Արտահայտությունների փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմների, օրինակների, լուծումների հատկությունները: Արտահայտությունների փոխակերպում լոգարիթմների հատկություններով. օրինակներ, լուծումներ Լոգարիթմական արտահայտություններ լուծումների օրինակներ

Բ7 խնդիրը տալիս է արտահայտություն, որը պետք է պարզեցվի: Արդյունքը պետք է լինի սովորական թիվ, որը կարելի է գրել պատասխանների թերթիկի վրա: Բոլոր արտահայտությունները պայմանականորեն բաժանված են երեք տեսակի.

լոգարիթմական,
Ցույց,
Համակցված.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտություններն իրենց մաքուր ձևով գրեթե երբեք չեն գտնվել։ Այնուամենայնիվ, իմանալը, թե ինչպես են դրանք հաշվարկվում, կարևոր է:

Ընդհանուր առմամբ, B7 խնդիրը լուծվում է բավականին պարզ և բավականին միջին շրջանավարտի ուժերի սահմաններում է։ Հստակ ալգորիթմների բացակայությունը փոխհատուցվում է դրա ստանդարտով և միատեսակությամբ: Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները պարզապես շատ մարզումների միջոցով:

Լոգարիթմական արտահայտություններ

B7 խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը պարունակում է լոգարիթմներ այս կամ այն ձևով: Այս թեման ավանդաբար համարվում է բարդ, քանի որ այն սովորաբար ուսումնասիրվում է 11-րդ դասարանում՝ ավարտական քննություններին զանգվածային պատրաստվելու դարաշրջանում: Արդյունքում շատ շրջանավարտներ շատ աղոտ պատկերացում ունեն լոգարիթմների մասին։

Բայց այս առաջադրանքում ոչ ոք չի պահանջում խորը տեսական գիտելիքներ։ Մենք կհանդիպենք միայն ամենապարզ արտահայտություններին, որոնք պահանջում են պարզ հիմնավորում և կարող են լավ տիրապետել ինքնուրույն: Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք պետք է իմանաք լոգարիթմների հետ գործ ունենալու համար.

Բացի այդ, պետք է կարողանալ արմատներն ու կոտորակները փոխարինել հզորություններով ռացիոնալ ցուցիչով, այլապես որոշ արտահայտություններում պարզապես լոգարիթմի նշանի տակից հանելու բան չի լինի։ Փոխարինման բանաձևեր.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները.
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Առաջին երկու արտահայտությունները փոխակերպվում են որպես լոգարիթմների տարբերություն.
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3։

Երրորդ արտահայտությունը հաշվարկելու համար դուք պետք է ընտրեք աստիճաններ՝ և՛ հիմքում, և՛ արգումենտում: Նախ, եկեք գտնենք ներքին լոգարիթմը.

Ապա - արտաքին:

log a log b x-ի նման կառուցումները շատերին թվում են բարդ և սխալ ընկալված: Մինչդեռ սա ընդամենը լոգարիթմի լոգարիթմն է, այսինքն. log a (log b x ). Սկզբում հաշվարկվում է ներքին լոգարիթմը (տեղադրել log b x = c ), իսկ հետո արտաքինը՝ log a c :

էքսպոնենցիալ արտահայտություններ

Էքսպոնենցիալ արտահայտություն կկոչենք a k ձևի ցանկացած կառուցում, որտեղ a և k թվերը կամայական հաստատուններ են, և a > 0: Նման արտահայտությունների հետ աշխատելու մեթոդները բավականին պարզ են և դիտարկվում են 8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերին:

Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք պետք է իմանաք: Այս բանաձեւերի կիրառումը գործնականում, որպես կանոն, խնդիրներ չի առաջացնում։

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n − m;
(a n) m = a n m;
(ա բ) n = a n b n;
(a : b ) n = a n : b n .

