Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. Անհամատեղելի համակարգեր. Համակարգեր ընդհանուր լուծումով. Մասնավոր լուծումներ. Ինչպես գտնել գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր և առանձին լուծումը

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ հավասարումների թիվը հավասար է փոփոխականների թվին, այսինքն. m = n. Այնուհետև համակարգի մատրիցը քառակուսի է, և դրա որոշիչը կոչվում է համակարգի որոշիչ։

Հակադարձ մատրիցային մեթոդ

Դիտարկենք ընդհանուր ձևով AX = B հավասարումների համակարգը ոչ դեգեներատիվ քառակուսի մատրիցով A: Այս դեպքում կա A -1 հակադարձ մատրիցա: Եկեք բազմապատկենք երկու կողմերը A -1-ով ձախ կողմում: Մենք ստանում ենք A -1 AX = A -1 V. Հետևաբար EX = A -1 B և

Վերջին հավասարությունը հավասարումների նման համակարգերի լուծումներ գտնելու մատրիցային բանաձև է: Այս բանաձևի օգտագործումը կոչվում է հակադարձ մատրիցային մեթոդ

Օրինակ՝ այս մեթոդով լուծենք հետևյալ համակարգը.

;

Համակարգը լուծելու վերջում կարող եք ստուգել՝ գտնված արժեքները փոխարինելով համակարգի հավասարումների մեջ: Դրանով նրանք պետք է վերածվեն իսկական հավասարությունների։

Դիտարկված օրինակի համար եկեք ստուգենք.

Քառակուսի մատրիցով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ Քրամերի բանաձևերով

Թող n = 2:

Եթե ​​առաջին հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն 22-ով, իսկ երկրորդի երկու կողմերը՝ (-a 12-ով), ապա գումարենք ստացված հավասարումները, ապա մենք համակարգից բացառում ենք x 2 փոփոխականը: Նմանապես, դուք կարող եք վերացնել x 1 փոփոխականը (առաջին հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով (-a 21-ով), իսկ երկրորդի երկու կողմերը 11-ով): Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգը.

Փակագծերում տրված արտահայտությունը համակարգի որոշիչն է

Նշում ենք

Այնուհետև համակարգը կունենա հետևյալ ձևը.

Ստացված համակարգից հետևում է, որ եթե համակարգի որոշիչը 0 է, ապա համակարգը կլինի հետևողական և որոշակի։ Դրա միակ լուծումը կարելի է հաշվարկել բանաձևերով.

Եթե ​​ = 0, և 1 0 և / կամ 2 0, ապա համակարգի հավասարումները կստանան 0 * x 1 =  2 և / կամ 0 * x 1 =  2 ձևը: Այս դեպքում համակարգը անհամապատասխան կլինի:

Այն դեպքում, երբ  =  1 =  2 = 0, համակարգը կլինի հետևողական և անորոշ (այն կունենա անսահման թվով լուծումներ), քանի որ այն կունենա ձև.

Կրամերի թեորեմ(մենք բաց ենք թողնում ապացույցը): Եթե ​​հավասարումների համակարգի մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, որը որոշվում է բանաձևերով.

,

որտեղ  j-ն A մատրիցից ստացված մատրիցի որոշիչն է՝ j-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով:

Վերոնշյալ բանաձեւերը կոչվում են Կրամերի բանաձեւերը.

Որպես օրինակ, մենք օգտագործում ենք այս մեթոդը համակարգը լուծելու համար, որը նախկինում լուծվել է հակադարձ մատրիցային մեթոդով.

Դիտարկվող մեթոդների թերությունները.

1) զգալի աշխատասիրություն (դետերմինանտների հաշվարկ և հակադարձ մատրիցայի հայտնաբերում).

2) սահմանափակ շրջանակ (քառակուսի մատրիցով համակարգերի համար):

Իրական տնտեսական իրավիճակները ավելի հաճախ մոդելավորվում են այնպիսի համակարգերով, որոնցում հավասարումների և փոփոխականների թիվը բավականին նշանակալի է, և կան ավելի շատ հավասարումներ, քան փոփոխականներ, հետևաբար, գործնականում ավելի տարածված է հետևյալ մեթոդը.

Գաուսի մեթոդ (փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ)

Այս մեթոդը օգտագործվում է n փոփոխականներով m գծային հավասարումների համակարգը ընդհանուր ձևով լուծելու համար։ Դրա էությունը համարժեք փոխակերպումների համակարգի ընդլայնված մատրիցային կիրառման մեջ է, որի օգնությամբ հավասարումների համակարգը վերածվում է այն ձևի, երբ դրա լուծումները դառնում են հեշտ գտնելը (եթե այդպիսիք կան):

Սա այն տեսակետն է, որում համակարգի մատրիցայի վերին ձախ մասը կլինի աստիճանավոր մատրիցա: Սա ձեռք է բերվում օգտագործելով նույն տեխնիկան, որն օգտագործվել է աստիճանական մատրիցա ստանալու համար՝ աստիճանը որոշելու համար: Միաժամանակ ընդլայնված մատրիցայի վրա կիրառվում են տարրական փոխակերպումներ, որոնք հնարավորություն կտան ստանալ հավասարումների համարժեք համակարգ։ Դրանից հետո ընդլայնված մատրիցը կստանա հետևյալ ձևը.

Նման մատրիցա ստանալը կոչվում է ուղիղ դասընթացԳաուսի մեթոդ.

Փոփոխականների արժեքները գտնելը համապատասխան հավասարումների համակարգից կոչվում է հակադարձԳաուսի մեթոդ. Եկեք այն համարենք.

Նշենք, որ վերջին (m - r) հավասարումները ունեն ձև.

Եթե ​​թվերից գոնե մեկը
հավասար չէ զրոյի, ապա համապատասխան հավասարությունը կլինի կեղծ, և ամբողջ համակարգը կլինի անհամապատասխան:

Հետեւաբար, ցանկացած համատեղ համակարգի համար
... Այս դեպքում փոփոխականների ցանկացած արժեքի վերջին (m - r) հավասարումները կլինեն նույնականացումներ 0 = 0, և դրանք կարող են անտեսվել համակարգը լուծելիս (պարզապես մերժեք համապատասխան տողերը):

Դրանից հետո համակարգը կունենա հետևյալ ձևը.

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ r = n: Այնուհետև համակարգը կունենա հետևյալ ձևը.

Համակարգի վերջին հավասարումից x r-ը կարելի է միանշանակորեն գտնել:

Իմանալով x r՝ կարելի է նրանից յուրովի արտահայտել x r -1։ Այնուհետև նախորդ հավասարումից, իմանալով x r և x r -1, կարող ենք արտահայտել x r -2 և այլն։ դոքս 1.

Այնպես որ, այս դեպքում համակարգը կլինի միասնական ու որոշակի։

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ ր հիմնական(հիմնական), և բոլոր մյուսները - ոչ հիմնական(ոչ հիմնական, անվճար): Համակարգի վերջին հավասարումը կլինի.

Այս հավասարումից x r հիմնական փոփոխականը կարող է արտահայտվել ոչ հիմքերով.

Նախավերջին հավասարումը կլինի.

Ստացված արտահայտությունը փոխարինելով x r-ի փոխարեն՝ հնարավոր կլինի x r -1 հիմնական փոփոխականն արտահայտել ոչ հիմնականներով։ և այլն: դեպի փոփոխական x 1. Համակարգի լուծում ստանալու համար դուք կարող եք հավասարեցնել ոչ հիմնական փոփոխականները կամայական արժեքներին, այնուհետև հաշվարկել հիմնական փոփոխականները՝ օգտագործելով ստացված բանաձևերը: Այսպիսով, այս դեպքում համակարգը կլինի հետևողական և անորոշ (ունեն լուծումների անսահման հավաքածու):

Օրինակ՝ լուծենք հավասարումների համակարգը.

Կկանչվի հիմնական փոփոխականների բազմությունը հիմքհամակարգեր։ Դրանց համար կկոչվի նաև գործակիցների սյունակների բազմությունը հիմք(հիմնական սյունակներ), կամ բազային անչափահասհամակարգի մատրիցներ. Կկանչվի այն համակարգի լուծումը, որտեղ բոլոր ոչ հիմքային փոփոխականները հավասար են զրոյի հիմնական լուծում.

Նախորդ օրինակում հիմնական լուծումը կլինի (4/5; -17/5; 0; 0) (x 3 և x 4 փոփոխականները (1 և c 2-ով) դրված են զրոյի, իսկ հիմնական փոփոխականները x 1 և x 2-ը հաշվարկվում է դրանց միջոցով) ... Ոչ հիմնական լուծման օրինակ բերելու համար անհրաժեշտ է x 3-ը և x 4-ը (1-ով և 2-ով) հավասարեցնել կամայական թվերին, որոնք միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, և դրանց միջոցով հաշվարկել մնացած փոփոխականները։ Օրինակ, c 1 = 1 և c 2 = 0 համար մենք ստանում ենք ոչ հիմնական լուծում - (4/5; -12/5; 1; 0): Փոխարինման միջոցով հեշտ է ստուգել, ​​որ երկու լուծումներն էլ ճիշտ են:

Ակնհայտ է, որ անորոշ համակարգում կարող են լինել անսահման շատ ոչ հիմնական լուծումներ։ Քանի՞ հիմնական լուծում կարող է լինել: Փոխակերպված մատրիցայի յուրաքանչյուր տող պետք է համապատասխանի մեկ հիմնական փոփոխականի: Խնդրում կա n փոփոխական, իսկ հիմնական տողերում՝ r։ Հետևաբար, հիմնական փոփոխականների բոլոր հնարավոր բազմությունների թիվը չի կարող գերազանցել n-ից մինչև r 2 համակցությունների թիվը: Դա կարող է լինել ավելի քիչ, քան , քանի որ միշտ չէ, որ հնարավոր է համակարգը փոխակերպել այնպիսի ձևի, որ փոփոխականների այս որոշակի խումբը լինի հիմնական:

Սա ի՞նչ տեսակ է։ Սա այնպիսի ձև է, երբ այս փոփոխականների համար գործակիցների սյունակներից ձևավորված մատրիցը աստիճանավոր կլինի և միևնույն ժամանակ կազմված կլինի r տողերից։ Նրանք. Այս փոփոխականների համար գործակիցների մատրիցայի աստիճանը պետք է հավասար լինի r-ին: Այն չի կարող մեծ լինել r-ից, քանի որ սյունակների թիվը հավասար է r-ի: Եթե ​​պարզվում է, որ այն r-ից փոքր է, ապա սա ցույց է տալիս սյունակների գծային կախվածությունը փոփոխականների համար: Նման սյունակները հիմք չեն կարող կազմել։

Եկեք քննարկենք, թե ինչ այլ հիմնական լուծումներ կարելի է գտնել վերը նշված օրինակում: Դա անելու համար հաշվի առեք չորս փոփոխականների բոլոր հնարավոր համակցությունները, երկու հիմնական: Նման համակցություններ կլինեն
, և դրանցից մեկը (x 1 և x 2) արդեն դիտարկվել է։

Վերցնենք x 1 և x 3 փոփոխականները: Եկեք նրանց համար գտնենք գործակիցների մատրիցայի աստիճանը.

