За работа с понятието ранг на матрица ни е необходима информация от темата "Алгебрични допълнения и минорни. Видове минорни и алгебрични допълнения". На първо място, това се отнася до термина "матрична минор", тъй като рангът на матрицата ще се определя именно чрез минорите.

По ранга на матрицатасе нарича максималният ред на неговите минорни, сред които има поне един, който не е равен на нула.

Еквивалентни матрици- матрици, чиито ранги са равни един на друг.

Нека обясним по-подробно. Да предположим, че има поне един ненулев минор сред минорите от втори ред. И всички непълнолетни, чийто ред е по-висок от две, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 2. Или, например, сред минорите от десети ред има поне един, който не е равен на нула. И всички непълнолетни, чийто ред е по-висок от 10, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 10.

Рангът на матрицата $ A $ се обозначава като $ \ rang A $ или $ r (A) $. Рангът на нулевата матрица $ O $ се приема за нула, $ \ rang O = 0 $. Нека ви напомня, че за образуване на минор на матрица е необходимо да се зачеркнат редове и колони, но е невъзможно да се зачертаят повече редове и колони, отколкото съдържа самата матрица. Например, ако $ F $ матрицата е $ 5 \ по 4 $ (т.е. съдържа 5 реда и 4 колони), тогава максималният ред на нейните минорни елементи е четири. Вече няма да е възможно да се формират непълнолетни от пети ред, тъй като те ще изискват 5 колони (а ние имаме само 4). Това означава, че рангът на матрицата $ F $ не може да бъде повече от четири, т.е. $ \ звънна F≤4 $.

В по-общ вид горното означава, че ако една матрица съдържа $ m $ редове и $ n $ колони, тогава нейният ранг не може да надвишава най-малкото от числата $ m $ и $ n $, т.е. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

По принцип от самото определение на ранга следва методът за намирането му. Процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция може да бъде схематично представен по следния начин:

Ще обясня тази диаграма по-подробно. Да започнем да мислим от самото начало, т.е. с минорите от първи ред на някаква матрица $ A $.

1. Ако всички минорни елементи от първи ред (т.е. елементите на матрицата $ A $) са равни на нула, тогава $ \ rang A = 0 $. Ако сред минорите от първи ред има поне един различен от нула, тогава $ \ rang A≥ 1 $. Да преминем към проверката на второстепенните непълнолетни.
2. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава $ \ rang A = 1 $. Ако сред минорите от втори ред има поне един различен от нула, тогава $ \ rang A≥ 2 $. Да преминем към проверката на непълнолетните от трети ред.
3. Ако всички минорни от трети порядък са равни на нула, тогава $ \ rang A = 2 $. Ако сред минорите от трети ред има поне един различен от нула, тогава $ \ rang A≥ 3 $. Да преминем към проверката на второстепенните от четвърти ред.
4. Ако всички минорни от четвърти ред са равни на нула, тогава $ \ rang A = 3 $. Ако сред минорите от четвърти ред има поне един различен от нула, тогава $ \ rang A≥ 4 $. Да преминем към проверка на второстепенните 5-ти ред и т.н.

Какво ни очаква в края на тази процедура? Възможно е сред минорите от k-тия ред да има поне един различен от нула и всички минорни от (k + 1)-ти ред да са равни на нула. Това означава, че k е максималният ред на минорите, сред които има поне един, който не е равен на нула, т.е. рангът ще бъде k. Ситуацията може да е различна: сред минорите от k-ти ред ще има поне един, който не е равен на нула, и вече няма да е възможно да се формират минорите от (k + 1)-тия ред. В този случай рангът на матрицата също е k. Накратко казано, реда на последния съставен ненулев минор и ще бъде равен на ранга на матрицата.

Нека да преминем към примери, в които процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция ще бъде илюстриран визуално. Още веднъж подчертавам, че в примерите на тази тема ще започнем да намираме ранга на матриците, използвайки само дефиницията на ранга. Други методи (изчисляване на ранга на матрица по метода на граничните минорни, изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации) са разгледани в следващите теми.

Между другото, изобщо не е необходимо да започвате процедурата за намиране на ранга с непълнолетните от най-малкия ред, както се прави в примери № 1 и № 2. Можете да преминете направо към по-високи непълнолетни (вижте пример #3).

Пример №1

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ begin (масив) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ край (масив) \ дясно) $.

Тази матрица има размер $ 3 \ по 5 $, т.е. съдържа три реда и пет колони. От числата 3 и 5 минимумът е 3; следователно, рангът на матрицата $ A $ е най-много 3, т.е. $ \ ранг A≤ 3 $. И това неравенство е очевидно, тъй като вече няма да можем да формираме минорите от четвърти ред - те се нуждаят от 4 реда, а ние имаме само 3. Нека да преминем директно към процеса на намиране на ранга на дадена матрица.

Сред минорите от първи ред (тоест сред елементите на матрицата $ A $) има ненулеви. Например 5, -3, 2, 7. По принцип не ни интересува общият брой ненулеви елементи. Има поне един ненулев елемент - и това е достатъчно. Тъй като сред минорите от първи ред има поне един ненулев, заключаваме, че $ \ rang A≥ 1 $ и пристъпваме към проверка на минорите от втори ред.

