Binärer Prozess. Konvertieren von Zahlen in binäre, hexadezimale, dezimale, oktale Zahlensysteme

Anmerkung 1

Wenn Sie eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes übersetzen möchten, ist es bequemer, sie zuerst in das Dezimalzahlensystem und erst dann von der Dezimalzahl in ein anderes Zahlensystem zu übersetzen.

Regeln zum Umwandeln von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen

Beim Rechnen mit Maschinenarithmetik spielt die Umrechnung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes eine wichtige Rolle. Nachfolgend sind die Grundregeln für solche Transformationen (Übersetzungen) aufgeführt.

Bei der Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl ist es erforderlich, die Binärzahl in Form eines Polynoms darzustellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 2 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $

Abbildung 1. Tabelle 1

Beispiel 1

Die Zahl $ 11110101_2 $ in Dezimalschreibweise umwandeln.

Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 1 $ Basisgrad $ 2 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $

Um eine Zahl aus dem oktalen Zahlensystem in eine dezimale Zahl umzuwandeln, müssen Sie sie als Polynom darstellen, von dem jedes Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl dargestellt wird, in diesem Fall $ 8 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $

Abbildung 2. Tabelle 2

Beispiel 2

Die Zahl $ 75013_8 $ wird in Dezimalschreibweise umgewandelt.

Lösung. Mit der Tabelle von $ 2 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl in Form eines Polynoms dar:

$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $

Um eine Zahl vom hexadezimalen Zahlensystem in dezimal umzuwandeln, muss sie als Polynom dargestellt werden, dessen Element als Produkt der Ziffer der Zahl und der entsprechenden Potenz der Basiszahl, in diesem Fall $ ., dargestellt wird 16 $, und dann müssen Sie das Polynom nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnen:

$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $

Abbildung 3. Tabelle 3

Beispiel 3

Wandeln Sie die Zahl $ FFA2_ (16) $ in die Dezimalschreibweise um.

Lösung. Mit der obigen Tabelle von $ 3 $ Basisgrad $ 8 $ stellen wir die Zahl als Polynom dar:

$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von dezimal in binär umzuwandeln, muss sie sequentiell durch $ 2 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich $ 1 $ übrig bleibt. Eine Zahl im Binärsystem wird als Folge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 4

Wandeln Sie die Zahl $ 22_ (10) $ in binäre Notation um.

Lösung:

Figur 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Um eine Zahl von dezimal in oktal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 8 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 $ bleibt. Die Oktalzahl wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 5

Die Zahl $ 571_ (10) $ wird in oktale Notation umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Um eine Zahl von dezimal in hexadezimal umzuwandeln, muss sie sequentiell durch 16 $ geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 $ bleibt. Die Zahl im Hexadezimalsystem wird als Ziffernfolge des letzten Divisionsergebnisses und des Rests der Division in umgekehrter Reihenfolge dargestellt.

Beispiel 6

Die Zahl $ 7467_ (10) $ wird in die hexadezimale Schreibweise umgewandelt.

Lösung:

Abbildung 6.

$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $

Um einen korrekten Bruch aus dem dezimalen Zahlensystem in einen nicht-dezimalen umzuwandeln, ist es notwendig, den Bruchteil der umzuwandelnden Zahl sequentiell mit der Basis des Systems zu multiplizieren, in das es umgewandelt werden soll. Bruchteile im neuen System werden in Form von ganzen Werkteilen präsentiert, beginnend mit dem ersten.

Zum Beispiel: $ 0.3125 _ ((10)) $ in Oktal wird wie $ 0.24 _ ((8)) $ aussehen.

In diesem Fall können Sie auf ein Problem stoßen, wenn ein unendlicher (periodischer) Bruch in einem nicht dezimalen Zahlensystem einem letzten Dezimalbruch entsprechen kann. In diesem Fall hängt die Anzahl der Stellen des Bruchs im neuen System von der erforderlichen Genauigkeit ab. Es sollte auch beachtet werden, dass in jedem Zahlensystem ganze Zahlen ganz bleiben und reguläre Brüche Brüche bleiben.

Regeln zum Umwandeln von Zahlen von einem binären Zahlensystem in ein anderes

• Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in ein Oktalsystem umzuwandeln, muss sie in Dreiergruppen (Zifferntripel) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf nach Tabelle 4.