Քանի որ այն հավասար է երկուսի, դրանք կարող են լինել հիմնական: Եկեք հավասարեցնենք ոչ հիմնական x 2 և x 4 փոփոխականները զրոյի՝ x 2 = x 4 = 0: Այնուհետև x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 բանաձևից հետևում է, որ x 1 = 4: /5, իսկ x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 բանաձեւից հետեւում է, որ x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Այսպիսով, մենք ստանում ենք հիմնական լուծումը (4/5; 0; 17/5; 0):

Նմանապես, դուք կարող եք ստանալ հիմնական լուծումներ հիմնական փոփոխականների համար x 1 և x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 և x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 և x 4 - (0; 0; 9; 4):

Այս օրինակում x 2 և x 3 փոփոխականները չեն կարող ընկալվել որպես հիմնական, քանի որ համապատասխան մատրիցայի աստիճանը հավասար է մեկին, այսինքն. երկուսից պակաս:

.

Հնարավոր է նաև մեկ այլ մոտեցում՝ որոշելու, թե արդյոք հնարավոր է որոշ փոփոխականների հիմք կազմել, թե ոչ: Օրինակը լուծելիս համակարգի մատրիցը փուլային ձևի վերածելու արդյունքում այն ​​ստացել է ձևը.

Ընտրելով փոփոխականների զույգեր՝ հնարավոր եղավ հաշվարկել այս մատրիցայի համապատասխան մինորները։ Հեշտ է ստուգել, ​​որ բոլոր զույգերի համար, բացի x 2-ից և x 3-ից, դրանք հավասար չեն զրոյի, այսինքն. սյունակները գծային անկախ են: Եվ միայն x 2 և x 3 փոփոխականներով սյունակների համար
, որը ցույց է տալիս նրանց գծային հարաբերությունները։

Բերենք ևս մեկ օրինակ. Լուծենք հավասարումների համակարգը

Այսպիսով, վերջին մատրիցայի երրորդ շարքին համապատասխանող հավասարումը հակասական է. այն հանգեցրեց սխալ հավասարության 0 = -1, հետևաբար, այս համակարգը անհամատեղելի է:

Հորդանան-Գաուսի մեթոդ 3 Գաուսի մեթոդի մշակումն է։ Դրա էությունն այն է, որ համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածվում է այն ձևի, երբ փոփոխականների գործակիցները կազմում են միավորի մատրիցը մինչև 4-րդ տողերի կամ սյունակների փոխարկումը (որտեղ r-ը համակարգի մատրիցայի աստիճանն է):

Եկեք լուծենք համակարգը այս մեթոդով.

Դիտարկենք ընդլայնված համակարգի մատրիցը.

Այս մատրիցում մենք կընտրենք միավոր տարր: Օրինակ, երրորդ սահմանափակումում x 2 գործակիցը 5 է: Մենք կապահովենք, որ այս սյունակի մնացած տողերը պարունակեն զրոներ, այսինքն. եկեք սյունակը դարձնենք միայնակ: Փոխակերպումների գործընթացում մենք այսպես կանվանենք սյունակթույլատրելի(առաջատար, բանալի): Երրորդ սահմանափակումը (երրորդ լարը) նույնպես կկոչվի թույլատրելի... ինքս ինձ տարր, որը կանգնած է լուծվող տողի և սյունակի խաչմերուկում (այստեղ այն միավոր է), կոչվում է նաև. թույլատրելի.

Այժմ առաջին տողը պարունակում է գործակից (-1): Իր տեղում զրո ստանալու համար երրորդ շարքը բազմապատկեք (-1) և արդյունքը հանեք առաջին շարքից (այսինքն ուղղակի ավելացրեք առաջին տողը երրորդին):

Երկրորդ տողը պարունակում է 2 գործակից: Իր տեղում զրո ստանալու համար երրորդ տողը բազմապատկեք 2-ով և արդյունքը հանեք առաջին տողից:

Փոխակերպումների արդյունքը կլինի.

Այս մատրիցից պարզ երևում է, որ առաջին երկու սահմանափակումներից մեկը կարող է ջնջվել (համապատասխան տողերը համաչափ են, այսինքն՝ այս հավասարումները հաջորդում են միմյանց): Եկեք, օրինակ, խաչենք երկրորդը.

Այսպիսով, նոր համակարգը ունի երկու հավասարում. Ստացվում է մեկ սյունակ (երկրորդ), որից մեկը երկրորդ շարքում է: Հիշենք, որ x 2 հիմնական փոփոխականը կհամապատասխանի նոր համակարգի երկրորդ հավասարմանը։

Ընտրենք բազային փոփոխականը առաջին տողի համար։ Այն կարող է լինել ցանկացած այլ փոփոխական, քան x 3-ը (քանի որ x 3-ի համար առաջին սահմանափակումը պարունակում է զրոյական գործակից, այսինքն՝ x 2 և x 3 փոփոխականների բազմությունը այստեղ չի կարող հիմնական լինել): Դուք կարող եք վերցնել առաջին կամ չորրորդ փոփոխականը:

Եկեք ընտրենք x 1: Այնուհետև լուծող տարրը կլինի 5-ը, և լուծվող հավասարման երկու կողմերը պետք է բաժանվեն հինգի, որպեսզի ստացվի մեկը առաջին շարքի առաջին սյունակում։

Եկեք համոզվենք, որ մնացած տողերը (այսինքն, երկրորդ շարքը) առաջին սյունակում զրոներ ունեն: Քանի որ այժմ երկրորդ տողը պարունակում է ոչ թե զրո, այլ 3, անհրաժեշտ է երկրորդ տողից հանել վերափոխված առաջին տողի տարրերը՝ բազմապատկված 3-ով.

Ստացված մատրիցից կարելի է ուղղակիորեն դուրս բերել մեկ հիմնական լուծում՝ ոչ հիմնական փոփոխականները հավասարեցնելով զրոյի, իսկ հիմնականները՝ ազատ անդամներին համապատասխան հավասարումների մեջ՝ (0.8; -3.4; 0; 0): Դուք կարող եք նաև ստանալ ընդհանուր բանաձևեր, որոնք արտահայտում են հիմնական փոփոխականները ոչ հիմնականների միջոցով. x 1 = 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6 x 4: Այս բանաձևերը նկարագրում են համակարգի լուծումների ամբողջ անսահման հավաքածուն (x 3 և x 4 հավասարեցնելով կամայական թվերին, կարող եք հաշվարկել x 1 և x 2):

Նշենք, որ Հորդանան-Գաուս մեթոդի յուրաքանչյուր փուլում փոխակերպումների էությունը հետևյալն էր.

1) լուծող տողը բաժանվել է լուծող տարրի վրա, որպեսզի իր տեղում ստանա մեկը,

2) մնացած բոլոր տողերից վերափոխված բանաձեւը հանել են՝ բազմապատկելով լուծող սյունակի տվյալ տողում կանգնած տարրով, որպեսզի այս տարրի փոխարեն զրո ստացվի։

Եվս մեկ անգամ դիտարկեք համակարգի փոխակերպված ընդլայնված մատրիցը.

Այս գրառումը ցույց է տալիս, որ A համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է r-ին։

Վերոնշյալ պատճառաբանության ընթացքում մենք հաստատել ենք, որ համակարգը կլինի միասնական, եթե և միայն այն դեպքում, եթե
... Սա նշանակում է, որ համակարգի ընդլայնված մատրիցը նման կլինի.

Հեռացնելով զրոյական տողերը՝ ստանում ենք, որ համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը նույնպես r է։

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ... Գծային հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է այս համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին:

Հիշեցնենք, որ մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա գծային անկախ տողերի առավելագույն թվին: Այստեղից հետևում է, որ եթե ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասարումների քանակից փոքր է, ապա համակարգի հավասարումները գծային կախված են, և դրանցից մեկը կամ մի քանիսը կարող են բացառվել համակարգից (քանի որ դրանք գծային են. մյուսների համադրություն): Հավասարումների համակարգը գծային անկախ կլինի միայն այն դեպքում, եթե ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար է հավասարումների թվին:

Ավելին, գծային հավասարումների համատեղելի համակարգերի համար կարելի է պնդել, որ եթե մատրիցայի աստիճանը հավասար է փոփոխականների թվին, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, իսկ եթե այն փոքր է փոփոխականների թվից, ապա. համակարգը անորոշ է և ունի անսահման շատ լուծումներ:

1 Օրինակ, ենթադրենք, որ մատրիցայում կա հինգ տող (տողերի սկզբնական կարգը 12345 է): Անհրաժեշտ է փոխել երկրորդ տողը և հինգերորդը: Որպեսզի երկրորդ տողը ընկնի հինգերորդի տեղը, «տեղափոխվի» ներքև, մենք հաջորդաբար երեք անգամ փոխում ենք հարակից տողերը՝ երկրորդ և երրորդ (13245), երկրորդ և չորրորդ (13425) և երկրորդ և հինգերորդ. (13452)։ Այնուհետև, որպեսզի սկզբնական մատրիցայում հինգերորդ շարքը ընկնի երկրորդի տեղը, անհրաժեշտ է հինգերորդ շարքը «տեղափոխել» վերև ընդամենը երկու հաջորդական փոփոխությամբ՝ հինգերորդ և չորրորդ շարքեր (13542) և հինգերորդ և երրորդ (15342)։

2 n-ից r համակցությունների քանակը կանչել n-տարրերի բազմության բոլոր տարբեր r-տարրերի ենթաբազմությունների թիվը (տարբեր բազմություններ են նրանք, որոնք ունեն տարրերի տարբեր կազմ, ընտրության կարգը կարևոր չէ): Այն հաշվարկվում է բանաձևով.
... Հիշենք «!» նշանի իմաստը. (գործոնային):
0!=1.)

3 Քանի որ այս մեթոդն ավելի տարածված է, քան նախկինում դիտարկված Գաուսի մեթոդը, և իր էությամբ Գաուսի մեթոդի առաջ և հետադարձ քայլերի համակցություն է, այն երբեմն կոչվում է նաև Գաուսի մեթոդ՝ բաց թողնելով անվան առաջին մասը:

4 Օրինակ,
.