Нека започнем да изследваме второстепенните непълнолетни. Например, в пресечната точка на редове # 1, # 2 и колони # 1, # 4 са елементите на такъв минор: $ \ left | \ begin (масив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (масив) \ вдясно | $. За този детерминант всички елементи на втората колона са равни на нула, следователно самият детерминант е равен на нула, т.е. $ \ left | \ начало (масив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ край (масив) \ вдясно | = 0 $ (виж свойство № 3 в темата за свойствата на детерминантите). Или можете просто да изчислите този детерминант, като използвате формула № 1 от раздела за изчисляване на детерминантите от втория и третия ред:

$$ \ ляво | \ начало (масив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ край (масив) \ дясно | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Първият минор от втория ред, който проверихме, се оказа нула. Какво означава това? За това, че е необходимо допълнително да се проверят непълнолетните от втори ред. Или всички се оказват нулеви (и тогава рангът ще бъде равен на 1), или сред тях има поне една малка ненулева. Нека се опитаме да направим по-добър избор, като запишем второстепенния минор, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове # 1, # 2 и колони # 1 и # 5: $ \ left | \ begin (масив) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ край (масив) \ вдясно | $. Нека намерим стойността на този минор от втори ред:

$$ \ ляво | \ начало (масив) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ край (масив) \ дясно | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Този минор не е нула. Заключение: сред второстепенните минорни има поне един различен от нула. Следователно $ \ rang A≥ 2 $. Необходимо е да се пристъпи към изследване на непълнолетните от трети ред.

Ако изберем колона #2 или колона #4, за да образуваме минорите от трети порядък, тогава такива минорни ще бъдат равни на нула (защото ще съдържат нулева колона). Остава да се провери само едно второстепенно лице от трети ред, чиито елементи са разположени на пресечната точка на колони No 1, No 3, No 5 и редове No 1, No 2, No 3. Нека запишем това второстепенно и да намерим значението му:

$$ \ вляво | \ начало (масив) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ край (масив) \ вдясно | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

И така, всички непълнолетни от трети ред са нула. Последният ненулев минор, който компилирахме, беше от втори ред. Заключение: максималният ред на непълнолетните, сред които има поне един различен от нула, е 2. Следователно, $ \ rang A = 2 $.

Отговор: $ \ rang A = 2 $.

Пример №2

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ begin (масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ край (масив) \ вдясно) $.

Имаме квадратна матрица от четвърти ред. Забележете веднага, че рангът на тази матрица не надвишава 4, т.е. $ \ rang A≤ 4 $. Нека започнем да намираме ранга на матрицата.

Сред минорите от първи ред (т.е. сред елементите на матрицата $ A $) има поне един различен от нула, следователно $ \ rang A≥ 1 $. Да преминем към проверката на второстепенните непълнолетни. Например, в пресечната точка на редове #2, #3 и колони #1 и #2, получаваме следния минор от втори ред: $ \ left | \ начало (масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ край (масив) \ вдясно | $. Нека го изчислим:

$$ \ останало | \ начало (масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ край (масив) \ вдясно | = 0-10 = -10. $$

Сред минорите от втори ред има поне един различен от нула, следователно $ \ rang A≥ 2 $.

Да преминем към непълнолетните от трети ред. Да намерим, например, непълнолетен, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове No 1, No 3, No 4 и колони No 1, No 2, No 4:

$$ \ останало | \ начало (масив) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ край (масив) \ вдясно | = 105-105 = 0. $$

Тъй като това второстепенно лице от трети порядък се оказа нула, е необходимо да се изследва друго второстепенно второстепенно ниво. Или всички се оказват равни на нула (тогава рангът ще бъде равен на 2), или сред тях има поне един, който не е равен на нула (тогава ще изследваме непълнолетните от четвърти ред). Помислете за минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 2, № 3, № 4 и колони № 2, № 3, № 4:

$$ \ останало | \ начало (масив) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ край (масив) \ вдясно | = -28. $$

Сред минорите от трети порядък има поне един различен от нула, следователно $ \ rang A≥ 3 $. Да преминем към проверката на второстепенните от четвърти ред.

Всеки минор от четвърти порядък се намира в пресечната точка на четири реда и четири колони от $ A $ матрицата. С други думи, минорът от четвърти ред е детерминантата на матрицата $ A $, тъй като тази матрица съдържа точно 4 реда и 4 колони. Детерминантата на тази матрица е изчислена в пример 2 от темата "Намаляване на реда на детерминанта. Разлагане на детерминанта в ред (колона)", така че просто вземете готовия резултат:

$$ \ останало | \ начало (масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (масив) \ вдясно | = 86. $$

И така, минорът от четвърти ред не е нула. Вече не можем да формираме непълнолетни от пети ред. Заключение: най-високият ред на непълнолетните, сред които има поне един различен от нула, е 4. Общо: $ \ rang A = 4 $.

Отговор: $ \ rang A = 4 $.

Пример №3

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ begin (масив) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ край (масив) \ дясно) $.

Забележете веднага, че тази матрица съдържа 3 реда и 4 колони, така че $ \ rang A≤ 3 $. В предишните примери започнахме процеса на класиране, като разгледахме минорите от най-малък (първи) ред. Тук ще се опитаме незабавно да проверим непълнолетните от най-високия възможен ред. За матрицата $ A $ такива минорни са от трети порядък. Помислете за минор от трети ред, чиито елементи лежат в пресечната точка на редове № 1, № 2, № 3 и колони № 2, № 3, № 4:

$$ \ останало | \ начало (масив) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ край (масив) \ вдясно | = -8-60-20 = -88. $$

И така, най-високият ред на непълнолетните, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно рангът на матрицата е 3, т.е. $ \ ранг A = 3 $.

Отговор: $ \ rang A = 3 $.

Като цяло, намирането на ранга на матрица по дефиниция е в общия случай доста трудоемка задача. Например, матрица с относително малък размер $ 5 \ по 4 $ има 60 второстепенни минорни числа. И дори ако 59 от тях са равни на нула, тогава 60-ият минор може да се окаже различен от нула. След това трябва да изследвате второстепенните от трети порядък, от които дадената матрица има 40 броя. Обикновено те се опитват да използват по-малко тромави методи, като метода на граничещи непълнолетни или метода на еквивалентни трансформации.

Рангът на матрицата е важна числена характеристика. Най-типичният проблем, изискващ намиране на ранга на матрица, е проверката на последователността на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем концепцията за ранга на матрица и ще разгледаме методите за намирането й. За по-добро усвояване на материала ще анализираме подробно решенията на няколко примера.

Навигация в страницата.

Определяне на ранга на матрица и необходимите допълнителни понятия.

Преди да се обяви дефиницията на ранга на матрица, трябва да се разбере добре понятието минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Затова препоръчваме, ако е необходимо, да си припомним теорията на статията, методите за намиране на детерминанта на матрицата, свойствата на детерминанта.

Вземете матрица А от порядък. Нека k е някакво естествено число, което не надвишава най-малкото от числата m и n, т.е. .

Определение.

Минор от k-ти редна матрицата A се нарича детерминанта на квадратната матрица на реда, съставена от елементите на матрицата A, които са в предварително избраните k редове и k колони, като подредбата на елементите на матрицата A се запазва .

С други думи, ако изтрием (p – k) редове и (n – k) колони в матрица A и съставим матрица от останалите елементи, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

Нека да разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.

Помислете за матрицата .

Нека напишем няколко минорни от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрицата A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред ... С други думи, за да получим този минор, зачеркнахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме определителя от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона от матрицата A, тогава получаваме второстепенно .

Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред
и .

По този начин минорите от първи ред на матрицата са самите елементи на матрицата.

Показваме няколко непълнолетни от втори ред. Изберете два реда и две колони. Например, нека вземем първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме непълнолетен от втори ред ... Този минор може да се формира и чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.

Друг минор от втори ред на матрицата A е.

Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни минорни
и .

Минорите от третия ред на матрицата A могат да бъдат намерени по подобен начин. Тъй като в матрица А има само три реда, ние избираме всички. Ако изберем първите три колони за тези редове, тогава получаваме минор от трети порядък

Може да се конструира и чрез изтриване на последната колона от матрицата A.

Друго второстепенно лице от трети ред е

получено чрез изтриване на третата колона от матрицата A.

Ето чертеж, показващ конструкцията на тези непълнолетни от трети ред.
и .

За дадена матрица A минорите от порядък по-висок от третия не съществуват, тъй като.

Колко минори от k-тия ред на матрицата A от порядък съществуват?

Броят на непълнолетните от порядък k може да се изчисли като, където и - броят на комбинациите от p до k и от n до k, съответно.

Как да построим всички минорни от порядък k на матрицата A от порядък p по n?

Нуждаем се от много номера на матрични редове и много номера на колони. Записваме всичко комбинации от p елементи от k(те ще съответстват на избраните редове от матрица A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове добавяме последователно всички комбинации от n елемента с k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и колони на матрица A ще помогнат за съставянето на всички минорни числа от ред k.

Да вземем пример.

Пример.

Намерете всички второстепенни минорни числа на матрицата.

Решение.

Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, тогава общите минорни числа от втория ред ще бъдат .

Нека запишем всички комбинации от 3 по 2 числа на редове на матрица A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от номера на колони 3 по 2 са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Вземете първия и втория ред на матрица А. Избирайки към тези редове първата и втората колона, първата и третата колона, втората и третата колона, получаваме съответно второстепенните

За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме

Остава да добавите първата и втората, първа и трета, втора и трета колона към втория и третия ред:

И така, всички девет второстепенни минорни числа на матрицата A са намерени.

Сега можете да преминете към определяне на ранга на матрицата.

Определение.

Матричен рангТова е най-високият ред на ненулев минор в матрица.

Рангът на матрицата A се означава като ранг (A). Можете също да намерите обозначенията Rg (A) или Rang (A).

От дефинициите на ранга на матрица и минор на матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е нула, а рангът на ненулева матрица е поне един.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция.

И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е метод на груба сила... Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.

Да предположим, че трябва да намерим ранга на матрица A от ред.

Нека опишем накратко алгоритъмрешаване на този проблем чрез изброяване на непълнолетните.

Ако има поне един елемент от матрицата, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне равен на единица (тъй като има минор от първи ред, който не е равен на нула).

След това преглеждаме второстепенните второстепенни. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от втори ред, тогава преминаваме към изброяването на минорите от трети ред и рангът на матрицата е поне два.

