Մատրիցա գտնելու մեթոդներ. Հակադարձ մատրիցա. Մատրիցային հավասարումների լուծում

Շատ հատկություններով նման է հակադարձին:

Կոլեգիալ YouTube

1 / 5

✪ Ինչպես գտնել մատրիցայի հակադարձը - bezbotvy

✪ Հակադարձ մատրիցա (գտնելու 2 եղանակ)

✪ Հակադարձ մատրիցա # 1

✪ 2015-01-28. Հակադարձ 3x3 մատրիցա

✪ 2015-01-27. Հակադարձ 2x2 մատրիցա

սուբտիտրեր

Հակադարձ մատրիցայի հատկություններ

• det A - 1 = 1 det A (\ displaystyle \ det A ^ (- 1) = (\ frac (1) (\ det A))), որտեղ det (\ displaystyle \ \ det)նշանակում է որոշիչ.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\ displaystyle \ (AB) ^ (- 1) = B ^ (- 1) A ^ (- 1))երկու քառակուսի շրջելի մատրիցների համար A (\ ցուցադրման ոճ A)և B (\ ցուցադրման ոճ B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\ displaystyle \ (A ^ (T)) ^ (- 1) = (A ^ (- 1)) ^ (T)), որտեղ (...) T (\ ցուցադրման ոճ (...) ^ (T))նշանակում է փոխադրված մատրիցա։
• (k A) - 1 = k - 1 A - 1 (\ displaystyle \ (kA) ^ (- 1) = k ^ (- 1) A ^ (- 1))ցանկացած գործակցի համար k ≠ 0 (\ ցուցադրման ոճ k \ ոչ = 0).
• E - 1 = E (\ ցուցադրման ոճ \ E ^ (- 1) = E).
• Եթե ​​անհրաժեշտ է լուծել գծային հավասարումների համակարգ, (b-ն ոչ զրոյական վեկտոր է), որտեղ x (\ ցուցադրման ոճ x)պահանջվող վեկտորն է, և եթե A - 1 (\ ցուցադրման ոճ A ^ (- 1))գոյություն ունի այն ժամանակ x = A - 1 b (\ ցուցադրման ոճ x = A ^ (- 1) բ)... Հակառակ դեպքում, կամ լուծումների տարածության չափը մեծ է զրոյից, կամ ընդհանրապես չկա:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու մեթոդներ

Եթե ​​մատրիցը շրջելի է, ապա կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդներից մեկը՝ մատրիցի հակադարձությունը գտնելու համար.

Ճշգրիտ (ուղիղ) մեթոդներ

Գաուս-Հորդանանի մեթոդ

Վերցնենք երկու մատրիցա՝ ինքն իրեն Աև միայնակ Ե... Եկեք մատրիցա տանք Անույնականացման մատրիցին Gauss-Jordan մեթոդով, տողերով փոխակերպումներ կիրառելով (կարող եք նաև փոխակերպումներ կիրառել սյունակներով, բայց ոչ խառնել): Յուրաքանչյուր գործողություն առաջին մատրիցին կիրառելուց հետո նույն գործողությունը կիրառեք երկրորդի վրա: Երբ ավարտվի առաջին մատրիցի կրճատումը միավորի ձևին, երկրորդ մատրիցը հավասար կլինի A -1.

Գաուսի մեթոդն օգտագործելիս առաջին մատրիցը ձախից կբազմապատկվի տարրական մատրիցներից մեկով. Λ i (\ displaystyle \ Lambda _ (i))(տրանսվեկցիա կամ անկյունագծային մատրիցա հիմնական անկյունագծով գտնվողների հետ, բացառությամբ մեկ դիրքի).

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\ displaystyle \ Lambda _ (1) \ cdot \ կետեր \ cdot \ Lambda _ (n) \ cdot A = \ Lambda A = E \ Աջ նետ \ Լամբդա = A ^ (- 1)). Λ m = [1… 0 - a 1 m / am 0… 0… 0… 1 - am - 1 m / am 0… 0 0… 0 1 / am 0… 0 0… 0 - am + 1 m / mm 1 … 0… 0… 0 - anm / am 0… 1] (\ displaystyle \ Lambda _ (m) = (\ Սկիզբ (bmatrix) 1 & \ կետեր & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \ կետեր & 0 \\ &&& \ կետեր &&& \\ 0 & \ կետեր & 1 & -a_ (m-1m) / a_ (մմ) & 0 & \ կետեր & 0 \\ 0 & \ կետեր & 0 & 1 / a_ (մմ) & 0 & \ կետեր & 0 \\ 0 & \ կետեր & 0 & -a_ ( m + 1 մ) / a_ (մմ) & 1 & \ կետեր & 0 \\ &&& \ կետեր &&& \\ 0 & \ կետեր & 0 & -a_ (nm) / a_ (մմ) & 0 & \ կետեր & 1 \ վերջ (bmatrix))).

Երկրորդ մատրիցը բոլոր գործողությունները կիրառելուց հետո հավասար կլինի Λ (\ displaystyle \ Lambda), այսինքն՝ ցանկալին կլինի։ Ալգորիթմի բարդություն - O (n 3) (\ ցուցադրման ոճ O (n ^ (3))).

