Stumpfe Winkelbezeichnung. Gerader und aufgeklappter Winkel
Die Ecke ist die geometrische Hauptfigur, die wir während des gesamten Themas analysieren werden. Definitionen, Zuordnungsmethoden, Bezeichnungen und Maße des Winkels. Schauen wir uns die Prinzipien der Auswahl von Ecken in Zeichnungen an. Die ganze Theorie ist illustriert und hat eine große Anzahl von visuellen Zeichnungen.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1
Injektion Ist eine einfache wichtige Figur in der Geometrie. Der Winkel hängt direkt von der Definition des Strahls ab, der wiederum aus den Grundbegriffen Punkt, Linie und Ebene besteht. Für ein gründliches Studium müssen Sie sich in die Themen vertiefen Gerade im Flugzeug - notwendige Informationen und Flugzeug - notwendige Informationen.
Das Konzept eines Winkels beginnt mit dem Konzept eines Punktes, einer Ebene und einer auf dieser Ebene gezeichneten Linie.
Definition 2
Sie erhalten eine gerade Linie a in der Ebene. Wir bezeichnen einen Punkt O darauf. Die Gerade wird durch einen Punkt in zwei Teile geteilt, die jeweils einen Namen haben Strahl, und Punkt O - Strahlstart.
Mit anderen Worten, ein Strahl oder halbgerade - es ist ein Teil einer Geraden, bestehend aus Punkten einer bestimmten Geraden, die sich auf derselben Seite relativ zum Startpunkt befinden, dh Punkt O.
Die Bezeichnung des Balkens ist in zwei Varianten zulässig: ein Kleinbuchstabe oder zwei Großbuchstaben des lateinischen Alphabets. Wenn der Balken mit zwei Buchstaben bezeichnet wird, hat er einen aus zwei Buchstaben bestehenden Namen. Schauen wir uns die Zeichnung genauer an.
Kommen wir zum Konzept der Winkelbestimmung.
Definition 3
Injektion Ist eine Figur, die sich in einer gegebenen Ebene befindet und durch zwei fehlangepasste Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung gebildet wird. Eckseite ist ein Strahl Scheitel- die gemeinsame Herkunft der Parteien.
Es gibt einen Fall, in dem die Seiten der Ecke als gerade Linie wirken können.
Definition 4
Wenn beide Seiten eines Winkels auf derselben Geraden liegen oder seine Seiten als zusätzliche Halblinien einer Geraden dienen, dann heißt ein solcher Winkel bereitgestellt.
Die Abbildung unten zeigt eine abgeflachte Ecke.
Ein Punkt auf einer Geraden ist der Scheitelpunkt des Winkels. Am häufigsten wird es mit dem Punkt O bezeichnet.
Ein Winkel wird in der Mathematik mit dem "∠"-Zeichen bezeichnet. Wenn die Seiten der Ecke mit kleinem Latein bezeichnet werden, werden zur korrekten Bestimmung des Winkels Buchstaben nacheinander entsprechend den Seiten geschrieben. Werden die beiden Seiten mit k und h bezeichnet, dann wird der Winkel als k h oder ∠ h k bezeichnet.
Wenn die Bezeichnung in Großbuchstaben erfolgt, werden die Seiten der Ecke jeweils mit O A und O B bezeichnet. In diesem Fall hat die Ecke den Namen von drei Buchstaben des lateinischen Alphabets, die in einer Reihe in der Mitte mit dem Scheitelpunkt geschrieben sind - A O B und ∠ B O A. Es gibt eine Bezeichnung in Form von Zahlen, wenn die Ecken keine Namen oder Buchstaben haben. Unten ist ein Bild, in dem Winkel auf unterschiedliche Weise angezeigt werden.
Der Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Ist der Winkel nicht entwickelt, dann hat ein Teil der Ebene den Namen innere Ecke, der Andere ist äußerer Eckbereich... Unten ist ein Bild, das erklärt, welche Teile des Flugzeugs extern und welche intern sind.
Bei einer Teilung durch eine abgeflachte Ecke auf einer Ebene wird jeder seiner Teile als der innere Bereich der abgeflachten Ecke betrachtet.
Innenbereich der Ecke - das Element, das für die zweite Definition des Winkels verwendet wird.
Definition 5
Ecke wird als geometrische Figur bezeichnet, die aus zwei fehlangepassten Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und dem entsprechenden inneren Bereich der Ecke besteht.
Diese Definition ist strenger als die vorherige, da sie mehr Bedingungen enthält. Es ist nicht ratsam, beide Definitionen getrennt zu betrachten, da ein Winkel eine geometrische Figur ist, die mit zwei von einem Punkt ausgehenden Strahlen transformiert wird. Wenn Aktionen mit einem Winkel ausgeführt werden müssen, bedeutet die Definition das Vorhandensein von zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich.
Definition 6Die beiden Ecken heißen benachbart, wenn es eine gemeinsame Seite gibt, und die anderen beiden sind zusätzliche Halblinien oder bilden einen abgewickelten Winkel.
Die Abbildung zeigt, dass sich benachbarte Ecken ergänzen, da sie sich gegenseitig fortsetzen.
Definition 7
Die beiden Ecken heißen vertikal wenn die Seiten der einen komplementäre Halblinien der anderen sind oder Verlängerungen der Seiten der anderen sind. Die Abbildung unten zeigt ein Bild der vertikalen Ecken.
Wenn sich gerade Linien schneiden, erhält man 4 Paare benachbarter und 2 Paare vertikaler Winkel. Unten ist in der Abbildung dargestellt.
Der Artikel zeigt die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln. Lassen Sie uns analysieren, welcher Winkel als groß, welcher kleiner und andere Eigenschaften des Winkels angesehen wird. Zwei Formen werden als gleich betrachtet, wenn sie bei der Überlappung vollständig übereinstimmen. Die gleiche Eigenschaft gilt für den Vergleich von Winkeln.
Es sind zwei Winkel angegeben. Es ist notwendig, zu dem Schluss zu kommen, ob diese Winkel gleich sind oder nicht.
Es ist bekannt, dass sich die Scheitel zweier Ecken und die Seite der ersten Ecke mit jeder anderen Seite der zweiten überlappen. Das heißt, bei vollständiger Koinzidenz werden bei der Überlagerung der Winkel die Seiten der gegebenen Winkel vollständig kombiniert, die Winkel gleich.