По същия начин, ако всички минорни от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е два. Ако има поне един минор от трети ред, различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне три и преминаваме през минорите от четвърти ред.

Имайте предвид, че рангът на матрицата не може да надвишава най-малкото от числата p и n.

Пример.

Намерете ранга на матрицата .

Решение.

Тъй като матрицата е различна от нула, нейният ранг е поне един.

Минор от втори ред е различен от нула, следователно рангът на матрицата A е поне два. Преминаваме към изброяването на непълнолетните от трети ред. Всички тях неща.

Всички непълнолетни от трети ред са нула. Следователно рангът на матрицата е два.

Отговор:

Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничните минорни.

Има и други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.

Един такъв метод е граничещ второстепенен метод.

Да се ​​справим с граничещ минор.

Казва се, че минорното M ok от (k + 1)-ия ред на матрицата A граничи с минорното M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на второстепенното M ok "съдържа" матрицата, съответстваща на непълнолетен М.

С други думи, матрицата, съответстваща на граничния минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничния минор M ok чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Например, помислете за матрицата и вземете непълнолетен от втори ред. Нека запишем всички граничещи непълнолетни:

Методът на граничещи минорите се обосновава със следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).

Теорема.

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрицата A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k + 1) на матрицата A са равни на нула.

По този начин, за да се намери ранга на матрица, не е необходимо да се итерират всички малки, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с k-тия минор от порядъка на матрицата A, се намира по формулата ... Забележете, че минорите, граничещи с минорите на k-тия ред на матрицата A, не са повече от минорите (k + 1)-ти порядък на матрицата A. Следователно, в повечето случаи използването на метода на граничните непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.

Нека преминем към намиране на ранга на матрицата по метода на граничните минорни. Нека опишем накратко алгоритъмтози метод.

Ако матрицата A е различна от нула, тогава като минор от първи ред приемаме всеки елемент от матрицата A, различен от нула. Помислете за неговите граничещи непълнолетни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула (нейният ред е два), тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минорни. Ако всички са нула, тогава ранг (A) = 2. Ако поне един граничещ минор е различен от нула (нейният ред е три), тогава ние считаме неговите граничещи минорни. И т.н. В резултат на това ранг (A) = k, ако всички граничещи минорери от (k + 1)-тия ред на матрицата A са равни на нула, или ранг (A) = min (p, n), ако има ненулев минор, граничещ с минор на ред (min ( p, n) - 1).

Нека анализираме метода на граничния минор за намиране на ранга на матрица с помощта на пример.

Пример.

Намерете ранга на матрицата по метода на граничене на непълнолетни.

Решение.

Тъй като елементът a 1 1 от матрицата A е различен от нула, ние го приемаме като минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев граничещ минор:

Намерен е граничещ минор от втори ред, различен от нула. Нека подредим неговите граничещи непълнолетни (техните неща):

Всички минори, граничещи с минор от втори ред, са равни на нула, следователно рангът на матрицата A е равен на две.

Отговор:

Ранг (A) = 2.

Пример.

Намерете ранга на матрицата използване на граничещи непълнолетни.

Решение.

Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A. Флангиращият минор от втори ред не е нула. Тази непълнолетна граничи с непълнолетна от трети ред.
... Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма нито един граничещ минор, рангът на матрицата A е равен на три.

Отговор:

Ранг (A) = 3.

Намиране на ранга с помощта на елементарни матрични трансформации (метод на Гаус).

Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица.

Следните матрични трансформации се наричат ​​елементарни:

• пермутация на редове (или колони) на матрицата;
• умножение на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, различно от нула;
• добавяне към елементите на произволен ред (колона) съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число k.

Матрица B се нарича еквивалентна на матрица Aако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", тоест написано A ~ B.

Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации на матрицата се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава ранг (A) = ранг (B).

Валидността на това твърдение следва от свойствата на детерминанта на матрицата:

• Когато редовете (или колоните) на матрицата са пренаредени, нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутация на редове (колони) остава равно на нула.
• Когато всички елементи на който и да е ред (колона) на матрицата се умножат по произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантът на оригиналната матрица е равен на нула, тогава след умножаване на всички елементи на всеки ред или колона по числото k, детерминантът на получената матрица също ще бъде равен на нула.
• Добавянето към елементите на някой ред (колона) от матрицата на съответните елементи от друг ред (колона) от матрицата, умножени по някакво число k, не променя нейната детерминанта.

Същността на метода на елементарните трансформациисе състои в намаляване на матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапец (в конкретен случай до горния триъгълник) с помощта на елементарни трансформации.

Защо се прави това? Рангът на матрици от този вид е много лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя по време на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.

Ето няколко илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Тяхната форма зависи от реда на матрицата.

Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.

Да опишем алгоритъм на метода.

Да предположим, че трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от порядък (p може да бъде равно на n).

Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрицата A по. В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я с A (1):

Към елементите на втория ред на получената матрица A (1) добавете съответните елементи от първия ред, умножени по. Към елементите на третия ред добавете съответните елементи от първия ред, умножени по. И така до p-тия ред. Получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я с A (2):

Ако всички елементи на получената матрица, разположени в редове от втория до p-тия, са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равно на едно.

Ако има поне един ненулев елемент в редове от втория до p-тия, тогава продължаваме да извършваме трансформациите. Освен това, ние действаме по абсолютно същия начин, но само с частта от матрицата А, отбелязана на фигурата (2)

Ако, тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрицата A (2), така че „новият“ елемент да стане различен от нула.

Числото r се нарича ранг на матрицата A, ако:
1) матрицата A съдържа минор от порядък r, различен от нула;
2) всички минорни от порядък (r + 1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият ненулев минорен ред.
Обозначения: rangA, r A или r.
От дефиницията следва, че r е цяло положително число. За нулева матрица рангът се счита за нула.

Цел на услугата... Онлайн калкулаторът е предназначен за намиране ранг на матрицата... В този случай решението се записва във формат Word и Excel. виж пример за решение.

Инструкция. Изберете измерението на матрицата, щракнете върху Напред.

Изберете размерността на матрицата 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всеки минор на матрица, различен от нула и имащ порядък r, се нарича основен, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат ​​основни редове и колони.
Според тази дефиниция матрицата А може да има няколко основни минор.

Рангът на матрицата за идентичност E е n (броят на редовете).

Пример 1. Дадени са две матрици, и техните непълнолетни , ... Кое от тях може да се приеме за базова линия?
Решение... Минорно M 1 = 0, така че не може да бъде основно за нито една от матриците. Минор M 2 = -9 ≠ 0 и има ред 2, така че може да се вземе като базисни матрици A или / и B, при условие че имат ранг, равен на 2. Тъй като detB = 0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB = 2 и M 2 могат да се вземат като основен минор на матрицата B. Рангът на матрицата A е 3, тъй като detA = -27 ≠ 0 и следователно, редът на основния минор на тази матрица трябва да бъде равен на 3, тоест M 2 не е основен за матрицата A. Забележете, че матрицата A има един основен минор, който е равен на детерминантата на матрицата A.

Теорема (за основния минор). Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони).
Следствия от теоремата.

1. Всички (r + 1) колони (редове) на матрица с ранг r са линейно зависими.
2. Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колони) са линейно независими.
3. Детерминантата на матрицата A е равна на нула, ако и само ако нейните редове (колони) са линейно зависими.
4. Ако към ред (колона) от матрицата добавим още един ред (колона), умножен по произволно число, различно от нула, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
5. Ако ред (колона) в матрицата е зачеркнат, което е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
6. Рангът на матрицата е равен на максималния брой на нейните линейно независими редове (колони).
7. Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.

Пример 2. Намерете ранга на матрица .
Решение. Въз основа на дефиницията на ранга на матрица ще търсим минор от най-висок порядък, различен от нула. Първо, трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и добавете към втория, след това го умножете по (-1) и добавете към третия.

Нека A е матрица с размер m \ по n и k е естествено число, което не надвишава m и n: k \ leqslant \ min \ (m; n \). Минор от k-ти редна матрицата A се нарича детерминантата на матрицата от k-ти порядък, образувана от елементите в пресечната точка на произволно избрани k редове и k колони на матрицата A. При обозначаване на второстепенни номерата на избраните редове ще бъдат обозначени с горни индекси, а избраните колони - с по-ниски, като се поставят във възходящ ред.

Пример 3.4.Напишете минорите от различни порядки на матрица

A = \ начало (pmatrix) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ end (pmatrix) \ !.

Решение.Матрицата А има размери 3 \ пъти4. Има: 12 непълнолетни от 1-ви ред, например непълнолетен M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; 18 непълнолетни от 2-ри ред, напр. M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ начало (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ край (vmatrix) = 2; 4 второстепенен 3-ти ред, напр.

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ начало (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ край (vmatrix) = 0

В матрица A с размер m \ по n се извиква минор от r-ти порядък основенако е различен от нула и всички (r + 1) -ro минорни порядки са нулеви или изобщо не съществуват.

По ранга на матрицатасе нарича ред на основния минор. В нулевата матрица няма основен минор. Следователно, рангът на нулевата матрица по дефиниция се приема за нула. Означава се рангът на матрицата A \ име на оператор (rg) A.

Пример 3.5.Намерете всички основни минорни и ранг на матрица

A = \ начало (pmatrix) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (pmatrix) \ !.

Решение.Всички минорни от трети порядък на тази матрица са равни на нула, тъй като тези детерминанти имат нула трети ред. Следователно само минорът от втори ред, разположен в първите два реда на матрицата, може да бъде основен. Преминавайки през 6 възможни непълнолетни, избираме ненулеви

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end ( vmatrix) \!, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12 )) = \ begin (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ end (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ begin (vmatrix) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ край (vmatrix) \ !.

Всеки от тези пет непълнолетни е основен. Следователно рангът на матрицата е 2.

Забележки 3.2

1. Ако в матрицата всички минори от k-ти ред са равни на нула, то и минорите от по-висок ред също са равни на нула. Действително, разширявайки минорния ред (k + 1) -ro по който и да е ред, получаваме сумата от произведенията на елементите от този ред по минорите на k-ия ред и те са равни на нула.

2. Рангът на матрица е равен на най-високия ред на ненулев минор на тази матрица.

3. Ако квадратната матрица е недегенерирана, тогава нейният ранг е равен на нейния ред. Ако квадратната матрица е изродена, тогава нейният ранг е по-малък от нейния ред.