Եթե հանդիպում է ուժերով բարդ արտահայտություն, և պարզ չէ, թե ինչպես մոտենալ դրան, ապա օգտագործվում է ունիվերսալ տեխնիկա՝ տարրալուծում պարզ գործոնների: Արդյունքում, աստիճանների հիմքերում մեծ թվերը փոխարինվում են պարզ և հասկանալի տարրերով։ Այնուհետև մնում է միայն կիրառել վերը նշված բանաձևերը, և խնդիրը կլուծվի:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքները՝ 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2:

Լուծում. Մենք ուժի բոլոր հիմքերը բաժանում ենք հիմնական գործոնների.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189:
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6:
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Համակցված առաջադրանքներ

Եթե գիտեք բանաձևերը, ապա բոլոր էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտությունները լուծվում են բառացիորեն մեկ տողում։ Այնուամենայնիվ, B7 խնդրի դեպքում հզորությունները և լոգարիթմները կարող են համակցվել՝ կազմելով բավականին ուժեղ համակցություններ:

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասի տեսակը.գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս

Նպատակները:

թարմացնել ուսանողների գիտելիքները լոգարիթմների և դրանց հատկությունների վերաբերյալ՝ որպես ընդհանրացնող կրկնության և քննության նախապատրաստման մաս.
նպաստել ուսանողների մտավոր գործունեության զարգացմանը, տեսական գիտելիքները վարժություններ կատարելիս կիրառելու հմտություններին.
նպաստել ուսանողների անձնական որակների զարգացմանը, ինքնատիրապետման հմտություններին և նրանց գործունեության ինքնագնահատմանը. մշակել աշխատասիրություն, համբերություն, հաստատակամություն, անկախություն:

Սարքավորումներ:համակարգիչ, պրոյեկտոր, շնորհանդես (Հավելված 1), քարտեր տնային աշխատանքով (կարող եք էլեկտրոնային օրագրում առաջադրանքով ֆայլ կցել):

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ. Ողջույն, պատրաստվեք դասին։

II. Տնային աշխատանքների քննարկում.

III. Հաղորդագրություն դասի թեմայի և նպատակի մասին: Մոտիվացիա.(Սլայդ 1) Ներկայացում.

Շարունակում ենք մաթեմատիկայի դասընթացի ընդհանրական կրկնությունը՝ նախապատրաստվելով քննությանը։ Իսկ այսօր դասին կխոսենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների մասին։

Լոգարիթմների հաշվարկման և լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման առաջադրանքներն անպայմանորեն առկա են ինչպես հիմնական, այնպես էլ պրոֆիլային մակարդակների հսկիչ և չափիչ նյութերում: Հետևաբար, մեր դասի նպատակն է վերականգնել պատկերացումները «լոգարիթմ» հասկացության իմաստի մասին և թարմացնել լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման հմտությունները: Գրեք դասի թեման ձեր տետրերում:

IV. Գիտելիքների թարմացում:

1. /Բանավոր/Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ է կոչվում լոգարիթմ: (Սլայդ 2)

(Դրական b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա (որտեղ a > 0, a? 1) այն ցուցանիշն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a թիվը՝ b թիվը ստանալու համար)

Մատյան a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Այսպիսով, «LOGARIFM»-ը «ԷԿՊՈՆԵՆՏ» է:

(Սլայդ 3) Այնուհետև a n = b-ը կարող է վերաշարադրվել որպես = b-ը հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է:

Եթե հիմքը a \u003d 10 է, ապա լոգարիթմը կոչվում է տասնորդական և նշվում է lgb:

Եթե a \u003d e, ապա լոգարիթմը կոչվում է բնական և նշվում lnb-ով:

2. /Գրավոր/ (Սլայդ 4)Լրացրեք բացերը՝ ճիշտ հավասարումներ ստանալու համար.

գերան? x + Մուտքագրեք a ? = Մատյան. (?y)

մուտք ա ? - Մատյան? y = Մատյան. (x/?)

Մատյան x ? = pLog? (?)

Փորձաքննություն:

մեկ; մեկ; a,y,x; x, a, a,y; p, a, x.

Սրանք լոգարիթմների հատկություններ են: Եվ մեկ այլ խումբ հատկություններ. (Սլայդ 5)

Փորձաքննություն:

a,1,n,x; n, x, p, a; x,b,a,y; a, x, b; ա, 1, բ.

V. Բանավոր աշխատանք

(Սլայդ 6) Թիվ 1. Հաշվարկել:

Ա Բ Գ Դ) ; ե) .

Պատասխանները ա) 4; բ) - 2; 2-ում; դ) 7; ե) 27.

(Սլայդ 7) Թիվ 2. Գտեք X:

ա); բ) (Պատասխաններ՝ ա) 1/4; բ) 9).