Es kann sein, dass beim Überlappen die Seiten nicht übereinstimmen, dann die Ecken ungleich, weniger aus denen es aus einem anderen besteht, und mehr enthält einen völlig anderen Blickwinkel. Unten sind ungleiche Winkel dargestellt, die beim Überlagern nicht ausgerichtet sind.
Die abgeflachten Winkel sind gleich.
Die Winkelmessung beginnt mit der Messung der Seite des gemessenen Winkels und seines Innenbereichs, die mit Einheitswinkeln ausfüllen, aneinander gelegt. Es ist notwendig, die Anzahl der verlegten Ecken zu zählen, und sie geben das Maß des gemessenen Winkels vor.
Winkeleinheiten können als jeder messbare Winkel ausgedrückt werden. Es gibt allgemein anerkannte Maßeinheiten, die in Wissenschaft und Technik verwendet werden. Sie sind auf andere Namen spezialisiert.
Am häufigsten verwenden sie das Konzept Grad.
Definition 8
Ein Grad wird ein Winkel genannt, der einhundertachtzigstel eines flachen Winkels hat.
Die Standardnotation für einen Grad ist "°", dann ist ein Grad 1 °. Daher besteht der entfaltete Winkel aus 180 solchen Winkeln, die aus einem Grad bestehen. Alle verfügbaren Ecken sind dicht übereinander gestapelt und die Seiten der vorherigen sind an der nächsten ausgerichtet.
Es ist bekannt, dass die Gradzahl in einem Winkel das gleiche Maß für den Winkel ist. Die erweiterte Ecke hat in ihrer Zusammensetzung 180 verstaute Ecken. Die folgende Abbildung zeigt Beispiele, bei denen der Winkel 30-mal, dh ein Sechstel der Ausdehnung, und 90-mal, dh die Hälfte, festgelegt wird.
Minuten und Sekunden werden verwendet, um Winkel genau zu bestimmen. Sie werden verwendet, wenn der Winkel keine ganzzahlige Gradangabe ist. Solche Teile eines Grades ermöglichen genauere Berechnungen.
Definition 9
Eine Minute ein Sechzigstel Grad nennen.
Definition 10
In einer Sekunde eine sechzigstel Minute anrufen.
Der Grad enthält 3600 Sekunden. Minuten stehen für „“ „und Sekunden für“ „“.
1 ° = 60 "= 3600" ", 1" = (1 60) °, 1 "= 60" ", 1" "= (1 60)" = (1 3600) °,
und die Bezeichnung des Winkels 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden ist 17 ° 3 "59".
Definition 11
Geben wir ein Beispiel für die Bezeichnung des Gradmaßes des Winkels gleich 17 ° 3 "59" ". Der Datensatz hat eine weitere Form 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.
Ein Messgerät wie ein Winkelmesser wird verwendet, um Winkel genau zu messen. Bei der Bezeichnung des Winkels A O B und seines Gradmaßes von 110 Grad wird eine bequemere Schreibweise ∠ A O B = 110° verwendet, die lautet "Winkel A O B ist gleich 110 Grad".
In der Geometrie wird ein Winkelmaß aus dem Intervall (0, 180) verwendet, und in der Trigonometrie heißt ein beliebiges Gradmaß Drehwinkel. Winkel werden immer als reelle Zahlen ausgedrückt. Rechter Winkel Ist ein Winkel mit 90 Grad. Scharfe Ecke- ein Winkel von weniger als 90 Grad und dumm- mehr.
Ein spitzer Winkel wird im Intervall (0, 90) und ein stumpfer Winkel - (90, 180) gemessen. Drei Arten von Winkeln werden unten deutlich gezeigt.
Jedes Gradmaß eines beliebigen Winkels hat die gleiche Bedeutung. Ein größerer Winkel hat dementsprechend ein größeres Gradmaß als ein kleinerer. Die Gradeinheit eines Winkels ist die Summe aller verfügbaren internen Winkelgrade. Unten ist eine Abbildung, die den Winkel AOB zeigt, bestehend aus den Winkeln AOC, COD und DOB. Im Detail sieht das so aus: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.
Daraus können wir schließen, dass Summe von allen angrenzende Winkel ist 180 Grad, weil sie alle die aufgeklappte Ecke bilden.
Daraus folgt, dass any vertikale Winkel sind gleich... Betrachten wir dies an einem Beispiel, so erhalten wir, dass die Winkel A O B und C O D vertikal sind (in der Zeichnung), dann gelten die Winkelpaare A O B und B O C, C O D und B O C als benachbart. In diesem Fall gilt die Gleichheit ∠ A O B + ∠ B O C = 180° zusammen mit ∠ C O D + ∠ B O C = 180° als eindeutig wahr. Daher gilt ∠ A O B = ∠ C O D. Unten ist ein Beispiel für das Bild und die Notation des vertikalen Fangs.
Neben Grad, Minuten und Sekunden wird eine weitere Maßeinheit verwendet. Es wird genannt im Bogenmaß... Am häufigsten findet man es in der Trigonometrie, wenn man die Winkel von Polygonen bezeichnet. Was heißt Radiant.
Definition 12
Winkel von einem Bogenmaß genannt Zentralwinkel, der die Länge des Radius des Kreises gleich der Länge des Bogens hat.
In der Abbildung ist das Bogenmaß in Form eines Kreises dargestellt, bei dem ein Mittelpunkt durch einen Punkt angezeigt wird, wobei zwei Punkte auf dem Kreis verbunden und in die Radien OA und O B umgewandelt werden. Per Definition ist dieses Dreieck AOB gleichseitig , was bedeutet, dass die Länge des Bogens AB gleich den Längen der Radien OB und About A ist.
Die Winkelbezeichnung wird als "rad" verwendet. Das heißt, ein Eintrag von 5 Radiant wird als 5 Rad abgekürzt. Manchmal finden Sie eine Bezeichnung namens pi. Bogenmaß hängt nicht von der Länge des gegebenen Kreises ab, da die Figuren mit Hilfe des Winkels und seines Bogens mit dem Mittelpunkt am Scheitelpunkt des gegebenen Winkels eine Art Begrenzung haben. Sie gelten als ähnlich.
Radianten haben die gleiche Bedeutung wie Grad, nur der Unterschied liegt in ihrer Größe. Um dies zu bestimmen, ist es notwendig, die berechnete Länge des Bogens des Zentriwinkels durch die Länge seines Radius zu teilen.
In der Praxis verwenden Sie Umrechnung von Grad in Bogenmaß und Bogenmaß in Grad für eine bequemere Problemlösung. Der angegebene Artikel enthält Informationen zum Verhältnis des Gradmaßes zum Bogenmaß, wo Sie die Übersetzungen vom Grad ins Bogenmaß und umgekehrt genau studieren können.