Օգտագործելով հանրահաշվական լրացումների մատրիցը

Մատրիցա հակադարձ մատրիցին A (\ ցուցադրման ոճ A), կարող է ներկայացվել որպես

A - 1 = adj (A) det (A) (\ displaystyle (A) ^ (- 1) = ((\ mbox (adj)) (A)) \ over (\ det (A))))

որտեղ adj (A) (\ displaystyle (\ mbox (adj)) (A))- կցված մատրիցա;

Ալգորիթմի բարդությունը կախված է O det որոշիչի հաշվարկման ալգորիթմի բարդությունից և հավասար է O (n²) · O det-ի:

Օգտագործելով LU / LUP տարրալուծումը

Մատրիցային հավասարում A X = I n (\ ցուցադրման ոճ AX = I_ (n))հակադարձ մատրիցայի համար X (\ ցուցադրման ոճ X)կարելի է դիտել որպես հավաքածու n (\ ցուցադրման ոճ n)ձևերի համակարգեր A x = b (\ ցուցադրման ոճ Ax = b)... Նշում ենք i (\ ցուցադրման ոճ i)մատրիցայի րդ սյունակը X (\ ցուցադրման ոճ X)երկայնքով X i (\ ցուցադրման ոճ X_ (i)); ապա A X i = e i (\ ցուցադրման ոճ AX_ (i) = e_ (i)), i = 1,…, n (\ ցուցադրման ոճ i = 1, \ ldots, n),այնքանով, որքանով i (\ ցուցադրման ոճ i)մատրիցայի րդ սյունակը I n (\ ցուցադրման ոճ I_ (n))միավորի վեկտորն է e i (\ displaystyle e_ (i))... այլ կերպ ասած, հակադարձ մատրիցը գտնելը կրճատվում է մեկ մատրիցով և տարբեր աջ կողմերով n հավասարումների լուծմանը: LUP տարրալուծումը կատարելուց հետո (ժամանակ O (n³)), n հավասարումների յուրաքանչյուր լուծումը պահանջում է O (n²), ուստի աշխատանքի այս հատվածը նույնպես ժամանակ է պահանջում O (n³):

Եթե ​​A մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է, ապա LUP-ի տարրալուծումը կարող է հաշվարկվել դրա համար P A = L U (\ ցուցադրման ոճ PA = LU)... Թող լինի P A = B (\ ցուցադրման ոճ PA = B), B - 1 = D (\ ցուցադրման ոճ B ^ (- 1) = D)... Այնուհետև հակադարձ մատրիցայի հատկություններից կարող ենք գրել. D = U - 1 L - 1 (\ ցուցադրման ոճ D = U ^ (- 1) L ^ (- 1))... Եթե ​​այս հավասարությունը բազմապատկենք U-ով և L-ով, ապա կարող ենք ստանալ ձևի երկու հավասարություն U D = L - 1 (\ ցուցադրման ոճ UD = L ^ (- 1))և D L = U - 1 (\ ցուցադրման ոճ DL = U ^ (- 1))... Այս հավասարություններից առաջինը n² գծային հավասարումների համակարգ է n (n + 1) 2 (\ ցուցադրման ոճ (\ ֆրակ (n (n + 1)) (2)))որոնց աջ կողմերը հայտնի են (եռանկյուն մատրիցների հատկություններից)։ Երկրորդը նաև ներկայացնում է n² գծային հավասարումների համակարգ n (n - 1) 2 (\ displaystyle (\ frac (n (n-1)) (2)))որոնց աջ կողմերը հայտնի են (նաև եռանկյուն մատրիցների հատկություններից)։ Նրանք միասին ներկայացնում են n² հավասարությունների համակարգ: Օգտագործելով այս հավասարությունները՝ մենք կարող ենք ռեկուրսիվորեն որոշել D մատրիցի բոլոր n² տարրերը: Այնուհետև (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D հավասարությունից ստանում ենք հավասարությունը: A - 1 = D P (\ ցուցադրման ոճ A ^ (- 1) = DP).

LU-քայքայման օգտագործման դեպքում D մատրիցի սյունակների փոխակերպում չի պահանջվում, սակայն լուծումը կարող է շեղվել, նույնիսկ եթե A մատրիցը չդեգեներատիվ է:

Ալգորիթմի բարդությունը O (n³ է):

Կրկնվող մեթոդներ

Շուլցի մեթոդները

(Ψ k = E - AU k, U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ ki (\ ցուցադրման ոճ (\ սկիզբ (դեպքեր) \ Psi _ (k) = E-AU_ (k), \\ U_ ( k + 1) = U_ (k) \ գումար _ (i = 0) ^ (n) \ Psi _ (k) ^ (i) \ վերջ (դեպքեր)))

Սխալի գնահատում

Ընտրելով նախնական գուշակություն

Այստեղ դիտարկվող կրկնվող մատրիցային ինվերսիայի գործընթացներում նախնական մոտարկման ընտրության խնդիրը թույլ չի տալիս դրանք դիտարկել որպես անկախ ունիվերսալ մեթոդներ, որոնք մրցակցում են ինվերսիայի ուղղակի մեթոդների հետ, որոնք հիմնված են, օրինակ, մատրիցների LU-քայքայման վրա: Կան որոշ առաջարկություններ ընտրության համար U 0 (\ displaystyle U_ (0))պայմանի կատարումն ապահովելը ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (մատրիցի սպեկտրային շառավիղը մեկից պակաս է), որն անհրաժեշտ և բավարար է գործընթացի կոնվերգենցիայի համար: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում, նախ, անհրաժեշտ է իմանալ շրջված մատրիցի A կամ մատրիցի սպեկտրի վերին սահմանը. A A T (\ ցուցադրման ոճ AA ^ (T))(մասնավորապես, եթե A-ն սիմետրիկ դրական որոշակի մատրիցա է և ρ (A) ≤ β (\ ցուցադրման ոճ \ rho (A) \ leq \ բետա), ապա կարող եք վերցնել U 0 = α E (\ ցուցադրման ոճ U_ (0) = (\ ալֆա) E), որտեղ; եթե A-ն կամայական ոչ այլասերված մատրից է և ρ (A A T) ≤ β (\ displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq \ բետա)ապա ենթադրվում է U 0 = α A T (\ ցուցադրման ոճ U_ (0) = (\ ալֆա) A ^ (T))որտեղ նույնպես α ∈ (0, 2 β) (\ ցուցադրման ոճ \ ալֆա \ ձախում (0, (\ ֆրակ (2) (\ բետա)) \ աջ)); Դուք, իհարկե, կարող եք պարզեցնել իրավիճակը և օգտվել այն փաստից, որ ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ displaystyle \ rho (AA ^ (T)) \ leq (\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\ mathcal (k))), դնել U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\ displaystyle U_ (0) = (\ frac (A ^ (T)) (\ | AA ^ (T) \ |)))): Երկրորդ, սկզբնական մատրիցայի նման սահմանմամբ դա երաշխիք չկա ‖ Ψ 0 ‖ (\ ցուցադրման ոճ \ | \ Psi _ (0) \ |)փոքր կլինի (դա կարող է նույնիսկ լինել ‖ Ψ 0 ‖> 1 (\ ցուցադրման ոճ \ | \ Psi _ (0) \ |> 1)), և կոնվերգենցիայի բարձր կարգը անմիջապես չի բացահայտվի:

Օրինակներ

Մատրիցա 2x2

A - 1 = [a b c d] - 1 = 1 det (A) [d - b - c a] = 1 a d - b c [d - b - c a]: (\ displaystyle \ mathbf (A) ^ (- 1) = (\ սկսվում (bmatrix) a & b \\ c & d \\\ end (bmatrix)) ^ (- 1) = (\ frac (1) (\ det (\ mathbf (A)))) (\ սկիզբ (bmatrix) \, \, \, d & \! \! - b \\ - c & \, a \\\ վերջ (bmatrix)) = (\ frac (1) (ad-bc)) (\ սկսվում (bmatrix) \, \, \, d & \! \! - b \\ - c & \, a \\\ վերջ (bmatrix)).)

2x2 մատրիցայի շրջումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե a d - b c = det A ≠ 0 (\ displaystyle ad-bc = \ det A \ neq 0).

Գտնելով հակադարձ մատրիցը- խնդիր, որը հաճախ լուծվում է երկու եղանակով.

• հանրահաշվական լրացումների մեթոդը, որում պահանջվում է գտնել որոշիչները և փոխադրել մատրիցները.
• Գաուսի կողմից անհայտների վերացման մեթոդով, որում պահանջվում է կատարել տարրական մատրիցային փոխակերպումներ (տողեր ավելացնել, տողերը բազմապատկել նույն թվով և այլն)։

Հատկապես հետաքրքրասերների համար կան այլ մեթոդներ, օրինակ՝ գծային փոխակերպումների մեթոդը։ Այս դասում մենք կվերլուծենք նշված երեք մեթոդներն ու ալգորիթմները՝ այս մեթոդներով հակադարձ մատրիցը գտնելու համար։

Հակադարձ մատրիցա Ա, նման մատրիցա կոչվում է

Ա
. (1)

Հակադարձ մատրիցա , որը պահանջվում է գտնել տրված քառակուսի մատրիցով Ա, նման մատրիցա կոչվում է

արտադրանք, որով մատրիցներ Աաջ կողմում ինքնության մատրիցն է, այսինքն.
. (1)

Ինքնության մատրիցը անկյունագծային մատրից է, որի բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են մեկի:

Թեորեմ.Յուրաքանչյուր ոչ եզակի (ոչ այլասերված, ոչ եզակի) քառակուսի մատրիցի համար կարող եք գտնել հակադարձ մատրիցը, ընդ որում՝ միայն մեկը։ Հատուկ (դեգեներատ, եզակի) քառակուսի մատրիցայի համար հակադարձը գոյություն չունի:

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է ոչ հատուկ(կամ ոչ այլասերված, ոչ եզակի) եթե նրա որոշիչը զրո չէ, և հատուկ(կամ այլասերված, եզակի) եթե նրա որոշիչը զրո է։

