Parabolės lygties išvedimas. Trijų taškų lygtis: kaip rasti parabolės viršūnę, formulę

III lygis

3.1. Hiperbolė paliečia 5 eilutes x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Užrašykite hiperbolės lygtį, jei jos ašys sutampa su koordinačių ašimis.

3.2. Parašykite hiperbolės liestinių lygtis

1) einantis per tašką A(4, 1), B(5, 2) ir C(5, 6);

2) lygiagrečiai tiesei 10 x – 3y + 9 = 0;

3) statmenai tiesei 10 x – 3y + 9 = 0.

parabolė yra plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina lygtį, vieta

Parabolės parametrai:

Taškas F(p/2, 0) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, dydis p – parametras , taškas O(0, 0) – viršūnė . Tuo pačiu metu tiesioginis APIE, kurios atžvilgiu parabolė yra simetriška, apibrėžia šios kreivės ašį.

Vertė kur M(x, y) yra savavališkas parabolės taškas, vadinamas židinio spindulys , tiesus D: x = –p/2 – direktorė (ji nekerta parabolės vidaus). Vertė vadinamas parabolės ekscentriškumu.

Pagrindinė parabolės charakteristika: visi parabolės taškai yra vienodu atstumu nuo krypties ir židinio (24 pav.).

Egzistuoja ir kitos kanoninės parabolės lygties formos, nulemiančios kitas jos šakų kryptis koordinačių sistemoje (25 pav.):

Dėl parametrinis parabolės apibrėžimas kaip parametras t parabolės taško ordinatės reikšmė gali būti paimta:

kur t yra savavališkas realusis skaičius.

1 pavyzdys Iš kanoninės lygties nustatykite parabolės parametrus ir formą:

Sprendimas. 1. Lygtis y 2 = –8x apibrėžia parabolę su viršūne taške O Jautis. Jo šakos nukreiptos į kairę. Lyginant duota lygtis su lygtimi y 2 = –2px, randame: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Todėl židinys yra taške F(–2; 0), krypties lygtis D: x= 2 (26 pav.).

2. Lygtis x 2 = –4y apibrėžia parabolę su viršūne taške O(0; 0), simetriškas ašies atžvilgiu Oy. Jo šakos nukreiptos žemyn. Palyginus šią lygtį su lygtimi x 2 = –2py, randame: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Todėl židinys yra taške F(0; –1), krypties lygtis D: y= 1 (27 pav.).

2 pavyzdys Apibrėžkite parametrus ir kreivės tipą x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Padarykite brėžinį.

Sprendimas. Kairiąją lygties pusę paverčiame viso kvadrato metodu:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kaip rezultatas, mes gauname

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Tai kanoninė parabolės lygtis su viršūne taške (–4; –3), parametras p= 8, šakos nukreiptos į viršų (), ašis x= -4. Dėmesys nukreiptas į tašką F(–4; –3 + p/2), t.y. F(–4; 1) direktorė D pateikiama lygtimi y = –3 – p/2 arba y= -7 (28 pav.).

4 pavyzdys Sudarykite parabolės su viršūne taške lygtį V(3; –2) ir sufokusuokite tašką F(1; –2).

Sprendimas.Šios parabolės viršūnė ir židinys yra tiesioje linijoje, lygiagrečioje ašiai Jautis(tos pačios ordinatės), parabolės šakos nukreiptos į kairę (židinio abscisė mažesnė už viršūnės abscisę), atstumas nuo židinio iki viršūnės p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Vadinasi, norima lygtis

(y+ 2) 2 = –2 4 ( x– 3) arba ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Savarankiško sprendimo užduotys

I lygiu

1.1. Nustatykite parabolės parametrus ir sukonstruokite:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, lygtį, jei žinote, kad:

1) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ašies atžvilgiu Jautis ir p = 4;

2) parabolė yra simetriškai apie ašį Oy ir eina per tašką M(4; –2).

3) kryptis pateikiama pagal 3 lygtį y + 4 = 0.

1.3. Parašykite kreivės, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo taško (2; 0) ir tiesės, lygtį x = –2.

II lygis

2.1. Apibrėžkite kreivės tipą ir parametrus.

Visi žino, kas yra parabolė. Bet kaip jį teisingai naudoti, kompetentingai sprendžiant įvairias praktines problemas, mes suprasime toliau.

Pirmiausia pažymėkime pagrindines sąvokas, kurias šiam terminui suteikia algebra ir geometrija. Apsvarstykite viską galimi tipaišią diagramą.

Sužinome visas pagrindines šios funkcijos ypatybes. Supraskime kreivės (geometrijos) konstravimo pagrindus. Sužinokime, kaip rasti aukščiausias, kitas pagrindines šio tipo grafiko reikšmes.

Išsiaiškinsime: kaip teisingai pagal lygtį sukonstruota reikiama kreivė, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažiūrėkime pagrindinį praktinis naudojimasši unikali vertybė žmogaus gyvenime.

Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo

Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.

Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:

Kanoninė parabolės lygtis

Paveiksle pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema (XOY), ekstremumas, funkcijos kryptis, brėžianti šakas išilgai abscisių ašies.

Kanoninė lygtis yra tokia:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.

Algebroje tai parašyta kitaip:

y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).

Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos x ašies reikšmės.

Funkcijos reikšmių diapazonas - (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.

Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos

Norėdami iš išraiškos rasti šio tipo kreivės kryptį, prieš pirmąjį parametrą turite nurodyti ženklą algebrinė išraiška. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti į viršų. Priešingu atveju žemyn.

Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę

Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetiniai skaičiuotuvai bet geriau tai padaryti pačiam.

Kaip tai apibrėžti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.

Formulės, kaip rasti viršūnę:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Pavyzdys.

Yra funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.

Tokiai linijai:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).

Parabolės poslinkis

Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai yra 0, o = 1 - viršūnė yra taške (0; 0).

Judėjimas išilgai abscisių arba ordinačių ašių atsiranda dėl atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimo. Linijos poslinkis plokštumoje bus atliktas tiksliai pagal vienetų skaičių, kuris yra lygus parametro vertei.

Pavyzdys.

Turime: b = 2, c = 3.

Tai reiškia, kad klasikinis kreivės vaizdas pasislinks 2 segmentais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.

Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę pagal pateiktus parametrus.

Analizuodami išraiškas ir lygtis galite pamatyti šiuos dalykus:

1. Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę, lygią c.
2. Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.

Be to, susikirtimus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.

Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:

• D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, tada x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.

Gauname parabolės konstravimo algoritmą:

• nustatyti šakų kryptį;
• rasti viršūnės koordinates;
• rasti sankirtą su y ašimi;
• rasti sankirtą su x ašimi.

1 pavyzdys

Duota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukurti parabolę. Mes veikiame pagal algoritmą:

1. a \u003d 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. kertasi su y ašimi reikšme y = 4;
4. raskite diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
5. ieško šaknų

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

2 pavyzdys

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal aukščiau pateiktą algoritmą:

1. a \u003d 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. su y ašimi susikirs reikšme y \u003d -1;
4. Raskite diskriminantą: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Taigi šaknys:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1; 0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Iš gautų taškų galite sukurti parabolę.

Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys

Remiantis kanonine lygtimi, židinys F turi koordinates (p/2, 0).

Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jos lygtis yra x = -p/2.

Ekscentriškumas (pastovi) = 1.

Išvada

Svarstėme temą, kuria mokosi studentai vidurinė mokykla. Dabar jūs žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, kuria kryptimi bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.

Parabolė yra taškų rinkinys plokštumoje, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodyto taško.(sutelkti dėmesį)o iš duotosios tiesės, nekertančios tam tikro taško (direktorės)esantis toje pačioje plokštumoje(5 pav.).

Tokiu atveju koordinačių sistema parenkama taip, kad ašis
eina statmenai krypčiai per židinį, jo teigiama kryptis pasirenkama iš krypties židinio link. Y ašis eina lygiagrečiai krypčiai, per vidurį tarp krypties ir židinio, iš kur krypčių lygtis
, židinio koordinates
. Koordinačių pradžia yra parabolės viršūnė, o abscisių ašis yra jos simetrijos ašis. Parabolės ekscentriškumas
.

Kai kuriais atvejais lygčių pateiktos parabolės

a)

b)
(visiems atvejams
)

v)
.

A) atveju parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu
ir nukreipė į ją neigiama pusė(6 pav.).

B) ir c) atvejais simetrijos ašis yra ašis
(6 pav.). Fokuso koordinates šiais atvejais:

a)
b)
v)
.

Krypties lygtis:

a)
b)
v)
.

4 pavyzdys Parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje, eina per tašką
ir simetriškas ašies atžvilgiu
. Parašykite jos lygtį.

Sprendimas:

Kadangi parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu
ir eina per tašką su teigiama abscise, tada jis turi formą, parodytą 5 pav.

Taško koordinačių pakeitimas į tokios parabolės lygtį
, mes gauname
, t.y.
.

Todėl norima lygtis

,

šios parabolės židinys
, krypties lygtis
.

4. Antrosios eilės tiesinės lygties pavertimas kanonine forma.

Bendroji antrojo laipsnio lygtis turi formą

kur koeficientai
neišnyksta tuo pačiu.

Bet kuri tiesė, apibrėžta (6) lygtimi, vadinama antros eilės linija. Koordinačių sistemos transformacijos pagalba antros eilės tiesių lygtis gali būti sumažinta iki paprasčiausios (kanoninės) formos.

1. (6) lygtyje
. Šiuo atveju (6) lygtis turi formą

Jis transformuojamas į paprasčiausią formą, naudojant lygiagretų koordinačių ašių vertimą pagal formules

(8)

kur
- naujos pradžios koordinatės
(senoje koordinačių sistemoje). Naujos ašys
ir
lygiagrečiai senosioms. Taškas
yra elipsės arba hiperbolės centras ir viršūnė parabolės atveju.

Patogu (7) lygtį sumažinti iki paprasčiausios formos, pasirenkant tobulus kvadratus taip pat, kaip tai buvo padaryta apskritimui.

5 pavyzdys Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios linijos tipą ir vietą. Raskite gudrybių koordinates. Padarykite piešinį.

Sprendimas:

Grupavimo nariai, kuriuose yra tik tik , atimant koeficientus ties ir skliausteliuose:

Skliausteliuose esančias išraiškas papildome iki pilnų kvadratų:

Taigi ši lygtis transformuojama į formą

Mes skiriame

arba

Lyginant su (8) lygtimis, matome, kad šios formulės nustato lygiagretų koordinačių ašių perkėlimą į tašką
. V nauja sistema koordinates, lygtis bus parašyta taip:

Perkeldami laisvąjį terminą į dešinę ir padalydami iš jo, gauname:

.

Taigi, ši antros eilės eilutė yra elipsė su pusiau ašimis
,
. Elipsės centras yra naujoje vietoje
, o jo židinio ašis yra ašis
. Židinio atstumas nuo centro, kad būtų naujos tinkamo židinio koordinatės
. Senosios to paties židinio koordinatės randamos iš lygiagrečių vertimo formulių:

Panašiai – naujos kairiojo židinio koordinatės
,
. Jo senosios koordinatės:
,
.

Norėdami nubrėžti šią elipsę, brėžinyje uždėjome seną ir naują koordinačių ašis. Abiejose taško pusėse judėti išilgai ašies ilgio segmentai , ir išilgai ašies – ilgis ; taip gavę elipsės viršūnes, nubrėžiame pačią elipsę (7 pav.).

komentuoti. Norint patikslinti brėžinį, naudinga rasti šios tiesės (7) susikirtimo taškus su senosiomis koordinačių ašimis. Norėdami tai padaryti, į (7) formulę pirmiausia turime įdėti
, ir tada
ir išspręskite gautas lygtis.

Sudėtingų šaknų atsiradimas reikš, kad linija (7) nekerta atitinkamos koordinačių ašies.

Pavyzdžiui, ką tik analizuotos problemos elipsės atveju gaunamos šios lygtys:

Antroji iš šių lygčių turi sudėtingas šaknis, todėl elipsė yra ašis
nekerta. Pirmosios lygties šaknys:

Taškuose
ir
elipsė kerta ašį
(7 pav.).

6 pavyzdys Pateikite antros eilės eilutės lygtį į paprasčiausią formą. Nustatykite linijos tipą ir vietą, suraskite židinio koordinates.

Sprendimas:

Kadangi narys trūksta, tada reikia pasirinkti visą kvadratą tik pagal :

Taip pat iš skliaustų išimame koeficientą ties

.

Mes skiriame

arba

Dėl to koordinačių sistema perkeliama lygiagrečiai į tašką
. Po vertimo lygtis įgis tokią formą

.

Iš to seka, kad ši linija yra parabolė (8 pav.), taškas yra jo viršūnė. Parabolė nukreipta į neigiamą ašies pusę ir simetriškas šiai ašiai. Vertė lygus jai.

Todėl židinys turi naujas koordinates

.

Jo senos koordinatės

Jei į šią lygtį įdėsime
arba
, tada mes nustatome, kad parabolė kerta ašį
taške
, ir ašis
tai nekerta.

2. (1) lygtyje
. Antrojo laipsnio bendroji lygtis (1) transformuojama į formą (2), t.y. į tai, kas nurodyta 1 dalyje. progai, pasukant koordinačių ašis kampu
formules

(9)

kur
– naujos koordinatės. Injekcija
randama iš lygties

Tada koordinačių ašys pasukamos taip, kad naujos ašys
ir
antros eilės linijos buvo lygiagrečios simetrijos ašims.

Žinant
, galima rasti
ir
pagal trigonometrines formules

,
.

Jei sukimosi kampas
sutinkame svarstyti aštrų, tada šiose formulėse turime paimti pliuso ženklą ir už
taip pat turime priimti teigiamą (5) lygties sprendimą.

Visų pirma, kai
koordinačių sistema turi būti pasukta kampu
. Anglies įjungimo formulės atrodo taip:

(11)

7 pavyzdys Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios eilutės tipą ir vietą.

Sprendimas:

Tokiu atveju
, 1
,
, todėl sukimosi kampas
randama iš lygties

.

Šios lygties sprendimas
ir
. Apribotas smailiu kampu
, paimame pirmąjį iš jų. Tada

,

,
.

Pakeičiant šias reikšmes ir į šią lygtį

Atidarę skliaustus ir pateikdami panašius, gauname

.

Galiausiai, dalijant iš laisvojo termino, gauname elipsės lygtį

.

Iš to išplaukia
,
, o didžioji elipsės ašis nukreipta išilgai ašies
, o mažas - išilgai ašies
.

Gaukite tašką
, kurio spindulys
pasviręs į ašį
kampu
, kuriam
. Todėl per šį tašką
ir praeis nauja x ašis. Tada pažymėkite ant ašių
ir
elipsės viršūnes ir nubrėžti elipsę (9 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad ši elipsė kerta senąsias koordinačių ašis taškuose, kurie randami iš kvadratinių lygčių (jei įdėsime šią lygtį
arba
):

ir
.

Algebros ir geometrijos paskaitos. 1 semestras.

17 paskaita. Parabolė.

17 skyrius

1 punktas. Pagrindiniai apibrėžimai.

Apibrėžimas. Parabolė yra plokštumos, esančios vienodu atstumu nuo vieno fiksuoto plokštumos taško, vadinamo židiniu, ir vienos fiksuotos tiesės, vadinamos kryptine linija, GMT.

Apibrėžimas. Atstumas nuo savavališko plokštumos taško M iki parabolės židinio vadinamas taško M židinio spinduliu.

Pavadinimai: F- parabolės židinys, r- židinio spindulys taškai M,d yra atstumas nuo taško M iki krypties D.

Pagal parabolės apibrėžimą taškas M yra parabolės taškas tada ir tik tada
.

Pagal parabolės apibrėžimą jos židinys ir kryptis yra fiksuoti objektai, todėl atstumas nuo židinio iki krypties yra pastovi šios parabolės reikšmė.

Apibrėžimas. Atstumas nuo parabolės židinio iki jos krypties vadinamas parabolės židinio parametru.

Pavadinimas:
.

Įveskime duotoje plokštumoje koordinačių sistemą, kurią parabolei vadinsime kanonine.

Apibrėžimas. Ašis, nubrėžta per parabolės židinį, statmeną krypčiai, vadinama parabolės židinio ašimi.

Sukurkime kanoninį parabolės PDSC, žr. 2 pav.

Kaip abscisių ašį pasirenkame židinio ašį, kryptį, kuria pasirenkame iš krypties į židinį.

Ordinačių ašis brėžiama per atkarpos FN vidurį statmenai židinio ašiai. Tada židinys turi koordinates
.

2 punktas. Kanoninė parabolės lygtis.

Teorema. Kanoninėje parabolės koordinačių sistemoje parabolės lygtis yra tokia:

. (1)

Įrodymas. Įrodinėjimą atliksime dviem etapais. Pirmajame etape įrodysime, kad bet kurio taško, esančio ant parabolės, koordinatės atitinka (1) lygtį. Antrame etape įrodysime, kad bet koks (1) lygties sprendinys suteikia taško, esančio ant parabolės, koordinates. Iš čia išeis, kad (1) lygtį tenkina tų ir tik tų koordinačių plokštumos taškų, kurie yra ant parabolės, koordinatės.

Iš čia ir iš kreivės lygties apibrėžimo išplauks, kad (1) lygtis yra parabolės lygtis.

1) Tegul taškas M(x, y) yra parabolės taškas, t.y.

.

Naudojame atstumo tarp dviejų koordinačių plokštumos taškų formulę ir randame tam tikro taško M židinio spindulį pagal šią formulę:

.

Iš 2 paveikslo matome, kad parabolės taškas negali turėti neigiamos abscisės, nes tokiu atveju
. Taigi
ir
. Taigi gauname lygybę

.

Padėkime kvadratu abi lygties puses:

ir po sumažinimo gauname:

.

2) Dabar tegul skaičių pora (x, y) tenkina (1) lygtį ir tegul M(x, y) yra atitinkamas taškas Oxy koordinačių plokštumoje.

Tada lygybę (1) pakeičiame taško M židinio spindulio išraiškoje:

, iš kur pagal parabolės apibrėžimą išplaukia, kad taškas M(x, y) yra ant parabolės.

Čia mes panaudojome faktą, kad lygybė (1) tai reiškia
taigi
.

Teorema įrodyta.

Apibrėžimas. (1) lygtis vadinama kanonine parabolės lygtimi.

Apibrėžimas. Parabolės kanoninės koordinačių sistemos pradžia vadinama parabolės viršūne.

3 punktas. parabolės savybės.

Teorema. (Parabolės savybės.)

1. Parabolės kanoninėje koordinačių sistemoje, juostoje

nėra parabolės taškų.

2. Parabolės kanoninėje koordinačių sistemoje parabolės O(0; 0) viršūnė yra ant parabolės.

3. Parabolė yra kreivė, simetriška židinio ašiai.

Įrodymas. 1, 2) Iš karto išplaukia iš kanoninės parabolės lygties.

3) Tegul M(x, y) yra savavališkas parabolės taškas. Tada jo koordinatės tenkina (1) lygtį. Bet tada taško koordinatės
taip pat tenkina (1) lygtį, todėl šis taškas taip pat yra parabolės taškas, iš kurio seka teoremos tvirtinimas.

Teorema įrodyta.

4 punktas. Parabolės statyba.

Dėl simetrijos pakanka pirmame kvadrante sukonstruoti parabolę, kur tai yra funkcijos grafikas

,

ir tada simetriškai apie x ašį atvaizduokite gautą grafiką.

Sudarome šios funkcijos grafiką, atsižvelgiant į tai, kad ši funkcija didėja intervale
.

5 punktas. Hiperbolės židinio parametras.

Teorema. Parabolės židinio parametras lygus statmenos jos simetrijos ašiai ilgiui, atkurtam parabolės židinyje iki sankirtos su parabole.

Įrodymas. Nuo taško
yra parabolės susikirtimo taškas
su statmenu
(žr. 3 pav.), tada jo koordinatės tenkina parabolės lygtį:

.

Iš čia randame
, iš kur seka teoremos tvirtinimas.

Teorema įrodyta.

6 punktas. Vieningas elipsės, hiperbolės ir parabolės apibrėžimas.

Naudojant įrodytas elipsės ir hiperbolės savybes bei parabolės apibrėžimą, galima pateikti vieną visų trijų kreivių apibrėžimą.

Apibrėžimas. Plokštumos, kurios atstumo iki vieno fiksuoto plokštumos taško, vadinamo židiniu, ir atstumo iki vienos fiksuotos tiesės, vadinamos krypties, santykis yra konstanta, vadinamas:

a) elipsė, jei ši konstanta mažesnė už 1;

b) hiperbolė, jei ši konstanta didesnė už 1;

c) parabolė, jei ši konstanta lygi 1.

Ši apibrėžime nurodyta konstanta vadinama ekscentriškumu ir žymima , atstumas nuo nurodyto taško iki židinio yra jo židinio spindulys r, atstumas nuo nurodyto taško iki krypties žymimas d.

Iš apibrėžimo matyti, kad tie plokštumos taškai, kurių santykis yra pastovi elipsės, hiperbolės arba parabolės reikšmė, priklausomai nuo šio santykio reikšmės.

Jeigu
, tada gauname elipsę, jei
, tada gauname hiperbolę, jei
, tada gauname parabolę.

7 punktas. Parabolės liestinė.

Teorema. Leisti
yra savavališkas parabolės taškas

.

Tada šios parabolės liestinės lygtis

taške
atrodo kaip:

. (2)

Įrodymas. Pakanka apsvarstyti atvejį, kai sąlyčio taškas yra pirmame kvadrante. Tada parabolės lygtis turi tokią formą:

ir jį galima žiūrėti kaip funkcijos grafiką
.

Panaudokime funkcijos grafiko liestinės lygtį
taške
:

kur
yra šios funkcijos išvestinės reikšmė taške
.

Raskime funkcijos išvestinę
ir jo vertė sąlyčio taške:

,
.

Čia mes pasinaudojome tuo, kad prisilietimo taškas
yra parabolės taškas, todėl jo koordinatės tenkina parabolės lygtį, t.y.

.

Rastą išvestinės reikšmę pakeičiame liestinės lygtimi:

,

iš kur gauname:

.

Nuo taško
priklauso parabolei, tada jos koordinatės tenkina jos lygtį, t.y.
, iš kur gauname

arba
.

tai reiškia

.

Teorema įrodyta.

8 punktas. Veidrodinė parabolės savybė.

Teorema. Parabolės liestinė sudaro lygius kampus su savo simetrijos ašimi ir liestinės taško židinio spinduliu.

Įrodymas. Leisti
- susikirtimo taškas yra jo židinio spindulys. N pažymėkite liestinės ir abscisių ašies susikirtimo tašką. Taško N ordinatė lygi nuliui, o taškas N yra liestinėje, todėl jo koordinatės tenkina liestinės lygtį. Pakeitę taško N koordinates į liestinės lygtį, gauname:

,

iš kur yra taško N abscisė
.

Apsvarstykite trikampį
. Įrodome, kad jis yra lygiašonis.

tikrai,
. Čia mes panaudojome lygybę, gautą išvedant kanoninę parabolės lygtį:

.

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs. Iš čia

ir kt.

Teorema įrodyta.

komentuoti. Įrodyta teorema gali būti suformuluota kaip veidrodinė parabolės savybė.

Šviesos spindulys, skleidžiamas iš parabolės židinio, po atspindžio nuo parabolės veidrodžio, eina lygiagrečiai parabolės simetrijos ašiai.

Iš tiesų, kadangi spindulio kritimo į liestinę kampas yra lygus atspindžio nuo jo kampui, kampas tarp liestinės ir atspindėto spindulio yra lygus kampui tarp liestinės ir abscisių ašies, o tai reiškia, kad atsispindėjęs spindulys. spindulys yra lygiagretus abscisių ašiai.

komentuoti. Ši parabolės savybė buvo plačiai naudojama inžinerijoje. Jei parabolė pasukama aplink savo simetrijos ašį, tada gausime paviršių, vadinamą apsisukimo paraboloidu. Jei atspindintis paviršius yra sukimosi paraboloido pavidalu, o židinyje yra šviesos šaltinis, tada atspindėti spinduliai eina lygiagrečiai paraboloido simetrijos ašiai. Taip išdėstyti prožektoriai ir automobilių žibintai. Tačiau jei į židinį dedamas prietaisas, priimantis elektromagnetinius virpesius (bangas), tada jie atsispindi nuo paraboloido paviršiaus ir patenka į šį priėmimo įrenginį. Taip veikia palydovinės antenos.

Sklando legenda, kad senovėje vienas vadas išrikiavo savo karius pakrantėje, suteikdamas jiems parabolės formą. Saulės šviesa, atsispindėjusi nuo iki blizgesio nugludintų karių skydų, susibūrė į spindulį (sukonstruotos parabolės židinyje). Taigi priešo laivai buvo sudeginti. Kai kurie šaltiniai tai priskiria Archimedui. Vienaip ar kitaip, bet arabai revoliucijos paraboloidą vadino „padegančiu veidrodžiu“.

Beje, žodis „focus“ yra lotyniškas ir vertime reiškia ugnį, židinį. Saulėtą dieną „uždegančio veidrodžio“ pagalba galima užkurti laužą ir užvirti vandenį. Taigi paaiškėja šio termino kilmė.

Žodis „fokusas“ taip pat reiškia kažkokį triuką ar gudrų prietaisą. Anksčiau cirkas buvo vadinamas stendu. Taigi net farso menininkai panaudojo elipsės veidrodinę savybę ir įžiebdami šviesą viename elipsės židinyje, jie uždegdavo kažką degaus, patalpinto kitame židinyje. Šis reginys taip pat tapo žinomas kaip triukas. (Perskaitykite nuostabią Vilenkin N.Ya knygą „Už matematikos vadovėlio puslapių“)

9 punktas. Elipsės, hiperbolės ir parabolės poliarinė lygtis.

Plokštumoje duotas taškas F, kurį pavadinsime židiniu, ir tiesė D, kurią vadinsime kryptine. Nubrėžkime tiesę, statmeną krypčiai (židinio ašiai) per židinį ir įveskime polinę koordinačių sistemą. Ašigalį pastatome į židinį, o poliariniu spinduliu paimame tą tiesės dalį, kuri nesikerta su krypties linija (žr. 5 pav.).

Tegul taškas M yra elipsėje, hiperbolėje arba parabolėje. Toliau zlipo hiperbolę arba parabolę vadinsime tiesiog kreive.

Teorema. Leisti
– kreivės taško poliarinės koordinatės (elipsė, hiperbolė arba parabolė). Tada

, (3)

kur p yra kreivės židinio parametras, yra kreivės ekscentriškumas (parabolei darome prielaidą
).

Įrodymas. Tegu Q taško М projekcija į kreivės židinio ašį, В – į kreivės kryptį. Tegul poliarinis kampas taškas M yra bukas, kaip parodyta 5 paveiksle. Tada

,

kur pagal statybas,
yra atstumas nuo taško M iki krypties ir

. (4)

Kita vertus, pagal vieningą elipsės, hiperbolės ir parabolės apibrėžimą, santykis

(5)

yra lygus bet kurio kreivės taško M atitinkamos kreivės ekscentriškumui. Tegul taškas
yra kreivės susikirtimo su statmena židinio ašiai taškas, atkurtas židinyje F, o A yra jo projekcija į kryptį. Tada

, kur
. Bet
, kur

ir, pakeisdami lygybe (4), gauname

arba, atsižvelgiant į lygybę (5),

iš kur seka reikiama lygybė (3).

Atkreipkite dėmesį, kad lygybė (4) išlieka teisinga net ir tuo atveju, kai poliarinis kampas taškas M yra aštrus, nes šiuo atveju taškas Q yra į dešinę nuo židinio F ir

Teorema įrodyta.

Apibrėžimas. (3) lygtis vadinama elipsės, hiperbolės ir parabolės poline lygtimi.

Parabolė yra taškų vieta plokštumoje, esančioje vienodu atstumu nuo nurodyto taško F ir tam tikros tiesės, kuri nekerta duotas taškas. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia parabolės katalogo nuosavybė.

Parabolės katalogo ypatybė

Taškas F vadinamas parabolės židiniu, tiesė d vadinama parabolės kryptine, statmeno, nuleisto nuo židinio iki krypties vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo židinio. iki krypties yra parabolės parametras, o atstumas \frac(p)(2) nuo parabolės viršūnės iki jos židinio - židinio nuotolis (3.45 pav., a). Tiesi linija, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su jo židiniu, vadinama taško M židinio spinduliu. Linijos atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.

Savavališkame parabolės taške atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę , ir parabolių katalogo ypatybes, darome tokią išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą yra lygus vienetui (e=1) .

Geometrinis parabolės apibrėžimas, išreiškiantis jo katalogo ypatybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, kurią suteikia kanoninė parabolės lygtis:

Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.45 pav., b). Koordinačių sistemos pradžią laikykime parabolės viršūnę O; tiesia linija, einanti per židinį statmenai krypčiai, laikysime abscisių ašį (teigiama kryptis joje nuo taško O iki taško F); tiesią liniją, statmeną abscisių ašiai ir einanti per parabolės viršūnę, laikysime ordinačių ašį (kryptis ordinačių ašyje parenkama taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga).

Sudarykime parabolės lygtį naudodami jos geometrinį apibrėžimą, kuris išreiškia parabolės krypčių savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinio koordinates F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ir krypties lygtis x=-\frac(p)(2) . Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam parabolei, turime:

FM=MM_d,

kur M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- taško M(x,y) stačiakampė projekcija į kryptį. Šią lygtį užrašome koordinačių forma:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Abi lygties puses padalijame kvadratu: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Panašius terminus gauname kanoninė parabolės lygtis

y^2=2\cdot p\cdot x, tie. pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.

Samprotaujant atvirkštine tvarka, galima parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.51) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam parabole. Taigi analitinis parabolės apibrėžimas yra lygiavertis jos geometriniam apibrėžimui, kuris išreiškia parabolės katalogo savybę.

Parabolės lygtis polinėmis koordinatėmis

Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje Fr \ varphi (3.45 pav., c) turi formą

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p – parabolės parametras, o e=1 – jos ekscentriškumas.

Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos ašigalį pasirenkame parabolės židinį F, o poliarine ašimi - spindulį, kurio pradžia yra taške F, statmeną kryptinei ir jos nekertančią (3.45 pav.). c). Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), priklausančiam parabolei, pagal geometrinį parabolės apibrėžimą (direktorinę savybę), turime MM_d=r . Tiek, kiek MM_d=p+r\cos\varphi, gauname parabolės lygtį koordinačių forma:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Atkreipkite dėmesį, kad poliarinėse koordinatėse elipsės, hiperbolės ir parabolės lygtys sutampa, tačiau apibūdina skirtingas tieses, nes jos skiriasi ekscentriškumu (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 už ).

Parabolės lygties parametro geometrinė reikšmė

Paaiškinkime geometrinė parametro reikšmė p in kanoninė lygtis parabolės. Pakeitę x=\frac(p)(2) į lygtį (3.51), gauname y^2=p^2 , t.y. y=\pm p . Todėl parametras p yra pusė parabolės stygos, einančios per jos židinį statmenai parabolės ašiai, ilgio.

Parabolės židinio parametras, taip pat elipsei ir hiperbolei, vadinama puse stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio (žr. 3.45 pav., c). Iš parabolės lygties polinėmis koordinatėmis ties \varphi=\frac(\pi)(2) gauname r=p , t.y. parabolės parametras sutampa su jo židinio parametru.

Pastabos 3.11.

1. Parabolės parametras p apibūdina jos formą. Kuo daugiau p, tuo platesnės parabolės šakos, kuo p arčiau nulio, tuo siauresnės parabolės šakos (3.46 pav.).

2. Lygtis y^2=-2px (kai p>0) apibrėžia parabolę, kuri yra y ašies kairėje (3.47 pav., a). Ši lygtis sumažinama iki kanoninės, pakeitus x ašies kryptį (3.37). Ant pav. 3.47,a rodo duotąją koordinačių sistemą Oxy ir kanoninę Ox"y" .

3. Lygtis (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 apibrėžia parabolę, kurios viršūnė O "(x_0, y_0), kurios ašis lygiagreti abscisių ašiai (3.47.6 pav.). Ši lygtis sumažinama iki kanoninės naudojant lygiagretųjį vertimą (3.36).

Lygtis (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, taip pat apibrėžia parabolę, kurios viršūnė O "(x_0, y_0) , kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai (3.47 pav., c). Ši lygtis lygiagrečiojo vertimo (3.36) ir pervadinimo būdu redukuojama į kanoninę. koordinačių ašys (3.38) 3.47 pav., b, c pavaizduotos pateiktos koordinačių sistemos Oxy ir kanoninės koordinačių sistemos Ox "y" .

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 yra parabolė su viršūne taške O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), kurios ašis lygiagreti y ašiai, parabolės šakos nukreiptos aukštyn (jeigu a>0) arba žemyn (a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Rodyklė į kairę \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

kuri redukuojama iki kanoninės formos (y")^2=2px" , kur p=\left|\frac(1)(2a)\right|, pakeičiant y"=x+\frac(b)(2a) ir x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Ženklas pasirenkamas taip, kad atitiktų pirmaujančio koeficiento a ženklą. Šis pakeitimas atitinka kompoziciją: lygiagretus vertimas (3.36) su x_0=-\frac(b)(2a) ir y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pervardijant koordinačių ašis (3.38), o a atveju<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ir a<0 соответственно.

5. Kanoninės koordinačių sistemos abscisių ašis yra parabolės simetrijos ašis, nes kintamąjį y pakeitus į -y lygtis (3.51) nekeičiama. Kitaip tariant, taško M (x, y), priklausančio parabolei, koordinatės ir taško M koordinatės "(x, -y), simetriškos taškui M apie abscisių ašį, atitinka (3. S1).Kanoninės koordinačių sistemos ašys vadinamos pagrindinės parabolės ašys.

3.22 pavyzdys. Nubraižykite parabolę y^2=2x kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy . Raskite židinio parametrą, židinio koordinates ir krypties lygtį.

Sprendimas. Statome parabolę, atsižvelgdami į jos simetriją abscisių ašies atžvilgiu (3.49 pav.). Jei reikia, nustatome kai kurių parabolės taškų koordinates. Pavyzdžiui, pakeitę x=2 į parabolės lygtį, gauname y^2=4~\Leftright arrow~y=\pm2. Todėl taškai su koordinatėmis (2;2),\,(2;-2) priklauso parabolei.

Palyginę pateiktą lygtį su kanonine (3.S1), nustatome židinio parametrą: p=1 . Fokusavimo koordinatės x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, t.y. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Sudarome krypties lygtį x=-\frac(p)(2) , t.y. x=-\frac(1)(2) .

Bendrosios elipsės, hiperbolės, parabolės savybės

1. Katalogo ypatybę galima naudoti kaip vieną elipsės, hiperbolės, parabolės apibrėžimą (žr. 3.50 pav.): plokštumos taškų lokusas, kurių kiekvieno atstumo iki duoto taško F (fokusas) ir atstumo iki nurodytos tiesės d (kryptis), kuri nekerta tam tikro taško, santykis yra pastovus ir lygus ekscentriškumas e vadinamas:

a) jei 0\leqslant e<1 ;

b) jei e>1 ;

c) parabolė, jei e=1.

2. Elipsė, hiperbolė, parabolė gaunamos apskrito kūgio atkarpose plokštumomis ir todėl vadinamos kūginės sekcijos. Ši savybė taip pat gali būti naudojama kaip geometrinis elipsės, hiperbolės, parabolės apibrėžimas.

3. Įprastos elipsės, hiperbolės ir parabolės savybės bisektoriaus nuosavybė jų liestinės. Pagal liestinėį tiesę tam tikrame jos taške K suprantama kaip sekanto KM ribinė padėtis, kai taškas M, likęs nagrinėjamoje tiesėje, krypsta į tašką K. Vadinama tiesė, statmena liestinės tiesei ir einanti per sąlyčio tašką normalusį šią eilutę.

Elipsės, hiperbolės ir parabolės liestinių (ir normaliųjų) dvipusė savybė formuluojama taip: elipsės arba hiperbolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liestinės taško židinio spinduliais(3.51 pav., a, b); parabolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liestinės taško židinio spinduliu ir statmenu, nuleistu nuo jo į kryptį(3.51 pav., c). Kitaip tariant, elipsės liestinė taške K yra trikampio išorinio kampo F_1KF_2 pusiausvyra (o normalioji yra trikampio vidinio kampo F_1KF_2 pusiausvyra); hiperbolės liestinė yra trikampio F_1KF_2 vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra); parabolės liestinė yra trikampio FKK_d vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra). Parabolės liestinės dvipusę savybę galima suformuluoti taip pat, kaip elipsės ir hiperbolės atveju, jei manysime, kad parabolė turi antrą židinį begalybėje.

4. Bisektorinės savybės reiškia elipsės, hiperbolės ir parabolės optinės savybės, paaiškinantis fizinę termino „fokusas“ reikšmę. Įsivaizduokime paviršius, susidariusius sukantis aplink židinio ašį elipsei, hiperbolei ar parabolei. Jei ant šių paviršių padengiama atspindinti danga, gaunami elipsiniai, hiperboliniai ir paraboliniai veidrodžiai. Pagal optikos dėsnį šviesos pluošto kritimo į veidrodį kampas yra lygus atspindžio kampui, t.y. krintantys ir atsispindėję spinduliai sudaro lygius kampus su normaliu paviršiumi, o abu spinduliai ir sukimosi ašis yra toje pačioje plokštumoje. Iš to gauname šias savybes:

- jei šviesos šaltinis yra viename iš elipsinio veidrodžio židinių, tai šviesos spinduliai, atsispindėję nuo veidrodžio, surenkami kitame židinyje (3.52 pav., a);

- jei šviesos šaltinis yra viename iš hiperbolinio veidrodžio židinių, tai šviesos spinduliai, atsispindėję nuo veidrodžio, išsiskirsto taip, lyg būtų atėję iš kito židinio (3.52 pav., b);

- jei šviesos šaltinis yra parabolinio veidrodžio židinyje, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai eina lygiagrečiai židinio ašiai (3.52 pav., c).

5. Skersmens savybė elipsė, hiperbolė ir parabolė gali būti formuluojamos taip:

– elipsės lygiagrečių stygų (hiperbolės) vidurio taškai yra toje pačioje tiesėje, einančioje per elipsės centrą (hiperbolė);

– parabolės lygiagrečių stygų vidurio taškai yra tiesioje linijoje, kolineje parabolės simetrijos ašiai.

Visų lygiagrečių elipsės stygų (hiperbolės, parabolės) vidurio taškas vadinamas elipsės skersmuo (hiperbolės, parabolės) susieti su šiais akordais.

Tai yra skersmens apibrėžimas siaurąja prasme (žr. 2.8 pavyzdį). Anksčiau skersmens apibrėžimas buvo pateiktas plačiąja prasme, kur elipsės, hiperbolės, parabolės ir kitų antrosios eilės linijų skersmuo yra tiesi linija, kurioje yra visų lygiagrečių stygų vidurio taškai. Siaurąja prasme elipsės skersmuo yra bet kokia styga, einanti per jos centrą (3.53 pav., a); hiperbolės skersmuo – bet kuri tiesė, einanti per hiperbolės centrą (išskyrus asimptotes), arba tokios tiesės dalis (3.53.6 pav.); parabolės skersmuo – tai bet koks spindulys, sklindantis iš kurio nors parabolės taško ir esantis kolineje su simetrijos ašimi (3.53 pav., c).

Du skersmenys, kurių kiekvienas padalija visas stygas lygiagrečiai kitam skersmeniui, vadinami konjugatu. 3.53 pav. paryškintos linijos rodo elipsės, hiperbolės ir parabolės konjugato skersmenis.

Elipsės liestinė (hiperbolė, parabolė) taške K gali būti apibrėžta kaip lygiagrečių sekantų M_1M_2 ribinė padėtis, kai taškai M_1 ir M_2, likę nagrinėjamoje tiesėje, linkę į tašką K. Iš šio apibrėžimo matyti, kad liestinė, lygiagreti stygoms, eina per skersmens konjugato galą su šiomis stygomis.

6. Elipsė, hiperbolė ir parabolė, be to, turi daug geometrinių savybių ir fizinių pritaikymų. Pavyzdžiui, 3.50 pav. galima pavaizduoti erdvės objektų, esančių netoli traukos centro F, judėjimo trajektorijas.