5 Եթե համակարգի մատրիցայում միավորներ չլինեին, ապա հնարավոր կլիներ, օրինակ, առաջին հավասարման երկու կողմերը բաժանել երկուսի, այնուհետև առաջին գործակիցը դառնար միավոր. կամ նման

Մենք շարունակում ենք գործ ունենալ գծային հավասարումների համակարգերի հետ: Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք համակարգեր, որոնք ունեն մեկ լուծում: Նման համակարգերը կարող են լուծվել ցանկացած ձևով. փոխարինման մեթոդ("Դպրոց"), Քրամերի բանաձեւերով, մատրիցային մեթոդով, Գաուսի մեթոդ... Սակայն գործնականում տարածված է ևս երկու դեպք, երբ.

1) համակարգը անհամատեղելի է (լուծումներ չունի).

2) համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ:

Այս համակարգերի համար օգտագործվում է լուծման բոլոր մեթոդներից ամենաունիվերսալը. Գաուսի մեթոդ... Իրականում «դպրոցական» մեթոդը կհանգեցնի պատասխանին, սակայն բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է օգտագործել անհայտների հաջորդական վերացման Գաուսի մեթոդը։ Նրանք, ովքեր ծանոթ չեն Գաուսի մեթոդի ալգորիթմին, խնդրում ենք նախ ուսումնասիրել դասը Գաուսի մեթոդ

Տարրական մատրիցային փոխակերպումները հենց նույնն են, տարբերությունը կլինի լուծման վերջում։ Եկեք նախ դիտարկենք մի քանի օրինակ, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական):

Օրինակ 1

Ի՞նչն է անմիջապես գրավում ձեր աչքը այս համակարգում: Հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից։ Կա մի թեորեմ, որն ասում է. «Եթե համակարգում հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից, ապա համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է, կա՛մ անսահման շատ լուծումներ ունի»։Եվ մնում է միայն պարզել։

Լուծման սկիզբը լիովին սովորական է. մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք փուլային ձևի.

(1). Վերևի ձախ քայլում մենք պետք է ստանանք (+1) կամ (–1): Առաջին սյունակում նման թվեր չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի տա: Միավորը պետք է կազմակերպվի ինքնուրույն, և դա կարելի է անել մի քանի ձևով: Մենք սա արեցինք։ Առաջին տողին ավելացրեք երրորդ տողը բազմապատկած (–1):

(2). Այժմ մենք ստանում ենք երկու զրո առաջին սյունակում: Երկրորդ տողին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ տողին՝ 5-ով բազմապատկած առաջին տողը։

(3). Կատարված վերափոխումից հետո միշտ ցանկալի է նայել, և հնարավո՞ր է պարզեցնել ստացված գծերը։ Կարող է. Երկրորդ շարքը բաժանել 2-ի, միաժամանակ ստանալով ցանկալի (–1) երկրորդ քայլին։ Երրորդ շարքը բաժանեք (–3):

(4). Երկրորդ տողը ավելացրեք երրորդ տողին: Հավանաբար բոլորը ուշադրություն դարձրին տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացված վատ գծին.

... Հասկանալի է, որ այդպես չի կարող լինել։

Իսկապես, մենք վերագրում ենք ստացված մատրիցը

վերադառնալ գծային հավասարումների համակարգ.

Եթե ​​տարրական փոխակերպումների արդյունքում ձևի մի շարան , որտեղλ - զրոյից տարբեր թիվ, ապա համակարգը անհամատեղելի է (լուծումներ չունի):

Ինչպե՞ս կարող եմ արձանագրել առաջադրանքի ավարտը: Դուք պետք է գրեք արտահայտությունը.

«Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է ձևի շարան, որտեղ λ ≠ 0 «. Պատասխան. «Համակարգը լուծումներ չունի (անհետևողական):

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս դեպքում Գաուսի ալգորիթմի հետընթաց չկա, լուծումներ չկան և պարզապես գտնելու բան չկա:

Օրինակ 2

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Սա «ինքներդ ինքներդ» լուծման օրինակ է: Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Կրկին հիշեցնում ենք ձեզ, որ ձեր որոշման ընթացքը կարող է տարբերվել մեր որոշման կուրսից, Գաուսի մեթոդը չի սահմանում միանշանակ ալգորիթմ, դուք պետք է յուրաքանչյուր դեպքում ինքնուրույն գուշակեք գործողությունների հերթականությունը և գործողությունները:

Լուծման մեկ այլ տեխնիկական առանձնահատկություն՝ տարրական փոխակերպումները կարող են դադարեցվել անմիջապես, հենց հայտնվեց ձևի մի տող, որտեղ λ ≠ 0 ... Դիտարկենք պայմանական օրինակ. ենթադրենք, որ հենց առաջին փոխակերպումից հետո մատրիցը ստացվում է

.

Այս մատրիցը դեռ չի կրճատվել աստիճանական ձևի, բայց հետագա տարրական փոխակերպումների կարիք չկա, քանի որ ձևի մի շարք է առաջացել, որտեղ. λ ≠ 0 ... Դուք պետք է անմիջապես պատասխանեք, որ համակարգը անհամատեղելի է:

Երբ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, սա գրեթե նվեր է ուսանողին, քանի որ կարճ լուծում է ստացվում, երբեմն բառացիորեն 2-3 քայլով: Բայց այս աշխարհում ամեն ինչ հավասարակշռված է, և խնդիրը, որի դեպքում համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի, պարզապես ավելի երկար է:

Օրինակ 3:

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Կան 4 հավասարումներ և 4 անհայտներ, ուստի համակարգը կարող է կամ ունենալ մեկ լուծում, կամ չունենալ լուծումներ, կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Ինչքան էլ որ լինի, բայց Գաուսի մեթոդն ամեն դեպքում մեզ կտանի պատասխանին։ Սա նրա բազմակողմանիությունն է:

Սկիզբը կրկին ստանդարտ է: Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Այսքանը, և դու վախենում էիր։

(1). Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը բաժանվում են 2-ի, հետևաբար վերևի ձախ քայլում մենք նույնպես բավարարվում ենք երկուսով։ Երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած (–4): Երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած (–2): Չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած (–1):

Ուշադրություն.Շատերը կարող են գայթակղվել չորրորդ տողից հանելառաջին գիծ. Դա կարելի է անել, բայց պարտադիր չէ, փորձը ցույց է տալիս, որ հաշվարկներում սխալվելու հավանականությունը մի քանի անգամ մեծանում է։ Պարզապես ավելացրեք. չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած (–1) - ճիշտ!

(2). Վերջին երեք տողերը համաչափ են, դրանցից երկուսը կարող են ջնջվել։ Այստեղ կրկին պետք է ցույց տալ ավելացել է ուշադրությունը, բայց տողերն իսկապե՞ս համամասնական են։ Ապահով կողմում լինելու համար ավելորդ չի լինի երկրորդ տողը բազմապատկել (–1-ով), իսկ չորրորդ տողը բաժանել 2-ի, արդյունքում երեք միանման տողեր: Եվ միայն դրանից հետո ջնջեք դրանցից երկուսը: Տարրական փոխակերպումների արդյունքում համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածվում է աստիճանական ձևի.

Նոթատետրում առաջադրանքը լրացնելիս նպատակահարմար է պարզության համար նույն նշումները կատարել մատիտով:

Վերաշարադրենք հավասարումների համապատասխան համակարգը.

Համակարգի միակ լուծումն այստեղ «սովորականի» հոտ չի գալիս։ Վատ գիծ, ​​որտեղ λ ≠ 0, նաև ոչ։ Սա նշանակում է, որ սա մնացած երրորդ դեպքն է՝ համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ։

Անսահման թվով համակարգային լուծումներ համառոտ գրված են այսպես կոչվածի տեսքով ընդհանուր համակարգի լուծում.

Մենք կգտնենք համակարգի ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը։ Լուծումների անսահման բազմություն ունեցող հավասարումների համակարգերի համար հայտնվում են նոր հասկացություններ. «Հիմնական փոփոխականներ»և «Ազատ փոփոխականներ»... Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ փոփոխականներ ունենք հիմնականև որ փոփոխականները - անվճար... Պետք չէ մանրամասն բացատրել գծային հանրահաշվի տերմինները, բավական է հիշել, որ կան այդպիսիք հիմնական փոփոխականներև ազատ փոփոխականներ.

Հիմնական փոփոխականները միշտ «նստում» են խիստ մատրիցայի աստիճանների վրա... Այս օրինակում հիմնական փոփոխականներն են x 1 և x 3 .

Ազատ փոփոխականները ամեն ինչ են մնացածըփոփոխականներ, որոնք չեն ստացել աստիճան: Մեր դեպքում դրանք երկուսն են. x 2 և x 4 - ազատ փոփոխականներ.

Այժմ ձեզ հարկավոր է բոլորըհիմնական փոփոխականներարտահայտել միայն միջոցովազատ փոփոխականներ... Գաուսի ալգորիթմի հակառակ կողմը ավանդաբար աշխատում է ներքևից վեր: Համակարգի երկրորդ հավասարումից մենք արտահայտում ենք հիմնական փոփոխականը x 3:

Հիմա եկեք նայենք առաջին հավասարմանը. ... Նախ՝ գտնված արտահայտությունը փոխարինում ենք դրան.

Մնում է արտահայտել հիմնական փոփոխականը x 1 անվճար փոփոխականների միջոցով x 2 և x 4:

Ի վերջո, մենք ստացանք այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է. բոլորըհիմնական փոփոխականներ ( x 1 և x 3) արտահայտված միայն միջոցովանվճար փոփոխականներ ( x 2 և x 4):

Փաստորեն, ընդհանուր լուծումը պատրաստ է.

.

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդհանուր լուծումը: Առաջին հերթին, ազատ փոփոխականները գրվում են ընդհանուր լուծման մեջ «իրենց» և խիստ իրենց տեղերում։ Այս դեպքում ազատ փոփոխականներ x 2 և x 4-ը պետք է գրվի երկրորդ և չորրորդ դիրքերում.

.

Ստացված արտահայտությունները հիմնական փոփոխականների համար և, ակնհայտորեն, առաջին և երրորդ հորիզոնականներում պետք է գրել.

