Մատրիցայի աստիճանի հայեցակարգի հետ աշխատելու համար մեզ անհրաժեշտ են տեղեկություններ «Հանրահաշվային լրացումներ և մինորներ. Մինորների և հանրահաշվական լրացումների տեսակները» թեմայից: Առաջին հերթին խոսքը վերաբերում է «մունոր մատրիցի» տերմինին, քանի որ մատրիցայի աստիճանը որոշվելու է հենց անչափահասների միջոցով։

Ըստ մատրիցայի աստիճանիկոչվում է նրա անչափահասների առավելագույն կարգը, որոնց մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի:

Համարժեք մատրիցներ- մատրիցներ, որոնց շարքերը հավասար են միմյանց:

Եկեք ավելի մանրամասն բացատրենք. Ենթադրենք, որ երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական փոքր: Իսկ բոլոր անչափահասները, որոնց կարգը երկուսից բարձր է, հավասար են զրոյի։ Եզրակացություն․ Իսկ բոլոր անչափահասները, որոնց կարգը 10-ից բարձր է, հավասար են զրոյի։ Եզրակացություն. մատրիցայի աստիճանը 10 է:

$ A $ մատրիցայի աստիճանը նշվում է որպես $ \ rang A $ կամ $ r (A) $: $ O $ զրոյական մատրիցայի աստիճանը ենթադրվում է զրո, $ \ rang O = 0 $: Հիշեցնեմ, որ մատրիցային մինոր ձևավորելու համար անհրաժեշտ է հատել տողերն ու սյունակները, բայց անհնար է ավելի շատ տողեր և սյունակներ հատել, քան պարունակում է հենց մատրիցը: Օրինակ, եթե $ F $ մատրիցը $ 5 է \ անգամ 4 $ (այսինքն այն պարունակում է 5 տող և 4 սյունակ), ապա դրա անչափահասների առավելագույն կարգը չորս է: Այլևս հնարավոր չի լինի հինգերորդ կարգի անչափահասներ ձևավորել, քանի որ նրանց համար կպահանջվի 5 սյունակ (իսկ մենք ունենք ընդամենը 4): Սա նշանակում է, որ $ F $ մատրիցայի աստիճանը չի կարող լինել չորսից ավելի, այսինքն. $ \ զանգ F≤4 $:

Ավելի ընդհանուր ձևով վերը նշվածը նշանակում է, որ եթե մատրիցը պարունակում է $ m $ տողեր և $ n $ սյունակներ, ապա դրա վարկանիշը չի կարող գերազանցել $ m $ և $ n $ թվերից ամենափոքրը, այսինքն. $ \ ռանգ A≤ \ րոպե (մ, n) $:

Սկզբունքորեն, աստիճանի սահմանումից բխում է այն գտնելու մեթոդը։ Մատրիցայի աստիճանը ըստ սահմանման գտնելու գործընթացը սխեմատիկորեն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Ես ավելի մանրամասն կբացատրեմ այս դիագրամը: Եկեք սկսենք մտածել հենց սկզբից, այսինքն. ինչ-որ $ A $ մատրիցով առաջին կարգի անչափահասների հետ:

1. Եթե ​​առաջին կարգի բոլոր անչափահասները (այսինքն $ A $ մատրիցայի տարրերը) հավասար են զրոյի, ապա $ \ ռանգ A = 0 $: Եթե ​​առաջին կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, ապա $ \ հնչում է A≥ 1 $: Անցնենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
2. Եթե ​​բոլոր երկրորդ կարգի մինորները հավասար են զրոյի, ապա $ \ rang A = 1 $: Եթե ​​երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, ապա $ \ հնչում է A≥ 2 $: Անցնենք երրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
3. Եթե ​​երրորդ կարգի բոլոր անչափահասները հավասար են զրոյի, ապա $ \ rang A = 2 $: Եթե ​​երրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, ապա $ \ հնչում է A≥ 3 $: Անցնենք չորրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
4. Եթե ​​չորրորդ կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, ապա $ \ rang A = 3 $: Եթե ​​չորրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, ապա $ \ հնչում է A≥ 4 $: Անցնենք 5-րդ կարգի անչափահասների ստուգմանը և այլն։

Ի՞նչ է մեզ սպասում այս ընթացակարգի ավարտին: Հնարավոր է, որ k-րդ կարգի փոքրերի մեջ լինի առնվազն մեկ ոչ զրո, և (k + 1)-րդ կարգի բոլոր փոքրերը հավասար լինեն զրոյի։ Սա նշանակում է, որ k-ն անչափահասների առավելագույն կարգն է, որոնց մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, այսինքն. կոչումը կլինի k. Իրավիճակը կարող է տարբեր լինել՝ k-րդ կարգի անչափահասների մեջ կլինի առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, և այլևս հնարավոր չի լինի ձևավորել (k + 1)-րդ կարգի փոքրերը։ Այս դեպքում մատրիցայի աստիճանը նույնպես k է: Կարճ ասած, վերջին կազմված ոչ զրոյական փոքրի կարգը և հավասար կլինի մատրիցայի աստիճանին.

Անցնենք օրինակներին, որոնցում մատրիցայի աստիճանը ըստ սահմանման գտնելու գործընթացը տեսողականորեն կներկայացվի: Եվս մեկ անգամ շեշտում եմ, որ այս թեմայի օրինակներում մենք կսկսենք գտնել մատրիցների աստիճանը՝ օգտագործելով միայն աստիճանի սահմանումը։ Մնացած մեթոդները (մատրիցի աստիճանի հաշվարկը սահմանազատող անչափահասների մեթոդով, մատրիցայի աստիճանի հաշվարկը տարրական փոխակերպումների մեթոդով) դիտարկվում են հետևյալ թեմաներում։

Ի դեպ, ամենևին էլ պարտադիր չէ աստիճանը գտնելու կարգը սկսել ամենափոքր կարգի անչափահասների հետ, ինչպես արվում է թիվ 1 և 2 օրինակներում։ Դուք կարող եք անմիջապես գնալ ավելի բարձր անչափահասների մոտ (տես օրինակ # 3):

Օրինակ # 1

Գտեք մատրիցայի աստիճանը $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Այս մատրիցն ունի $ 3 \ անգամ 5 $ չափ, այսինքն. պարունակում է երեք տող և հինգ սյունակ: 3 և 5 թվերից նվազագույնը 3 է, հետևաբար, $ A $ մատրիցայի վարկանիշը առավելագույնը 3 է, այսինքն. $ \ հնչել է A≤ 3 $: Եվ այս անհավասարությունն ակնհայտ է, քանի որ մենք այլևս չենք կարողանա չորրորդ կարգի անչափահասներ ձևավորել. նրանց պետք է 4 տող, իսկ մենք ունենք ընդամենը 3։ Եկեք անմիջապես անցնենք տվյալ մատրիցի աստիճանը գտնելու գործընթացին։

Առաջին կարգի անչափահասների (այսինքն $ A $ մատրիցայի տարրերի թվում) կան ոչ զրոյականներ։ Օրինակ՝ 5, -3, 2, 7։ Ընդհանրապես մեզ չի հետաքրքրում ոչ զրոյական տարրերի ընդհանուր թիվը։ Կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական տարր, և դա բավական է: Քանի որ առաջին կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, մենք եզրակացնում ենք, որ $ \ հնչել է A≥ 1 $ և անցնում ենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը:

Սկսենք ուսումնասիրել երկրորդ կարգի անչափահասներին։ Օրինակ, # 1, # 2 տողերի և # 1, # 4 սյունակների խաչմերուկում այսպիսի փոքրի տարրերն են՝ $ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ | $. Այս որոշիչի համար երկրորդ սյունակի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, հետևաբար որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի, այսինքն. $ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 0 $ (տե՛ս հատկությունը թիվ 3 որոշիչների հատկությունների թեմայում): Կամ դուք կարող եք պարզապես հաշվարկել այս որոշիչը՝ օգտագործելով թիվ 1 բանաձևը երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու բաժնից.

$$ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0: $$

Մեր ստուգած երկրորդ կարգի առաջին մինորը զրո էր։ Ինչ է սա նշանակում? Այն մասին, որ անհրաժեշտ է հետագայում ստուգել երկրորդ կարգի անչափահասներին. Կամ նրանք բոլորը զրո են (և այդ դեպքում վարկանիշը հավասար կլինի 1-ի), կամ նրանց մեջ կա առնվազն մեկ փոքր ոչ զրո: Փորձենք ավելի լավ ընտրություն կատարել՝ գրի առնելով երկրորդ կարգի մինորը, որի տարրերը գտնվում են #1, #2 տողերի և #1 և #5 սյունակների հատման կետում՝ $ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ վերջ (զանգված) \ աջ | $. Եկեք գտնենք այս երկրորդ կարգի մինորի արժեքը.

$$ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1: $$

Այս անչափահասը զրո չէ: Եզրակացություն. երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական: Հետևաբար $ \ հնչել է A≥ 2 $: Պետք է անցնել երրորդ կարգի անչափահասների ուսումնասիրությանը։

Եթե ​​ընտրենք #2 սյունակ կամ #4 սյունակ՝ երրորդ կարգի մինորները ձևավորելու համար, ապա այդպիսի մինորները հավասար կլինեն զրոյի (քանի որ դրանք զրո սյունակ են պարունակում): Մնում է ստուգել երրորդ կարգի միայն մեկ մինոր, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 3, թիվ 5 սյունակների և թիվ 1, թիվ 2, թիվ 3 տողերի խաչմերուկում։ Եկեք գրենք այս անչափահասը և գտնենք դրա իմաստը.

$$ \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0: $$

Այսպիսով, բոլոր երրորդ կարգի անչափահասները զրո են: Վերջին ոչ զրոյական մինորը, որը մենք կազմեցինք, երկրորդ կարգի էր: Եզրակացություն. անչափահասների առավելագույն կարգը, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, բացի զրոյից, 2-ն է: Հետևաբար, $ \ ռանգ A = 2 $:

Պատասխանել$ \ ռանգ A = 2 $:

Օրինակ թիվ 2

Գտեք մատրիցի դասակարգումը $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Մենք ունենք չորրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա։ Անմիջապես նշեք, որ այս մատրիցայի աստիճանը չի գերազանցում 4-ը, այսինքն. $ \ հնչել է A≤ 4 $: Սկսենք գտնել մատրիցայի աստիճանը։

Առաջին կարգի անչափահասների շրջանում (այսինքն՝ $ A $ մատրիցայի տարրերից) կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, հետևաբար $ \ տիրույթում A≥ 1 $: Անցնենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։ Օրինակ, #2, #3 տողերի և #1 և #2 սյունակների հատման կետում մենք ստանում ենք երկրորդ կարգի հետևյալ մինորը՝ $ \ left | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ | $. Եկեք հաշվարկենք.

$$ \ մնացել | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 0-10 = -10: $$

Երկրորդ կարգի անչափահասների շարքում կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, հետևաբար $ \ հնչել է A≥ 2 $:

Անցնենք երրորդ կարգի անչափահասներին։ Գտնենք, օրինակ, մինոր, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 3, թիվ 4 տողերի և թիվ 1, թիվ 2, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ մնացել | \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 105-105 = 0: $$

Քանի որ այս երրորդ կարգի անչափահասը զրո է, անհրաժեշտ է հետաքննել մեկ այլ երրորդ կարգի անչափահաս: Կամ պարզվում է, որ նրանք բոլորը հավասար են զրոյի (այդ դեպքում կոչումը հավասար կլինի 2-ի), կամ նրանց մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի (այնուհետև մենք կուսումնասիրենք չորրորդ կարգի անչափահասներին): Դիտարկենք երրորդ կարգի մինոր, որի տարրերը գտնվում են թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 տողերի և թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ մնացել | \ սկիզբ (զանգված) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = -28: $$

Երրորդ կարգի անչափահասների թվում կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, հետևաբար $ \ հնչել է A≥ 3 $: Անցնենք չորրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։

Չորրորդ կարգի ցանկացած մինոր գտնվում է $ A $ մատրիցայի չորս տողերի և չորս սյունակների խաչմերուկում: Այլ կերպ ասած, չորրորդ կարգի մինորը $ A $ մատրիցայի որոշիչն է, քանի որ այս մատրիցը պարունակում է ուղիղ 4 տող և 4 սյունակ: Այս մատրիցայի որոշիչը հաշվարկվել է «Determinant-ի հերթականության նվազում. որոշիչի տարրալուծում անընդմեջ (սյունակ)» թեմայի օրինակ 2-ում, այնպես որ պարզապես վերցրեք պատրաստի արդյունքը.

$$ \ մնացել | \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 86. $$

Այսպիսով, չորրորդ կարգի մինորը զրո չէ։ Մենք այլևս չենք կարող հինգերորդ կարգի անչափահասներ ձևավորել։ Եզրակացություն. անչափահասների ամենաբարձր կարգը, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, բացի զրոյից, 4-ն է: Ընդհանուր՝ $ \ ռանգ A = 4 $:

Պատասխանել$ \ ռանգ A = 4 $:

Օրինակ թիվ 3

Գտեք մատրիցայի աստիճանը $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Միանգամից նշեք, որ այս մատրիցը պարունակում է 3 տող և 4 սյունակ, ուստի $ \ հնչել է A≤ 3 $: Նախորդ օրինակներում մենք սկսեցինք վարկանիշավորման գործընթացը՝ նայելով ամենաքիչ (առաջին) կարգի անչափահասներին: Այստեղ մենք կփորձենք անհապաղ ստուգել հնարավոր ամենաբարձր կարգի անչափահասներին։ $ A $ մատրիցայի համար նման անչափահասները երրորդ կարգի են: Դիտարկենք երրորդ կարգի անչափահասի, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 2, թիվ 3 տողերի և թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ մնացել | \ սկիզբ (զանգված) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = -8-60-20 = -88: $$

Այսպիսով, անչափահասների ամենաբարձր կարգը, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, 3 է: Հետևաբար, մատրիցայի աստիճանը 3 է, այսինքն. $ \ ռանգ A = 3 $:

Պատասխանել$ \ ռանգ A = 3 $:

Ընդհանրապես, ըստ սահմանման մատրիցայի աստիճանը գտնելը, ընդհանուր դեպքում, բավականին աշխատատար խնդիր է։ Օրինակ, համեմատաբար փոքր չափի մատրիցան $5 \ անգամ 4 $ ունի 60 երկրորդ կարգի անչափահասներ: Եվ եթե նույնիսկ դրանցից 59-ը հավասար են զրոյի, ապա 60-րդ մինորը կարող է ոչ զրոյական լինել։ Այնուհետև պետք է հետազոտել երրորդ կարգի անչափահասները, որոնցից տվյալ մատրիցն ունի 40 կտոր։ Սովորաբար նրանք փորձում են օգտագործել ոչ այնքան բարդ մեթոդներ, ինչպիսիք են անչափահասներին սահմանազատելու կամ համարժեք փոխակերպումների մեթոդը։

Մատրիցայի աստիճանը կարևոր թվային բնութագիր է: Ամենատիպիկ խնդիրը, որը պահանջում է գտնել մատրիցայի աստիճանը, գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի հետևողականության ստուգումն է: Այս հոդվածում մենք կտանք մատրիցայի աստիճանի հայեցակարգը և կդիտարկենք այն գտնելու մեթոդները: Նյութի ավելի լավ յուրացման համար մանրամասն կվերլուծենք մի քանի օրինակների լուծումները։

Էջի նավարկություն.

Մատրիցայի աստիճանի և անհրաժեշտ լրացուցիչ հասկացությունների որոշում:

Մատրիցայի աստիճանի սահմանումը հայտարարելուց առաջ պետք է լավ հասկանալ անչափահաս հասկացությունը, իսկ մատրիցայի անչափահասները գտնելը ենթադրում է որոշիչը հաշվարկելու կարողություն։ Այսպիսով, մենք խորհուրդ ենք տալիս անհրաժեշտության դեպքում հիշել հոդվածի տեսությունը, մատրիցայի որոշիչը գտնելու մեթոդները, որոշիչի հատկությունները:

Վերցրեք A կարգի մատրիցա: Թող k-ն լինի m և n թվերից ամենափոքրը չգերազանցող բնական թիվ, այսինքն՝ .

Սահմանում.

k-րդ կարգի անչափահաս A մատրիցը կոչվում է կարգի քառակուսի մատրիցի որոշիչ, որը կազմված է A մատրիցի տարրերից, որոնք գտնվում են նախապես ընտրված k տողերում և k սյունակներում, և պահպանվում է A մատրիցի տարրերի դասավորությունը: .

Այլ կերպ ասած, եթե A մատրիցից ջնջենք (p – k) տողերը և (n – k) սյունակները, իսկ մնացած տարրերից կազմենք մատրիցա՝ պահպանելով A մատրիցայի տարրերի դասավորությունը, ապա ստացված մատրիցի որոշիչը. A մատրիցի k կարգի մինոր է:

Եկեք նայենք մատրիցային փոքրի սահմանմանը` օգտագործելով օրինակ:

Դիտարկենք մատրիցը .

Եկեք գրենք այս մատրիցայի մի քանի առաջին կարգի փոքրեր: Օրինակ, եթե մենք ընտրում ենք A մատրիցի երրորդ տողը և երկրորդ սյունակը, ապա մեր ընտրությունը համապատասխանում է առաջին կարգի մինորին. ... Այլ կերպ ասած, այս մինորը ստանալու համար մենք խաչեցինք առաջին և երկրորդ տողերը, ինչպես նաև առաջին, երրորդ և չորրորդ սյունակները A մատրիցից և կազմեցինք որոշիչը մնացած տարրից: Եթե ​​ընտրենք A մատրիցի առաջին տողը և երրորդ սյունակը, ապա կստանանք մինոր .

Ներկայացնենք առաջին կարգի անչափահասների ձեռքբերման կարգը
և .

Այսպիսով, մատրիցայի առաջին կարգի մինորները հենց մատրիցայի տարրերն են:

Մենք ցույց ենք տալիս երկրորդ կարգի մի քանի անչափահասների։ Ընտրեք երկու տող և երկու սյունակ: Օրինակ, վերցնենք առաջին և երկրորդ տողերը և երրորդ և չորրորդ սյունակները: Այս ընտրությամբ մենք ունենք երկրորդ կարգի անչափահաս ... Այս մինորը կարող է ձևավորվել նաև A մատրիցից երրորդ տողը, առաջին և երկրորդ սյունակները ջնջելով:

A մատրիցի մեկ այլ երկրորդ կարգի մինոր է.

Եկեք նկարազարդենք այս երկրորդ կարգի անչափահասների կառուցումը
և .

Նմանապես կարելի է գտնել Ա մատրիցայի երրորդ կարգի փոքրերը։ Քանի որ A մատրիցում ընդամենը երեք տող կա, մենք ընտրում ենք բոլորը: Եթե ​​այս տողերի համար ընտրենք առաջին երեք սյունակները, ապա կստանանք երրորդ կարգի մինոր

Այն կարող է կառուցվել նաև A մատրիցայի վերջին սյունակը ջնջելով:

Մեկ այլ երրորդ կարգի անչափահաս է

ստացված A մատրիցի երրորդ սյունակը ջնջելով:

Ահա այս երրորդ կարգի անչափահասների շինարարությունը ցուցադրող գծանկար:
և .

Տրված A մատրիցի համար երրորդից բարձր կարգի փոքրեր գոյություն չունեն, քանի որ:

A կարգի մատրիցայի k-րդ կարգի քանի՞ մինոր կա:

k կարգի անչափահասների թիվը կարելի է հաշվարկել, որտեղ և - համապատասխանաբար p-ից k և n-ից k-ի համակցությունների քանակը:

Ինչպե՞ս կառուցել p կարգի A մատրիցի k կարգի բոլոր փոքրերը n-ով:

Մեզ անհրաժեշտ են բազմաթիվ մատրիցային տողերի և բազմաթիվ սյունակների համարներ: Մենք գրում ենք ամեն ինչ p տարրերի համակցությունները k-ով(նրանք կհամապատասխանեն A մատրիցայի ընտրված տողերին k կարգի մինոր կառուցելիս): Տողային թվերի յուրաքանչյուր համակցությանը մենք հաջորդաբար ավելացնում ենք n տարրերի բոլոր համակցությունները k սյունակի համարներով: A մատրիցի տողերի և սյունակների համարների համակցությունների այս հավաքածուները կօգնեն կազմել k կարգի բոլոր փոքրերը:

Օրինակ բերենք.

Օրինակ.

Գտեք մատրիցայի բոլոր երկրորդ կարգի փոքրերը:

Լուծում.

Քանի որ սկզբնական մատրիցայի կարգը 3-ից 3 է, ապա երկրորդ կարգի ընդհանուր անչափահասները կլինեն .

Եկեք գրենք A մատրիցայի տողերի 3-ից 2 թվերի բոլոր համակցությունները՝ 1, 2; 1, 3 և 2, 3. 3-ից 2 սյունակների համարների բոլոր համակցությունները 1, 2 են; 1, 3 և 2, 3.

Վերցրեք A մատրիցայի առաջին և երկրորդ շարքերը: Այս տողերից ընտրելով առաջին և երկրորդ սյունակները, առաջին և երրորդ սյունակները, երկրորդ և երրորդ սյունակները, մենք համապատասխանաբար ստանում ենք անչափահասներ.

Առաջին և երրորդ տողերի համար, սյունակների նմանատիպ ընտրությամբ, մենք ունենք

Մնում է ավելացնել առաջին և երկրորդ, առաջին և երրորդ, երկրորդ և երրորդ սյունակները երկրորդ և երրորդ տողերին.

Այսպիսով, A մատրիցի բոլոր ինը երկրորդ կարգի անչափահասները հայտնաբերվել են:

Այժմ դուք կարող եք անցնել մատրիցայի աստիճանի որոշմանը:

Սահմանում.

Մատրիցային դասակարգումՄատրիցում ոչ զրոյական մինորի ամենաբարձր կարգն է:

A մատրիցայի աստիճանը կոչվում է Rank (A): Կարող եք նաև գտնել Rg (A) կամ Rang (A) նշանակումները:

Մատրիցայի աստիճանի և մատրիցի փոքրի սահմանումներից մենք կարող ենք եզրակացնել, որ զրոյական մատրիցայի աստիճանը զրո է, իսկ ոչ զրոյական մատրիցի աստիճանը առնվազն մեկ է:

Գտնելով մատրիցայի աստիճանը ըստ սահմանման:

Այսպիսով, մատրիցայի աստիճանը գտնելու առաջին մեթոդն է բիրտ ուժի մեթոդ... Այս մեթոդը հիմնված է մատրիցայի աստիճանի որոշման վրա:

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք A կարգի մատրիցայի աստիճանը:

Համառոտ նկարագրենք ալգորիթմլուծել այս խնդիրը՝ թվարկելով անչափահասներին։

Եթե ​​կա մատրիցայի առնվազն մեկ տարր, որը տարբերվում է զրոյից, ապա մատրիցայի աստիճանը առնվազն հավասար է մեկի (քանի որ կա առաջին կարգի փոքր, որը հավասար չէ զրոյի):

Հաջորդը, մենք կրկնում ենք երկրորդ կարգի անչափահասների վրա: Եթե ​​երկրորդ կարգի բոլոր անչափահասները հավասար են զրոյի, ապա մատրիցայի աստիճանը հավասար է մեկի: Եթե ​​կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական երկրորդ կարգի մինոր, ապա անցնում ենք երրորդ կարգի անչափահասների թվարկմանը, և մատրիցայի աստիճանը առնվազն երկու է։

Նմանապես, եթե բոլոր երրորդ կարգի անչափահասները զրո են, ապա մատրիցայի աստիճանը երկու է: Եթե ​​կա առնվազն մեկ երրորդ կարգի փոքր, բացի զրոյից, ապա մատրիցայի աստիճանը առնվազն երեքն է, և մենք անցնում ենք չորրորդ կարգի անչափահասների վրա:

Նկատի ունեցեք, որ մատրիցայի աստիճանը չի կարող գերազանցել p և n թվերից ամենափոքրը:

Օրինակ.

Գտեք մատրիցայի աստիճանը .

Լուծում.

Քանի որ մատրիցը զրոյական չէ, դրա վարկանիշը առնվազն մեկ է:

Երկրորդ կարգի անչափահաս ոչ զրոյական է, հետևաբար, A մատրիցի աստիճանը առնվազն երկու է: Անցնում ենք երրորդ կարգի անչափահասների հաշվառմանը. Բոլոր նրանց բաներ.

Բոլոր երրորդ կարգի անչափահասները զրո են: Հետևաբար, մատրիցայի աստիճանը երկու է:

Պատասխան.

Վարկանիշ (A) = 2:

Գտեք մատրիցայի աստիճանը սահմանային փոքրերի մեթոդով:

Մատրիցայի աստիճանը գտնելու այլ մեթոդներ կան, որոնք թույլ են տալիս արդյունքը ստանալ ավելի քիչ հաշվողական աշխատանքով:

Այդպիսի մեթոդներից մեկն է սահմանային փոքր մեթոդ.

Եկեք զբաղվենք սահմանամերձ անչափահաս.

Ասում են, որ A մատրիցի (k + 1) կարգի մինոր M ok-ը սահմանակից է A մատրիցի k կարգի փոքր M ok-ին, եթե փոքր M ok-ին համապատասխան մատրիցը «պարունակում է» մատրիցին համապատասխանող մատրիցը. անչափահաս Մ.

Այլ կերպ ասած, եզրագծված մինոր M-ին համապատասխան մատրիցը ստացվում է եզրագծող փոքր M ok-ին համապատասխան մատրիցից՝ ջնջելով մեկ տողի և մեկ սյունակի տարրերը։

Օրինակ, հաշվի առեք մատրիցը և վերցրեք երկրորդ կարգի անչափահաս: Եկեք գրենք բոլոր սահմանակից անչափահասներին.

Մինորների սահմանազատման մեթոդը հիմնավորվում է հետևյալ թեորեմով (դրա ձևակերպումը ներկայացնում ենք առանց ապացույցի).

Թեորեմ.

Եթե ​​p n-ով կարգի A մատրիցի k-րդ կարգի մինորին սահմանակից բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, ապա A մատրիցի (k + 1) կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի։

Այսպիսով, մատրիցայի աստիճանը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ կրկնել բոլոր անչափահասների վրա, որոնք բավականաչափ սահմանակից են: A կարգի մատրիցի k-րդ կարգի մինորին սահմանակից փոքրերի թիվը հայտնաբերվում է բանաձևով ... Նկատի ունեցեք, որ A մատրիցի k-րդ կարգի մինորները սահմանակից են ոչ ավելի, քան A մատրիցի (k + 1) -րդ կարգի մինորները: Հետևաբար, շատ դեպքերում սահմանամերձ անչափահասների մեթոդի օգտագործումն ավելի շահավետ է, քան բոլոր անչափահասների պարզ թվարկումը:

Եկեք շարունակենք գտնել մատրիցայի աստիճանը սահմանային փոքրերի մեթոդով: Համառոտ նկարագրենք ալգորիթմայս մեթոդը.

Եթե ​​A մատրիցը զրո չէ, ապա որպես առաջին կարգի մինոր մենք վերցնում ենք A մատրիցի ցանկացած տարր, բացի զրոյից: Հաշվի առեք նրա սահմանակից անչափահասներին: Եթե ​​դրանք բոլորը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցայի աստիճանը հավասար է մեկին: Եթե ​​կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական սահմանամերձ անչափահաս (նրա կարգը երկու է), ապա մենք անցնում ենք նրա սահմանակից փոքրերին: Եթե ​​դրանք բոլորը զրո են, ապա վարկանիշ (A) = 2: Եթե ​​առնվազն մեկ սահմանամերձ անչափահասը զրոյական չէ (նրա կարգը երեք է), ապա մենք համարում ենք նրա սահմանակից փոքրերը: և այլն: Արդյունքում, աստիճան (A) = k, եթե A մատրիցի (k + 1)-րդ կարգի բոլոր սահմանակից փոքրերը հավասար են զրոյի, կամ Rank (A) = min (p, n), եթե կա ոչ զրոյական: մինորը սահմանակից է կարգի մինորին (min ( p, n) - 1):

Եկեք վերլուծենք սահմանային անչափահասների մեթոդը մատրիցայի աստիճանը գտնելու համար՝ օգտագործելով օրինակ:

Օրինակ.

Գտեք մատրիցայի աստիճանը անչափահասների սահմանազատման մեթոդով։

Լուծում.

Քանի որ A մատրիցի a 1 1 տարրը զրո չէ, մենք այն ընդունում ենք որպես առաջին կարգի փոքր: Եկեք սկսենք փնտրել ոչ զրոյական սահմանային փոքր.

Գտնվել է զրոյից տարբերվող երկրորդ կարգի սահմանագիծ: Եկեք դասավորենք նրա սահմանակից անչափահասներին (նրանց բաներ):

Երկրորդ կարգի մինորին սահմանակից բոլոր անչափահասները հավասար են զրոյի, հետևաբար, Ա մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի։

Պատասխան.

Վարկանիշ (A) = 2:

Օրինակ.

Գտեք մատրիցայի աստիճանը սահմանակից անչափահասների օգտագործումը.

Լուծում.

Որպես առաջին կարգի ոչ զրոյական մինոր, մենք վերցնում ենք A մատրիցի a 1 1 = 1 տարրը: Երկրորդ կարգի եզրային անչափահասը զրո չէ. Այս անչափահասը սահմանակից է երրորդ կարգի անչափահասին:
... Քանի որ այն հավասար չէ զրոյի և դրա համար չկա մեկ սահմանային փոքր, ուստի A մատրիցի աստիճանը հավասար է երեքի։

Պատասխան.

Վարկանիշ (A) = 3:

Գտեք աստիճանը տարրական մատրիցային փոխակերպումների միջոցով (Գաուսի մեթոդ):

Դիտարկենք մատրիցայի աստիճանը գտնելու մեկ այլ եղանակ:

Հետևյալ մատրիցային փոխակերպումները կոչվում են տարրական.

• մատրիցի տողերի (կամ սյունակների) փոխարկում;
• Մատրիցի ցանկացած տողի (սյունակի) բոլոր տարրերի բազմապատկումը կամայական k թվով, բացի զրոյից.
• ցանկացած տողի (սյունակի) տարրերին ավելացնելով մատրիցայի մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերը` բազմապատկելով կամայական k թվով:

B մատրիցը կոչվում է համարժեք A մատրիցինեթե B-ն ստացվում է A-ից՝ օգտագործելով վերջավոր թվով տարրական փոխակերպումներ: Մատրիցների համարժեքությունը նշվում է «~» նշանով, այսինքն՝ գրվում է A ~ B:

Մատրիցայի տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցայի աստիճանը գտնելը հիմնված է այն հայտարարության վրա.

Այս հայտարարության վավերականությունը բխում է մատրիցայի որոշիչի հատկություններից.

• Երբ մատրիցայի տողերը (կամ սյունակները) վերադասավորվում են, նրա որոշիչը փոխում է նշանը: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա տողերի (սյունակների) փոխակերպման դեպքում այն ​​հավասար է զրոյի:
• Երբ մատրիցայի ցանկացած տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը բազմապատկվում են կամայական k թվով, բացի զրոյից, ստացված մատրիցայի որոշիչը հավասար է սկզբնական մատրիցայի որոշիչին բազմապատկած k-ով: Եթե ​​սկզբնական մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի, ապա ցանկացած տողի կամ սյունակի բոլոր տարրերը k թվով բազմապատկելուց հետո ստացված մատրիցայի որոշիչը նույնպես հավասար կլինի զրոյի:
• Մատրիցի ինչ-որ շարքի (սյունակի) տարրերին ավելացնելով մատրիցայի մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերը, բազմապատկված որոշ k թվով, դրա որոշիչը չի փոխվում։

Տարրական փոխակերպումների մեթոդի էությունըբաղկացած է այն մատրիցը, որի աստիճանը մենք պետք է գտնենք, վերածենք trapezoidal-ի (առանձին դեպքում վերին եռանկյունի), օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ:

Ինչու է դա արվում: Այս տեսակի մատրիցների դասակարգումը շատ հեշտ է գտնել: Այն հավասար է առնվազն մեկ ոչ զրոյական տարր պարունակող տողերի թվին։ Եվ քանի որ տարրական փոխակերպումների ժամանակ մատրիցայի աստիճանը չի փոխվում, արդյունքում ստացվող արժեքը կլինի սկզբնական մատրիցի աստիճանը։

Ահա մատրիցների մի քանի նկարազարդումներ, որոնցից մեկը պետք է ձեռք բերել փոխակերպումներից հետո։ Նրանց ձևը կախված է մատրիցայի կարգից:

Այս նկարազարդումները ձևանմուշներ են, որոնց վրա մենք կվերափոխենք մատրիցը A:

Եկեք նկարագրենք մեթոդի ալգորիթմ.

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք A կարգի ոչ զրոյական մատրիցայի աստիճանը (p կարող է հավասար լինել n-ի):

Այսպիսով, . Եկեք բազմապատկենք A մատրիցայի առաջին շարքի բոլոր տարրերը: Այս դեպքում մենք ստանում ենք համարժեք մատրիցա, այն նշում ենք A-ով (1):

Ստացված A (1) մատրիցայի երկրորդ շարքի տարրերին ավելացրեք առաջին շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկված։ Երրորդ շարքի տարրերին ավելացրեք առաջին շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով։ Եվ այսպես մինչև p-րդ տողը։ Մենք ստանում ենք համարժեք մատրիցա, այն նշանակում ենք A (2):

Եթե ​​ստացված մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք գտնվում են երկրորդից մինչև p-րդ տողերում, հավասար են զրոյի, ապա այս մատրիցայի աստիճանը հավասար է մեկին, և, հետևաբար, սկզբնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է. մեկին հավասար։

Եթե ​​երկրորդից մինչև pth տողերում կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական տարր, ապա մենք շարունակում ենք փոխակերպումները։ Ավելին, մենք գործում ենք բացարձակապես նույն կերպ, բայց միայն նկարում նշված Ա մատրիցայի մասով (2):

Եթե, ապա մենք վերադասավորում ենք A (2) մատրիցի տողերը և (կամ) սյունակներն այնպես, որ «նոր» տարրը դառնա ոչ զրո:

r թիվը կոչվում է A մատրիցայի աստիճան, եթե.
1) A մատրիցը պարունակում է r կարգի մինոր, որը տարբերվում է զրոյից.
2) կարգի բոլոր փոքրերը (r + 1) և ավելի բարձր, եթե դրանք կան, հավասար են զրոյի:
Հակառակ դեպքում, մատրիցայի աստիճանը ամենաբարձր ոչ զրոյական փոքր կարգն է:
Նշանակումներ՝ rangA, r A կամ r:
Սահմանումից բխում է, որ r-ը դրական ամբողջ թիվ է։ Զուր մատրիցայի համար վարկանիշը համարվում է զրո:

Ծառայության նպատակը... Առցանց հաշվիչը նախատեսված է գտնելու համար մատրիցայի աստիճանը... Այս դեպքում լուծումը պահպանվում է Word և Excel ձևաչափերով: տես լուծման օրինակ:

Հրահանգ. Ընտրեք մատրիցայի չափը, սեղմեք Հաջորդը:

Ընտրեք մատրիցայի չափը 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Սահմանում. Թող տրվի r աստիճանի մատրիցա։ Մատրիցի ցանկացած փոքր, բացի զրոյից և ունի r կարգ, կոչվում է հիմնական, իսկ դրա բաղադրիչների տողերն ու սյունակները՝ հիմնական տողեր և սյունակներ:
Համաձայն այս սահմանման՝ A մատրիցը կարող է ունենալ մի քանի հիմնական փոքրեր։

Նույնականացման E մատրիցայի աստիճանը n է (տողերի թիվը):

Օրինակ 1. Տրված է երկու մատրիցա, և նրանց անչափահասները , ... Ո՞ր մեկը կարելի է ընդունել որպես ելակետ:
Լուծում... Փոքր M 1 = 0, ուստի այն չի կարող հիմնական լինել մատրիցներից որևէ մեկի համար: Փոքր M 2 = -9 ≠ 0 և ունի 2 կարգ, ուստի այն կարող է ընդունվել որպես հիմք A կամ / և B մատրիցներ, պայմանով, որ դրանք ունեն 2-ի հավասար դասակարգումներ: Քանի որ detB = 0 (որպես երկու համամասնական սյունակներով որոշիչ), ապա rangB = 2 և M 2-ը կարող են ընդունվել որպես B մատրիցի հիմնական մինոր: A մատրիցի աստիճանը 3 է, քանի որ detA = -27 ≠ 0 և , հետևաբար, այս մատրիցի հիմնական մինորի կարգը պետք է հավասար լինի 3-ի, այսինքն՝ M 2-ը հիմնական չէ A մատրիցի համար։ Նկատի ունեցեք, որ A մատրիցն ունի մեկ հիմնական մինոր, որը հավասար է A մատրիցի որոշիչին:

Թեորեմ (հիմնական փոքրի վրա). Մատրիցայի ցանկացած տող (սյունակ) իր հիմնական տողերի (սյուների) գծային համակցությունն է:
Հետևություններ թեորեմից.

1. R աստիճանի մատրիցայի ցանկացած (r + 1) սյունակ (տող) գծային կախված է:
2. Եթե ​​մատրիցայի աստիճանը փոքր է նրա տողերի (սյուների) քանակից, ապա նրա տողերը (սյունակները) գծային կախված են: Եթե ​​rangA-ն հավասար է նրա տողերի (սյուների) թվին, ապա տողերը (սյունակները) գծային անկախ են։
3. A մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա տողերը (սյունակները) գծային կախված են:
4. Եթե ​​մատրիցայի տողին (սյունակին) ավելացնենք ևս մեկ տող (սյունակ)՝ զրոյից բացի որևէ այլ թվով, ապա մատրիցայի աստիճանը չի փոխվի։
5. Եթե ​​մատրիցում մի տող (սյունակ) հատված է, որը այլ տողերի (սյուների) գծային համակցություն է, ապա մատրիցայի դասակարգումը չի փոխվի:
6. Մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա գծային անկախ տողերի (սյունակների) առավելագույն թվին:
7. Գծային անկախ տողերի առավելագույն քանակը նույնն է, ինչ գծային անկախ սյունակների առավելագույն քանակը:

Օրինակ 2. Գտեք մատրիցայի աստիճանը .
Լուծում. Ելնելով մատրիցայի աստիճանի սահմանումից՝ մենք կփնտրենք ամենաբարձր կարգի մինոր, բացի զրոյից: Նախ, մենք մատրիցը վերածում ենք ավելի պարզ ձևի: Դա անելու համար մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկեք (-2) և ավելացրեք երկրորդին, այնուհետև այն բազմապատկեք (-1) և ավելացրեք երրորդին:

Թող A-ն լինի m \ անգամ n չափի մատրիցա, իսկ k-ը՝ m և n-ից չգերազանցող բնական թիվ. k \ leqslant \ min \ (m; n \). k-րդ կարգի անչափահաս A մատրիցը կոչվում է k-րդ կարգի մատրիցի որոշիչ, որը ձևավորվում է A մատրիցի կամայականորեն ընտրված k տողերի և k սյունակների խաչմերուկում գտնվող տարրերով: Անչափահասներ նշելիս ընտրված տողերի համարները կնշվեն վերնագրերով, իսկ ընտրված սյունակները՝ ստորիններով՝ դրանք դնելով աճման կարգով:

Օրինակ 3.4.Գրեք մատրիցայի տարբեր կարգի փոքրեր

A = \ սկիզբ (pmatrix) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ վերջ (pmatrix) \ !:

Լուծում.Ա մատրիցան ունի 3 \ անգամ 4 չափսեր: Ունի՝ 1-ին կարգի 12 անչափահաս, օրինակ՝ անչափահաս M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; 2-րդ կարգի 18 անչափահաս, օրինակ. M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ սկիզբ (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ վերջ (vmatrix) = 2; 4 փոքր 3-րդ կարգ, օրինակ,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ սկիզբ (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ վերջ (vmatrix) = 0.

m \ անգամ n չափի A մատրիցում կոչվում է r-րդ կարգի մինոր հիմնականեթե այն ոչ զրոյական է, և բոլոր (r + 1) -ro կարգի փոքրերը զրո են կամ ընդհանրապես գոյություն չունեն:

Ըստ մատրիցայի աստիճանիհիմնական անչափահասի կարգը կոչվում է. Զրոյական մատրիցայում հիմնական մինոր չկա: Հետևաբար, զրոյական մատրիցայի աստիճանը, ըստ սահմանման, ենթադրվում է զրո: Նշվում է A մատրիցայի աստիճանը \ օպերատորի անունը (rg) Ա.

Օրինակ 3.5.Գտեք բոլոր հիմնական անչափահասներին և մատրիցայի աստիճանը

A = \ սկիզբ (pmatrix) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (pmatrix) \ !:

Լուծում.Այս մատրիցայի բոլոր երրորդ կարգի մինորները հավասար են զրոյի, քանի որ այս որոշիչները զրո երրորդ տող ունեն: Հետևաբար, մատրիցայի առաջին երկու շարքերում տեղակայված միայն երկրորդ կարգի մինորը կարող է հիմնական լինել: Անցնելով 6 հնարավոր անչափահասների միջով՝ մենք ընտրում ենք ոչ զրոյական

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ սկսել (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ վերջ ( vmatrix) \՛, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12) )) = \ սկսել (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ վերջ (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ սկսել (vmatrix) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ վերջ (vmatrix) \ !.

Այս հինգ անչափահասներից յուրաքանչյուրը հիմնական է: Հետևաբար, մատրիցայի աստիճանը 2 է:

Դիտողություններ 3.2

1. Եթե մատրիցում k-րդ կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, ապա ավելի բարձր կարգի մինորները նույնպես հավասար են զրոյի։ Իրոք, ընդլայնելով (k + 1) -ro փոքր կարգը ցանկացած տողի երկայնքով, մենք ստանում ենք այս շարքի տարրերի արտադրյալների գումարը k-րդ կարգի մինորներով, և դրանք հավասար են զրոյի:

2. Մատրիցայի աստիճանը հավասար է այս մատրիցի ոչ զրոյական փոքրի ամենաբարձր կարգին:

3. Եթե քառակուսի մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է, ապա դրա աստիճանը հավասար է իր կարգին: Եթե ​​քառակուսի մատրիցը այլասերված է, ապա դրա աստիճանը պակաս է իր կարգից:

4. Նշանակումները օգտագործվում են նաև կոչման համար \ օպերատորի անուն (Rg) A, ~ \ օպերատորի անուն (rang) A, ~ \ օպերատորի անուն (աստիճան) A.

5. Բլոկի մատրիցային դասակարգումսահմանվում է որպես սովորական (թվային) մատրիցայի աստիճան, այսինքն. ուշադրություն չդարձնելով դրա բլոկի կառուցվածքին. Ավելին, բլոկի մատրիցայի աստիճանը ոչ պակաս է, քան դրա բլոկների շարքերը. \ օպերատորի անուն (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ օպերատորի անուն (rg) Aև \ օպերատորի անունը (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ օպերատորի անունը (rg) Bքանի որ A (կամ B) մատրիցի բոլոր մինորները նույնպես բլոկային մատրիցի մինորներ են (A \ mid B):

Հիմնական փոքր և մատրիցային աստիճանի թեորեմներ

Դիտարկենք մատրիցայի սյունակների (տողերի) գծային կախվածության և գծային անկախության հատկությունները արտահայտող հիմնական թեորեմները:

Թեորեմ 3.1 հիմնական մինորի մասին:Կամայական A մատրիցում յուրաքանչյուր սյունակ (տող) այն սյունակների (տողերի) գծային համակցությունն է, որոնցում գտնվում է հիմնական մինորը:

Իրոք, առանց ընդհանրության կորստի, մենք ենթադրում ենք, որ m \ անգամ n չափի A մատրիցում հիմնական մինորը գտնվում է առաջին r տողերում և առաջին r սյունակներում: Դիտարկենք որոշիչը

D = \ սկսել (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \՛ & \ vline \՛ \՛ & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ վերջ (vmatrix),

որը ստացվում է s-րդ շարքի և k-րդ սյունակի համապատասխան տարրերը A մատրիցի հիմնական մինորին վերագրելով։ Նկատի ունեցեք, որ ցանկացած 1 \ leqslant s \ leqslant mև այս որոշիչը զրո է: Եթե ​​s \ leqslant r կամ k \ leqslant r, ապա D որոշիչը պարունակում է երկու նույնական տող կամ երկու նույնական սյունակ։ Եթե ​​s> r և k> r, ապա D-ի որոշիչը հավասար է զրոյի, քանի որ այն (r + l) -ro կարգի մինոր է։ Ընդլայնելով որոշիչը վերջին տողի երկայնքով, մենք ստանում ենք

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

որտեղ D_ (r + 1 \, j) վերջին շարքի տարրերի հանրահաշվական լրացումներն են։ Նկատի ունեցեք, որ D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, քանի որ սա հիմնական մինոր է: Ահա թե ինչու

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), որտեղ \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

Գրելով s = 1,2, \ ldots, m-ի վերջին հավասարությունը՝ ստանում ենք

\ սկիզբ (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ վերջ (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ սկիզբ (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ վերջ (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ սկիզբ (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ վերջ (pmatrix) \ !.

դրանք. k --րդ սյունակ (ցանկացածի համար 1 \ leqslant k \ leqslant n) ըստ պահանջի հիմնական մինորի սյունակների գծային համակցությունն է:

Հիմնական փոքր թեորեմը ծառայում է ապացուցելու հետևյալ կարևոր թեորեմները.

Որոշիչի զրոյին հավասարության պայմանը

Թեորեմ 3.2 (որոշիչի անհետացման անհրաժեշտ և բավարար պայման):Որպեսզի որոշիչը հավասար լինի զրոյի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա սյունակներից մեկը (նրա տողերից մեկը) լինի մնացած սյունակների (տողերի) գծային համակցությունը։

Իրոք, անհրաժեշտությունը բխում է հիմնական փոքր թեորեմից: Եթե ​​n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի, ապա նրա աստիճանը փոքր է n-ից, այսինքն. առնվազն մեկ սյունակ ներառված չէ հիմնական մինորում: Այնուհետև այս ընտրված սյունակը, ըստ թեորեմ 3.1-ի, սյունակների գծային համակցություն է, որոնցում գտնվում է հիմնական մինորը: Անհրաժեշտության դեպքում այս համակցությանն ավելացնելով զրոյական գործակիցներով այլ սյունակներ՝ մենք ստանում ենք, որ ընտրված սյունակը մատրիցայի մնացած սյունակների գծային համակցությունն է: Բավարարությունը բխում է որոշիչի հատկություններից։ Եթե, օրինակ, որոշիչի վերջին A_n սյունակը \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n)գծային արտահայտված մնացածի մասով

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

այնուհետև ավելացնելով A_n սյունակին A_1 բազմապատկած (- \ lambda_1), այնուհետև A_2 սյունակին բազմապատկելով (- \ lambda_2) և այլն: A_ սյունակ (n-1) բազմապատկած (- \ lambda_ (n-1)), մենք ստանում ենք որոշիչը \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o)զրոյական սյունակով, որը զրո է (որոշիչի հատկությունը 2):

Մատրիցային աստիճանի անփոփոխություն տարրական փոխակերպումների ներքո

Թեորեմ 3.3 (տարրական փոխակերպումների դեպքում աստիճանի անփոփոխության մասին): Մատրիցի սյունակների (տողերի) տարրական փոխակերպումները չեն փոխում նրա վարկանիշը։

Իրոք, թող լինի։ Ենթադրենք, որ A մատրիցի սյունակների մեկ տարրական փոխակերպման արդյունքում ստացվել է A մատրիցը: Եթե I տիպի փոխակերպումը (երկու սյունակների փոխարկում) կատարվել է, ապա ցանկացած փոքր (r + l) -ro. A մատրիցի կարգը կամ հավասար է A մատրիցի կարգի համապատասխան մինորին (r + l ) -ro, կամ տարբերվում է նրանից նշանով (որոշիչի հատկությունը 3): Եթե ​​կատարվել է II տիպի փոխակերպում (սյունակի բազմապատկում \ lambda \ ne0 թվով), ապա A մատրիցի կարգի ցանկացած փոքր (r + l) -ro կամ հավասար է համապատասխան փոքրին (r + l) - A մատրիցի կարգի ro, կամ տարբերվում է նրանից գործակից \ lambda \ ne0 (որոշիչի հատկությունը 6): Եթե կատարվել է III տիպի փոխակերպում (մյուս սյունակի մի սյունակում գումարում բազմապատկված \ Lambda թվով), ապա ցանկացած A մատրիցի (r + 1)-րդ կարգի մինորը կամ հավասար է A մատրիցի համապատասխան մինորին (r + 1) -րդ կարգին (որոշիչի հատկությունը 9), կամ հավասար է երկուսի գումարին. A մատրիցի (r + l) -ro կարգի անչափահասներ (որոշիչի հատկություն 8): Հետևաբար, ցանկացած տեսակի տարրական փոխակերպման դեպքում A մատրիցի (r + l) -ro կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, քանի որ մատրիցի (r + l) -ro կարգի բոլոր մինորները. A-ն հավասար են զրոյի: Քանի որ տարրականին հակադարձ փոխակերպումները տարրական են, սյուների տարրական փոխակերպումների տակ մատրիցի աստիճանը չի կարող և նվազում է, այսինքն՝ չի փոխվում: Նմանապես, ապացուցված է, որ մատրիցայի աստիճանը չի փոխվում: տողերի տարրական փոխակերպումներ.

Եզրակացություն 1. Եթե ​​մատրիցի մեկ տողը (սյունակը) նրա մյուս տողերի (սյունակների) գծային համակցությունն է, ապա այս տողը (սյունակը) կարող է ջնջվել մատրիցից՝ առանց դրա վարկանիշը փոխելու:

Իրոք, նման տողը կարող է զրոյացվել տարրական փոխակերպումների միջոցով, իսկ զրոյական տողը չի կարող ներառվել հիմնական մինորում։

Եզրակացություն 2. Եթե ​​մատրիցը կրճատվում է ամենապարզ ձևի (1.7), ապա

\ օպերատորի անուն (rg) A = \ օպերատորի անուն (rg) \ Lambda = r \ ,.

Իրոք, ամենապարզ ձևի մատրիցը (1.7) ունի r-րդ կարգի հիմնական մինոր:

Եզրակացություն 3. Ցանկացած ոչ դեգեներատիվ քառակուսի մատրիցա տարրական է, այլ կերպ ասած՝ ցանկացած ոչ այլասերված քառակուսի մատրիցը համարժեք է նույն կարգի նույնական մատրիցին:

Իսկապես, եթե A-ն n կարգի ոչ դեգեներատիվ քառակուսի մատրիցա է, ապա \ օպերատորի անունը (rg) A = n(տե՛ս 3.2 դիտողությունների 3-րդ կետը): Հետևաբար, տարրական փոխակերպումներով A մատրիցը հասցնելով ամենապարզ ձևին (1.7), մենք ստանում ենք միավորի մատրիցը \ Lambda = E_n, քանի որ \ օպերատորի անուն (rg) A = \ օպերատորի անուն (rg) \ Lambda = n(տես եզրակացություն 2): Հետևաբար, A մատրիցը համարժեք է E_n նույնական մատրիցին և կարող է ստացվել նրանից վերջավոր թվով տարրական փոխակերպումների արդյունքում։ Սա նշանակում է, որ A մատրիցը տարրական է։

Թեորեմ 3.4 (մատրիցայի աստիճանի վրա): Մատրիցայի աստիճանը հավասար է այս մատրիցի գծային անկախ տողերի առավելագույն թվին:

Իսկապես, թող \ օպերատորի անունը (rg) A = r... Այնուհետև A մատրիցն ունի r գծային անկախ տողեր: Սրանք այն գծերն են, որոնցում գտնվում է հիմնական մինորը: Եթե ​​դրանք գծային կախված լինեին, ապա այս մինորը հավասար կլիներ զրոյի թեորեմ 3.2-ով, իսկ A մատրիցի աստիճանը հավասար չէր լինի r-ին: Եկեք ցույց տանք, որ r-ը գծային անկախ տողերի առավելագույն թիվն է, այսինքն. ցանկացած p տող գծային կախված է p> r-ի համար: Իսկապես, մենք այս p տողերից B մատրից ենք կազմում: Քանի որ B մատրիցը A մատրիցի մի մասն է, ուրեմն \ օպերատորի անուն (rg) B \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) A = r

Հետևաբար, B մատրիցի առնվազն մեկ տող ներառված չէ այս մատրիցայի հիմնական մինորում: Այնուհետև հիմնական փոքր թեորեմով այն հավասար է այն տողերի գծային համակցությանը, որոնցում գտնվում է հիմնական փոքրը: Հետևաբար, B մատրիցայի տողերը գծային կախված են: Այսպիսով, A մատրիցը պարունակում է առավելագույնը r գծային անկախ տողեր:

Եզրակացություն 1. Մատրիցում գծային անկախ տողերի առավելագույն քանակը հավասար է գծային անկախ սյունակների առավելագույն քանակին.

\ օպերատորի անուն (rg) A = \ օպերատորի անուն (rg) A ^ T.

Այս պնդումը բխում է 3.4 թեորեմից, եթե այն կիրառենք փոխադրված մատրիցայի տողերի վրա և հաշվի առնենք, որ մինորները չեն փոխվում փոխադրման ժամանակ (որոշիչի հատկություն 1):

Եզրակացություն 2. Մատրիցայի տողերի տարրական փոխակերպումների դեպքում պահպանվում է այս մատրիցայի սյունակների ցանկացած համակարգի գծային կախվածությունը (կամ գծային անկախությունը):

Իսկապես, եկեք ընտրենք տրված A մատրիցի ցանկացած k սյունակ և դրանցից կազմենք B մատրիցը: Թող A մատրիցի տողերի տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվեց A մատրիցը, իսկ B մատրիցի տողերի նույն փոխակերպումների արդյունքում ստացվեց B մատրիցը։ Թեորեմ 3.3-ով \ օպերատորի անուն (rg) B "= \ օպերատորի անուն (rg) B... Հետևաբար, եթե B մատրիցի սյունակները գծային անկախ լինեին, այսինքն. k = \ օպերատորի անունը (rg) B(տես հետևություն 1), ապա B մատրիցայի սյունակները նույնպես գծային անկախ են, քանի որ k = \ օպերատորի անունը (rg) B "... Եթե ​​B մատրիցի սյունակները գծային կախված լինեին (k> \ օպերատորի անունը (rg) B), ապա B մատրիցի սյունակները նույնպես գծային կախվածություն ունեն (k> \ օպերատորի անունը (rg) B ")... Հետևաբար, A մատրիցի ցանկացած սյունակի համար գծային կախվածությունը կամ գծային անկախությունը պահպանվում է տողերի տարրական փոխակերպումների ներքո:

Դիտողություններ 3.3

1. Համաձայն 3.4 թեորեմի 1-ին եզրակացության, Եզրակացություն 2-ում նշված սյունակների հատկությունը վավեր է նաև մատրիցայի տողերի ցանկացած համակարգի համար, եթե տարրական փոխակերպումներ են կատարվում միայն դրա սյունակների վրա:

2. Թեորեմ 3.3-ի 3-րդ եզրակացությունը կարող է ճշգրտվել հետևյալ կերպ. ցանկացած ոչ այլասերված քառակուսի մատրիցա, օգտագործելով միայն իր տողերի (կամ միայն սյունակների) տարրական փոխակերպումները, կարող է կրճատվել նույն կարգի նույնական մատրիցով:

Իրոք, օգտագործելով միայն տարրական տողերի փոխակերպումները, ցանկացած A մատրիցը կարող է վերածվել պարզեցված ձևի \ Lambda (նկ. 1.5) (տես Թեորեմ 1.1): Քանի որ A մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է (\ det (A) \ ne0), դրա սյունակները գծային անկախ են: Հետևաբար, \ Lambda մատրիցայի սյունակները նույնպես գծային անկախ են (թեորեմ 3.4-ի հետևանք 2): Հետևաբար, ոչ այլասերված A մատրիցի պարզեցված \ Lambda ձևը համընկնում է նրա ամենապարզ ձևի հետ (նկ. 1.6) և ինքնության մատրիցն է \ Lambda = E (տես 3.3 թեորեմի եզրակացությունը 3): Այսպիսով, վերափոխելով միայն ոչ այլասերված մատրիցայի տողերը, այն կարող է կրճատվել նույնականի։ Նմանատիպ հիմնավորումը վավեր է ոչ այլասերված մատրիցայի սյունակների տարրական փոխակերպումների համար:

Արտադրանքի աստիճանը և մատրիցների գումարը

Թեորեմ 3.5 (մատրիցների արտադրյալի աստիճանի մասին): Մատրիցային արտադրանքի դասակարգումը չի գերազանցում գործոնների վարկանիշը.

\ օպերատորի անուն (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ օպերատորի անուն (rg) A, \ օպերատորի անուն (rg) B \):

Իսկապես, թող A և B մատրիցները ունենան m \ անգամ p և p \ անգամ n չափումներ: Ա մատրիցին վերագրում ենք մատրիցը C = AB \ երկու կետ \, (A \ միջին C)... Անշուշտ դա չի նշանակում \ օպերատորի անուն (rg) C \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) (A \ mid C), քանի որ C-ն մատրիցայի մի մասն է (A \ mid C) (տես Դիտողություն 3.2-ի 5-րդ կետը): Նշենք, որ յուրաքանչյուր C_j սյունակ, ըստ մատրիցային բազմապատկման գործողության, սյունակների գծային համակցություն է A_1, A_2, \ ldots, A_pմատրիցներ A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

Նման սյունակը կարող է ջնջվել մատրիցից (A \ mid C) առանց դրա վարկանիշը փոխելու (3.3 թեորեմի 1-ին եզրակացություն): Անցնելով C մատրիցայի բոլոր սյունակները՝ մենք ստանում ենք. \ օպերատորի անունը (rg) (A \ mid C) = \ օպերատորի անունը (rg) A... Հետևաբար, \ օպերատորի անուն (rg) C \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) (A \ mid C) = \ օպերատորի անուն (rg) A... Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ պայմանը \ օպերատորի անուն (rg) C \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) B, և եզրակացություն արեք թեորեմի վավերականության մասին։

Հետևանք. Եթե A-ն ոչ դեգեներատիվ քառակուսի մատրից է, ուրեմն \ օպերատորի անուն (rg) (AB) = \ օպերատորի անուն (rg) Bև \ օպերատորի անունը (rg) (CA) = \ օպերատորի անունը (rg) C, այսինքն. մատրիցի աստիճանը չի փոխվում, եթե այն ձախ կամ աջ բազմապատկվում է ոչ այլասերված քառակուսի մատրիցով:

Թեորեմ 3.6 մատրիցների գումարի աստիճանի մասին. Մատրիցների գումարի աստիճանը չի գերազանցում տերմինների շարքերի գումարը.

\ օպերատորի անուն (rg) (A + B) \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) A + \ օպերատորի անուն (rg) B.

Իրոք, մենք կազմում ենք մատրիցը (A + B \ միջին A \ միջին B)... Նշենք, որ A + B մատրիցի յուրաքանչյուր սյունակ A և B մատրիցների սյունակների գծային համակցություն է: Ահա թե ինչու \ օպերատորի անուն (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ օպերատորի անուն (rg) (A \ mid B)... Հաշվի առնելով, որ մատրիցում գծային անկախ սյունակների թիվը (A \ միջին B) չի գերազանցում. \ օպերատորի անուն (rg) A + \ օպերատորի անուն (rg) B, ա \ օպերատորի անուն (rg) (A + B) \ leqslant \ օպերատորի անուն (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(տես Դիտողություն 3.2-ի 5-րդ կետը), ստանում ենք անհրաժեշտ անհավասարությունը:

>> Մատրիցային դասակարգում

Մատրիցային դասակարգում

Մատրիցայի աստիճանի որոշում

Դիտարկենք ուղղանկյուն մատրիցա: Եթե ​​այս մատրիցում մենք կամայականորեն ընտրենք կգծեր և կսյունակները, այնուհետև ընտրված տողերի և սյունակների հատման կետում գտնվող տարրերը կազմում են k-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա։ Այս մատրիցայի որոշիչը կոչվում է kth կարգի անչափահասԱ մատրիցա: Ակնհայտ է, որ A մատրիցն ունի 1-ից մինչև m և n թվերից ամենափոքրը ցանկացած կարգի փոքրեր: A մատրիցի բոլոր ոչ զրոյական փոքրերի մեջ կա առնվազն մեկ փոքր, որի կարգը կլինի ամենամեծը: Տրված մատրիցայի անչափահասների ամենամեծ ոչ զրոյական կարգը կոչվում է աստիճանմատրիցներ. Եթե ​​A մատրիցայի աստիճանն է r, ապա սա նշանակում է, որ A մատրիցն ունի կարգի ոչ զրոյական մինոր r, բայց ցանկացած փոքր կարգի ավելի մեծ, քան r, հավասար է զրոյի։ A մատրիցայի աստիճանը նշանակվում է r (A)-ով: Ակնհայտ է, որ հարաբեր

Մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ՝ օգտագործելով անչափահասները

Մատրիցայի աստիճանը հայտնաբերվում է կամ անչափահասների սահմանային մեթոդով, կամ տարրական փոխակերպումների մեթոդով: Մատրիցայի աստիճանը առաջին եղանակով հաշվարկելիս պետք է ավելի ցածր կարգի անչափահասներից անցնել ավելի բարձր կարգի անչափահասներին: Եթե ​​արդեն գտնվել է A մատրիցի k-րդ կարգի մինոր D, որը տարբերվում է զրոյից, ապա պահանջվում են միայն (k + 1) -րդ կարգի մինորները, որոնք սահմանակից են փոքր D-ին, այսինքն. այն պարունակում է որպես փոքր բանալի: Եթե ​​դրանք բոլորը հավասար են զրոյի, ապա մատրիցայի աստիճանն է կ.

Օրինակ 1.Գտե՛ք մատրիցայի աստիճանը՝ սահմանազատելով անչափահասներին

.

Լուծում.Մենք սկսում ենք 1-ին կարգի անչափահասներից, այսինքն. A մատրիցայի տարրերով: Ընտրենք, օրինակ, մինորը (տարրը) М 1 = 1, որը գտնվում է առաջին շարքում և առաջին սյունակում: Շրջանակավորելով երկրորդ շարքով և երրորդ սյունակով, մենք ստանում ենք փոքր M 2 = զրոյից տարբեր: Այժմ մենք դիմում ենք M 2-ին սահմանակից 3-րդ կարգի անչափահասներին: Դրանցից ընդամենը երկուսն են (կարող եք ավելացնել երկրորդ սյունակ կամ չորրորդ): Մենք հաշվարկում ենք դրանք. = 0. Այսպիսով, երրորդ կարգի բոլոր սահմանակից անչափահասները հավասար են զրոյի։ A մատրիցայի աստիճանը երկու է:

Մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ՝ օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ

Տարրականհետևյալ մատրիցային փոխակերպումները կոչվում են.

1) ցանկացած երկու տողերի (կամ սյունակների) փոխակերպում.

2) տողը (կամ սյունակը) բազմապատկել ոչ զրոյական թվով,

3) մեկ տողին (կամ սյունակին) ավելացնելով մեկ այլ տող (կամ սյունակ)՝ բազմապատկված ինչ-որ թվով:

Երկու մատրիցները կոչվում են համարժեքեթե դրանցից մեկը ստացվում է մյուսից՝ օգտագործելով տարրական փոխակերպումների վերջավոր հավաքածու։

Համարժեք մատրիցները, ընդհանուր առմամբ, հավասար չեն, բայց դրանց շարքերը հավասար են: Եթե ​​A և B մատրիցները համարժեք են, ապա այն գրվում է հետևյալ կերպ~ B.

Կանոնականըմատրիցը այն մատրիցն է, որի հիմնական անկյունագծի սկզբում անընդմեջ կան մի քանիսը (որոնց թիվը կարող է հավասար լինել զրոյի), իսկ մնացած բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, օրինակ.

.

Տողերի և սյունակների տարրական փոխակերպումների միջոցով ցանկացած մատրիցա կարող է կրճատվել մինչև կանոնական։ Կանոնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա հիմնական անկյունագծի վրա գտնվողների թվին:

Օրինակ 2Գտեք մատրիցայի աստիճանը

A =

և հասցրու կանոնական ձևին։

Լուծում.Երկրորդ տողից հանեք առաջինը և վերադասավորեք հետևյալ տողերը.

.

Այժմ երկրորդ և երրորդ տողերից հանեք առաջինը՝ համապատասխանաբար 2-ով և 5-ով.

;

հանել առաջինը երրորդ տողից; մենք ստանում ենք մատրիցը

B = ,

որը համարժեք է A մատրիցին, քանի որ դրանից ստացվում է տարրական փոխակերպումների վերջավոր բազմության միջոցով: Ակնհայտ է, որ B մատրիցայի աստիճանը հավասար է 2-ի, և, հետևաբար, r (A) = 2: B մատրիցը հեշտությամբ կարելի է կրճատել մինչև կանոնական: Բոլոր հաջորդներից հանելով առաջին սյունակը, որը բազմապատկվում է համապատասխան թվերով, մենք զրոյի ենք դարձնում առաջին շարքի բոլոր տարրերը, բացառությամբ առաջինի, իսկ մնացած տողերի տարրերը չեն փոխվում։ Այնուհետև բոլոր հաջորդներից հանելով երկրորդ սյունակը, որը բազմապատկվում է համապատասխան թվերով, մենք զրոյացնում ենք երկրորդ շարքի բոլոր տարրերը, բացառությամբ երկրորդի, և ստանում ենք կանոնական մատրիցա.

.