Abbildung 7. Tabelle 4

Beispiel 7

Wandeln Sie die Zahl $ 1001011_2 $ in die oktale Notation um.

Lösung... Lassen Sie uns anhand von Tabelle 4 die Zahl von binär in oktal umwandeln:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in hexadezimal umzuwandeln, sollte sie in Tetraden (vierstellig) unterteilt werden, beginnend mit dem niederwertigsten Bit, ggf. Nullen zur älteren Tetrade hinzufügen, dann jede Tetrade durch die entsprechende oktale Ziffer ersetzen zu Tabelle 4.

Unterrichtsziele:

• wiederholen Sie das Material, das Sie auf dem Zahlensystem studiert haben;
• lernen, eine Zahl aus dem Dezimalsystem in ein anderes Positionszahlensystem umzuwandeln und umgekehrt;
• die Prinzipien der Übertragung von Zahlen von einem System in ein anderes beherrschen;
• logisches Denken entwickeln.

Während des Unterrichts

Zu Beginn des Unterrichts eine kurze Besprechung und Kontrolle der Hausaufgaben.

In welcher Form werden die numerischen Informationen im Computerspeicher dargestellt?

Wofür werden Zahlensysteme verwendet?

Welche Zahlensysteme kennen Sie? Nennen Sie Ihre Beispiele.

Wie unterscheiden sich Positionssysteme von Nichtpositionssystemen?

Der Zweck unserer Lektion besteht darin, zu lernen, wie man eine Zahl aus dem Dezimalsystem in ein beliebiges anderes Positionszahlensystem umwandelt und umgekehrt. Aber zuerst schauen wir uns an, wie Sie das können

stellen eine beliebige nicht negative ganze Zahl dar:

In Positionssystemen wird der Wert der Aufzeichnung einer ganzen Zahl nach der folgenden Regel bestimmt: sei a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - Aufzeichnung der Zahl A und i - Ziffern, dann

wobei p eine ganze Zahl größer als 1 ist, die als Radix bezeichnet wird

Damit jede nicht negative ganze Zahl gemäß Formel (1) und darüber hinaus auf einzigartige Weise für ein gegebenes p geschrieben werden kann, müssen die numerischen Werte verschiedener Ziffern verschiedene ganze Zahlen sein, die zum Intervall von 0 bis p-1 gehören .

1) Dezimalsystem

Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Zahl 5735 = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0

2) Ternäres System

Ziffern: 0,1,2

Zahl 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0

Hinweis: Der tiefgestellte Index in der Zahlenschreibweise bezeichnet die Basis des Zahlensystems, in dem die Zahl geschrieben wird. Beim dezimalen Zahlensystem kann der Index weggelassen werden.

Darstellung von negativen und gebrochenen Zahlen:

In allen Positionssystemen wird das Vorzeichen '-' verwendet, um negative Zahlen sowie im Dezimalsystem zu schreiben. Ein Komma wird verwendet, um die ganze Zahl vom Bruchteil zu trennen. Der Wert des Datensatzes ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am der Zahl A wird durch die Formel bestimmt, die ist eine Verallgemeinerung der Formel (1):

75,6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1

–2.314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)

Umwandeln von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in Dezimalzahlen:

Es versteht sich, dass sich bei der Übersetzung einer Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes der quantitative Wert der Zahl nicht ändert, sondern sich nur die Schreibweise der Zahl ändert, genau wie bei der Übersetzung des Namens einer Zahl, z. vom Russischen ins Englische.

Die Umwandlung von Zahlen aus einem willkürlichen Zahlensystem in ein Dezimalsystem erfolgt durch direkte Berechnung unter Verwendung von Formel (1) für ganze Zahlen und Formel (2) für Bruchzahlen.

Konvertieren von Zahlen von dezimal in willkürlich.

Konvertieren Sie eine Zahl vom Dezimalsystem in das System zur Basis p, finden Sie die Koeffizienten in Formel (2). Manchmal ist dies mit einer einfachen Auswahl leicht zu bewerkstelligen. Angenommen, Sie möchten die Zahl 23,5 in das Oktalsystem umwandeln. Es ist leicht zu erkennen, dass 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 –1 = 27,48. Es ist klar, dass die Antwort nicht immer so offensichtlich ist. Im allgemeinen Fall wird das Verfahren der getrennten Übersetzung der ganzzahligen und gebrochenen Teile einer Zahl verwendet.