Für ein klares und bequemes Bild von Bögen, Winkeln und Zeichnungen werden verwendet. Es ist nicht immer möglich, diesen oder jenen Winkel, Bogen oder Namen korrekt darzustellen und zu markieren. Gleiche Winkel werden in Form gleicher Anzahl von Bögen bezeichnet, ungleiche in Form unterschiedlicher. Die Zeichnung zeigt die korrekte Bezeichnung von spitzen, gleichen und ungleichen Winkeln.
Wenn mehr als 3 Ecken markiert werden müssen, werden spezielle Bogensymbole verwendet, z. B. wellig oder gezackt. Dies ist nicht so wichtig. Unten ist eine Abbildung, die ihre Bezeichnung zeigt.
Die Schreibweise der Winkel sollte einfach sein, um andere Werte nicht zu stören. Bei der Lösung des Problems wird empfohlen, nur die für die Lösung erforderlichen Ecken auszuwählen, um die gesamte Zeichnung nicht zu überladen. Dies wird die Lösung und den Beweis nicht beeinträchtigen und der Zeichnung auch ein ästhetisches Aussehen verleihen.
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Was ist ein Winkel?
Ein Winkel wird eine Figur genannt, die von zwei Strahlen gebildet wird, die von einem Punkt ausgehen (Abb. 160).
Strahlenbildung Injektion, werden die Seiten der Ecke genannt, und der Punkt, aus dem sie herauskommen, wird die Spitze der Ecke genannt.
In Abbildung 160 sind die Seiten des Winkels die Strahlen OA und OB und sein Scheitelpunkt ist der Punkt O. Dieser Winkel wird als AOB bezeichnet.
Bei der Aufnahme eines Winkels wird ein Buchstabe in die Mitte geschrieben, der seinen Scheitelpunkt angibt. Ein Winkel kann auch mit einem Buchstaben bezeichnet werden - dem Namen seines Scheitelpunkts.
Anstelle von "Winkel AOB" schreiben sie beispielsweise kürzer: "Winkel O".
Anstelle des Wortes "Ecke" schreiben sie ein Schild.
Zum Beispiel AOB, O.
In Abbildung 161 liegen die Punkte C und D innerhalb des Winkels AOB, die Punkte X und Y außerhalb dieses Winkels und Punkte M und H sind an den Seiten der Ecke.
Wie bei allen geometrischen Formen werden Winkel mittels Overlay verglichen.
Wenn eine Ecke einer anderen so überlagert werden kann, dass sie zusammenfallen, dann sind diese Winkel gleich.
Zum Beispiel in Abbildung 162 ABC = MNK.
Von der Spitze des ROC-Winkels (Abb. 163) wurde ein OP-Beam gezeichnet. Es teilt die SOK-Ecke in zwei Ecken - COP und ROCK. Jeder dieser Winkel ist kleiner als der ROC-Winkel.
Schreiben Sie: COP< COK и POK < COK.
Gerader und aufgeklappter Winkel
Zwei ergänzen sich Strahl einen entfalteten Winkel bilden. Die Seiten dieser Ecke bilden zusammen eine Gerade, auf der die Oberseite der aufgeklappten Ecke liegt (Abb. 164).
Stunden- und Minutenzeiger der Uhr bilden bei 6 Uhr einen verlängerten Winkel (Abb. 165).
Biegen Sie ein Blatt Papier zweimal in der Mitte und falten Sie es dann auseinander (Abb. 166).
Die Faltlinien bilden 4 gleiche Winkel. Jeder dieser Winkel entspricht der Hälfte des abgeflachten Winkels. Diese Winkel werden als gerade Winkel bezeichnet.
Ein rechter Winkel wird als halber flacher Winkel bezeichnet.
Dreieck zeichnen
Um einen rechten Winkel zu bilden, verwenden Sie die Zeichnung Dreieck(Abb. 167). Um einen rechten Winkel zu bauen, dessen eine Seite der OL-Träger ist, benötigen Sie:
a) Ordne das Zeichendreieck so an, dass der Scheitel seines rechten Winkels mit dem Punkt O zusammenfällt und eine der Seiten entlang des Strahls OA verläuft;
b) Zeichnen Sie einen OB-Strahl entlang der zweiten Seite des Dreiecks.
Als Ergebnis erhalten wir den rechten Winkel AOB.
Fragen zum Thema
1.Was ist ein Winkel?
2. Welcher Winkel heißt entfaltet?
3. Welche Winkel heißen gleich?
4. Was ist der rechte Winkel?
5.Wie baut man mit einem Zeichendreieck einen rechten Winkel?
Wir wissen bereits, dass jeder Winkel eine Ebene in zwei Teile teilt. Liegen jedoch beide Seiten in einem Winkel auf einer Geraden, dann heißt ein solcher Winkel ungefaltet. Das heißt, an der ungefalteten Ecke ist eine Seite davon eine Fortsetzung ihrer anderen Seite der Ecke.
Schauen wir uns nun die Abbildung an, die nur den erweiterten Winkel O zeigt.
Wenn wir einen Strahl von der Spitze des entfalteten Winkels nehmen und zeichnen, dann wird dieser entfaltete Winkel in zwei weitere Winkel geteilt, die eine Seite gemeinsam haben, und die anderen beiden Winkel bilden eine gerade Linie. Das heißt, aus einer aufgeklappten Ecke haben wir zwei benachbarte bekommen.
Wenn wir einen ungefalteten Winkel nehmen und eine Winkelhalbierende zeichnen, dann teilt diese Winkelhalbierende den ungefalteten Winkel in zwei rechte Winkel.
Und für den Fall, dass wir einen willkürlichen Strahl von der Spitze des entfalteten Winkels zeichnen, der keine Winkelhalbierende ist, dann teilt ein solcher Strahl den entfalteten Winkel in zwei Winkel, von denen einer scharf und der andere stumpf ist.
Eigenschaften abgeflachter Ecken
Eine ungefaltete Ecke hat folgende Eigenschaften:
Erstens sind die Seiten des erweiterten Winkels antiparallel und bilden eine gerade Linie;
zweitens beträgt der erweiterte Winkel 180°;
drittens bilden zwei benachbarte Ecken einen entfalteten Winkel;
viertens beträgt der entfaltete Winkel die Hälfte des vollen Winkels;
fünftens ist der Gesamtwinkel gleich der Summe der beiden entfalteten Winkel;
sechstens ist die Hälfte des entfalteten Winkels ein rechter Winkel.