4. Означенията се използват и за ранга \ име на оператор (Rg) A, ~ \ име на оператор (ранг) A, ~ \ име на оператор (ранг) A.

5. Ранг на блоковата матрицасе определя като ранг на обикновена (числова) матрица, т.е. без да обръща внимание на блоковата му структура. Освен това рангът на блоковата матрица е не по-малък от ранговете на нейните блокове: \ име на оператор (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ име на оператор (rg) Aи \ име на оператор (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ име на оператор (rg) Bтъй като всички минори на матрицата A (или B) също са минорни на блоковата матрица (A \ mid B).

Основни минорни и матрични рангови теореми

Разгледайте основните теореми, изразяващи свойствата на линейната зависимост и линейната независимост на колоните (редовете) на матрица.

Теорема 3.1 за основния минор.В произволна матрица A всяка колона (ред) е линейна комбинация от колони (редове), в които се намира основният минор.

Наистина, без да губим общността, приемаме, че в матрица A с размер m \ по n, основният минор се намира в първите r редове и първите r колони. Помислете за детерминанта

D = \ begin (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ end (vmatrix),

което се получава чрез присвояване на съответните елементи от s-тия ред и k-та колона към основния минор на матрицата A. Имайте предвид, че за всеки 1 \ leqslant s \ leqslant mи тази детерминанта е нула. Ако s \ leqslant r или k \ leqslant r, тогава детерминантата D съдържа два еднакви реда или две еднакви колони. Ако s> r и k> r, тогава детерминантата на D е равна на нула, тъй като е минор от (r + l) -ro реда. Разширявайки детерминантата по последния ред, получаваме

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

където D_ (r + 1 \, j) са алгебричните допълнения на елементите от последния ред. Обърнете внимание, че D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, тъй като това е базов минор. Ето защо

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), където \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

Записвайки последното равенство за s = 1,2, \ ldots, m, получаваме

\ begin (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ end (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ end (pmatrix) \ !.

тези. k -та колона (за всяка 1 \ leqslant k \ leqslant n) е линейна комбинация от колоните на основния минор, както се изисква.

Основната малка теорема служи за доказване на следните важни теореми.

Условието за равенство на нула на детерминанта

Теорема 3.2 (необходимо и достатъчно условие за изчезването на детерминантата).За да бъде детерминантът равен на нула, е необходимо и достатъчно една от колоните му (един от редовете му) да бъде линейна комбинация от останалите колони (редове).

Всъщност необходимостта следва от основната малка теорема. Ако детерминантата на квадратна матрица от n-ти ред е равна на нула, тогава нейният ранг е по-малък от n, т.е. поне една колона не е включена в основния минор. Тогава тази избрана колона, съгласно теорема 3.1, е линейна комбинация от колоните, в които се намира основният минор. Добавяйки, ако е необходимо, към тази комбинация други колони с нулеви коефициенти, получаваме, че избраната колона е линейна комбинация от останалите колони на матрицата. Достатъчността следва от свойствата на детерминантата. Ако например последната колона A_n на детерминанта \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n)изразено линейно по отношение на останалите

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

след това добавяне към A_n колона A_1, умножена по (- \ lambda_1), след това колона A_2, умножена по (- \ lambda_2) и т.н. колона A_ (n-1), умножена по (- \ lambda_ (n-1)), получаваме детерминанта \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o)с нулева колона, която е нула (свойство 2 на детерминанта).

Матрична рангова инвариантност при елементарни трансформации

Теорема 3.3 (за ранговата инвариантност при елементарни трансформации). Елементарните трансформации на колоните (редовете) на матрицата не променят нейния ранг.

Наистина, нека бъде. Да предположим, че в резултат на една елементарна трансформация на колоните на матрицата A, получихме матрицата A ". Ако е извършена трансформация от тип I (пермутация на две колони), тогава всяко минорно (r + l) -ro от редът на матрицата A" или е равен на съответния минор (r + l ) -ro от реда на матрицата A, или се различава от него по знак (свойство 3 на детерминантата). Ако е извършена трансформация от тип II (умножение на колона по число \ lambda \ ne0), тогава всяко минорно (r + l) -ro от порядъка на матрица A "е равно на съответния минор (r + l) - ro от порядъка на матрица A, или се различава от нея фактор \ lambda \ ne0 (свойство 6 на детерминанта) Ако е извършена трансформация от тип III (добавяне към една колона на друга колона, умножено по числото \ Lambda), тогава произволно минорът от (r + 1)-тия ред на матрицата A" или е равен на съответния минор (r + 1)-ти ред на матрицата A (свойство 9 на детерминанта), или е равен на сбора от две минорите от (r + l) -ro порядъка на матрицата A (свойство 8 на детерминанта). Следователно, при елементарна трансформация от всякакъв тип, всички минори от (r + l) -ro порядъка на матрицата A" са равни на нула, тъй като всички минорни от (r + l) -ro порядък на матрицата A са равни на нула. Тъй като трансформациите обратни на елементарните са елементарни, рангът на матрица при елементарни трансформации на колони не може и намалява, т.е. не се променя. По същия начин се доказва, че рангът на матрица не се променя под елементарни трансформации на редове.