Համակարգի ընդհանուր լուծումից դուք կարող եք գտնել անսահման շատ մասնավոր լուծումներ... Դա շատ պարզ է. Ազատ փոփոխականներ x 2 և x 4-ն այդպես են կոչվում, քանի որ դրանք կարող են տրվել ցանկացած վերջնական արժեք... Ամենատարածված արժեքները զրոյական են, քանի որ սա կոնկրետ լուծման ամենահեշտ լուծումն է:

Փոխարինում ( x 2 = 0; x 4 = 0) ընդհանուր լուծման մեջ մենք ստանում ենք կոնկրետ լուծումներից մեկը.

կամ որոշակի լուծում է, որը համապատասխանում է արժեքներով ազատ փոփոխականներին ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Միավորները ևս մեկ քաղցր զույգ են, փոխարինող ( x 2 = 1 և x 4 = 1) ընդհանուր լուծման մեջ.

, այսինքն (-1; 1; 1; 1) մեկ այլ կոնկրետ լուծում է:

Հեշտ է տեսնել, որ հավասարումների համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ,քանի որ մենք կարող ենք տալ անվճար փոփոխականներ ցանկացածարժեքներ։

Յուրաքանչյուրըկոնկրետ լուծումը պետք է բավարարի յուրաքանչյուրինհամակարգի հավասարումը։ Սա լուծման ճիշտության «արագ» ստուգման հիմքն է։ Վերցրեք, օրինակ, որոշակի լուծում (-1; 1; 1; 1) և այն փոխարինեք սկզբնական համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ամեն ինչ պետք է տեղավորվի միասին: Եվ ցանկացած կոնկրետ որոշմամբ, որը դուք ստանում եք, ամեն ինչ նույնպես պետք է համաձայնվի:

Խստորեն ասած, որոշակի լուծում ստուգելը երբեմն խաբում է, այսինքն. ինչ-որ կոնկրետ լուծում կարող է բավարարել համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը, սակայն ընդհանուր լուծումը իրականում սխալ է գտնվել: Հետեւաբար, առաջին հերթին, ընդհանուր լուծման ստուգումը ավելի մանրակրկիտ եւ հուսալի է:

Ինչպես ստուգել ստացված ընդհանուր լուծումը ?

Դա դժվար չէ, բայց պահանջում է շատ ժամանակատար փոխակերպումներ։ Դուք պետք է ընդունեք արտահայտություններ հիմնականփոփոխականներ, այս դեպքում և, և փոխարինիր դրանք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում:

Համակարգի առաջին հավասարման ձախ կողմում.

Ստացվում է համակարգի սկզբնական առաջին հավասարման աջ կողմը:

Համակարգի երկրորդ հավասարման ձախ կողմում.

Ստացվում է համակարգի սկզբնական երկրորդ հավասարման աջ կողմը:

Եվ հետագայում `համակարգի երրորդ և չորրորդ հավասարումների ձախ կողմերը: Այս ստուգումը ավելի երկար է տևում, բայց այն երաշխավորում է ընդհանուր լուծման հարյուր տոկոս ճիշտությունը: Բացի այդ, որոշ առաջադրանքներում հենց ընդհանուր լուծման ստուգումն է պահանջվում:

Օրինակ 4:

Համակարգը լուծել Գաուսի մեթոդով: Գտեք ընդհանուր և երկու կոնկրետ լուծում: Ստուգեք ընդհանուր լուծումը:

Սա «ինքներդ ինքներդ» լուծման օրինակ է: Այստեղ, ի դեպ, դարձյալ հավասարումների թիվը պակաս է անհայտների թվից, ինչը նշանակում է, որ անմիջապես պարզ է դառնում, որ համակարգը կամ անհամատեղելի է լինելու, կամ լուծումների անսահման բազմության հետ։

Օրինակ 5:

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ. Եթե ​​համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ, գտեք երկու կոնկրետ լուծում և ստուգեք ընդհանուր լուծումը

Լուծում:Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

(1). Առաջին տողը ավելացրեք երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացնում ենք 2-ով բազմապատկած առաջին տողը, չորրորդ տողին՝ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը։

(2). Երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած (–5): Չորրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած (–7):

(3). Երրորդ և չորրորդ տողերը նույնն են, մենք ջնջում ենք դրանցից մեկը: Ահա այսպիսի գեղեցկություն.

Հիմնական փոփոխականները նստած են աստիճանների վրա, հետևաբար՝ հիմնական փոփոխականները:

Կա միայն մեկ անվճար փոփոխական, որն այստեղ քայլ չի ստացել.

(4). Հակադարձ շարժում. Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականի տեսքով.

Երրորդ հավասարումից.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը և դրանում փոխարինեք գտնված արտահայտությունը.

, , ,

Դիտարկենք առաջին հավասարումը և փոխարինե՛ք գտնված արտահայտությունները և դրանում.

Այսպիսով, մեկ ազատ փոփոխականի ընդհանուր լուծումն է x 4:

Եվս մեկ անգամ, ինչպե՞ս ստացվեց: Ազատ փոփոխական x 4-ը միայնակ է իր օրինական չորրորդ տեղում: Հիմնական փոփոխականների ստացված արտահայտությունները նույնպես իրենց տեղերում են։

Եկեք անմիջապես ստուգենք ընդհանուր լուծումը:

Մենք փոխարինում ենք հիմնական փոփոխականները, համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ստացվում են հավասարումների համապատասխան աջ կողմերը, այդպիսով գտնվում է ճիշտ ընդհանուր լուծումը։

Հիմա գտնված ընդհանուր լուծումից մենք ստանում ենք երկու կոնկրետ լուծում. Բոլոր փոփոխականներն այստեղ արտահայտվում են մեկ միավորի միջոցով ազատ փոփոխական x 4 . Պետք չէ գլուխդ կոտրել։

Թող լինի x 4 = 0, ապա - առաջին կոնկրետ լուծումը.

Թող լինի x 4 = 1, ապա - Եվս մեկ կոնկրետ լուծում.

Պատասխան.Ընդհանուր որոշում. ... Մասնավոր լուծումներ.

եւ .

Օրինակ 6:

Գտե՛ք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Մենք արդեն ստուգել ենք ընդհանուր որոշումը, պատասխանին կարելի է վստահել։ Ձեր որոշման ընթացքը կարող է տարբերվել մեր որոշման ընթացքից: Գլխավորն այն է, որ ընդհանուր որոշումները համընկնեն։ Հավանաբար, շատերը լուծույթներում նկատել են մի տհաճ պահ՝ շատ հաճախ Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքի ժամանակ մենք ստիպված էինք լինում ջութակ անել սովորական կոտորակների հետ։ Գործնականում դա ճիշտ է, դեպքերը, երբ կոտորակներ չկան, շատ ավելի քիչ են տարածված: Պատրաստ եղեք հոգեպես, և ամենակարևորը՝ տեխնիկապես։

Անդրադառնանք լուծման այն առանձնահատկություններին, որոնք չգտնվեցին լուծված օրինակներում։ Համակարգի ընդհանուր լուծումը երբեմն կարող է ներառել հաստատուն (կամ հաստատուններ):

Օրինակ, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է. Այստեղ հիմնական փոփոխականներից մեկը հավասար է հաստատուն թվի. Սրա մեջ էկզոտիկ բան չկա, դա լինում է։ Ակնհայտ է, որ այս դեպքում ցանկացած կոնկրետ լուծում առաջին դիրքում կպարունակի A-ն:

Հազվադեպ, բայց կան համակարգեր, որոնցում հավասարումների թիվն ավելի մեծ է, քան փոփոխականների թիվը... Այնուամենայնիվ, Գաուսի մեթոդը գործում է ամենադժվար պայմաններում: Անհրաժեշտ է հանգիստ կերպով նվազեցնել համակարգի ընդլայնված մատրիցը աստիճանավոր ձևի ՝ ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն: Նման համակարգը կարող է լինել անհետևողական, այն կարող է ունենալ անսահման շատ լուծումներ, և, որքան էլ տարօրինակ է, կարող է ունենալ մեկ լուծում:

Կրկնենք մեր խորհուրդներում՝ Գաուսի մեթոդով համակարգ լուծելիս հարմարավետ զգալու համար պետք է ձեռքը լցնել և լուծել առնվազն մեկ տասնյակ համակարգ։

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2:

Լուծում:Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:

Կատարված տարրական փոխակերպումներ.

(1) Առաջին և երրորդ տողերը հակադարձված են:

(2) Երկրորդ տողին ավելացվել է առաջին տողը, որը բազմապատկվել է (–6)-ով: Երրորդ տողին ավելացվեց առաջին տողը (–7) բազմապատկած։

(3) Երկրորդ տողը, որը բազմապատկվել է (–1)-ով, ավելացվել է երրորդ տողին:

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ձևի շարան, որտեղ λ ≠ 0 .Սա նշանակում է, որ համակարգը անհամատեղելի է։Պատասխան. լուծումներ չկան.

Օրինակ 4:

Լուծում:Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ.

(1). Երկրորդ տողին ավելացվեց 2-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ տողին ավելացվեց 3-ով բազմապատկած առաջին տողը:

Երկրորդ քայլի համար մարդ չկա , իսկ փոխակերպումը (2) ուղղված է այն ստանալուն։

(2). Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով:

(3). Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին (վերադասավորվեց ստացված -1-ը դեպի երկրորդ քայլ)

(4). 3-ով բազմապատկած երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը:

(5). Առաջին երկու տողերի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով), երրորդ տողը բաժանվել է 14-ի։

Հակադարձ:

(1). Այստեղ - հիմնական փոփոխականներ (որոնք գտնվում են աստիճանների վրա), և - անվճար փոփոխականներ (ովքեր քայլ չեն ստացել):

(2). Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականներով.

Երրորդ հավասարումից. .

(3). Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը., հատուկ լուծումներ.

Պատասխան. Ընդհանուր որոշում.

Կոմպլեքս թվեր

Այս բաժնում մենք կծանոթանանք հայեցակարգին համալիր համարը, հաշվի առեք հանրահաշվական, եռանկյունաչափականև օրինակելի ձևհամալիր համարը. Կսովորենք նաև բարդ թվերով գործողություններ կատարել՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում և արմատահանում:

Կոմպլեքս թվերին տիրապետելու համար բարձրագույն մաթեմատիկայի կուրսից հատուկ գիտելիքներ պետք չեն, իսկ նյութը հասանելի է նույնիսկ ուսանողին։ Բավական է կարողանալ հանրահաշվական գործողություններ կատարել «սովորական» թվերով, հիշել եռանկյունաչափությունը։

Նախ հիշենք «սովորական» Թվերը։ Մաթեմատիկայի մեջ դրանք կոչվում են իրական թվերի հավաքածուև նշվում է տառով Ռ,կամ R (հաստացած): Բոլոր իրական թվերը նստած են ծանոթ թվային տողի վրա.

Իրական թվերի ընկերությունը շատ խայտաբղետ է. այստեղ կան ամբողջ թվեր, կոտորակներ և իռացիոնալ թվեր: Այս դեպքում թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետ անպայմանորեն համապատասխանում է իրական թվի։

Հավասարումների համակարգերը լայնորեն կիրառվում են տնտեսական արդյունաբերության մեջ՝ տարբեր գործընթացների մաթեմատիկական մոդելավորման մեջ։ Օրինակ՝ արտադրության կառավարման և պլանավորման, լոգիստիկ երթուղիների (տրանսպորտային խնդիր) կամ սարքավորումների տեղադրման խնդիրներ լուծելիս։

Հավասարումների համակարգերն օգտագործվում են ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ֆիզիկայի, քիմիայի և կենսաբանության բնագավառում, բնակչության թվաքանակը գտնելու խնդիրների լուծման համար։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է մի քանի փոփոխականներով երկու կամ ավելի հավասարումներ, որոնց համար անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծում։ Թվերի այնպիսի հաջորդականություն, որի համար բոլոր հավասարումները դառնում են իսկական հավասարումներ կամ ապացուցում են, որ հաջորդականությունը գոյություն չունի։

Գծային հավասարում

ax + by = c ձևի հավասարումները կոչվում են գծային։ x, y նշումը անհայտն է, որի արժեքը պետք է գտնել, b, a-ն փոփոխականների գործակիցներն են, c-ն հավասարման ազատ անդամն է։
Հավասարման լուծումը՝ դրա գրաֆիկը գծելով, կունենա ուղիղ գծի ձև, որի բոլոր կետերը բազմանդամի լուծումն են։

Գծային հավասարումների համակարգերի տեսակները

Ամենապարզ օրինակներ են համարվում X և Y երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգերը։

F1 (x, y) = 0 և F2 (x, y) = 0, որտեղ F1,2 ֆունկցիաներն են, իսկ (x, y) ֆունկցիայի փոփոխականները:

Լուծել հավասարումների համակարգ - դա նշանակում է գտնել այնպիսի արժեքներ (x, y), որոնց դեպքում համակարգը վերածվում է իրական հավասարության, կամ հաստատել, որ x-ի և y-ի համար հարմար արժեքներ չկան:

Արժեքների զույգը (x, y), որը գրված է որպես կետի կոորդինատներ, կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծում:

Եթե ​​համակարգերն ունեն մեկ ընդհանուր լուծում կամ լուծումը գոյություն չունի, դրանք կոչվում են համարժեք:

Գծային հավասարումների համասեռ համակարգերը համակարգեր են, որոնց աջ կողմը հավասար է զրոյի: Եթե ​​«հավասար» նշանից հետո աջ մասը արժեք ունի կամ արտահայտվում է ֆունկցիայով, ապա նման համակարգը տարասեռ է։

Փոփոխականների թիվը կարող է շատ ավելի շատ լինել երկուսից, ապա պետք է խոսել երեք կամ ավելի փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգի օրինակի մասին։

Համակարգերի հետ հանդիպելիս դպրոցականները ենթադրում են, որ հավասարումների թիվը պետք է անպայման համընկնի անհայտների թվի հետ, բայց դա այդպես չէ։ Համակարգում հավասարումների քանակը կախված չէ փոփոխականներից, կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք:

Հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ և բարդ մեթոդներ

Նման համակարգերը լուծելու ընդհանուր վերլուծական եղանակ չկա, բոլոր մեթոդները հիմնված են թվային լուծումների վրա: Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացը մանրամասն նկարագրում է այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են փոխակերպումը, հանրահաշվական գումարումը, փոխարինումը, ինչպես նաև գրաֆիկական և մատրիցային մեթոդը, լուծումը Գաուսի մեթոդով:

Լուծումների ուսուցման հիմնական խնդիրն է սովորեցնել, թե ինչպես ճիշտ վերլուծել համակարգը և գտնել լուծման օպտիմալ ալգորիթմ յուրաքանչյուր օրինակի համար: Հիմնական բանը ոչ թե յուրաքանչյուր մեթոդի համար կանոնների և գործողությունների համակարգը անգիր անելն է, այլ հասկանալ որոշակի մեթոդի կիրառման սկզբունքները:

Հանրակրթական ծրագրի 7-րդ դասարանի գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծումը բավականին պարզ է և մանրամասն բացատրված։ Մաթեմատիկայի ցանկացած դասագրքում այս հատվածին բավական ուշադրություն է հատկացվում: Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծումը Գաուսի և Կրամերի մեթոդով ավելի մանրամասն ուսումնասիրվում է բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների առաջին տարիներին։

Համակարգերի լուծում փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդի գործողությունները ուղղված են մեկ փոփոխականի արժեքն արտահայտելու երկրորդի առումով։ Արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած հավասարման մեջ, այնուհետև այն վերածվում է մեկ փոփոխականով ձևի: Գործողությունը կրկնվում է կախված համակարգում անհայտների քանակից

Ներկայացնենք փոխարինման մեթոդով 7-րդ դասի գծային հավասարումների համակարգի օրինակի լուծումը.

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, x փոփոխականն արտահայտվել է F (X) = 7 + Y միջոցով: Ստացված արտահայտությունը, որը փոխարինվել է համակարգի 2-րդ հավասարմամբ X-ի փոխարեն, օգնել է ստանալ մեկ փոփոխական Y 2-րդ հավասարման մեջ: . Այս օրինակի լուծումը դժվարություններ չի առաջացնում և թույլ է տալիս ստանալ Y արժեքը։ Վերջին քայլը ստացված արժեքների ստուգումն է։

Միշտ չէ, որ հնարավոր է փոխարինման միջոցով լուծել գծային հավասարումների համակարգի օրինակ: Հավասարումները կարող են բարդ լինել, և փոփոխականի արտահայտությունը երկրորդ անհայտի առումով չափազանց ծանր կլինի հետագա հաշվարկների համար: Երբ համակարգում կան 3-ից ավելի անհայտներ, փոխարինման միջոցով լուծումը նույնպես անիրագործելի է։

Գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգի օրինակի լուծում.

Հանրահաշվական գումարման լուծում

Համակարգերի լուծումը գումարման մեթոդով որոնելիս կատարվում է տերմին առ անդամ գումարում և հավասարումների բազմապատկում տարբեր թվերով։ Մաթեմատիկական գործողությունների վերջնական նպատակը մեկ փոփոխականի հավասարումն է:

Այս մեթոդը պահանջում է պրակտիկա և դիտարկում: Հեշտ չէ լուծել գծային հավասարումների համակարգը գումարման մեթոդով 3 և ավելի փոփոխականների քանակով: Հարմար է օգտագործել հանրահաշվական գումարում, երբ հավասարումներում առկա են կոտորակներ և տասնորդական թվեր։

Լուծման գործողության ալգորիթմ.

1. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկե՛ք ինչ-որ թվով: Թվաբանական գործողության արդյունքում փոփոխականի գործակիցներից մեկը պետք է հավասար լինի 1-ի։
2. Ստացված արտահայտությունը տերմին առ տերմին ավելացրեք և գտեք անհայտներից մեկը:
3. Ստացված արժեքը փոխարինի՛ր համակարգի 2-րդ հավասարմամբ՝ մնացած փոփոխականը գտնելու համար:

Լուծում նոր փոփոխականի ներմուծմամբ

Նոր փոփոխական կարող է ներդրվել, եթե համակարգը պետք է լուծում գտնի ոչ ավելի, քան երկու հավասարումների համար, անհայտների թիվը նույնպես պետք է լինի երկուսից ոչ ավելի:

Մեթոդն օգտագործվում է պարզեցնելու հավասարումներից մեկը՝ մուտքագրելով նոր փոփոխական: Նոր հավասարումը լուծվում է մուտքագրված անհայտի նկատմամբ, և ստացված արժեքը օգտագործվում է սկզբնական փոփոխականը որոշելու համար:

Օրինակը ցույց է տալիս, որ t նոր փոփոխականի ներդրմամբ հնարավոր եղավ համակարգի 1-ին հավասարումը վերածել ստանդարտ քառակուսի եռանդամի։ Դուք կարող եք լուծել բազմանդամը՝ գտնելով դիսկրիմինանտը:

Անհրաժեշտ է գտնել դիսկրիմինանտի արժեքը հայտնի բանաձևով՝ D = b2 - 4 * a * c, որտեղ D-ն փնտրվող դիսկրիմինանտն է, b, a, c բազմանդամի գործակիցները։ Տրված օրինակում a = 1, b = 16, c = 39, հետևաբար, D = 100: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, ապա կա երկու լուծում՝ t = -b ± √D / 2 * a, եթե դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա կա մեկ լուծում՝ x = -b / 2 * a:

Ստացված համակարգերի լուծումը գտնվում է հավելման մեթոդով։

Համակարգերի լուծման տեսողական մեթոդ

Հարմար է 3 հավասարումներով համակարգերի համար։ Մեթոդը բաղկացած է համակարգում ընդգրկված յուրաքանչյուր հավասարման գրաֆիկների կոորդինատային առանցքի վրա: Համակարգի ընդհանուր լուծումը կլինեն կորերի հատման կետերի կոորդինատները։

Գրաֆիկական մեթոդն ունի մի շարք նրբերանգներ. Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի տեսողական լուծման մի քանի օրինակ։

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, յուրաքանչյուր ուղիղ գծի համար կառուցվել է երկու կետ, կամայականորեն ընտրվել են x փոփոխականի արժեքները՝ 0 և 3: Հիմնվելով x-ի արժեքների վրա՝ հայտնաբերվել են y-ի արժեքները: 3 և 0: Գրաֆիկի վրա նշվեցին (0, 3) և (3, 0) կոորդինատներով կետերը և միացվեցին գծով:

Քայլերը պետք է կրկնվեն երկրորդ հավասարման համար: Գծերի հատման կետը համակարգի լուծումն է։

Հետևյալ օրինակում անհրաժեշտ է գտնել գծային հավասարումների համակարգի գրաֆիկական լուծում՝ 0,5x-y + 2 = 0 և 0,5x-y-1 = 0:

Ինչպես երևում է օրինակից, համակարգը լուծում չունի, քանի որ գրաֆիկները զուգահեռ են և չեն հատվում իրենց ողջ երկարությամբ։

2-րդ և 3-րդ օրինակների համակարգերը նման են, բայց այն կառուցելիս ակնհայտ է դառնում, որ դրանց լուծումները տարբեր են։ Պետք է հիշել, որ միշտ չէ, որ հնարավոր է ասել՝ համակարգը լուծում ունի, թե ոչ, միշտ անհրաժեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Մատրիցը և դրա տեսակները

Մատրիցներն օգտագործվում են գծային հավասարումների համակարգը հակիրճ գրելու համար: Մատրիցը հատուկ տեսակի աղյուսակ է, որը լցված է թվերով: n * m-ն ունի n - տող և m - սյունակ:

Մատրիցը քառակուսի է, երբ սյունակների և տողերի թիվը հավասար է միմյանց: Վեկտորային մատրիցը անսահման թվով տողերով մեկ սյունակ մատրից է: Անկյունագծերից մեկի և այլ զրոյական տարրերի երկայնքով գտնվող մատրիցները կոչվում են նույնականության մատրիցա:

Հակադարձ մատրիցն այնպիսի մատրից է, որով բազմապատկելիս բնօրինակը վերածվում է նույնական մատրիցայի, այդպիսի մատրիցա գոյություն ունի միայն սկզբնական քառակուսու համար:

Հավասարումների համակարգը մատրիցայի վերածելու կանոններ

Ինչպես կիրառվում է հավասարումների համակարգերի նկատմամբ, հավասարումների գործակիցները և ազատ անդամները գրվում են որպես մատրիցայի թվեր, մեկ հավասարումը մատրիցայի մեկ տող է:

Մատրիցային տողը կոչվում է ոչ զրոյական, եթե տողի առնվազն մեկ տարրը զրոյական չէ: Հետևաբար, եթե հավասարումներից որևէ մեկում փոփոխականների թիվը տարբերվում է, ապա բացակայող անհայտի փոխարեն անհրաժեշտ է գրել զրո։

Մատրիցայի սյունակները պետք է խստորեն համապատասխանեն փոփոխականներին: Սա նշանակում է, որ x փոփոխականի գործակիցները կարելի է գրել միայն մեկ սյունակում, օրինակ՝ առաջինը, y-ի անհայտի գործակիցը՝ միայն երկրորդում։

Մատրիցը բազմապատկելիս մատրիցայի բոլոր տարրերը հաջորդաբար բազմապատկվում են թվով։

Հակադարձ մատրիցը գտնելու տարբերակներ

Հակադարձ մատրիցը գտնելու բանաձևը բավականին պարզ է՝ K -1 = 1 / | K |, որտեղ K -1 հակադարձ մատրիցն է, և | K | մատրիցայի որոշիչն է։ |Կ | չպետք է զրո լինի, ապա համակարգը լուծում ունի.

Որոշիչը հեշտությամբ հաշվարկվում է երկու-երկու մատրիցայի համար, պարզապես անհրաժեշտ է միմյանցով բազմապատկել անկյունագծի վրա գտնվող տարրերը: «Երեքը երեքով» տարբերակի համար կա բանաձեւ | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Կարող եք օգտագործել բանաձևը կամ կարող եք հիշել, որ յուրաքանչյուր տողից և սյունակից պետք է մեկ տարր վերցնել, որպեսզի սյունակների և տարրերի տողերի թիվը չկրկնվի արտադրանքի մեջ:

Գծային հավասարումների համակարգերի օրինակների լուծում մատրիցային մեթոդով

Լուծում գտնելու մատրիցային մեթոդը թույլ է տալիս նվազեցնել ծանրաբեռնված գրառումները մեծ թվով փոփոխականներով և հավասարումներով համակարգեր լուծելիս:

Օրինակում a nm-ը հավասարումների գործակիցներն են, մատրիցը վեկտոր է, x n-ը փոփոխականներ են, իսկ b n-ը ազատ տերմիններ են:

Համակարգերի Գաուսի լուծում

Բարձրագույն մաթեմատիկայում Գաուսի մեթոդն ուսումնասիրվում է Կրամերի մեթոդի հետ միասին, իսկ համակարգերի լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է Գաուս-Կրամերի մեթոդ։ Այս մեթոդները օգտագործվում են մեծ թվով գծային հավասարումներ ունեցող փոփոխական համակարգեր գտնելու համար:

Գաուսի մեթոդը շատ նման է փոխարինման և հանրահաշվական գումարման լուծումներին, բայց ավելի համակարգված։ Դպրոցական դասընթացում Գաուսի լուծումն օգտագործվում է 3 և 4 հավասարումների համակարգերի համար։ Մեթոդի նպատակն է համակարգը դարձնել շրջված trapezoid տեսք: Համակարգի հավասարումներից մեկում մեկ փոփոխականի արժեքը հայտնաբերվում է հանրահաշվական փոխակերպումների և փոխարինումների միջոցով։ Երկրորդ հավասարումը 2 անհայտներով արտահայտություն է, բայց 3 և 4՝ համապատասխանաբար 3 և 4 փոփոխականներով:

Համակարգը նկարագրված ձևին բերելուց հետո հետագա լուծումը վերածվում է հայտնի փոփոխականների հաջորդական փոխարինման համակարգի հավասարումների:

7-րդ դասարանի դպրոցական դասագրքերում Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակը նկարագրված է հետևյալ կերպ.

Ինչպես տեսնում եք օրինակից, (3) քայլում ստացվել են երկու հավասարումներ՝ 3x 3 -2x 4 = 11 և 3x 3 + 2x 4 = 7: Հավասարումների ցանկացած լուծումը թույլ կտա պարզել x n փոփոխականներից մեկը:

Տեքստում նշված թեորեմ 5-ում ասվում է, որ եթե համակարգի հավասարումներից մեկը փոխարինվում է համարժեքով, ապա ստացված համակարգը նույնպես համարժեք կլինի սկզբնականին։

Գաուսի մեթոդը դժվար է հասկանալ ավագ դպրոցի աշակերտները, սակայն այն ամենահետաքրքիր միջոցներից մեկն է երեխաների ինտելեկտը զարգացնելու մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի առաջադեմ դասարաններում:

Հաշվարկների գրանցման հեշտության համար ընդունված է անել հետևյալը.

Հավասարումների և ազատ տերմինների գործակիցները գրված են մատրիցայի տեսքով, որտեղ մատրիցայի յուրաքանչյուր տող կապված է համակարգի հավասարումներից մեկի հետ: բաժանում է հավասարման ձախ կողմը աջից. Հռոմեական թվերը ցույց են տալիս համակարգի հավասարումների թիվը:

Նախ գրում են մատրիցը, որով պետք է աշխատել, հետո տողերից մեկով կատարված բոլոր գործողությունները։ Ստացված մատրիցը գրվում է սլաքի նշանից հետո և անհրաժեշտ հանրահաշվական գործողությունները շարունակվում են մինչև արդյունքի հասնելը:

Արդյունքում պետք է ստացվի մատրիցա, որում անկյունագծերից մեկը 1 է, իսկ մնացած բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ մատրիցը վերածվում է մեկ ձևի: Մի մոռացեք հաշվարկներ կատարել հավասարման երկու կողմի թվերով:

Ձայնագրման այս մեթոդն ավելի քիչ դժվար է և թույլ է տալիս չշեղվել՝ թվարկելով բազմաթիվ անհայտները:

Ցանկացած լուծման անվճար կիրառումը կպահանջի խնամք և որոշակի փորձ: Ոչ բոլոր մեթոդներն են կիրառական բնույթ: Լուծումներ գտնելու որոշ ուղիներ ավելի նախընտրելի են մարդկային գործունեության այս այլ ոլորտում, մինչդեռ մյուսները գոյություն ունեն կրթական նպատակներով:

Հետազոտել գծային տարիքային հավասարումների համակարգը (SLAE) համատեղելիության համար, նշանակում է պարզել՝ այս համակարգը լուծումներ ունի, թե ոչ: Դե, եթե լուծումներ կան, ապա նշե՛ք, թե քանիսն են։

Մեզ անհրաժեշտ է տեղեկատվություն «Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ. Հիմնական տերմիններ. մատրիցային նշում» թեմայից։ Մասնավորապես, անհրաժեշտ են այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են համակարգի մատրիցը և համակարգի ընդլայնված մատրիցը, քանի որ հենց դրանց վրա է հիմնված Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմի ձևակերպումը: Ինչպես միշտ, համակարգի մատրիցը կնշանակվի $ A $ տառով, իսկ համակարգի ընդլայնված մատրիցը $ \ widetilde (A) $ տառով։

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համակարգի մատրիցայի աստիճանը հավասար է համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, այսինքն. $ \ rang A = \ rang \ լայնածավալ (A) $:

Հիշեցնեմ, որ համակարգը կոչվում է համատեղ, եթե այն ունի գոնե մեկ լուծում։ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմն ասում է հետևյալը. եթե $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, ապա կա լուծում. եթե $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, ապա այս SLAE-ն լուծումներ չունի (անհետևողական): Այս լուծումների քանակի մասին հարցի պատասխանը տրվում է Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի հետևանքով։ Եզրակացության ձևակերպման մեջ օգտագործվում է $ n $ տառը, որը հավասար է տվյալ SLAE-ի փոփոխականների թվին։

Եզրակացություն Կրոնեկեր-Կապելլի թեորեմից

1. Եթե ​​$ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, ապա SLAE-ն անհամապատասխան է (լուծումներ չունի):
2. Եթե ​​$ \ rang A = \ rang \ լայնածավալ (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Եթե ​​$ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, ապա SLAE-ն որոշակի է (ունի ուղիղ մեկ լուծում):

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված թեորեմը և դրա հետևանքը չեն ցույց տալիս, թե ինչպես գտնել SLAE-ի լուծումը: Նրանց օգնությամբ կարելի է միայն պարզել՝ այդ լուծումները կա՞ն, թե՞ ոչ, եւ եթե կան, ապա քանիսը։

Օրինակ # 1

Ուսումնասիրեք SLAE $ \ ձախ \ (\ սկիզբ (հավասարեցված) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17; \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9; \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ Վերջ (հավասարեցված ) \ right $ համատեղելիության համար Եթե SLAE-ը համատեղելի է, նշեք լուծումների քանակը:

Տրված SLAE-ի լուծումների առկայությունը պարզելու համար օգտագործում ենք Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը։ Մեզ անհրաժեշտ է $ A $ համակարգի մատրիցը և $ \ widetilde (A) $ համակարգի ընդլայնված մատրիցը, մենք դրանք գրում ենք.

$$ A = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ վերջ (զանգված) \ աջ); \; \ լայնածավալ (A) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 \ վերջ (զանգված) \ աջ): $$

Գտեք $ \ rang A $ և $ \ rang \ widetilde (A) $: Դա անելու շատ եղանակներ կան, որոնցից մի քանիսը նշված են Matrix Rank բաժնում: Սովորաբար նման համակարգերի ուսումնասիրության համար օգտագործվում են երկու մեթոդ՝ «Մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ ըստ սահմանման» կամ «Մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ տարրական փոխակերպումների մեթոդով»։

Մեթոդ թիվ 1. Վարկանիշների հաշվարկ ըստ սահմանման.

Ըստ սահմանման, աստիճանը մատրիցային փոքրերի ամենաբարձր կարգն է, որոնց թվում կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական: Սովորաբար, ուսումնասիրությունը սկսվում է առաջին կարգի անչափահասներից, բայց այստեղ ավելի հարմար է անմիջապես սկսել $ A $ մատրիցայի երրորդ կարգի մինորը: Երրորդ կարգի մինորի տարրերը գտնվում են դիտարկվող մատրիցայի երեք տողերի և երեք սյունակների հատման կետում: Քանի որ $ A $ մատրիցը պարունակում է ընդամենը 3 տող և 3 սյունակ, $ A $ մատրիցի երրորդ կարգի մինորը $ A $ մատրիցի որոշիչն է, այսինքն. $ \ Delta A $. Դետերմինանտը հաշվարկելու համար կիրառենք թիվ 2 բանաձևը «Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու բանաձևեր» թեմայից.

$$ \ Delta A = \ ձախ | \ սկիզբ (զանգված) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ վերջ (զանգված) \ աջ | = -21: $$

Այսպիսով, կա $ A $ մատրիցայի երրորդ կարգի մինոր, որը հավասար չէ զրոյի: Անհնար է չորրորդ կարգի մինոր կազմել, քանի որ դրա համար պահանջվում է 4 տող և 4 սյունակ, իսկ $ A $ մատրիցայում կա ընդամենը 3 տող և 3 սյունակ: Այսպիսով, $ A $ մատրիցայի մինորների ամենաբարձր կարգը, որոնց մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, հավասար է 3-ի: Հետևաբար, $ \ ռանգ A = 3 $:

Մենք նաև պետք է գտնենք $ \ rang \ widetilde (A) $: Եկեք նայենք $ \ լայնածավալ (A) $ մատրիցայի կառուցվածքին: Դժոխքի $ \ widetilde (A) $ մատրիցում $ A $ մատրիցայի տարրերն են, և մենք պարզեցինք, որ $ \ Delta A \ neq 0 $: Հետևաբար, $ \ widetilde (A) $ մատրիցն ունի երրորդ կարգի մինոր, որը զրո չէ: Մենք չենք կարող կազմել $ \ widetilde (A) $ մատրիցի չորրորդ կարգի մինորները, այնպես որ մենք եզրակացնում ենք. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $:

Քանի որ $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, համակարգը հետևողական է, այսինքն. ունի լուծում (առնվազն մեկը): Լուծումների քանակը նշելու համար հաշվի առնենք, որ մեր SLAE-ն պարունակում է 3 անհայտ՝ $ x_1 $, $ x_2 $ և $ x_3 $: Քանի որ անհայտների թիվը $ n = 3 $ է, մենք եզրակացնում ենք. ունի միայն մեկ լուծում.

Խնդիրը լուծված է։ Որո՞նք են այս մեթոդի թերություններն ու առավելությունները: Նախ, եկեք խոսենք դրական կողմերի մասին: Նախ, մեզ միայն անհրաժեշտ էր գտնել մեկ որոշիչ: Դրանից հետո մենք անմիջապես եզրակացություն արեցինք լուծումների քանակի մասին։ Սովորաբար ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկներում տրվում են հավասարումների համակարգեր, որոնք պարունակում են երեք անհայտ և ունեն յուրահատուկ լուծում։ Նման համակարգերի համար այս մեթոդը նույնիսկ շատ հարմար է, քանի որ մենք նախապես գիտենք, որ լուծում կա (հակառակ դեպքում տիպիկ հաշվարկում օրինակ չէր լինի)։ Նրանք. մենք պարզապես պետք է ամենաարագ ճանապարհով ցույց տանք լուծումը։ Երկրորդ, համակարգի մատրիցայի որոշիչի հաշվարկված արժեքը (այսինքն՝ $ \ Delta A $) օգտակար կլինի այն բանից հետո, երբ մենք սկսենք լուծել տվյալ համակարգը Cramer մեթոդով կամ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Այնուամենայնիվ, վարկանիշի հաշվարկման մեթոդը, ըստ սահմանման, անցանկալի է, եթե $ A $ համակարգի մատրիցը ուղղանկյուն է: Այս դեպքում ավելի լավ է օգտագործել երկրորդ մեթոդը, որը կքննարկվի ստորև: Բացի այդ, եթե $ \ Delta A = 0 $, ապա մենք ոչինչ չենք կարող ասել տվյալ անհամասեռ SLAE-ի լուծումների քանակի մասին։ Միգուցե SLAE-ն ունի անսահման թվով լուծումներ, կամ գուցե ոչ մեկը: Եթե ​​$ \ Delta A = 0 $, ապա լրացուցիչ հետազոտություն է պահանջվում, որը հաճախ ծանրաբեռնված է:

Ամփոփելով ասվածը, ես նշում եմ, որ առաջին մեթոդը լավ է այն SLAE-ների համար, որոնցում համակարգի մատրիցը քառակուսի է: Այս դեպքում SLAE-ն ինքնին պարունակում է երեք կամ չորս անհայտ և վերցված է ստանդարտ բնորոշ հաշվարկներից կամ հսկիչ աշխատանքներից:

Մեթոդ թիվ 2. Տարրական փոխակերպումների մեթոդով աստիճանի հաշվարկ.

Այս մեթոդը մանրամասն նկարագրված է համապատասխան թեմայում: Մենք կսկսենք հաշվարկել $ \ widetilde (A) $ մատրիցայի աստիճանը: Ինչու՞ հենց $ \ widetilde (A) $ մատրիցները և ոչ $ A $: Փաստն այն է, որ $ A $ մատրիցը $ \ լայնածավալ (A) $ մատրիցայի մի մասն է, հետևաբար, հաշվարկելով $ \ widetilde (A) $ մատրիցայի աստիճանը, մենք միաժամանակ կգտնենք $ A մատրիցի աստիճանը: $.

\ սկիզբ (հավասարեցված) & \ լայնածավալ (A) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ վերջ (զանգված) \ աջ) \ աջ սլաք \ ձախ | \ տեքստ (փոխանակեք առաջին և երկրորդ տողերը) \ աջ | \ աջ սլաք \\ & \ աջ սլաք \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ վերջ (զանգված) \ աջ) \ սկիզբ (զանգված) (l) \ ուրվական (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ վերջ (զանգված) \ աջ սլաք \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ վերջ (զանգված) \ աջ) \ սկիզբ (զանգված) (լ) \ ուրվական (0) \\ \ ուրվական (0) \\ III-2 \ cdot II \ վերջ (զանգված) \ աջ սլաք \\ & \ աջ սլաք \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ վերջ (զանգված) \ աջ) \ վերջ (հավասարեցված)

Մենք $ \ widetilde (A) $ մատրիցը կրճատել ենք տրապեզոիդային ձևի: Ստացված մատրիցայի հիմնական դագոնալի վրա $ \ ձախ (\ սկսվում է (զանգված) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end ( զանգված) \ աջ) $ կան երեք ոչ զրոյական տարրեր՝ -1, 3 և -7։ Եզրակացություն. $ \ լայնածավալ (A) $ մատրիցայի աստիճանը 3 է, այսինքն. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $: Փոխակերպումներ կատարելով $ \ widetilde (A) $ մատրիցի տարրերով, մենք միաժամանակ փոխակերպեցինք $ A $ մատրիցայի տարրերը, որոնք գտնվում են մինչև գիծը: $ A $ մատրիցը նույնպես տրապիզոիդ է. $ \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ վերջ (զանգված) \ աջ $. Եզրակացություն. $ A $ մատրիցայի աստիճանը նույնպես հավասար է 3-ի, այսինքն. $ \ զանգ A = 3 $:

Քանի որ $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, համակարգը հետևողական է, այսինքն. լուծում ունի. Լուծումների քանակը նշելու համար հաշվի առնենք, որ մեր SLAE-ն պարունակում է 3 անհայտ՝ $ x_1 $, $ x_2 $ և $ x_3 $: Քանի որ անհայտների թիվը $ n = 3 $ է, մենք եզրակացնում ենք. ունի միայն մեկ լուծում.

Որո՞նք են երկրորդ մեթոդի առավելությունները: Հիմնական առավելությունը նրա բազմակողմանիությունն է։ Մեզ համար բացարձակապես կապ չունի համակարգի մատրիցան քառակուսի է, թե ոչ։ Բացի այդ, մենք իրականում իրականացրել ենք Գաուսի մեթոդի առաջընթացի փոխակերպումներ։ Մնացել են ընդամենը մի քանի գործողություն, և մենք կարող ենք ստանալ այս SLAE-ի լուծումը: Անկեղծ ասած, ինձ ավելի շատ դուր է գալիս երկրորդ մեթոդը, քան առաջինը, բայց ընտրությունը ճաշակի հարց է։

ՊատասխանելՏրված SLAE-ը հետևողական է և սահմանված:

Օրինակ թիվ 2

Ուսումնասիրեք SLAE $ \ ձախ \ (\ սկսվում (հավասարեցված) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1; \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2; \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1; \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4: \ Վերջ (հավասարեցված) \ աջ: $ Համատեղելիության համար:

Տարրական փոխակերպումների մեթոդով կգտնենք համակարգի մատրիցայի և համակարգի ընդլայնված մատրիցայի շարքերը։ Ընդլայնված համակարգի մատրիցա. $ \ լայնածավալ (A) = \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $: Գտեք պահանջվող շարքերը՝ փոխակերպելով համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը կրճատվում է աստիճանական ձևի: Եթե ​​մատրիցը կրճատվում է աստիճանական ձևի, ապա դրա աստիճանը հավասար է ոչ զրոյական տողերի թվին: Հետևաբար, $ \ ռանգ A = 3 $: $ A $ մատրիցը (մինչև տող) կրճատվում է տրապեզոիդ ձևի և դրա վարկանիշը 2 է, $ \ rang A = 2 $:

Քանի որ $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, համակարգը անհամապատասխան է (այսինքն, լուծումներ չունի):

ՊատասխանելՀամակարգը անհամապատասխան է:

Օրինակ թիվ 3

Ուսումնասիրեք SLAE $ \ ձախ \ (\ սկսվում (հավասարեցված) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ & -3x_1 + 9x_2-11_5 -3- ; \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90; \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ Վերջ (հավասարեցված) \ աջ: $ Համատեղելիության համար:

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը հետևյալն է. & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $. Եկեք փոխանակենք այս մատրիցայի առաջին և երկրորդ տողերն այնպես, որ առաջին տողի առաջին տարրը լինի մեկ՝ $ \ ձախ (\ սկիզբ (զանգված) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ վերջ (զանգված) \ աջ) $:

Մենք կրճատել ենք ընդլայնված համակարգի մատրիցը և ինքնին համակարգի մատրիցը տրապեզոիդային ձևի: Համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը երեք է, համակարգի մատրիցայի աստիճանը նույնպես երեք է։ Քանի որ համակարգը պարունակում է $ n = 5 $ անհայտներ, այսինքն. $ \ rang \ լայնածավալ (A) = \ rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

ՊատասխանելՀամակարգը սահմանված չէ:

Երկրորդ մասում մենք կվերլուծենք օրինակներ, որոնք հաճախ ներառված են բարձրագույն մաթեմատիկայի բնորոշ հաշվարկներում կամ թեստերում. համատեղելիության ուսումնասիրություն և SLAE-ի լուծում՝ կախված դրանում ներառված պարամետրերի արժեքներից:

Օրինակ 1... Գտեք համակարգի ընդհանուր լուծում և որոշակի լուծում

Լուծումիրականացնում ենք հաշվիչի օգնությամբ. Դուրս գրենք ընդլայնված և հիմնական մատրիցները.