Um ganze Zahlen zu übersetzen, wird der folgende Algorithmus verwendet (erhalten auf der Grundlage von Formel (1)):

1. Ermitteln Sie den Quotienten und den Rest, nachdem Sie die Zahl durch p geteilt haben. Der Rest ist die nächste Ziffer ai (j = 0,1,2 ...), die die Zahl im neuen Zahlensystem aufzeichnet.

2. Wenn der Quotient null ist, ist die Übersetzung der Zahl abgeschlossen, andernfalls wenden wir Klausel 1 auf den Quotienten an.

Hinweis 1. Die Ziffern ai im Zahlendatensatz sind von rechts nach links nummeriert.

Hinweis 2. Wenn p> 10, müssen Bezeichnungen für Zahlen mit Zahlenwerten größer oder gleich 10 eingegeben werden.

Konvertieren Sie die Zahl 165 in das siebenfache Zahlensystem.

165: 7 = 23 (Rest 4) => a 0 = 4

23: 7 = 3 (Rest 2) => a 1 = 2

3: 7 = 0 (Rest 3) => a 2 = 3

Schreiben wir das Ergebnis auf: a 2 a 1 a 0, d.h. 3247.

Nach Überprüfung der Formel (1) stellen wir sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.

Um Bruchteile von Zahlen zu übersetzen, wird ein Algorithmus verwendet, der auf der Grundlage der Formel (2) erhalten wird:

1. Multiplizieren Sie den Bruchteil der Zahl mit p.

2. Der ganzzahlige Teil des Ergebnisses ist die nächste Ziffer am (m = –1, –2, –3…), die die Zahl im neuen Zahlensystem aufzeichnet. Wenn der Bruchteil des Ergebnisses gleich Null ist, ist die Übersetzung der Zahl abgeschlossen, ansonsten wenden wir Punkt 1 darauf an.

Hinweis 1. Die Ziffern a m im Zahlendatensatz sind von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge des Absolutwerts von m angeordnet.

Hinweis 2. Normalerweise ist die Anzahl der Nachkommastellen im neuen Nummernsatz im Voraus begrenzt. Auf diese Weise können Sie eine ungefähre Übersetzung mit einer bestimmten Genauigkeit durchführen. Bei unendlichen Brüchen sichert diese Einschränkung die Endlichkeit des Algorithmus.

Konvertieren Sie die Binärzahl 0,625.

0,625 2 = 1,25 (ganzer Teil 1) => a -1 = 1

0,25 2 = 0,5 (ganzzahliger Teil 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (ganzer Teil 1) => a- 3 = 1

Also 0,62510 = 0,1012

Nach Überprüfung der Formel (2) stellen wir sicher, dass die Übersetzung korrekt ist:

0,1012 = 1 2 -1 + 0 2- 2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.

Wandeln Sie die Zahl 0,165 in das quaternäre Zahlensystem um, das auf vier quaternäre Ziffern beschränkt ist.

0,165 4 = 0,66 (ganzzahliger Teil 0) => a -1 = 0

0,66 4 = 2,64 (ganzzahliger Teil von 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (ganzer Teil 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (ganzzahliger Teil von 2) => a -4 = 2

Also, 0.16510 "0.02224

Lassen Sie uns eine Rückübersetzung durchführen, um sicherzustellen, dass der absolute Fehler 4–4 nicht überschreitet:

0,02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1 / 128 = 21/128 = 0.1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Konvertieren von Zahlen von einem beliebigen System in ein anderes

In diesem Fall müssen Sie die Zahl zuerst in das Dezimalsystem umwandeln und dann vom Dezimalsystem in das erforderliche System.

Eine spezielle Methode wird verwendet, um Zahlen für Systeme mit mehreren Basen zu übersetzen.

Seien p und q die Basen zweier Zahlensysteme. Wir nennen diese Zahlensysteme mit mehreren Basen, wenn p = qn oder q = pn, wobei n eine natürliche Zahl ist. Zahlensysteme mit den Basen 2 und 8 sind zum Beispiel Zahlensysteme mit mehreren Basen.

