بسط های سری استاندارد تیلور. سری Maclaurin و گسترش برخی از توابع

اگر تابع f (x)در برخی از بازه های حاوی نقطه است آ، مشتقات همه سفارشات، سپس فرمول تیلور را می توان برای آن اعمال کرد:

جایی که r n- به اصطلاح باقی مانده یا باقیمانده سری را می توان با استفاده از فرمول لاگرانژ تخمین زد:

، جایی که عدد x بین آن قرار دارد ایکسو آ.

اگر برای مقداری ارزش x r n®0 برای n® ¥، سپس در حد، فرمول تیلور برای این مقدار به یک همگرا تبدیل می شود سریال تیلور:

بنابراین تابع f (x)را می توان در یک سری تیلور در نقطه مورد بررسی گسترش داد ایکس، اگر:

1) دارای مشتقات تمام سفارشات است.

2) سری ساخته شده در این نقطه همگرا می شود.

در آ= 0 یک سری به نام دریافت می کنیم نزدیک مکلارین:

مثال 1 f (x) = 2ایکس.

راه حل... اجازه دهید مقادیر تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم ایکس=0

f (x) = 2ایکس, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2ایکس ln2، f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2ایکس ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2ایکسلوگاریتم n 2, f (n) ( 0) = 2 0 لوگاریتم n 2 = ln n 2.

با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به فرمول سری تیلور، به دست می آوریم:

شعاع همگرایی این سری برابر با بی نهایت است؛ بنابراین، این بسط برای - ¥ معتبر است.<ایکس<+¥.

مثال 2 ایکس+4) برای تابع f (x) =ه ایکس.

راه حل... مشتقات تابع e را بیابید ایکسو ارزش آنها در نقطه ایکس=-4.

f (x)= e ایکس, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e ایکس, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e ایکس, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e ایکس, f (n) ( -4) = e -4 .

بنابراین، سری تیلور مورد نیاز تابع به شکل زیر است:

این بسط برای - ¥ نیز معتبر است<ایکس<+¥.

مثال 3 ... گسترش تابع f (x)= ln ایکسدر یک سری در قدرت ( ایکس- 1),

(یعنی در سری تیلور در مجاورت نقطه ایکس=1).

راه حل... مشتقات این تابع را بیابید.

با جایگزینی این مقادیر در فرمول، سری تیلور مورد نیاز را دریافت می کنیم:

با استفاده از آزمون d'Alembert، می توان مطمئن شد که سری برای همگرا هستند

½ ایکس- 1 ½<1. Действительно,

سری همگرا می شود اگر ½ ایکس- 1 ½<1, т.е. при 0<ایکس<2. При ایکس= 2 یک سری متناوب به دست می آوریم که شرایط آزمون لایب نیتس را برآورده می کند. در ایکس= 0 تابع تعریف نشده است. بنابراین، دامنه همگرایی سری تیلور بازه نیمه باز است (0؛ 2).

اجازه دهید بسط های به دست آمده را به روشی مشابه در سری Maclaurin (یعنی در مجاورت نقطه) ارائه کنیم. ایکس= 0) برای برخی از توابع ابتدایی:

(2) ,

(3) ,

(آخرین تجزیه نامیده می شود سری دوجمله ای)

مثال 4 ... یک تابع را در یک سری توان بسط دهید

راه حل... در بسط (1) جایگزین می کنیم ایکسدر - ایکس 2، دریافت می کنیم:

مثال 5 ... تابع سری Maclaurin را گسترش دهید

راه حل... ما داریم

با استفاده از فرمول (4) می توانیم بنویسیم:

جایگزین کردن برای ایکسبه فرمول -ایکس، ما گرفتیم:

از اینجا متوجه می شویم:

با گسترش براکت ها، مرتب کردن مجدد اصطلاحات سری و کاهش اصطلاحات مشابه، به دست می آوریم

این سری در بازه همگرا می شود

(-1؛ 1)، زیرا از دو سری به دست می آید که هر کدام در این بازه همگرا می شوند.

اظهار نظر .

از فرمول های (1) - (5) نیز می توان برای گسترش توابع مربوطه در یک سری تیلور استفاده کرد. برای بسط توابع در توان های عدد صحیح مثبت ( ها). برای انجام این کار، بر روی یک تابع معین، لازم است چنین تبدیل های یکسانی انجام شود تا یکی از توابع (1) - (5) به دست آید، که در آن، به جای ایکسهزینه های k ( ها) m، جایی که k یک عدد ثابت است، m یک عدد صحیح مثبت است. اغلب تغییر متغیر راحت است تی=هاو تابع حاصل را با توجه به t در یک سری Maclaurin گسترش دهید.

این روش قضیه منحصر به فرد بودن بسط یک تابع در یک سری توانی را نشان می دهد. ماهیت این قضیه این است که در مجاورت یک نقطه، دو سری توان متفاوت را نمی توان به دست آورد که به یک تابع همگرا شوند، مهم نیست که چگونه بسط آن انجام شود.

مثال 6 ... یک تابع را در یک سری تیلور در همسایگی یک نقطه بسط دهید ایکس=3.

راه حل... این مشکل را می توان مانند قبل با استفاده از تعریف سری تیلور حل کرد که برای آن لازم است مشتقات تابع و مقادیر آنها را در ایکس= 3. با این حال، استفاده از تجزیه موجود آسان تر خواهد بود (5):

سری به دست آمده برای همگرا می شود یا -3<ایکس- 3<3, 0<ایکس< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

مثال 7 ... سری تیلور را با قدرت بنویسید ( ایکس-1) توابع .

