Случайна величина. Числени характеристики на непрекъснати случайни величини. Нека непрекъсната случайна променлива X е дадена от функцията на разпределение f (x)

За разлика от дискретната случайна променлива, непрекъснатите случайни променливи не могат да бъдат посочени под формата на таблица на нейния закон за разпределение, тъй като е невъзможно да се изброят и изпишат всички нейни стойности в определена последователност. Един от възможните начини за дефиниране на непрекъсната случайна променлива е използването на функция за разпределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцията на разпределение е функция, която определя вероятността произволна променлива да приеме стойност, която е изобразена на числовата ос от точка, лежаща вляво от точката x, т.е.

Понякога вместо термина "функция на разпределение" се използва терминът "кумулативна функция".

Свойства на функцията за разпространение:

1. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат на сегмента: 0F (x) 1
2. F (x) е ненамаляваща функция, т.е. F (x 2) F (x 1), ако x 2> x 1

Следствие 1. Вероятността произволна променлива да приеме стойност, затворена в интервала (a, b), е равна на нарастването на функцията на разпределение на този интервал:

P (aX

Пример 9. Случайната променлива X се дава от функцията на разпределение:

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0; 2): P (0

Решение: Тъй като на интервала (0; 2) по условие F (x) = x / 4 + 1/4, то F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - (0 / 4 + 1/4) = 1/2. И така, P (0

Следствие 2. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една определена стойност е нула.

Следствие 3. Ако възможните стойности на случайната променлива принадлежат на интервала (a; b), тогава: 1) F (x) = 0 за xa; 2) F (x) = 1 за xb.
Валидни са следните гранични отношения:

Графиката на функцията на разпределение е разположена в ивица, ограничена от прави линии y = 0, y = 1 (първо свойство). С увеличаването на x в интервала (a; b), който съдържа всички възможни стойности на произволната променлива, графиката се "издига нагоре". При xa ординатите на графиката са равни на нула; при xb ординатите на графиката са равни на единица:

Снимка 1

Пример 10. Дискретната случайна променлива X е дадена от таблицата за разпределение:

х	1	4	8
П	0.3	0.1	0.6

Намерете функцията на разпределение и я начертайте.
Решение: Функцията за разпределение аналитично може да се запише по следния начин:

Фигура-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плътността на разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива X е функцията f (x) - първата производна на функцията на разпределение F (x): f (x) = F "(x)

От това определение следва, че функцията на разпределение е антипроизводната за плътността на разпределението.

Теорема. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (a; b), е равна на определен интеграл от плътността на разпределението, взет в диапазона от a до b:

(8)

Свойства на вероятностната плътност:

1. Плътността на вероятността е неотрицателна функция: f (x) 0.
2. Определеният интеграл от -∞ до + ∞ от плътността на разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна величина е равен на 1: f (x) dx = 1.
3. Определеният интеграл от -∞ до x от плътността на вероятността на непрекъсната случайна величина е равен на функцията на разпределение на тази величина: f (x) dx = F (x)

Пример 11. Дадена е плътността на разпределението на вероятностите на произволна променлива X

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,5; 1).

Решение: Търсене на вероятност:

Нека разширим дефиницията на числените характеристики на дискретни величини към непрекъснати величини. Нека непрекъсната случайна променлива X е дадена от плътността на разпределението f (x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на сегмент, е определен интеграл:

M (x) = xf (x) dx (9)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос Ox, тогава:

M (x) = xf (x) dx (10)

Режимът M 0 (X) на непрекъсната случайна променлива X се нарича нейна възможна стойност, която съответства на локалния максимум на плътността на разпределението.

Медианата M e (X) на непрекъсната случайна променлива X се нарича нейната възможна стойност, която се определя от равенството:

P (X e (X)) = P (X> M e (X))

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсията на непрекъсната случайна променлива е математическото очакване на квадрата на нейното отклонение. Ако възможните стойности на X принадлежат на сегмента, тогава:

D (x) = 2 f (x) dx (11)
или
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)

Ако възможните стойности принадлежат на цялата ос x, тогава.

както е известно, случайна величина се извиква променлива, която може да приеме определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се обозначават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните променливи се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива е произволна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределението на дискретна случайна променлива се извиква функция, която свързва стойностите на произволна променлива със съответните вероятности. Законът за разпределението може да се уточни по един от следните начини.

1 . Законът за разпределението може да бъде даден от таблицата:

където λ> 0, k = 0, 1, 2,….

v)чрез функция на разпределение F (x) , което определя за всяка стойност на x вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F (x) = P (X< x).

Свойства на функцията F (x)

3 . Законът за разпределението може да бъде зададен графично - полигон (многоъгълник) разпределение (виж задача 3).

Имайте предвид, че за решаване на някои проблеми не е необходимо да знаете закона за разпределението. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или няколко числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределението. Това може да бъде число, което има значението на "средната стойност" на произволна променлива, или число, което показва средното отклонение на произволна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числови характеристики на произволна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

Математическо очакване (средна) дискретна случайна променлива M (X) = Σ x i p i.
За биномното разпределение M (X) = np, за разпределението на Поасон M (X) = λ
Дисперсия дискретна случайна променлива D (X) = M 2или D (X) = M (X 2) - 2... Разликата X – M (X) се нарича отклонение на произволна променлива от нейното математическо очакване.
За биномното разпределение D (X) = npq, за разпределението на Поасон D (X) = λ
Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ (X) = √D (X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Цел 1.

Бяха издадени 1000 лотарийни билета: 5 от тях получават печалба от 500 рубли, 10 - печалба от 100 рубли, 20 - печалба от 50 рубли, 50 - печалба от 10 рубли. Определете закона за разпределението на вероятностите на произволна променлива X - изплащане на билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5 + 10 + 20 + 50) = 915, след това P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P (X = 0) = 50/1000 = 0,05, P (X = 50) = 20/1000 = 0,02, P (X = 100) = 10/1000 = 0,01 , P (X = 500) = 5/1000 = 0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Нека намерим математическото очакване на стойността X: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5

Цел 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение за броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон за разпределение. Намерете функцията на разпределение F (x) и начертайте нейната графика. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретна произволна променлива X = (броят на неуспешните елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 = 0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 = 1 (един елемент е неуспешен), x 3 = 2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 = 3 (три елемента са неуспешни).

Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формула на Бернули ... Като се има предвид, че по условие, n = 3, p = 0,1, q = 1-p = 0,9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Проверете: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Така търсеният закон за биномиално разпределение за X има формата:

По оста на абсцисата поставяме възможните стойности на x i, а по оста на ординатата - съответните вероятности p i. Нека построим точките M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Свързвайки тези точки чрез отсечки, получаваме желания многоъгълник за разпределение.

3. Нека намерим функцията на разпределение F (x) = P (X

За x ≤ 0 имаме F (x) = P (X<0) = 0;
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x> 3 ще бъде F (x) = 1, тъй като събитието е валидно.

Графика на функциите F (x)

4. За биномно разпределение X:
- математическо очакване M (X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсия D (X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ (X) = √D (X) = √0,27 ≈ 0,52.

В теорията на вероятностите трябва да се работи със случайни променливи, чиито всички стойности не могат да бъдат изброени. Например, не можете да вземете и „итерирате“ всички стойности на произволната променлива $ X $ - времето за обслужване на часовника, тъй като времето може да се измерва в часове, минути, секунди, милисекунди и т.н. Можете да посочите само определен интервал, в който се намират стойностите на произволната променлива.

Непрекъсната произволна променливае произволна променлива, чиито стойности напълно запълват определен интервал.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива

Тъй като не е възможно да се изброят всички стойности на непрекъсната произволна променлива, тя може да бъде определена с помощта на функцията за разпределение.

Функция за разпределениена случайната променлива $ X $ се нарича функцията $ F \ left (x \ right) $, която определя вероятността случайната променлива $ X $ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $ x $, тоест $ F \ ляво (x \ дясно) = P \ ляво (X< x\right)$.

Свойства на функцията за разпространение:

1 ... $ 0 \ le F \ ляво (x \ дясно) \ le 1 $.

2 ... Вероятността случайната променлива $ X $ да вземе стойности от интервала $ \ вляво (\ алфа; \ \ бета \ вдясно) $ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на това интервал: $ P \ вляво (\ алфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 ... $ F \ ляво (x \ дясно) $ - ненамаляващо.

4 ... $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ вдясно) = 1 \) $.

Пример 1
0, \ x \ le 0 \\
х, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ край (матрица) \ дясно $. Вероятността случайна променлива $ X $ да попадне в интервала $ \ left (0,3; 0,7 \ вдясно) $ може да се намери като разлика между стойностите на функцията на разпределение $ F \ left (x \ right) $ при краищата на този интервал, тоест:

$$ P \ вляво (0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Плътност на разпределението на вероятностите

Функцията $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) $ се нарича плътност на разпределението на вероятностите, тоест тя е производна от първи ред, взета от функцията на разпределение $ F \ left (x \ вдясно) самото $.

Свойства на функцията $ f \ left (x \ right) $.

1 ... $ f \ ляво (x \ дясно) \ ge 0 $.

2 ... $ \ int ^ x _ (- \ infty) (f \ left (t \ right) dt) = F \ left (x \ right) $.

3 ... Вероятността случайната променлива $ X $ да приеме стойности от интервала $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ е $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 ... $ \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ left (x \ right)) = 1 $.

Пример 2 ... Непрекъсната произволна променлива $ X $ се дава от следната функция на разпределение $ F (x) = \ left \ (\ begin (матрица)
0, \ x \ le 0 \\
х, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ край (матрица) \ дясно $. Тогава функцията на плътността $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) = \ left \ (\ begin (матрица)
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ край (матрица) \ дясно $

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива $ X $ се изчислява по формулата

$$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) dx). $$

Пример 3 ... Намерете $ M \ left (X \ right) $ за произволната променлива $ X $ от пример $ 2 $.

$$ M \ ляво (X \ дясно) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ над (2)) \ bigg | _0 ^ 1 = ((1) \ над (2)). $$

Дисперсия на непрекъсната случайна променлива

Дисперсията на непрекъсната случайна променлива $ X $ се изчислява по формулата

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2. $$

Пример 4 ... Намерете $ D \ left (X \ right) $ за произволната променлива $ X $ от пример $ 2 $.

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ вляво (((1) \ над (2)) \ надясно)) ^ 2 = ((x ^ 3) \ над (3)) \ bigg | _0 ^ 1- ( (1) \ над (4)) = ((1) \ над (3)) - ((1) \ над (4)) = ((1) \ над (12)). $$

Да се намерете функцията на разпределение на дискретна случайна променлива, трябва да използвате този калкулатор. Упражнение 1... Плътността на разпределението на непрекъсната случайна променлива X има формата:
Намирам:
а) параметър А;
б) функцията на разпределение F (x);
в) вероятността за попадане на произволна променлива X в интервала;
г) математическо очакване MX и дисперсия DX.
Начертайте графика на функциите f (x) и F (x).

Задача 2... Намерете дисперсията на произволна променлива X, дадена от интегралната функция.

Задача 3... Намерете математическото очакване на произволна променлива X чрез дадена функция на разпределение.

Задача 4... Плътността на вероятността на произволна променлива се дава, както следва: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞)
Намерете коефициента A, функцията на разпределение F (x), математическото очакване и дисперсията и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Изграждане на графики f (x) и F (x).

Задача... Функцията на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива се дефинира, както следва:

Определете параметрите a и b, намерете израз за плътността на вероятността f (x), математическото очакване и дисперсията, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Изграждане на графики f (x) и F (x).

Нека намерим функцията на плътността на разпределението като производна на функцията на разпределение.

Знаейки това

намерете параметъра a:

или 3a = 1, откъдето a = 1/3
Параметърът b се намира от следните свойства:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1, откъдето b = -1/3
Следователно функцията на разпределение има формата: F (x) = (x-1) / 3

Очаквана стойност.

Дисперсия.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Нека намерим вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1. Дадена е плътността на вероятностното разпределение f (x) на непрекъсната случайна величина X. Задължително:

Определете коефициента А.
намерете функцията на разпределение F (x).
схематично да се изградят графики F (x) и f (x).
намерете математическото очакване и дисперсията на X.
намерете вероятността X да вземе стойност от интервала (2; 3).

f (x) = A * sqrt (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение:

Случайната променлива X се дава от плътността на разпределението f (x):

Нека намерим параметър A от условието:

или
14/3 * A-1 = 0
Където,
A = 3/14

Функцията на разпределение може да се намери по формулата.

Плътността на разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (функция на диференциално разпределение) е първата производна на кумулативната функция на разпределение: f (x) = F ’(X). От това определение и свойствата на функцията на разпределение следва, че

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива X е числото

Дисперсията на непрекъсната случайна променлива X се определя от равенството

Пример 79.Плътност на разпределението на времето ткомплекти от електронно оборудване на производствената линия

Намерете коефициент А, функцията на разпределение на времето за сглобяване на електронното оборудване и вероятността времето за сглобяване да бъде в интервала (0.1A).

Решение.Въз основа на свойството на функцията на разпределение на произволната променлива

Интегрирайки по части два пъти, получаваме

Функцията за разпределение е

Вероятността времето за сглобяване на електронното оборудване няма да надхвърли (0; 1 / λ):

Пример 80... Плътността на вероятността на отклонението на изходното съпротивление на REA единицата от номиналната стойност Р 0 в рамките на толеранса 2δ се описва от закона

Намерете математическото очакване и дисперсията на отклонението на съпротивлението от номиналната стойност.

Решение.

Тъй като подинтегралното число е нечетно и границите на интегриране са симетрични спрямо началото, интегралът е 0.

следователно, М{Р} = 0.

Извършване на замяната r = а грях х, получи

Пример 81.Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

Намерете: 1. F (x); 2. М (Х); 3. D (X).

Решение. 1. За да намерим F (x), използваме формулата

Ако
, тогава

Ако
, тогава f (x) = 0, и

Интегрирайки по части два пъти, получаваме:

, тогава

82. Намерете f (x), M (X), D (X) в задачи 74, 75.

83. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X е дадена:

Намерете функцията на разпределение F (x).

84. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X се дава по цялата ос Ox от равенството
... Намерете постоянния параметър C.

85. Случайната променлива X в интервала (-3, 3) се дава от плътността на разпределението
; извън този интервал

а) Намерете дисперсията X;

б) което е по-вероятно: тестът ще доведе до X<1 или X>1?

86. Намерете дисперсията на произволна променлива X, дадена от функцията на разпределение

87. Случайната променлива се дава от функцията на разпределение

Намерете очакването, дисперсията и стандартното отклонение на X.

§осем. Равномерно и експоненциално разпределение

Разпределението на непрекъсната случайна променлива X се нарича равномерно, ако в интервала (a, b), към който принадлежат всички възможни стойности на X, плътността остава постоянна, а извън този интервал е равна на нула, т.е.

Експоненциалното (експоненциално) разпределение е разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива X, което се описва с плътността

където λ е постоянна положителна стойност. Функцията на разпределение на експоненциалния закон

Математическото очакване и дисперсията са съответно равни

;
;

Пример 88.Делението на скалата на амперметъра е 0,10A. Показанията на амперметъра се закръгляват до най-близкото цяло деление. Намерете вероятността по време на обратното броене да бъде направена грешка, надвишаваща 0.02A.

Решение.Грешката при закръгляването може да се разглежда като случайна променлива X, която е равномерно разпределена в интервала (0; 0.1) между две целочислени деления. следователно,

Тогава
.

Пример 89.Продължителността на времето на работа на елемента има експоненциално разпределение. Намерете вероятността за времетраене t = 100 часа: а) елементът да се повреди; б) елементът няма да се провали.

Решение.а) По дефиниция
, следователно, той определя вероятността за повреда на елемент във времето t, следователно

б) Събитието "елементът няма да се провали" е обратното на разглежданото, следователно неговата вероятност

90. Електронният блок се сглобява на производствената линия, цикълът на сглобяване е 2 минути. Готовият блок се отстранява от конвейера за контрол и настройка в произволен момент от време в рамките на цикъл. Намерете математическото очакване и стандартното отклонение на времето, когато готовият блок е на конвейера. Времето, прекарано от блок на конвейера, се подчинява на закона за равномерно разпределение на произволните променливи.

91. Вероятността за повреда на електронното оборудване за определено време се изразява с формулата ... Определете средното време на работа на електронното оборудване преди повреда.

92. Разработващият се комуникационен сателит трябва да има средно време на престой от 5 години. Като се има предвид реалното време между отказите като произволно експоненциално разпределено количество, определете вероятността, че

а) сателитът ще работи за по-малко от 5 години,

б) сателитът ще работи най-малко 10 години,

в) сателитът ще се провали в рамките на 6-та година.

93. Наемател купил четири крушки с нажежаема жичка със среден живот 1000 часа.Поставил една от тях в настолна лампа, а останалите запазил в резерв, в случай че лампата изгори. Определете:

а) очакваният кумулативен живот на четирите лампи,

б) вероятността общо четири лампи да работят 5000 часа или повече,

в) вероятността общият живот на всички лампи да не надвишава 2000 часа.

94. Делението на скалата на измервателния уред е 0,2. Показанията на инструмента се закръгляват до най-близкото цяло деление. Намерете вероятността да бъде допусната грешка при преброяването: а) по-малка от 0,04; б) голям 0,05.

95. Автобусите по определен маршрут се движат стриктно по график. Интервалът на движение е 5 минути. Намерете вероятността пътник, пристигащ на спирката, да изчака следващия автобус за по-малко от 3 минути.

96. Намерете математическото очакване на случайна променлива X, равномерно разпределена в интервала (2, 8).

97. Намерете дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива X, равномерно разпределени в интервала (2, 8).

98. Тествайте два независимо работещи елемента. Продължителността на времето на работа на първия елемент има експоненциално разпределение
, второ
... Намерете вероятността за времетраене t = 6 h: а) и двата елемента да се повредят; б) и двата елемента няма да се провалят; в) само един елемент ще се провали; г) поне един елемент ще се провали.