Թիվ 3. Արդյո՞ք իմաստ ունի նման լոգարիթմ դիտարկելը.

ա); բ) ; v)? (ոչ)

VI. Անկախ աշխատանք խմբերով, ուժեղ ուսանողներ՝ խորհրդատուներ. (Սլայդ 8)

#1 Հաշվարկել. .

#2 Պարզեցնել.

Թիվ 3. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը, եթե

#4 Պարզեցրեք արտահայտությունը.

#5 Հաշվարկել.

#6 Հաշվարկել.

#7 Հաշվարկել.

#8 Հաշվարկել.

Ավարտից հետո - ստուգում և քննարկում պատրաստված լուծման վերաբերյալ կամ փաստաթղթային տեսախցիկի օգնությամբ:

VII. Բարձրացված բարդության առաջադրանքի լուծում(տախտակի վրա ուժեղ ուսանող է, մնացածը նոթատետրերում են) (Սլայդ 9)

Գտեք արտահայտության արժեքը.

VIII. Տնային աշխատանքը (քարտերի վրա) տարբերակված է.(Սլայդ 10)

Թիվ 1. Հաշվարկել:

Թիվ 2. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Ֆ.Ֆ.Լիսենկո և ուրիշներ Մաթեմատիկա. Թեմատիկ թեստեր 10 - 11 դասարաններ. Մաս 1 / Դոնի Ռոստով. «Լեգիոն», 2008 թ

Վ.Վ. Կոչագին Ինտենսիվ մարզում. ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ Մաթեմատիկա. / M: «Eksmo», 2008 թ

ԻՆՏԵՐՆԵՏ ՌԵՍՈՒՐՍՆԵՐ.

Լ.Վ.Արտամոնովա, մաթեմատիկայի ուսուցիչ, Մոսկալենսկի ճեմարանի շնորհանդես «Լոգարիթմների երկրում»
Ա.Ա. Կուկշևա, MOU «Եգորիևսկայայի միջնակարգ դպրոց» շնորհանդես «Լոգարիթմները և դրանց հատկությունները»

Առաջադրանքներ, որոնց լուծումն է լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպում, բավականին հաճախ հայտնաբերված քննության ժամանակ:

Դրանց հետ նվազագույն ժամանակ ծախսելով հաջողությամբ հաղթահարելու համար, բացի հիմնական լոգարիթմական նույնականություններից, անհրաժեշտ է իմանալ և ճիշտ օգտագործել ևս մի քանի բանաձևեր:

Սա է՝ a log a b = b, որտեղ a, b > 0, a ≠ 1 (դա ուղղակիորեն բխում է լոգարիթմի սահմանումից):

log a b = log c b / log c a կամ log a b = 1/log b a
որտեղ a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |բ|
որտեղ a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0:

a log c b = b log c a
որտեղ a, b, c > 0 և a, b, c ≠ 1

Չորրորդ հավասարության վավերականությունը ցույց տալու համար վերցնում ենք ձախ և աջ կողմերի լոգարիթմը a հիմքում։ Մենք ստանում ենք log a (a log c b) = log a (b log c a) կամ log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log b-ով = log b-ով:

Մենք ապացուցել ենք լոգարիթմների հավասարությունը, ինչը նշանակում է, որ լոգարիթմների տակ գտնվող արտահայտությունները նույնպես հավասար են։ Ֆորմուլա 4-ն ապացուցված է.

Օրինակ 1

Հաշվիր 81 լոգ 27 5 լոգ 5 4։

Լուծում.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Հետևաբար,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Այնուհետեւ 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4:

Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հետևյալ առաջադրանքը.

Հաշվել (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

Որպես հուշում, 0.2 = 1/5 = 5 -1; log 0.2 5 = -1.

Պատասխան՝ 5.

Օրինակ 2

Հաշվել (√11) գերան √3 9 լոգ 121 81 .

Լուծում.

Փոխարինենք արտահայտությունները՝ 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, մատյան 121 81 = 2 լոգ 11 3 (օգտագործվել է 3-րդ բանաձևը):

Այնուհետեւ (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 լոգ 11 3) = 121/3.

Օրինակ 3

Հաշվել մատյան 2 24 / մատյան 96 2 - մատյան 2 192 / մատյան 12 2:

Լուծում.

