Im binären System werden nur zwei Ziffern verwendet, 0 und 1. Mit anderen Worten, zwei ist die Basis des binären Zahlensystems. (Auch das Dezimalsystem hat die Basis 10.)

Um zu lernen, wie man Zahlen in einem binären Zahlensystem versteht, sollte man sich zunächst überlegen, wie Zahlen im gewohnten Dezimalsystem gebildet werden.

Im Dezimalsystem haben wir zehn Stellen (von 0 bis 9). Wenn die Zählung 9 erreicht, wird eine neue Ziffer (Zehner) eingegeben, die Einheiten werden auf Null zurückgesetzt und die Zählung beginnt von vorne. Nach 19 wird die Zehnerstelle um 1 erhöht und die Einerstelle auf Null zurückgesetzt. Usw. Wenn Zehner 9 erreichen, erscheint die dritte Kategorie - Hunderter.

Das binäre Zahlensystem ähnelt dem dezimalen, nur dass nur zwei Ziffern an der Bildung der Zahl beteiligt sind: 0 und 1. Sobald die Ziffer ihre Grenze (also Eins) erreicht, erscheint eine neue Ziffer, und die alte wird zurückgesetzt.

Versuchen wir, in einem Binärsystem zu zählen:
0 ist null
1 ist eins (und das ist die Entlastungsgrenze)
10 ist zwei
11 ist drei (und das ist wieder die Grenze)
100 ist vier
101 - fünf
110 - sechs
111 - sieben usw.

Konvertieren von Zahlen von binär in dezimal

Es ist nicht schwer zu bemerken, dass im Binärsystem die Länge der Zahlen mit steigenden Werten schnell anwächst. Wie kann man feststellen, was dies bedeutet: 10001001? Ungewohnt an diese Form des Zahlenschreibens kann das menschliche Gehirn normalerweise nicht verstehen, wie viel es ist. Es wäre schön, Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandeln zu können.

Im Dezimalsystem kann jede Zahl als Summe von Einer, Zehner, Hunderter usw. Zum Beispiel:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Schauen Sie sich diesen Eintrag genau an. Hier sind die Zahlen 1, 4, 7 und 6 eine Reihe von Zahlen, die die Zahl 1476 bilden. Alle diese Zahlen werden abwechselnd mit zehn multipliziert, die um den einen oder anderen Grad erhöht werden. Zehn ist die Basis des Dezimalzahlensystems. Der Grad, um den Zehn erhöht wird, ist die Ziffer der Ziffer minus Eins.

Jede Binärzahl kann auf ähnliche Weise erweitert werden. Nur die Basis hier wird 2 sein:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Jene. die Zahl 10001001 in der Basis 2 ist gleich 137 in der Basis 10. Es kann wie folgt geschrieben werden:

10001001 2 = 137 10

Warum ist das binäre Zahlensystem so verbreitet?

Der Punkt ist, dass das binäre Zahlensystem eine Computersprache ist. Jede Ziffer muss irgendwie auf einem physischen Medium dargestellt werden. Wenn dies ein Dezimalsystem ist, müssen Sie ein solches Gerät erstellen, das in zehn Zuständen sein kann. Das ist schwer. Es ist einfacher, ein physisches Element zu erstellen, das nur zwei Zustände aufweisen kann (z. B. Strom vorhanden oder kein Strom). Dies ist einer der Hauptgründe, warum dem binären Zahlensystem so viel Aufmerksamkeit geschenkt wird.

Dezimal-zu-Binär-Konvertierung

Möglicherweise müssen Sie Dezimal in Binär umwandeln. Eine Möglichkeit besteht darin, durch zwei zu dividieren und aus den Resten eine Binärzahl zu bilden. Zum Beispiel müssen Sie die binäre Notation aus der Zahl 77 abrufen.

Anmerkung 1

Wenn Sie eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln möchten, ist es bequemer, mit der Übersetzung in das Dezimalzahlensystem zu beginnen und erst dann von der Dezimalzahl in ein anderes Zahlensystem.

Regeln zum Umwandeln von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen

Beim Rechnen mit Maschinenarithmetik spielt die Umrechnung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes eine wichtige Rolle. Nachfolgend sind die Grundregeln für solche Transformationen (Übersetzungen) aufgeführt.

Bei der Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl ist es erforderlich, die Binärzahl in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 2 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1

Die Zahl $ 11110101_2 $ in Dezimalschreibweise umwandeln.

Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 1 $ Basisgrad $ 2 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $

Um eine Zahl aus dem oktalen Zahlensystem in eine dezimale Zahl umzuwandeln, müssen Sie sie als Polynom darstellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2

Die Zahl $ 75013_8 $ wird in Dezimalschreibweise umgewandelt.

Lösung. Mit der Tabelle von $ 2 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $

Um eine Zahl vom hexadezimalen Zahlensystem in dezimal umzuwandeln, muss sie als Polynom dargestellt werden, dessen Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 16 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3

Wandeln Sie die Zahl $ FFA2_ (16) $ in die Dezimalschreibweise um.

Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 3 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl als Polynom dar:

$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von dezimal in binär umzuwandeln, muss sie sequentiell durch $ 2 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich $ 1 $ übrig bleibt. Eine Zahl im Binärsystem wird als Folge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 4

Wandeln Sie die Zahl $ 22_ (10) $ in binäre Notation um.

Lösung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um eine Zahl von dezimal in oktal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 8 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 $ bleibt. Die Oktalzahl wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 5

Die Zahl $ 571_ (10) $ wird in oktale Notation umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von dezimal in hexadezimal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 16 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 $ bleibt. Die Zahl im Hexadezimalsystem wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 6

Die Zahl $ 7467_ (10) $ wird in die hexadezimale Schreibweise umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $

Um einen korrekten Bruch aus dem dezimalen Zahlensystem in einen nicht-dezimalen umzuwandeln, ist es notwendig, den Bruchteil der umzuwandelnden Zahl sequentiell mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in das es umgewandelt werden soll. Bruchteile im neuen System werden in Form von ganzen Werkteilen präsentiert, beginnend mit dem ersten.

Zum Beispiel: $ 0.3125 _ ((10)) $ in Oktal wird wie $ 0.24 _ ((8)) $ aussehen.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn ein unendlicher (periodischer) Bruch in einem nicht dezimalen Zahlensystem einem letzten Dezimalbruch entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Stellen des Bruchs im neuen System von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sollte auch beachtet werden, dass in jedem Zahlensystem ganze Zahlen ganz bleiben und reguläre Brüche Brüche bleiben.

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem binären Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in ein Oktalsystem umzuwandeln, muss sie in Dreiergruppen (Zifferntripel) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf nach Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7

Wandeln Sie die Zahl $ 1001011_2 $ in die oktale Notation um.

Lösung... Lassen Sie uns anhand von Tabelle 4 die Zahl von binär in oktal umwandeln:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in hexadezimal umzuwandeln, sollte sie in Tetraden (vier Ziffern) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf. Nullen zur oberen hinzufügen, dann jede Tetrade durch die entsprechende oktale Ziffer entsprechend ersetzen zu Tabelle 4.

1. Ordnungskonto in verschiedenen Zahlensystemen.

Im modernen Leben verwenden wir Positionszahlensysteme, dh Systeme, bei denen die durch eine Zahl bezeichnete Zahl von der Position der Zahl im Zahlendatensatz abhängt. Daher werden wir im Folgenden nur über sie sprechen und den Begriff "positional" weglassen.

Um zu lernen, wie man Zahlen von einem System in ein anderes überführt, wollen wir am Beispiel des Dezimalsystems verstehen, wie die sequentielle Aufzeichnung von Zahlen abläuft.

Da wir ein dezimales Zahlensystem haben, haben wir 10 Zeichen (Ziffern) um Zahlen zu konstruieren. Wir beginnen die Ordnungszahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Zahlen sind vorbei. Wir erhöhen die Ziffernkapazität der Zahl und setzen das niedrigstwertige Bit auf Null: 10. Dann erhöhen wir das niedrigstwertige Bit erneut, bis alle Ziffern aufgebraucht sind: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Erhöhen Sie das höchstwertige Bit um 1 und nullen Sie das niedrigstwertige: 20. Wenn wir alle Ziffern für beide Ziffern verwenden (wir erhalten die Zahl 99), erhöhen wir erneut die Ziffernkapazität der Zahl und setzen die vorhandenen Ziffern zurück: 100. Und so weiter.

Versuchen wir dasselbe im 2., 3. und 5. System (wir geben die Bezeichnung für das 2. System, für das 3. usw. ein):

0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Wenn das Zahlensystem eine Basis von mehr als 10 hat, müssen wir zusätzliche Zeichen eingeben, es ist üblich, Buchstaben des lateinischen Alphabets einzugeben. Für das 12er-System benötigen wir beispielsweise zusätzlich zu zehn Ziffern zwei Buchstaben (n):

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Umrechnung vom Dezimalzahlensystem in ein anderes.

Um eine ganzzahlige positive Dezimalzahl in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umzuwandeln, müssen Sie diese Zahl durch die Basis dividieren. Teilen Sie den resultierenden Quotienten erneut durch die Basis und weiter, bis der Quotient kleiner als die Basis ist. Schreiben Sie als Ergebnis den letzten Quotienten und alle Reste beginnend mit dem letzten in eine Zeile.

Beispiel 1. Konvertieren von dezimalen 46 in ein binäres Zahlensystem.

Beispiel 2. Konvertieren von Dezimal 672 in Oktalzahlensystem.

Beispiel 3. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 934 in die hexadezimale Notation.

3. Umrechnung von einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen.

Um zu lernen, wie man Zahlen aus einem anderen System in Dezimalzahlen umwandelt, analysieren wir die übliche Schreibweise einer Dezimalzahl.
Zum Beispiel ist die Dezimalzahl 325 5 Einheiten, 2 Zehner und 3 Hunderter, d.h.

In anderen Zahlensystemen ist die Situation genauso, nur werden wir nicht mit 10, 100 usw. multiplizieren, sondern mit dem Grad der Basis des Zahlensystems. Nehmen wir zum Beispiel die ternäre Zahl 1201. Nummerieren wir die Ziffern von rechts nach links, beginnend bei Null und stellen unsere Zahl als Summe der Produkte einer Ziffer durch eine Drei im Grad der Ziffer der Zahl dar:

Dies ist die dezimale Darstellung unserer Zahl, d.h.

Beispiel 4. Konvertieren der Oktalzahl 511 in die Dezimalschreibweise.

Beispiel 5. Wandeln wir die hexadezimale Zahl 1151 in das dezimale Zahlensystem um.

4. Umrechnung vom Binärsystem in das System mit der Basis "Zweierpotenz" (4, 8, 16 usw.).

Um eine binäre Zahl in eine Zahl mit der Basis "Zweierpotenz" umzuwandeln, ist es notwendig, die binäre Folge in Gruppen entsprechend der Anzahl der Ziffern gleich der Potenz von rechts nach links zu unterteilen und jede Gruppe durch die entsprechende Ziffer von . zu ersetzen das neue Zahlensystem.

Konvertieren Sie beispielsweise binär 1100001111010110 in oktal. Dazu teilen wir es in Gruppen von 3 Zeichen auf, beginnend von rechts (seit), und verwenden dann die Korrespondenztabelle und ersetzen jede Gruppe durch eine neue Ziffer:

Wir haben in Abschnitt 1 gelernt, wie man eine Korrespondenztabelle erstellt.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Jene.

Beispiel 6. Konvertieren Sie die binäre 1100001111010110 in eine hexadezimale Zahl.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	EIN
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Übertragung vom System mit der Basis "Zweierpotenz" (4, 8, 16 usw.) auf binär.

Diese Übersetzung ähnelt der vorherigen und wird in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt: Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Gruppe von Ziffern im Binärsystem aus der Nachschlagetabelle.

Beispiel 7.Übersetzen wir die Hexadezimalzahl С3A6 in ein binäres Zahlensystem.

Ersetzen Sie dazu jede Ziffer der Nummer durch eine Gruppe von 4 Ziffern (seit) aus der Korrespondenztabelle und fügen Sie gegebenenfalls die Gruppe mit Nullen am Anfang hinzu:

Wenn Sie Netzwerke unterschiedlicher Größe einrichten und jeden Tag mit Berechnungen konfrontiert sind, ist ein solcher Spickzettel nicht erforderlich, alles wird auf einen unbedingten Reflex durchgeführt. Aber wenn man sehr selten in den Netzwerken stöbert, erinnert man sich nicht immer daran, wie die Maske in dezimaler Form für das Präfix 21 ist, oder wie die Netzwerkadresse mit dem gleichen Präfix lautet. In diesem Zusammenhang habe ich beschlossen, mehrere kleine Artikel zu schreiben - Spickzettel zum Übersetzen von Zahlen in verschiedene Zahlensysteme, Netzwerkadressen, Masken usw. In diesem Teil werden wir über die Übersetzung von Zahlen in verschiedene Zahlensysteme sprechen.

1. Zahlensysteme

Wenn Sie etwas mit Computernetzwerken und IT zu tun haben, werden Sie auf dieses Konzept sowieso stoßen. Und als smarter IT-Typ muss man das zumindest ein bisschen verstehen, auch wenn man es in der Praxis sehr selten nutzen wird.
Betrachten wir die Übersetzung jeder Ziffer aus der IP-Adresse 98.251.16.138 in folgende Zahlensysteme:

• Binär
• Oktal
• Dezimal
• Hexadezimal

1.1 Dezimal

Da die Zahlen dezimal geschrieben sind, überspringen wir die Umrechnung von Dezimal nach Dezimal 🙂

1.1.1 Dezimal → Binär

Wie wir wissen, wird das binäre Zahlensystem in fast allen modernen Computern und vielen anderen Computergeräten verwendet. Das System ist sehr einfach - wir haben nur 0s und 1s.
Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, müssen Sie die Modulo-2-Division (dh die Ganzzahldivision durch 2) verwenden, wodurch wir im Rest immer entweder 1 oder 0 haben. In diesem Fall wird das Ergebnis geschrieben von rechts nach links. Ein Beispiel bringt alles an seinen Platz:

Abbildung 1.1 - Konvertieren von Zahlen vom Dezimal- in das Binärsystem

Abbildung 1.2 - Konvertieren von Zahlen vom Dezimal- in das Binärsystem

Ich beschreibe die Division von 98. Wir teilen 98 durch 2, als Ergebnis haben wir 49 und Rest 0. Dann setzen wir die Division fort und dividieren 49 durch 2, als Ergebnis haben wir 24 mit Rest 1. Und in der Auf die gleiche Weise erhalten wir 1 oder 0 in teilbar. Dann schreiben wir das Ergebnis von rechts nach links.

1.1.2 Dezimal → Oktal

Das Oktalsystem ist ein ganzzahliges Zahlensystem mit der Basis 8. Das heißt, alle Zahlen darin werden durch den Bereich 0 - 7 dargestellt, und um vom Dezimalsystem umzurechnen, müssen Sie die Division Modulo 8 verwenden.

Abbildung 1.3 - Konvertieren von Zahlen vom Dezimal- in das Oktalsystem

Die Aufteilung ist ähnlich dem 2-teiligen System.

1.1.3 Dezimal → Hexadezimal

Das Hexadezimalsystem hat das Oktalsystem fast vollständig verdrängt. Es hat eine Basis von 16, aber es werden Dezimalzahlen von 0 bis 9 + lateinische Buchstaben von A (Zahl 10) bis F (Zahl 15) verwendet. Sie stoßen jedes Mal darauf, wenn Sie die Einstellungen des Netzwerkadapters überprüfen - dies ist die MAC-Adresse. Gleiches bei Verwendung von IPv6.

Abbildung 1.4 - Konvertieren von Zahlen vom Dezimal- ins Hexadezimalsystem

1.2 Binär

Im vorherigen Beispiel haben wir alle Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme umgewandelt, von denen eines binär ist. Lassen Sie uns nun jede Zahl aus der Binärform übersetzen.

1.2.1 Binär → Dezimal

Um Zahlen von binär in dezimal umzuwandeln, müssen Sie zwei Nuancen kennen. Die erste ist, dass jede Null und jede Eins einen Faktor 2 hoch n hat, wobei n von rechts nach links um genau eins zunimmt. Die zweite - nach der Multiplikation müssen alle Zahlen addiert werden und wir erhalten die Zahl in Dezimalform. Insgesamt haben wir eine Formel wie diese:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Woher,
D ist die gesuchte Dezimalzahl;
n- die Anzahl der Zeichen in einer Binärzahl;
a - eine Zahl in binärer Form an der n-ten Stelle (d. h. das erste Zeichen, das zweite usw.);
p - Koeffizient gleich 2,8 oder 16 hoch n(je nach Zahlensystem)

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 110102. Wir schauen uns die Formel an und schreiben:

• Die Nummer besteht aus 5 Zeichen ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (da wir von binär in dezimal übersetzen)

Als Ergebnis haben wir:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Für diejenigen, die es gewohnt sind, von rechts nach links zu schreiben, sieht das Formular so aus:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Aber wie wir wissen, ändert sich die Summe nicht durch die Permutation der Terme. Lassen Sie uns nun unsere Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln.

Abbildung 1.5 - Konvertieren von Zahlen vom Binär- in das Dezimalsystem

1.2.2 Binär → Oktal

Beim Übersetzen müssen wir die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen von drei Zeichen aufteilen. Besteht die letzte Gruppe nicht aus drei Zeichen, dann ersetzen wir einfach die fehlenden Bits durch Nullen. Z.B:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Jede Gruppe von Bits ist eine der Oktalzahlen. Um herauszufinden, welche, müssen Sie die oben geschriebene Formel 1.2.1 für jede Bitgruppe verwenden. Als Ergebnis erhalten wir.

Abbildung 1.6 - Konvertieren von Zahlen vom Binär- in das Oktalsystem

1.2.3 Binär → Hexadezimal

Hier müssen wir die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen von vier Zeichen aufteilen, gefolgt von der Ergänzung der fehlenden Bits der Gruppe mit Nullen, wie oben beschrieben. Wenn die letzte Gruppe aus Nullen besteht, sollten diese ignoriert werden.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Jede Gruppe von Bits ist eine der hexadezimalen Zahlen. Wir verwenden Formel 1.2.1 für jede Gruppe von Bits.

Abbildung 1.7 - Konvertieren von Zahlen vom Binär- ins Hexadezimalsystem

1.3 Oktal

In diesem System können wir nur bei der Übersetzung in das Hexadezimalsystem Schwierigkeiten haben, da der Rest der Übersetzung reibungslos verläuft.

1.3.1 Oktal → Binär

Jede oktale Zahl ist eine Gruppe von drei Bits in binärer Form, wie oben beschrieben. Für die Übersetzung müssen wir den Spickzettel verwenden:

Abbildung 1.8 - Spur zum Übersetzen von Zahlen aus dem Oktalsystem

Mit dieser Platte werden wir unsere Zahlen in das Binärsystem übersetzen.

Abbildung 1.9 - Konvertieren von Zahlen vom Oktal- in das Binärsystem

Ich werde die Ausgabe ein wenig beschreiben. Die erste Zahl, die wir haben, ist 142, was bedeutet, dass es drei Gruppen mit jeweils drei Bits gibt. Wir benutzen den Sporn und sehen, dass die Zahl 1 001 ist, die Zahl 4 ist 100 und die Zahl 2 ist 010. Als Ergebnis haben wir die Zahl 001100010.

1.3.2 Oktal → Dezimal

Hier verwenden wir Formel 1.2.1 nur mit Faktor 8 (also p = 8). Als Ergebnis haben wir

Abbildung 1.10 - Konvertieren von Zahlen vom Oktal- ins Dezimalsystem

• Die Nummer besteht aus 3 Zeichen ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (da wir von Oktal in Dezimal übersetzen)

Als Ergebnis haben wir:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Oktal → Hexadezimal

Wie bereits erwähnt, müssen wir für die Übersetzung die Zahlen zuerst in das Binärsystem umwandeln, dann von Binär in Hexadezimal und sie in Gruppen von 4 Bits unterteilen. Der folgende Sporn kann verwendet werden.

Abbildung 1.11 - Spur zum Übersetzen von Zahlen aus dem Hexadezimalsystem

Dieses Label hilft Ihnen beim Konvertieren vom binären in das hexadezimale System. Lassen Sie uns nun unsere Zahlen übersetzen.

Abbildung 1.12 - Konvertieren von Zahlen vom Oktal- ins Hexadezimalsystem

1.4 Hexadezimal

Dieses System hat das gleiche Problem, wenn es in Oktal übersetzt wird. Aber dazu später mehr.

1.4.1 Hexadezimal → Binär

Jede Hexadezimalzahl ist eine Gruppe von vier Bits im Binärformat, wie oben beschrieben. Zur Übersetzung können wir den Spickzettel verwenden, der sich oben befindet. Ergebend:

Abbildung 1.13 - Konvertieren von Zahlen vom Hexadezimal- in das Binärsystem

Nehmen wir die erste Zahl - 62. Anhand der Platte (Abb. 1.11) sehen wir, dass 6 0110 ist, 2 0010, als Ergebnis haben wir die Nummer 01100010.

1.4.2 Hexadezimal → Dezimal

Hier verwenden wir Formel 1.2.1 nur mit dem Faktor 16 (also p = 16). Als Ergebnis haben wir

Abbildung 1.14 - Konvertieren von Zahlen vom Hexadezimal- in das Dezimalsystem

Nehmen wir die erste Zahl. Basierend auf Formel 1.2.1:

• Die Nummer besteht aus 2 Zeichen ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (da wir von hexadezimal in dezimal konvertieren)

Als Ergebnis haben wir.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hexadezimal → Oktal

Um in das Oktalsystem zu übersetzen, müssen Sie zuerst ins Binärsystem übersetzen, dann in Gruppen von 3 Bits aufteilen und die Platte verwenden (Abb. 1.8). Ergebend:

Abbildung 1.15 - Konvertieren von Zahlen vom Hexadezimal- in das Oktalsystem

Wir werden über IP-Adressen, Masken und Netzwerke sprechen.

Beim Studium der Informatik stoßen wir auf ein binäres Zahlensystem. Schließlich werden auf der Grundlage dieses Systems der Prozessor und einige Arten der Verschlüsselung gebaut. Es gibt spezielle Algorithmen, um eine Dezimalzahl binär zu schreiben und umgekehrt. Wenn Sie das Prinzip des Aufbaus eines Systems kennen, ist es einfach, darin zu arbeiten.

Das Prinzip der Konstruktion eines Systems aus Nullen und Einsen

Das binäre Zahlensystem besteht aus zwei Ziffern: Null und Eins. Warum genau diese Zahlen? Dies ist auf das Prinzip der Konstruktion von Signalen zurückzuführen, die beim Betrieb des Prozessors verwendet werden. Auf der untersten Ebene nimmt das Signal nur zwei Werte an: "false" und "true". Daher wurde akzeptiert, dass das Fehlen eines Signals „falsch“ mit Null und sein Vorhandensein „wahr“ mit Eins bezeichnet wird. Diese Kombination ist technisch einfach zu realisieren. Binärzahlen werden wie Dezimalzahlen gebildet. Wenn die Entladung ihre obere Grenze erreicht, wird sie auf Null zurückgesetzt und eine neue Entladung hinzugefügt. Nach diesem Prinzip erfolgt der Übergang durch die Zehn im Dezimalsystem. Zahlen bestehen also aus Kombinationen von Nullen und Einsen, und diese Kombination wird "Binärzahlensystem" genannt.

Nummer im System aufnehmen
In Dezimalzahl	In binär	In Dezimalzahl	In binär

Wie kann eine Binärzahl als Dezimalzahl geschrieben werden?

Es gibt Online-Dienste, die eine Zahl in ein Binärsystem umwandeln und umgekehrt, aber es ist besser, dies selbst zu tun. Das binäre System in der Übersetzung wird mit dem Index 2 bezeichnet, zum Beispiel 101 2. Jede Zahl in jedem System kann als Summe von Zahlen dargestellt werden, zum Beispiel: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - im Dezimalsystem. Die Zahl wird auch binär dargestellt. Nehmen wir eine beliebige Zahl 101 und betrachten sie. Sie hat 3 Stellen, also zerlegen wir die Zahl der Reihe nach: 101 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 4 + 1 = 5 10, wobei der Index 10 das Dezimalsystem bezeichnet.

Wie schreibe ich eine Primzahl binär?

Es ist sehr einfach, in das Binärsystem zu übersetzen, indem man eine Zahl durch zwei teilt. Es ist notwendig, so lange zu teilen, wie es möglich ist, es vollständig durchzuführen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 871. Wir beginnen zu dividieren, notieren Sie den Rest:

871: 2 = 435 (Rest 1)

435: 2 = 217 (Rest 1)

217: 2 = 108 (Rest 1)

Die Antwort wird entsprechend den empfangenen Residuen in Richtung vom Ende zum Anfang aufgezeichnet: 871 10 = 101100111 2. Sie können die Richtigkeit der Berechnungen mit der zuvor beschriebenen Rückübersetzung überprüfen.

Warum müssen Sie die Übersetzungsregeln kennen?

Das binäre Zahlensystem wird in den meisten Disziplinen der Mikroprozessorelektronik, Codierung, Übertragung und Verschlüsselung von Daten in verschiedenen Bereichen der Programmierung verwendet. Die Kenntnis der Grundlagen der Übersetzung von einem beliebigen System in eine Binärdatei wird dem Programmierer helfen, verschiedene Mikroschaltungen zu entwickeln und den Betrieb des Prozessors und anderer ähnlicher Systeme programmgesteuert zu steuern. Das binäre Zahlensystem ist auch für die Implementierung von Verfahren zur Übertragung von Datenpaketen über verschlüsselte Kanäle und zur Erstellung von darauf basierenden Softwareprojekten vom Typ "Client-Server" erforderlich. Im Studiengang Schulinformatik sind die Grundlagen der Übersetzung in ein Binärsystem und umgekehrt der Grundstoff, um zukünftig Programmieren zu lernen und einfachste Programme zu erstellen.