Sei p = qn und es ist erforderlich, eine Zahl aus dem Zahlensystem mit der Basis q in das Zahlensystem mit der Basis p zu übertragen. Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahlenaufzeichnung in Gruppen von n aufeinander folgenden Ziffern links und rechts vom Komma auf. Wenn die Anzahl der Stellen bei der Aufzeichnung des ganzzahligen Teils der Zahl kein Vielfaches von n ist, muss die entsprechende Anzahl von Nullen nach links hinzugefügt werden. Wenn die Anzahl der Stellen im Datensatz des Bruchteils einer Zahl kein Vielfaches von n ist, werden Nullen rechts angehängt. Jede dieser Zifferngruppen einer Nummer im alten Nummernsystem entspricht einer Ziffer einer Nummer im neuen Nummernsystem.

Umrechnung von 1100001.111 2 in das 4-fache Zahlensystem.

Nach dem Hinzufügen von Nullen und der Auswahl von Zahlenpaaren erhalten wir 01100001.11102.

Lassen Sie uns nun jedes Zahlenpaar separat übersetzen, indem wir den Punkt Zahlen von einem beliebigen System in ein anderes umwandeln verwenden.

Also 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

Angenommen nun soll ein Transfer von einem System mit großer Radix q auf ein System mit kleinerer Radix p durchgeführt werden, d.h. q = pn. Dabei entspricht eine Ziffer der Nummer im alten Nummernsystem n Ziffern der Nummer im neuen Nummernsystem.

Beispiel: Lassen Sie uns die vorherige Übersetzung einer Zahl überprüfen.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

Im Hexadezimalsystem gibt es Zahlen mit den Zahlenwerten 10,11,12,13,14,15. Um sie zu bezeichnen, verwenden Sie die ersten sechs Buchstaben des lateinischen Alphabets A, B, C, D, E, F.

Hier ist eine Tabelle mit Zahlen von 0 bis 16, geschrieben in Basis 10, 2, 8 und 16.

Dezimalzahl	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
In Oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
In binär	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EIN	B	C	D	E	F	10

Um hexadezimale Ziffern zu schreiben, können Sie auch die lateinischen Kleinbuchstaben a-f verwenden.

Beispiel: Wandeln wir die Zahl 110101001010101010100.11 2 in ein hexadezimales Zahlensystem um.

Verwenden wir die Multiplizität der Basen der Zahlensysteme (16 = 2 4). Lassen Sie uns die Zahlen durch vier gruppieren und die erforderliche Anzahl von Nullen links und rechts hinzufügen

000110101001010101010100,1100 2

und mit Bezug auf die Tabelle erhalten wir: 1A9554, C 16

Ausgabe:

Welches Zahlensystem besser zum Schreiben von Zahlen ist, ist eine Frage der Bequemlichkeit und der Tradition. Aus technischer Sicht ist es praktisch, ein Binärsystem in einem Computer zu verwenden, da es nur zwei Ziffern 0 und 1 verwendet, um eine Zahl aufzuzeichnen, die durch zwei leicht unterscheidbare Zustände „kein Signal“ und „es gibt“ dargestellt werden kann ein Signal".

Andererseits ist es für eine Person unbequem, mit binären Notationen von Zahlen umzugehen, da sie länger als Dezimalzahlen sind und viele sich wiederholende Ziffern enthalten. Wenn Sie mit maschinellen Zahlendarstellungen arbeiten müssen, verwenden Sie daher das oktale oder hexadezimale Zahlensystem. Die Basen dieser Systeme sind ganzzahlige Zweierpotenzen, und daher können Zahlen leicht von diesen Systemen in binäre Zahlen und umgekehrt übersetzt werden.

Wir schreiben die Aufgabe zu Hause auf:

a) Tragen Sie das Geburtsdatum aller Familienmitglieder in verschiedene Zahlensysteme ein.

b) Wandeln Sie die Zahlen von binär in oktal und hexadezimal um und überprüfen Sie dann die Ergebnisse, indem Sie die umgekehrten Übersetzungen durchführen:

a) 1001111110111.011 2;

Mit dem Rechner können Sie ganze und gebrochene Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umrechnen. Die Basis des Zahlensystems darf nicht kleiner als 2 und nicht größer als 36 sein (immerhin 10 Ziffern und 26 lateinische Buchstaben). Zahlen können bis zu 30 Zeichen lang sein. Verwenden Sie das Symbol, um Bruchzahlen einzugeben. oder, . Um eine Zahl von einem System in ein anderes umzuwandeln, geben Sie im ersten Feld die ursprüngliche Zahl, im zweiten die Basis des ursprünglichen Zahlensystems und im dritten Feld die Basis des Zahlensystems ein, in das Sie die Zahl übersetzen möchten, und Klicken Sie dann auf die Schaltfläche "Aufnahme abrufen".

