z).

z

М 1

Нека обозначим радиус векторите на тези точки като и , това е очевидно - =
.

Защото вектори
и колинеарна, след това отношението
= t, където t е някакъв параметър.

Общо, можете да напишете: = + T.

Защото това уравнение се удовлетворява от координатите на която и да е точка от правата линия, тогава полученото уравнение - параметрично уравнение на права линия.

Това векторно уравнение може да бъде представено в координатна форма:

Преобразувайки тази система и приравнявайки стойностите на параметъра t, получаваме каноничните уравнения на права линия в пространството:

.

Определение. Косинус на посокатаправа линия са косинуси на посоката на вектора , което може да се изчисли по формулите:

;

.

От тук получаваме: m: n: p = cos: cos: cos.

Числата m, n, p се наричат склоновеправ. Защото е ненулев вектор, тогава m, n и p не могат да бъдат нула едновременно, но едно или две от тези числа могат да бъдат нула. В този случай в уравнението на правата линия съответните числители трябва да бъдат приравнени на нула.

Уравнение на права линия в пространството

през две точки.

Ако върху права линия в пространството маркираме две произволни точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава координатите на тези точки трябва да отговарят на уравнението на правата линия получено по-горе:

.

Освен това за точка M 1 можете да напишете:

.

Решавайки тези уравнения заедно, получаваме:

.

Това е уравнението на права линия, минаваща през две точки в пространството.

Общи уравнения на права линия в пространството.

Уравнението на права линия може да се разглежда като уравнение на пресечната линия на две равнини.

Както беше обсъдено по-горе, равнина във векторна форма може да бъде дадена от уравнението:

+ D = 0, където

- равнинна норма; - радиус вектор на произволна точка от равнината.