Օրինակում պարունակվող լոգարիթմները կփոխարինենք 2-րդ հիմքով լոգարիթմներով։

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3):

Ապա log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + մատյան 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Փակագծերը բացելուց և համանման տերմինները կրճատելուց հետո ստանում ենք 3 թիվը: (Արտահայտությունը պարզեցնելիս log 2 3-ը կարելի է նշանակել n-ով և պարզեցնել արտահայտությունը.

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)):

Պատասխան՝ 3.

Դուք կարող եք ինքնուրույն անել հետևյալը.

Հաշվել (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Այստեղ անհրաժեշտ է 3-րդ հիմքում անցում կատարել լոգարիթմների և տարրալուծվել մեծ թվերի պարզ գործակիցների։

Պատասխան՝ 1/2

Օրինակ 4

Տրված է երեք թվեր A \u003d 1 / (log 3 0.5), B \u003d 1 / (log 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. Դասավորեք դրանք աճման կարգով:

Լուծում.

Եկեք փոխակերպենք թվերը A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3; C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2:

Եկեք համեմատենք դրանք

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 և log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Կամ 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Պատասխանել. Հետևաբար, թվերի տեղադրման կարգը՝ C; Ա; Վ.

Օրինակ 5

Քանի՞ ամբողջ թիվ կա միջակայքում (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48):

Լուծում.

Եկեք որոշենք, թե 3 թվի որ ուժերի միջև է 1/16 թիվը։ Մենք ստանում ենք 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Քանի որ y \u003d log 3 x ֆունկցիան մեծանում է, ապա log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3): Համեմատեք մատյան 6 (4/3) և 1/5: Եվ դրա համար մենք համեմատում ենք 4 / 3 և 6 1/5 թվերը: Երկու թվերն էլ բարձրացրեք 5-րդ աստիճանի։ Մենք ստանում ենք (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

մատյան 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Հետևաբար, միջակայքը (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ներառում է [-2; 4] և դրա վրա դրված են -2 ամբողջ թվեր; - մեկ; 0; մեկ; 2; 3; 4.

Պատասխան՝ 7 ամբողջ թիվ:

Օրինակ 6

Հաշվեք 3 lglg 2 / lg 3 - lg20:

Լուծում.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2:

Այնուհետեւ 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1:

Պատասխան՝ -1.

Օրինակ 7

Հայտնի է, որ log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Գտեք log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2):

Լուծում.

Համարներ (√3 + 1) և (√3 - 1); (√6 - 2) և (√6 + 2) խոնարհված են:

Կատարենք արտահայտությունների հետևյալ փոխակերպումը

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2):

Այնուհետև log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Մատյան 2 2 – մատյան 2 (√3 + 1) + մատյան 2 2 – մատյան 2 (√6 – 2) = 1 – մատյան 2 (√3 + 1) + 1 – մատյան 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - Ա.

Պատասխան՝ 2 - Ա.

Օրինակ 8.

Պարզեցրե՛ք և գտե՛ք արտահայտության մոտավոր արժեքը (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Լուծում.

Մենք նվազեցնում ենք բոլոր լոգարիթմները 10-ի ընդհանուր հիմքի վրա:

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010: (lg 2-ի մոտավոր արժեքը կարելի է գտնել աղյուսակի, սլայդի կանոնի կամ հաշվիչի միջոցով):

Պատասխան՝ 0.3010։

Օրինակ 9.

Հաշվեք log a 2 b 3 √(a 11 b -3), եթե log √ a b 3 = 1: (Այս օրինակում a 2 b 3-ը լոգարիթմի հիմքն է):

Լուծում.

Եթե log √ a b 3 = 1, ապա 3/(0.5 log a b = 1. Եվ գրանցամատյան a b = 1/6:

Այնուհետև գրանցեք a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2 (log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)) այդ լոգը և b = 1/6 մենք ստանում ենք (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1:

Պատասխան՝ 2.1.

Դուք կարող եք ինքնուրույն անել հետևյալը.

Հաշվեք մատյան √3 6 √2.1, եթե մատյան 0.7 27 = ա.

Պատասխան՝ (3 + ա) / (3ա):

Օրինակ 10

Հաշվի՛ր 6,5 4/ լոգ 3 169 3 1/ լոգ 4 13 + լոգ125։

Լուծում.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (բանաձև 4))

Մենք ստանում ենք 9 + 6 = 15:

Պատասխան՝ 15.