Originalnummer erfasst in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tes Zahlensystem.

Ich möchte eine Aufzeichnung der Nummer in . bekommen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tes Zahlensystem.

Datensatz abrufen

Abgeschlossene Übersetzungen: 1363703

Zahlensysteme

Zahlensysteme werden in zwei Typen unterteilt: positionell und nicht positionell... Wir verwenden das arabische System, es ist positionell, und es gibt auch das römische – es ist nur nicht positionell. In Positionssystemen bestimmt die Position einer Ziffer in einer Zahl eindeutig den Wert dieser Zahl. Dies ist am Beispiel einer Zahl leicht zu verstehen.

Beispiel 1... Nehmen wir die Zahl 5921 in Dezimalschreibweise. Nummerieren wir die Zahl von rechts nach links, beginnend bei Null:

Die Zahl 5921 kann in folgender Form geschrieben werden: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Die Zahl 10 ist ein Merkmal, das das Zahlensystem bestimmt. Die Werte der Position der angegebenen Zahl werden als Grad angenommen.

Beispiel 2... Betrachten Sie die reelle Dezimalzahl 1234.567. Nummerieren wir es beginnend bei der Nullposition der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und rechts:

Die Zahl 1234.567 kann in folgender Form geschrieben werden: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln

Der einfachste Weg, eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes zu übertragen, besteht darin, die Zahl zuerst in das dezimale Zahlensystem und dann das erhaltene Ergebnis in das erforderliche Zahlensystem zu übersetzen.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem

Um eine Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem in eine Dezimalzahl umzuwandeln, reicht es aus, ihre Ziffern beginnend bei Null (der Stelle links vom Dezimalpunkt) ähnlich wie in Beispiel 1 oder 2 zu nummerieren. Lassen Sie uns die Summe der Produkte der Ziffern ermitteln der Zahl nach der Basis des Zahlensystems in der Potenz der Position dieser Ziffer:

1. Wandeln Sie die Zahl 1001101.1101 2 in die Dezimalschreibweise um.
Lösung: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Antworten: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konvertieren Sie E8F.2D 16 in die Dezimalschreibweise.
Lösung: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,17578125 10
Antworten: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umwandeln

Um Zahlen aus dem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen der ganzzahlige und der gebrochene Teil der Zahl getrennt übersetzt werden.

Den ganzzahligen Teil einer Zahl vom Dezimalsystem in ein anderes Zahlensystem umwandeln

Der ganze Teil wird vom dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umgewandelt, indem der ganze Teil der Zahl sequentiell durch die Basis des Zahlensystems dividiert wird, bis der ganze Rest erhalten wird, der kleiner ist als die Basis des Zahlensystems. Das Ergebnis der Überweisung ist eine Buchung aus dem Saldo, beginnend mit der letzten.

3. Wandeln Sie die Zahl 273 10 in das Oktalzahlensystem um.
Lösung: 273/8 = 34 und Rest 1, 34/8 = 4 und Rest 2, 4 ist kleiner als 8, also sind die Berechnungen abgeschlossen. Der Datensatz aus den Resten sieht so aus: 421
Untersuchung: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, das Ergebnis ist das gleiche. Dies bedeutet, dass die Übersetzung korrekt durchgeführt wurde.
Antworten: 273 10 = 421 8

Betrachten wir die Übersetzung korrekter Dezimalbrüche in verschiedene Zahlensysteme.

Den Bruchteil einer Zahl vom Dezimalzahlensystem in ein anderes Zahlensystem umwandeln

Denken Sie daran, dass der richtige Dezimalbruch heißt reelle Zahl mit ganzzahligem Nullteil... Um eine solche Zahl in das Zahlensystem mit der Basis N umzuwandeln, müssen Sie die Zahl sequentiell mit N multiplizieren, bis der Bruchteil Null ist oder die erforderliche Anzahl von Stellen erhalten wird. Erhält man bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null, so wird der ganzzahlige Teil nicht weiter berücksichtigt, da er sequentiell in das Ergebnis eingeht.

4. Konvertieren Sie Binärzahl 0,125 10.
Lösung: 0,125 2 = 0,25 (0 ist der ganzzahlige Teil, der die erste Ziffer des Ergebnisses wird), 0,25 2 = 0,5 (0 ist die zweite Ziffer des Ergebnisses), 0,5 2 = 1,0 (1 ist die dritte Ziffer des Ergebnisses , und da der Bruchteil gleich Null ist, ist die Übersetzung abgeschlossen).
Antworten: 0.125 10 = 0.001 2

Das Ergebnis ist bereits eingegangen!

Zahlensysteme

Es gibt positionsgebundene und nicht-positionale Zahlensysteme. Das arabische Zahlensystem, das wir im Alltag verwenden, ist positionell, das römische jedoch nicht. In Positionsnummernsystemen bestimmt die Position einer Zahl eindeutig die Größe der Zahl. Betrachten wir dies am Beispiel der Dezimalzahl 6372. Zählen wir diese Zahl von rechts nach links beginnend bei Null auf:

Dann lässt sich die Zahl 6372 wie folgt darstellen:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Die Zahl 10 definiert das Zahlensystem (in diesem Fall ist es 10). Die Werte der Position der angegebenen Zahl werden als Grad angenommen.

Betrachten Sie die reelle Dezimalzahl 1287.923. Nummerieren wir es ausgehend von der Nullstelle der Zahl vom Dezimalpunkt nach links und rechts:

Dann kann die Zahl 1287.923 dargestellt werden als:

1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

Allgemein lässt sich die Formel wie folgt darstellen:

C nein S n + C n-1 S n-1 + ... + C 1 S 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

wobei Ц n eine ganze Zahl in Position . ist n, Д -k - Bruchzahl an Position (-k), S- Zahlensystem.

Ein paar Worte zum Zahlensystem Die Zahl im dezimalen Zahlensystem besteht aus vielen Ziffern (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), im oktalen Zahlensystem - aus der Menge der Zahlen (0,1, 2,3,4,5,6,7), im binären Zahlensystem - aus der Zahlenmenge (0,1), im hexadezimalen Zahlensystem - aus der Zahlenmenge (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), wobei A, B, C, D, E, F den Zahlen 10,11 entsprechen ,12,13,14,15 Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen werden vorgestellt.

Tabelle 1
Notation
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	EIN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln

Um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, ist es am einfachsten, die Zahl zuerst in das dezimale Zahlensystem umzuwandeln und dann aus dem dezimalen Zahlensystem in das erforderliche Zahlensystem zu übersetzen.

Konvertieren von Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem

Mit Formel (1) können Sie Zahlen aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalzahlensystem umwandeln.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 1011101.001 von der binären Notation (SS) in die dezimale SS um. Lösung:

1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Beispiel2. Konvertieren Sie 1011101.001 vom oktalen Zahlensystem (SS) in das dezimale SS. Lösung:

Beispiel 3 ... Konvertieren Sie die Zahl AB572.CDF von der hexadezimalen Basis in die dezimale SS. Lösung:

Hier EIN-ersetzt durch 10, B- um 11, C- um 12, F- bis 15.

Zahlen von einem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umwandeln

Um Zahlen aus dem dezimalen Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem umzuwandeln, müssen Sie den ganzzahligen Teil der Zahl und den Bruchteil der Zahl getrennt übersetzen.

Der ganzzahlige Teil der Zahl wird von der dezimalen SS in ein anderes Zahlensystem umgewandelt - indem der ganzzahlige Teil der Zahl sequentiell durch die Basis des Zahlensystems dividiert wird (für eine binäre SS - durch 2, für eine 8-äre SS - durch 8, für einen 16-är - durch 16 usw.) ), bis ein ganzer Rückstand erhalten wird, weniger als die Base CC.

Beispiel 4 ... Lassen Sie uns die Zahl 159 von dezimaler SS in binäre SS umwandeln:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Wie aus Abb. 1 ergibt die Zahl 159 bei Division durch 2 den Quotienten 79 und den Rest 1. Außerdem ergibt die Zahl 79 bei Division durch 2 den Quotienten 39 und den Rest 1 usw. Als Ergebnis erhalten wir, nachdem wir aus dem Rest der Division (von rechts nach links) eine Zahl gebildet haben, die Zahl in der binären SS: 10011111 ... Daher können wir schreiben:

159 10 =10011111 2 .

Beispiel 5 ... Lassen Sie uns die Zahl 615 von dezimaler SS in oktale SS umwandeln.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Wenn Sie eine Zahl von dezimalen SS in oktale SS umwandeln, müssen Sie die Zahl sequentiell durch 8 dividieren, bis Sie einen ganzen Rest kleiner als 8 erhalten. wir erhalten die Zahl in oktaler SS: 1147 (siehe Abb. 2). Daher können wir schreiben:

615 10 =1147 8 .

Beispiel 6 ... Konvertieren Sie die Zahl 19673 von dezimal in hexadezimal SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Wie aus Abbildung 3 ersichtlich, erhalten wir durch sequentielles Teilen von 19673 durch 16 die Reste 4, 12, 13, 9. Im Hexadezimalsystem entspricht die Zahl 12 C und die Zahl 13 entspricht D. Daher ist unser Hexadezimalzahl ist 4CD9.

Um korrekte Dezimalbrüche (eine reelle Zahl mit einem ganzzahligen Teil von Null) in die Basis s umzuwandeln, muss diese Zahl sequentiell mit s multipliziert werden, bis eine reine Null im Bruchteil erhalten wird oder wir die erforderliche Anzahl von Stellen erhalten. Wenn bei der Multiplikation eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil ungleich Null erhalten wird, dann wird dieser ganzzahlige Teil nicht berücksichtigt (sie werden sequentiell zum Ergebnis addiert).

Betrachten wir das Obige anhand von Beispielen.

Beispiel 7 ... Konvertieren Sie die Zahl 0,214 von dezimal in binär SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Wie aus Abb. 4 ersichtlich ist, wird die Zahl 0,214 sequentiell mit 2 multipliziert. Wenn die Multiplikation eine Zahl ungleich Null mit einem ganzzahligen Teil ergibt, dann wird der ganzzahlige Teil separat (links von der Zahl) geschrieben und die Zahl wird mit einem ganzzahligen Teil Null geschrieben. Wenn beim Multiplizieren eine Zahl mit einem ganzzahligen Teil von Null erhalten wird, wird links davon Null geschrieben. Der Multiplikationsprozess wird fortgesetzt, bis im Bruchteil eine reine Null oder die erforderliche Anzahl von Stellen erhalten wird. Schreibt man die fett gedruckten Zahlen (Abb. 4) von oben nach unten auf, erhält man die benötigte Zahl im binären Zahlensystem: 0. 0011011 .

Daher können wir schreiben:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Beispiel 8 ... Wandeln wir die Zahl 0,125 vom dezimalen Zahlensystem in das binäre SS um.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Um die Zahl 0,125 von dezimaler SS in binär umzuwandeln, wird diese Zahl sequentiell mit 2 multipliziert. In der dritten Stufe ergab sich 0. Daher wurde das folgende Ergebnis erhalten:

0.125 10 =0.001 2 .

Beispiel 9 ... Lassen Sie uns die Zahl 0,214 von dezimal in hexadezimal SS umwandeln.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Nach den Beispielen 4 und 5 erhalten wir die Zahlen 3, 6, 12, 8, 11, 4. Aber in der hexadezimalen SS entsprechen die Zahlen 12 und 11 den Zahlen C und B. Daher haben wir:

0,214 10 = 0,36C8B4 16.

Beispiel 10 ... Konvertieren von Dezimal zu Dezimal SS-Zahl 0.512.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Habe:

0.512 10 =0.406111 8 .

Beispiel 11 ... Konvertieren der Zahl 159.125 von Decimal in Binary SS. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 4) und den Bruchteil der Zahl (Beispiel 8). Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, erhalten wir außerdem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Beispiel 12 ... Konvertieren der Zahl 19673.214 von dezimal in hexadezimal SS. Dazu übersetzen wir getrennt den ganzzahligen Teil der Zahl (Beispiel 6) und den Bruchteil der Zahl (Beispiel 9). Wenn wir diese Ergebnisse kombinieren, erhalten wir.

Regel. Um eine Zahl von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln, musst du die ursprüngliche Zahl durch die Basis des neuen Zahlensystems dividieren. Dividiere den resultierenden Quotienten wieder durch die Basis des neuen Zahlensystems und fahre bis dahin mit der Division fort. bis der Quotient kleiner als die Basis des neuen Zahlensystems ist. Die resultierenden Reste der Division, beginnend mit dem letzten, werden in umgekehrter Reihenfolge geschrieben. Dies ist die Erfassung der Nummer im neuen Nummernsystem.

Beispiel. Wandeln Sie die Zahl 135 von 10-är SS in 2-är, 8-är und hexadezimale Notation um.

1)

2)

3)

Aufgabe 2.

Konvertieren Sie in binäre, oktale und hexadezimale SS die folgenden Zahlen 1275.973, 172

Rückübersetzung von Zahlen aus einer beliebigen SS in eine 10-stellige.

1) Um eine Zahl von einer beliebigen SS in die ursprüngliche SS umzuwandeln (Rückübersetzung), Sie müssen jede Ziffer dieser Zahl mit der Basis der ursprünglichen SS multiplizieren. beginnend mit einer Nullstelle von rechts nach links und fügen Sie die Produkte hinzu. Wenn ein Dezimalbruch übersetzt wird, sollte die Regel zum Aufzeichnen der ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl angewendet werden.

2) Die Rückübersetzung von Zahlen erfolgt nach der Formel:

wobei A eine gegebene Zahl ist,

g - Basis SS einer gegebenen Zahl (= 2 für 2-är SS, für andere SS - ähnlich),

m ist die Anzahl der Stellen im ganzzahligen Teil der Zahl.

n - die Anzahl der Ziffern im Nachkommateil der Zahl,

a - der Wert der Ziffern der angegebenen Zahl (der Datensatz des Bruchteils der Zahl ist blau hervorgehoben).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 = 6 * 8 1 + 6 * 8 0 = 48 + 6 = 54 10 9A 16 = 9 * 16 1 + 10 * 16 0 = 144 + 10 = 154 10

13,4 8 = 1 * 8 1 + 3 * 8 0 + 4 * 8 -1 = 8 + 3 + 0,5 = 11,5 10 (diese Zahl ist ein Dezimalbruch)

Aufgabe 3.

Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in dezimale SS:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 = 2585726 ... 10 16A3 16 2BAFD 16

Übersetzung von Zahlen mit einer Wurzel, die eine Potenz von 2 ist und umgekehrte Übersetzung. Diese SS umfassen binäre, oktale, hexadezimale Zahlensysteme.

Regel. Binär-SS zu Oktal-SS. Die Binärzahl wird vom Ende (von rechts nach links) in Gruppen von 3 Ziffern unterteilt und jede Gruppe wird in eine Zahl in einem neuen CC umgewandelt

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

Regel. Bei der Rückwandlung wird jede Oktalziffer als Dreiklang geschrieben.

Regel. Von binärer SS zu hexadezimaler SS: ähnlich, aber jeweils 4 Stellen getrennt

0110.0110.1011 2 = 66B 16

1011.1111.0111 2 = BF7 16

10.1010.0111.0001 2 = 2A71 16

Regel. Bei der Rückwandlung wird jede hexadezimale Ziffer als Tetrade geschrieben.

Übersetzung von richtigen und falschen Brüchen in verschiedene SS. Wenn Sie einen gewöhnlichen Bruch übersetzen müssen, müssen Sie ihn zuerst in einen Dezimalbruch umwandeln und dann die Regeln zum Umwandeln von Dezimalbrüchen anwenden.

Regel. Umwandeln von Dezimalbrüchen kleiner als eins (korrekte Brüche).

1) es ist notwendig, den Bruchteil mit einer vertikalen Linie zu trennen;

2) Multiplizieren des Bruchteils basierend auf dem neuen Zahlensystem;

3) schreibe das Ergebnis streng unter die ursprüngliche Zahl, beginnend mit dem niedrigstwertigen Bit; Wenn Sie eine Übertragung auf einen ganzen Teil erhalten, schreiben Sie sie links von der Zeile;

4) Die Multiplikation des Bruchteils wird durchgeführt, bis eine Zahl mit einer bestimmten Genauigkeit erhalten wird oder keine 0 rechts von der Linie steht.

0,728 10 =0,564 8

Aufgabe 4. Konvertieren Sie von dezimalen SS in binäre, oktale, hexadezimale SS die folgenden korrekten Brüche:.