Die Summe der Elemente einer geometrischen Progression. Algebra: Arithmetische und geometrische Progressionen
Wenn jede natürliche Zahl n stimmt mit einer reellen Zahl überein ein dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :
ein 1 , ein 2 , ein 3 , . . . , ein , . . . .
Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.
Nummer ein 1 werden genannt das erste Glied der Sequenz , Nummer ein 2 — zweites Semester , Nummer ein 3 — Dritter usw. Nummer ein werden genannt der n-te Term der Folge , und die natürliche Zahl n — seine Nummer .
Von zwei benachbarten Mitgliedern ein und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 werden genannt anschließend (in Richtung ein ), ein ein — früher (in Richtung ein +1 ).
Um eine Sequenz anzugeben, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Zahl finden können.
Oft wird die Reihenfolge mit angegeben Formeln für den n-ten Term , d. h. eine Formel, mit der Sie ein Element einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.
Zum Beispiel,
eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden
ein= 2n - 1,
und die Abfolge der alternierenden 1 und -1 - nach der Formel
B n = (-1)n +1 . ◄
Die Reihenfolge ist bestimmbar rekursive Formel, das heißt, eine Formel, die ein beliebiges Element der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen bis zu den vorherigen (einem oder mehreren) Elementen.
Zum Beispiel,
wenn ein 1 = 1 , ein ein +1 = ein + 5
ein 1 = 1,
ein 2 = ein 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ein 3 = ein 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ein 4 = ein 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ein 5 = ein 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Wenn ein 1= 1, ein 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge wie folgt gesetzt:
ein 1 = 1,
ein 2 = 1,
ein 3 = ein 1 + ein 2 = 1 + 1 = 2,
ein 4 = ein 2 + ein 3 = 1 + 2 = 3,
ein 5 = ein 3 + ein 4 = 2 + 3 = 5,
ein 6 = ein 4 + ein 5 = 3 + 5 = 8,
ein 7 = ein 5 + ein 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sequenzen können sein Finale und endlos .
Die Folge heißt der ultimative wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Folge heißt endlos wenn es unendlich viele Mitglieder hat.
Zum Beispiel,
eine Folge von zweistelligen natürlichen Zahlen:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
Finale.
Eine Folge von Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endlos. ◄
Die Folge heißt zunehmend wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer ist als das vorherige.
Die Folge heißt abnehmend wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.
Zum Beispiel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - steigende Reihenfolge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - eine absteigende Reihenfolge. ◄
Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt eintöniger Ablauf .
Monotone Folgen sind insbesondere aufsteigende Folgen und absteigende Folgen.
Arithmetische Progression
Arithmetische Progression es wird eine Folge aufgerufen, von der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, zu dem die gleiche Zahl addiert wird.
ein 1 , ein 2 , ein 3 , . . . , ein, . . .
ist eine arithmetische Folge, wenn für eine beliebige natürliche Zahl n die Bedingung ist erfüllt:
ein +1 = ein + D,
wo D - eine Nummer.
Somit ist die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Glied einer gegebenen arithmetischen Folge immer konstant:
ein 2 - ein 1 = ein 3 - ein 2 = . . . = ein +1 - ein = D.
Nummer D werden genannt Differenz der arithmetischen Progression.
Um eine arithmetische Folge festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.
Zum Beispiel,
wenn ein 1 = 3, D = 4 , dann werden die ersten fünf Elemente der Sequenz wie folgt gefunden:
ein 1 =3,
ein 2 = ein 1 + D = 3 + 4 = 7,
ein 3 = ein 2 + D= 7 + 4 = 11,
ein 4 = ein 3 + D= 11 + 4 = 15,
ein 5 = ein 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Für arithmetische Progression mit dem ersten Term ein 1 und der unterschied D Sie n
ein = ein 1 + (n- 1)D.
Zum Beispiel,
finde den dreißigsten Term der arithmetischen Folge
1, 4, 7, 10, . . .
ein 1 =1, D = 3,
ein 30 = ein 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
ein n-1 = ein 1 + (n- 2)D,
ein= ein 1 + (n- 1)D,
ein +1 = ein 1 + nd,
dann offensichtlich
| ein=
| a n-1 + a n + 1
|
| 2
|
jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Glieder.
die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Glieder einer arithmetischen Folge, wenn eine von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der beiden anderen ist.
Zum Beispiel,
ein = 2n- 7 , ist eine arithmetische Folge.
Verwenden wir die obige Anweisung. Wir haben:
ein = 2n- 7,
ein n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,
ein n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.
Somit,
| ein n + 1 + ein n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = ein,
|
| 2
| 2
|
◄
Beachten Sie, dass n -ter Term der arithmetischen Folge findet man nicht nur durch ein 1 , aber auch alle vorherigen ein k
ein = ein k + (n- k)D.
Zum Beispiel,
zum ein 5 kann geschrieben werden
ein 5 = ein 1 + 4D,
ein 5 = ein 2 + 3D,
ein 5 = ein 3 + 2D,
ein 5 = ein 4 + D. ◄
ein = ein n-k + kd,
ein = ein n + k - kd,
dann offensichtlich
| ein=
| ein n-k
+ a n + k
|
| 2
|
jedes Glied einer arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten, ist gleich der Halbsumme der Glieder dieser arithmetischen Folge im gleichen Abstand davon.
Außerdem gilt für jede arithmetische Folge die Gleichheit:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge
1) ein 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ein 9 + ein 11 )/2;
2) 28 = ein 10 = ein 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) ein 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als
eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,
eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S nein= eine 1 + eine 2 + eine 3 +. ... ...+ ein,
der erste n Glieder der arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt der Halbsumme der extremen Terme durch die Anzahl der Terme:
Daraus folgt insbesondere, dass wenn es notwendig ist, die Terme zu summieren
ein k, ein k +1 , . . . , ein,
dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Wird eine arithmetische Folge angegeben, dann sind die Werte ein 1 , ein, D, n undS n durch zwei Formeln verbunden:
Wenn also die Werte von drei dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, kombiniert zu einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:
- wenn D > 0 , dann nimmt sie zu;
- wenn D < 0 , dann nimmt sie ab;
- wenn D = 0 , dann ist die Sequenz stationär.
Geometrischer Verlauf
Geometrischer Verlauf Es wird eine Folge aufgerufen, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit der gleichen Zahl.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b nein, . . .
ist eine geometrische Folge, wenn für eine beliebige natürliche Zahl n die Bedingung ist erfüllt:
b nein +1 = b nein · Q,
wo Q ≠ 0 - eine Nummer.
Somit ist das Verhältnis des nächsten Elements einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b nein +1 / b nein = Q.
Nummer Q werden genannt Nenner der geometrischen Progression.
Um eine geometrische Progression festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.
Zum Beispiel,
wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann werden die ersten fünf Elemente der Sequenz wie folgt gefunden:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 und der Nenner Q Sie n Der te Term kann durch die Formel gefunden werden:
b nein = B 1 · q nein -1 .
Zum Beispiel,
finde den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · q nein -2 ,
b nein = b 1 · q nein -1 ,
b nein +1 = B 1 · q nein,
dann offensichtlich
b nein 2 = b nein -1 · b nein +1 ,
jedes Glied einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und des nachfolgenden Glieds.
Da auch die umgekehrte Aussage gilt, gilt folgende Aussage:
Zahlen a, b und c sind aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge, wenn und nur wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, d. h. eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.
Zum Beispiel,
beweisen wir, dass die durch die Formel gegebene Folge b nein= -3 2 n , ist eine exponentielle Progression. Verwenden wir die obige Anweisung. Wir haben:
b nein= -3 2 n,
b nein -1 = -3 2 n -1 ,
b nein +1 = -3 2 n +1 .
Somit,
b nein 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b nein -1 · b nein +1 ,
was die geforderte Aussage beweist. ◄
Beachten Sie, dass n -ter Term der geometrischen Progression findet sich nicht nur durch B 1 , aber auch alle vorherigen Terme b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden
b nein = b k · q nein - k.
Zum Beispiel,
zum B 5 kann geschrieben werden
b 5 = b 1 · Q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · Q. ◄
b nein = b k · q nein - k,
b nein = b nein - k · q k,
dann offensichtlich
b nein 2 = b nein - k· b nein + k
das Quadrat jedes Glieds einer geometrischen Reihe, beginnend mit der zweiten, ist gleich dem Produkt der Glieder dieser Reihe, die von ihr gleich weit entfernt sind.
Außerdem gilt für jede geometrische Progression die Gleichheit:
b m· b nein= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Zum Beispiel,
exponentiell
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S nein= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b nein
der erste n Glieder einer geometrischen Folge mit dem Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:
Und wann Q = 1 - nach der Formel
S nein= nb 1
Beachten Sie, dass, wenn Sie die Terme summieren müssen
b k, b k +1 , . . . , b nein,
dann wird die Formel verwendet:
| S nein- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b nein = b k · | 1 - q nein -
k +1
| . |
| 1 - Q
|
Zum Beispiel,
exponentiell 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ist ein geometrischer Verlauf gegeben, dann sind die Werte B 1 , b nein, Q, n und S nein durch zwei Formeln verbunden:
Wenn daher die Werte von drei dieser Größen angegeben werden, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Für eine geometrische Progression mit dem ersten Term B 1 und der Nenner Q folgende Monotonieeigenschaften :
- die Progression ist aufsteigend, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
B 1 > 0 und Q> 1;
B 1 < 0 und 0 < Q< 1;
- die Progression nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
B 1 > 0 und 0 < Q< 1;
B 1 < 0 und Q> 1.
Wenn Q< 0 , dann ist der geometrische Verlauf alternierend: seine ungeraden Glieder haben das gleiche Vorzeichen wie sein erster Term, und die geraden Terme haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.
Die Arbeit des ersten n Elemente einer geometrischen Progression können nach der Formel berechnet werden:
P nein= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b nein = (b 1 · b nein) n / 2 .
Zum Beispiel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf
Ein unendlich abnehmender geometrischer Verlauf heißt eine unendliche geometrische Folge, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also
|Q| < 1 .
Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Progression keine abnehmende Sequenz sein muss. Das passt in den Fall
1 < Q< 0 .
Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist die Zahl, zu der die Summe der ersten n Mitglieder der Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl n ... Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Zum Beispiel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen
Arithmetische und geometrische Verläufe sind eng verwandt. Schauen wir uns nur zwei Beispiele an.
ein 1 , ein 2 , ein 3 , . . . D , dann
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Zum Beispiel,
1, 3, 5, . . . - arithmetische Progression mit Differenz 2 und
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner Q , dann
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - arithmetische Progression mit Differenz loggen Sie sich einQ .
Zum Beispiel,
2, 12, 72, . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 6 und
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - arithmetische Progression mit Differenz lg 6 . ◄
Die geometrische Progression ist neben der Arithmetik eine wichtige Zahlenreihe, die im Schulalgebrakurs in der 9. Klasse studiert wird. In diesem Artikel betrachten wir den Nenner einer geometrischen Progression und wie sich ihr Wert auf ihre Eigenschaften auswirkt.
Definition eines geometrischen Verlaufs
Lassen Sie uns zunächst die Definition dieser Zahlenreihe geben. Die geometrische Progression wird als eine Reihe von rationalen Zahlen bezeichnet, die durch sequentielles Multiplizieren ihres ersten Elements mit einer konstanten Zahl, dem Nenner, gebildet wird.
Zum Beispiel sind die Zahlen in der Reihe 3, 6, 12, 24, ... eine geometrische Folge, denn wenn Sie 3 (das erste Element) mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 6. Wenn Sie 6 mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 12 und so weiter.
Die Elemente der betrachteten Sequenz werden normalerweise mit dem Symbol ai bezeichnet, wobei i eine ganze Zahl ist, die die Nummer eines Elements in der Zeile angibt.
Die obige Definition einer Progression kann in der Sprache der Mathematik wie folgt geschrieben werden: an = bn-1 * a1, wobei b der Nenner ist. Es ist einfach, diese Formel zu überprüfen: Wenn n = 1, dann b1-1 = 1, und wir erhalten a1 = a1. Ist n = 2, dann ist an = b * a1 und wir kommen wieder zur Definition der betrachteten Zahlenreihe. Eine ähnliche Argumentation kann für große Werte von n fortgesetzt werden.
Nenner der geometrischen Progression
Die Zahl b bestimmt vollständig, welchen Charakter die gesamte Zahlenreihe haben wird. Der Nenner b kann positiv, negativ oder größer als eins oder kleiner sein. Alle diese Optionen führen zu unterschiedlichen Abläufen:
- b> 1. Es gibt eine zunehmende Reihe rationaler Zahlen. Zum Beispiel 1, 2, 4, 8, ... Wenn das Element a1 negativ ist, nimmt die gesamte Folge nur im absoluten Wert zu, aber unter Berücksichtigung des Vorzeichens der Zahlen ab.
- b = 1. Ein solcher Fall wird oft nicht als Progression bezeichnet, da es eine gewöhnliche Reihe identischer rationaler Zahlen gibt. Zum Beispiel -4, -4, -4.
Formel für den Betrag
Bevor mit dem Nenner des betrachteten Progressionstyps spezifische Probleme betrachtet werden, sollte eine wichtige Formel für die Summe seiner ersten n Elemente angegeben werden. Die Formel lautet: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Sie können diesen Ausdruck selbst erhalten, wenn Sie eine rekursive Folge von Mitgliedern der Progression betrachten. Beachten Sie auch, dass es in der obigen Formel ausreicht, nur das erste Element und den Nenner zu kennen, um die Summe einer beliebigen Anzahl von Termen zu finden.
Unendlich abnehmende Folge
Oben wurde erklärt, was es ist. Wenn Sie nun die Formel für Sn kennen, wenden Sie sie auf diese Zahlenreihe an. Da jede Zahl, deren Modul 1 nicht überschreitet, wenn sie auf große Grade erhöht wird, gegen Null strebt, d. h. b∞ => 0, wenn -1
Da die Differenz (1 - b) unabhängig vom Wert des Nenners immer positiv ist, wird das Vorzeichen der Summe der unendlich abnehmenden geometrischen S durch das Vorzeichen ihres ersten Elements a1 eindeutig bestimmt.
Nun betrachten wir mehrere Aufgaben, in denen wir zeigen, wie die gewonnenen Erkenntnisse auf bestimmte Zahlen angewendet werden können.
Problem Nummer 1. Berechnung der unbekannten Elemente der Progression und der Summe
Sie erhalten eine geometrische Progression, deren Nenner 2 ist und ihr erstes Element 3. Was wird ihr 7. und 10. Term sein und wie groß ist die Summe ihrer sieben Anfangselemente?
Die Bedingung des Problems ist ganz einfach zusammengesetzt und beinhaltet die direkte Verwendung der obigen Formeln. Um also das Element mit der Zahl n zu berechnen, verwenden wir den Ausdruck an = bn-1 * a1. Für das 7. Element gilt: a7 = b6 * a1, wobei wir die bekannten Daten ersetzen, erhalten wir: a7 = 26 * 3 = 192. Das gleiche machen wir für den 10. Term: a10 = 29 * 3 = 1536.
Verwenden wir die bekannte Formel für die Summe und bestimmen diesen Wert für die ersten 7 Elemente der Reihe. Wir haben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Aufgabe Nummer 2. Bestimmung der Summe beliebiger Elemente der Progression
Sei -2 der Nenner der exponentiellen Progression bn-1 * 4, wobei n eine ganze Zahl ist. Es ist notwendig, den Betrag vom 5. bis einschließlich 10. Element dieser Serie zu bestimmen.
Das gestellte Problem lässt sich mit bekannten Formeln nicht direkt lösen. Es kann durch 2 verschiedene Methoden gelöst werden. Der Vollständigkeit halber stellen wir beides vor.
Methode 1. Die Idee ist einfach: Es ist notwendig, die beiden entsprechenden Summen der ersten Terme zu berechnen und dann die andere von einem zu subtrahieren. Wir berechnen den kleineren Betrag: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nun berechnen wir die große Summe: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Beachten Sie, dass im letzten Ausdruck nur 4 Terme aufsummiert wurden, da der 5. bereits in der Summe enthalten ist, die entsprechend der Bedingung des Problems berechnet werden muss. Nimm schließlich die Differenz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Methode 2. Vor dem Ersetzen von Zahlen und dem Zählen können Sie eine Formel für die Summe zwischen den Mitgliedern m und n der fraglichen Reihe erhalten. Wir machen genau dasselbe wie in Methode 1, nur arbeiten wir zuerst mit der symbolischen Darstellung der Summe. Wir haben: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Im resultierenden Ausdruck können Sie bekannte Zahlen ersetzen und das Endergebnis berechnen: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Problem Nummer 3. Was ist der Nenner?
Sei a1 = 2, bestimme den Nenner der geometrischen Folge, vorausgesetzt, ihre unendliche Summe ist 3, und es ist bekannt, dass dies eine abnehmende Reihe von Zahlen ist.
Anhand der Bedingung des Problems lässt sich leicht erraten, mit welcher Formel es gelöst werden soll. Denn die Summe der Progression nimmt natürlich unendlich ab. Es gilt: S∞ = a1 / (1 - b). Von wo aus wir den Nenner ausdrücken: b = 1 - a1 / S∞. Es bleibt übrig, die bekannten Werte zu ersetzen und die erforderliche Zahl zu erhalten: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 oder -0,333 (3). Dieses Ergebnis kann qualitativ überprüft werden, wenn wir uns daran erinnern, dass der Modul b für diese Art von Folge nicht über 1 hinausgehen sollte. Wie Sie sehen, gilt |-1 / 3 |
Problem Nummer 4. Eine Reihe von Zahlen wiederherstellen
Seien 2 Elemente einer numerischen Reihe gegeben, zum Beispiel das 5. ist gleich 30 und das 10. ist gleich 60. Es ist notwendig, die gesamte Reihe aus diesen Daten zu rekonstruieren, da man weiß, dass sie die Eigenschaften einer geometrischen Progression erfüllt.
Um das Problem zu lösen, müssen Sie zunächst für jedes bekannte Element den entsprechenden Ausdruck aufschreiben. Wir haben: a5 = b4 * a1 und a10 = b9 * a1. Jetzt dividieren wir den zweiten Ausdruck durch den ersten und erhalten: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Von hier aus bestimmen wir den Nenner, indem wir die fünfte Wurzel des Verhältnisses der Terme ziehen, das aus der Bedingung des Problems bekannt ist, b = 1,148698. Wir setzen die resultierende Zahl in einen der Ausdrücke für das bekannte Element ein und erhalten: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
Damit haben wir den Nenner der Progression bn gefunden, und die geometrische Progression bn-1 * 17.2304966 = an, wobei b = 1.148698.
Wo werden geometrische Verläufe verwendet?
Gäbe es keine Anwendung dieser Zahlenreihe in der Praxis, dann würde ihre Untersuchung auf ein rein theoretisches Interesse reduziert. Aber es gibt einen solchen Antrag.
Nachfolgend die 3 bekanntesten Beispiele:
- Zenos Paradoxon, in dem der clevere Achilles die langsame Schildkröte nicht einholen kann, wird mit dem Konzept einer unendlich abnehmenden Zahlenfolge gelöst.
- Wenn Sie Weizenkörner auf jedes Feld des Schachbretts legen, so dass 1 Korn auf das 1. Feld gelegt wird, 2 - auf das 2., 3 - auf das 3. usw., dann werden 18446744073709551615 Körner benötigt, um alle Felder des Planke!
- Im Tower of Hanoi-Spiel ist es notwendig, um Scheiben von einem Stab zum anderen neu anzuordnen, 2n - 1 Operationen durchzuführen, dh ihre Anzahl wächst exponentiell mit der Anzahl der verwendeten Scheiben n.
Bereits im alten Ägypten kannten sie nicht nur die arithmetische, sondern auch die geometrische Progression. Hier zum Beispiel ein Problem aus Rynds Papyrus: „Sieben Gesichter haben jeweils sieben Katzen; jede Katze frisst sieben Mäuse, jede Maus frisst sieben Ohren, jedes Ohr kann sieben Maß Gerste anbauen. Wie groß sind die Zahlen dieser Reihe und ihre Summe?"
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Reis. 1. Das altägyptische Problem der geometrischen Progression |
Diese Aufgabe wurde zu anderen Zeiten viele Male mit verschiedenen Variationen bei anderen Völkern wiederholt. Zum Beispiel in der Schrift im XIII Jahrhundert. "Das Buch des Abakus" von Leonardo von Pisa (Fibonacci) hat ein Problem, bei dem 7 alte Frauen nach Rom fahren (offensichtlich Pilger), von denen jede 7 Maultiere hat, von denen jeder 7 Säcke hat, von denen jeder hat 7 Brote mit jeweils 7 Messern, jedes davon in 7 Scheiden. Das Problem fragt, wie viele Elemente es gibt.
Die Summe der ersten n Terme des geometrischen Verlaufs S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Diese Formel lässt sich beispielsweise wie folgt beweisen: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Addiere zu S n die Zahl b 1 q n und erhalte:
|
Daher ist S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), und wir erhalten die erforderliche Formel.
Bereits auf einer der Tontafeln des alten Babylon aus dem 6. Jahrhundert. BC h., enthält die Summe 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Allerdings wissen wir wie in vielen anderen Fällen nicht, wo diese Tatsache den Babyloniern bekannt war .
Das schnelle Wachstum der geometrischen Progression in einer Reihe von Kulturen, insbesondere in Indien, wird immer wieder als visuelles Symbol für die Unermesslichkeit des Universums verwendet. In der bekannten Legende über das Erscheinen des Schachs gibt der Herr seinem Erfinder die Möglichkeit, die Belohnung selbst zu wählen, und er fragt nach der Menge an Weizenkörnern, die man erhält, wenn man auf das erste Feld des Schachbretts gestellt wird. zwei beim zweiten, vier beim dritten, acht beim vierten und so weiter, jedes Mal verdoppelt sich die Zahl. Wladyka dachte, dass es sich höchstens um mehrere Säcke handelte, aber er verschätzte sich. Es ist leicht zu erkennen, dass der Erfinder für alle 64 Felder des Schachbretts (2 64 - 1) Grain erhalten haben sollte, was durch eine 20-stellige Zahl ausgedrückt wird; Selbst wenn die gesamte Erdoberfläche ausgesät würde, würde es mindestens 8 Jahre dauern, um die erforderliche Menge an Körnern zu sammeln. Diese Legende wird manchmal als Hinweis auf die fast unbegrenzten Möglichkeiten interpretiert, die im Schachspiel verborgen sind.
Es ist leicht zu erkennen, dass diese Nummer tatsächlich 20-stellig ist:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (eine genauere Berechnung ergibt 1,84 ∙ 10 19). Aber ich frage mich, ob Sie herausfinden können, mit welcher Ziffer diese Zahl endet?
Der geometrische Verlauf ist ansteigend, wenn der Nenner im Absolutwert größer als 1 ist, oder abnehmend, wenn er kleiner als eins ist. Im letzteren Fall kann die Zahl q n für ausreichend großes n beliebig klein werden. Während ein zunehmender geometrischer Verlauf unerwartet schnell zunimmt, nimmt ein abnehmender ebenso schnell ab.
Je größer n, desto schwächer weicht die Zahl qn von Null ab und desto näher liegt die Summe der n Terme der geometrischen Folge S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) an der Zahl S = b 1 / ( 1 - q). (So argumentierte beispielsweise F. Viet). Die Zahl S heißt die Summe eines unendlich abnehmenden geometrischen Verlaufs. Dennoch war den Mathematikern über viele Jahrhunderte die Frage nicht klar genug, was die Summation der GESAMTEN geometrischen Progression mit ihrer unendlichen Anzahl von Begriffen bedeutet.
Eine abnehmende geometrische Progression ist beispielsweise in Zenos Aporien "Halving" und "Achilles and the Turtle" zu sehen. Im ersten Fall wird klar gezeigt, dass die gesamte Straße (angenommen von Länge 1) die Summe einer unendlichen Anzahl von Segmenten 1/2, 1/4, 1/8 usw. ist. Also ist es natürlich aus der Sicht des Begriffs einer endlichen Summe endlose geometrische Progression. Und doch – wie kann das sein?
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Reis. 2. Progression mit einem Faktor von 1/2 |
Bei der Aporie über Achilles ist die Situation etwas komplizierter, da hier der Nenner der Progression nicht gleich 1/2, sondern einer anderen Zahl ist. Angenommen, Achilles rennt mit einer Geschwindigkeit v, eine Schildkröte bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u und der anfängliche Abstand zwischen ihnen ist l. Achilles wird diese Strecke in der Zeit l / v laufen, die Schildkröte wird sich während dieser Zeit um eine Strecke lu / v bewegen. Wenn Achilles dieses Segment durchläuft, wird der Abstand zwischen ihm und der Schildkröte gleich l (u / v) 2 usw. Es stellt sich heraus, dass das Aufholen der Schildkröte bedeutet, die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression mit dem ersten Term zu finden l und der Nenner u / v. Diese Summe - das Segment, das Achilles schließlich zu der Stelle laufen wird, an der er die Schildkröte trifft - ist gleich l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Aber auch hier war lange Zeit nicht ganz klar, wie dieses Ergebnis zu interpretieren ist und warum es überhaupt Sinn macht.
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Reis. 3. Geometrischer Verlauf mit Faktor 2/3 |
Die Summe einer geometrischen Progression wurde von Archimedes verwendet, um die Fläche eines Parabelsegments zu bestimmen. Der gegebene Parabelabschnitt sei durch die Sehne AB begrenzt und die Tangente im Punkt D der Parabel sei parallel zu AB. Sei C der Mittelpunkt von AB, E der Mittelpunkt von AC, F der Mittelpunkt von CB. Zeichnen Sie gerade Linien parallel zu DC durch die Punkte A, E, F, B; Lassen Sie die Tangente an Punkt D ziehen, diese Linien schneiden sich in den Punkten K, L, M, N. Lassen Sie uns auch die Segmente AD und DB zeichnen. Die Linie EL schneide die Linie AD im Punkt G und die Parabel im Punkt H; Linie FM schneidet Linie DB im Punkt Q und Parabel im Punkt R. Nach der allgemeinen Theorie der Kegelschnitte ist DC der Durchmesser einer Parabel (dh eines Segments parallel zu ihrer Achse); es und die Tangente an Punkt D können als x- und y-Koordinatenachsen dienen, in denen die Parabelgleichung geschrieben wird als y 2 = 2px (x ist der Abstand von D zu einem beliebigen Punkt mit einem bestimmten Durchmesser, y ist die Länge von a parallel zu einem bestimmten Tangentensegment von diesem Durchmesserpunkt zu einem Punkt auf der Parabel selbst).
Aufgrund der Parabelgleichung gilt DL 2 = 2 p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, und da DK = 2DL, dann KA = 4LH. Da KA = 2LG, LH = HG. Die Fläche des Parabel-ADB-Segments entspricht der Fläche des Dreiecks ΔADB und den Flächen der AHD- und DRB-Segmente zusammen. Die Fläche des AHD-Segments ist wiederum ähnlich der Fläche des Dreiecks AHD und der verbleibenden Segmente AH und HD, mit denen Sie jeweils die gleiche Operation ausführen können - in ein Dreieck (Δ) und teilen zwei verbleibende Segmente (), usw.:
Die Fläche des Dreiecks ΔAHD entspricht der Hälfte der Fläche des Dreiecks ΔALD (sie haben eine gemeinsame Basis AD, und die Höhen unterscheiden sich um das 2-fache), was wiederum der Hälfte der Fläche des Dreiecks entspricht ΔAKD und damit die halbe Fläche des Dreiecks ΔACD. Somit entspricht die Fläche des Dreiecks ΔAHD einem Viertel der Fläche des Dreiecks ΔACD. Ebenso entspricht die Fläche des Dreiecks ΔDRB einem Viertel der Fläche des Dreiecks ΔDFB. Die Flächen der Dreiecke AHD und ΔDRB zusammengenommen entsprechen also einem Viertel der Fläche des Dreiecks ΔADB. Durch Wiederholen dieses Vorgangs, der auf die Segmente AH, HD, DR und RB angewendet wird, werden auch Dreiecke ausgewählt, deren Fläche zusammengenommen viermal kleiner ist als die Fläche der Dreiecke ΔAHD und ΔDRB zusammengenommen , das bedeutet 16 mal weniger als die Fläche des Dreiecks ΔADB. Usw:
So bewies Archimedes, dass „jedes Segment, das zwischen einer geraden Linie und einer Parabel eingeschlossen ist, vier Drittel eines Dreiecks mit gleicher Basis und gleicher Höhe ist“.
Lektion und Präsentation zum Thema: "Zahlenfolgen. Geometrischer Verlauf"
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Leute, heute lernen wir eine andere Art von Fortschritt kennen.
Das Thema der heutigen Lektion ist die geometrische Progression.
Geometrischer Verlauf
Definition. Eine Zahlenfolge, in der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem Produkt der vorherigen und einer festen Zahl ist, wird als geometrische Folge bezeichnet.Setzen wir unsere Folge rekursiv: $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
wobei b und q bestimmte gegebene Zahlen sind. Die Zahl q wird als Nenner der Progression bezeichnet.
Beispiel. 1,2,4,8,16 ... Geometrische Progression, bei der der erste Term gleich eins ist und $ q = 2 $.
Beispiel. 8,8,8,8 ... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term acht ist,
und $q = 1 $.
Beispiel. 3, -3.3, -3.3 ... Geometrische Progression, bei der der erste Term gleich drei ist,
und $q = -1 $.
Der geometrische Verlauf hat die Eigenschaften der Monotonie.
Wenn $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
dann ist die Reihenfolge aufsteigend.
Wenn $ b_ (1)> 0 $, $ 0 Die Folge wird normalerweise wie folgt bezeichnet: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.
Wenn die Anzahl der Elemente in einer geometrischen Folge endlich ist, wird die Folge wie bei einer arithmetischen Folge als endliche geometrische Folge bezeichnet.
$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Beachten Sie, wenn die Folge eine geometrische Folge ist, dann ist die Folge der Quadrate von Stäben auch eine geometrische Folge. Für die zweite Folge ist der erste Term $ b_ (1) ^ 2 $ und der Nenner ist $ q ^ 2 $.
Formel des n-ten Termes einer geometrischen Folge
Der geometrische Verlauf kann auch in analytischer Form angegeben werden. Mal sehen, wie es geht:$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
Wir bemerken leicht das Muster: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Unsere Formel heißt "die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Progression".
Kehren wir zu unseren Beispielen zurück.
Beispiel. 1,2,4,8,16 ... Geometrische Progression, bei der der erste Term gleich eins ist,
und $q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.
Beispiel. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term sechzehn ist und $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
Beispiel. 8,8,8,8 ... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term acht ist und $ q = 1 $ ist.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.
Beispiel. 3, -3.3, -3.3 ... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term drei ist und $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (-1) ^ (n-1) $.
Beispiel. Sie erhalten eine geometrische Folge $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Es ist bekannt, dass $ b_ (1) = 6, q = 3 $ ist. Finde $ b_ (5) $.
b) Es ist bekannt, dass $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $ ist. Suche n.
c) Es ist bekannt, dass $ q = -2, b_ (6) = 96 $ ist. Finde $ b_ (1) $.
d) Es ist bekannt, dass $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $ ist. q finden.
Lösung.
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
b) $ b_n = b_1 * q^ (n-1) = 6 * 2^ (n-1) = 768 $.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ seit $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.
Beispiel. Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Term der geometrischen Progression beträgt 192, die Summe aus dem fünften und sechsten Term der Progression beträgt 192. Finden Sie den zehnten Term dieser Progression.
Lösung.
Wir wissen, dass: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ und $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
Wir wissen auch: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Dann:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Wir haben ein Gleichungssystem:
$ \ begin (Fälle) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (Fälle) $.
Gleichsetzend erhalten unsere Gleichungen:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$q ^ 2-1 = q + 1 $.
$q^2-q-2 = 0$.
Wir haben zwei Lösungen q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $.
Setze der Reihe nach in die zweite Gleichung ein:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ keine Lösungen.
Wir haben das: $ b_ (1) = 4, q = 2 $.
Finden Sie den zehnten Term: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.
Summe einer endlichen geometrischen Progression
Angenommen, wir haben eine endliche geometrische Progression. Lassen Sie uns, ebenso wie für eine arithmetische Progression, die Summe ihrer Mitglieder berechnen.Gegeben sei eine endliche geometrische Folge: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Wir führen die Notation für die Summe ihrer Mitglieder ein: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Für den Fall, dass $ q = 1 $ ist. Alle Glieder der geometrischen Folge sind gleich dem ersten Term, dann ist offensichtlich $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
Betrachten Sie nun den Fall $ q ≠ 1 $.
Multiplizieren Sie die obige Summe mit q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Notiz:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
Wir haben die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Progression.
Beispiel.
Finden Sie die Summe der ersten sieben Terme einer geometrischen Folge, in der der erste Term 4 und der Nenner 3 ist.
Lösung.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.
Beispiel.
Finden Sie den fünften Term der geometrischen Progression, der bekannt ist: $ b_ (1) = - 3 $; $b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.
Lösung.
$ b_ (n) = (-3) * q^ (n-1) = - 3072 $.
$q^(n-1) = 1024 $.
$q^(n) = 1024q$.
$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
$-4095 (q-1) = - 3 * (q^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) = -3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$ 341q = $ 1364.
$q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.
Charakteristische Eigenschaft eines geometrischen Verlaufs
Leute, eine geometrische Progression ist gegeben. Betrachten wir drei aufeinanderfolgende Mitglieder davon: $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $.Wir wissen das:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
Dann:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Wenn die Progression endlich ist, gilt diese Gleichheit für alle Mitglieder außer dem ersten und dem letzten.
Wenn nicht im Voraus bekannt ist, um welche Art von Folge es sich handelt, aber es ist bekannt, dass: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass dies eine geometrische Progression ist.
Eine Zahlenfolge ist nur dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Glieder gleich dem Produkt zweier benachbarter Glieder der Folge ist. Vergessen Sie nicht, dass bei einer endlichen Progression diese Bedingung für das erste und das letzte Glied nicht erfüllt ist.
Schauen wir uns diese Identität an: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ heißt das geometrische Mittel der Zahlen a und b.
Der Modul eines beliebigen Elements einer geometrischen Folge ist gleich dem geometrischen Mittel zweier benachbarter Elemente.
Beispiel.
Finden Sie x so, dass $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ waren drei aufeinanderfolgende exponentielle Mitglieder.
Lösung.
Verwenden wir die Eigenschaft charakteristisch:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ und $ x_ (2) = - 1 $.
Durch sequentielles Einsetzen in den ursprünglichen Ausdruck unsere Lösungen:
Mit $ x = 2 $ erhalten wir die Folge: 4; 6; 9 - eine geometrische Folge, in der $ q = 1,5 $ ist.
Mit $ x = -1 $ erhalten wir die Folge: 1; 0; 0.
Antwort: $ x = 2. $
Aufgaben zur eigenständigen Lösung
1. Finden Sie den achten ersten Term der geometrischen Folge 16; -8; 4; -2….2. Finden Sie den zehnten Term der geometrischen Folge 11,22,44….
3. Es ist bekannt, dass $ b_ (1) = 5, q = 3 $ ist. Finde $ b_ (7) $.
4. Es ist bekannt, dass $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $ ist. Suche n.
5. Finden Sie die Summe der ersten 11 Terme der geometrischen Folge 3, 12, 48….
6. Finden Sie x so, dass $ 3x + 4; 2x + 4; x + 5 $ sind drei aufeinanderfolgende exponentielle Mitglieder.
Geometrischer Verlauf in der Mathematik nicht weniger wichtig als in der Arithmetik. Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen b1, b2, ..., b [n], von denen jeder nächste Term durch Multiplikation des vorherigen mit einer konstanten Zahl erhalten wird. Diese Zahl, die auch die Geschwindigkeit der Zunahme oder Abnahme der Progression charakterisiert, heißt Nenner der geometrischen Progression und bezeichnen
Für eine vollständige Zuordnung einer geometrischen Folge ist es notwendig, neben dem Nenner auch deren ersten Term zu kennen bzw. zu bestimmen. Bei einem positiven Wert des Nenners ist die Progression eine monotone Folge, und wenn diese Zahlenfolge monoton fallend und z. B. monoton ansteigend ist. Der Fall, dass der Nenner gleich Eins ist, wird in der Praxis nicht berücksichtigt, da wir eine Folge identischer Zahlen haben und deren Summation nicht von praktischem Interesse ist.
Allgemeiner Begriff einer geometrischen Folge berechnet nach der Formel
Die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge bestimmt durch die Formel
Betrachten Sie Lösungen für klassische Probleme auf einer geometrischen Progression. Beginnen wir mit den einfachsten zum Verständnis.
Beispiel 1. Der erste Term einer geometrischen Folge ist 27 und ihr Nenner ist 1/3. Finden Sie die ersten sechs Terme einer geometrischen Progression.
Lösung: Schreiben wir die Bedingung des Problems in die Form
Für Berechnungen verwenden wir die Formel für den n-ten Term der geometrischen Progression
Auf seiner Basis finden wir die unbekannten Mitglieder der Progression
Wie Sie sehen, ist die Berechnung der Elemente einer geometrischen Folge nicht schwierig. Der Verlauf selbst wird so aussehen
Beispiel 2. Die ersten drei Terme der geometrischen Progression sind angegeben: 6; -12; 24. Finden Sie den Nenner und seinen siebten Term.
Lösung: Berechnen Sie den Nenner der geometrischen Progression basierend auf ihrer Definition
Wir haben eine alternierende geometrische Progression, deren Nenner -2 ist. Der siebte Term wird nach der Formel berechnet
Dies hat das Problem gelöst.
Beispiel 3. Eine geometrische Progression wird durch zwei ihrer Elemente gegeben 
... Finden Sie den zehnten Begriff in der Progression.
Lösung:
Schreiben wir die angegebenen Werte durch die Formeln
Nach den Regeln wäre es notwendig, den Nenner zu finden und dann nach dem gewünschten Wert zu suchen, aber für den zehnten Term haben wir
Die gleiche Formel kann basierend auf einfachen Manipulationen mit den Eingabedaten erhalten werden. Wir teilen den sechsten Term der Reihe durch einen anderen, als Ergebnis erhalten wir
Wenn der resultierende Wert mit dem sechsten Term multipliziert wird, erhalten wir das Zehntel
So können Sie für solche Aufgaben mit einfachen Transformationen schnell die richtige Lösung finden.
Beispiel 4. Geometrischer Verlauf wird durch wiederkehrende Formeln angegeben
Finden Sie den Nenner der geometrischen Progression und die Summe der ersten sechs Terme.
Lösung:
Schreiben wir die gegebenen Daten in Form eines Gleichungssystems
Drücken Sie den Nenner aus, indem Sie die zweite Gleichung durch die erste teilen
Finden Sie den ersten Term der Progression aus der ersten Gleichung
Berechnen wir die nächsten fünf Terme, um die Summe einer geometrischen Progression zu finden
