Dvejetainėje skaičių sistemoje naudojami tik du skaitmenys 0 ir 1. Kitaip tariant, du yra dvejetainės skaičių sistemos pagrindas. (Panašiai dešimtainė sistema turi 10 bazę.)

Norėdami sužinoti, kaip suprasti skaičius dvejetainėje skaičių sistemoje, pirmiausia apsvarstykite, kaip skaičiai formuojami mums žinomoje dešimtainėje skaičių sistemoje.

Dešimtainėje skaičių sistemoje turime dešimt skaitmenų (nuo 0 iki 9). Kai skaičius pasiekia 9, įvedamas naujas skaitmuo (dešimtukai), vienetai atstatomi į nulį ir skaičiuojama iš naujo. Po 19 dešimties skaitmuo padidinamas 1, o vienetai vėl nustatomi į nulį. ir kt. Kai dešimtys pasiekia 9, pasirodo trečias skaitmuo - šimtai.

Dvejetainė skaičių sistema yra panaši į dešimtainę, išskyrus tai, kad formuojant skaičių dalyvauja tik du skaitmenys: 0 ir 1. Kai tik bitas pasiekia ribą (ty vieną), pasirodo naujas bitas ir senasis atstatytas.

Pabandykime skaičiuoti dvejetainėje sistemoje:
0 yra nulis
1 yra vienas (ir tai yra išleidimo riba)
10 yra du
11 yra trys (ir tai vėl riba)
100 yra keturi
101 - penki
110 - šeši
111 - septyni ir kt.

Skaičių konvertavimas iš dvejetainių į dešimtainius

Nesunku pastebėti, kad dvejetainėje skaičių sistemoje skaičių ilgiai sparčiai auga didėjant reikšmėms. Kaip nustatyti, ką tai reiškia: 10001001? Žmogaus smegenys, nepripratusios prie tokios skaičių rašymo formos, paprastai negali suprasti, kiek tai yra. Būtų gerai, jei dvejetainius skaičius pavyktų konvertuoti į dešimtainę.

Dešimtainėje skaičių sistemoje bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip vienetų, dešimčių, šimtų ir kt. Pavyzdžiui:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Atidžiai peržiūrėkite šį įrašą. Čia skaičiai 1, 4, 7 ir 6 yra skaičių rinkinys, sudarantis skaičių 1476. Visi šie skaičiai pakaitomis dauginami iš dešimties, pakeltų vienu ar kitu laipsniu. Dešimt yra dešimtainių skaičių sistemos pagrindas. Galia, iki kurios pakeliamas dešimt, yra skaitmens skaitmuo, atėmus vienetą.

Bet kuris dvejetainis skaičius gali būti išskaidytas tokiu pačiu būdu. Tik bazė čia bus 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Tie. skaičius 10001001 2 bazėje yra lygus skaičiui 137 10 bazėje. Galite parašyti taip:

10001001 2 = 137 10

Kodėl dvejetainių skaičių sistema tokia paplitusi?

Faktas yra tas, kad dvejetainė skaičių sistema yra kompiuterinių technologijų kalba. Kiekviena figūra turi būti kažkaip pavaizduota fizinėje laikmenoje. Jei tai yra dešimtainė sistema, turėsite sukurti tokį įrenginį, kuris gali būti dešimties būsenų. Tai sudėtinga. Lengviau padaryti fizinį elementą, kuris gali būti tik dviejų būsenų (pavyzdžiui, yra srovė arba jos nėra). Tai viena iš pagrindinių priežasčių, kodėl dvejetainei sistemai skiriama tiek daug dėmesio.

Dešimtainis konvertavimas į dvejetainį

Gali reikėti konvertuoti dešimtainį skaičių į dvejetainį. Vienas iš būdų – padalyti iš dviejų ir iš liekanų sudaryti dvejetainį skaičių. Pavyzdžiui, jo dvejetainį žymėjimą reikia gauti iš skaičiaus 77.

1 pastaba

Jei norite konvertuoti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą, patogiau pirmiausia konvertuoti į dešimtainę skaičių sistemą, o tik tada perkelti iš dešimtainės skaičių sistemos į bet kurią kitą skaičių sistemą.

Skaičių konvertavimo iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę taisyklės

Kompiuterinėse technologijose, kuriose naudojama mašininė aritmetika, skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą vaidina svarbų vaidmenį. Žemiau pateikiame pagrindines tokių transformacijų (vertimų) taisykles.

Verčiant dvejetainį skaičių į dešimtainį, dvejetainį skaičių reikia pavaizduoti kaip daugianarį, kurio kiekvienas elementas pavaizduotas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus laipsnio sandauga, šiuo atveju $2. $, tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0 $

1 pav. 1 lentelė

1 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $11110101_2$ į dešimtainę skaičių sistemą.

Sprendimas. Naudodami aukščiau pateiktą bazinio $2$ laipsnių lentelę $1$, skaičių pavaizduojame kaip daugianarį:

11110101_2 USD = 1 \ctaškas 27 + 1 \ctaškas 26 + 1 \ctaškas 25 + 1 \ctaškas 24 + 0 \ctaškas 23 + 1 \ctaškas 22 + 0 \ctaškas 21 + 1 \ctaškas 20 = 12 +3 + 6 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Norėdami konvertuoti skaičių iš aštuntainio į dešimtainį, turite jį pavaizduoti kaip daugianarį, kurio kiekvienas elementas pavaizduotas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus galios sandauga, šiuo atveju $8$, o tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0 $

2 pav. 2 lentelė

2 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $75013_8$ į dešimtainę skaičių sistemą.

Sprendimas. Naudodami aukščiau pateiktą bazinio $8$ laipsnių lentelę $2$, skaičių pavaizduojame kaip daugianarį:

75013_8 USD = 7\ctaškas 8^4 + 5 \ctaškas 8^3 + 0 \ctaškas 8^2 + 1 \ctaškas 8^1 + 3 \ctaškas 8^0 = 31243_(10)$

Norėdami konvertuoti skaičių iš šešioliktainės į dešimtainę, turite jį pavaizduoti kaip daugianarį, kurio kiekvienas elementas yra pavaizduotas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus, šiuo atveju $16 $, laipsnio sandauga, o tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:

$X_(16) = A_n \ctaškas 16^(n-1) + A_(n-1) \ctaškas 16^(n-2) + A_(n-2) \ctaškas 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

3 pav. 3 lentelė

3 pavyzdys

Konvertuoti skaičių $FFA2_(16)$ į dešimtainę skaičių sistemą.

Sprendimas. Naudodami aukščiau pateiktą $3 $ bazinių 8 $ galių lentelę, skaičių pavaizduojame kaip daugianarį:

FFA2_(16) USD

Skaičių konvertavimo iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą taisyklės

• Norėdami konvertuoti skaičių iš dešimtainio į dvejetainį, jį reikia padalyti iš $2 $, kol liekana yra mažesnė arba lygi $1 $. Skaičius dvejetainėje sistemoje vaizduojamas kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios padalijimo seka atvirkštine tvarka.

4 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $22_(10)$ į dvejetainę skaičių sistemą.

Sprendimas:

4 pav

$22_{10} = 10110_2$

• Norėdami konvertuoti skaičių iš dešimtainio į aštuntainį, jį reikia padalyti iš 8 USD, kol liekana yra mažesnė arba lygi 7 USD. Pateikite skaičių aštuntainių skaičių sistemoje kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios dalybos skaitmenų seką atvirkštine tvarka.

5 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $571_(10)$ į aštuntainių skaičių sistemą.

Sprendimas:

5 pav

$571_{10} = 1073_8$

• Norint konvertuoti skaičių iš dešimtainio į šešioliktainį, jį reikia padalyti iš 16 USD, kol liekana yra mažesnė arba lygi 15 USD. Išreikškite skaičių šešioliktaine tvarka kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios dalybos skaitmenų seką atvirkštine tvarka.

6 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $7467_(10)$ į šešioliktainę skaičių sistemą.

Sprendimas:

6 pav

7467 $_(10) = 1D2B_(16) $

Norint paversti tinkamą trupmeną iš dešimtainės skaičių sistemos į ne dešimtainę, reikia padauginti trupmeninę konvertuoto skaičiaus dalį iš sistemos, į kurią ji turi būti konvertuojama, bazės. Dalis naujoje sistemoje bus pateikiamos kaip visos gaminių dalys, pradedant nuo pirmosios.

Pavyzdžiui: $0,3125_((10))$ aštuntaine forma atrodytų kaip $0,24_((8))$.

Tokiu atveju galite susidurti su problema, kai baigtinė dešimtainė trupmena gali atitikti begalinę (periodinę) trupmeną ne dešimtainėje skaičių sistemoje. Tokiu atveju naujojoje sistemoje vaizduojamos trupmenos skaitmenų skaičius priklausys nuo reikiamo tikslumo. Taip pat reikėtų pažymėti, kad sveikieji skaičiai išlieka sveikaisiais skaičiais, o tinkamos trupmenos išlieka trupmenomis bet kurioje skaičių sistemoje.

Skaičių konvertavimo iš dvejetainės skaičių sistemos į kitą taisyklės

• Norint konvertuoti skaičių iš dvejetainio į aštuntąjį, jį reikia padalyti į triadas (skaitmenų trigubas), pradedant nuo mažiausiai reikšmingo skaitmens, jei reikia, prie didžiausios triados pridedant nulius, po to kiekvieną triadą pakeičiant atitinkamu aštuntainiu skaitmeniu pagal lentelę. 4.

7 pav. 4 lentelė

7 pavyzdys

Konvertuokite skaičių $1001011_2$ į aštuntainių skaičių sistemą.

Sprendimas. Naudodamiesi 4 lentele, išverčiame skaičių iš dvejetainio į aštuntainį:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainio į šešioliktainį, jį reikia padalyti į tetradas (keturis skaitmenys), pradedant nuo mažiausiai reikšmingo skaitmens, jei reikia, papildant vyresnįjį tetradą nuliais, tada kiekvieną tetradą reikia pakeisti atitinkamu aštuntainiu skaitmeniu pagal 4 lentelė.

1. Eilinis skaičiavimas įvairiose skaičių sistemose.

Šiuolaikiniame gyvenime mes naudojame pozicines skaičių sistemas, tai yra sistemas, kuriose skaitmeniu žymimas skaičius priklauso nuo skaitmens padėties skaičiaus žymėjime. Todėl ateityje kalbėsime tik apie juos, praleisdami terminą „pozicinis“.

Norėdami išmokti išversti skaičius iš vienos sistemos į kitą, supraskime, kaip vyksta nuoseklus skaičių įrašymas, naudodamiesi dešimtaine sistema kaip pavyzdžiu.

Kadangi turime dešimtainę skaičių sistemą, skaičiams kurti turime 10 simbolių (skaitmenų). Pradedame eilinį skaičių: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Skaičiai baigėsi. Padidiname numerio talpą ir iš naujo nustatome žemąją eilę: 10. Tada vėl didiname žemąją eilę, kol baigsis visi skaitmenys: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Padidinkite aukštą eilę. 1 ir nustatome žemąją eilę į nulį: 20. Kai panaudojame visus abiejų skaitmenų skaitmenis (gauname skaičių 99), vėl padidiname skaičiaus skaitmenų talpą ir iš naujo nustatome esamus skaitmenis: 100. Ir taip toliau.

Pabandykime tą patį padaryti 2, 3 ir 5 sistemose (įveskime žymėjimą 2-ajai, 3-ajai ir tt):

0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Jei skaičių sistemos bazė yra didesnė nei 10, tada turėsime įvesti papildomų simbolių, įprasta įvesti lotyniškos abėcėlės raides. Pavyzdžiui, šešioliktainei sistemai, be dešimties skaitmenų, mums reikia dviejų raidžių ( ir ):

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Perėjimas iš dešimtainės skaičių sistemos į bet kurią kitą.

Norėdami konvertuoti visą teigiamą dešimtainį skaičių į skaičių sistemą su skirtinga baze, turite padalyti šį skaičių iš bazės. Gautas koeficientas vėl dalijamas iš pagrindo ir toliau, kol koeficientas yra mažesnis už bazę. Dėl to paskutinę koeficientą ir visas liekanas parašykite vienoje eilutėje, pradedant nuo paskutinės.

1 pavyzdys Išverskime dešimtainį skaičių 46 į dvejetainę skaičių sistemą.

2 pavyzdys Išverskime dešimtainį skaičių 672 į aštuntųjų skaičių sistemą.

3 pavyzdys Išverskime dešimtainį skaičių 934 į šešioliktainę skaičių sistemą.

3. Vertimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę.

Norėdami išmokti išversti skaičius iš bet kurios kitos sistemos į dešimtainę, išanalizuokime mums žinomą dešimtainį žymėjimą.
Pavyzdžiui, dešimtainis skaičius 325 yra 5 vienetai, 2 dešimtys ir 3 šimtai, t.y.

Lygiai tokia pati situacija ir kitose skaičių sistemose, tik dauginsime ne iš 10, 100 ir pan., o iš skaičių sistemos pagrindo laipsnio. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 1201 trijų dalių sistemoje. Sunumeruojame skaitmenis iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio ir pateikiame savo skaičių kaip skaitmens sandaugų sumą iš trigubo skaičiaus skaitmens laipsnio:

Tai mūsų skaičiaus dešimtainis žymėjimas, t.y.

4 pavyzdys Aštuntainį skaičių 511 paverskime dešimtainių skaičių sistema.

5 pavyzdys Paverskime šešioliktainį skaičių 1151 į dešimtainę skaičių sistemą.

4. Perėjimas iš dvejetainės sistemos į sistemą, kurios bazė yra "dviejų galia" (4, 8, 16 ir kt.).

Norint paversti dvejetainį skaičių į skaičių, kurio bazinė "galia iš dviejų", reikia padalyti dvejetainę seką į grupes pagal skaitmenų skaičių, lygų laipsniui iš dešinės į kairę, ir kiekvieną grupę pakeisti atitinkamu skaitmeniu nauja skaičių sistema.

Pavyzdžiui, konvertuokime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į aštuontainį. Norėdami tai padaryti, suskaidykime jį į 3 simbolių grupes, pradedant nuo dešinės (nes ), tada naudokite atitikmenų lentelę ir pakeiskite kiekvieną grupę nauju skaičiumi:

1 dalyje išmokome sudaryti atitikmenų lentelę.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Tie.

6 pavyzdys Paverskime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į šešioliktainę sistemą.

0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Perėjimas iš sistemos, kurios bazinė "galia iš dviejų" (4, 8, 16 ir kt.) į dvejetainę.

Šis vertimas yra panašus į ankstesnį, atliktą priešinga kryptimi: kiekvieną skaitmenį pakeičiame skaitmenų grupe dvejetainėje sistemoje iš atitikmenų lentelės.

7 pavyzdys Išverskime šešioliktainį skaičių C3A6 į dvejetainę skaičių sistemą.

Norėdami tai padaryti, kiekvieną skaičiaus skaitmenį pakeisime 4 skaitmenų grupe (nes ) iš atitikmenų lentelės, jei reikia, pradžioje papildydami grupę nuliais:

Kai dėlioji įvairaus masto tinklus ir kiekvieną dieną susiduri su skaičiavimais, tada nereikia pradėti tokių cheat sheet’ų, vistiek viskas daroma pagal besąlyginį refleksą. Tačiau kai tinkle dirbate labai retai, ne visada prisimenate, kokia dešimtainė kaukė yra 21 priešdėlyje arba koks tinklo adresas yra su tuo pačiu priešdėliu. Šiuo atžvilgiu nusprendžiau parašyti keletą mažų cheat sheets apie skaičių vertimą į skirtingas skaičių sistemas, tinklo adresus, kaukes ir kt. Šioje dalyje kalbėsime apie skaičių vertimą į skirtingas skaičių sistemas.

1. Skaičių sistemos

Kai darysite ką nors, kas susiję su kompiuterių tinklais ir IT, bet kuriuo atveju susidursite su šia koncepcija. Ir jūs, kaip išmanus IT specialistas, turite tai bent šiek tiek suprasti, net jei praktiškai tai naudosite labai retai.
Apsvarstykite galimybę išversti kiekvieną skaitmenį iš IP adreso 98.251.16.138 į šias skaičių sistemas:

• Dvejetainis
• aštuntainė
• Dešimtainė
• Šešioliktainis

1.1 Dešimtainė

Kadangi skaičiai rašomi dešimtainiu tikslumu, konvertavimą iš dešimtainės į dešimtainę praleisime 🙂

1.1.1 Dešimtainė → Dvejetainė

Kaip žinome, dvejetainių skaičių sistema naudojama beveik visuose šiuolaikiniuose kompiuteriuose ir daugelyje kitų skaičiavimo įrenginių. Sistema labai paprasta – turime tik 0 ir 1.
Norėdami konvertuoti skaičių su dešimtine į dvejetainę formą, reikia naudoti modulo 2 (ty sveikųjų skaičių dalijimas iš 2), dėl to liekanoje visada turėsime arba 1, arba 0. Tokiu atveju rašome rezultatą iš dešinės į kairę. Pavyzdys viską sustatys į savo vietas:

1.1 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainio į dvejetainį

1.2 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainio į dvejetainį

Aprašysiu skaičiaus 98 padalijimą. 98 padalijame iš 2, dėl to gauname 49, o likutį 0. Tada tęsiame dalinimą ir 49 dalijame iš 2, dėl to gauname 24 su likučiu 1. Ir lygiai taip pat gauname 1 arba 0 dalijamajame. Tada rezultatas rašomas iš dešinės į kairę.

1.1.2 Dešimtainė → Aštuontainė

Aštuontainė sistema yra sveikųjų skaičių sistema, kurios bazė yra 8. T.y. visi jame esantys skaičiai pavaizduoti diapazonu nuo 0 iki 7, o norint konvertuoti iš dešimtainės sistemos, reikia naudoti modulo 8.

1.3 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į aštuntainę sistemą

Padalijimas yra panašus į 2 eilių sistemą.

1.1.3 Dešimtainė → Šešioliktainė

Šešioliktainė sistema beveik visiškai pakeitė aštuntainę sistemą. Jis turi 16 bazę, bet naudoja dešimtainius skaitmenis nuo 0 iki 9 + lotyniškas raides nuo A (skaičius 10) iki F (skaičius 15). Su juo susiduriate kiekvieną kartą, kai tikrinate tinklo adapterio nustatymus – tai MAC adresas. Tas pats naudojant IPv6.

1.4 pav. Skaičių konvertavimas iš dešimtainės į šešioliktainę sistemą

1.2 Dvejetainis

Ankstesniame pavyzdyje mes konvertavome visus dešimtainius skaičius į kitas skaičių sistemas, iš kurių viena yra dvejetainė. Dabar išverskime kiekvieną skaičių iš dvejetainės formos.

1.2.1 Dvejetainė → dešimtainė

Norėdami konvertuoti skaičius iš dvejetainių į dešimtainius, turite žinoti du niuansus. Pirmasis yra tas, kad kiekvienas nulis ir vienas turi koeficientą 2 iki n-osios laipsnio, kai n padidėja iš dešinės į kairę tiksliai vienu. Antrasis – padauginus reikia sudėti visus skaičius ir gausime skaičių dešimtaine forma. Dėl to turėsime tokią formulę:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

kur,
D yra dešimtainis skaičius, kurio ieškome;
n yra dvejetainio skaičiaus simbolių skaičius;
a yra dvejetainės formos skaičius n-oje padėtyje (t. y. pirmasis simbolis, antrasis ir kt.);
p yra laipsnio koeficientas, lygus 2,8 arba 16 n(priklausomai nuo skaičių sistemos)

Pavyzdžiui, paimkite skaičių 110102. Pažiūrime į formulę ir užrašome:

• Skaičius susideda iš 5 simbolių ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (nes mes konvertuojame iš dvejetainės į dešimtainę)

Dėl to mes turime:

D = (1 × 2 5–1) + (1 × 2 5–2) + (0 × 2 5–3) + (1 × 2 5–4) + (0 × 2 5–5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Kas yra įpratęs rašyti iš dešinės į kairę, forma atrodys taip:

D = (0 × 2 5–5) + (1 × 2 5–4) + (0 × 2 5–3) + (1 × 2 5–2) + (1 × 2 5–1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Tačiau, kaip žinome, suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo. Dabar paverskime savo skaičius į dešimtainę.

1.5 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainės į dešimtainę sistemą

1.2.2 Dvejetainis → Aštuontainis

Versdami dvejetainį skaičių turime padalyti į grupes po tris simbolius iš dešinės į kairę. Jei paskutinę grupę sudaro ne trys simboliai, trūkstamus bitus tiesiog pakeičiame nuliais. Pavyzdžiui:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Kiekviena bitų grupė yra vienas iš aštuntųjų skaičių. Norėdami sužinoti, kuris iš jų, turite naudoti 1.2.1 formulę, parašytą aukščiau kiekvienai bitų grupei. Dėl to mes gausime.

1.6 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainės į aštuntainę sistemą

1.2.3 Dvejetainis → Šešioliktainis

Čia turime padalyti dvejetainį skaičių į keturių simbolių grupes iš dešinės į kairę, po to pridėti trūkstamus grupės bitus su nuliais, kaip aprašyta aukščiau. Jei paskutinę grupę sudaro nuliai, į juos reikia nekreipti dėmesio.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Kiekviena bitų grupė yra vienas iš šešioliktainių skaičių. Kiekvienai bitų grupei naudojame formulę 1.2.1.

1.7 pav. Skaičių konvertavimas iš dvejetainės į šešioliktainę sistemą

1,3 aštuntalio

Šioje sistemoje mums gali kilti sunkumų tik konvertuojant į šešioliktainį skaičių, nes likusi vertimo dalis vyksta sklandžiai.

1.3.1 Aštuontainis → Dvejetainis

Kiekvienas aštuntosios sistemos skaičius yra trijų bitų grupė dvejetainėje sistemoje, kaip aprašyta aukščiau. Norėdami išversti, turime naudoti cheat sheet:

1.8 pav. Spuras skaičiams iš aštuntainės sistemos versti

Naudodami šią lentelę konvertuokime savo skaičius į dvejetainius.

1.9 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainio į dvejetainį

Leiskite šiek tiek apibūdinti išvestį. Pirmasis mūsų skaičius yra 142, o tai reiškia, kad bus trys grupės po tris bitus. Naudojame spurtą ir matome, kad skaičius 1 yra 001, skaičius 4 yra 100, o skaičius 2 yra 010. Dėl to turime skaičių 001100010.

1.3.2 Aštuntainis → Dešimtainis

Čia mes naudojame formulę 1.2.1 tik su koeficientu 8 (t. y. p=8). Dėl to mes turime

1.10 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainės į dešimtainę sistemą

• Skaičius susideda iš 3 simbolių ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (nes aštuntainį konvertuojame į dešimtainį skaičių)

Dėl to mes turime:

D = (1 × 8 3–1) + (4 × 8 3–2) + (2 × 8 3–3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Aštuntainis → Šešioliktainis

Kaip buvo parašyta anksčiau, norėdami išversti, pirmiausia turime konvertuoti skaičius į dvejetainę sistemą, tada iš dvejetainės į šešioliktainę, padalijus į grupes po 4 bitus. Galite naudoti toliau pateiktą spurtą.

1.11 pav. – Skambučiai konvertuoti skaičius iš šešioliktainės sistemos

Ši lentelė padės konvertuoti iš dvejetainio į šešioliktainį. Dabar išverskime savo skaičius.

1.12 pav. Skaičių konvertavimas iš aštuntainės į šešioliktainę sistemą

1.4 Šešioliktainis

Šioje sistemoje ta pati problema, išvertus į aštuntainį. Bet apie tai vėliau.

1.4.1 Šešioliktainis → dvejetainis

Kiekvienas skaičius šešioliktainėje sistemoje yra keturių bitų grupė dvejetainėje sistemoje, kaip aprašyta aukščiau. Vertimui galime naudoti cheat sheet, kuris yra aukščiau. Kaip rezultatas:

1.13 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainio į dvejetainį

Paimkime pirmąjį skaičių - 62. Panaudoję plokštelę (1.11 pav.) matome, kad 6 yra 0110, 2 yra 0010, dėl to turime skaičių 01100010.

1.4.2 Šešioliktainis → dešimtainis

Čia mes naudojame formulę 1.2.1 tik su koeficientu 16 (t.y. p=16). Dėl to mes turime

1.14 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainės į dešimtainę sistemą

Paimkime pirmąjį skaičių. Remiantis 1.2.1 formule:

• Skaičius susideda iš 2 simbolių ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (nes konvertuojame iš šešioliktainės į dešimtainę)

Dėl to mes turime

D = (6 × 16 2–1) + (2 × 16 2–2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Šešioliktainis → aštuntainis

Norėdami konvertuoti į aštuntainę sistemą, pirmiausia turite konvertuoti į dvejetainę, tada padalinti į grupes po 3 bitus ir naudoti lentelę (1.8 pav.). Kaip rezultatas:

1.15 pav. Skaičių konvertavimas iš šešioliktainės į aštuntainę sistemą

Kalboje apie IP adresus eis kaukės ir tinklai.

Su dvejetaine skaičių sistema susiduriame studijuodami kompiuterių disciplinas. Galų gale, šios sistemos pagrindu yra sukurtas procesorius ir kai kurie šifravimo tipai. Yra specialūs algoritmai, skirti rašyti dešimtainį skaičių dvejetainiu ir atvirkščiai. Jei žinai sistemos kūrimo principą, joje dirbti nebus sunku.

Nulių ir vienetų sistemos sudarymo principas

Dvejetainių skaičių sistema sudaroma naudojant du skaitmenis: nulį ir vieną. Kodėl būtent šie skaičiai? Taip yra dėl procesoriaus naudojamų signalų konstravimo principo. Žemiausiu lygiu signalas įgauna tik dvi reikšmes: „false“ ir „true“. Todėl buvo priimta, kad signalo nebuvimas „klaidingas“ žymimas nuliu, o jo buvimas „teisinga“ – vienetu. Šį derinį lengva įgyvendinti techniškai. Skaičiai dvejetainėje sistemoje formuojami taip pat, kaip ir dešimtainėje. Kai bitas pasiekia viršutinę ribą, jis iš naujo nustatomas į nulį ir pridedamas naujas bitas. Pagal šį principą atliekamas perėjimas per tuziną dešimtainėje sistemoje. Taigi skaičiai yra sudaryti iš nulių ir vienetų derinių, ir šis derinys vadinamas „dvejetaine skaičių sistema“.

Skaičiaus įrašymas sistemoje
Dešimtainėje	Dvejetainiu	Dešimtainėje	Dvejetainiu

Kaip parašyti dvejetainį skaičių dešimtainiu?

Yra internetinių paslaugų, kurios konvertuoja skaičių į dvejetainę sistemą ir atvirkščiai, tačiau geriau tai padaryti patiems. Dvejetainė sistema vertime žymima indeksu 2, pavyzdžiui, 101 2 . Kiekvienas skaičius bet kurioje sistemoje gali būti pavaizduotas kaip skaičių suma, pavyzdžiui: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - dešimtainėje sistemoje. Taip skaičius vaizduojamas dvejetainiu būdu. Paimkite atsitiktinį skaičių 101 ir apsvarstykite jį. Jį sudaro 3 skaitmenys, todėl skaičių išskaidome tokiu būdu: 101 2 \u003d 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 \u003d 4 + 1 \u003d 5 10, kur indeksas 10 reiškia dešimtainė sistema.

Kaip parašyti pirminį skaičių dvejetainiu būdu?

Labai lengva konvertuoti į dvejetainį skaičių padalijus iš dviejų. Dalinti reikia tiek, kiek įmanoma pilnai užbaigti. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 871. Pradedame dalyti, būtinai užsirašykite likusią dalį:

871:2=435 (likęs 1)

435:2=217 (likęs 1)

217:2=108 (likęs 1)

Atsakymas rašomas pagal gautus likučius kryptimi nuo pabaigos iki pradžios: 871 10 \u003d 101100111 2 . Skaičiavimų teisingumą galite patikrinti naudodami anksčiau aprašytą atvirkštinį vertimą.

Kodėl reikia žinoti vertimo taisykles?

Dvejetainė skaičių sistema naudojama daugumoje disciplinų, susijusių su mikroprocesorių elektronika, duomenų kodavimu, perdavimu ir šifravimu, įvairiose programavimo srityse. Konvertavimo iš bet kokios sistemos į dvejetaines pagrindų išmanymas padės programuotojui kurti įvairias mikroschemas ir programiškai valdyti procesoriaus bei kitų panašių sistemų darbą. Dvejetainė skaičių sistema taip pat reikalinga duomenų paketų perdavimo šifruotais kanalais metodams įgyvendinti ir pagal juos kurti kliento-serverio programinės įrangos projektus. Mokykliniame informatikos kurse konvertavimo į dvejetainę sistemą ir atvirkščiai pagrindai yra pagrindinė medžiaga ateityje mokantis programuoti ir kurti paprastas programas.