Wie kannst du dich erinnern von Lehrplan In der Geometrie ist ein Dreieck eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die durch drei Punkte verbunden sind, die nicht auf einer geraden Linie liegen. Das Dreieck bildet drei Winkel, daher der Name der Figur. Die Definition kann unterschiedlich sein. Ein Dreieck kann auch als Polygon mit drei Ecken bezeichnet werden, die Antwort wird genauso wahr sein. Dreiecke werden nach der Anzahl gleicher Seiten und der Größe der Winkel in den Figuren unterteilt. Unterscheiden Sie also solche Dreiecke wie gleichschenklig, gleichseitig und ungleichmäßig sowie rechteckig, spitzwinklig und stumpfwinklig.

Es gibt viele Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Wählen Sie, wie Sie die Fläche eines Dreiecks finden, d.h. welche Formel zu verwenden ist, nur Sie. Es ist jedoch erwähnenswert, dass nur einige der Notationen verwendet werden, die in vielen Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks verwendet werden. Also denk daran:

S ist die Fläche des Dreiecks,

a, b, c sind die Seiten des Dreiecks,

h ist die Höhe des Dreiecks,

R ist der Radius des umschriebenen Kreises,

p ist der Halbumfang.

Hier sind die grundlegenden Notationen, die sich als nützlich erweisen können, wenn Sie den Verlauf der Geometrie vollständig vergessen haben. Unten sind die verständlichsten und nicht komplexe Optionen Berechnung der unbekannten und mysteriösen Fläche eines Dreiecks. Es ist nicht schwierig und wird sich sowohl für Ihre Haushaltsbedürfnisse als auch für die Unterstützung Ihrer Kinder als nützlich erweisen. Erinnern wir uns, wie man die Fläche eines Dreiecks so einfach wie das Schälen von Birnen berechnet:

In unserem Fall ist die Fläche des Dreiecks: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Denken Sie daran, dass die Fläche in Quadratzentimetern (qcm) gemessen wird.

Rechtwinkliges Dreieck und seine Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel gleich 90 Grad (daher rechtwinkliges Dreieck genannt). Ein rechter Winkel wird durch zwei senkrecht zueinander stehende Linien gebildet (bei einem Dreieck zwei senkrecht aufeinander stehende Segmente). In einem rechtwinkligen Dreieck kann es nur einen rechten Winkel geben, weil Die Summe aller Winkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 180 Grad. Es stellt sich heraus, dass 2 andere Winkel die verbleibenden 90 Grad untereinander aufteilen sollten, zum Beispiel 70 und 20, 45 und 45 usw. Sie haben sich also an die Hauptsache erinnert, es bleibt zu lernen, wie man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Stellen Sie sich vor, wir haben ein solches rechtwinkliges Dreieck vor uns, und wir müssen seine Fläche S finden.

1. Der einfachste Weg, die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wird mit der folgenden Formel berechnet:

In unserem Fall beträgt die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

Grundsätzlich ist es nicht mehr notwendig, die Fläche eines Dreiecks auf andere Weise zu verifizieren, da im Alltag wird es sich als nützlich erweisen und nur dieses wird helfen. Es gibt aber auch Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks durch spitze Winkel zu messen.

2. Für andere Berechnungsmethoden benötigen Sie eine Tabelle mit Cosinus, Sinus und Tangens. Urteilen Sie selbst, hier sind einige Möglichkeiten zur Berechnung der Flächen eines rechtwinkligen Dreiecks, die Sie noch verwenden können:

Wir haben uns für die erste Formel und kleine Kleckse entschieden (wir haben in ein Notizbuch gezeichnet und ein altes Lineal und einen Winkelmesser verwendet), aber wir haben die richtige Berechnung erhalten:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Wir haben solche Ergebnisse 3,6 = 3,7 erhalten, aber unter Berücksichtigung der Zellverschiebung können wir diese Nuance verzeihen.

Gleichschenkliges Dreieck und seine Fläche.

Wenn Sie vor der Aufgabe stehen, die Formel eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, verwenden Sie am einfachsten die Hauptformel und die klassische Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Aber zuerst, bevor wir die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks finden, werden wir herausfinden, um welche Art von Figur es sich handelt. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, dessen zwei Seiten gleich lang sind. Diese beiden Seiten werden als Seiten bezeichnet, die dritte Seite wird als Basis bezeichnet. Verwechseln Sie ein gleichschenkliges Dreieck nicht mit einem gleichseitigen, d.h. ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck gibt es keine besonderen Neigungen zu den Winkeln oder vielmehr zu ihrer Größe. Die Winkel an der Basis in einem gleichschenkligen Dreieck sind jedoch gleich, unterscheiden sich jedoch von dem Winkel zwischen gleichen Seiten. Sie kennen also bereits die erste und wichtigste Formel, es bleibt herauszufinden, welche anderen Formeln zur Bestimmung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks bekannt sind:

Ein Dreieck ist die einfachste geometrische Figur, die aus drei Seiten und drei Ecken besteht. Aufgrund seiner Einfachheit wurde das Dreieck seit der Antike für verschiedene Messungen verwendet, und heute kann die Figur zur Lösung praktischer und alltäglicher Probleme nützlich sein.

Dreiecksfunktionen

Die Figur wird seit der Antike für Berechnungen verwendet, zum Beispiel arbeiten Vermessungsingenieure und Astronomen mit den Eigenschaften von Dreiecken, um Flächen und Entfernungen zu berechnen. Durch die Fläche dieser Figur ist es einfach, die Fläche eines beliebigen n-Ecks auszudrücken, und diese Eigenschaft wurde von alten Wissenschaftlern verwendet, um Formeln für die Flächen von Polygonen abzuleiten. Die ständige Arbeit mit Dreiecken, insbesondere mit einem rechtwinkligen Dreieck, ist zur Grundlage eines ganzen Abschnitts der Mathematik geworden - der Trigonometrie.

Dreiecksgeometrie

Die Eigenschaften der geometrischen Figur werden seit der Antike untersucht: Die frühesten Informationen über das Dreieck wurden in 4000 Jahre alten ägyptischen Papyri gefunden. Dann wurde die Figur einstudiert Antikes Griechenland und die größten Beiträge zur Geometrie des Dreiecks wurden von Euklid, Pythagoras und Heron geleistet. Das Studium des Dreiecks hörte nie auf, und im 18. Jahrhundert führte Leonhard Euler das Konzept des Orthozentrums der Figur und des Eulerschen Kreises ein. An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert, als es schien, als wäre absolut alles über das Dreieck bekannt, formulierte Frank Morley den Winkel-Trisektrix-Satz, und Vaclav Sierpinski schlug das fraktale Dreieck vor.

Es gibt verschiedene Arten von flachen Dreiecken, die uns bekannt sind Schulkurs Geometrien:

• spitzwinklig - alle Ecken der Figur sind scharf;
• stumpf - die Figur hat einen stumpfer Winkel(mehr als 90 Grad);
• rechteckig - die Figur enthält einen rechten Winkel von 90 Grad;
• gleichschenklig - ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten;
• gleichseitig - ein Dreieck mit allen gleichen Seiten.
• IN wahres Leben Es gibt alle Arten von Dreiecken, und in einigen Fällen müssen wir möglicherweise die Fläche einer geometrischen Figur berechnen.

Fläche eines Dreiecks

Die Fläche ist eine Schätzung, wie viel von der Ebene die Figur begrenzt. Die Fläche eines Dreiecks kann auf sechs Arten ermittelt werden, indem Seiten, Höhe, Winkel, der Radius eines einbeschriebenen oder umschriebenen Kreises sowie die Heron-Formel verwendet oder ein Doppelintegral über die die Ebene begrenzenden Linien berechnet werden. Am meisten einfache Formel um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen sieht so aus:

wobei a die Seite des Dreiecks ist, h seine Höhe.

In der Praxis ist es jedoch nicht immer bequem, die Höhe einer geometrischen Figur zu finden. Der Algorithmus unseres Rechners ermöglicht es Ihnen, die Fläche zu berechnen, wobei Sie wissen:

• drei Seiten;
• zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen;
• eine Seite und zwei Ecken.

Um die Fläche in Bezug auf drei Seiten zu bestimmen, verwenden wir die Formel von Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

wobei p der halbe Umfang des Dreiecks ist.

Die Berechnung der Fläche auf zwei Seiten und einem Winkel erfolgt nach der klassischen Formel:

S = a × b × sin(alfa),

wobei alpha der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.

Um die Fläche durch eine Seite und zwei Ecken zu bestimmen, verwenden wir die Beziehung, die:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Mit einem einfachen Verhältnis bestimmen wir die Länge der zweiten Seite, danach berechnen wir die Fläche mit der Formel S = a × b × sin (alfa). Dieser Algorithmus ist vollständig automatisiert und Sie müssen nur die angegebenen Variablen eingeben und erhalten das Ergebnis. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Pflastersteine

Angenommen, Sie möchten den Boden mit dreieckigen Fliesen pflastern und die Menge bestimmen benötigtes Material, sollten Sie die Fläche einer Fliese und die Fläche des Bodens herausfinden. Lassen Sie es notwendig sein, 6 Quadratmeter einer Oberfläche mit einer Fliese zu bearbeiten, deren Abmessungen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm sind. Offensichtlich verwendet der Rechner die Formel von Heron, um die Fläche eines Dreiecks und zu berechnen wird das Ergebnis liefern:

Somit beträgt die Fläche eines Kachelelements 0,021 Quadratmeter, und Sie benötigen 6/0,021 = 285 Dreiecke, um den Boden zu verschönern. Die Zahlen 20, 21 und 29 bilden ein pythagoräisches Tripel – Zahlen, die erfüllen. Und das stimmt, unser Rechner hat auch alle Winkel des Dreiecks berechnet, und der Gamma-Winkel beträgt genau 90 Grad.

Schulaufgabe

Bei einem Schulproblem müssen Sie die Fläche eines Dreiecks finden, wobei Sie wissen, dass die Seite a \u003d 5 cm beträgt und die Winkel Alpha und Beta der Wunde 30 bzw. 50 Grad betragen. Um dieses Problem manuell zu lösen, würden wir zuerst den Wert der Seite b aus dem Verhältnis der Seiten und der Sinus der gegenüberliegenden Winkel ermitteln und dann die Fläche mit der einfachen Formel S = a × b × sin(alfa) bestimmen. Sparen wir Zeit, geben Sie die Daten in das Rechnerformular ein und erhalten Sie sofort eine Antwort

Bei der Verwendung eines Taschenrechners ist es wichtig, die Winkel und Seiten korrekt anzugeben, da sonst das Ergebnis falsch wird.

Fazit

Das Dreieck ist eine einzigartige Figur, die sowohl im wirklichen Leben als auch in abstrakten Berechnungen vorkommt. Verwenden Sie unseren Online-Rechner, um die Fläche von Dreiecken jeglicher Art zu ermitteln.

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, können Sie verschiedene Formeln verwenden. Von allen Methoden ist die Multiplikation der Höhe mit der Länge der Basis die einfachste und am häufigsten verwendete Methode, gefolgt von der Division des Ergebnisses durch zwei. Diese Methode ist jedoch bei weitem nicht die einzige. Unten können Sie lesen, wie Sie die Fläche eines Dreiecks mit verschiedenen Formeln finden.

Separat werden wir Methoden zur Berechnung der Fläche betrachten bestimmte Arten Dreieck - rechtwinklig, gleichschenklig und gleichseitig. Wir begleiten jede Formel mit einer kurzen Erklärung, die Ihnen hilft, ihre Essenz zu verstehen.

Universelle Wege, um die Fläche eines Dreiecks zu finden

Die folgenden Formeln verwenden eine spezielle Notation. Wir werden jeden von ihnen entschlüsseln:

• a, b, c sind die Längen der drei Seiten der betrachteten Figur;
• r ist der Radius eines Kreises, der in unser Dreieck eingeschrieben werden kann;
• R ist der Radius des Kreises, der um ihn herum beschrieben werden kann;
• α - der Wert des Winkels, der von den Seiten b und c gebildet wird;
• β ist der Winkel zwischen a und c;
• γ - der Wert des Winkels, der von den Seiten a und b gebildet wird;
• h ist die Höhe unseres Dreiecks, abgesenkt vom Winkel α zur Seite a;
• p ist die Hälfte der Summe der Seiten a, b und c.

Es ist logisch klar, warum man auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks finden kann. Das Dreieck lässt sich leicht zu einem Parallelogramm vervollständigen, bei dem eine Seite des Dreiecks als Diagonale fungiert. Die Fläche eines Parallelogramms wird ermittelt, indem die Länge einer seiner Seiten mit dem Wert der darauf gezeichneten Höhe multipliziert wird. Die Diagonale teilt dieses bedingte Parallelogramm in 2 identische Dreiecke. Daher ist es ziemlich offensichtlich, dass die Fläche unseres ursprünglichen Dreiecks gleich der Hälfte der Fläche dieses Hilfsparallelogramms sein sollte.

S=½ a b sin γ

Nach dieser Formel wird die Fläche eines Dreiecks ermittelt, indem die Längen seiner beiden Seiten, dh a und b, mit dem Sinus des Winkels, den sie bilden, multipliziert werden. Diese Formel leitet sich logisch von der vorherigen ab. Wenn wir die Höhe vom Winkel β auf die Seite b senken, erhalten wir gemäß den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks beim Multiplizieren der Länge der Seite a mit dem Sinus des Winkels γ die Höhe des Dreiecks, d.h. h.

Die Fläche der betrachteten Figur ergibt sich aus der Multiplikation des halben Radius des Kreises, der darin eingeschrieben werden kann, mit seinem Umfang. Mit anderen Worten, wir finden das Produkt aus dem Halbumfang und dem Radius des erwähnten Kreises.

S= a b c/4R

Nach dieser Formel kann der benötigte Wert ermittelt werden, indem das Produkt der Seiten der Figur durch 4 Radien des umschriebenen Kreises dividiert wird.

Diese Formeln sind universell, da sie es ermöglichen, die Fläche eines beliebigen Dreiecks (ungleichseitig, gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig) zu bestimmen. Dies kann mit Hilfe komplexerer Berechnungen erfolgen, auf die wir nicht näher eingehen werden.

Flächen von Dreiecken mit bestimmten Eigenschaften

Wie findet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein Merkmal dieser Figur ist, dass ihre beiden Seiten gleichzeitig ihre Höhe sind. Wenn a und b Beine sind und c zur Hypotenuse wird, dann wird die Fläche wie folgt gefunden:

Wie findet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks? Es hat zwei Seiten mit der Länge a und eine Seite mit der Länge b. Daher kann seine Fläche bestimmt werden, indem das Produkt des Quadrats der Seite a durch den Sinus des Winkels γ durch 2 geteilt wird.

Wie findet man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks? Darin ist die Länge aller Seiten a und der Wert aller Winkel ist α. Seine Höhe ist das halbe Produkt aus Seitenlänge a mal Quadratwurzel aus 3. Um die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln, musst du das Quadrat der Seitenlänge a mit der Quadratwurzel aus 3 multiplizieren und durch 4 dividieren.

Das Gebietskonzept

Das Konzept der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer solchen Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für eine Flächeneinheit einer geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei grundlegende Eigenschaften des Konzepts der Flächen geometrischer Formen.

Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.

Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der ursprünglichen Figur gleich der Summe der Werte der Flächen aller Figuren, aus denen sie besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Beispiel 1

Es ist offensichtlich, dass eine der Seiten des Dreiecks die Diagonale des Rechtecks ​​ist, wobei eine Seite $5$ (seit $5$-Zellen) und die andere $6$ (seit $6$-Zellen) ist. Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​ist

Dann ist die Fläche des Dreiecks

Antwort: $15$.

Betrachten Sie als Nächstes verschiedene Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich die Verwendung der Höhe und der Basis, die Verwendung der Heron-Formel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

So finden Sie die Fläche eines Dreiecks anhand der Höhe und Basis

Satz 1

Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich aus dem halben Produkt der Länge einer Seite mal der zu dieser Seite gezeichneten Höhe.

Mathematisch sieht es so aus

$S=\frac(1)(2)αh$

wobei $a$ die Länge der Seite ist, $h$ die darauf gezogene Höhe.

Nachweisen.

Betrachten wir das Dreieck $ABC$ mit $AC=α$. Die Höhe $BH$ wird auf diese Seite gezogen und entspricht $h$. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.

Die Fläche des Rechtecks ​​$AXBH$ ist $h\cdot AH$ und die Fläche des Rechtecks ​​$HBYC$ ist $h\cdot HC$. Dann

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daher ist die gewünschte Fläche des Dreiecks nach Eigenschaft 2 gleich

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der folgenden Abbildung, wenn die Zelle eine Fläche gleich eins hat

Die Basis dieses Dreiecks ist $9$ (da $9$ $9$ Zellen sind). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwort: 40,5 $.

Heron-Formel

Satz 2

Wenn uns drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ gegeben sind, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier bedeutet $ρ$ den halben Umfang dieses Dreiecks.

Nachweisen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$

Aus dem Dreieck $CBH$ haben wir nach dem Satz des Pythagoras

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann ist $α+β+γ=2ρ$, also

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nach Satz 1 erhalten wir

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Fläche eines Dreiecks - Formeln und Beispiele zur Problemlösung

Unten sind Formeln zum Ermitteln der Fläche eines beliebigen Dreiecks die geeignet sind, die Fläche eines beliebigen Dreiecks zu finden, unabhängig von seinen Eigenschaften, Winkeln oder Abmessungen. Die Formeln werden in Form eines Bildes dargestellt, hier finden Sie Erklärungen zur Anwendung oder Begründung ihrer Richtigkeit. Außerdem zeigt eine separate Abbildung die Entsprechung der Buchstabensymbole in den Formeln und den grafischen Symbolen in der Zeichnung.

Notiz . Wenn das Dreieck besondere Eigenschaften hat (gleichschenklig, rechteckig, gleichseitig), können Sie die folgenden Formeln verwenden, sowie zusätzlich spezielle Formeln, die nur für Dreiecke mit diesen Eigenschaften gelten:

• "Formeln für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks"

Dreiecksflächenformeln

Erläuterungen zu Formeln:
a, b, c- die Seitenlängen des Dreiecks, dessen Flächeninhalt wir ermitteln wollen
R- der Radius des Kreises, der in das Dreieck eingeschrieben ist
R- der Radius des umschriebenen Kreises um das Dreieck
h- die Höhe des Dreiecks, zur Seite abgesenkt
P- Halbumfang eines Dreiecks, 1/2 der Summe seiner Seiten (Umfang)
α - der Winkel gegenüber der Seite a des Dreiecks
β - der Winkel gegenüber der Seite b des Dreiecks
γ - der Winkel gegenüber der Seite c des Dreiecks
h ein, h B , h C- die Höhe des Dreiecks, abgesenkt zur Seite a, b, c

Bitte beachten Sie, dass die obige Notation der obigen Abbildung entspricht, so dass es Ihnen beim Lösen eines echten Geometrieproblems leichter fällt, visuell einzuwechseln richtigen Stellen Formeln richtige Werte.

• Die Fläche des Dreiecks ist das halbe Produkt aus der Höhe eines Dreiecks und der Länge der Seite, auf der diese Höhe abgesenkt wird(Formel 1). Die Richtigkeit dieser Formel ist logisch nachzuvollziehen. Die zur Basis abgesenkte Höhe teilt ein beliebiges Dreieck in zwei rechteckige. Wenn wir jedes von ihnen zu einem Rechteck mit den Abmessungen b und h vervollständigen, entspricht die Fläche dieser Dreiecke offensichtlich genau der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​​​(Spr = bh)
• Die Fläche des Dreiecks ist das halbe Produkt seiner beiden Seiten und der Sinus des Winkels zwischen ihnen(Formel 2) (siehe unten ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit dieser Formel). Trotz der Tatsache, dass es sich von dem vorherigen unterscheidet, kann es leicht in dieses umgewandelt werden. Wenn wir die Höhe vom Winkel B auf die Seite b verringern, stellt sich heraus, dass das Produkt der Seite a und des Sinus des Winkels γ gemäß den Eigenschaften des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck gleich der Höhe des gezeichneten Dreiecks ist uns, was uns die vorherige Formel geben wird
• Die Fläche eines beliebigen Dreiecks kann gefunden werden über Arbeit der halbe Radius eines Kreises, der ihm durch die Summe der Längen aller seiner Seiten einbeschrieben ist(Formel 3), mit anderen Worten, Sie müssen den halben Umfang des Dreiecks mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises multiplizieren (dies ist einfacher zu merken)
• Die Fläche eines beliebigen Dreiecks kann ermittelt werden, indem das Produkt aller seiner Seiten durch 4 Radien des umschriebenen Kreises geteilt wird (Formel 4)
• Formel 5 findet die Fläche eines Dreiecks in Bezug auf die Längen seiner Seiten und seinen Halbumfang (die Hälfte der Summe aller seiner Seiten)
• Heron-Formel(6) ist eine Darstellung derselben Formel, ohne das Konzept eines Halbumfangs zu verwenden, nur durch die Längen der Seiten
• Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der Seite des Dreiecks und den Sinus der an diese Seite angrenzenden Winkel dividiert durch den doppelten Sinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels (Formel 7)
• Die Fläche eines beliebigen Dreiecks kann als Produkt aus zwei Quadraten eines umschriebenen Kreises und den Sinus jedes seiner Winkel ermittelt werden. (Formel 8)
• Wenn die Länge einer Seite und die Größe der beiden angrenzenden Winkel bekannt sind, kann die Fläche des Dreiecks als Quadrat dieser Seite geteilt durch die doppelte Summe der Kotangenten dieser Seite gefunden werden Winkel (Formel 9)
• Wenn nur die Länge jeder der Höhen eines Dreiecks bekannt ist (Formel 10), dann ist die Fläche eines solchen Dreiecks umgekehrt proportional zu den Längen dieser Höhen, wie nach der Heron-Formel
• Mit Formel 11 können Sie rechnen Fläche eines Dreiecks nach den Koordinaten seiner Eckpunkte, die als (x;y)-Werte für jeden der Scheitelpunkte angegeben sind. Bitte beachten Sie, dass der resultierende Wert modulo genommen werden muss, da die Koordinaten einzelner (oder sogar aller) Scheitelpunkte im Bereich negativer Werte liegen können

Notiz. Das Folgende sind Beispiele für die Lösung von Problemen in der Geometrie, um die Fläche eines Dreiecks zu finden. Wenn Sie ein Problem in der Geometrie lösen müssen, das hier nicht ähnlich ist, schreiben Sie darüber im Forum. In Lösungen anstelle des Symbols " Quadratwurzel" kann die Funktion sqrt() verwendet werden, in der sqrt das Quadratwurzelsymbol ist und der Wurzelausdruck in Klammern angegeben ist.Manchmal kann das Symbol für einfache radikale Ausdrücke verwendet werden √

Eine Aufgabe. Finde die Fläche zweier Seiten und den Winkel zwischen ihnen

Die Seiten des Dreiecks sind 5 und 6 cm groß, der Winkel zwischen ihnen beträgt 60 Grad. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks.

Lösung.

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formel Nummer zwei aus dem theoretischen Teil der Lektion.
Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich aus den Längen zweier Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen und wird gleich sein
S=1/2 ab sin γ

Da wir alle notwendigen Daten für die Lösung (laut Formel) haben, können wir nur die Werte aus der Problemstellung in die Formel einsetzen:
S=1/2*5*6*sin60

In der Wertetabelle trigonometrische Funktionen Finden Sie den Wert des Sinus 60 Grad und setzen Sie ihn in den Ausdruck ein. Es wird gleich der Wurzel von drei mal zwei sein.
S = 15 √3 / 2

Antworten: 7,5 √3 (je nach Anforderung des Lehrers ist es wahrscheinlich möglich, 15 √3/2 zu belassen)

Eine Aufgabe. Finden Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks

Finden Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seite von 3 cm.

Lösung .

Die Fläche eines Dreiecks kann mit der Heron-Formel ermittelt werden:

S = 1/4 Quadrat((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Da a \u003d b \u003d c, hat die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks die Form:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Antworten: 9 √3 / 4.

Eine Aufgabe. Flächenänderung bei Änderung der Seitenlänge

Wie oft vergrößert sich die Fläche eines Dreiecks, wenn die Seiten vervierfacht werden?

Lösung.

Da uns die Seitenabmessungen des Dreiecks unbekannt sind, nehmen wir zur Lösung der Aufgabe an, dass die Seitenlängen jeweils gleich beliebigen Zahlen a, b, c sind. Um die Frage des Problems zu beantworten, finden wir dann die Fläche dieses Dreiecks und dann die Fläche eines Dreiecks, dessen Seiten viermal größer sind. Das Verhältnis der Flächen dieser Dreiecke gibt uns die Antwort auf das Problem.

Als nächstes geben wir eine textuelle Erklärung der Lösung des Problems in Schritten. Ganz am Ende wird die gleiche Lösung jedoch in einer für die Wahrnehmung bequemeren grafischen Form präsentiert. Wer möchte, kann die Lösung sofort herunterfallen.

Zur Lösung verwenden wir die Heron-Formel (siehe oben im theoretischen Teil der Lektion). Es sieht aus wie das:

S = 1/4 Quadrat((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(siehe die erste Zeile des Bildes unten)

Die Seitenlängen eines beliebigen Dreiecks sind durch die Variablen a, b, c gegeben.
Wenn die Seiten um das Vierfache vergrößert werden, beträgt die Fläche des neuen Dreiecks c:

S 2 = 1/4 Quadrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(siehe die zweite Zeile im Bild unten)

Wie Sie sehen können, ist 4 ein gemeinsamer Faktor, der aus allen vier Ausdrücken gemäß aus Klammern herausgenommen werden kann Allgemeine Regeln Mathematik.
Dann

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - in der dritten Zeile des Bildes
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - vierte Zeile

Aus der Zahl 256 wird die Quadratwurzel perfekt extrahiert, also ziehen wir sie unter der Wurzel heraus
S 2 = 16 * 1/4 Quadrat((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(siehe die fünfte Zeile der Abbildung unten)

Um die im Problem gestellte Frage zu beantworten, reicht es aus, die Fläche des resultierenden Dreiecks durch die Fläche des ursprünglichen Dreiecks zu teilen.
Wir ermitteln die Flächenverhältnisse, indem wir die Ausdrücke ineinander dividieren und den resultierenden Bruch kürzen.