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք, թե ինչպես գտնել լոգարիթմական արտահայտության արժեքը:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Այժմ ընդհանուր տեսանկյունից կանդրադառնանք լոգարիթմներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպմանը։ Այստեղ մենք կվերլուծենք ոչ միայն արտահայտությունների փոխակերպումը, օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, այլ կդիտարկենք արտահայտությունների փոխակերպումը ընդհանուր լոգարիթմներով, որոնք պարունակում են ոչ միայն լոգարիթմներ, այլև ուժեր, կոտորակներ, արմատներ և այլն: Ինչպես միշտ, մենք բոլոր նյութերը կտրամադրենք բնորոշ օրինակներով՝ լուծումների մանրամասն նկարագրությամբ:

Էջի նավարկություն.

Արտահայտություններ լոգարիթմներով և լոգարիթմական արտահայտություններով

Կոտորակներով գործողություններ կատարելը

Նախորդ պարբերությունում մենք վերլուծեցինք հիմնական փոխակերպումները, որոնք կատարվում են լոգարիթմներ պարունակող առանձին կոտորակներով։ Այս փոխակերպումները, իհարկե, կարող են իրականացվել յուրաքանչյուր առանձին կոտորակի հետ, որն ավելի բարդ արտահայտության մաս է, օրինակ՝ ներկայացնելով համանման կոտորակների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և գործակիցը: Բայց բացի առանձին կոտորակների հետ աշխատելուց, նման արտահայտությունների փոխակերպումը հաճախ ենթադրում է կոտորակների հետ համապատասխան գործողություններ կատարել: Հաջորդիվ մենք կքննարկենք այն կանոնները, որոնցով իրականացվում են այդ գործողությունները:

5-6-րդ դասարաններից մենք գիտենք այն կանոնները, որոնցով . Հոդվածում Կոտորակների հետ գործողությունների ընդհանուր տեսքըմենք ընդլայնել ենք այս կանոնները սովորական կոտորակներից մինչև A/B ընդհանուր ձևի կոտորակներ, որտեղ A-ն և B-ն որոշ թվային, բառացի կամ փոփոխականներով արտահայտություններ են, իսկ B-ն նույնականորեն ոչ զրոյական է: Հասկանալի է, որ լոգարիթմներով կոտորակները ընդհանուր կոտորակների հատուկ դեպքեր են։ Եվ այս առումով պարզ է, որ իրենց գրառումներում լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ գործողությունները կատարվում են նույն կանոններով։ Այսինքն:

Նույն հայտարարներով երկու կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար համապատասխանաբար գումարեք կամ հանեք համարիչները, իսկ հայտարարը թողեք նույնը:
Տարբեր հայտարարներով երկու կոտորակներ գումարելու կամ հանելու համար հարկավոր է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի և կատարել համապատասխան գործողությունները՝ համաձայն նախորդ կանոնի։
Երկու կոտորակները բազմապատկելու համար պետք է գրել կոտորակ, որի համարիչը սկզբնական կոտորակների համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալը։
Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է բաժանվող կոտորակը բազմապատկել բաժանարարի փոխադարձով, այսինքն՝ համարիչով և հայտարարով վերադասավորվող կոտորակով։

Ահա լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ գործողություններ կատարելու օրինակներ։

Օրինակ.

Կատարե՛ք գործողություններ լոգարիթմներ պարունակող կոտորակների հետ՝ ա), բ) , v) , Գ) .

Լուծում.

ա) Ավելացված կոտորակների հայտարարներն ակնհայտորեն նույնն են. Հետևաբար, ըստ նույն հայտարարներով կոտորակների գումարման կանոնի, մենք գումարում ենք համարիչները, իսկ հայտարարը թողնում ենք նույնը. .

բ) Այստեղ հայտարարները տարբեր են. Հետեւաբար, նախ ձեզ հարկավոր է կոտորակները բերել նույն հայտարարի. Մեր դեպքում հայտարարներն արդեն ներկայացված են որպես արտադրյալներ, և մեզ մնում է վերցնել առաջին կոտորակի հայտարարը և դրան ավելացնել երկրորդ կոտորակի հայտարարից բացակայող գործոնները։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք ձևի ընդհանուր հայտարար . Այս դեպքում հանված կոտորակները վերածվում են ընդհանուր հայտարարի, օգտագործելով լրացուցիչ գործոններ՝ համապատասխանաբար լոգարիթմի և x 2 ·(x+1) տեսքով: Դրանից հետո մնում է հանել նույն հայտարարներով կոտորակները, ինչը դժվար չէ։

Այսպիսով, լուծումը հետևյալն է.

