Задачи с производна на изпита. Майсторски клас „Производната на функция в задачите на изпита. геометричен и физически смисъл на производната; уравнението на допирателната към графиката на функцията; изследване на функцията с помощта на производната

Производната на функция е една от най-трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия просто и ясно обяснява какво е производно и защо е необходимо.. Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си припомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функцията.

Фигурата показва графики на три функции. Кое според вас расте най-бързо?

Отговорът е очевиден – третото. Той има най-висока скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как се промениха доходите им през годината:

Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Доходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. А доходите на Матю намаляха до нула. Началните условия са еднакви, но скоростта на промяна на функцията, т.е. производно, - различен. Що се отнася до Матвей, производната на неговия доход като цяло е отрицателна.

Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно графиката на функцията върви нагоре (или надолу). С други думи, колко бързо y се променя с x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различна стойност на производната - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се означава с .

Нека покажем как да намерите с помощта на графиката.

Начертава се графика на някаква функция. Вземете точка върху него с абциса. Начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се издига графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на наклона на допирателната.

Производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание - като ъгъл на наклон на допирателната, ние приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат каква е допирателната към графиката на функция. Това е права линия, която има единствената обща точка с графиката в този раздел, освен това, както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Да намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на отношението на противоположния катет към съседния. От триъгълник:

Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номера.

Има още една важна корелация. Припомнете си, че правата линия се дава от уравнението

Количеството в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклон на правата линия спрямо оста.

Ние разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричното значение на производната.

Производната на функция в дадена точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на допирателната на наклона на допирателната.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други и с различни темпове. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Така че производната е положителна в точката.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако функцията се увеличава, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

И какво ще се случи при максимални и минимални точки? Виждаме, че в (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно допирателната на наклона на допирателната в тези точки е нула, а производната също е нула.

Точката е максималната точка. В този момент увеличаването на функцията се заменя с намаляване. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".

В точката - минималната точка - производната също е равна на нула, но знакът й се променя от "минус" на "плюс".

Заключение: с помощта на производната можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функцията.

Ако производната е положителна, тогава функцията се увеличава.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от плюс на минус.

В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.

Записваме тези констатации под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намаляващ	минимална точка	се увеличава
+	0	-	0	+

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви е необходим, когато решавате изпитни задачи. Друга – през първата година, с по-сериозно проучване на функциите и производните.

Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална, а производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията се увеличи - и след точката тя продължава да се увеличава. Знакът на производната не се променя - той е останал толкова положителен, колкото е бил.

Също така се случва, че в точката на максимум или минимум производната не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Но как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай се прилага

Производната на функция $y = f(x)$ в дадена точка $x_0$ е границата на съотношението на приращението на функцията към съответното увеличение на нейния аргумент, при условие че последният клони към нула:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Диференцирането е операцията за намиране на производна.

Таблица на производните на някои елементарни функции

Функция	Производна
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Основни правила за диференциация

1. Производната на сбора (разликата) е равна на сумата (разликата) от производните

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Намерете производната на функцията $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Производната на сбора (разликата) е равна на сбора (разликата) от производните.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Производна на продукт

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Намерете производната $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Производна на частното

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Намерете производната $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на външната функция и производната на вътрешната функция

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Физическото значение на производната

Ако материална точка се движи по права линия и нейната координата се променя в зависимост от времето според закона $x(t)$, тогава моментната скорост на тази точка е равна на производната на функцията.

Точката се движи по координатната линия по закона $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, където $x(t)$ е координатата в момент $t$. В кой момент от времето скоростта на точката ще бъде равна на $12$?

1. Скоростта е производна на $x(t)$, така че нека намерим производната на дадената функция

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. За да открием в кой момент от време $t$ скоростта е била равна на $12$, съставяме и решаваме уравнението:

Геометричното значение на производната

Припомнете си, че уравнението на права линия, която не е успоредна на координатните оси, може да се запише като $y = kx + b$, където $k$ е наклонът на правата линия. Коефициентът $k$ е равен на допирателната на наклона между правата линия и положителната посока на оста $Ox$.

Производната на функцията $f(x)$ в точката $x_0$ е равна на наклона $k$ на допирателната към графиката в дадена точка:

Следователно можем да направим общо равенство:

$f"(x_0) = k = tgα$

На фигурата допирателната към функцията $f(x)$ се увеличава, следователно коефициентът $k > 0$. Тъй като $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Ъгълът $α$ между допирателната и положителната посока $Ox$ е остър.

На фигурата допирателната към функцията $f(x)$ намалява, оттук и коефициентът $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На фигурата допирателната към функцията $f(x)$ е успоредна на оста $Ох$, следователно коефициентът $k = 0$, следователно $f"(x_0) = tg α = 0$. Точката $ x_0$, при което $f "(x_0) = 0$, извикано екстремум.

Фигурата показва графиката на функцията $y=f(x)$ и допирателната към тази графика, начертана в точката с абсцисата $x_0$. Намерете стойността на производната на функцията $f(x)$ в точката $x_0$.

Допирателната към графиката се увеличава, следователно, $f"(x_0) = tg α > 0$

За да намерим $f"(x_0)$, намираме допирателната на наклона между допирателната и положителната посока на оста $Ox$. За да направим това, допълваме допирателната към триъгълника $ABC$.

Намерете тангенса на ъгъла $BAC$. (Тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към съседния катет.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25 $

$f"(x_0) = tg ВИЕ = $0,25

Отговор: $0,25

Производната се използва и за намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции:

Ако $f"(x) > 0$ на интервал, тогава функцията $f(x)$ се увеличава на този интервал.

Ако $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Фигурата показва графиката на функцията $y = f(x)$. Намерете измежду точките $х_1,х_2,х_3…х_7$ тези точки, където производната на функцията е отрицателна.

В отговор запишете броя на точките с данни.

ИЗВЪНУЧЕБНА ПРАКТИЧНА РАБОТА 2

Преобразуване на графики на функции.

Цел

Начертайте функционални графики, използвайки различни трансформации, отговорете на въпроса на проблема.

Завършване на работата

Насоки

Работата е предназначена за 10 опции, номерът на опцията съвпада с последната цифра от серийния номер в списъка. Например, 1, 11, 21, 31 ... изпълнете 1 опция, 2,12, 22 ... - 2 опция и т.н.

Работата се състои от две части: първата част от задачи 1 - 5, това са задачи, които трябва да бъдат изпълнени, за да получите кредит, ако тези задачи са завършени с грешка, трябва да ги коригирате и да изпратите работата отново за проверка . Втората част съдържа задачи, при изпълнение на които можете да спечелите допълнителна оценка: основната част +2 задачи - "4", основната част +3 задачи - "5".

Задача 1. Графиката на линейна функция е права линия, две точки са достатъчни за нейното изграждане. (взимаме стойностите на аргумента x произволно и обмисляме заместване на стойността на функцията y във формулата).

За да проверите дали графиката на функцията минава през определената точка, трябва да замените координатите на точката вместо x и y, ако получите правилно равенство, тогава линията минава през определената точка, в противен случай тя не преминава .

Задача 2, 3, 4. Графиките на посочените функции се получават от графиките на функциите , използвайки изместване по оста x или y.

, първо начертайте функцията или , след това го преместваме с „a“ единици надясно или наляво (+ a - наляво, - a надясно), след това го преместваме с „b“ единици нагоре или надолу (+ в - нагоре, - в - надолу)

Аналогично с други функции:

Задача 5 За да начертаете графика на функцията: , трябва: 1) да построите графика на функцията , 2) частта от графиката, която е над оста x, остава непроменена, 3) частта от графиката, която е под оста x, се отразява огледално.

Задачи за самостоятелно решаване.

Задължителна част

Задача 1. Начертайте графика на линейна функция, определете дали графиката на функцията преминава през определената точка:

Задача 2. Начертайте графика на квадратична функция, посочете набора от стойности за тази функция.

Задача 3. Изградете графика на функция, определете дали определената функция се увеличава или намалява.

Задача 4. Изградете графика на функцията, отговорете на въпроса на задачата.

Задача 5. Постройте графика на функция, съдържаща знака на модула.

Задачи за допълнителна оценка.

Задача 6. Начертайте графика на дадена функция на парчета, определете дали тази функция има точка на прекъсване:

Задача 7. Определете колко решения има системата от уравнения, обосновете отговора. Направете изводи, като отговорите на въпросите.

Какви графики на функциите изградихте в тази работа?

Как се казва графиката на линейна функция?

Как се казва графиката на квадратична функция?

Какви трансформации на диаграми познавате?

Как се намира графиката на четна функция в координатната система? Графика на нечетна функция?

В задача № 13 на Единния държавен изпит по математика от основно ниво ще трябва да демонстрирате уменията и знанията за една от концепциите за поведението на функция: производни в точка или скорости на нарастване или намаляване. Теорията за тази задача ще бъде добавена малко по-късно, но това няма да ни попречи да анализираме подробно няколко типични варианта.

Анализ на типични варианти за задачи № 14 УПО по математика от основно ниво

Опция 14MB1

Графиката показва зависимостта на температурата от времето в процеса на загряване на двигателя на автомобила. Хоризонталната ос показва времето в минути, което е изминало от стартирането на двигателя; по вертикалната ос е температурата на двигателя в градуси по Целзий.

Използвайки графиката, съпоставете всеки интервал от време с характеристиките на процеса на загряване на двигателя през този интервал.

В таблицата под всяка буква посочете съответното число.

Алгоритъм за изпълнение:

Изберете интервала от време, в който температурата е паднала.
Прикрепете линийка към 30°C и определете интервала от време, в който температурата е била под 30°C.

решение:

Нека изберем интервала от време, в който температурата пада. Този участък се вижда с просто око, започва 8 минути от момента на стартиране на двигателя.

Нанесете линийка до 30°C и определете интервала от време, в който температурата е била под 30°C.

Под линийката ще има секция, съответстваща на интервала от време 0 - 1 min.

С помощта на молив и линийка намираме в какъв интервал от време температурата е била в диапазона от 40 ° C до 80 ° C.

От точките, съответстващи на 40°C и 80°C, пускаме перпендикулярите върху графиката, а от получените точки пускаме перпендикулярите върху оста на времето.

Виждаме, че този температурен интервал съответства на интервал от време от 3 - 6,5 минути. Тоест от дадените в условието 3 - 6 мин.

Изберете липсващия отговор, като използвате метода на елиминиране.

Опция 14MB2

решение:

Нека анализираме графиката на функция А. Ако функцията се увеличава, тогава производната е положителна и обратно. Производната на функцията е равна на нула в точките на екстремум.

Първо, функцията А се увеличава, т.е. производната е положителна. Това съответства на графиките на производни 2 и 3. В максималната точка на функцията x = -2, тоест в тази точка, производната трябва да е равна на нула. Това условие съответства на графика номер 3.

Първо, функция B намалява, т.е. производната е отрицателна. Това съответства на графиките на производни 1 и 4. Максималната точка на функцията x \u003d -2, тоест в тази точка производната трябва да бъде равна на нула. Това условие съответства на графика номер 4.

Първо, функцията B се увеличава, т.е. производната е положителна. Това съответства на графиките на производни 2 и 3. Максималната точка на функцията x = 1, тоест в тази точка производната трябва да е равна на нула. Това условие съответства на графика номер 2.

По метода на елиминиране можем да определим, че графиката на функцията Г съответства на графиката на производната под номер 1.

Отговор: 3421.

Опция 14MB3

Алгоритъмът за изпълнение на всяка от функциите:

Определете интервалите на нарастващи и намаляващи функции.
Определете максималната и минималната точка на функциите.
Направете изводи, съпоставете предложените графици.

решение:

Нека анализираме графиката на функция А.

Ако функцията се увеличава, тогава производната е положителна и обратно. Производната на функцията е равна на нула в точките на екстремум.

Точката на екстремум е точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.

Първо, функцията А се увеличава, т.е. производната е положителна. Това съответства на графиките на производни 3 и 4. В максималната точка на функцията x=0, тоест в тази точка, производната трябва да е равна на нула. Това условие съответства на графика номер 4.

Нека анализираме графиката на функция B.

Първо, функция B намалява, т.е. производната е отрицателна. Това съответства на графиките на производни 1 и 2. Минималната точка на функцията x=-1, тоест в тази точка производната трябва да е равна на нула. Това условие съответства на графика номер 2.

Нека анализираме графиката на функция B.

Първо, функцията B намалява, т.е. производната е отрицателна. Това съответства на графиките на производни 1 и 2. Минималната точка на функцията x = 0, тоест в тази точка производната трябва да е равна на нула. Това условие съответства на графика номер 1.

По метода на елиминиране можем да определим, че графиката на функцията Г съответства на графиката на производната под номер 3.

Отговор: 4213.

Опция 14MB4

Фигурата показва графика на функция и допирателните, начертани към нея в точки с абсциси A, B, C и D.Дясната колона показва стойностите на производната в точки A, B, C и D. Използвайки графиката, съпоставете всяка точка със стойността на производната на функцията в нея.

ТОЧКИ
НО
AT
С
д

ПРОИЗВОДНИ СТОЙНОСТИ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Припомнете си какво означава производната, а именно нейната стойност в точката - стойността на производната функция в точка е равна на допирателната на наклона (коефициента) на допирателната.

В отговорите имаме два положителни и два отрицателни варианта. Както помним, ако коефициентът е директен (граф y = kx + b) е положително, тогава линията се увеличава; ако е отрицателна, тогава линията намалява.

Имаме две възходящи линии - в точката A и D. Сега нека си спомним какво означава стойността на коефициента k?

Коефициентът k показва колко бързо се увеличава или намалява функцията (всъщност самият коефициент k е производна на функцията y = kx + b).

Следователно k \u003d 2/3 съответства на по-нежна права линия - D, а k = 3 - A.

По същия начин, в случай на отрицателни стойности: точка B съответства на по-стръмна права линия с k = -4, а точка C - -1/2.

Опция 14MB5

На фигурата точките показват обема на месечните продажби на нагреватели в магазин за домакински уреди. Месеците са посочени хоризонтално, броят на продадените нагреватели е посочен вертикално. За по-голяма яснота точките са свързани с линия.

Използвайки фигурата, съпоставете всеки от посочените периоди от време с характеристиките на продажбите на нагреватели.

Алгоритъм за изпълнение

Анализираме частите от графиката, съответстващи на различните сезони. Формулираме ситуациите, показани на графиката. Намираме най-подходящите отговори за тях.

решение:

През зимата броят на продажбите надхвърли 120 броя / месец и непрекъснато се увеличава. Тази ситуация отговаря на отговор 3. Тези. получаваме: A-3.

През пролетта продажбите постепенно паднаха от 120 нагреватели на месец до 50. Вариант № 2 е най-близък до тази формулировка. Ние имаме: Б–2.

През лятото броят на продажбите не се промени и беше минимален. 2-рата част от тази формулировка не е отразена в отговорите, а само №4 е подходящ за първата. Следователно имаме: В 4.

През есента продажбите нарастват, но броят им не надхвърля 100 броя през нито един от месеците. Тази ситуация е описана в опция №1. Получаваме: G–1.

Опция 14MB6

Графиката показва зависимостта на скоростта на обикновен автобус от времето. Вертикалната ос показва скоростта на автобуса в km/h, хоризонталната ос показва времето в минути от началото на автобуса.

Използвайки графиката, съпоставете всеки интервал от време с характеристиката на движението на автобуса през този интервал.

Алгоритъм за изпълнение

Определяме цената на делението на хоризонталната и вертикалната скала.
Анализираме на свой ред предложените твърдения 1–4 от дясната колона („Характеристики“). Сравняваме ги с интервали от време от лявата колона на таблицата, намираме двойки "буква-номер" за отговора.

решение:

Стойността на разделяне на хоризонталната скала е 1 s, вертикалната скала е 20 km/h.

Когато автобусът спре, скоростта му е 0. 2 минути подред автобусът имаше нулева скорост само от 9-та до 11-та минута. Това време попада в интервала от 8-12 минути. Така че имаме двойка за отговора: Б–1.
Автобусът е имал скорост от 20 км/ч или повече за няколко периода от време. Освен това тук вариант А не е подходящ, защото например на 7-та минута скоростта беше 60 км/ч, вариант Б - защото вече е приложен, вариант D - защото в началото и края на интервала автобусът имаше нулева скорост. В този случай е подходящ вариант Б (12–16 минути); на този интервал автобусът започва да се движи със скорост 40 км/ч, след това ускорява до 100 км/м и след това постепенно намалява скоростта до 20 км/ч. Така че имаме: В 2.
Тук се задава ограничението на скоростта. Не разглеждаме варианти B и C. Останалите интервали A и G са подходящи. Следователно би било правилно да разгледаме първо 4-та опция и след това отново да се върнем към 3-та.
От останалите два интервала само 4–8 минути са подходящи за характеристика № 4, тъй като на този интервал (на 6-та минута) е имало спиране. През интервала от 18-22 минути няма спирания. Получаваме: А-4. От това следва, че за характеристика No3 е необходимо да се вземе интервал Г, т.е. оказва се двойка G–3.

Опция 14MB7

Цифрата с точки показва растежа на населението на Китай от 2004 до 2013 г. Годината е посочена хоризонтално, прирастът на населението като процент (нарастване на населението спрямо предходната година) е посочен вертикално. За по-голяма яснота точките са свързани с линия.

Използвайки диаграмата, съпоставете всеки от посочените периоди от време с характеристика на растежа на населението на Китай през този период..

Алгоритъм за изпълнение

Определете стойността на разделяне на вертикалния мащаб на картината. Намира се като разлика между двойка съседни стойности на скалата, разделени на 2 (защото има 2 деления между две съседни стойности).
Анализираме характеристиките 1–4, последователно дадени в условието (лявата таблична колона). Сравняваме всеки от тях с определен период от време (дясна колона на таблицата).

решение:

Стойността на делението на вертикалната скала е 0,01%.

Спадът на растежа продължи непрекъснато от 2004 до 2010 г. През 2010-2011 г. увеличението е постоянно минимално, а от 2012 г. започва да се увеличава. Тези. Растежът спря през 2010 г. Тази година е в периода 2009-2011г. Съответно имаме: В 1.
Най-големият спад в растежа трябва да се счита за най-„стръмно“ падащата линия на графиката на фигурата. Той попада в периода 2006-2007 г. и е 0,04% на година (0,59–0,56=0,04% през 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% през 2007 г.). От тук получаваме: А-2.
Ръстът, посочен в характеристика № 3, започва през 2007 г., продължава през 2008 г. и приключва през 2009 г. Това съответства на период от време В, т.е. ние имаме: Б–3.
Прирастът на населението започва да нараства след 2011 г., т.е. през 2012–2013 г Следователно получаваме: G–4.

Опция 14MB8

Фигурата показва функционална графика и допирателните, начертани към нея в точки с абсцисите A, B, C и D.

Дясната колона показва стойностите на производната на функцията в точки A, B, C и D. Използвайки графиката, съпоставете всяка точка със стойността на производната на функцията в нея.

Алгоритъм за изпълнение

Разглеждаме двойка допирателни, които имат остър ъгъл с положителната посока на оста x. Сравняваме ги, намираме съвпадение между двойката съответни стойности на производните.
Разглеждаме двойка допирателни, образуващи тъп ъгъл с положителната посока на оста x. Сравняваме ги по модул, определяме съответствието на техните стойности на производни между двете останали в дясната колона.

решение:

Остър ъгъл с положителна посока на оста x се образува от производни в t.B и t.C. Тези производни имат положителни стойности. Следователно тук трябва да изберете между стойностите № 1 и 3. Прилагайки правилото, че ако ъгълът е по-малък от 45 0, тогава производната е по-малка от 1, а ако е повече, тогава повече от 1, заключаваме: в t.B производната по модул е по-голяма от 1 в t.C - по-малка от 1. Това означава, че можете да направите двойки за отговора: В 3и S-1.

Производните в t.A и t.D образуват тъп ъгъл с положителната посока на оста x. И тук прилагаме същото правило, като го перифразираме леко: колкото повече допирателната в точката е „притисната“ към линията на оста на абсцисата (към нейната отрицателна посока), толкова по-голяма е тя в абсолютна стойност. Тогава получаваме: производната в точка А е по-малка по абсолютна стойност от производната в точка D. От тук имаме двойки за отговора: А-2и D-4.

Опция 14MB9

Точките на фигурата показват средната дневна температура на въздуха в Москва през януари 2011 г. Датите на месеца са посочени хоризонтално, температурите в градуси по Целзий са посочени вертикално. За по-голяма яснота точките са свързани с линия.

Използвайки фигурата, съпоставете всеки от посочените периоди от време с характеристика на промяна на температурата.

Алгоритъм за изпълнение

Анализираме последователно характеристики 1–4 (дясна колона), като използваме графиката на фигурата. Поставяме всеки от тях в съответствие с определен период от време (лява колона).

решение:

Повишаване на температурата се наблюдава едва в края на периода 22–28 януари. Тук на 27 и 28 се увеличи съответно с 1 и 2 градуса. В края на периода 1–7 януари температурата беше стабилна (–10 градуса), в края на 8–14 и 15–21 януари се понижи (от –1 до –2 и от –11 до –12 степени, съответно). Следователно получаваме: G–1.
Тъй като всеки период от време обхваща 7 дни, температурата трябва да се анализира от 4-ия ден на всеки период. Температурата остава непроменена за 3-4 дни само от 4 до 7 януари. Така получаваме отговора: А-2.
Месечната минимална температура се наблюдава на 17 януари. Този брой попада в периода 15-21 януари. От тук имаме двойка: В 3.
Температурният максимум падна на 10 януари и възлиза на +1 градус. Тази дата попада в периода 8-14 януари. Така че имаме: Б-4.

Опция 14MB10

Алгоритъм за изпълнение

Стойността на функцията в точка е положителна, ако тази точка е разположена над оста Ox.
Производната в точка е по-голяма от нула, ако допирателната към тази точка образува остър ъгъл с положителната посока на оста x.

решение:

Точка А. Намира се под оста Ox, което означава, че стойността на функцията в нея е отрицателна. Ако в него начертаем допирателна, тогава ъгълът между нея и положителната посока Ox ще бъде около 90 0, т.е. образува остър ъгъл. Така че в този случай е подходяща характеристика номер 3. Тези. ние имаме: A-3.

Точка Б. Намира се над оста Ox, т.е. точката има положителна стойност на функцията. Допирателната в тази точка ще бъде доста близо до оста на абсцисата, образувайки тъп ъгъл (малко по-малко от 180 0) с положителната си посока. Съответно, производната в този момент е отрицателна. Следователно тук е подходяща характеристика 1. Получаваме отговора: В 1.

Точка C. Точката се намира под оста Ox, допирателната в нея образува голям тъп ъгъл с положителната посока на оста на абсцисата. Тези. в t.C стойността както на функцията, така и на производната е отрицателна, което съответства на характеристика No2. Отговор: S-2.

Точка D. Точката се намира над оста Ox, а допирателната в нея образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Това предполага, че както стойността на функцията, така и стойността на производната тук са по-големи от нула. Отговор: D-4.

Опция 14MB11

На фигурата точките показват обема на месечните продажби на хладилници в магазин за домакински уреди. Месеците са посочени хоризонтално, броят на продадените хладилници е посочен вертикално. За по-голяма яснота точките са свързани с линия.

Използвайки фигурата, съпоставете всеки от посочените периоди от време с характеристиките на продажбите на хладилници.

Първо, опитайте се да намерите обхвата на функцията:

Справихте ли се? Нека сравним отговорите:

Добре? Много добре!

Сега нека се опитаме да намерим обхвата на функцията:

Намерено? Сравнете:

Съгласи ли се? Много добре!

Нека отново работим с графиките, само че сега е малко по-трудно - да намерим както домейна на функцията, така и обхвата на функцията.

Как да намерите както домейна, така и обхвата на функция (разширено)

Ето какво се случи:

С графиката мисля, че разбрахте. Сега нека се опитаме да намерим домейна на функцията в съответствие с формулите (ако не знаете как да направите това, прочетете раздела за):

Справихте ли се? Проверка отговори:

, тъй като коренният израз трябва да е по-голям или равен на нула.
, тъй като е невъзможно да се раздели на нула и радикалният израз не може да бъде отрицателен.
, тъй като, съответно, за всички.
защото не можеш да разделиш на нула.

Все пак имаме още един момент, който не е уреден...

Позволете ми да повторя определението и да се съсредоточа върху него:

Забелязано? Думата "само" е много, много важен елемент от нашата дефиниция. Ще се опитам да ви обясня на пръсти.

Да кажем, че имаме функция, дадена от права линия. . Когато заместваме тази стойност в нашето "правило" и получаваме това. Една стойност съответства на една стойност. Можем дори да направим таблица с различни стойности и да начертаем дадена функция, за да проверим това.

"Виж! - казвате, - "" се среща два пъти!" Така че може би параболата не е функция? Не, то е!

Фактът, че "" се среща два пъти, далеч не е причина да обвиняваме параболата в неяснота!

Факт е, че при изчисляване на получихме една игра. И при изчисляване с, получихме една игра. Така че така е, параболата е функция. Вижте графиката:

Схванах го? Ако не, ето ви пример от реалния живот, далеч от математиката!

Да кажем, че имаме група кандидати, които се срещнаха при подаване на документи, всеки от които каза в разговор къде живее:

Съгласете се, съвсем реалистично е няколко момчета да живеят в един и същи град, но е невъзможно един човек да живее в няколко града едновременно. Това е като че ли логично представяне на нашата "парабола" - Няколко различни x съответстват на едно и също y.

Сега нека измислим пример, при който зависимостта не е функция. Да кажем, че същите тези момчета разказаха за какви специалности са кандидатствали:

Тук имаме съвсем различна ситуация: един човек може лесно да кандидатства за една или няколко направления. т.е един елементкомплектите се поставят в кореспонденция множество елементикомплекти. респективно това не е функция.

Нека проверим знанията ви на практика.

Определете от снимките кое е функция и кое не:

Схванах го? И ето го отговори:

Функцията е - B,E.
Не е функция - A, B, D, D.

Питате защо? Да, ето защо:

Във всички фигури освен AT)и д)има няколко за един!

Сигурен съм, че сега можете лесно да различите функция от нефункция, да кажете какво е аргумент и какво е зависима променлива, както и да определите обхвата на аргумента и обхвата на функцията. Нека да преминем към следващия раздел - как да дефинираме функция?

Начини за задаване на функция

Какво мислиш, че означават думите "задаване на функция"? Така е, значи да обясним на всички за каква функция говорим в случая. Освен това обяснявайте така, че всички да ви разбират правилно и графиките на функциите, начертани от хората според вашето обяснение, да са еднакви.

Как мога да направя това? Как да задам функция?Най-лесният начин, който вече е използван повече от веднъж в тази статия - използвайки формула.Пишем формула и като заменим стойност в нея, изчисляваме стойността. И както си спомняте, формулата е закон, правило, според което на нас и на друг човек става ясно как X се превръща в Y.

Обикновено те правят точно това - в задачите виждаме готови функции, дефинирани от формули, но има и други начини за задаване на функция, за която всички забравят, и следователно въпросът „как иначе можете да зададете функция?“ обърква. Нека да разгледаме всичко по ред и да започнем с аналитичния метод.

Аналитичен начин за дефиниране на функция

Аналитичният метод е задача на функция, използваща формула. Това е най-универсалният и изчерпателен и недвусмислен начин. Ако имате формула, тогава знаете абсолютно всичко за функцията - можете да направите таблица със стойности на нея, можете да изградите графика, да определите къде функцията се увеличава и къде намалява, като цяло, проучете я изцяло.

Нека разгледаме функция. Какво значение има?

"Какво означава?" - ти питаш. сега ще обясня.

Нека ви напомня, че в нотацията изразът в скоби се нарича аргумент. И този аргумент може да бъде всякакъв израз, не непременно прост. Съответно, какъвто и да е аргументът (израз в скоби), вместо това ще го запишем в израза.

В нашия пример това ще изглежда така:

Помислете за друга задача, свързана с аналитичния метод за определяне на функция, която ще имате на изпита.

Намерете стойността на израза, at.

Сигурен съм, че в началото сте се уплашили, когато сте видели подобно изражение, но в него няма абсолютно нищо страшно!

Всичко е същото като в предишния пример: какъвто и да е аргументът (израз в скоби), вместо това ще го запишем в израза. Например за функция.

Какво трябва да се направи в нашия пример? Вместо това трябва да напишете и вместо -:

съкратете получения израз:

Това е всичко!

Самостоятелна работа

Сега се опитайте сами да намерите значението на следните изрази:

, ако
, ако

Справихте ли се? Нека сравним нашите отговори: Свикнали сме с факта, че функцията има формата

Дори в нашите примери ние дефинираме функцията по този начин, но аналитично е възможно функцията да се дефинира имплицитно, например.

Опитайте сами да изградите тази функция.

Справихте ли се?

Ето как го изградих.

С какво уравнение стигнахме?

Правилно! Линеен, което означава, че графиката ще бъде права линия. Нека направим таблица, за да определим кои точки принадлежат на нашата линия:

Точно за това говорихме... Едно отговаря на няколко.

Нека се опитаме да нарисуваме случилото се:

Функция ли е това, което имаме?

Точно така, не! Защо? Опитайте се да отговорите на този въпрос със снимка. Какво получи?

„Защото една стойност съответства на няколко стойности!“

Какъв извод можем да направим от това?

Точно така, функцията не винаги може да бъде изразена изрично и това, което е "маскирано" като функция, не винаги е функция!

Табличен начин за дефиниране на функция

Както подсказва името, този метод е проста плоча. Да да. Като този, който вече направихме. Например:

Тук веднага забелязахте модел - Y е три пъти по-голям от X. И сега задачата „мисли много добре“: мислите ли, че дадена функция под формата на таблица е еквивалентна на функция?

Да не говорим дълго, а да рисуваме!

Така. Начертаваме функция, дадена по двата начина:

Виждате ли разликата? Не става дума за отбелязаните точки! Погледни отблизо:

Видяхте ли го сега? Когато задаваме функцията в табличен начин, ние отразяваме на графиката само онези точки, които имаме в таблицата и линията (както в нашия случай) минава само през тях. Когато дефинираме функция по аналитичен начин, можем да вземем всякакви точки и нашата функция не се ограничава до тях. Ето такава характеристика. Помня!

Графичен начин за изграждане на функция

Графичният начин за конструиране на функция е не по-малко удобен. Начертаваме нашата функция и друг заинтересован човек може да намери на какво е равно y при определено x и т.н. Графичните и аналитичните методи са сред най-разпространените.

Тук обаче трябва да си спомните за какво говорихме в самото начало - не всяка начертана в координатната система „свивка“ е функция! Запомни ли си? За всеки случай ще копирам тук дефиницията на това какво е функция:

По правило хората обикновено назовават точно онези три начина за дефиниране на функция, които сме анализирали - аналитичен (с помощта на формула), табличен и графичен, като напълно забравят, че една функция може да бъде описана устно. Като този? Да, много лесно!

Словесно описание на функцията

Как да опишем функцията устно? Да вземем нашия скорошен пример - . Тази функция може да бъде описана като „всяка реална стойност на x съответства на нейната тройна стойност“. Това е всичко. Нищо сложно. Разбира се, ще възразите - „има толкова сложни функции, че е просто невъзможно да се зададат устно!“ Да, има някои, но има функции, които е по-лесно да се опишат устно, отколкото да се задават с формула. Например: "всяка естествена стойност на х съответства на разликата между цифрите, от които се състои, докато най-голямата цифра, съдържаща се в записа на числото, се приема като минус." Сега помислете как нашето словесно описание на функцията се прилага на практика:

Най-голямата цифра в дадено число - съответно - се намалява, тогава:

Основни видове функции

Сега да преминем към най-интересното - ще разгледаме основните типове функции, с които сте работили / работите и ще работите в хода на училищната и институтската математика, тоест ще ги опознаем, така да се каже, и дайте им кратко описание. Прочетете повече за всяка функция в съответния раздел.

Линейна функция

Функция на формата, където са реални числа.

Графиката на тази функция е права линия, така че изграждането на линейна функция се свежда до намиране на координатите на две точки.

Положението на правата линия в координатната равнина зависи от наклона.

Обхват на функцията (известен още като диапазон на аргументи) - .

Диапазонът от стойности е.

квадратична функция

Функция на формата, където

Графиката на функцията е парабола, когато клоните на параболата са насочени надолу, когато - нагоре.

Много свойства на квадратична функция зависят от стойността на дискриминанта. Дискриминантът се изчислява по формулата

Положението на параболата в координатната равнина спрямо стойността и коефициента е показано на фигурата:

домейн

Обхватът на стойностите зависи от екстремума на дадената функция (върхът на параболата) и коефициента (посоката на клоните на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцията, дадена от формулата, където

Числото се нарича коефициент на обратна пропорционалност. В зависимост от това каква стойност клоните на хиперболата са в различни квадрати:

Домейн - .

Диапазонът от стойности е.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

1. Функцията е правило, според което на всеки елемент от множество се приписва уникален елемент от множеството.

- това е формула, обозначаваща функция, тоест зависимостта на една променлива от друга;
- променлива или аргумент;
- зависима стойност - променя се при промяна на аргумента, тоест според някаква специфична формула, която отразява зависимостта на една стойност от друга.

2. Валидни стойности на аргумента, или обхватът на функция, е това, което е свързано с възможното, при което функцията има смисъл.

3. Обхват от стойности на функциите- това са стойностите, които приема, с валидни стойности.

4. Има 4 начина за настройка на функцията:

аналитични (с помощта на формули);
табличен;
графичен
словесно описание.

5. Основни видове функции:

: , където, са реални числа;
: , където;
: , където.