راه حل.

مجموعه در همگرا می شود ، یا 2< ایکس 5 پوند

اگر تابع f (x) مشتقاتی از تمام دستورات در بازه‌ای حاوی نقطه a داشته باشد، می‌توان فرمول تیلور را برای آن اعمال کرد:
,
جایی که r n- به اصطلاح باقی مانده یا باقیمانده سری را می توان با استفاده از فرمول لاگرانژ تخمین زد:
، جایی که عدد x بین x و a است.

قوانین ورود توابع:

اگر برای مقداری ارزش ایکس r n→ 0 برای n∞، سپس در حد، فرمول تیلور برای این مقدار به یک همگرا تبدیل می شود سریال تیلور:
,
بنابراین، تابع f (x) را می توان در یک سری تیلور در نقطه x در نظر گرفت، اگر:
1) دارای مشتقات تمام سفارشات است.
2) سری ساخته شده در این نقطه همگرا می شود.

برای a = 0 یک سری به نام بدست می آوریم نزدیک مکلارین:
,
بسط ساده ترین توابع (ابتدایی) در سری Maclaurin:
توابع نشانگر
، R = ∞
توابع مثلثاتی
، R = ∞
، R = ∞
، (-π / 2< x < π/2), R=π/2
تابع actgx در توان های x گسترش نمی یابد، زیرا ctg0 = ∞
توابع هذلولی

توابع لگاریتمی
, -1
سری دو جمله ای
.

مثال شماره 1. یک تابع را در یک سری توان بسط دهید f (x) = 2ایکس.
راه حل... اجازه دهید مقادیر تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم ایکس=0
f (x) = 2ایکس, f ( 0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2ایکس ln2، f"( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f "" (x) = 2ایکس ln 2 2, f "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2ایکسلوگاریتم n 2, f (n) ( 0) = 2 0 لوگاریتم n 2 = ln n 2.
با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به فرمول سری تیلور، به دست می آوریم:

شعاع همگرایی این سری برابر با بی نهایت است، بنابراین این بسط برای -∞ معتبر است.<ایکس<+∞.

مثال شماره 2. سری تیلور را با قدرت بنویسید ( ایکس+4) برای تابع f (x) =ه ایکس.
راه حل... مشتقات تابع e را بیابید ایکسو ارزش آنها در نقطه ایکس=-4.
f (x)= e ایکس, f (-4) = e -4 ;
f "(x)= e ایکس, f"(-4) = e -4 ;
f "" (x)= e ایکس, f "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e ایکس, f (n) ( -4) = e -4 .
بنابراین، سری تیلور مورد نیاز تابع به شکل زیر است:

این تجزیه برای -∞ نیز معتبر است<ایکس<+∞.

مثال شماره 3. گسترش تابع f (x)= ln ایکسدر یک سری در قدرت ( ایکس- 1),
(یعنی در سری تیلور در مجاورت نقطه ایکس=1).
راه حل... مشتقات این تابع را بیابید.
f (x) = lnx،،،،

f (1) = ln1 = 0، f "(1) = 1، f" "(1) = - 1، f" "" (1) = 1 * 2، ...، f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
با جایگزینی این مقادیر در فرمول، سری تیلور مورد نیاز را دریافت می کنیم:

با استفاده از آزمون d'Alembert، می توان مطمئن شد که این سری برای ½x-1½ همگرا هستند.<1 . Действительно,

سری همگرا می شود اگر ½ ایکس- 1 ½<1, т.е. при 0<ایکس<2. При ایکس= 2 یک سری متناوب به دست می آوریم که شرایط آزمون لایب نیتس را برآورده می کند. برای x = 0، تابع تعریف نشده است. بنابراین، دامنه همگرایی سری تیلور بازه نیمه باز است (0؛ 2).

مثال شماره 4. عملکرد را در یک سری توانی بسط دهید.
راه حل... در بسط (1) x را با -x 2 جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:
, -∞

مثال شماره 5. تابع Maclaurin را گسترش دهید.
راه حل... ما داریم
با استفاده از فرمول (4) می توانیم بنویسیم:

به جای x در فرمول -x، دریافت می کنیم:

از اینجا پیدا می کنیم: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
با گسترش براکت ها، مرتب کردن مجدد اصطلاحات سری و کاهش اصطلاحات مشابه، به دست می آوریم
... این سری در بازه (-1؛ 1) همگرا می شود، زیرا از دو سری به دست می آید که هر کدام در این بازه همگرا می شوند.

اظهار نظر .
از فرمول های (1) - (5) نیز می توان برای گسترش توابع مربوطه در یک سری تیلور استفاده کرد. برای بسط توابع در توان های عدد صحیح مثبت ( ها). برای انجام این کار، بر روی یک تابع معین، لازم است چنین تبدیل های یکسانی انجام شود تا یکی از توابع (1) - (5) به دست آید، که در آن، به جای ایکسهزینه های k ( ها) m، جایی که k یک عدد ثابت است، m یک عدد صحیح مثبت است. اغلب تغییر متغیر راحت است تی=هاو تابع حاصل را با توجه به t در یک سری Maclaurin گسترش دهید.

این روش بر اساس قضیه یکتایی برای بسط یک تابع در یک سری توان است. ماهیت این قضیه این است که در مجاورت یک نقطه، دو سری توان متفاوت را نمی توان به دست آورد که به یک تابع همگرا شوند، مهم نیست که چگونه بسط آن انجام شود.