գ) Հայտնի է, որ կոտորակների բազմապատկման արդյունքը կոտորակն է, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալն է, հետևաբար.

Հեշտ է տեսնել, որ դա հնարավոր է ֆրակցիայի կրճատումերկուսով և տասնորդական լոգարիթմով, արդյունքում ունենք .

դ) Կոտորակների բաժանումից անցնում ենք բազմապատկման՝ կոտորակ-բաժանարարը փոխարինելով իր փոխադարձով։ Այսպիսով

Ստացված կոտորակի համարիչը կարող է ներկայացվել այսպես , որից հստակ երևում է համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը՝ x գործակիցը, դրանով կարող եք կրճատել կոտորակը.

Պատասխան.

ա), բ) , v) , Գ) .

Պետք է հիշել, որ կոտորակների հետ գործողություններն իրականացվում են՝ հաշվի առնելով գործողությունների կատարման հերթականությունը՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում, իսկ եթե կան փակագծեր, ապա նախ կատարվում են փակագծերի գործողություններ։

Օրինակ.

Կատարեք գործողություններ կոտորակներով .

Լուծում.

Նախ՝ փակագծերում կատարում ենք կոտորակների գումարում, որից հետո կիրականացնենք բազմապատկում.

Պատասխան.

Այս պահին մնում է բարձրաձայն ասել երեք բավականին ակնհայտ, բայց միևնույն ժամանակ կարևոր կետեր.

Արտահայտությունների փոխակերպում՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները

Ամենից հաճախ լոգարիթմներով արտահայտությունների փոխակերպումը ներառում է նույնականությունների օգտագործում, որոնք արտահայտում են լոգարիթմի սահմանումը և . Օրինակ՝ հղում անելով a log ab =b , a>0, a≠1, b>0 հիմնական լոգարիթմական նույնականությանը, մենք կարող ենք x−5 log 5 7 արտահայտությունը ներկայացնել որպես x−7, և անցման բանաձևը. գերանի նոր հիմքը , որտեղ a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 հնարավորություն է տալիս արտահայտությունից անցնել 1−lnx տարբերությանը։

Արմատների, հզորությունների, եռանկյունաչափական ինքնությունների հատկությունների կիրառում և այլն:

Լոգարիթմներով արտահայտությունները, բացի բուն լոգարիթմներից, գրեթե միշտ պարունակում են ուժեր, արմատներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և այլն։ Հասկանալի է, որ նման արտահայտությունները փոխակերպելու համար, լոգարիթմների հատկությունների հետ մեկտեղ, կարող են պահանջվել նաև հզորությունների, արմատների հատկություններ և այլն։ Մենք առանձին-առանձին վերլուծել ենք հատկությունների յուրաքանչյուր բլոկի կիրառումը արտահայտությունների փոխակերպման համար, համապատասխան հոդվածների հղումները կարելի է գտնել կայքի www.site արտահայտությունների և դրանց փոխակերպման բաժնում: Այստեղ մենք ցույց կտանք լոգարիթմների հետ համատեղ հատկությունների օգտագործման մի քանի օրինակների լուծումը:

Օրինակ.

Պարզեցնել արտահայտությունը .

Լուծում.

Նախ փոխակերպենք արմատներով արտահայտությունները։ ODZ x փոփոխականի վրա բնօրինակ արտահայտության համար (որը մեր դեպքում դրական իրական թվերի բազմություն է), կարող եք արմատներից անցնել կոտորակային ցուցիչներով հզորությունների, այնուհետև օգտագործել նույն հիմքերով ուժերը բազմապատկելու հատկությունը. . Այս կերպ,

Այժմ մենք ներկայացնում ենք համարիչը ձևով (որը թույլ է տալիս աստիճանի հատկությունը կատարել աստիճանի մեջ, անհրաժեշտության դեպքում տեսնել աստիճանների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպումը, ինչպես նաև թվի ներկայացումը, որը թույլ է տալիս փոխարինել քառակուսիների գումարը. Նույն փաստարկի սինուսը և կոսինուսը մեկով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք միավորը լոգարիթմի նշանի տակ: A, Ինչպես գիտեք, միասնության լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Գրենք կատարված փոխակերպումները.

Զրոն խորանարդում զրո է, ուստի մենք անցնում ենք արտահայտությանը .

Կոտորակը, որի համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը՝ ոչ զրոյի (մեր դեպքում դա ճիշտ է, քանի որ հեշտ է հիմնավորել, որ արտահայտության արժեքը մեկից տարբերվում է բնական լոգարիթմի նշանով) հավասար է զրոյի։ . Այս կերպ,

Հետագա փոխակերպումները կատարվում են բացասական թվից կենտ աստիճանի արմատը որոշելու հիման վրա. .

Քանի որ 2 15-ը դրական թիվ է, ապա մենք կարող ենք կիրառել արմատների հատկությունները, որոնք հանգեցնում են վերջնական արդյունքի. .

Պատասխան.

հիմնական հատկությունները.

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y):

նույն հիմքերը

log6 4 + log6 9.

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։

Լոգարիթմների լուծման օրինակներ

Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից հետևյալ կանոնների համաձայն.

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը. a > 0, a ≠ 1, x >

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Անցում դեպի նոր հիմք

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև ցանկացած c թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Տես նաեւ:

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարող եք ուսումնասիրել կանոնը. ցուցանիշը 2,7 է և Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվից երկու անգամ:

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:

Օրինակներ լոգարիթմների համար

Վերցրեք արտահայտությունների լոգարիթմը

Օրինակ 1
ա). x=10ac^2 (a>0, c>0):

Ըստ հատկությունների 3,5 հաշվարկում ենք

Օրինակ 2 Գտեք x եթե

Օրինակ 3. Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը

Հաշվեք log(x), եթե

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխարկել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Այս կանոնները պետք է հայտնի լինեն՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր չի կարող լուծվել։ Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ ամեն ինչ կարելի է սովորել մեկ օրում։ Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y):

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմը։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է. նույն հիմքերը. Եթե հիմքերը տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն դիտարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո միանգամայն նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, վերահսկողություն. քննությանը առաջարկվում են նմանատիպ արտահայտություններ ամենայն լրջությամբ (երբեմն՝ գրեթե առանց փոփոխության):

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է նրանց առաջին երկուսին: Բայց դա ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը. a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք լոգարիթմի նշանից առաջ թվերը մուտքագրել հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:

Եկեք ձերբազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը լոգարիթմ է, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են. 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.

Վերջին օրինակը, կարծում եմ, պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։

Լոգարիթմների բանաձևեր. Լոգարիթմները լուծումների օրինակներ են:

Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը պատասխանն է՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե հիմքերը տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև ցանկացած c թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, ապա կստանանք.

Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ հնարավոր է փոխանակել լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտարարի մեջ է:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամին անցնելուց։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների փաստարկները ճշգրիտ ցուցիչներ են: Դուրս բերենք ցուցիչները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Քանի որ արտադրյալը չի փոխվում գործոնների փոխարկումից, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, իսկ հետո պարզեցինք լոգարիթմները:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում պահանջվում է թիվը որպես լոգարիթմ ներկայացնել տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն բանաձևերը.

Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեքն է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.

Իսկապես, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան, որ այս աստիճանի b թիվը տա a թիվը։ Ճիշտ է, սա նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը «կախված» են դրա վրա:

Հիմքի փոխակերպման նոր բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես հիմքից հանել է քառակուսին և լոգարիթմի արգումենտը: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

Եթե ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից 🙂

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք հետևանքներ են լոգարիթմի սահմանումից: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, որքան էլ զարմանալի է, խնդիրներ են ստեղծում անգամ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած a հիմքի վրա հենց այդ հիմքից հավասար է մեկի:
լոգա 1 = 0 է: A հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:

Տես նաեւ:

b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա նշանակում է արտահայտությունը. Հաշվարկել լոգարիթմը նշանակում է գտնել x () այնպիսի հզորություն, որի դեպքում հավասարությունը ճիշտ է

Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները

Վերոնշյալ հատկությունները պետք է հայտնի լինեն, քանի որ դրանց հիման վրա գրեթե բոլոր խնդիրներն ու օրինակները լուծվում են լոգարիթմների հիման վրա: Մնացած էկզոտիկ հատկությունները կարող են ստացվել այս բանաձևերով մաթեմատիկական մանիպուլյացիաների միջոցով

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Լոգարիթմների գումարի և տարբերության բանաձևերը հաշվարկելիս (3.4) հանդիպում են բավականին հաճախ: Մնացածը որոշ չափով բարդ են, բայց մի շարք առաջադրանքներում դրանք անփոխարինելի են բարդ արտահայտությունները պարզեցնելու և դրանց արժեքները հաշվարկելու համար։

Լոգարիթմների ընդհանուր դեպքեր

Ընդհանուր լոգարիթմներից մի քանիսն այն լոգարիթմներն են, որոնց հիմքը նույնիսկ տասը է, էքսպոնենցիալ կամ դյուզ:
Տասը հիմքի լոգարիթմը սովորաբար կոչվում է բազային տասը լոգարիթմ և ուղղակի նշանակվում է lg(x):

Արձանագրությունից երեւում է, որ արձանագրության մեջ հիմնականը գրված չէ։ Օրինակ

Բնական լոգարիթմն այն լոգարիթմն է, որի հիմքում ընկած է ցուցիչը (նշվում է ln(x)):

Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարող եք ուսումնասիրել կանոնը. ցուցանիշը 2,7 է և Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվից երկու անգամ: Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:

Եվ մեկ այլ կարևոր հիմք երկու լոգարիթմն է

Ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է փոփոխականի վրա բաժանվածի

Ինտեգրալ կամ հակաածանցյալ լոգարիթմը որոշվում է կախվածությամբ

Վերոնշյալ նյութը բավարար է, որպեսզի լուծեք լոգարիթմների և լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների լայն դաս։ Նյութը յուրացնելու համար միայն մի քանի ընդհանուր օրինակ բերեմ դպրոցական ծրագրից և բուհերից։

Օրինակներ լոգարիթմների համար

Վերցրեք արտահայտությունների լոգարիթմը

Օրինակ 1
ա). x=10ac^2 (a>0, c>0):

Ըստ հատկությունների 3,5 հաշվարկում ենք

2.
Լոգարիթմների տարբերության հատկությամբ մենք ունենք

3.
Օգտագործելով հատկություններ 3.5 մենք գտնում ենք

Թվացյալ բարդ արտահայտությունը, օգտագործելով մի շարք կանոններ, պարզեցվում է ձևին

Լոգարիթմի արժեքների որոնում

Օրինակ 2 Գտեք x եթե

Լուծում. Հաշվարկի համար մենք կիրառում ենք 5 և 13 հատկությունները մինչև վերջին կիսամյակը

Փոխարինեք արձանագրության մեջ և սգացեք

Քանի որ հիմքերը հավասար են, մենք հավասարեցնում ենք արտահայտությունները

Լոգարիթմներ. Առաջին մակարդակ.

Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը

Հաշվեք log(x), եթե

Լուծում. Վերցրեք փոփոխականի լոգարիթմը, որպեսզի գրեք լոգարիթմը տերմինների գումարի միջոցով

Սա լոգարիթմների և դրանց հատկությունների հետ ծանոթանալու միայն սկիզբն է։ Զբաղվեք հաշվարկներով, հարստացրեք ձեր գործնական հմտությունները. ձեռք բերված գիտելիքները շուտով ձեզ պետք կգան լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար: Ուսումնասիրելով նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները՝ մենք կընդլայնենք ձեր գիտելիքները մեկ այլ ոչ պակաս կարևոր թեմայի՝ լոգարիթմական անհավասարությունների համար...

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

logax + logay = log (x y);
logax − logay = log(x: y):

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log6 4 + log6 9:

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից հետևյալ կանոնների համաձայն.

Ինչպես լուծել լոգարիթմները

Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:

Եկեք ձերբազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Վերջին օրինակը, կարծում եմ, պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։ Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Անցում դեպի նոր հիմք

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև ցանկացած c թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, ապա կստանանք.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.

Հիմքի փոխակերպման նոր բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Եթե ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից 🙂

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած a հիմքի վրա հենց այդ հիմքից հավասար է մեկի:
լոգա 1 = 0 է: A հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է: