Die Fläche des Parallelogramms ist gleich. Parallelogramm und seine Eigenschaften. Die Fläche eines Parallelogramms. Winkelhalbierende eines Parallelogramms

Notiz. Dies ist Teil der Lektion mit Aufgaben in Geometrie (Parallelogramm-Abschnitt). Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. Um die Aktion des Extrahierens anzuzeigen Quadratwurzel Bei der Lösung von Problemen wird das Symbol √ oder sqrt () verwendet und der radikale Ausdruck in Klammern angegeben.

Theoretischer Stoff

Erläuterungen zu den Formeln zur Ermittlung der Fläche eines Parallelogramms:

Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Länge einer seiner Seiten und der Höhe auf dieser Seite.
Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner beiden benachbarten Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen
Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen

Probleme zum Finden der Fläche eines Parallelogramms

Aufgabe.
In einem Parallelogramm betragen die kleinere Höhe und die kürzere Seite 9 cm bzw. die Wurzel von 82. Die längste Diagonale beträgt 15 cm. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Lösung.
Bezeichnen wir die kleinere Höhe des Parallelogramms ABCD, abgesenkt vom Punkt B zur größeren Basis AD, als BK.
Finden Sie den Wert des Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks ABK, das aus einer kleineren Höhe, einer kleineren Seite und einem Teil einer größeren Basis besteht. Nach dem Satz des Pythagoras:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Lassen Sie uns die obere Basis des Parallelogramms BC verlängern und die Höhe AN von seiner unteren Basis darauf fallen lassen. AN = BK als Seiten des Rechtecks ANBK. Im resultierenden rechtwinkligen Dreieck ANC finden wir den Schenkel NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Lassen Sie uns nun die größere Basis BC des Parallelogramms ABCD finden.
BC=NC-NB
Wir berücksichtigen dann, dass NB = AK die Seiten des Rechtecks sind
BC=12 - 1=11

Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Basis und der Höhe zu dieser Basis.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Antworten: 99 cm2.

Aufgabe

Im Parallelogramm ABCD fällt die Senkrechte BO auf die Diagonale AC. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms, wenn AO=8, OS=6 und BO=4.

Lösung.
Lassen Sie uns eine weitere senkrechte DK auf die Diagonale AC fallen lassen.
Dementsprechend sind die Dreiecke AOB und DKC, COB und AKD paarweise kongruent. Eine der Seiten ist die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms, einer der Winkel ist ein rechter, da er senkrecht zur Diagonalen steht, und einer der verbleibenden Winkel ist das innere Kreuz, das für die parallelen Seiten des Parallelogramms und die Sekante liegt der Diagonalen.

Somit ist die Fläche des Parallelogramms gleich der Fläche der angegebenen Dreiecke. Also
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der Schenkel. Wo
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Antworten: 56 cm2.

Geometrischer Bereich- ein numerisches Merkmal einer geometrischen Figur, das die Größe dieser Figur angibt (ein Teil der Oberfläche, der durch eine geschlossene Kontur dieser Figur begrenzt ist). Die Größe der Fläche wird durch die Anzahl der darin enthaltenen Quadrateinheiten ausgedrückt.

Dreiecksflächenformeln

Dreiecksflächenformel für Seite und Höhe
Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus der Länge einer Seite eines Dreiecks und der Länge der zu dieser Seite gezeichneten Höhe
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks mit drei Seiten und dem Radius des umschriebenen Kreises
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks mit drei Seiten und dem Radius eines einbeschriebenen Kreises
Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus dem halben Umfang des Dreiecks und dem Radius des einbeschriebenen Kreises.

Formeln für quadratische Flächen

Die Formel für die Fläche eines Quadrats bei gegebener Seitenlänge
quadratische Fläche ist gleich dem Quadrat seiner Seitenlänge.
Die Formel für die Fläche eines Quadrats bei gegebener Länge der Diagonale
quadratische Fläche gleich dem halben Quadrat der Länge seiner Diagonalen.
S= 1 2
2

Rechteckflächenformel

Rechteckiger Bereich

Formeln für die Fläche eines Parallelogramms

Parallelogrammflächenformel für Seitenlänge und Höhe
Bereich Parallelogramm
Die Formel für die Fläche eines Parallelogramms bei zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen
Bereich Parallelogramm ist gleich dem Produkt der Seitenlängen multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.
a b sinα

Formeln für die Fläche einer Raute

Rautenflächenformel bei gegebener Seitenlänge und Höhe
Rautenbereich ist gleich dem Produkt aus der Länge seiner Seite und der Länge der auf diese Seite abgesenkten Höhe.
Die Formel für den Flächeninhalt einer Raute ergibt sich aus Seitenlänge und Winkel
Rautenbereich ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der Seitenlänge und dem Sinus des Winkels zwischen den Seiten der Raute.
Die Formel für die Fläche einer Raute ergibt sich aus den Längen ihrer Diagonalen
Rautenbereich ist gleich dem halben Produkt der Längen seiner Diagonalen.

Trapezflächenformeln

Herons Formel für ein Trapez
Wobei S die Fläche des Trapezes ist,
- die Länge der Basen des Trapezes,
- die Länge der Seiten des Trapezes,

Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Seiten paarweise parallel sind.

In dieser Figur sind gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich. Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich in einem Punkt und halbieren ihn. Parallelogramm-Flächenformeln ermöglichen es Ihnen, den Wert durch die Seiten, die Höhe und die Diagonalen zu finden. In Sonderfällen kann auch das Parallelogramm dargestellt werden. Sie gelten als Rechteck, Quadrat und Raute.
Betrachten wir zunächst ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms nach Höhe und der Seite, auf die es abgesenkt wird.

Dieser Fall gilt als Klassiker und bedarf keiner weiteren Untersuchung. Es ist besser, die Formel zur Berechnung der Fläche durch zwei Seiten und des Winkels zwischen ihnen zu berücksichtigen. Die gleiche Methode wird bei der Berechnung verwendet. Wenn die Seiten und der Winkel zwischen ihnen angegeben sind, wird die Fläche wie folgt berechnet:

Angenommen, wir haben ein Parallelogramm mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm, der Winkel zwischen ihnen ist α = 30°. Suchen wir den Bereich:

Fläche eines Parallelogramms in Bezug auf Diagonalen

Die Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Diagonalen ermöglicht es Ihnen, den Wert schnell zu finden.
Für Berechnungen benötigen Sie den Wert des Winkels, der sich zwischen den Diagonalen befindet.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms durch Diagonalen. Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Diagonalen D = 7 cm, d = 5 cm, der Winkel zwischen ihnen sei α = 30°. Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms durch eine Diagonale ergab ein hervorragendes Ergebnis - 8,75.

Wenn Sie die Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Bezug auf eine Diagonale kennen, können Sie viele interessante Probleme lösen. Schauen wir uns einen von ihnen an.

Aufgabe: Bei einem Parallelogramm mit einer Fläche von 92 qm. siehe Punkt F befindet sich in der Mitte seiner Seite BC. Lassen Sie uns die Fläche des trapezförmigen ADFB finden, die in unserem Parallelogramm liegen wird. Lassen Sie uns zunächst alles zeichnen, was wir gemäß den Bedingungen erhalten haben.
Kommen wir zur Lösung:

Gemäß unseren Bedingungen ist ah \u003d 92, und dementsprechend ist die Fläche unseres Trapezes gleich

Die Fläche eines Parallelogramms. Bei sehr vielen Geometrieproblemen im Zusammenhang mit der Berechnung von Flächen, einschließlich Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, werden die Formeln für die Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks verwendet. Es gibt mehrere davon, hier werden wir sie mit Ihnen betrachten.

Es wäre zu einfach, diese Formeln aufzulisten, diese Güte gibt es bereits genug in Nachschlagewerken und auf diversen Seiten. Ich möchte die Essenz vermitteln - damit Sie sie nicht auswendig lernen, sondern verstehen und sich jederzeit leicht merken können. Nachdem Sie das Material des Artikels studiert haben, werden Sie verstehen, dass diese Formeln überhaupt nicht gelehrt werden müssen. Sie kommen objektiv so oft in Entscheidungen vor, dass sie lange im Gedächtnis bleiben.

1. Schauen wir uns also ein Parallelogramm an. Die Definition lautet:

Warum so? Alles ist einfach! Um klar zu zeigen, was die Formel bedeutet, führen wir einige zusätzliche Konstruktionen durch, nämlich wir werden die Höhen bauen:

Die Fläche des Dreiecks (2) ist gleich der Fläche des Dreiecks (1) - das zweite Zeichen für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke "entlang Bein und Hypotenuse". Lassen Sie uns nun das zweite mental "abschneiden" und übertragen, indem Sie es auf das erste legen - wir erhalten ein Rechteck, dessen Fläche gleich der Fläche des ursprünglichen Parallelogramms ist:

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Rechtecks gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Wie aus der Skizze ersichtlich ist, entspricht eine Seite des resultierenden Rechtecks der Seite des Parallelogramms und die andere seiner Höhe des Parallelogramms. Daher erhalten wir die Formel für die Fläche eines Parallelogramms S = a∙h ein

2. Fahren wir fort, eine weitere Formel für seinen Bereich. Wir haben:

Parallelogrammflächenformel

Die Seiten bezeichnen wir mit a und b, den Winkel zwischen ihnen γ "gamma", die Höhe h a. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

Genauer gesagt ist es laut Planimetrie und Trigonometrie manchmal erforderlich, die Höhe eines Parallelogramms anhand der angegebenen Werte von Seiten, Winkeln, Diagonalen usw. zu ermitteln.

Um die Höhe eines Parallelogramms zu ermitteln, müssen Sie die Flächenregel für Parallelogramme anwenden, wenn Sie dessen Fläche und die Länge der Basis kennen. Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus Höhe und Länge der Basis:

S ist die Fläche des Parallelogramms,

a ist die Länge der Basis des Parallelogramms,

h - die Länge der zur Seite a abgesenkten Höhe (oder zu ihrer Fortsetzung).

Daraus erhalten wir, dass die Höhe des Parallelogramms die Fläche geteilt durch die Länge der Basis ist:

Zum Beispiel,

gegeben: die Fläche des Parallelogramms beträgt 50 cm², die Basis 10 cm;

find: die Höhe des Parallelogramms.

h=50/10=5 (cm).

Da die Höhe des Parallelogramms, ein Teil der Basis und die an die Basis angrenzende Seite ein Rechteck bilden, können Sie für die Höhe des Parallelogramms einige Verhältnisse der Seiten und Winkel des Rechtecks verwenden.

Wenn die Seite des Parallelogramms d (AD) neben der Höhe h (DE) und der Winkel A (BAD) gegenüber der Höhe bekannt sind, müssen Sie zur Berechnung der Höhe des Parallelogramms die Länge des angrenzenden multiplizieren Seite durch den Sinus des Gegenwinkels:

zum Beispiel, wenn d = 10 cm und Winkel A = 30 Grad, dann

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (cm).

Wenn die Länge des Parallelogramms d (AD) neben der Höhe h (DE) und die Länge der von der Höhe abgeschnittenen Basis (AE) in der Aufgabe angegeben sind, dann kann die Höhe des Parallelogramms mit dem Pythagoräer ermittelt werden Satz:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, woraus wir bestimmen:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

jene. Die Höhe eines Parallelogramms ist gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Länge der angrenzenden Seite und dem durch die Höhe abgeschnittenen Teil der Basis.

Wenn beispielsweise die Länge der angrenzenden Seite 5 cm beträgt und die Länge des abgeschnittenen Teils der Basis 3 cm beträgt, beträgt die Länge der Höhe:

h=√(5^2-3^2)=4 (cm).

Wenn die Länge der Diagonale neben der Höhe (DВ) des Parallelogramms und die Länge des durch die Höhe (BE) abgeschnittenen Teils der Basis bekannt sind, kann die Höhe des Parallelogramms auch mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden :

|BE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, woraus wir bestimmen:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|BE|^2),

jene. Die Höhe des Parallelogramms ist gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Länge der angrenzenden Diagonalen und der abgeschnittenen Höhe ( und ) der Basis.

Wenn beispielsweise die Länge der angrenzenden Seite 5 cm beträgt und die Länge des abgeschnittenen Teils der Basis 4 cm beträgt, beträgt die Länge der Höhe:

h=√(5^2-4^2)=3 (cm).

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Quellen:

wie hoch ist ein parallelogramm

Die Höhe eines Polygons ist ein gerades Liniensegment senkrecht zu einer der Seiten der Figur, die es mit dem Scheitelpunkt des gegenüberliegenden Winkels verbindet. Es gibt mehrere solcher Segmente in einer flachen konvexen Figur, und ihre Längen sind nicht gleich, wenn mindestens eine der Seiten des Polygons einen anderen Wert hat. Daher ist es bei Aufgaben aus dem Geometriekurs manchmal notwendig, die Länge einer größeren Höhe, beispielsweise eines Dreiecks oder eines Parallelogramms, zu bestimmen.

Anweisung

Wenn zusätzlich zur Länge der kürzesten Seite des Dreiecks (a) (S)-Zahlen in den Bedingungen angegeben sind, wird die größte der Höhen (Hₐ) ganz einfach sein. Verdoppeln Sie die Fläche und teilen Sie den resultierenden Wert durch die Länge der kurzen - dies ist die gewünschte Höhe: Hₐ \u003d 2 * S / a.

Ohne die Fläche zu kennen, aber die Längen des Dreiecks (a, b und c) zu haben, können Sie auch die längste seiner Höhen finden, aber es werden viel mehr mathematische Operationen erforderlich sein. Beginnen Sie mit der Berechnung einer Hilfsgröße - dem Halbumfang (p). Addiere dazu die Längen aller Seiten und teile das Ergebnis