Հակադարձ մատրիցը կարելի է գտնել միայն քառակուսի մատրիցի համար: Բնականաբար, հակադարձ մատրիցը նույնպես կլինի քառակուսի և նույն կարգի, ինչ տրված մատրիցը։ Մատրիցը, որի համար կարելի է գտնել հակադարձ մատրից, կոչվում է հակադարձ մատրիցա։

Համար հակադարձ մատրիցա տեղին անալոգիա կա փոխադարձի հետ: Յուրաքանչյուր թվի համար ա, հավասար չէ զրոյի, այդպիսի թիվ կա բոր աշխատանքը աև բհավասար է մեկին: աբ= 1. Թիվ բկոչվում է թվի հակադարձ բ... Օրինակ, 7 թվի համար հակադարձը 1/7 է, քանի որ 7 * 1/7 = 1:

Հակադարձ մատրիցը գտնելը հանրահաշվական լրացումների մեթոդով (միության մատրիցա)

Ոչ եզակի քառակուսի մատրիցայի համար Ահակադարձը մատրիցն է

որտեղ է մատրիցայի որոշիչը Ա, a-ն մատրիցին կից մատրիցն է Ա.

Միավորում քառակուսի մատրիցով Ակոչվում է նույն կարգի մատրիցա, որի տարրերը A մատրիցով փոխադրված մատրիցի որոշիչի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումներն են: Այսպիսով, եթե.

ապա

և

Հակադարձ մատրիցը հանրահաշվական լրացումների մեթոդով գտնելու ալգորիթմ

1. Գտի՛ր տրված մատրիցայի որոշիչը Ա... Եթե ​​որոշիչը զրո է, հակադարձ մատրիցայի որոնումը դադարում է, քանի որ մատրիցը այլասերված է, և դրա հակադարձությունը գոյություն չունի:

2. Գտե՛ք փոխադրված մատրիցը նկատմամբ Ա.

3. Հաշվե՛ք հարակից մատրիցայի տարրերը որպես 2-րդ քայլում հայտնաբերված Maritsa-ի հանրահաշվական լրացումներ:

4. Կիրառել բանաձևը (2). բազմապատկել մատրիցայի որոշիչի հակադարձ մասը Ա 4-րդ քայլում հայտնաբերված հարակից մատրիցին:

5. Ստուգեք 4-րդ քայլում ստացված արդյունքը՝ բազմապատկելով այս մատրիցը Ադեպի հակադարձ մատրիցը: Եթե ​​այս մատրիցների արտադրյալը հավասար է նույնականության մատրիցին, ապա հակադարձ մատրիցը ճիշտ է գտնվել։ Հակառակ դեպքում, նորից սկսեք լուծման գործընթացը։

Օրինակ 1.Մատրիցայի համար

գտեք մատրիցի հակադարձ կողմը.

Լուծում. Հակադարձ մատրիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել մատրիցի որոշիչը Ա... Եռանկյունների կանոնով մենք գտնում ենք.

Այստեղից էլ մատրիցան Ա- ոչ եզակի (ոչ այլասերված, ոչ եզակի) և դրա համար կա հակադարձ:

Գտե՛ք տրված մատրիցին կից մատրիցը Ա.

Գտեք մատրիցով փոխադրված մատրիցը Ա:

Հաշվեք հարակից մատրիցայի տարրերը որպես մատրիցի հանրահաշվական լրացումներ, որոնք փոխադրվում են մատրիցի նկատմամբ Ա:

Հետևաբար, մատրիցին հարող մատրիցը Ա, ունի ձևը

Մեկնաբանություն.Տարրերի հաշվարկման և մատրիցի փոխադրման կարգը կարող է տարբեր լինել: Նախ կարելի է հաշվարկել մատրիցայի հանրահաշվական լրացումները Աև այնուհետև փոխադրել լրացման մատրիցը: Արդյունքը պետք է լինի միության մատրիցայի նույն տարրերը:

Կիրառելով բանաձևը (2), մենք գտնում ենք, որ մատրիցը հակադարձ է մատրիցին Ա:

Հակադարձ մատրիցը գտնելը Գաուսի վերացման միջոցով

Գաուսի վերացման մեթոդով հակադարձ մատրիցը գտնելու առաջին քայլը մատրիցին վերագրելն է. Անույն կարգի նույնական մատրիցը, դրանք բաժանելով ուղղահայաց բարով: Մենք ստանում ենք կրկնակի մատրիցա: Մենք բազմապատկում ենք այս մատրիցայի երկու կողմերը, այնուհետև ստանում ենք

,

Անհայտների Գաուսյան վերացման միջոցով հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ

1. Դեպի մատրիցա Անշանակել նույն կարգի նույնականացման մատրիցը:

2. Ստացված կրկնակի մատրիցը փոխակերպեք այնպես, որ նույնականության մատրիցը ստացվի դրա ձախ կողմում, այնուհետև հակադարձ մատրիցը ինքնաբերաբար կհայտնվի աջ կողմում գտնվող նույնական մատրիցայի տեղում: Մատրիցա Աձախ կողմում տարրական մատրիցային վերափոխումներով վերածվում է ինքնության մատրիցայի:

2. Եթե մատրիցայի վերափոխման ժամանակ Ացանկացած տողում կամ սյունակում նույնական մատրիցայում կլինեն միայն զրոներ, այնուհետև մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի, և, հետևաբար, մատրիցը Ակլինի այլասերված և չունի հակադարձ մատրիցա: Այս դեպքում հակադարձ մատրիցայի հետագա հայտնաբերումն ավարտվում է:

Օրինակ 2.Մատրիցայի համար

գտեք մատրիցի հակադարձ կողմը.