Следствие 1. Ако един ред (колона) от матрицата е линейна комбинация от другите й редове (колони), тогава този ред (колона) може да бъде изтрит от матрицата, без да се променя нейният ранг.

Всъщност такъв низ може да се направи нула с помощта на елементарни трансформации и нулевият низ не може да бъде включен в основния минор.

Следствие 2. Ако матрицата се сведе до най-простата форма (1.7), тогава

\ име на оператор (rg) A = \ име на оператор (rg) \ Lambda = r \ ,.

Действително, матрицата от най-простата форма (1.7) има базов минор от r-ти ред.

Следствие 3. Всяка недегенерирана квадратна матрица е елементарна, с други думи, всяка неизродена квадратна матрица е еквивалентна на идентичната матрица от същия ред.

Всъщност, ако A е неизродена квадратна матрица от порядък n, тогава \ име на оператор (rg) A = n(виж т. 3 от забележки 3.2). Следователно, свеждайки матрицата A до най-простата форма (1.7) чрез елементарни трансформации, получаваме единичната матрица \ Lambda = E_n, тъй като \ име на оператор (rg) A = \ име на оператор (rg) \ Lambda = n(виж следствие 2). Следователно матрицата A е еквивалентна на идентичната матрица E_n и може да бъде получена от нея в резултат на краен брой елементарни трансформации. Това означава, че матрицата А е елементарна.

Теорема 3.4 (за ранга на матрица). Рангът на матрица е равен на максималния брой линейно независими редове на тази матрица.

Наистина, нека \ име на оператор (rg) A = r... Тогава матрицата A има r линейно независими реда. Това са линиите, в които се намира основният минор. Ако те бяха линейно зависими, тогава този минор би бил равен на нула по теорема 3.2, а рангът на матрицата A не би бил равен на r. Нека покажем, че r е максималният брой линейно независими редове, т.е. всички p редове са линейно зависими за p> r. Всъщност ние формираме матрица B от тези p редове. Тъй като матрица B е част от матрица A, тогава \ име на оператор (rg) B \ leqslant \ име на оператор (rg) A = r

Следователно, поне един ред от матрицата B не е включен в основния минор на тази матрица. Тогава по основната минорна теорема тя е равна на линейна комбинация от редовете, в които се намира основният минор. Следователно редовете на матрица B са линейно зависими. Така матрицата A съдържа най-много r линейно независими реда.

Следствие 1. Максималният брой линейно независими редове в матрица е равен на максималния брой линейно независими колони:

\ име на оператор (rg) A = \ име на оператор (rg) A ^ T.

Това твърдение следва от теорема 3.4, ако го приложим към редовете на транспонираната матрица и вземем предвид, че минорите не се променят по време на транспонирането (свойство 1 на детерминанта).

Следствие 2. При елементарни трансформации на редовете на матрица линейната зависимост (или линейна независимост) на всяка система от колони на тази матрица се запазва.

Наистина, нека изберем произволни k колони от дадена матрица A и да съставим матрица B от тях. Нека в резултат на елементарни трансформации на редовете на матрицата A е получена матрицата A и в резултат на същите трансформации на редовете на матрицата B е получена матрицата B. По теорема 3.3 \ име на оператор (rg) B "= \ име на оператор (rg) B... Следователно, ако колоните на матрицата B бяха линейно независими, т.е. k = \ име на оператор (rg) B(виж следствие 1), тогава колоните на матрицата B "също са линейно независими, тъй като k = \ име на оператор (rg) B "... Ако колоните на матрица B бяха линейно зависими (k> \ име на оператор (rg) B), тогава колоните на матрицата B " също са линейно зависими (k> \ име на оператор (rg) B ")... Следователно, за всякакви колони от матрицата A, линейната зависимост или линейната независимост се запазва при елементарни трансформации на редове.

Забележки 3.3

1. По силата на следствие 1 от теорема 3.4, свойството на колоните, посочено в следствие 2, е валидно и за всяка система от редове на матрица, ако елементарни трансформации се извършват само върху нейните колони.

2. Следствие 3 от теорема 3.3 може да бъде прецизирано, както следва: всяка недегенерирана квадратна матрица, използваща елементарни трансформации само на нейните редове (или само на нейните колони), може да бъде сведена до идентична матрица от същия ред.

Действително, използвайки само елементарни трансформации на редове, всяка матрица A може да бъде сведена до опростен вид \ Lambda (фиг. 1.5) (виж теорема 1.1). Тъй като матрицата A е неизродена (\ det (A) \ ne0), нейните колони са линейно независими. Следователно колоните на матрицата \ Lambda също са линейно независими (Следствие 2 от теорема 3.4). Следователно опростената форма \ Lambda на неизродена матрица A съвпада с нейната най-проста форма (фиг. 1.6) и е идентичната матрица \ Lambda = E (виж следствие 3 от теорема 3.3). По този начин, трансформирайки само редовете на недегенерирана матрица, тя може да бъде сведена до идентичната. Подобни разсъждения са валидни за елементарни трансформации на колоните на недегенерирана матрица.

Рангът на произведението и сумата от матриците

Теорема 3.5 (за ранга на произведение на матрици). Рангът на матричното произведение не надвишава ранга на факторите:

\ име на оператор (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ име на оператор (rg) A, \ име на оператор (rg) B \).

Наистина, нека матриците A и B имат размери m \ по p и p \ по n. Приписваме на матрица A матрицата C = AB \ двоеточие \, (A \ средата C)... Това се разбира от само себе си \ име на оператор (rg) C \ leqslant \ име на оператор (rg) (A \ mid C), тъй като C е част от матрицата (A \ mid C) (виж т. 5 от забележка 3.2). Имайте предвид, че всяка колона C_j, според операцията за умножение на матрицата, е линейна комбинация от колони A_1, A_2, \ ldots, A_pматрици A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

Такава колона може да бъде изтрита от матрицата (A \ mid C), без да се променя нейният ранг (Следствие 1 от теорема 3.3). Зачерквайки всички колони на матрицата C, получаваме: \ име на оператор (rg) (A \ mid C) = \ име на оператор (rg) A... следователно, \ име на оператор (rg) C \ leqslant \ име на оператор (rg) (A \ средно C) = \ име на оператор (rg) A... По същия начин може да се докаже, че условието \ име на оператор (rg) C \ leqslant \ име на оператор (rg) B, и направете заключение за валидността на теоремата.

Последствие. Ако Тогава A е неизродена квадратна матрица \ име на оператор (rg) (AB) = \ име на оператор (rg) Bи \ име на оператор (rg) (CA) = \ име на оператор (rg) C, т.е. рангът на матрицата не се променя, ако се умножи наляво или надясно по неизродена квадратна матрица.

Теорема 3.6 за ранга на сбора от матрици. Рангът на сбора от матрици не надвишава сумата от ранговете на термините:

\ име на оператор (rg) (A + B) \ leqslant \ име на оператор (rg) A + \ име на оператор (rg) B.

Всъщност ние съставяме матрицата (A + B \ средата A \ средата B)... Забележете, че всяка колона от матрицата A + B е линейна комбинация от колоните на матриците A и B. Ето защо \ име на оператор (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ име на оператор (rg) (A \ mid B)... Като се има предвид, че броят на линейно независимите колони в матрицата (A \ mid B) не надвишава \ име на оператор (rg) A + \ име на оператор (rg) B, а \ име на оператор (rg) (A + B) \ leqslant \ име на оператор (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(виж т. 5 от забележка 3.2), получаваме изискваното неравенство.

>> Матричен ранг

Матричен ранг

Определяне на ранга на матрица

Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица избираме произволно клинии и кколони, тогава елементите в пресечната точка на избраните редове и колони образуват квадратна матрица на k-ти порядък. Детерминантата на тази матрица се нарича k-ти ред второстепененматрица A. Очевидно матрицата A има минор от произволен порядък от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минори на матрица A има поне един минор, чийто ред ще бъде най-голям. Най-големият ненулев ред на минорите на дадена матрица се нарича рангматрици. Ако рангът на матрицата A е r, то това означава, че матрицата A има ненулев минор от порядъка r, но всеки минор от порядък, по-голям от r, е равно на нула. Рангът на матрицата A се означава с r (A). Очевидно е, че връзката

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минор

Рангът на матрицата се намира или по метода на граничещата на минорите, или по метода на елементарните трансформации. При изчисляване на ранга на матрица по първия начин трябва да се премине от минорите от по-нисък порядък към минорите от по-висок порядък. Ако вече е намерен минор D от k-тия ред на матрицата A, който е различен от нула, тогава са необходими само минорите от (k + 1) -тия ред, граничещи с минорното D, т.е. съдържащи го като минорен ключ. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е к.

Пример 1.Намерете ранга на матрица, като очертаете малките

.

Решение.Започваме с минорите от 1-ви ред, т.е. с елементите на матрицата A. Да изберем например минорния (елемент) М 1 = 1, разположен в първия ред и първата колона. Рамкирайки с втория ред и третата колона, получаваме второстепенно M 2 = различно от нула. Сега се обръщаме към непълнолетните от 3-ти порядък, граничещи с M 2. Има само две от тях (можете да добавите втора колона или четвърта). Ние ги изчисляваме: = 0. Така всички граничещи минори от трети ред се оказаха равни на нула. Рангът на матрицата А е два.

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации

Елементарносе наричат ​​следните матрични трансформации:

1) пермутация на всеки два реда (или колони),

2) умножаване на ред (или колона) по число, различно от нула,

3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножено по някакво число.

Двете матрици се извикват еквивалентенако едно от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.

Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но техните рангове са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, то се записва по следния начин: A~ Б.

Каноничнотоматрица е матрица, в която в началото на главния диагонал има няколко единици в ред (чият брой може да бъде равен на нула), а всички други елементи са равни на нула, например,

.

Чрез елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до каноничната. Рангът на каноничната матрица е равен на броя на единиците на главния й диагонал.

Пример 2Намерете ранга на матрица

А =

и го приведете до каноничната форма.

Решение.Извадете първия от втория ред и пренаредете тези редове:

.

Сега извадете първия от втория и третия ред, умножени съответно по 2 и 5:

;

извадете първия от третия ред; получаваме матрицата

B = ,

което е еквивалентно на матрица A, тъй като се получава от нея с помощта на краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрицата B е равен на 2 и следователно r (A) = 2. Матрица B може лесно да се сведе до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, преобразуваме в нула всички елементи от първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, нулираме всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:

.