مثال شماره 5a. تابع را در یک سری Maclaurin گسترش دهید، ناحیه همگرایی را نشان دهید.
راه حل. ابتدا 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x) را پیدا کنید.
به ابتدایی:

کسر 3 / (1-3x) را می توان به عنوان مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش با مخرج 3x مشاهده کرد، اگر | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

با منطقه همگرایی | x |< 1/3.

مثال شماره 6. تابع را در یک سری تیلور در مجاورت نقطه x = 3 گسترش دهید.
راه حل... این مشکل را می توان مانند قبل با استفاده از تعریف سری تیلور حل کرد که برای آن لازم است مشتقات تابع و مقادیر آنها را در ایکس= 3. با این حال، استفاده از تجزیه موجود آسان تر خواهد بود (5):
=
سری حاصل در 3- یا همگرا می شود

مثال شماره 7. سری تیلور را با توان (x -1) تابع ln (x + 2) بنویسید.
راه حل.

سری در 2- یا همگرا می شود< x < 5.

مثال شماره 8. تابع f (x) = sin (πx / 4) را در یک سری تیلور در مجاورت نقطه x = 2 گسترش دهید.
راه حل... بیایید جایگزین t = x-2 را ایجاد کنیم:

با استفاده از بسط (3)، که در آن π / 4 t را به جای x جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:

سری حاصل به یک تابع داده شده در -∞ همگرا می شود< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞به این ترتیب،
, (-∞

محاسبات تقریبی با استفاده از سری پاور

سری های توان به طور گسترده ای در محاسبات تقریبی استفاده می شود. با کمک آنها، با دقت داده شده، می توانید مقادیر ریشه ها، توابع مثلثاتی، لگاریتم اعداد، انتگرال های معین را محاسبه کنید. این سری همچنین هنگام ادغام معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.
بسط یک تابع در یک سری توان را در نظر بگیرید:

به منظور محاسبه مقدار تقریبی تابع در یک نقطه داده شده ایکسمتعلق به منطقه همگرایی سری نشان داده شده، اولین nاعضا ( nیک عدد محدود است)، و عبارات باقی مانده کنار گذاشته می شوند:

برای تخمین خطای مقدار تقریبی به دست آمده، لازم است باقیمانده دور ریخته شده r n (x) تخمین زده شود. برای این کار از تکنیک های زیر استفاده می شود:

اگر سری حاصل با علائم متناوب باشد، از ویژگی زیر استفاده می شود: برای یک سری متناوب که شرایط لایب نیتس را برآورده می کند، باقیمانده سری در مقدار مطلق از اولین جمله حذف شده تجاوز نمی کند..
اگر ردیف داده شده از نظر علامت ثابت باشد، آنگاه ردیفی که از عبارات دور ریخته شده تشکیل شده است با یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش مقایسه می شود.
در حالت کلی، برای تخمین باقی مانده سری تیلور، می توان از فرمول لاگرانژ استفاده کرد: a ایکس ).

مثال شماره 1. ln (3) را با نزدیکترین 0.01 محاسبه کنید.
راه حل... بیایید از تجزیه استفاده کنیم، که در آن x = 1/2 (به مثال 5 در مبحث قبلی مراجعه کنید):

بیایید بررسی کنیم که آیا می‌توانیم باقیمانده را پس از سه ترم اول بسط حذف کنیم، برای این کار، آن را با استفاده از مجموع یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت در حال کاهش تخمین می‌زنیم:

بنابراین ما می توانیم این باقیمانده را دور بیندازیم و بدست آوریم

مثال شماره 2. با نزدیکترین 0.0001 محاسبه کنید.
راه حل... بیایید از سری دو جمله ای استفاده کنیم. از آنجایی که 5 3 مکعب یک عدد صحیح نزدیک به 130 است، توصیه می شود عدد 130 را به صورت 130 = 5 3 +5 نشان دهیم.

از آنجایی که قبلاً چهارمین عبارت سری متناوب بدست آمده که معیار لایب نیتس را برآورده می کند کمتر از دقت لازم است:
بنابراین، می توان آن و اعضای پس از آن را کنار گذاشت.
بسیاری از انتگرال‌های معین یا نادرست عملاً ضروری را نمی‌توان با استفاده از فرمول نیوتن-لایب‌نیتس محاسبه کرد، زیرا کاربرد آن با یافتن یک پاد مشتق همراه است، که اغلب بیانی در توابع ابتدایی ندارد. همچنین اتفاق می‌افتد که یافتن ضد مشتق ممکن است، اما بی‌رویه پر زحمت. با این حال، اگر بتوان انتگرال را به یک سری توانی گسترش داد و حدود یکپارچگی مربوط به بازه همگرایی این سری باشد، محاسبه تقریبی انتگرال با دقت از پیش تعیین شده امکان پذیر است.

مثال شماره 3. انتگرال ∫ 0 1 4 sin (x) x را تا 10 -5 ارزیابی کنید.
راه حل... انتگرال نامعین مربوطه را نمی توان در توابع ابتدایی بیان کرد، یعنی. یک "انتگرال نشکن" است. استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در اینجا غیرممکن است. اجازه دهید انتگرال را تقریباً محاسبه کنیم.
با تقسیم سریال برای گناه ایکسبر روی ایکس، ما گرفتیم:

با ادغام این سری به صورت ترم (این امکان پذیر است، زیرا حدود ادغام مربوط به فاصله همگرایی این سری است)، به دست می آوریم:

از آنجایی که سری به دست آمده شرایط لایب نیتس را برآورده می کند، کافی است مجموع دو جمله اول را بگیرید تا مقدار مورد نظر را با دقت مشخص به دست آورید.
بنابراین، ما پیدا می کنیم
.

مثال شماره 4. انتگرال ∫ 0 1 4 e x 2 را به نزدیکترین 0.001 ارزیابی کنید.
راه حل.
... بیایید بررسی کنیم که آیا می‌توانیم باقیمانده را بعد از ترم دوم سری به‌دست‌آمده دور بریزیم.
0.0001<0.001. Следовательно, .

در تئوری سری تابعی، بخش مرکزی به بسط یک تابع در یک سری اختصاص دارد.

بنابراین، مشکل مطرح می شود: برای یک تابع معین برای یافتن چنین سری توانی لازم است

که در فاصله ای همگرا شد و مجموع آن برابر بود
, آن ها

= ..

این وظیفه نامیده می شود مشکل بسط یک تابع در یک سری توان.

شرط لازم برای بسط یک تابع در یک سری توانتمایز آن به تعداد بی نهایت بار است - این از ویژگی های سری توان همگرا ناشی می شود. این شرط، به عنوان یک قاعده، برای توابع ابتدایی در محدوده تعریف آنها برآورده می شود.

بنابراین، تابع را فرض کنید
مشتقات هر مرتبه ای دارد. در صورت امکان در سری پاور امکان گسترش آن وجود دارد، پس چگونه می توان این سری را پیدا کرد؟ حل بخش دوم مشکل آسان تر است و ما با آن شروع می کنیم.

اجازه دهید فرض کنیم که تابع
را می توان به صورت مجموع یک سری توان همگرا در بازه حاوی نقطه نشان داد ایکس 0 :

= .. (*)

جایی که آ 0 ،آ 1 ،آ 2 ،...،آ پ ,... - ضرایب تعریف نشده (هنوز).

مقدار را برابر (*) قرار می دهیم x = x 0 , سپس دریافت می کنیم

اجازه دهید سری توان (*) را به صورت ترم متمایز کنیم

= ..

و با فرض اینجا x = x 0 , گرفتن

با تمایز بعدی سری بدست می آوریم

= ..

با فرض اینکه x = x 0 , گرفتن
، جایی که
.

بعد از پتمایز برابر، به دست می آوریم

تنظیم در آخرین برابری x = x 0 , گرفتن
، جایی که

بنابراین، ضرایب پیدا می شود

,
,
, …,
,….,

با جایگزین کردن آنها به سری (*)، دریافت می کنیم

سری حاصل نامیده می شود در کنار تیلور برای عملکرد
.

بنابراین، ما آن را ثابت کردیم اگر بتوان تابع را در یک سری توان در توان ها گسترش داد (x - x 0 )، پس این بسط منحصر به فرد است و سریال حاصل لزوماً یک سری تیلور است.

توجه داشته باشید که سری تیلور را می توان برای هر تابعی به دست آورد که مشتقاتی با هر مرتبه در آن نقطه دارد x = x 0 . اما این بدان معنا نیست که می توان علامت مساوی را بین تابع و سری حاصل قرار داد. که مجموع سری برابر با تابع اصلی است. اولاً، چنین برابری ممکن است فقط در ناحیه همگرایی معنا داشته باشد و سری تیلور به دست آمده برای تابع ممکن است واگرا شود و ثانیاً اگر سری تیلور همگرا شود، مجموع آن ممکن است با تابع اصلی منطبق نباشد.

3.2. شرایط کافی برای بسط یک تابع در سری تیلور

اجازه دهید بیانیه ای را تنظیم کنیم که با کمک آن تکلیف تعیین شده حل می شود.

اگر تابع
در برخی از همسایگی های نقطه x 0 دارای مشتقات تا (n+ 1) از ترتیب شامل، سپس در این محلهفرمول تیلور

جایی کهآر n (ایکس)باقیمانده فرمول تیلور است - دارای فرم (شکل لاگرانژ)

جایی که نقطهξ بین x و x قرار دارد 0 .

توجه داشته باشید که بین سری تیلور و فرمول تیلور تفاوت وجود دارد: فرمول تیلور یک مجموع محدود است، یعنی. پ -شماره ثابت

به یاد بیاورید که مجموع سریال اس(ایکس) را می توان به عنوان حد توالی تابعی مجموع جزئی تعریف کرد اس پ (ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس:

بر این اساس، گسترش یک تابع در یک سری تیلور به معنای یافتن یک سری است که برای هر کدام ایکسایکس

فرمول تیلور را به شکل، کجا می نویسیم

توجه کنید که
خطایی که دریافت می کنیم را تعریف می کند، تابع را جایگزین کنید f(ایکس) چند جمله ای اس n (ایکس).

اگر
، سپس
، آن ها این تابع به یک سری تیلور گسترش می یابد. برعکس، اگر
، سپس
.

بنابراین، ما ثابت کرده ایم معیاری برای بسط یک تابع در سری تیلور.

به این منظور که در یک بازه زمانی تابعf(x) به یک سری تیلور گسترش یافته است، لازم و کافی است که در این بازه
، جایی کهآر n (ایکس) باقی مانده از سری تیلور است.

با استفاده از معیار فرموله شده می توان به دست آورد کافیشرایط برای گسترش تابع در سری تیلور.

اگر درنزدیکی نقطه x 0 مقادیر مطلق تمام مشتقات تابع با همان عدد M محدود می شود≥ 0، یعنی

، تیo در این همسایگی تابع در یک سری تیلور گسترش می یابد.

از موارد فوق نتیجه می گیرد الگوریتمتجزیه تابع f(ایکس) در سری تیلوردر مجاورت نقطه ایکس 0 :

1. مشتقات تابع را بیابید f(ایکس):

f (x)، f ‘(x)، f” (x)، f’” (x)، f (ن) (ایکس)، ...

2. مقدار تابع و مقادیر مشتقات آن را در نقطه محاسبه می کنیم ایکس 0

f (x 0 ), f' (x 0 ), f ” (x 0 )، f ’” (x 0 ، f (ن) (ایکس 0 ),…

3. سری تیلور را به طور رسمی یادداشت کنید و ناحیه همگرایی سری توان حاصل را بیابید.

4. ما انجام شرایط کافی را بررسی می کنیم. ایجاد می کنیم که برای آن ایکساز حوزه همگرایی، بقیه آر n (ایکس) به صفر میل می کند
یا
.

بسط توابع در یک سری تیلور طبق این الگوریتم نامیده می شود بسط تابع در یک سری تیلور طبق تعریفیا تجزیه مستقیم

16.1. بسط توابع ابتدایی در سری تیلور و

ماکلورین

اجازه دهید نشان دهیم که اگر یک تابع دلخواه در مجموعه تعریف شده باشد
، در مجاورت نقطه
مشتقات زیادی دارد و مجموع یک سری توان است:

سپس ضرایب این سری را می توان یافت.

جایگزین در سری پاور
... سپس
.

اولین مشتق تابع را پیدا کنید
:

در
:
.

برای مشتق دوم بدست می آوریم:

در
:
.

ادامه این رویه nزمانی که می گیریم:
.

بنابراین، ما یک سری قدرت از فرم به دست آوردیم:

که نامیده می شود در کنار تیلوربرای عملکرد
در مجاورت نقطه
.

یک مورد خاص از سری تیلور است سری Maclaurinدر
:

باقی مانده سری تیلور (Maclaurin) با دور انداختن ردیف های اصلی به دست می آید nاولین اعضا و نشان داده شده به عنوان
... سپس تابع
را می توان به صورت مجموع نوشت nاعضای اولیه یک شماره
و بقیه
:,

باقی مانده معمولا
در فرمول های مختلف بیان می شود.

یکی از آنها به شکل لاگرانژ است:

، جایی که
.
.

توجه داشته باشید که در عمل از سری Maclaurin بیشتر استفاده می شود. بنابراین، برای نوشتن تابع
در قالب مجموع یک سری توان لازم است:

1) ضرایب سری Maclaurin (Taylor) را پیدا کنید.

2) ناحیه همگرایی سری توان به دست آمده را پیدا کنید.

3) ثابت کنید که سری داده شده به تابع همگرا می شود
.

قضیه1 (شرط لازم و کافی برای همگرایی سری Maclaurin). اجازه دهید شعاع همگرایی سری
... برای اینکه این سری در بازه همگرا شوند
برای عملکرد
، لازم و کافی است برای شرط:
در بازه زمانی مشخص شده

قضیه 2.اگر مشتقات هر مرتبه ای از تابع
در یک فاصله زمانی
محدود به مقدار مطلق به همان تعداد م، به این معنا که
، سپس در این بازه تابع
را می توان به یک سری Maclaurin گسترش داد.

مثال1 . در یک ردیف تیلور اطراف نقطه را باز کنید
عملکرد.

راه حل.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

منطقه همگرایی
.

مثال2 . گسترش تابع در ردیف تیلور در اطراف نقطه
.

راه حل:

مقدار تابع و مشتقات آن را در پیدا کنید
.

,
;

...........……………………………

,
.

ما این مقادیر را در یک ردیف جایگزین می کنیم. ما گرفتیم:

یا
.

بیایید منطقه همگرایی این سری را پیدا کنیم. با توجه به ویژگی d'Alembert، سریال همگرا می شود اگر

بنابراین، برای هر این حد کمتر از 1 است و بنابراین منطقه همگرایی سری خواهد بود:
.

اجازه دهید چندین مثال از بسط در سری توابع ابتدایی ابتدایی Maclaurin را در نظر بگیریم. به یاد بیاورید که سری Maclaurin:

روی بازه همگرا می شود
برای عملکرد
.

توجه داشته باشید که برای گسترش تابع در یک سری، لازم است:

الف) ضرایب سری Maclaurin را برای این تابع پیدا کنید.

ب) شعاع همگرایی سری حاصل را محاسبه کنید.

ج) ثابت کنید که سری حاصل به تابع همگرا می شود
.

مثال 3.تابع را در نظر بگیرید
.

راه حل.

اجازه دهید مقدار تابع و مشتقات آن را برای محاسبه کنیم
.

سپس ضرایب عددی سری عبارتند از:

برای هرکس nضرایب پیدا شده را جایگزین سری Maclaurin کنید و بدست آورید:

شعاع همگرایی سری حاصل را پیدا کنید، یعنی:

در نتیجه، مجموعه در فاصله زمانی همگرا می شود
.

این سری به تابع همگرا می شود برای هر ارزشی زیرا هر شکافی
عملکرد و مشتقات آن در مقدار مطلق محدود به تعداد است .

مثال4 . تابع را در نظر بگیرید
.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که مشتقات مرتبه زوج هستند
، و مشتقات از ترتیب فرد هستند. ضرایب پیدا شده را جایگزین سری Maclaurin می کنیم و بسط را بدست می آوریم:

بیایید فاصله همگرایی این سری را پیدا کنیم. بر اساس دالامبر:

برای هرکس ... در نتیجه، مجموعه در فاصله زمانی همگرا می شود
.