Կետավոր գիծը բաժանում է հիմնական մատրիցը A: Վերևում գրում ենք անհայտ համակարգերը՝ նկատի ունենալով համակարգի հավասարումների մեջ տերմինների հնարավոր վերադասավորումը: Որոշելով ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը, մենք միաժամանակ գտնում ենք վարկանիշը և հիմնականը: B մատրիցում առաջին և երկրորդ սյունակները համաչափ են: Երկու համամասնական սյունակներից միայն մեկը կարող է ընկնել հիմնական մինորում, ուստի մենք, օրինակ, առաջին սյունակը փոխանցում ենք գծագծի ետևում հակառակ նշանով: Համակարգի համար սա նշանակում է տերմինները x 1-ից տեղափոխել հավասարումների աջ կողմ:

Եկեք մատրիցը բերենք եռանկյունի: Մենք կաշխատենք միայն տողերի հետ, քանի որ մատրիցայի տողը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելը և համակարգի համար մեկ այլ տող ավելացնելը նշանակում է հավասարումը նույն թվով բազմապատկել և ավելացնել այն մեկ այլ հավասարման, որը չի փոխում խնդրի լուծումը: համակարգը. Աշխատում ենք առաջին շարքով՝ մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկել (-3) և հերթով ավելացնել երկրորդ և երրորդ շարքերը։ Այնուհետև առաջին շարքը բազմապատկում ենք (-2) և ավելացնում չորրորդին։

Երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են, հետևաբար դրանցից մեկը, օրինակ երկրորդը, կարելի է հատել։ Սա հավասարազոր է համակարգի երկրորդ հավասարումը ջնջելուն, քանի որ դա երրորդի հետևանք է։

Այժմ մենք աշխատում ենք երկրորդ տողի հետ՝ այն բազմապատկեք (-1) և ավելացրեք երրորդին։

Կտրված մինորն ունի ամենաբարձր կարգը (հնարավոր փոքրերից) և ոչ զրոյական է (այն հավասար է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալին), և այս փոքրը պատկանում է և՛ հիմնական մատրիցին, և՛ ընդլայնվածին, հետևաբար, rangA = RangB = 3:
Անչափահաս հիմնական է. Այն ներառում է x 2, x 3, x 4 անհայտների գործակիցները, ինչը նշանակում է, որ x 2, x 3, x 4 անհայտները կախված են, իսկ x 1, x 5-ն ազատ են:
Մենք վերափոխում ենք մատրիցը, ձախ կողմում թողնելով միայն հիմնական մինորը (որը համապատասխանում է վերը նշված լուծման ալգորիթմի 4-րդ կետին):

Այս մատրիցայի գործակիցներով համակարգը համարժեք է սկզբնական համակարգին և ունի ձև

Օգտագործելով անհայտների վերացման մեթոդը, մենք գտնում ենք.
, ,

Մենք ստացանք x 2, x 3, x 4 կախյալ փոփոխականներն արտահայտող գործակիցները ազատ x 1 և x 5-ի միջոցով, այսինքն՝ գտանք ընդհանուր լուծում.

Ազատ անհայտներին ցանկացած արժեք վերագրելով՝ մենք ստանում ենք այնքան կոնկրետ լուծումներ, որքան ցանկանում ենք: Գտնենք երկու կոնկրետ լուծում.
1) թող x 1 = x 5 = 0, ապա x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) դրեք x 1 = 1, x 5 = -1, ապա x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7:
Այսպիսով, մենք գտանք երկու լուծում՝ (0.1, -3.3.0) - մեկ լուծում, (1.4, -7.7, -1) - մեկ այլ լուծում:

Օրինակ 2... Հետազոտեք համատեղելիությունը, գտեք համակարգի ընդհանուր և մեկ կոնկրետ լուծում

Լուծում... Մենք վերադասավորում ենք առաջին և երկրորդ հավասարումները, որպեսզի առաջին հավասարման մեջ միասնություն լինի և գրենք B մատրիցը:

Չորրորդ սյունակում մենք ստանում ենք զրոներ, որոնք գործում են առաջին շարքում.

Այժմ մենք ստանում ենք երրորդ սյունակի զրոները՝ օգտագործելով երկրորդ տողը.

Երրորդ և չորրորդ տողերը համաչափ են, ուստի դրանցից մեկը կարող է հատվել առանց աստիճանը փոխելու.
Երրորդ շարքը բազմապատկում ենք (–2) և ավելացնում չորրորդին.

Մենք տեսնում ենք, որ հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերը հավասար են 4-ի, իսկ դասակարգումը համընկնում է անհայտների թվի հետ, հետևաբար, համակարգն ունի եզակի լուծում.
;
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11:

Օրինակ 3... Ուսումնասիրեք համակարգը համատեղելիության համար և գտնեք լուծում, եթե այն կա:

Լուծում... Մենք կազմում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցա:

Մենք վերադասավորում ենք առաջին երկու հավասարումները այնպես, որ վերին ձախ անկյունում լինի 1.
Առաջին տողը բազմապատկելով (-1-ով), այն ավելացրեք երրորդին.

Երկրորդ շարքը բազմապատկեք (-2) և ավելացրեք երրորդին.

Համակարգը անհամապատասխան է, քանի որ հիմնական մատրիցում մենք ստացել ենք զրոներից բաղկացած տող, որը խաչվում է, երբ գտնում են աստիճանը, իսկ ընդլայնված մատրիցում կմնա վերջին տողը, այսինքն՝ r B> r A:

Զորավարժություններ... Հետազոտեք այս հավասարումների համակարգը հետևողականության համար և լուծեք այն օգտագործելով մատրիցային հաշվարկ:
Լուծում

Օրինակ... Ապացուցե՛ք գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը և լուծե՛ք այն երկու եղանակով՝ 1) Գաուսի մեթոդով. 2) Կրամերի մեթոդը. (պատասխանը մուտքագրեք x1, x2, x3 ձևով)
Լուծում. doc: doc: xls
Պատասխան. 2,-1,3.

Օրինակ... Տրված է գծային հավասարումների համակարգ։ Ապացուցեք դրա համատեղելիությունը: Գտեք համակարգի ընդհանուր լուծում և մեկ կոնկրետ լուծում:
Լուծում
Պատասխան. x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Զորավարժություններ... Գտեք ընդհանուր և հատուկ լուծումներ յուրաքանչյուր համակարգի համար:
Լուծում.Եկեք ուսումնասիրենք այս համակարգը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը:
Դուրս գրենք ընդլայնված և հիմնական մատրիցները.

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Այստեղ Ա մատրիցը թավ է:
Եկեք մատրիցը բերենք եռանկյունաձև ձևի։ Մենք կաշխատենք միայն տողերով, քանի որ մատրիցայի տողը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելը և համակարգի համար մեկ այլ տող ավելացնելը նշանակում է հավասարումը նույն թվով բազմապատկել և ավելացնել այն մեկ այլ հավասարման, որը չի փոխում խնդրի լուծումը: համակարգը.
1-ին շարքը բազմապատկեք (3-ով): 2-րդ շարքը բազմապատկեք (-1-ով): Ավելացնենք 2-րդ տողը 1-ին.

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2-րդ շարքը բազմապատկեք (2-ով): 3-րդ շարքը բազմապատկեք (-3-ով): 2-րդին ավելացնենք 3-րդ տողը.

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2-րդ շարքը բազմապատկեք (-1-ով): Ավելացնենք 2-րդ տողը 1-ին.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Ընդգծված մինորն ունի ամենաբարձր կարգը (հնարավոր փոքրերից) և ոչ զրոյական է (այն հավասար է հակադարձ անկյունագծի տարրերի արտադրյալին), և այս փոքրը պատկանում է և՛ հիմնական մատրիցին, և՛ ընդլայնվածին, հետևաբար, զանգը ( A) = ռանգ (B) = 3. Քանի որ հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնվածի աստիճանին, ապա համակարգը համատեղ է.
Այս անչափահասը հիմնական է: Այն ներառում է x 1, x 2, x 3 անհայտների գործակիցները, ինչը նշանակում է, որ x 1, x 2, x 3 անհայտները կախված են (հիմնական), իսկ x 4, x 5-ն ազատ են:
Մենք վերափոխում ենք մատրիցը, ձախ կողմում թողնելով միայն հիմնական մինորը:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Այս մատրիցայի գործակիցներով համակարգը համարժեք է սկզբնական համակարգին և ունի ձև.
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Օգտագործելով անհայտները վերացնելու մեթոդը, մենք գտնում ենք.
Մենք ստացանք x 1, x 2, x 3 կախյալ փոփոխականներն արտահայտող հարաբերություններ ազատ x 4, x 5-ի միջոցով, այսինքն՝ գտանք. ընդհանուր որոշում:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
չսահմանվածքանի որ ունի մեկից ավելի լուծումներ.

Զորավարժություններ... Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը։
Պատասխանել x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Ազատ անհայտներին ցանկացած արժեք վերագրելով՝ մենք ստանում ենք այնքան կոնկրետ լուծումներ, որքան ցանկանում ենք: Համակարգն է չսահմանված