Aritmetinė progresija pavadinkite skaičių seką (progresijos narius)

Kuriame kiekvienas paskesnis terminas skiriasi nuo ankstesnio plieno terminu, kuris taip pat vadinamas žingsnio ar progreso skirtumas.

Taigi, nustatę progresijos žingsnį ir pirmąjį jo terminą, naudodami formulę galite rasti bet kurį jo elementą

Aritmetinės progresijos savybės

1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos nario aritmetinis vidurkis

Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus nariui, kuris yra tarp jų, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Pagal šį teiginį labai lengva patikrinti bet kokią seką.

Taip pat pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip

Tai lengva patikrinti, jei terminus rašome lygybės ženklo dešinėje

Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.

2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę

Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiuojant ir gana įprasta paprastose gyvenimo situacijose.

3) Jei jums reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, pradedant nuo k-ojo nario, tada jums pravers ši sumos formulė

4) Praktiškai svarbu rasti aritmetinės progresijos, prasidedančios nuo k-ojo skaičiaus, n narių sumą. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę

Čia teorinė medžiaga baigiasi ir pereinama prie praktikoje įprastų problemų sprendimo.

1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...

Sprendimas:

Pagal būklę turime

Apibrėžkite progresavimo žingsnį

Pagal gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį

2 pavyzdys. Aritmetinę progresiją pateikia trečiasis ir septintasis nariai. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.

Sprendimas:

Duotus progresijos elementus užrašome pagal formules

Pirmąją lygtį atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresavimo žingsnį

Rasta reikšmė pakeičiama į bet kurią lygtį, kad būtų rastas pirmasis aritmetinės progresijos narys

Apskaičiuokite pirmųjų dešimties progresijos narių sumą

Netaikant sudėtingų skaičiavimų, radome visas reikalingas reikšmes.

3 pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma vardikliu ir vienu iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, pradedant nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.

Sprendimas:

Parašykime šimtosios progresijos elemento formulę

ir susirask pirmąjį

Remdamiesi pirmuoju, randame 50-ąjį progresijos terminą

Progresijos dalies sumos radimas

ir pirmųjų 100 suma

Progresijos suma yra 250.

4 pavyzdys

Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Sprendimas:

Rašome lygtis pagal pirmąjį narį ir progresijos žingsnį ir jas apibrėžiame

Gautas reikšmes pakeičiame sumos formule, kad nustatytų terminų skaičių sumoje

Supaprastinimų darymas

ir išspręskite kvadratinę lygtį

Iš dviejų rastų verčių problemos sąlygai tinka tik skaičius 8. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.

5 pavyzdys

išspręsti lygtį

1+3+5+...+x=307.

Sprendimas: ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Išrašome pirmąjį jo terminą ir randame progresijos skirtumą

Arba aritmetika – tai sutvarkytos skaitinės sekos tipas, kurio savybės tiriamos mokykliniame algebros kurse. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra ši progresija?

Prieš pradedant svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptariama.

Bet kuri realiųjų skaičių seka, gauta pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės elemento a i eilės numeris. Taigi, žinodami tik vieną pradinį skaičių, galite lengvai atkurti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamai skaičių serijai galioja ši lygybė:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-ojo elemento reikšmę, skirtumą d pridėkite prie pirmojo elemento a 1 n-1 kartą.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta pagalvoti apie paprastą ypatingą atvejį. Atsižvelgdami į natūraliųjų skaičių progresiją nuo 1 iki 10, turite rasti jų sumą. Kadangi progresijoje (10) yra mažai terminų, problemą galima išspręsti tiesiai, ty susumuoti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomų dalyką: kadangi kiekvienas terminas skiriasi nuo kito ta pačia reikšme d \u003d 1, tada poromis susumavus pirmąjį su dešimtu, antrą su devintu ir tt duos tą patį rezultatą. . Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra lygiai du kartus mažiau nei serijos elementų skaičius. Tada sumų skaičių (5) padauginę iš kiekvienos sumos rezultato (11), gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šiuos argumentus, galime parašyti tokią išraišką:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina susumuoti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n reikšmę bei bendrą terminų skaičių n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuoti pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė atsako į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos (pirmųjų elementų) sumą, tačiau dažnai užduotyse reikia sumuoti skaičių seką progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra atsižvelgiant į tokį pavyzdį: tegul reikia rasti terminų sumą nuo m iki n. Norint išspręsti problemą, duotas progresijos segmentas nuo m iki n turi būti pavaizduotas kaip nauja skaičių seka. Šiame vaizde m-asis narys a m bus pirmasis, o a n bus sunumeruotas n-(m-1). Šiuo atveju, taikant standartinę sumos formulę, bus gauta tokia išraiška:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą aukščiau pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau yra skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant nuo 5 ir baigiant 12:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n-ojo elemento išraišką galite rasti 5-ojo ir 12-ojo progresijos narių reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos galuose, taip pat žinodami, kuriuos eilės skaičius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Gaukite:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Verta paminėti, kad šią reikšmę galima gauti skirtingai: pirmiausia pagal standartinę formulę suraskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, o tada iš pirmosios sumos atimkite antrąją. .

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(aštuoni\); \(vienuolika\); \(14\)… yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga žymima maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip ir aritmetinė progresija, bet skaitine indeksu, lygiu elemento numeriui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Užduočių sprendimas aritmetine progresija

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite šios progresijos pirmojo neigiamo nario reikšmę.
Sprendimas:

	Mums pateikiami pirmieji sekos elementai ir žinome, kad tai aritmetinė progresija. Tai yra, kiekvienas elementas skiriasi nuo gretimo tuo pačiu skaičiumi. Sužinokite, kuris iš jų, atimdamas ankstesnįjį iš kito elemento: \(d=49-62=-13\).
	Dabar galime atkurti savo progresą į norimą (pirmąjį neigiamą) elementą.
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami keli vienas po kito einantys aritmetinės progresijos elementai: \(...5; x; 10; 12,5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

	Norėdami rasti \(x\), turime žinoti, kiek kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio, kitaip tariant, progresijos skirtumą. Raskime jį iš dviejų žinomų gretimų elementų: \(d=12,5-10=2,5\).
	O dabar be problemų randame tai, ko ieškome: \(x=5+2.5=7.5\).
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

	Turime rasti pirmųjų šešių progresijos narių sumą. Bet mes nežinome jų reikšmių, mums duotas tik pirmasis elementas. Todėl pirmiausia paeiliui apskaičiuojame reikšmes, naudodami mums pateiktą: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ir apskaičiavę šešis mums reikalingus elementus, randame jų sumą.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Prašoma suma rasta.

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos uždavinių galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką – kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas kitas šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio (skirtumas progresavimo).

Tačiau kartais pasitaiko situacijų, kai labai nepatogu spręsti „ant kaktos“. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Kas tai, mes \ (385 \) kartus pridėti keturis? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Skaičiavimas yra painus...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia „ant kaktos“, o naudoja specialias formules, išvestas aritmetinei progresijai. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir pirmųjų narių sumos \(n\) formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) yra progresijos narys su skaičiumi \(n\).

Ši formulė leidžia greitai rasti bent trijų šimtų, net milijono elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) yra paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Norėdami apskaičiuoti pirmųjų dvidešimt penkių elementų sumą, turime žinoti pirmojo ir dvidešimt penktojo narių reikšmes. Mūsų progresija pateikiama pagal n-ojo nario formulę, priklausomai nuo jo skaičiaus (žr. išsamią informaciją). Apskaičiuokime pirmąjį elementą pakeisdami \(n\) vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1–0,6=2,8\)		Dabar suraskime dvidešimt penktą terminą, vietoj \(n\) pakeisdami dvidešimt penkis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25–0,6=84,4\)		Na, o dabar be problemų suskaičiuojame reikiamą sumą.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė yra: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama pirmųjų elementų suma \(n\);
\(a_1\) yra pirmasis terminas, kuris turi būti sumuojamas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – elementų skaičius sumoje.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Pabaikime temą apsvarstydami problemas, kuriose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek mąstyti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-devyniolika\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Užduotis labai panaši į ankstesnę. Pradedame spręsti tuo pačiu būdu: pirmiausia randame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Dabar sumos formulėje pakeistume \(d\) ... ir čia iškyla nedidelis niuansas – mes nežinome \(n\). Kitaip tariant, mes nežinome, kiek terminų reikės pridėti. Kaip sužinoti? Pagalvokim. Nustosime pridėti elementų, kai pasieksime pirmąjį teigiamą elementą. Tai yra, jūs turite sužinoti šio elemento numerį. Kaip? Užsirašykime bet kurio aritmetinės progresijos elemento apskaičiavimo formulę: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsų atveju.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Turime, kad \(a_n\) būtų didesnis už nulį. Išsiaiškinkime, dėl ko \(n\) tai atsitiks.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Abi nelygybės puses padalijame iš \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Perkeliame minus vienas, nepamirštant pakeisti ženklų
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Skaičiuojama...
\(n>65 333…\)		…ir paaiškėja, kad pirmasis teigiamas elementas turės skaičių \(66\). Atitinkamai, paskutinis neigiamas turi \(n=65\). Tik tuo atveju, patikrinkime.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Taigi, turime pridėti pirmuosius \(65\) elementus.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija pateikiama pagal sąlygas: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šioje užduotyje taip pat reikia rasti elementų sumą, bet pradedant ne nuo pirmojo, o nuo \(26\)-osios. Mes neturime tam formulės. Kaip apsispręsti? Lengva – norėdami gauti sumą nuo \(26\)-osios iki \(42\)-osios, pirmiausia turite rasti sumą nuo \(1\)-osios iki \(42\)-osios, o tada iš jos atimti sumą iš nuo pirmo iki \ (25 \) th (žr. paveikslėlį).
	Mūsų progresijai \(a_1=-33\) ir skirtumui \(d=4\) (juk prie ankstesnio elemento pridedame keturis, kad rastume kitą). Žinodami tai, randame pirmųjų \(42\)-uh elementų sumą.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Dabar pirmųjų \(25\)-ųjų elementų suma.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ir galiausiai apskaičiuojame atsakymą.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau juos galite lengvai rasti.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausią šaltinį

Skaitmeninė seka

Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaitmeninė seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam eilės numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Tokia skaitinė seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip nesibaigianti skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kuria užsiėmė senovės graikai.

Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtas tuo pačiu numeriu. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkite mūsų atsakymus:
Yra aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Prie ankstesnės progresijos skaičiaus reikšmės galime pridėti tol, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos --asis narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos e-nojo nario vertę? Sumavimas būtų užtrukęs ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad sudėdami skaičius nebūtume suklydę.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip prie ankstesnės reikšmės nereikia pridėti aritmetinės progresijos skirtumo. Atidžiai pažiūrėkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą modelį, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kas sudaro šios aritmetinės progresijos --ojo nario reikšmę:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu savarankiškai rasti šios aritmetinės progresijos nario vertę.

Apskaičiuota? Palyginkite savo įrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės iš eilės pridėjome aritmetinės progresijos narius.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – suformuluosime ją į bendrą formą ir gausime:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinės progresijos arba didėja, arba mažėja.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Pažiūrėkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai:

Nuo tada:

Taigi buvome įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didinant aritmetinę progresiją.
Pabandykite patys rasti --ąjį ir -ąjį šios aritmetinės progresijos narius.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Apsunkinkime užduotį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums pateikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Tai lengva, sakote, ir pradėkite skaičiuoti pagal jums jau žinomą formulę:

Leiskite, a, tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tada tame nėra nieko sudėtingo, bet ką daryti, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidų skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir mes stengsimės tai iškelti dabar.

Norimą aritmetinės progresijos narį pažymėkime kaip, žinome jo radimo formulę – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, tada:

• ankstesnis progreso narys yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Susukime ankstesnius ir kitus progreso narius:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra du kartus didesnė už tarp jų esančios progresijos nario vertę. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, reikia jas pridėti ir padalinti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Pataisykime medžiagą. Progresavimo vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas, nesunkiai išvedė sau...

Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, pamokoje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai. “ Kuo nustebino mokytojas, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolių klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą ...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, kurią sudaro -ti nariai: Turime rasti nurodytų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet ką daryti, jei užduotyje reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai pažiūrėkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Išbandė? ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar atsakykite, kiek tokių porų bus mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad bendra suma yra lygi:
.
Taigi, bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresavimo skirtumą. Pabandykite sumos formulę pakeisti th nario formule.
Ką tu gavai?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo pateiktas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -ojo, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.

Kiek gavai?
Gaussas pasirodė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės naudojo aritmetinės progresijos ypatybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų aikštelę – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakai, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Suskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei į pagrindą dedamos blokinės plytos. Tikiuosi neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, ar pamenate paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip:
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuojame 2 būdais).

1 būdas.

2 būdas.

O dabar galite skaičiuoti ir monitoriuje: palyginkite gautas reikšmes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar sutiko? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Sportuoti

Užduotys:

1. Maša vasarai įgauna formą. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša pritūps per savaites, jei darydavo pritūpimus per pirmąją treniruotę.
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Laikydami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pagrindas yra rąstai.

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Po dviejų savaičių Maša turėtų pritūpti kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Tačiau nelyginių skaičių skaičius per pusę, tačiau patikrinkite šį faktą naudodami formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos --ąjį narį:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Turimus duomenis pakeičiame į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkite problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , kadangi kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažintas vienu rąstu, yra tik krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskite duomenis formulėje:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinant

1. - skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus. Jo daugėja ir mažėja.
2. Formulės radimas aritmetinės progresijos narys užrašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur - skaičių skaičius progresijoje.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaitmeninė seka

Sėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galite atskirti, kuris iš jų pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaitmeninė seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir tik vienu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas --uoju sekos nariu.

Visą seką dažniausiai vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), o kiekvieną šios sekos narį – ta pačia raide, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei --asis sekos narys gali būti pateiktas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus ir skirtumas). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Pasikartojančia vadiname formulę, kurioje, norint sužinoti -tąjį terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal tokią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, tegul. Tada:

Na, dabar aišku, kokia formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Ir koks skirtumas? Ir štai kas:

(juk jis vadinamas skirtumu, nes lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi formulė yra tokia:

Tada šimtasis terminas yra:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Carlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičiaus suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir trečiojo nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant skaičių prie ankstesnio. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos aštuntojo termino formulė yra tokia:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviejų skaitmenų?

Labai lengva: .

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga 1 m daugiau nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kiekvieną dieną nuvažiuoja daugiau mylių nei ankstesnis. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jis turi važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat sumažinama šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet mažėjo šaldytuvo kaina, jei parduodamas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama:, reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netinka, tad atsakymas.
   Apskaičiuokime atstumą, nuvažiuotą per paskutinę dieną, naudodami --ojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Lengviau netampa:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija didėja () ir mažėja ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašyta kaip formulė, kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai, kaip rasti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Teorinė informacija

Teorinė informacija

	Aritmetinė progresija	Geometrinė progresija
Apibrėžimas	Aritmetinė progresija a n vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam tuo pačiu skaičiumi d (d- progresavimo skirtumas)	geometrinė progresija b n vadinama ne nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis)
Pasikartojanti formulė	Bet kokiam natūraliam n a n + 1 = a n + d	Bet kokiam natūraliam n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-ojo termino formulė	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
būdinga savybė
Pirmųjų n narių suma

Užduočių pavyzdžiai su komentarais

1 pratimas

Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Pagal sąlygą:

a 1= -6, taigi a 22= -6 + 21d.

Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Atsakymas : a 22 = -48.

2 užduotis

Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...

1-as būdas (naudojant n terminų formulę)

Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Nes b 1 = -3,

2 būdas (naudojant rekursinę formulę)

Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : b 5 = -48.

3 užduotis

Aritmetine progresija ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.

Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą .

Todėl:

.

Pakeiskite duomenis formulėje:

Atsakymas: 95.

4 užduotis

Aritmetine progresija ( a n ) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.

Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:

.

Kurį iš jų šiuo atveju patogiau taikyti?

Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galima rasti iš karto ir a 1, ir a 16 neradus d . Todėl naudojame pirmąją formulę.

Atsakymas: 368.

5 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.

Pagal n-ojo nario formulę:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:

d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Atsakymas : a 22 = -48.

6 užduotis

Įrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:

Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x .

Spręsdami naudojame n-ojo nario formulę b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresijos narys. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš šių progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galite paimti ir padalyti iš. Gauname, kad q \u003d 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį tam tikros geometrinės progresijos narį.

Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:

.

Atsakymas:.

7 užduotis

Iš aritmetinių progresijų, pateiktų n-ojo nario formule, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:

Kadangi nurodyta sąlyga turi būti įvykdyta 27-ajam progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:

.

Atsakymas: 4.

8 užduotis

Aritmetinėje progresijoje a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausią n reikšmę, kuriai galioja nelygybė a n > -6.