Онлайнаар хоёр цэгээс шулуун шугам барих. Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Та ямар ч цэгээр хязгааргүй олон шулуун шугам зурж болно.

Давхцахгүй дурын хоёр цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгай дээрх хоёр таарахгүй шулуун шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шулуун шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ax + Wu + C = 0,

тогтмолтой А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг нийтлэг

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон ХАМТдараах онцгой тохиолдлууд боломжтой:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг ямар ч өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно

анхны нөхцөл.

Цэгийн дагуух шулуун шугам ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ... Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A (1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл... A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуул.Бид дараахийг авна: 3 - 2 + C = 0, тиймээс

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1, y 1, z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ... А (1, 2) ба В (3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хэлбэрт хүргэх:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг ба чиглэлийн векторын дагуух шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзсэн догол мөртэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт... Тэг биш вектор бүр (α 1, α 2)бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Аα 1 + Вα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ... Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайж олох болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C / A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шулуун шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ... Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C = 1, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг ийм байдлаар сонгох хэрэгтэй μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ... Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0... Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт... Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2... Хоёр шулуун шугам перпендикуляр,

хэрэв k 1 = -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

А 1 = λА, В 1 = λВ... Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шулуун шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шулуун шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт... Цэг дамжих шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугаманд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем... Хэрэв оноо өгсөн бол M (x 0, y 0),шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа... Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шулуун шугам. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шулуун шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем батлагдсан.

K (x 0; y 0) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + a шулуунтай параллель шулуун шугамыг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Энд k нь шулуун шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1; y 1) цэгийг дайрч, Ax + By + C = 0 шулуунтай параллель шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

K цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуул. ;) шулуун шугамтай параллель y = x + .

Жишээ №1. M 0 (-2,1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулаад нэгэн зэрэг:
a) шулуун шугамтай параллель 2x + 3y -7 = 0;
б) шулуун шугаманд перпендикуляр 2х + 3у -7 = 0.
Шийдэл ... Бид налуутай тэгшитгэлийг y = kx + a гэж илэрхийлнэ. Үүнийг хийхийн тулд y-ээс бусад бүх утгыг баруун тийш шилжүүлнэ үү: 3y = -2x + 7. Дараа нь бид баруун талыг 3 дахин хуваана. Бид авна: y = -2 / 3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7/3 шулуунтай параллель K (-2; 1) цэгээр дамжин өнгөрөх NK тэгшитгэлийг ол.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
у-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
эсвэл
y = -2 / 3 x - 1/3 эсвэл 3y + 2x +1 = 0

Жишээ №2. 2х + 5у = ​​0 шулуунтай параллель шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл ... Шулуун шугамууд параллель тул хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай, энд a ба b нь түүний хөл юм. Координатын тэнхлэгүүдтэй хүссэн шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг ол.
;
.
Тиймээс A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Талбайн томьёог орлуулна уу: ... Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайран өнгөрөх ба 5x-7y-4 = 0 шулуунтай параллель шулуун шугамын тэгшитгэлийг гарга.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x - 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь y - 5 = 5/7 (x - (-2)), i.e. 7 (y-5) = 5 (x + 2) эсвэл 5x-7y + 45 = 0.

Жишээ № 4. 3-р жишээг (A = 5, B = -7) (2) томъёогоор шийдэж, бид 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0-ийг олно.

Жишээ №5. (-2; 5) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг 7х + 10 = 0 шулуунтай параллель тэгшитгээрэй.
Шийдэл. Энд A = 7, B = 0 байна. Формула (2) нь 7 (x + 2) = 0, i.e. x + 2 = 0. Энэ тэгшитгэлийг y-тэй харьцуулан шийдвэрлэх боломжгүй тул (1) томъёог ашиглах боломжгүй (энэ шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна).

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Нийтлэл" " Функцийн өгөгдсөн график ба энэ графикт шүргэгчийг үүсмэл олох асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь аргыг би танд амласан. Бид энэ аргыг шинжлэх болно , битгий алдаарай! Яагааддараагийнх нь?

Баримт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог тэнд ашиглах болно. Мэдээжийн хэрэг, та зүгээр л энэ томъёог үзүүлж, үүнийг сурахыг зөвлөж болно. Гэхдээ үүнийг тайлбарлах нь илүү дээр юм - энэ нь хаанаас гаралтай (энэ нь яаж үүссэн). Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Хэрэв та мартсан бол хурдан сэргээхэцүү биш байх болно. Бүгдийг доор дэлгэрэнгүй харуулав. Тиймээс бид координатын хавтгай дээр хоёр А цэгтэй байна(x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж заасан цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Шулуун шугамын томъёо энд байна.

* Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн тодорхой координатыг орлуулахдаа бид y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

** Хэрэв энэ томьёо нь зүгээр л "ховор" байвал индексүүдтэй андуурагдах магадлал өндөр байна. X... Үүнээс гадна индексийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл:

Тийм учраас утгыг нь ойлгох нь чухал.

Одоо энэ томъёоны дүгнэлт. Бүх зүйл маш энгийн!

ABE ба ACF гурвалжин нь хурц өнцгөөр төстэй (тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдэг). Үүнээс үзэхэд тус тусын элементүүдийн харилцаа тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Одоо бид эдгээр сегментүүдийг цэгүүдийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та элементүүдийн харилцааг өөр дарааллаар бичвэл алдаа гарахгүй (хамгийн гол нь захидал харилцааг хадгалах явдал юм):

Үр дүн нь шулуун шугамын ижил тэгшитгэл байх болно. Энэ бүгд!

Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд (мөн тэдгээрийн координатууд) хэрхэн томилогдсоноос үл хамааран энэ томъёог ойлгосноор та шулуун шугамын тэгшитгэлийг үргэлж олох болно.

Томъёог векторуудын шинж чанарыг ашиглан гаргаж авах боломжтой боловч бид тэдгээрийн координатын пропорциональ байдлын талаар ярих тул дүгнэлт хийх зарчим ижил байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал ажилладаг. Миний бодлоор дээр дурдсан гаралт илүү тодорхой байна)).

Гаралтыг вектор координатаар харах >>>

Өгөгдсөн A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрөх координатын хавтгай дээр шулуун шугам байгуулъя. Шулуун дээр дурын C цэгийг координаттай тэмдэглэе. х; y). Бид мөн хоёр векторыг тэмдэглэж байна:

Зэрэгцээ шугам дээр (эсвэл нэг шулуун шугам дээр) байрлах векторуудын хувьд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл:

- бид харгалзах координатын харьцааны тэгш байдлыг бичнэ.

Жишээ авч үзье:

(2; 5) ба (7: 3) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шулуун шугамыг өөрөө барих шаардлагагүй. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Харьцааг гаргахдаа захидал харилцааг барьж авах нь чухал юм. Хэрэв та дараах зүйлийг бичвэл буруу явж чадахгүй.

Хариулт: y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8

Хүлээн авсан тэгшитгэл зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд шалгахаа мартуузай - өгөгдлийн координатыг цэгийн нөхцөлд орлуулна уу. Та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тэгээд л болоо. Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар бидэнд хэлж өгвөл би талархах болно.

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ax + Wu + C = 0,

мөн A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл. A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - шугам эхийг дайран өнгөрнө.

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - шулуун шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B = C = 0, A ≠ 0 - шулуун шугам нь Oy тэнхлэгтэй давхцдаг

A = C = 0, B ≠ 0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцдаг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран өөр өөр хэлбэрээр үзүүлж болно.

Цэгийн дагуух шулуун шугам ба хэвийн векторын тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + Vy + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна.

Жишээ... (3, -1) перпендикуляр А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна. Бид дараахийг авна. 3 - 2 + C = 0, тиймээс C = -1 ... Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү бол харгалзах хүртэгчийг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2 бол.

Бутархай = k гэж нэрлэдэг налууЧигээрээ.

Жишээ... А (1, 2) ба В (3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл

Хэрэв нийт Ax + Vu + C = 0 байвал дараах хэлбэрт оруулна.

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг ба чиглэлийн векторын дагуух шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзсэн догол мөртэй адилтгах замаар та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам, шулуун шугамын чиглэлийн векторын тодорхойлолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь А α 1 + В α 2 = 0 нөхцөлийг хангасан тэгээс өөр вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C / A = -3, i.e. шаардлагатай тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 байвал –C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна. эсвэл

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм ашулуун шугамын Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C = 1, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + Vy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * С байхаар сонгох хэрэгтэй< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ... 12x - 5y - 65 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.Энэ шулуун шугамын янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулуун шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ... Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр сегментүүдээс үүссэн гурвалжны талбай нь 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг гарга.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна:, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ... А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зур.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. , энд x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хэрэв y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 гэсэн хоёр шулуун шугам өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Хэрэв k 1 = k 2 бол хоёр шулуун параллель байна. Хэрэв k 1 = -1 / k 2 бол хоёр шулуун шугам перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 = λA, B 1 = λB пропорциональ коэффициентууд Ax + Vy + C = 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 шулуун шугамууд параллель байна. Хэрэв мөн С 1 = λС байвал шугамууд давхцана. Хоёр шулуун шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шулуун шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + b шулуун шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M (x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Vy + C = 0 шулуун шугам хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун дээр буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем батлагдсан.

Жишээ... Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

Жишээ... 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуун шугамууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл... Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, тиймээс шулуун шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ... Гурвалжны оройг A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл... Бид AB талын тэгшитгэлийг олно. ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгийг дайран өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. үүнээс b = 17. Нийт:.

Хариулт: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

мөн хэрэв C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба эхийн координатууд нь байх тул энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг х = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

b) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + ХАМТ= 0, эсвэл.

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна

By + ХАМТ= 0, эсвэл;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй х, мөн түүний тодорхойлсон шулуун нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь ямар ч координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэлд энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координатыг агуулсан нэр томъёо байхгүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0, тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

д) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэлийг (2) гэж бичиж болно Сүх= 0 эсвэл х = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт. Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг. Шугамын параллель байх нөхцөл. Шулуун шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: l 1 ба l 2 хоорондох cos өнцөг = cos (l 1; l 2) =

Теорем 2: 2 шулуун шугам тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3: 2 шулуун шугам перпендикуляр байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрдөг

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - хавтгай || О.З

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - хавтгай || Өө

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - хавтгай || ҮХЭР

5.A = 0 ба D = 0 By + Cz = 0 - онгоц OX-ээр дамжин өнгөрдөг.

6.B = 0 ба D = 0 Ax + Cz = 0 - онгоц OY-ээр дамжин өнгөрдөг.

7.C = 0 ба D = 0 Ax + By = 0 - онгоц OZ-ээр дамжин өнгөрдөг.

Орон зайд хавтгай ба шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт:

1. Орон зайн шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 шулуун шугам || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг үүнтэй төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт №14

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн хэлбэрүүд (хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл, налуу гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө.

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

OU тэнхлэгтэй тэнцүү биш аливаа шулуун шугамыг (B биш = 0) дараагийн хэсэгт бичиж болно. хэлбэр:

k = tgα α нь шулуун ба эерэг чиглэлтэй OX шугамын хоорондох өнцөг юм

b - шулуун шугамын OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэг

Док:

Ax + Wu + C = 0

Wu = -Ah-C |: Б

Хоёр цэг дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Х → ∞ цэг дээрх функцийн хязгаарлагдмал хязгаар

x 0 цэг дээрх эцсийн хязгаар:

А тоог y = f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв ямар ч E> 0-ийн хувьд b> 0 байгаа бол x ≠ x 0-ийн хувьд тэгш бус байдлыг хангадаг x → x 0 гэж нэрлэдэг | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

+ ∞ цэг дээрх эцсийн хязгаар:

А тоог х дээрх y = f (x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ хэрэв аль нэг E>0-ийн хувьд C>0 байгаа бол x>C-ийн хувьд тэгш бус байдал |f (x) - A |< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

-∞-д дуусах хязгаар:

А тоог y = f (x) функцийн хязгаар гэнэ x → -∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е