Разширяване на функциите в степенни редове

Разлагане на функция в поредица от Тейлър, Маклорен и Лоран в сайта за обучение на практически умения. Това разширяване на функцията в серия дава на математиците идея за оценка на приблизителната стойност на функция в определен момент от нейната област на дефиниция. Много по-лесно е да се изчисли такава стойност на функцията в сравнение с използването на таблицата Бредис, която е толкова остаряла в ерата на изчисленията. Разширяването на функция в ред на Тейлър означава да изчислите коефициентите пред линейните функции на тази серия и да я запишете в правилната форма. Учениците бъркат тези две серии, без да разбират кое е общ случай и кое частен случай на втория. Припомняме ви веднъж завинаги, редът на Маклорен е частен случай на реда на Тейлър, тоест това е редът на Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки записи на разширението на известни функции, като e ^x, Sin(x), Cos(x) и други, това са разширения в серия на Тейлър, но в точката 0 за аргумента. За функции на сложен аргумент, редът на Лоран е най-често срещаният проблем в TFKT, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сборът от два реда. Предлагаме ви да разгледате пример за декомпозиция директно в сайта на сайта, много лесно е да направите това, като кликнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Именно към това разширяване на функция в серия е свързана мажориращият ред, който ограничава първоначалната функция в определен регион по оста на ординатата, ако променливата принадлежи на областта на абсцисата. Векторният анализ се сравнява с друга интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде проучен, за процеса е необходимо много време. Всяка серия на Тейлър може да бъде асоциирана с поредица на Маклорен, като замените x0 с нула, но за сериите на Маклорин обратното представяне на редицата на Тейлър понякога не е очевидно. Колкото и да не се изисква да се прави в чист вид, интересно е за общото саморазвитие. Всяка серия на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели степени на z-a, с други думи, серия от същия тип Тейлър, но малко по-различна при изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на редицата на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, поетапно разширяване на функция в редица трудно може да се постигне само чрез свеждане на членовете до общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. Приблизителното изчисляване на функционалната стойност изисква формулиране на задачи. Помислете за факта, че когато аргументът на реда на Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва на няколко стъпки, но напълно различна картина, когато сложна или нелинейна функция действа като аргумент на функцията, която трябва да бъде разширена, тогава процесът на представяне на такава функция в степенен ред е очевиден, тъй като по такъв начин е лесно да се изчисли, макар и приблизително, но стойността във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малко ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато е необходимо да се изчисли функцията в нулевата точка. Въпреки това, самата поредица на Лоран тук е представена от равнинно разширение с въображаеми единици. Също така не без успех ще бъде правилното решение на проблема в хода на цялостния процес. В математиката този подход не е известен, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до заключението за така наречените точкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да приложите методи, известни за този процес, като например прилагане на теорията на производните. За пореден път се убеждаваме в коректността на учителя, който направи своите предположения за резултатите от пост-изчислителните изчисления. Нека да отбележим, че серията на Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числова ос, но скъпи потребители на услугата на уебсайта, не забравяйте формата на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се зададе областта на функцията, тоест да се изпишат и изключат от по-нататъшните разсъждения онези точки, в които функцията не е дефинирана в областта на реалните числа. Така да се каже, това ще покаже вашата бързина в решаването на проблема. Конструирането на редицата на Маклорен с нулева стойност на аргумента няма да бъде изключение от казаното. В същото време никой не е отменил процеса на намиране на областта на дефиниране на функция и трябва да подходите към това математическо действие с цялата сериозност. Ако редът на Лоран съдържа основната част, параметърът "a" ще се нарече изолирана особена точка, а редът на Лоран ще бъде разширен в пръстена - това е пресечната точка на областите на сближаване на нейните части, от които съответстват ще последва теорема. Но не всичко е толкова трудно, колкото може да изглежда на пръв поглед за неопитен ученик. След като се изучава само редът на Тейлър, може лесно да се разбере редът на Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството от числа. Всяко разширяване на функция в серия може да се извърши само в точка от домейна на функцията. Трябва да се вземат предвид свойствата на такива функции, например периодичност или безкрайна диференцируемост. Предлагаме също така да използвате таблицата с готови разширения в серията от елементарни функции на Тейлър, тъй като една функция може да бъде представена от до десетки различни степенни редове, което може да се види от използването на нашия онлайн калкулатор. Онлайн поредицата на Maclaurin е по-лесна от всякога да определите дали използвате уникалната услуга на сайта, просто трябва да въведете правилната писмена функция и ще получите представения отговор за секунди, той ще бъде гарантирано точен и в стандартна писмена форма . Можете да пренапишете резултата веднага в чисто копие за предаване на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на разглежданата функция в пръстени и след това недвусмислено да се заяви, че тя може да бъде разширена в ред на Лоран във всички такива пръстени. Важен момент е да не изпускате от поглед членовете на поредицата Лоран, съдържащи отрицателни степени. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте добре теоремата на Лоран за разширяването на функция в редица в цели степени.

Как да вмъкна математически формули в сайта?

Ако някога ви се наложи да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е, както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на картинки, които Wolfram Alpha автоматично генерира. В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи от доста време (и мисля, че ще работи вечно), но е морално остаряло.

Ако, от друга страна, постоянно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax, специална JavaScript библиотека, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете скрипт на MathJax към вашия сайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) качете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете с всички страници на вашия сайт. Вторият метод е по-сложен и отнема много време и ще ви позволи да ускорите зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският сървър MathJax стане временно недостъпен по някаква причина, това по никакъв начин няма да засегне вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства, аз избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте моя пример и в рамките на 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от главния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете иили веднага след етикета . Според първия вариант MathJax се зарежда по-бързо и по-малко забавя страницата. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва периодично да се актуализира. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо да наблюдавате постоянно актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете джаджа, предназначена да вмъкне JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане, представен по-горе, в него и поставете джаджата по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса на MathML, LaTeX и ASCIIMathML за маркиране и сте готови да вградите математически формули във вашите уеб страници.

Всеки фрактал се изгражда по определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на неговите лица, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 съседни до него кубчета по лицата. Получава се комплект, състоящ се от 20 останали по-малки кубчета. Правейки същото с всеки от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес за неопределено време, получаваме гъбата на Менгер.

Студентите по висша математика трябва да знаят, че сумата от определен степенен ред, принадлежащ на интервала на сходимост на дадения ни ред, се оказва непрекъсната и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се твърди, че дадена произволна функция f(x) е сумата от някакъв степенен ред? Тоест, при какви условия функцията f(x) може да бъде представена от степенен ред? Значението на този въпрос се състои във факта, че е възможно приблизително да се замени функцията f(x) със сумата от първите няколко члена от степенния ред, тоест с полином. Такава замяна на функция с доста прост израз - полином - е удобна и при решаване на някои задачи, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване и т.н.

Доказано е, че за някаква функция f(x), в която могат да бъдат изчислени производни до (n + 1)-ти ред, включително последния, в околността (α - R; x 0 + R) на някои точка x = α формула:

Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната, се нарича серия Maclaurin:

Правилото, което прави възможно разширяването в серия Maclaurin:

Определете производните на първия, втория, третия ... ред.
Изчислете какви са производните при x=0.
Напишете редицата на Маклорен за тази функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
Определете интервала (-R;R), където остава остатъкът от формулата на Маклорин

R n (x) -> 0 за n -> безкрайност. Ако такава съществува, функцията f(x) в нея трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен.

Помислете сега за серията Maclaurin за отделни функции.

1. И така, първият ще бъде f(x) = e x. Разбира се, според своите характеристики, такава функция има производни от много различни порядки и f (k) (x) = e x, където k е равно на всичко. Нека заместим x = 0. Получаваме f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1.2 ... Въз основа на гореизложеното, серията e x ще изглежда така:

2. Редът на Маклорен за функцията f(x) = sin x. Нека веднага изясним, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен f "(x) \u003d cos x = sin (x + n / 2), f "" (x) = -sin x = sin ( x +2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), където k е равно на всяко естествено число. Това означава, че чрез прости изчисления можем заключете, че редът за f(x) = sin x ще изглежда така:

3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x) = cos x. Той има производни от произволен ред за всички неизвестни и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серията Maclaurin, но те са допълнени от сериите на Тейлър за някои функции. Сега ще ги изброим. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорин са важна част от практиката за решаване на редове по висша математика. И така, сериалът на Тейлър.

1. Първият ще бъде ред за f-ii f (x) = ln (1 + x). Както в предишните примери, като ни е дадено f (x) = ln (1 + x), можем да добавим серия, използвайки общата форма на реда на Маклорен. обаче за тази функция серия Maclaurin може да бъде получена много по-лесно. След интегриране на определен геометричен ред, получаваме серия за f (x) = ln (1 + x) от такава извадка:

2. И вторият, който ще бъде окончателен в нашата статия, ще бъде серия за f (x) \u003d arctg x. За x, принадлежащ на интервала [-1; 1], разширението е валидно:

Това е всичко. Тази статия разглежда най-често използваните серии на Тейлър и Маклорин във висшата математика, по-специално в икономическите и технически университети.

"Намерете разширението на Маклорин на f(x)"- точно така звучи задачата по висша математика, която някои ученици могат, а други не могат да се справят с примери. Има няколко начина за разширяване на редица по степени, тук ще дадем метод за разширяване на функции в серия на Маклорен. Когато разработвате функция в серия, трябва да сте добри в изчисляването на производни.

Пример 4.7 Разширете функция в серия по степени на x

Изчисления: Извършваме разширяването на функцията по формулата на Маклорен. Първо, разширяваме знаменателя на функцията в серия

Накрая умножаваме разширението по числителя.
Първият член е стойността на функцията при нула f (0) = 1/3.
Намерете производните на функциите от първи и по-висок порядък f (x) и стойността на тези производни в точката x=0

Освен това, с модела на промяна на стойността на производните на 0, пишем формулата за n-то производно

И така, ние представяме знаменателя като разширение в серия Maclaurin

Умножаваме по числителя и получаваме желаното разширение на функцията в редица по степени на x

Както виждате, тук няма нищо сложно.
Всички ключови точки се основават на способността за изчисляване на производни и бързо обобщаване на стойността на производната от по-високи порядки при нула. Следващите примери ще ви помогнат да научите как бързо да разширите функция в серия.

Пример 4.10 Намерете разширението на Маклорин на функция

Изчисления: Както може би се досещате, ще разширим косинуса в числителя в редица. За да направите това, можете да използвате формули за безкрайно малки стойности или можете да изведете косинусното разширение по отношение на производни. В резултат на това стигаме до следващата серия в степени на x

Както можете да видите, имаме минимум изчисления и компактно представяне на разширението на серията.

Пример 4.16 Разширете функция в серия по степени на x:
7/(12-x-x^2)
Изчисления: В този вид примери е необходимо дробът да се разшири чрез сбора от прости дроби.
Как да направим това, ние няма да показваме сега, но с помощта на неопределени коефициенти ще стигнем до сумата от фракции.
След това записваме знаменателите в експоненциална форма

Остава да разширим термините с помощта на формулата на Маклорин. Обобщавайки членовете със същите степени на "x", съставяме формулата за общия член на разширението на функцията в редица

Последната част от прехода към серията в началото е трудна за изпълнение, тъй като е трудно да се комбинират формулите за сдвоени и несдвоени индекси (мощности), но с практиката ще станете по-добри в това.

Пример 4.18 Намерете разширението на Маклорин на функция

Изчисления: Намерете производната на тази функция:

Разширяваме функцията в серия, използвайки една от формулите на McLaren:

Ние обобщаваме серията член по член на базата, че и двете са абсолютно съвпадащи. Чрез интегриране на целия ред член по член, получаваме разширението на функцията в серия по степени на x

Между последните два реда на разлагане има преход, който в началото ще ви отнеме много време. Обобщаването на формулата на серията не е лесно за всеки, така че не се притеснявайте, че няма да можете да получите хубава и компактна формула.

Пример 4.28 Намерете разширението на Маклорин на функцията:

Записваме логаритъма, както следва

Използвайки формулата на Маклорен, разширяваме логаритъма на функцията в серия по степени на x

Окончателното сгъване на пръв поглед е сложно, но при редуване на знаци винаги ще получите нещо подобно. Встъпителният урок по темата за планиране на функции в ред е завършен. Други не по-малко интересни схеми за разлагане ще бъдат разгледани подробно в следващите материали.

Ако функцията f(x)има на някакъв интервал, съдържащ точка а, производни на всички порядки, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към него:

където rn- така нареченият остатъчен член или остатъкът от серията, той може да бъде оценен по формулата на Лагранж:

, където числото x е затворено между хи а.

Ако за някаква стойност x r n®0 при н®¥, тогава в предела формулата на Тейлър за тази стойност се превръща в конвергентна формула Серията Тейлър:

Така че функцията f(x)може да се разшири в серия на Тейлър в разглежданата точка х, ако:

1) има производни на всички поръчки;

2) конструираният ред се сближава в тази точка.

В а=0 получаваме серия, наречена близо до Маклорин:

Пример 1 f(x)= 2х.

Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0

f(x) = 2х, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2х ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2хв 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2хвътрешен н 2, f(n)( 0) = 2 0 вътрешен н 2=ln н 2.

Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на сближаване на тази серия е равен на безкрайност, така че това разширение е валидно за -¥<х<+¥.

Пример 2 х+4) за функцията f(x)=д х.

Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.

f(x)= д х, f(-4) = д -4 ;

f¢(x)= д х, f¢(-4) = д -4 ;

f¢¢(x)= д х, f¢¢(-4) = д -4 ;

f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .

Следователно, желаната серия на Тейлър на функцията има формата:

Това разлагане е валидно и за -¥<х<+¥.

Пример 3 . Функция за разширяване f(x)=ln хв серия по степени ( Х- 1),

(т.е. в серия на Тейлър в близост до точката х=1).

Решение. Намираме производните на тази функция.

Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:

С помощта на теста на д'Аламбер може да се провери дали редът се сближава, когато

½ Х- 1½<1. Действительно,

Редът се сближава, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на теста на Лайбниц. В х=0 функцията не е дефинирана. Така областта на сходимост на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0;2).

Нека представим получените по този начин разширения в реда на Маклорен (т.е. в съседство на точката х=0) за някои елементарни функции:

(2) ,

(3) ,

(последното разширение се нарича биномен ред)

Пример 4 . Разширете функцията в степенна серия

Решение. В декомпозиция (1) заместваме хна - х 2, получаваме:

Пример 5 . Разширете функцията в серия Maclaurin

Решение. Ние имаме

Използвайки формула (4), можем да запишем:

заместване вместо хвъв формулата -Х, получаваме:

От тук откриваме:

Разгъване на скобите, пренареждане на членовете на поредицата и правене на редукция на подобни термини, получаваме

Тази серия се сближава в интервала

(-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се сближава в този интервал.

Коментирайте .

Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в серия на Тейлър, т.е. за разширяване на функциите в цели положителни степени ( Ха). За да направите това, е необходимо да се извършат такива идентични трансформации върху дадена функция, за да се получи една от функциите (1) - (5), в която вместо хструва k( Ха) m , където k е постоянно число, m е цяло положително число. Често е удобно да промените променливата т=Хаи разширете получената функция по отношение на t в реда на Маклорен.

Този метод илюстрира теоремата за уникалността на разширяването на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в околността на една и съща точка не могат да се получат две различни степенни реда, които да се сближат към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширяване.

Пример 6 . Разширете функцията в серия на Тейлър в съседство на точка х=3.

Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на реда на Тейлър, за която е необходимо да се намерят производните на функциите и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да се използва съществуващата декомпозиция (5):

Получената серия се сближава при или -3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7 . Напишете серия на Тейлър в правомощия ( х-1) характеристики .

Решение.

Поредицата се сближава при , или 2< х£5.