Winkelmessung
Um einen beliebigen Winkel zu messen, wird für diese Zwecke am häufigsten ein Winkelmesser verwendet, bei dem die Maßeinheit ein Grad ist. Beim Messen von Winkeln ist zu beachten, dass jeder Winkel sein eigenes, eindeutiges Gradmaß hat und dieses Maß natürlich größer als Null ist. Und der entfaltete Winkel beträgt, wie wir bereits wissen, 180 Grad.
Das heißt, wenn wir eine Kreisebene nehmen und sie durch Radien in 360 gleiche Teile teilen, dann ist 1/360 dieses Kreises ein Winkelgrad. Wie Sie bereits wissen, wird ein Grad durch ein bestimmtes Symbol angezeigt, das so aussieht: "°".
Wir wissen jetzt auch, dass ein Grad 1 ° = 1/360 des Kreises ist. Wenn der Winkel gleich der Kreisebene ist und 360 Grad beträgt, ist dieser Winkel vollständig.
Und nun werden wir die Kreisebene mit Hilfe zweier Radien, die auf einer Geraden liegen, in zwei gleiche Teile teilen. In diesem Fall beträgt die Ebene des Halbkreises dann die Hälfte des vollen Winkels, dh 360: 2 = 180 °. Sie und ich haben einen Winkel, der gleich der Halbebene des Kreises ist und 180 ° hat. Dies ist die aufgeklappte Ecke.
Praktische Aufgabe
1613. Benennen Sie die in Abbildung 168 gezeigten Winkel. Schreiben Sie ihre Bezeichnungen auf.
1614. Zeichne vier Strahlen: OA, OB, OC und OD. Schreiben Sie die Namen der sechs Winkel auf, deren Seiten diese Strahlen sind. Wie viele Teile teilen sich diese Strahlen? Flugzeug?
1615. Geben Sie an, welche Punkte in Abbildung 169 innerhalb des KOM-Winkels liegen. Welche Punkte liegen außerhalb dieses Winkels? Welche Punkte sind auf der OK-Seite und welche auf der OM-Seite?
1616. Zeichnen Sie ein Eck-MOD und zeichnen Sie einen OT-Balken darin. Benennen und markieren Sie die Winkel, durch die dieser Strahl den Winkel MOD teilt.
1617. Der Minutenzeiger drehte sich in 10 Minuten auf den Winkel AOB, in den nächsten 10 Minuten auf den Winkel BOS und in weiteren 15 Minuten auf den Winkel COD. Vergleichen Sie die Winkel AOB und BOC, BOC und COD, AOC und AOB, AOC und COD (Abb. 170).
1618. Zeichnen Sie mit Hilfe eines Zeichendreiecks 4 rechte Winkel in verschiedenen Positionen.
1619. Ermitteln Sie mithilfe des Zeichnungsdreiecks die rechten Winkel in Abbildung 171. Schreiben Sie ihre Bezeichnungen auf.
1620. Geben Sie im Klassenzimmer rechte Winkel an.
a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.
1629. Wie viel Prozent von 400 ist die Zahl 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?
1630. Finden Sie die fehlende Zahl:
a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?
1631. Zeichne ein Quadrat, dessen Seitenlänge der Länge von 10 Feldern des Notebooks entspricht. Lassen Sie dieses Quadrat das Feld darstellen. Roggen nimmt 12 % des Feldes ein, Hafer 8 %, Weizen 64 % und der Rest des Feldes besteht aus Buchweizen. Zeigen Sie im Bild den Teil des Feldes an, der von jeder Kultur eingenommen wird. Wie viel Prozent des Feldes besteht aus Buchweizen?
1632. Während des akademischen Jahres verbrauchte Petya 40% der zu Beginn des Jahres gekauften Notizbücher, und er hat noch 30 Notizbücher übrig. Wie viele Notizbücher wurden zu Beginn des Schuljahres für Petya gekauft?
1633. Bronze ist eine Legierung aus Zinn und Kupfer. Wie viel Prozent der Legierung ist Kupfer in einem Stück Bronze, das aus 6 kg Zinn und 34 kg Kupfer besteht?
1634. Der in der Antike erbaute Leuchtturm von Alexandria, der als eines der sieben Weltwunder bezeichnet wurde, ist 1,7-mal höher als die Türme des Moskauer Kremls, aber 119 m niedriger als das Gebäude der Moskauer Universität von diesen Strukturen, wenn die Türme des Moskauer Kremls 49 m niedriger sind der Leuchtturm von Alexandria.
1635. Finden Sie mit Hilfe des Mikrorechners:
a) 4,5% von 168; c) 28,3 % von 569,8;
b) 147,6% von 2500; d) 0,09 % von 456 800.
1636. Lösen Sie das Problem:
1) Die Fläche des Gartens beträgt 6,4 a. Am ersten Tag gruben sie 30% des Gartens aus und am zweiten Tag - 35% des Gartens. Wie viele Aren müssen noch ausgegraben werden?
2) Serezha hatte 4,8 Stunden Freizeit. Er verbrachte 35 % dieser Zeit damit, ein Buch zu lesen und 40 % damit, Fernsehprogramme anzuschauen. Wie viel Zeit hat er noch?
1637. Gehen Sie wie folgt vor:
1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).
1638. Zeichnen Sie die Ecke BAC und markieren Sie einen Punkt innerhalb der Ecke, außerhalb der Ecke und an den Seiten der Ecke.
1639. Welcher der im Bild 172 markierten Punkte liegt innerhalb des Winkels AMK Welcher Punkt liegt innerhalb des Winkels AMB> aber außerhalb des Winkels AMK Welche Punkte liegen auf den Seiten des Winkels AMK?
1640. Finden Sie mit Hilfe des Zeichendreiecks die rechten Winkel in Abbildung 173.
1641. Konstruiere ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 43 mm. Berechne seinen Umfang und seine Fläche.
1642. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
a) 14,791: a + 160.961: b wenn a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d wenn c = 100, d = 100.
1643. Ein Arbeiter musste 450 Teile herstellen. Am ersten Tag fertigte er 60 % der Teile, den Rest am zweiten. Wie viele Teile hast du gemacht Arbeiter am zweiten Tag?
1644. Es gab 8000 Bücher in der Bibliothek. Ein Jahr später erhöhte sich ihre Zahl um 2.000 Bücher. Um wie viel Prozent hat sich die Anzahl der Bücher in der Bibliothek erhöht?
1645. Am ersten Tag legten Lastwagen 24 % der geplanten Strecke zurück, am zweiten Tag 46 % der Strecke und am dritten die restlichen 450 km. Wie viele Kilometer sind diese Lastwagen gefahren?
1646. Finden Sie heraus, wie viele es sind:
a) 1 % einer Tonne; c) 5 % von 7 Tonnen;
b) 1 % eines Liters; d) 6% von 80 km.
1647. Die Masse eines Babywalrosses ist 9-mal geringer als die eines erwachsenen Walrosses. Was ist die Masse eines erwachsenen Walrosses, wenn seine Masse zusammen mit dem Kalb 0,9 Tonnen beträgt?
1648. Während der Manöver ließ der Kommandant 0,3 seiner Soldaten zurück, um den Übergang zu bewachen, und teilte den Rest in 2 Abteilungen auf, um zwei Höhen zu verteidigen. Die erste Abteilung hatte sechsmal mehr Soldaten als die zweite. Wie viele Soldaten waren in der ersten Einheit, wenn es insgesamt 200 Soldaten waren?
N. Ja. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Klasse 5 Mathematik, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen
"Der kleine Sohn kam zu seinem Vater und fragte Little Tiny:" Welche Winkel gibt es? " Aber Vater, ich habe die Antwort vergessen. Das ist sehr schlecht!".
In unserem Artikel schlagen wir vor, uns an die Lektionen der Mathematik zu erinnern und Antworten auf Crumbs' Fragen zu finden.
Was ist Winkel
Es ist natürlich einfacher zu zeigen als zu erklären, was ein Winkel ist. Aus der Grundschule wissen wir, dass ein flacher Winkel:
- Dies ist eine geometrische Figur.
- Es wird von zwei Seiten gebildet - Strahlen.
- Die Strahlen kommen aus einem Scheitelpunkt - einem Punkt.
- Gemessen in Grad.
Das heißt, wenn Sie einen Punkt auf einer beliebigen Ebene setzen und dann zwei Strahlen von diesem Punkt ableiten (ein Strahl ist eine gerade Linie mit einem Anfang, aber keinem Ende), dann erhalten wir einen Winkel und nicht einen, sondern zwei. Dies liegt daran, dass die Strahlen die Ebene in zwei Teile geteilt haben. Wir haben zwei Ecken gebildet - eine interne und eine externe.
Winkelbezeichnung
Der Winkel in der Mathematik wird mit diesem Symbol bezeichnet - "˪" und griechischen Buchstaben: β, δ, φ. Sie können die Ecken auch in kleinen oder großen lateinischen Buchstaben bezeichnen. Kleinbuchstaben (d, c, b) bezeichnen Strahlen, die einen Winkel bilden, daher besteht der Name aus zwei Buchstaben und einem Symbol - ˪ab. Große lateinische Buchstaben stehen für drei Eckpunkte: zwei an den Seiten und einen Scheitelpunkt (˪ DEF). Außerdem steht der Buchstabe des Scheitelpunkts immer in der Mitte des Namens, aber es macht keinen Unterschied, wie DEF oder FED gelesen wird.
Arten von Winkeln
Je nach Grad (Messwert) werden die Winkel unterteilt in:
- Scharf (> 90 Grad);
- Geraden (genau 90);
- Stumpf (180);
- Erweitert (entspricht 180);
- Nicht konvex (mehr als 180, aber weniger als 360);
- Voll (360);
Alle Winkel, die nicht gerade oder ungefaltet sind, werden als schräg bezeichnet.
Und was sind die Winkel?
- Angrenzend - sie haben eine Seite gemeinsam, während die anderen auf derselben Ebene liegen, nicht zusammenfallend. Die Summe dieser Winkel ist immer 180.
- Vertikal - Winkel, die von zwei sich schneidenden Geraden gebildet werden und keine gemeinsamen Seiten haben, aber ihre Strahlen kommen von einem Punkt aus. Das heißt, die Seite einer Ecke ist eine Fortsetzung der anderen. Diese Winkel sind gleich.
- Zentral ist die Ecke, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist.
- Beschriftete Ecke. Seine Spitze befindet sich auf einem Kreis, und die Strahlen, die ihn bilden, schneiden diesen Kreis.
Jetzt wissen Sie, welcher Winkel richtig ist, und Sie können auch erkennen, welcher Winkel spitz ist. Es ist nicht schwer, sich daran zu erinnern, und auch andere Arten von Ecken haben charakteristische Namen.
In diesem Artikel werden wir eine der wichtigsten geometrischen Formen umfassend analysieren - den Winkel. Beginnen wir mit den Hilfskonzepten und Definitionen, die uns zur Definition des Winkels führen. Danach stellen wir die akzeptierten Arten der Winkelbezeichnung vor. Schauen wir uns als Nächstes den Vorgang der Winkelmessung genauer an. Abschließend zeigen wir Ihnen, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die gesamte Theorie mit den notwendigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen zum besseren Einprägen des Materials versehen.
Seitennavigation.
Bestimmung des Winkels.
Der Winkel ist eine der wichtigsten Größen in der Geometrie. Die Definition des Winkels ist durch die Definition des Balkens gegeben. Die Idee eines Strahls wiederum kann nicht ohne Kenntnis solcher geometrischen Figuren wie eines Punktes, einer Geraden und einer Ebene erhalten werden. Bevor Sie sich mit der Definition des Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.
Wir gehen also von den Konzepten eines Punktes, einer Geraden auf einer Ebene und einer Ebene aus.
Geben wir zunächst die Definition eines Strahls an.
Lassen Sie uns eine gerade Linie in der Ebene geben. Wir bezeichnen es mit dem Buchstaben a. Sei O ein Punkt der Geraden a. Punkt O teilt Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile heißt zusammen mit Punkt O Strahl, und Punkt O heißt der anfang des strahls... Sie können immer noch hören, dass der Strahl gerufen wird halbdirekt.
Der Kürze und Einfachheit halber wurden die folgenden Bezeichnungen für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (zum Beispiel Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große lateinische Buchstaben bezeichnet, von denen der erste dem Anfang entspricht des Strahls, und der zweite bezeichnet einen Punkt dieses Strahls (zum Beispiel Strahl OA oder Strahl CD). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.
Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.
Definition.
Injektion Ist eine flache geometrische Figur (d. h. vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei nicht zusammenfallenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Jeder der Strahlen heißt seitliche Ecke, der gemeinsame Ursprung der Eckseiten heißt oben in der ecke.
Es ist möglich, dass die Seiten der Ecke eine gerade Linie bilden. Diese Ecke hat ihren eigenen Namen.
Definition.
Liegen beide Seiten eines Winkels auf einer Geraden, so heißt ein solcher Winkel bereitgestellt.
Wir machen Sie auf eine grafische Illustration der aufgeklappten Ecke aufmerksam.
Um den Winkel anzugeben, verwenden Sie das Winkelsymbol "". Wenn die Seiten der Ecke durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet sind (z. B. eine Seite der Ecke ist k und die andere ist h), dann werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelzeichen die den Seiten entsprechenden Buchstaben nacheinander geschrieben , und die Reihenfolge des Schreibens spielt keine Rolle (dh oder). Wenn die Seiten der Ecke durch zwei große lateinische Buchstaben gekennzeichnet sind (z. B. eine Seite der Ecke ist OA und die andere Seite der Ecke ist OB), dann wird der Winkel wie folgt angegeben: nach dem Winkelzeichen drei Es werden Buchstaben geschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten der Ecke beteiligt sind, und der Buchstabe, der der Spitze des Winkels entspricht, befindet sich in der Mitte (in unserem Fall wird der Winkel als oder bezeichnet). Wenn der Scheitelpunkt der Ecke nicht der Scheitelpunkt eines anderen Winkels ist, kann ein solcher Winkel mit dem Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht (z. B.). Manchmal sieht man, dass die Ecken in den Zeichnungen mit Nummern (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Winkel werden mit usw. bezeichnet. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Abbildung, die die Winkel zeigt.
Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt wird, dann heißt ein Teil der Ebene innere Ecke und das andere ist Außeneckbereich... Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene innerhalb der Ecke und welcher außerhalb liegt.
Jeder der beiden Teile, in die die abgeflachte Ecke die Ebene teilt, kann als innerer Bereich der abgeflachten Ecke angesehen werden.
Die Definition des Innenbereichs der Ecke führt uns zur zweiten Definition des Winkels.
Definition.
Injektion- Dies ist eine geometrische Figur, die aus zwei nicht zusammenfallenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und dem entsprechenden Innenbereich der Ecke besteht.
Es ist zu beachten, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie mehr Bedingungen enthält. Die erste Winkeldefinition sollte jedoch nicht verworfen werden, noch sollten die erste und die zweite Winkeldefinition getrennt betrachtet werden. Lassen Sie uns diesen Punkt klären. Wenn wir von einem Winkel als einer geometrischen Figur sprechen, dann bedeutet ein Winkel eine Figur, die aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Müssen Aktionen mit diesem Winkel ausgeführt werden (z.B. Winkelmessung), dann sollten zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und einem Innenbereich bereits unter einem Winkel verstanden werden (sonst würde sich durch die Anwesenheit eine Doppelsituation ergeben sowohl des inneren als auch des äußeren Bereichs des Winkels).
Lassen Sie uns weitere Definitionen von benachbarten und vertikalen Winkeln geben.
Definition.
Angrenzende Ecken- das sind zwei Ecken, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen abgewickelten Winkel bilden.
Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem eingesetzten Winkel ergänzen.
Definition.
Vertikale Ecken- das sind zwei Ecken, bei denen die Seiten einer Ecke die Fortsetzung der Seiten der anderen sind.
Die Abbildung zeigt die vertikalen Ecken.
Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Geraden vier Paare benachbarter Ecken und zwei Paare vertikaler Ecken.
Winkelvergleich.
In diesem Absatz des Artikels werden wir uns mit den Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln befassen und auch bei ungleichen Winkeln erklären, welcher Winkel als groß und welcher als kleiner gilt.
Denken Sie daran, dass zwei geometrische Formen gleich genannt werden, wenn sie überlagert werden können.
Gegeben seien zwei Winkel. Lassen Sie uns Argumente anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu finden: "Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?"
Offensichtlich können wir immer die Scheitelpunkte zweier Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit jeder Seite der zweiten Ecke abgleichen. Richten Sie die Seite der ersten Ecke an der Seite der zweiten Ecke aus, sodass die verbleibenden Seiten der Ecken auf einer Seite der geraden Linie liegen, auf der die ausgerichteten Seiten der Ecken liegen. Wenn dann die anderen beiden Seiten der Ecken zusammenfallen, heißen die Ecken gleich.
Wenn die beiden anderen Seiten der Ecken nicht übereinstimmen, heißen die Ecken ungleich, und kleiner der Winkel, der Teil des anderen ist ( groß ist die Ecke, die die andere Ecke vollständig enthält).
Offensichtlich sind die beiden ungefalteten Ecken gleich. Es ist auch offensichtlich, dass der abgeflachte Winkel größer ist als jede nicht abgeflachte Ecke.
Messung von Winkeln.
Die Winkelmessung basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Der Prozess der Winkelmessung sieht so aus: Ausgehend von einer der Seiten des gemessenen Winkels wird dessen Innenbereich nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt und dicht übereinander gestapelt. Gleichzeitig wird die Anzahl der verlegten Ecken gespeichert, die das Maß des gemessenen Winkels angibt.
Tatsächlich kann jeder Winkel als Maßeinheit für Winkel verwendet werden. Es gibt jedoch viele allgemein anerkannte Einheiten zum Messen von Winkeln in Bezug auf verschiedene Bereiche der Wissenschaft und Technik, sie haben spezielle Namen erhalten.
Eine der Maßeinheiten für Winkel ist Grad.
Definition.
Ein Grad Ist ein Winkel gleich dem Hundertachtzigstel des erweiterten Winkels.
Der Grad wird mit "" bezeichnet, daher wird ein Grad als bezeichnet.
So können wir in einer aufgeklappten Ecke 180 Winkel in einem Grad einpassen. Es sieht aus wie eine Hälfte eines runden Kuchens, der in 180 gleiche Stücke geschnitten ist. Es ist sehr wichtig: Die "Tortenstücke" sind dicht aufeinander gestapelt (dh die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), und die Seite der ersten Ecke ist mit einer Seite der aufgeklappten Ecke ausgerichtet, und die Seite der letzten Geräteecke stimmt mit der anderen Seite der aufgeklappten Ecke überein.
Beim Messen von Winkeln wird festgestellt, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit von Winkeln) in den gemessenen Winkel passt, bis der innere Bereich des gemessenen Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, passt der Grad im aufgeklappten Winkel genau 180 mal. Unten sind Beispiele für Winkel, in die ein Winkel von einem Grad genau 30-mal (dieser Winkel ist ein Sechstel des erweiterten Winkels) und genau 90-mal (die Hälfte des erweiterten Winkels) passt.
Um Winkel von weniger als einem Grad (oder einer anderen Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht mit einer ganzen Zahl von Grad gemessen werden kann (gemessene Maßeinheiten), müssen Sie Teile eines Grads (Teile von genommenen Maßeinheiten). Bestimmte Teile des Abschlusses haben spezielle Namen erhalten. Am weitesten verbreitet sind die sogenannten Minuten und Sekunden.
Definition.
Minute Ist ein Sechzigstel Grad.
Definition.
Sekunde Ist ein Sechzigstel einer Minute.
Mit anderen Worten, eine Minute enthält sechzig Sekunden und ein Grad enthält sechzig Minuten (3600 Sekunden). Das Symbol „“ steht für die Minuten und das Symbol „“ für die Sekunden (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Bezeichnungen, und der Winkel, bei dem 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.
Definition.
Gradmaß des Winkels Es wird eine positive Zahl genannt, die angibt, wie oft ein Grad und seine Teile in einen bestimmten Winkel passen.
Zum Beispiel ist das Gradmaß des entfalteten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß des Winkels ist 
.
Es gibt spezielle Messgeräte zum Messen von Winkeln, von denen das bekannteste der Winkelmesser ist.
Wenn Sie sowohl die Bezeichnung des Winkels (zum Beispiel) als auch sein Gradmaß (seien 110) kennen, dann verwenden Sie eine kurze Schreibweise der Form 
und sie sagen: "Der Winkel des AOB beträgt einhundertzehn Grad."
Aus den Definitionen des Winkels und des Winkelmaßes folgt, dass in der Geometrie das Winkelmaß in Grad durch eine reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180) ausgedrückt wird (in der Trigonometrie sind Winkel mit einem willkürlichen Gradmaß betrachtet, heißen sie). Der Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel... Ein Winkel von weniger als 90 Grad heißt spitzer Winkel... Ein Winkel von mehr als neunzig Grad heißt stumpfer Winkel... Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90) ausgedrückt, das Maß eines stumpfen Winkels ist eine Zahl aus dem Intervall (90, 180), ein rechter Winkel ist neunzig Grad. Hier sind Abbildungen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und eines rechten Winkels.
Aus dem Winkelmessprinzip folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß des größeren Winkels größer ist als das Gradmaß des kleineren und das Gradmaß des Winkels, der sich aus von mehreren Winkeln, ist gleich der Summe der Gradmaße der konstituierenden Winkel. Die Abbildung unten zeigt den Winkel AOB, der sich aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt.
Auf diese Weise, die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad da sie einen flachen Winkel bilden.
Diese Aussage impliziert das. In der Tat, wenn die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind auch benachbart, daher sind Gleichheiten und wahr, woraus Gleichheit folgt.
Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Einheit zum Messen von Winkeln genannt im Bogenmaß... Das Bogenmaß wird häufig in der Trigonometrie verwendet. Lassen Sie uns ein Radiant definieren.
Definition.
Ein Bogenmaß- Das mittlere Ecke, die der Länge des Bogens entspricht, gleich der Länge des Radius des entsprechenden Kreises.
Lassen Sie uns eine grafische Darstellung eines Winkels von einem Bogen geben. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie der Radius OB) gleich der Länge des Bogens AB, daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.
Radiant wird als "rad" abgekürzt. Wenn Sie beispielsweise 5 Rad schreiben, bedeutet dies 5 Radiant. In der Schrift wird jedoch oft auf die Bezeichnung „froh“ verzichtet. Wenn beispielsweise geschrieben wird, dass der Winkel gleich pi ist, bedeutet dies pi rad.
Es ist gesondert zu beachten, dass der Wert des Winkels, ausgedrückt im Bogenmaß, nicht von der Länge des Kreisradius abhängt. Dies liegt daran, dass die durch einen bestimmten Winkel begrenzten Figuren und ein Kreisbogen, der an der Spitze dieses Winkels zentriert ist, einander ähnlich sind.
Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann genauso durchgeführt werden wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel eines Bogens (und seiner Teile) in einen bestimmten Winkel passt. Oder Sie berechnen die Länge des Bogens des entsprechenden Zentriwinkels und dividieren ihn dann durch die Länge des Radius.
Für den Praxisbedarf ist es hilfreich zu wissen, wie Grad- und Bogenmaße zueinander in Beziehung stehen, da einiges zu erledigen ist. In diesem Artikel wird eine Verbindung zwischen Grad und Bogenmaß eines Winkels hergestellt und Beispiele für die Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt gegeben.
Bezeichnung von Winkeln in der Zeichnung.
In den Zeichnungen können der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber die Ecken mit Bögen markiert sein, die normalerweise im inneren Bereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezeichnet werden. Gleiche Winkel werden mit der gleichen Anzahl von Bögen markiert, ungleiche Winkel - mit einer anderen Anzahl von Bögen. Rechte Winkel sind in der Zeichnung durch ein Symbol der Form "" gekennzeichnet, das im inneren Bereich eines rechten Winkels von einer Seite der Ecke zur anderen dargestellt ist.
Wenn Sie viele verschiedene Winkel in der Zeichnung markieren müssen (normalerweise mehr als drei), ist es beim Markieren von Winkeln zusätzlich zu gewöhnlichen Bögen zulässig, Bögen eines speziellen Typs zu verwenden. Sie können beispielsweise gezackte Bögen oder ähnliches zeichnen.
Es ist zu beachten, dass Sie sich nicht mit der Bezeichnung von Winkeln in den Zeichnungen hinreißen lassen und die Zeichnungen nicht überladen sollten. Wir empfehlen, nur die Winkel anzugeben, die für den Lösungs- oder Beweisprozess erforderlich sind.
Referenzliste.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. 7 - 9 Klassen: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Sekundarstufe.
- Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.
Dieser Artikel befasst sich mit einer der wichtigsten geometrischen Formen - dem Winkel. Nach einer allgemeinen Einführung in dieses Konzept werden wir uns auf einen eigenen Typ einer solchen Figur konzentrieren. Der flache Winkel ist ein wichtiges Geometriekonzept, das im Mittelpunkt dieses Artikels stehen wird.
Einführung in das Konzept des geometrischen Winkels
In der Geometrie gibt es eine Reihe von Objekten, die die Grundlage aller Wissenschaften bilden. Der Winkel bezieht sich nur auf sie und wird mit dem Konzept eines Strahls bestimmt, also fangen wir damit an.
Bevor Sie den Winkel selbst bestimmen, müssen Sie sich außerdem mehrere gleich wichtige Objekte in der Geometrie merken - dies ist ein Punkt, eine gerade Linie auf einer Ebene und die Ebene selbst. Eine gerade Linie ist die einfachste geometrische Figur, die weder Anfang noch Ende hat. Eine Ebene ist eine Fläche mit zwei Dimensionen. Nun, ein Strahl (oder eine Halblinie) in der Geometrie ist ein Teil einer geraden Linie, die einen Anfang, aber kein Ende hat.
Mit diesen Begriffen können wir aussagen, dass ein Winkel eine geometrische Figur ist, die vollständig in einer bestimmten Ebene liegt und aus zwei nicht zusammenfallenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Solche Strahlen werden die Seiten der Ecke genannt, und der gemeinsame Ursprung der Seiten ist ihr Scheitel.
Winkelarten und Geometrien
Wir wissen, dass Winkel sehr unterschiedlich sein können. Daher finden Sie unten eine kleine Klassifizierung, die Ihnen hilft, die Arten von Winkeln und ihre Hauptmerkmale besser zu verstehen. Es gibt also mehrere Arten von Winkeln in der Geometrie:
- Rechter Winkel. Es zeichnet sich durch eine Größe von 90 Grad aus, was bedeutet, dass seine Seiten immer senkrecht aufeinander stehen.
- Scharfe Ecke. Diese Winkel umfassen alle ihre Vertreter mit einer Größe von weniger als 90 Grad.
- Stumpfer Winkel. Hier können auch alle Winkel mit einem Wert von 90 bis 180 Grad stehen.
- Erweiterte Ecke. Es hat eine Größe von streng 180 Grad und seine Seiten bilden nach außen eine gerade Linie.
Flachwinkelkonzept
Schauen wir uns nun die aufgeklappte Ecke genauer an. Dies ist der Fall, wenn beide Seiten auf derselben Geraden liegen, was im Bild unten deutlich zu sehen ist. Dies bedeutet, dass wir mit Sicherheit sagen können, dass an der aufgeklappten Ecke eine Seite im Wesentlichen eine Fortsetzung der anderen ist.
Es sei daran erinnert, dass ein solcher Winkel immer mit einem Strahl geteilt werden kann, der von seiner Spitze austritt. Als Ergebnis erhalten wir zwei Ecken, die in der Geometrie benachbart genannt werden.
Auch die aufgeklappte Ecke hat mehrere Funktionen. Um über den ersten von ihnen zu sprechen, müssen Sie sich an das Konzept der "Winkelhalbierenden" erinnern. Denken Sie daran, dass dies ein Strahl ist, der jeden Winkel strikt in zwei Hälften teilt. Der entfaltete Winkel wird durch seine Winkelhalbierende so geteilt, dass zwei rechte 90-Grad-Winkel gebildet werden. Mathematisch ist es sehr einfach zu berechnen: 180˚ (Grad des entfalteten Winkels): 2 = 90˚.
Teilen wir den entfalteten Winkel durch einen ganz willkürlichen Strahl, so erhalten wir als Ergebnis immer zwei Winkel, von denen einer spitz und der andere stumpf ist.
Eigenschaften abgeflachter Ecken
Es ist praktisch, diesen Winkel zu betrachten und alle seine Haupteigenschaften zusammenzuführen, die wir in dieser Liste gemacht haben:
- Die Seiten der aufgeklappten Ecke sind antiparallel und bilden eine gerade Linie.
- Der aufgeklappte Winkel beträgt immer 180°.
- Zwei benachbarte Ecken bilden zusammen immer einen flachen Winkel.
- Der volle Winkel von 360˚ besteht aus zwei entfalteten Winkeln und ist gleich ihrer Summe.
- Die Hälfte der aufgeklappten Ecke ist ein rechter Winkel.
Wenn wir also alle diese Eigenschaften eines bestimmten Winkeltyps kennen, können wir sie verwenden, um eine Reihe geometrischer Probleme zu lösen.
Probleme mit erweiterten Ecken
Um zu verstehen, ob Sie das Konzept des Weitwinkels gelernt haben, versuchen Sie, einige der folgenden Fragen zu beantworten.
- Wie groß ist der entfaltete Winkel, wenn seine Seiten eine vertikale Linie bilden?
- Sind zwei Ecken benachbart, wenn die erste 72˚ und die andere 118˚ ist?
- Wenn ein voller Winkel aus zwei ungefalteten Winkeln besteht, wie viele rechte Winkel sind darin enthalten?
- Der überstrichene Winkel wurde durch den Strahl in zwei Winkel geteilt, so dass ihre Gradmaße 1:4 sind. Berechnen Sie die resultierenden Winkel.
Lösungen und Antworten:
- Egal wie der aufgeklappte Winkel liegt, er beträgt per Definition immer 180˚.
- Benachbarte Ecken haben eine Seite gemeinsam. Um die Größe des Winkels zu berechnen, den sie zusammen bilden, müssen Sie daher nur den Wert ihrer Gradmaße addieren. Dies bedeutet, dass 72 + 118 = 190. Aber per Definition ist der entfaltete Winkel 180˚, was bedeutet, dass diese beiden Winkel nicht benachbart sein können.
- Eine abgeflachte Ecke nimmt zwei rechte Winkel auf. Und da in der Gesamtheit zwei entfaltet sind, bedeutet dies, dass es 4 gerade Linien gibt.
- Nennen wir die gesuchten Winkel a und b, so sei x der Proportionalitätskoeffizient für sie, das heißt a = x, und dementsprechend b = 4x. Der aufgeklappte Winkel in Grad beträgt 180°. Und nach seinen Eigenschaften, dass das Gradmaß eines Winkels immer gleich der Summe der Gradmaße der Winkel ist, in die er durch einen beliebigen Strahl, der zwischen seinen Seiten verläuft, zerlegt wird, können wir daraus schließen, dass x + 4x = 180 ˚, das heißt 5x = 180˚ ... Von hier aus finden wir: x = a = 36˚ und b = 4x = 144˚. Antwort: 36˚ und 144˚.
Wenn Sie es geschafft haben, all diese Fragen ohne Aufforderung und ohne Blick auf die Antworten zu beantworten, können Sie mit der nächsten Lektion in Geometrie fortfahren.