این سری به تابع همگرا می شود
، زیرا تمام مشتقات آن محدود به یک است.

مثال5 .
.

راه حل.

اجازه دهید مقدار تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم
:

بنابراین، ضرایب این سری:
و
، از این رو:

به طور مشابه با سری قبلی، منطقه همگرایی
... سری به تابع همگرا می شود
، زیرا تمام مشتقات آن محدود به یک است.

توجه داشته باشید که تابع
بسط فرد و سری در درجات فرد، تابع
- گسترش یکنواخت و سری در قدرت های زوج.

مثال6 . سری دو جمله ای:
.

راه حل.

اجازه دهید مقدار تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم
:

از اینجا مشخص می شود که:

این مقادیر ضرایب را در سری Maclaurin جایگزین کنید و بسط این تابع را در یک سری توان بدست آورید:

شعاع همگرایی این سری را بیابید:

در نتیجه، مجموعه در فاصله زمانی همگرا می شود
... در نقاط حد در
و
مجموعه ممکن است بسته به توان همگرا شود یا نباشد
.

سری مورد مطالعه در فاصله زمانی همگرا می شود
برای عملکرد
، یعنی مجموع شارژ
در
.

مثال7 . اجازه دهید در یک سری Maclaurin این تابع را گسترش دهیم
.

راه حل.

برای بسط سری این تابع، از سری دوجمله ای برای استفاده می کنیم
... ما گرفتیم:

بر اساس ویژگی سری توان (سری توان را می توان در ناحیه همگرایی آن یکپارچه کرد) انتگرال سمت چپ و راست این سری را پیدا می کنیم:

بیایید منطقه همگرایی این سری را پیدا کنیم:
,

یعنی منطقه همگرایی این سری بازه است
... اجازه دهید همگرایی سری را در انتهای بازه تعریف کنیم. در

... این ردیف یک ردیف هماهنگ است، یعنی واگرا می شود. در
ما یک سری اعداد با یک عبارت مشترک دریافت می کنیم
.

سری لایب نیتس همگرا می شوند. بنابراین، منطقه همگرایی این سری فاصله است
.

16.2. استفاده از سری قدرت در محاسبات تقریبی

در محاسبات تقریبی، سری های قدرت نقش فوق العاده مهمی دارند. با کمک آنها جداول توابع مثلثاتی، جداول لگاریتم، جداول مقادیر سایر توابع گردآوری شد که در زمینه های مختلف دانش، به عنوان مثال، در تئوری احتمالات و آمار ریاضی استفاده می شود. علاوه بر این، بسط توابع در یک سری توان برای مطالعه نظری آنها مفید است. مسئله اصلی هنگام استفاده از سری توان در محاسبات تقریبی، مسئله تخمین خطا هنگام جایگزینی مجموع یک سری با مجموع اولین آن است. nاعضا.

دو مورد را در نظر بگیرید:

تابع به سری های متناوب گسترش می یابد.

تابع به یک سری ثابت گسترش می یابد.

محاسبه با استفاده از سری های متناوب

اجازه دهید تابع
به یک سری توان متناوب گسترش یافته است. سپس، هنگام محاسبه این تابع برای یک مقدار خاص ما یک سری عددی به دست می آوریم که می توان آزمون لایب نیتس را برای آن اعمال کرد. مطابق با این ویژگی، اگر مجموع سری با مجموع اولین آن جایگزین شود nشرایط، پس خطای مطلق از جمله اول باقیمانده این سری تجاوز نمی کند، یعنی:
.

مثال8 . محاسبه
دقت 0.0001

راه حل.

ما از سری Maclaurin برای
، جایگزینی مقدار زاویه بر حسب رادیان:

اگر ترم اول و دوم سریال را با دقت مشخصی مقایسه کنیم، آنگاه:.

دوره سوم گسترش:

کمتر از دقت محاسباتی تعیین شده بنابراین، برای محاسبه
کافی است دو نفر از اعضای سریال را ترک کنید، یعنی

به این ترتیب
.

مثال9 . محاسبه
با دقت 0.001

راه حل.

ما از فرمول سری دوجمله ای استفاده خواهیم کرد. برای این کار بنویسید
مانند:
.

در این بیان
,

بیایید هر یک از اعضای سریال را با دقت مشخص شده مقایسه کنیم. واضح است که
... بنابراین، برای محاسبه
کافی است سه نفر از ردیف را ترک کنید.

یا
.

محاسبه با استفاده از سری های مثبت

مثال10 . عدد را محاسبه کنید دقت 0.001

راه حل.

در یک ردیف برای تابع
جایگزین
... ما گرفتیم:

اجازه دهید خطایی را تخمین بزنیم که وقتی مجموع سری با مجموع اولی جایگزین می شود ایجاد می شود اعضا. بیایید نابرابری آشکار را بنویسیم:

یعنی 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

با توجه به شرایط مشکل، باید پیدا کنید nبه طوری که نابرابری زیر برقرار است:
یا
.

بررسی آن آسان است n= 6:
.

از این رو،
.

مثال11 . محاسبه
با دقت 0.0001

راه حل.

توجه داشته باشید که برای محاسبه لگاریتم ها می توان یک سری برای تابع اعمال کرد
، اما این سری بسیار کند همگرا می شود و برای دستیابی به دقت داده شده باید 9999 ترم گرفته شود! بنابراین، برای محاسبه لگاریتم، به عنوان یک قاعده، یک سری برای تابع
که روی بازه همگرا می شود
.

بیایید محاسبه کنیم
با استفاده از این ردیف اجازه دهید
، سپس .

از این رو،
,

به منظور محاسبه
با دقت معین، مجموع چهار جمله اول را می گیریم:
.

باقیمانده ردیف
دور انداختن بیایید خطا را تخمین بزنیم. بدیهی است که

یا
.

بنابراین، در سری هایی که برای محاسبه استفاده شد، به جای 9999 در سری برای تابع، فقط چهار عبارت اول را در نظر گرفت.
.

سوالات خودآزمایی

1. سریال تیلور چیست؟

2. سری Maclaurin چه نوع داشت؟

3. یک قضیه بسط یک تابع در یک سری تیلور را فرموله کنید.

4. بسط سری Maclaurin از توابع اصلی را بنویسید.

5. مناطق همگرایی سری در نظر گرفته شده را مشخص کنید.

6. چگونه می توان خطا در محاسبات تقریبی را با استفاده از سری توان تخمین زد؟

در بین سری های فانکشنال، مهم ترین جایگاه را سری های پاور به خود اختصاص داده اند.

این سری یک سری قدرت نامیده می شود

که عبارت‌های آن توابع توانی هستند که در توان‌های غیر منفی افزایشی عدد صحیح مرتب شده‌اند ایکس، آ ج0 , ج 1 , ج 2 , ج n - مقادیر ثابت شماره ج1 , ج 2 , ج n - ضرایب اعضای مجموعه، ج0 - عضو رایگان اعضای سری توان روی خط اعداد کامل تعریف می شوند.

بیایید با مفهوم آشنا شویم دامنه همگرایی سری توان. این مجموعه مقادیر یک متغیر است ایکسکه برای آن مجموعه همگرا می شود. سری های قدرت دارای یک منطقه همگرایی نسبتاً ساده هستند. برای مقادیر واقعی متغیر ایکسدامنه همگرایی یا از یک نقطه تشکیل شده است، یا مقداری بازه (فاصله همگرایی)، یا منطبق بر کل محور است. گاو نر .

وقتی در یک سری توان جایگزین می شوند، مقادیر ایکس= 0 یک سری اعداد دریافت می کنید

ج0 +0+0+...+0+... ,

که همگرا می شود.

بنابراین، برای ایکس= 0 هر سری توان همگرا می شود و بنابراین، منطقه همگرایی آن نمیتواند خالی باشد. ساختار منطقه همگرایی تمام سری های توان یکسان است. با استفاده از قضیه زیر می توان آن را ایجاد کرد.

قضیه 1 (قضیه هابیل)... اگر سری توان برای مقداری همگرا شود ایکس = ایکس 0 غیر صفر، سپس همگرا می شود، و علاوه بر این، مطلقاً برای همه مقادیر |ایکس| < |ایکس 0 | ... لطفاً توجه داشته باشید: هم مقدار شروع "x صفر است" و هم هر مقدار "x" که با مقدار شروع مقایسه می شود مدولو گرفته می شود - بدون در نظر گرفتن علامت.

نتیجه. اگر سری قدرت واگرا می شود به مقداری ایکس = ایکس 1 ، سپس برای همه مقادیر واگرا می شود |ایکس| > |ایکس 1 | .

همانطور که قبلا متوجه شدیم، هر سری توان در مقدار همگرا می شود ایکس= 0. سری های توانی وجود دارند که فقط برای همگرا هستند ایکس= 0 و برای مقادیر دیگر واگرا می شوند ایکس... با حذف این مورد از در نظر گرفتن، فرض می کنیم که سری توان برای مقداری همگرا می شود ایکس = ایکس 0 غیر صفر سپس با قضیه هابیل در تمام نقاط بازه همگرا می شود] - | ایکس0 |, |ایکس 0 |[ (فاصله ای که مرزهای چپ و راست آن مقادیر x هستند که در آن سری توانی به ترتیب با علامت منفی و مثبت همگرا می شود)، متقارن در مورد مبدا.

اگر سری توان در مقداری واگرا شود ایکس = ایکس 1 ، سپس بر اساس نتیجه قضیه آبل، در تمام نقاط خارج از بخش نیز واگرا می شود [- | ایکس1 |, |ایکس 1 |] ... از این رو نتیجه می شود که برای هر سری توان یک بازه متقارن در مورد مبدا وجود دارد که نامیده می شود فاصله همگرایی ، در هر نقطه ای که سری همگرا می شود، در مرزها ممکن است همگرا شود و ممکن است واگرا شود، و نه لزوماً همزمان، اما خارج از بخش، سری واگرا می شود. عدد آرشعاع همگرایی سری توان نامیده می شود.

در موارد خاص فاصله همگرایی سری توان می تواند تا یک نقطه منحط شود (سپس سری فقط برای ایکس= 0 و فرض می شود که آر= 0) یا کل خط اعداد را نشان می دهد (سپس این سری در تمام نقاط خط اعداد همگرا می شود و فرض می شود).

بنابراین، تعریف منطقه همگرایی یک سری توان شامل تعریف آن است شعاع همگرایی آرو بررسی همگرایی سری بر روی مرزهای فاصله همگرایی (at).

قضیه 2.اگر تمام ضرایب سری توان، از یک عدد شروع شود، غیر صفر باشد، شعاع همگرایی آن برابر است با حد نسبت مقادیر مطلق ضرایب مجموع عبارت‌های زیر مجموعه، یعنی.

مثال 1. ناحیه همگرایی یک سری توان را بیابید

راه حل. اینجا

با استفاده از فرمول (28) شعاع همگرایی این سری را پیدا می کنیم:

اجازه دهید همگرایی سری را در انتهای بازه همگرایی بررسی کنیم. مثال 13 نشان می دهد که این سری برای ایکس= 1 و در واگرایی است ایکس= -1. در نتیجه، منطقه همگرایی یک نیمه بازه است.

مثال 2. ناحیه همگرایی یک سری توان را بیابید

راه حل. ضرایب سری مثبت هستند و

اجازه دهید حد این نسبت را پیدا کنیم، یعنی. شعاع همگرایی سری توان:

اجازه دهید همگرایی سری را در انتهای بازه بررسی کنیم. جایگزینی ارزش ها ایکس= -1/5 و ایکس= 1/5 در یک ردیف داده شده نشان می دهد:

اولین مورد از این سری همگرا می شود (به مثال 5 مراجعه کنید). اما پس از آن، به موجب قضیه در بخش "همگرایی مطلق"، سری دوم نیز همگرا می شوند و منطقه همگرایی آن قطعه است.

مثال 3. ناحیه همگرایی یک سری توان را بیابید

راه حل. اینجا

با استفاده از فرمول (28)، شعاع همگرایی سری را پیدا می کنیم:

اجازه دهید همگرایی سری برای مقادیر را بررسی کنیم. با جایگزینی آنها در این ردیف، به ترتیب به دست می آوریم

هر دو سری واگرا می شوند، زیرا شرط همگرایی لازم برآورده نمی شود (شرایط مشترک آنها به صفر تمایل ندارند). بنابراین، در هر دو انتهای بازه همگرایی، سری داده شده واگرا می شود و منطقه همگرایی آن بازه است.

مثال 5. ناحیه همگرایی یک سری توان را بیابید

راه حل. رابطه، کجا، و را پیدا کنید :

طبق فرمول (28) شعاع همگرایی این سری است

یعنی سریال فقط برای همگرا می شود ایکس= 0 و برای مقادیر دیگر واگرا می شود ایکس.

مثال ها نشان می دهد که سری ها در انتهای بازه همگرایی متفاوت رفتار می کنند. در مثال 1، سری در یک انتهای بازه همگرایی همگرا می شود، و در سر دیگر واگرا می شود؛ در مثال 2، در هر دو انتها همگرا می شود، در مثال 3، در هر دو انتها واگرا می شود.

فرمول شعاع همگرایی یک سری توانی با این فرض به دست می‌آید که تمام ضرایب عبارت‌های سری، که از یک عدد شروع می‌شوند، غیر صفر هستند. بنابراین استفاده از فرمول (28) فقط در این موارد جایز است. اگر این شرط نقض شد، باید شعاع همگرایی سری توان را با استفاده از علامت دالامبر، یا با تغییر متغیر، سری را به شکلی تبدیل کنید که در آن شرط مشخص شده برآورده شود.

مثال 6. بازه همگرایی یک سری توان را بیابید

راه حل. این مجموعه دارای اعضایی با درجات فرد نیست. ایکس... بنابراین، سری را با تنظیم تغییر شکل می دهیم. سپس سریال را دریافت می کنیم

برای یافتن شعاع همگرایی که فرمول (28) را می توان اعمال کرد. از آنجا که، a، پس شعاع همگرایی این سری

بنابراین، از برابری که به دست می آوریم، این سری در بازه همگرا می شود.

مجموع سری توان. تمایز و ادغام سری های قدرت

اجازه دهید برای یک سری قدرت

شعاع همگرایی آر> 0، یعنی این سری در بازه همگرا می شود.

سپس هر مقدار ایکساز بازه همگرایی، مجموع معینی از سری مطابقت دارد. در نتیجه، مجموع سری توان تابعی از ایکسدر بازه همگرایی نشان دادن آن از طریق f(ایکس) می توانیم برابری را بنویسیم

درک آن به این معنا که مجموع سری در هر نقطه ایکساز فاصله همگرایی برابر با مقدار تابع است f(ایکس) در این مرحله. به همین معنا خواهیم گفت که سری توان (29) به تابع همگرا می شود f(ایکس) در بازه همگرایی.

در خارج از فاصله همگرایی، برابری (30) بی معنی است.

مثال 7.مجموع مجموع یک سری توان را پیدا کنید

راه حل. این یک سری هندسی با آ= 1 و q= ایکس... بنابراین مجموع آن یک تابع است ... سری همگرا می شود اگر، و بازه همگرایی آن است. بنابراین، برابری

فقط برای مقادیر معتبر است، اگرچه تابع برای همه مقادیر تعریف شده است ایکس، بعلاوه ایکس= 1.

می توان ثابت کرد که مجموع سری توان f(ایکس) در هر بخش در داخل بازه همگرایی، به ویژه، در هر نقطه از بازه همگرایی سری، پیوسته و قابل تمایز است.

اجازه دهید قضایایی را در مورد تمایز ترم به ترم و ادغام سری های توان ارائه کنیم.

قضیه 1.سری توانی (30) در بازه همگرایی خود را می توان تعداد نامحدودی از نظر اصطلاحی متمایز کرد و سری توانی حاصله شعاع همگرایی مشابه سری اصلی دارند و مجموع آنها به ترتیب برابر است.

قضیه 2.سری توان (30) را می توان تعداد نامحدودی بار در محدوده 0 تا ادغام کرد ایکس، اگر، و سری توانی حاصل شعاع همگرایی مشابه سری اصلی دارند و مجموع آنها به ترتیب برابر است