և մենք այն կվերափոխենք այնպես, որ ձախ կողմում ստանանք ինքնության մատրիցը: Մենք սկսում ենք վերափոխումները.

Ձախ և աջ մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկեք (-3)-ով և ավելացրեք այն երկրորդ շարքին, իսկ հետո առաջին շարքը բազմապատկեք (-4-ով) և ավելացրեք այն երրորդ շարքին, այնուհետև մենք ստանում ենք.

.

Որպեսզի հետագա փոխակերպումների ժամանակ, հնարավորության դեպքում, կոտորակային թվեր չլինեն, նախ կրկնապատկված մատրիցայի ձախ մասի երկրորդ շարքում միավոր ենք ստեղծում։ Դա անելու համար երկրորդ շարքը բազմապատկեք 2-ով և դրանից հանեք երրորդ շարքը, ապա ստանում ենք

.

Առաջին շարքը ավելացրեք երկրորդին, իսկ հետո երկրորդ շարքը բազմապատկեք (-9) և ավելացրեք երրորդ շարքը։ Հետո մենք ստանում ենք

.

Երրորդ տողը բաժանեք 8-ի, ապա

.

Երրորդ շարքը բազմապատկենք 2-ով և ավելացնենք երկրորդ շարքին։ Պարզվում է:

.

Եկեք փոխանակենք երկրորդ և երրորդ տողերը, այնուհետև վերջապես կստանանք.

.

Մենք տեսնում ենք, որ միավորի մատրիցը ստացվում է ձախ կողմում, հետևաբար, հակադարձ մատրիցը ստացվում է աջ կողմում: Այսպիսով.

.

Դուք կարող եք ստուգել հաշվարկների ճիշտությունը՝ բազմապատկելով սկզբնական մատրիցը հայտնաբերված հակադարձ մատրիցով.

Արդյունքը պետք է լինի հակադարձ մատրիցա:

Օրինակ 3.Մատրիցայի համար

գտեք մատրիցի հակադարձ կողմը.

Լուծում. Կրկնակի մատրիցա կազմելը

և մենք կվերափոխենք այն:

Առաջին շարքը բազմապատկում ենք 3-ով, իսկ երկրորդը 2-ով, իսկ երկրորդից հանում ենք, իսկ հետո առաջին շարքը բազմապատկում ենք 5-ով, իսկ երրորդը 2-ով և հանում երրորդ շարքից, այնուհետև ստանում ենք.

.

Առաջին տողը 2-ով բազմապատկում ենք և ավելացնում երկրորդին, իսկ հետո երրորդ տողից հանում ենք երկրորդը, այնուհետև ստանում ենք.

.

Մենք տեսնում ենք, որ ձախ կողմի երրորդ տողում բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի։ Հետևաբար, մատրիցը այլասերված է և չունի հակադարձ մատրիցա: Մենք դադարում ենք գտնել հակադարձ մարիցա:

$ A ^ (- 1) $ մատրիցը կոչվում է հակադարձ $ A $ քառակուսի մատրիցով, եթե $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ պայմանը բավարարված է: , որտեղ $ E $ Նույնական մատրիցն է, որի կարգը հավասար է $ A $ մատրիցայի կարգին:

Ոչ այլասերված մատրիցա - մատրիցա, որի որոշիչը հավասար չէ զրոյի։ Համապատասխանաբար, այլասերված մատրիցը մեկն է, որի որոշիչը հավասար է զրոյի:

$ A ^ (- 1) $ հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե $ A $ մատրիցը այլասերված չէ: Եթե ​​$ A ^ (- 1) $ հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, ապա այն եզակի է:

Մատրիցայի հակադարձությունը գտնելու մի քանի եղանակ կա, և մենք կանդրադառնանք դրանցից երկուսին: Այս էջում կքննարկվեն հարակից մատրիցային մեթոդը, որը համարվում է ստանդարտ մաթեմատիկայի բարձրագույն դասընթացների մեծ մասում: Հակադարձ մատրիցը գտնելու երկրորդ մեթոդը (տարրական փոխակերպումների մեթոդ), որը ներառում է Գաուսի մեթոդի կամ Գաուս-Հորդանանի մեթոդի օգտագործումը, քննարկվում է երկրորդ մասում։

Կից (առընթեր) մատրիցային մեթոդ

Թող տրվի $ A_ (n \ անգամ n) $ մատրիցը: $ A ^ (- 1) $-ի հակադարձությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է երեք քայլ.

1. Գտեք $ A $ մատրիցայի որոշիչը և համոզվեք, որ $ \ Delta A \ neq 0 $, այսինքն. որ Ա մատրիցը ոչ այլասերված է։
2. Կազմեք $ A_ (ij) $ մատրիցայի յուրաքանչյուր տարրի հանրահաշվական լրացումները և գրեք $ A_ մատրիցը (n \ անգամ n) ^ (*) = \ ձախ (A_ (ij) \ աջ) $ գտել են հանրահաշվական լրացումներ.
3. Գրե՛ք հակադարձ մատրիցը՝ հաշվի առնելով $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ բանաձեւը։

$ (A ^ (*)) ^ T $ մատրիցը հաճախ կոչվում է որպես կից (փոխադարձ, կից) $ A $ մատրիցին։

Եթե ​​լուծումը կատարվում է ձեռքով, ապա առաջին մեթոդը լավ է միայն համեմատաբար փոքր պատվերների մատրիցների համար՝ երկրորդ (), երրորդ (), չորրորդ (): Այլ մեթոդներ օգտագործվում են ավելի բարձր կարգի մատրիցի հակադարձը գտնելու համար։ Օրինակ՝ Գաուսի մեթոդը, որը քննարկվում է երկրորդ մասում։

Օրինակ # 1

Գտեք $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Քանի որ չորրորդ սյունակի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա $ \ Delta A = 0 $ (այսինքն $ A $ մատրիցը այլասերված է): Քանի որ $ \ Delta A = 0 $, մատրիցը հակադարձ $ A $ մատրիցին գոյություն չունի:

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ վերջ (զանգված) \ աջ) մատրիցի հակադարձը:

Մենք օգտագործում ենք հարակից մատրիցային մեթոդը: Նախ, մենք գտնում ենք տրված $ A $ մատրիցայի որոշիչը.

$$ \ Delta A = \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103: $$

Քանի որ $ \ Delta A \ neq 0 $, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, հետևաբար մենք կշարունակենք լուծումը: Հանրահաշվական լրացումներ գտնելը

\ սկիզբ (հավասարեցված) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ վերջ (հավասարեցված)

Մենք կազմում ենք մատրիցա հանրահաշվական լրացումներից՝ $ A ^ (*) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Տեղափոխեք ստացված մատրիցը՝ $ (A ^ (*)) ^ T = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $ (արդյունք մատրիցը հաճախ կոչվում է որպես $ A $ մատրիցին կից կամ կից մատրիցա): Օգտագործելով $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ բանաձևը, մենք ունենք.

$$ A ^ (- 1) = \ ֆրակ (1) (- 103) \ cdot \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $$

Այսպիսով, գտնվել է հակադարձը՝ $ A ^ (- 1) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $. Արդյունքի ճշմարտացիությունը ստուգելու համար բավական է ստուգել հավասարություններից մեկի ճշմարտացիությունը՝ $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ կամ $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $: Եկեք ստուգենք $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ հավասարությունը: Կոտորակների հետ ավելի քիչ աշխատելու համար մենք կփոխարինենք $ A ^ (- 1) $ մատրիցը ոչ $ \ ձախ (\ սկսել (զանգված) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 ձևով: & 5/103 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $, և որպես $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Պատասխանել$ A ^ (- 1) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ վերջ (զանգված) \ աջ) մատրիցի հակադարձ կողմը:

Սկսենք $ A $ մատրիցայի որոշիչի հաշվարկից։ Այսպիսով, $ A $ մատրիցայի որոշիչը հետևյալն է.

$$ \ Delta A = \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (cc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = 18-36 + 56-12 = 26: $$

Քանի որ $ \ Delta A \ neq 0 $, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի, հետևաբար մենք կշարունակենք լուծումը: Մենք գտնում ենք տվյալ մատրիցայի յուրաքանչյուր տարրի հանրահաշվական լրացումները.

Մենք կազմում ենք հանրահաշվական լրացումների մատրիցա և փոխադրում այն.

$$ A ^ * = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ վերջ (զանգված) \ աջ); \; (A ^ *) ^ T = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $$

Օգտագործելով $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ բանաձևը, մենք ստանում ենք.

$$ A ^ (- 1) = \ ֆրակ (1) (26) \ cdot \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ վերջ (զանգված) \ աջ) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $$

Այսպիսով, $ A ^ (- 1) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $: Արդյունքի ճշմարտացիությունը ստուգելու համար բավական է ստուգել հավասարություններից մեկի ճշմարտացիությունը՝ $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ կամ $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $: Եկեք ստուգենք $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ հավասարությունը: Կոտորակների հետ ավելի քիչ աշխատելու համար մենք կփոխարինենք $ A ^ (- 1) $ մատրիցը ոչ $ \ ձախ (\ սկսել (զանգված) (cc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ ձևով։ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $, և որպես $ \ ֆրակ (1) (26) \ cdot \ ձախ ( \ սկիզբ (զանգված) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Ստուգումը հաջող էր, հակադարձ $ A ^ (- 1) $ ճիշտ է գտնվել:

Պատասխանել$ A ^ (- 1) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Օրինակ թիվ 4

Գտեք $ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 հակադարձը & -8 & -3 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Չորրորդ կարգի մատրիցների համար հանրահաշվական լրացումների միջոցով հակադարձ մատրիցը գտնելը որոշ չափով դժվար է: Այնուամենայնիվ, նման օրինակներ կան թեստային փաստաթղթերում:

Մատրիցի հակադարձը գտնելու համար նախ պետք է հաշվարկել $ A $ մատրիցայի որոշիչը: Այս իրավիճակում դա անելու լավագույն միջոցը տողով (սյունակով) որոշիչն ընդլայնելն է: Մենք ընտրում ենք ցանկացած տող կամ սյունակ և գտնում ենք ընտրված տողի կամ սյունակի յուրաքանչյուր տարրի հանրահաշվական լրացումները:

Մատրիցային հանրահաշիվ - հակադարձ մատրիցա

հակադարձ մատրիցա

Հակադարձ մատրիցակոչվում է մատրիցա, որը աջից և ձախից տրված մատրիցով բազմապատկելու դեպքում տալիս է նույնականության մատրիցը:
Եկեք նշենք մատրիցը հակադարձ մատրիցով Ամիջոցով, ապա, ըստ սահմանման, ստանում ենք.

որտեղ ԵԻնքնության մատրիցան է:
Քառակուսի մատրիցականչեց ոչ հատուկ (ոչ այլասերված) եթե նրա որոշիչը զրո չէ։ Հակառակ դեպքում կոչվում է հատուկ (այլասերված) կամ եզակի.

Գործում է հետևյալ թեորեմը. յուրաքանչյուր ոչ եզակի մատրիցա ունի հակադարձ:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու գործողությունը կոչվում է բողոքարկելմատրիցներ. Դիտարկենք մատրիցային ինվերսիայի ալգորիթմը: Թող տրվի ոչ եզակի մատրիցա n-րդ կարգը:

որտեղ Δ = det Ա ≠ 0.

Տարրի հանրահաշվական լրացումմատրիցներ n-րդ կարգը Ամատրիցայի որոշիչ ( n–1) ջնջելով ստացված կարգը ես-րդ գիծը և ժմատրիցայի րդ սյունակը Ա:

Կազմենք այսպես կոչված կիցմատրիցա:

որտեղ են մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումները Ա.
Նշենք, որ մատրիցայի տողերի տարրերի հանրահաշվական լրացումները Ատեղադրվում են մատրիցայի համապատասխան սյունակներում Ã , այսինքն, մատրիցը փոխադրվում է միաժամանակ:
Մատրիցայի բոլոր տարրերը բաժանելով Ã Δ-ով - մատրիցայի որոշիչի արժեքը Ա, արդյունքում մենք ստանում ենք հակադարձ մատրիցը.

Մենք նշում ենք հակադարձ մատրիցայի մի շարք հատուկ հատկություններ.
1) տրված մատրիցայի համար Ադրա հակադարձ մատրիցը միակն է;
2) եթե կա հակադարձ մատրիցա, ապա աջ հակադարձև ձախ հետադարձմատրիցները համընկնում են դրա հետ;
3) հատուկ (դեգեներատիվ) քառակուսի մատրիցը չունի հակադարձ մատրից:

Հակադարձ մատրիցայի հիմնական հատկությունները.
1) հակադարձ մատրիցի որոշիչը և սկզբնական մատրիցի որոշիչը փոխադարձ արժեքներ են.
2) քառակուսի մատրիցների արտադրյալի հակադարձ մատրիցը հավասար է հակառակ հերթականությամբ վերցված գործոնների հակադարձ մատրիցների արտադրյալին.

3) մատրիցի փոխադրված հակադարձությունը հավասար է տվյալ փոխադրված մատրիցի հակադարձին.

ՕՐԻՆԱԿ Հաշվի՛ր տրված մատրիցայի հակադարձը։

Թող լինի n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա

A -1 մատրիցը կոչվում է հակադարձ մատրիցա A մատրիցի նկատմամբ, եթե A * A -1 = E, որտեղ E-ն n-րդ կարգի միավորի մատրիցն է:

Միավորի մատրիցա- այսպիսի քառակուսի մատրիցա, որում վերին ձախ անկյունից ներքևի աջ անկյուն անցնող հիմնական անկյունագծով բոլոր տարրերը մեկ են, իսկ մնացածը զրո են, օրինակ.

հակադարձ մատրիցակարող է գոյություն ունենալ միայն քառակուսի մատրիցների համարդրանք. նույն թվով տողեր և սյունակներ ունեցող մատրիցների համար:

Հակադարձ մատրիցայի գոյության պայմանի թեորեմը

Որպեսզի մատրիցն ունենա հակադարձ մատրիցա, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն լինի ոչ այլասերված:

A = (A1, A2, ... A n) մատրիցը կոչվում է ոչ այլասերվածեթե սյունակների վեկտորները գծային անկախ են: Մատրիցի գծային անկախ սյունակային վեկտորների թիվը կոչվում է մատրիցայի աստիճան: Հետևաբար, կարող ենք ասել, որ հակադարձ մատրիցայի գոյության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի իր չափին, այսինքն. r = n.

Հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ

1. Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման աղյուսակում գրի՛ր Ա մատրիցը և աջից (հավասարումների աջ կողմերի տեղում) նշանակի՛ր E մատրիցը։
2. Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումը, կրճատեք A մատրիցը մինչև միավոր սյունակներից բաղկացած մատրիցա; այս դեպքում անհրաժեշտ է միաժամանակ վերափոխել E մատրիցը։
3. Անհրաժեշտության դեպքում վերադասավորեք վերջին աղյուսակի տողերը (հավասարումները) այնպես, որ սկզբնական աղյուսակի A մատրիցի տակ ստանանք միավոր E մատրիցը։
4. Դուրս գրեք A -1 հակադարձ մատրիցը, որը գտնվում է սկզբնական աղյուսակի E մատրիցի տակ գտնվող վերջին աղյուսակում:

Օրինակ 1

A մատրիցի համար գտե՛ք A -1 հակադարձ մատրիցը

Լուծում. Մենք գրում ենք A մատրիցը և աջ կողմում վերագրում ենք նույնականության մատրիցը E: Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումները, մենք կրճատում ենք A մատրիցը մինչև E նույնական մատրիցը: Հաշվարկները ներկայացված են աղյուսակ 31.1-ում:

Ստուգենք հաշվարկների ճիշտությունը՝ բազմապատկելով սկզբնական A մատրիցը և A -1 հակադարձ մատրիցը։

Մատրիցային բազմապատկման արդյունքում ստացվում է միավորի մատրիցը: Հետեւաբար, հաշվարկները ճիշտ են։

Պատասխան.

Մատրիցային հավասարումների լուծում

Մատրիցային հավասարումները կարող են լինել հետևյալ ձևով.

AX = B, XA = B, AXB = C,

որտեղ A, B, C-ը նշված մատրիցներն են, X-ը պահանջվող մատրիցն է:

Մատրիցային հավասարումները լուծվում են հավասարումը հակադարձ մատրիցներով բազմապատկելով:

Օրինակ, հավասարումից մատրիցա գտնելու համար այդ հավասարումը բազմապատկվում է ձախով:

Հետևաբար, հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել հակադարձ մատրիցը և այն բազմապատկել հավասարման աջ կողմի մատրիցով:

Նմանապես լուծվում են նաև այլ հավասարումներ։

Օրինակ 2

Լուծե՛ք AX = B հավասարումը, եթե

ԼուծումՔանի որ մատրիցայի հակառակն է (տես օրինակ 1)

Մատրիցային մեթոդ տնտեսական վերլուծության մեջ

Մյուսների հետ միասին նրանք նաև կիրառություն են գտնում մատրիցային մեթոդներ... Այս մեթոդները հիմնված են գծային և վեկտոր-մատրիցային հանրահաշվի վրա: Նման մեթոդներն օգտագործվում են բարդ և բազմաչափ տնտեսական երևույթների վերլուծության համար։ Ամենից հաճախ այդ մեթոդները կիրառվում են, երբ անհրաժեշտ է կազմակերպությունների և դրանց կառուցվածքային ստորաբաժանումների գործունեության համեմատական ​​գնահատում:

Վերլուծության մատրիցային մեթոդների կիրառման գործընթացում կարելի է առանձնացնել մի քանի փուլ.

Առաջին փուլումձևավորվում է տնտեսական ցուցանիշների համակարգ և դրա հիման վրա կազմվում է սկզբնական տվյալների մատրիցա, որն իրենից ներկայացնում է աղյուսակ, որտեղ համակարգի համարները ցուցադրվում են իր առանձին տողերում։ (i = 1,2, ...., n), իսկ ուղղահայաց սյունակների երկայնքով `ցուցանիշների թվերը (j = 1,2, ...., մ).

Երկրորդ փուլումյուրաքանչյուր ուղղահայաց սյունակի համար բացահայտվում է ցուցիչների առկա արժեքներից ամենամեծը, որը վերցվում է որպես միավոր:

Դրանից հետո այս սյունակում արտացոլված բոլոր գումարները բաժանվում են ամենամեծ արժեքով և ձևավորվում է ստանդարտացված գործակիցների մատրիցա։

Երրորդ փուլումմատրիցայի բոլոր բաղկացուցիչ մասերը քառակուսի են։ Եթե ​​դրանք տարբեր նշանակություն ունեն, ապա մատրիցայի յուրաքանչյուր ցուցիչին նշանակվում է որոշակի կշռման գործոն կ... Վերջինիս արժեքը որոշվում է փորձագիտական ​​դատողությամբ։

Վերջում, չորրորդ փուլհայտնաբերված գնահատականների արժեքները Ռ ժխմբավորվում են ըստ աճի կամ նվազման:

Նախանշված մատրիցային մեթոդները պետք է օգտագործվեն, օրինակ, տարբեր ներդրումային նախագծերի համեմատական ​​վերլուծության, ինչպես նաև կազմակերպությունների գործունեության այլ տնտեսական ցուցանիշների գնահատման ժամանակ: