Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու բանաձևը. Հակադարձ մատրիցը հանրահաշվական լրացումների միջոցով հաշվարկելու ալգորիթմ. հարակից (միության) մատրիցային մեթոդ

Մենք շարունակում ենք խոսել մատրիցներով գործողությունների մասին: Մասնավորապես, այս դասախոսության ուսումնասիրության ընթացքում դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել հակադարձ մատրիցը: Սովորեք. Նույնիսկ եթե մաթեմատիկան խիստ է:

Ի՞նչ է հակադարձ մատրիցը: Այստեղ մենք կարող ենք անալոգիա անել հակադարձ թվերԴիտարկենք, օրինակ, լավատեսական թիվ 5-ը և դրա փոխադարձ . Այս թվերի արտադրյալը հավասար է մեկի՝ . Նույնն է մատրիցաների դեպքում։ Մատրիցի և դրա հակադարձ արտադրյալը - ինքնության մատրիցա, որը թվային միավորի մատրիցային անալոգն է։ Այնուամենայնիվ, առաջին հերթին մենք կլուծենք կարևոր գործնական խնդիր, այն է, որ մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել այս հակադարձ մատրիցը:

Ի՞նչ պետք է իմանաք և կարողանաք գտնել հակադարձ մատրիցը: Դուք պետք է կարողանաք որոշել որոշիչները. Դուք պետք է հասկանաք, թե ինչ է մատրիցաև կարողանալ նրանց հետ կատարել որոշ գործողություններ:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու երկու հիմնական մեթոդ կա.
միջոցով հանրահաշվական հավելումներև օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ.

Այսօր մենք կուսումնասիրենք առաջին, ավելի հեշտ ճանապարհը։

Սկսենք ամենասարսափելին ու անհասկանալիից։ Հաշվի առեք քառակուսիմատրիցա. Հակադարձ մատրիցը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով:

Որտեղ է մատրիցայի որոշիչը, արդյո՞ք մատրիցի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների փոխադրված մատրիցն է:

Հակադարձ մատրիցայի հասկացությունը գոյություն ունի միայն դրա համար քառակուսի մատրիցներ , մատրիցներ «երկու-երկու», «երեքը երեք» և այլն։

ՆշումԻնչպես երևի արդեն նկատել եք, մատրիցայի հակադարձը նշվում է վերնագրով

Սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ երկու-երկու մատրիցով: Ամենից հաճախ, իհարկե, պահանջվում է «երեքը երեքով», բայց, այնուամենայնիվ, ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս սովորել ավելի պարզ առաջադրանք սովորելու համար. ընդհանուր սկզբունքլուծումներ։

Օրինակ:

Գտեք մատրիցայի հակադարձ կողմը

Մենք որոշում ենք. Գործողությունների հաջորդականությունը հարմար կերպով տարրալուծվում է կետերի:

1) Սկզբում մենք գտնում ենք մատրիցայի որոշիչը.

Եթե ​​այս գործողության ըմբռնումը լավ չէ, կարդացեք նյութը Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Կարևոր!Եթե ​​մատրիցայի որոշիչն է ԶՐՈ- հակադարձ մատրիցա ԳՈՅՈՒԹՅՈՒՆ ՉՈՒՆԻ.

Քննարկվող օրինակում, ինչպես պարզվեց, , ինչը նշանակում է, որ ամեն ինչ կարգին է։

2) Գտե՛ք անչափահասների մատրիցը.

Մեր խնդիրը լուծելու համար պարտադիր չէ իմանալ, թե ինչ է անչափահասը, այնուամենայնիվ, խորհուրդ է տրվում կարդալ հոդվածը Ինչպես հաշվարկել որոշիչը.

Անչափահասների մատրիցան ունի նույն չափերը, ինչ մատրիցը, այսինքն՝ այս դեպքում:
Գործը փոքր է, մնում է չորս թվեր գտնել ու աստղանիշների փոխարեն դնել։

Վերադարձ դեպի մեր մատրիցա
Եկեք նախ նայենք վերևի ձախ տարրին.

Ինչպես գտնել այն անչափահաս?
Եվ դա արվում է այսպես. ՄԵՂՈՎ հատեք այն տողը և սյունակը, որոնցում գտնվում է այս տարրը.

Մնացած թիվն է անչափահաս տրված տարր , որը մենք գրում ենք անչափահասների մեր մատրիցայում.

Դիտարկենք հետևյալ մատրիցային տարրը.

Մտավոր կերպով հատեք այն տողը և սյունակը, որոնցում գտնվում է այս տարրը.

Մնում է այս տարրի մինորը, որը մենք գրում ենք մեր մատրիցայում.

Նմանապես, մենք համարում ենք երկրորդ շարքի տարրերը և գտնում դրանց անչափահասները.


Պատրաստ.

Դա պարզ է. Անչափահասների մատրիցայում ձեզ անհրաժեշտ է ՓՈՓՈԽԵԼ ՆՇԱՆՆԵՐԸերկու թվերի համար.

Հենց այս թվերն են ես շրջել:

մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների մատրիցն է։

Եվ միայն մի բան…

4) Գտե՛ք հանրահաշվական գումարումների փոխադրված մատրիցը.

մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների փոխադրված մատրիցն է:

5) Պատասխան.

Հիշեք մեր բանաձևը
Բոլորը գտնվեցին:

Այսպիսով, հակադարձ մատրիցը հետևյալն է.

Ավելի լավ է պատասխանը թողնել այնպես, ինչպես կա: ՈՉ ԱՆՀՐԱԺԵՇՏՄատրիցի յուրաքանչյուր տարրը բաժանեք 2-ի, քանի որ կստացվեն կոտորակային թվեր: Այս նրբերանգը ավելի մանրամասն քննարկվում է նույն հոդվածում: Գործողություններ մատրիցներով.

Ինչպե՞ս ստուգել լուծումը:

Մատրիցային բազմապատկումը նույնպես պետք է կատարվի

Փորձաքննություն:

արդեն նշվել է ինքնության մատրիցամի մատրից է, որի միավորները միացված են հիմնական անկյունագիծև զրո այլուր:

Այսպիսով, հակադարձ մատրիցը ճիշտ է հայտնաբերվել:

Եթե ​​դուք կատարում եք գործողություն, ապա արդյունքը կլինի նաև ինքնության մատրիցա: Սա այն եզակի դեպքերից է, երբ մատրիցային բազմապատկումը փոփոխական է, ավելին մանրամասն տեղեկություններկարելի է գտնել հոդվածում Մատրիցների վրա գործողությունների հատկությունները. Մատրիցային արտահայտություններ. Նկատի ունեցեք նաև, որ ստուգման ժամանակ հաստատունը (կոտորակը) առաջ է բերվում և մշակվում հենց վերջում՝ մատրիցային բազմապատկումից հետո: Սա ստանդարտ տարբերակ է:

Եկեք անցնենք գործնականում ավելի տարածված դեպքի `երեք-երեք մատրիցային.

Օրինակ:

Գտեք մատրիցայի հակադարձ կողմը

Ալգորիթմը ճիշտ նույնն է, ինչ երկու-երկու դեպքում:

Հակադարձ մատրիցը գտնում ենք բանաձևով՝ որտեղ է մատրիցի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների փոխադրված մատրիցը։

1) Գտեք մատրիցային որոշիչը.

Այստեղ բացահայտվում է որոշիչը առաջին տողում.

Նաև մի մոռացեք դա, ինչը նշանակում է, որ ամեն ինչ լավ է. հակադարձ մատրիցա գոյություն ունի.

2) Գտե՛ք անչափահասների մատրիցը.

Անչափահասների մատրիցան ունի «երեքը երեքի չափը» , և մենք պետք է գտնենք ինը թիվ:

Ես մանրամասն կանդրադառնամ մի քանի անչափահասների.

Դիտարկենք հետևյալ մատրիցային տարրը.

ՄԵՂՈՎ հատեք այն տողը և սյունակը, որոնցում գտնվում է այս տարրը.

Մնացած չորս թվերը գրվում են «երկու-երկու» որոշիչով.

Այս երկու-երկու որոշիչ և տվյալ տարրի մինոր է. Այն պետք է հաշվարկվի.


Ամեն ինչ, անչափահասը գտնված է, մենք այն գրում ենք անչափահասների մեր մատրիցայում.

Ինչպես կռահեցիք, հաշվարկելու համար կան ինը երկու-երկու որոշիչ: Գործընթացը, իհարկե, մռայլ է, բայց գործն ամենադժվարը չէ, կարող է ավելի վատ լինել։

Դե, համախմբելու համար - նկարներում մեկ այլ անչափահաս գտնելը.

Մնացած անչափահասներին փորձեք ինքներդ հաշվարկել։

Վերջնական արդյունք.
մատրիցայի համապատասխան տարրերի անչափահասների մատրիցն է:

Այն, որ բոլոր անչափահասները բացասական են ստացվել, զուտ պատահականություն է։

3) Գտե՛ք հանրահաշվական գումարումների մատրիցը.

Անչափահասների մատրիցայում անհրաժեշտ է ՓՈՓՈԽԵԼ ՆՇԱՆՆԵՐԸխստորեն հետևյալ տարրերի համար.

Այս դեպքում:

«Չորսից չորս» մատրիցայի հակադարձ մատրիցը գտնելը չի ​​դիտարկվում, քանի որ միայն սադիստ ուսուցիչը կարող է նման առաջադրանք տալ (աշակերտի համար հաշվարկել մեկ «չորսից չորս» որոշիչ և 16 «երեքը երեք» որոշիչ): . Իմ պրակտիկայում եղել է միայն մեկ նման դեպք, այն էլ հաճախորդը վերահսկողական աշխատանքթանկ վճարեց իմ տանջանքների համար =).

Մի շարք դասագրքերում, ձեռնարկներում դուք կարող եք գտնել մի փոքր այլ մոտեցում հակադարձ մատրիցը գտնելու համար, բայց ես խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել վերը նշված լուծման ալգորիթմը: Ինչո՞ւ։ Որովհետև հաշվարկների և նշանների մեջ շփոթվելու հավանականությունը շատ ավելի քիչ է։

Հակադարձ մատրիցը գտնելու մեթոդներ, . Դիտարկենք քառակուսի մատրիցա

Նշեք Δ = det A:

A քառակուսի մատրիցը կոչվում է ոչ այլասերված,կամ ոչ հատուկեթե նրա որոշիչը զրոյական չէ, և այլասերված,կամ հատուկ, եթեΔ = 0.

Քառակուսի B մատրիցը գոյություն ունի նույն կարգի քառակուսի մատրիցի համար, եթե նրանց արտադրյալը A B = B A = E, որտեղ E-ն նույն կարգի նույնական մատրիցն է, ինչ A և B մատրիցները:

Թեորեմ . Որպեսզի A մատրիցն ունենա հակադարձ մատրիցա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրա որոշիչը լինի ոչ զրոյական:

հակադարձ մատրիցամատրիցա A, որը նշվում է Ա- 1, ուրեմն B = A - 1 և հաշվարկվում է բանաձևով

, (1)

որտեղ А i j - A մատրիցի a i j տարրերի հանրահաշվական լրացումները.

Բարձր կարգի մատրիցների համար (1) բանաձևով A -1 հաշվարկելը շատ աշխատատար է, ուստի գործնականում հարմար է գտնել A -1 մեթոդը տարրական փոխակերպումներ(ՊԸ): Ցանկացած ոչ եզակի A մատրիցա կարող է կրճատվել միայն սյունակների (կամ միայն տողերի) ՊԸ-ով մինչև E նույնական մատրիցը: հակադարձ մատրիցա. Հարմար է միաժամանակ կատարել ՊԸ A և E մատրիցների վրա՝ գծի միջով գրելով երկու մատրիցները կողք կողքի։ Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ մատրիցայի կանոնական ձևը որոնելիս այն գտնելու համար կարելի է օգտագործել տողերի և սյունակների փոխակերպումները։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել հակադարձ մատրիցը, ապա փոխակերպման գործընթացում պետք է օգտագործեք միայն տողեր կամ միայն սյունակներ:

Օրինակ 2.10. Մատրիցայի համար գտնել A -1 .

Որոշում.Մենք նախ գտնում ենք A մատրիցայի որոշիչը
Այսպիսով, հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, և մենք կարող ենք գտնել այն բանաձևով. , որտեղ A i j (i,j=1,2,3) - սկզբնական մատրիցի a i j տարրերի հանրահաշվական լրացումներ։

Որտեղ .

Օրինակ 2.11. Տարրական փոխակերպումների մեթոդով գտե՛ք A -1 մատրիցի՝ A=.

Որոշում.Մենք նույն կարգի նույնական մատրից ենք վերագրում աջ կողմում գտնվող սկզբնական մատրիցին. . Սյունակի տարրական փոխակերպումների օգնությամբ մենք ձախ «կեսը» նվազեցնում ենք նույնականի վրա՝ միաժամանակ կատարելով հենց այդպիսի փոխակերպումներ աջ մատրիցով։
Դա անելու համար փոխեք առաջին և երկրորդ սյունակները. ~ . Մենք առաջինը ավելացնում ենք երրորդ սյունակին, իսկ առաջինը բազմապատկվում է -2-ով երկրորդին. . Առաջին սյունակից մենք հանում ենք կրկնապատկված երկրորդը, իսկ երրորդից՝ երկրորդը բազմապատկած 6-ով; . Առաջինին և երկրորդին ավելացնենք երրորդ սյունակը. . Վերջին սյունակը բազմապատկեք -1-ով. . Ուղղահայաց ձողի աջ կողմում ստացված քառակուսի մատրիցը տվյալ մատրից A-ի հակադարձ մատրիցն է: Այսպիսով,
.

Թող լինի n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա

Matrix A -1 կոչվում է հակադարձ մատրիցա A մատրիցի նկատմամբ, եթե A * A -1 = E, որտեղ E-ն n-րդ կարգի նույնական մատրիցն է:

Ինքնության մատրիցա- այսպիսի քառակուսի մատրիցա, որում հիմնական անկյունագծի երկայնքով բոլոր տարրերը, վերին ձախ անկյունից անցնելով ներքևի աջ անկյուն, մեկ են, իսկ մնացածը զրո են, օրինակ.

հակադարձ մատրիցակարող է գոյություն ունենալ միայն քառակուսի մատրիցների համարդրանք. այն մատրիցների համար, որոնք ունեն նույն թվով տողեր և սյունակներ:

Հակադարձ մատրիցայի գոյության պայմանի թեորեմ

Որպեսզի մատրիցն ունենա հակադարձ մատրիցա, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն լինի ոչ այլասերված:

A = (A1, A2,...A n) մատրիցը կոչվում է ոչ այլասերվածեթե սյունակների վեկտորները գծային անկախ են: Մատրիցի գծային անկախ սյունակային վեկտորների թիվը կոչվում է մատրիցայի աստիճան: Հետևաբար, կարող ենք ասել, որ հակադարձ մատրիցայի գոյության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի դրա չափին, այսինքն. r = n.

Հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ

1. Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման աղյուսակում գրե՛ք A մատրիցը և աջից (հավասարումների աջ մասերի տեղում) նշանակե՛ք դրան E մատրիցը։
2. Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումները, բերեք A մատրիցը մեկ սյունակներից բաղկացած մատրիցին. այս դեպքում անհրաժեշտ է միաժամանակ վերափոխել E մատրիցը։
3. Անհրաժեշտության դեպքում վերադասավորեք վերջին աղյուսակի տողերը (հավասարումները) այնպես, որ նույնականացման E մատրիցը ստացվի սկզբնական աղյուսակի A մատրիցի տակ:
4. Գրե՛ք A -1 հակադարձ մատրիցը, որը վերջին աղյուսակում է սկզբնական աղյուսակի E մատրիցի տակ։

Օրինակ 1

A մատրիցի համար գտե՛ք A -1 հակադարձ մատրիցը

Լուծում. Մենք գրում ենք A մատրիցը և աջ կողմում վերագրում ենք նույնականացման մատրիցը E: Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումները, մենք A մատրիցը կրճատում ենք նույնականացման մատրիցով E: Հաշվարկները ներկայացված են աղյուսակ 31.1-ում:

Ստուգենք հաշվարկների ճիշտությունը՝ բազմապատկելով սկզբնական A մատրիցը և A -1 հակադարձ մատրիցը։

Մատրիցային բազմապատկման արդյունքում ստացվում է ինքնության մատրիցը: Հետեւաբար, հաշվարկները ճիշտ են։

Պատասխան.

Մատրիցային հավասարումների լուծում

Մատրիցային հավասարումները կարող են նման լինել.

AX = B, XA = B, AXB = C,

որտեղ A, B, C տրված են մատրիցներ, X-ը ցանկալի մատրիցն է:

Մատրիցային հավասարումները լուծվում են հավասարումը հակադարձ մատրիցներով բազմապատկելով:

Օրինակ, հավասարումից մատրիցը գտնելու համար հարկավոր է այս հավասարումը բազմապատկել ձախ կողմում:

Հետևաբար, հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել հակադարձ մատրիցը և այն բազմապատկել հավասարման աջ կողմի մատրիցով:

Նմանապես լուծվում են նաև այլ հավասարումներ։

Օրինակ 2

Լուծե՛ք AX = B հավասարումը, եթե

ՈրոշումՔանի որ մատրիցայի հակադարձը հավասար է (տես օրինակ 1)

Մատրիցային մեթոդ տնտեսական վերլուծության մեջ

Մյուսների հետ նրանք նույնպես կիրառություն են գտնում մատրիցային մեթոդներ . Այս մեթոդները հիմնված են գծային և վեկտոր-մատրիցային հանրահաշվի վրա: Նման մեթոդներն օգտագործվում են բարդ և բազմաչափ տնտեսական երևույթների վերլուծության համար։ Ամենից հաճախ այդ մեթոդները կիրառվում են, երբ անհրաժեշտ է համեմատել կազմակերպությունների գործունեությունը և դրանց կառուցվածքային ստորաբաժանումները:

Վերլուծության մատրիցային մեթոդների կիրառման գործընթացում կարելի է առանձնացնել մի քանի փուլ.

Առաջին փուլումհամակարգ է ձևավորվում տնտեսական ցուցանիշներըև դրա հիման վրա կազմվում է սկզբնական տվյալների մատրիցա, որն իրենից ներկայացնում է աղյուսակ, որտեղ համակարգի համարները ցուցադրվում են իր առանձին տողերով (i = 1,2,....,n), իսկ ուղղահայաց գրաֆիկների երկայնքով՝ ցուցիչների թվեր (j = 1,2,....,m).

Երկրորդ փուլումյուրաքանչյուր ուղղահայաց սյունակի համար բացահայտվում է ցուցիչների հասանելի արժեքներից ամենամեծը, որը վերցվում է որպես միավոր:

Դրանից հետո այս սյունակում արտացոլված բոլոր գումարները բաժանվում են ամենաբարձր արժեքըև ձևավորվում է ստանդարտացված գործակիցների մատրիցա։

Երրորդ փուլումմատրիցայի բոլոր բաղադրիչները քառակուսի են: Եթե ​​դրանք տարբեր նշանակություն ունեն, ապա մատրիցայի յուրաքանչյուր ցուցիչին տրվում է որոշակի կշռման գործակից կ. Վերջինիս արժեքը որոշվում է փորձագետի կողմից։

Վերջինի վրա չորրորդ փուլԳտած գնահատականների արժեքները Ռջխմբավորված ըստ աճի կամ նվազման:

Վերոհիշյալ մատրիցային մեթոդները պետք է օգտագործվեն, օրինակ, երբ համեմատական ​​վերլուծությունբազմազան ներդրումային ծրագրեր, ինչպես նաև կազմակերպությունների տնտեսական գործունեության այլ ցուցանիշների գնահատման ժամանակ։

Դիտարկենք մատրիցային բազմապատկման հակադարձ գործողությունը սահմանելու խնդիրը:

Թող A-ն լինի n կարգի քառակուսի մատրիցա: A^(-1) մատրիցա, որը տրված A մատրիցի հետ միասին բավարարում է հետևյալ հավասարումները.

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

կանչեց հակադարձ. A մատրիցը կոչվում է շրջելի, եթե դրա համար հակադարձ կա, հակառակ դեպքում՝ անշրջելի.

Սահմանումից հետևում է, որ եթե A^(-1) հակադարձ մատրիցա գոյություն ունի, ապա այն նույն կարգի քառակուսի է, ինչ A-ն: Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր քառակուսի մատրիցներն ունեն հակադարձ: Եթե ​​A մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի (\det(A)=0) , ապա դրա համար հակադարձ գոյություն չունի։ Իսկապես, կիրառելով E=A^(-1)A նույնականացման մատրիցայի համար մատրիցների արտադրյալի որոշիչի թեորեմը, մենք ստանում ենք հակասություն.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

քանի որ նույնականության մատրիցայի որոշիչը հավասար է 1-ի: Պարզվում է, որ քառակուսի մատրիցայի որոշիչի զրոյից տարբերությունը հակադարձ մատրիցայի գոյության միակ պայմանն է: Հիշեցնենք, որ քառակուսի մատրիցը, որի որոշիչը հավասար է զրոյի, կոչվում է այլասերված (եզակի), հակառակ դեպքում՝ ոչ եզակի (ոչ եզակի):

Թեորեմ 4.1 հակադարձ մատրիցայի գոյության և եզակիության մասին: քառակուսի մատրիցա A=\սկիզբ (pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \վերջ (pmatrix), որի որոշիչը զրոյական չէ, ունի հակադարձ մատրիցա և, ընդ որում, միայն մեկը.

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \սկիզբ(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

որտեղ A^(+) մատրիցը փոխադրված է A մատրիցի տարրերի հանրահաշվական լրացումներից կազմված մատրիցի համար:

A^(+) մատրիցը կոչվում է կցված մատրիցա A մատրիցայի նկատմամբ.

Իրոք, մատրիցա \frac(1)(\det(A))\,A^(+)գոյություն ունի \det(A)\ne0 պայմանով: Մենք պետք է ցույց տանք, որ այն հակադարձ է A-ին, այսինքն. բավարարում է երկու պայման.

\սկիզբ (հավասարեցված)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(հավասարեցված)

Եկեք ապացուցենք առաջին հավասարությունը. Համաձայն 2.3 դիտողությունների 4-րդ կետի՝ որոշիչի հատկություններից բխում է, որ. AA^(+)=\det(A)\cdot E. Այսպիսով

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

որը պետք է ցուցադրվեր։ Երկրորդ հավասարությունն ապացուցված է նույն կերպ. Հետևաբար, \det(A)\ne0 պայմանով A մատրիցն ունի հակադարձ

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+):

Մենք հակասության միջոցով ապացուցում ենք հակադարձ մատրիցայի եզակիությունը։ Թող բացի A^(-1) մատրիցից կա ևս մեկ հակադարձ մատրից B\,(B\ne A^(-1)) այնպիսին, որ AB=E: Ձախ կողմում գտնվող այս հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով A^(-1) մատրիցով, մենք ստանում ենք. \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Այստեղից էլ B=A^(-1) , որը հակասում է B\ne A^(-1) ենթադրությանը: Հետևաբար, հակադարձ մատրիցը եզակի է:

Դիտողություններ 4.1

1. Սահմանումից բխում է, որ A և A^(-1) մատրիցները փոփոխական են։

2. Ոչ այլասերված անկյունագծի հակադարձ մատրիցը նույնպես անկյունագծային է.

\Bigl[\օպերատորի անունը(դիագ)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \օպերատորի անունը(դիագ)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\աջ)\!:

3. Ոչ այլասերված ստորին (վերին) եռանկյունի մատրիցին հակադարձ մատրիցը ստորին (վերին) եռանկյունի է:

4. Տարրական մատրիցներն ունեն հակադարձներ, որոնք նույնպես տարրական են (տես Դիտողություններ 1.11-ի 1-ին կետը):

Հակադարձ մատրիցայի հատկություններ

Մատրիցային ինվերսիայի գործողությունն ունի հետևյալ հատկությունները:

\սկիզբ(հավասարեցված)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \համարձակ(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \վերջ (հավասարեցված)

եթե 1-4 հավասարումներում նշված գործողությունները իմաստ ունեն:

Եկեք ապացուցենք սեփականությունը 2: եթե նույն կարգի ոչ եզակի քառակուսի մատրիցների AB արտադրյալն ունի հակադարձ մատրիցա, ապա (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Իրոք, AB մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, քանի որ

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), որտեղ \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Հետևաբար, հակադարձ մատրիցը (AB)^(-1) գոյություն ունի և եզակի է: Սահմանումով ցույց տանք, որ B^(-1)A^(-1) մատրիցը հակադարձ է AB մատրիցի նկատմամբ: Իսկապես։

Հակադարձ մատրիցը առցանց գտնելու համար հարկավոր է նշել հենց մատրիցայի չափը: Դա անելու համար սեղմեք «+» կամ «-» պատկերակների վրա, մինչև սյունակների և տողերի քանակի արժեքը ձեզ համապատասխանի: Հաջորդը դաշտերում մուտքագրեք անհրաժեշտ տարրերը: Ստորև ներկայացված է «Հաշվարկել» կոճակը՝ սեղմելով այն՝ էկրանին կստանաք պատասխան մանրամասն լուծումով։

Գծային հանրահաշիվում հաճախ հանդիպում է մատրիցայի հակադարձը հաշվարկելու գործընթաց: Այն գոյություն ունի միայն չարտահայտված մատրիցների և քառակուսի մատրիցների համար, պայմանով, որ որոշիչը զրոյական չէ: Սկզբունքորեն դա հաշվարկելն առանձնապես դժվար չէ, հատկապես, եթե գործ ունեք փոքր մատրիցայի հետ։ Բայց եթե Ձեզ անհրաժեշտ են ավելի բարդ հաշվարկներ կամ ձեր որոշման մանրակրկիտ կրկնակի ստուգում, ապա ավելի լավ է օգտագործել այս առցանց հաշվիչը: Դրանով դուք կարող եք արագ և ճշգրիտ լուծել հակադարձ մատրիցը:

Սրա օգնությամբ առցանց հաշվիչԴուք կկարողանաք մեծապես հեշտացնել ձեր առաջադրանքը հաշվարկների առումով։ Բացի այդ, այն օգնում է համախմբել տեսականորեն ստացված նյութը՝ սա ուղեղի համար յուրօրինակ սիմուլյատոր է: Այն չպետք է դիտարկվի որպես ձեռքով հաշվարկների փոխարինում, այն կարող է ձեզ շատ ավելին տալ՝ հեշտացնելով ինքնին ալգորիթմը հասկանալը: Բացի այդ, երբեք չի խանգարում ձեզ կրկնակի ստուգել: