Theorie der Grenzen- einer der Abschnitte der mathematischen Analysis, die man beherrscht, andere kaum die Grenzen berechnen. Die Frage nach dem Finden von Grenzen ist ziemlich allgemein, da es Dutzende von Tricks gibt Lösungen einschränken verschiedene Sorten. Dieselben Grenzen können sowohl durch die Regel von L'Hopital als auch ohne sie gefunden werden. Es kommt vor, dass der Zeitplan in einer Reihe von infinitesimalen Funktionen es Ihnen ermöglicht, schnell das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Es gibt eine Reihe von Tricks und Tricks, mit denen Sie die Grenze einer Funktion beliebiger Komplexität finden können. In diesem Artikel werden wir versuchen, die wichtigsten Arten von Limits zu verstehen, die in der Praxis am häufigsten vorkommen. Wir werden hier nicht die Theorie und Definition der Grenze geben, es gibt viele Ressourcen im Internet, wo dies gekaut wird. Machen wir also praktische Berechnungen, hier fangen Sie an "Ich weiß nicht! Ich weiß nicht wie! Uns wurde nichts beigebracht!"

Grenzwertberechnung nach der Substitutionsmethode

Beispiel 1 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Lösung: Theoretisch werden solche Beispiele durch die übliche Substitution berechnet

Die Grenze ist der 18.11.
Innerhalb solcher Grenzen gibt es nichts Kompliziertes und Kluges - sie haben den Wert ersetzt, berechnet und als Antwort die Grenze aufgeschrieben. Auf der Grundlage solcher Grenzen wird jedoch jedem beigebracht, dass Sie zuerst einen Wert in die Funktion einsetzen müssen. Außerdem verkomplizieren die Grenzen, führen das Konzept der Unendlichkeit, Ungewissheit und dergleichen ein.

Grenzwert mit Unsicherheit vom Typ Unendlich dividiert durch Unendlich. Methoden zur Offenlegung von Unsicherheiten

Beispiel 2 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=unendlich).
Lösung: Ein Grenzwert der Form Polynom dividiert durch ein Polynom ist gegeben, und die Variable strebt gegen unendlich

Eine einfache Substitution des Wertes, zu dem die Variable die Grenzen finden soll, hilft nicht weiter, wir erhalten die Unsicherheit der Form Unendlich dividiert durch Unendlich.
Topftheorie der Limits Der Algorithmus zur Berechnung des Limits besteht darin, den größten Grad von "x" im Zähler oder Nenner zu finden. Als nächstes werden Zähler und Nenner darauf vereinfacht und der Grenzwert der Funktion gefunden

Da der Wert gegen Null tendiert, wenn die Variable gegen Unendlich geht, werden sie vernachlässigt oder im endgültigen Ausdruck als Nullen geschrieben

Unmittelbar aus der Praxis können Sie zwei Schlussfolgerungen ziehen, die in den Berechnungen ein Hinweis sind. Wenn die Variable gegen unendlich geht und der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners, dann ist der Grenzwert gleich unendlich. Andernfalls, wenn das Polynom im Nenner von höherer Ordnung ist als im Zähler, ist die Grenze Null.
Die Grenzformel kann geschrieben werden als

Wenn wir eine Funktion in Form eines gewöhnlichen Logarithmus ohne Brüche haben, dann ist ihre Grenze gleich unendlich

Die nächste Art von Grenzwerten betrifft das Verhalten von Funktionen nahe Null.

Beispiel 3 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Lösung: Hier ist es nicht erforderlich, den führenden Multiplikator des Polynoms herauszunehmen. Genau das Gegenteil, es ist notwendig, die kleinste Potenz von Zähler und Nenner zu finden und den Grenzwert zu berechnen

x^2-Wert; x tendieren gegen null, wenn die Variable gegen null tendiert. Daher werden sie vernachlässigt, also erhalten wir

dass die Grenze 2,5 ist.

Jetzt wissen Sie wie man den Grenzwert einer Funktion findet eine Art Polynom dividiert durch ein Polynom, wenn die Variable gegen unendlich oder 0 geht. Aber das ist nur ein kleiner und einfacher Teil der Beispiele. Aus dem folgenden Material lernen Sie wie man die Unsicherheiten der Grenzen einer Funktion aufdeckt.

Grenze mit Unsicherheit vom Typ 0/0 und Methoden zu ihrer Berechnung

Sofort erinnert sich jeder an die Regel, nach der man nicht durch Null teilen darf. Allerdings meint die Grenzwerttheorie in diesem Zusammenhang infinitesimale Funktionen.
Schauen wir uns zur Veranschaulichung einige Beispiele an.

Beispiel 4 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Lösung: Wenn wir den Wert der Variablen x = -1 in den Nenner einsetzen, erhalten wir Null, wir erhalten dasselbe im Zähler. Also haben wir Unsicherheit der Form 0/0.
Es ist einfach, mit einer solchen Unsicherheit umzugehen: Sie müssen das Polynom faktorisieren, oder besser gesagt, einen Faktor auswählen, der die Funktion zu Null macht.

Nach der Zerlegung kann der Grenzwert der Funktion geschrieben werden als

Das ist die ganze Technik zur Berechnung des Grenzwerts einer Funktion. Dasselbe machen wir, wenn es einen Grenzwert in Form eines Polynoms dividiert durch ein Polynom gibt.

Beispiel 5 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Lösung: Direkte Substitutionsshows
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
was haben wir Geben Sie Unsicherheit 0/0 ein.
Teilen Sie die Polynome durch den Faktor, der die Singularität einführt


Es gibt Lehrer, die lehren, dass Polynome 2. Ordnung, also die Art der „quadratischen Gleichungen“, durch die Diskriminante gelöst werden sollen. Aber die Praxis zeigt, dass es länger und komplizierter ist, also entfernen Sie Features innerhalb der Grenzen gemäß dem angegebenen Algorithmus. Also schreiben wir die Funktion in Form einfacher Faktoren und rechnen den Grenzwert ein

Wie Sie sehen können, ist die Berechnung solcher Limits nicht kompliziert. Sie wissen, wie man Polynome zum Zeitpunkt des Studiums der Grenzwerte dividiert, zumindest laut Programm, sollten Sie bereits bestehen.
Zu den Aufgaben für Geben Sie Unsicherheit 0/0 ein es gibt solche, bei denen es notwendig ist, die Formeln der abgekürzten Multiplikation anzuwenden. Aber wenn Sie sie nicht kennen, können Sie die gewünschte Formel erhalten, indem Sie das Polynom durch das Monom dividieren.

Beispiel 6 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Lösung: Wir haben eine Unsicherheit vom Typ 0/0 . Im Zähler verwenden wir die Formel für die abgekürzte Multiplikation

und berechnen Sie die gewünschte Grenze

Methode zur Offenlegung der Unsicherheit durch Multiplikation mit dem Konjugierten

Das Verfahren wird auf die Grenzen angewendet, in denen irrationale Funktionen Unsicherheit erzeugen. Der Zähler oder Nenner geht am Berechnungspunkt auf Null und es ist nicht bekannt, wie man die Grenze findet.

Beispiel 7 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Lösung: Lassen Sie uns die Variable in der Grenzformel darstellen

Beim Einsetzen erhalten wir eine Unsicherheit vom Typ 0/0.
Nach der Theorie der Grenzen besteht das Schema zur Umgehung dieser Singularität darin, einen irrationalen Ausdruck mit seinem Konjugierten zu multiplizieren. Um den Ausdruck unverändert zu lassen, muss der Nenner durch denselben Wert dividiert werden

Mit der Quadratdifferenzregel vereinfachen wir den Zähler und berechnen den Grenzwert der Funktion

Wir vereinfachen die Terme, die eine Singularität im Grenzwert erzeugen, und führen die Substitution durch

Beispiel 8 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Lösung: Direkte Substitution zeigt, dass der Grenzwert eine Singularität der Form 0/0 hat.

Erweitern, multiplizieren und dividieren Sie mit dem Konjugierten zum Zähler

Schreibe die Differenz der Quadrate auf

Wir vereinfachen die Terme, die eine Singularität einführen und finden den Grenzwert der Funktion

Beispiel 9 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Lösung: Ersetzen Sie die Zwei in der Formel

Bekommen Unsicherheit 0/0.
Der Nenner muss mit dem konjugierten Ausdruck multipliziert und in den Zähler aufgelöst werden quadratische Gleichung oder unter Berücksichtigung der Singularität faktorisieren. Da bekannt ist, dass 2 eine Wurzel ist, wird die zweite Wurzel durch das Vieta-Theorem gefunden

Also schreiben wir den Zähler in die Form

und setze die Grenze

Nachdem wir die Differenz der Quadrate reduziert haben, werden wir die Merkmale im Zähler und Nenner los

Auf die obige Weise kann man in vielen Beispielen die Singularität beseitigen, und die Anwendung sollte überall dort auffallen, wo die gegebene Differenz der Wurzeln beim Einsetzen zu Null wird. Andere Arten von Grenzwerten betreffen Exponentialfunktionen, Infinitesimalfunktionen, Logarithmen, singuläre Grenzwerte und andere Techniken. Aber Sie können dies in den folgenden Artikeln über Limits nachlesen.

konstante Zahl aber namens Grenze Sequenzen(x n ) falls für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, so dass alle Werte x n, für die n > N, die Ungleichung erfüllen

|x n - a|< ε. (6.1)

Schreiben Sie es wie folgt: oder x n → A.

Ungleichung (6.1) ist äquivalent zur doppelten Ungleichung

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, ausgehend von einer Zahl n>N, innerhalb des Intervalls (a-ε, a + ε ), d.h. fallen in jedes kleineε -Nachbarschaft des Punktes aber.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend, sonst - abweichend.

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge, da der Grenzwert einer Folge als Grenzwert der Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Gegeben sei eine Funktion f(x) und sei ein - Grenzpunkt der Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung Punkte der Menge D(f) enthält, die sich von unterscheiden ein. Punkt ein kann zur Menge D(f) gehören oder nicht.

Bestimmung 1.Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) bei x→a if für eine beliebige Folge (x n ) von Argumentwerten tendenziell aber, haben die entsprechenden Folgen (f(x n)) denselben Grenzwert A.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine, oder " in der Sprache der Sequenzen”.

Bestimmung 2. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) bei x→a wenn, gegeben eine beliebige beliebig kleine positive Zahl ε, kann man solche δ finden>0 (abhängig von ε), was für alle x liegt inε-Nachbarschaften einer Zahl aber, d.h. zum x Befriedigung der Ungleichheit
0 < x-a< ε , die Werte der Funktion f(x) liegen inε-Nachbarschaft der Zahl A, d.h.|f(x)-A|< ε.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy, oder „in der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x →ein hat Grenze gleich A, dies wird geschrieben als

. (6.3)

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jedes Näherungsverfahren unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). x an deine Grenze aber, dann werden wir sagen, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es so:

Eine Variable (d. h. eine Folge oder Funktion), deren Grenzwert Null ist, wird aufgerufen unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um die Grenze in der Praxis zu finden, verwenden Sie die folgenden Sätze.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sind ungewiss, zum Beispiel das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Größen, und das Auffinden einer solchen Grenze wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet.

Satz 2. (6.7)

diese. es ist möglich, bei einem konstanten Exponenten zur Basis des Grads zu gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

wo e » 2,7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen die ersten wunderbare Grenze und die zweite bemerkenswerte Grenze.

In der Praxis werden auch die Folgerungen aus Formel (6.11) verwendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x→a + 0. Wenn insbesondere a = 0 ist, dann schreibt man statt des Symbols 0+0 +0. Ebenso, wenn x→a und gleichzeitig x a-0. Zahlen und werden entsprechend benannt. rechte Grenze Und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt aber. Damit der Grenzwert der Funktion f(x) als x→ existierta ist notwendig und ausreichend für . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann umgeschrieben werden als:

,

Das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn sie an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das bei x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke. Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder seiner Umgebungen, d. h. jedes offene Intervall, das den Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D(f), gehört aber selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, also hat die Funktion an der Stelle x o = 0 eine Unstetigkeit.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

,

Und links an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Stetigkeit an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist x o, zum Beispiel auf der rechten Seite, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich f(x 0 ) ist. Wenn also mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagen sie das Funktion f(x) am Punkt xo hat Bruch erster Art, oder springen.

2. Wenn die Grenze ist+∞ oder -∞ oder nicht existiert, dann sagen wir das in Punkt x o Die Funktion hat eine Pause zweite Art.

Zum Beispiel die Funktion y = ctg x bei x→ +0 hat eine Grenze gleich +∞, hat also an der Stelle x=0 eine Unstetigkeit zweiter Art. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von x) an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge aufweist.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich in . Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Solche Aufgaben sind zum Beispiel: das Wachstum der Einlage nach dem Zinseszinsgesetz, das Wachstum der Landesbevölkerung, der Zerfall eines radioaktiven Stoffes, die Vermehrung von Bakterien etc.

Erwägen Beispiel von Ya. I. Perelman, was die Interpretation der Zahl angibt e beim Zinseszinsproblem. Anzahl e es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem gebundenen Kapital jährlich Zinsgelder zugeführt. Wird die Verbindung öfter hergestellt, wächst das Kapital schneller, da ein großer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten zu 100 % pro Jahr. Wird dem Anlagekapital erst nach einem Jahr verzinsliches Geld zugeführt, so sind zu diesem Zeitpunkt 100 den. Einheiten wird in 200 den verwandeln. Mal sehen, was aus 100 den wird. Einheiten, wenn dem gebundenen Kapital alle sechs Monate Zinsgelder zugeführt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten auf 100 wachsen× 1,5 \u003d 150 und nach weiteren sechs Monaten - bei 150× 1,5 \u003d 225 (den. Einheiten). Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten 100 werden× (1 +1/3) 3 » 237 (den. Einheiten). Wir werden den Zeitrahmen für das Hinzufügen von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, 0,01 Jahr, 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 den. Einheiten ein Jahr später:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. Einheiten),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. Einheiten),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Beitrittsbedingungen wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr platzierte Kapital kann sich nicht mehr als um das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen wären hinzugefügt, um die Hauptstadt jede Sekunde, weil die Grenze

Beispiel 3.1.Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass die Folge x n = (n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Lösung.Wir müssen das jedenfalls beweisenε > 0 nehmen wir, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt|xn-1|< ε.

Nimm irgendein e > 0. Da ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, dann genügt es, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden< e. Also n>1/ e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1 / genommen werden e , N = E(1/ e ). Damit haben wir bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2 . Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Lösung.Wenden Sie den Grenzwertsummensatz an und finden Sie den Grenzwert für jeden Term. Für n→ ∞ der Zähler und Nenner jedes Terms gegen unendlich streben, und wir können den Quotienten-Limitensatz nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x n, indem Zähler und Nenner des ersten Terms durch dividiert werden n 2, und der zweite n. Dann finden wir unter Anwendung des Quotienten-Grenzsatzes und des Summen-Grenzsatzes:

.

Beispiel 3.3. . Finden .

Lösung. .

Hier haben wir den Gradgrenzensatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4 . Finden ( ).

Lösung.Es ist unmöglich, den Differenzengrenzsatz anzuwenden, da wir eine Formunschärfe haben ∞-∞ . Lassen Sie uns die Formel des allgemeinen Begriffs umwandeln:

.

Beispiel 3.5 . Gegeben sei eine Funktion f(x)=2 1/x . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung.Wir verwenden die Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion in Bezug auf eine Folge. Nehmen Sie eine Folge ( x n ), die gegen 0 konvergiert, d.h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Folgen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich dann die Grenze Wählen wir jetzt als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, der ebenfalls gegen Null geht. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung.Seien x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n ) für verschiedene x n → ∞

Wenn x n \u003d p n, dann Sünde x n \u003d Sünde p n = 0 für alle n und begrenzen Sie If
xn=2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle n und damit die Grenze. Somit existiert nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Limits

Geben Sie im oberen Feld anstelle von sin(x)/x die Funktion ein, deren Grenzwert Sie ermitteln möchten. Geben Sie im unteren Feld die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Rechnen“, um das gewünschte Limit zu erhalten. Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Eingaberegeln für Funktionen: sqrt(x) - Quadratwurzel, cbrt(x) - Kubikwurzel, exp(x) - Exponent, ln(x) - natürlicher Logarithmus, sin(x) - Sinus, cos(x) - Cosinus, tan (x) - Tangens, cot(x) - Kotangens, arcsin(x) - Arkussinus, arccos(x) - Arkuskosinus, arctan(x) - Arkustangens. Vorzeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Potenzierung, statt Unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird als sqrt(tan(x/2)) eingegeben.

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Schwierigkeiten. Um das Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungen genau die auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten zu verstehen oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, aber wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie können Sie die Grenzen in der höheren Mathematik verstehen? Verständnis kommt mit Erfahrung, daher werden wir gleichzeitig einige detaillierte Beispiele für das Lösen von Grenzen mit Erklärungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist die Grenze und die Grenze von was? Wir können über die Grenzen von Zahlenfolgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da die Schüler am häufigsten auf sie stoßen. Aber zuerst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt eine Variable. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Zahl nähert ein , dann ein ist die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y die Grenze ist die Zahl EIN , zu der die Funktion wann tendiert x zu einem bestimmten Punkt tendieren aber . Punkt aber gehört zu dem Intervall, auf dem die Funktion definiert ist.

Klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Definition des Grenzwerts, aber wir gehen hier nicht auf die Theorie ein, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen x einem Wert zustrebt, bedeutet dies, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich diesem unendlich nahe nähert.

Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Die Herausforderung besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie interessiert sind, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen x kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel wann x geht gegen unendlich:

Es ist intuitiv klar, dass je größer die Zahl im Nenner ist, desto kleiner wird der Wert von der Funktion angenommen. Also mit unbegrenztem Wachstum x Bedeutung 1/x nimmt ab und nähert sich Null.

Wie Sie sehen können, müssen Sie zum Lösen des Limits nur den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen x . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder unendlich/unendlich . Was tun in solchen Fällen? Verwenden Sie Tricks!

Unsicherheiten im Innern

Unsicherheit der Form unendlich/unendlich

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir unendlich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass es eine gewisse Kunst gibt, solche Unsicherheiten aufzulösen: Sie müssen darauf achten, wie Sie die Funktion so transformieren können, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch x im Seniorenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits betrachteten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null gehen. Dann lautet die Lösung für den Grenzwert:

Typenmehrdeutigkeiten aufzudecken unendlich/unendlich Teile Zähler und Nenner durch x im höchsten Maße.

Übrigens! Für unsere Leser gibt es jetzt 10% Rabatt auf

Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Substitution in die Wertfunktion x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir eine quadratische Gleichung im Zähler haben. Lassen Sie uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also auf Typmehrdeutigkeit stoßen 0/0 - Zähler und Nenner faktorisieren.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, hier eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft innerhalb

Eine weitere leistungsstarke Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheiten zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, nehmen wir die Ableitung von Zähler und Nenner, bis die Unsicherheit verschwindet.

Optisch sieht die Regel von L'Hopital so aus:

Wichtiger Punkt : der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner statt Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt ein echtes Beispiel:

Es gibt eine typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen Sie die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, die Unsicherheit ist schnell und elegant beseitigt.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis gut anwenden und die Antwort auf die Frage "Wie löst man Grenzen in der höheren Mathematik" findet. Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit ab dem Wort „absolut“ keine Zeit bleibt, wenden Sie sich an einen professionellen Studentenservice für eine schnelle und detaillierte Lösung.

Die Theorie der Grenzwerte ist einer der Zweige der mathematischen Analyse. Die Frage nach dem Lösen von Grenzen ist ziemlich umfangreich, da es Dutzende von Methoden zum Lösen von Grenzen verschiedener Art gibt. Es gibt Dutzende von Nuancen und Tricks, mit denen Sie das eine oder andere Limit lösen können. Trotzdem werden wir versuchen, die wichtigsten Arten von Grenzwerten zu verstehen, die in der Praxis am häufigsten anzutreffen sind.

Beginnen wir mit dem eigentlichen Konzept einer Grenze. Aber zuerst ein kurzer historischer Hintergrund. Es war einmal im 19. Jahrhundert ein Franzose Augustin Louis Cauchy, der die Grundlagen der mathematischen Analyse legte und strenge Definitionen vorgab, insbesondere die Definition des Grenzwertes. Es muss gesagt werden, dass derselbe Cauchy in Albträumen aller Studenten der physikalischen und mathematischen Fakultäten geträumt hat, träumt und träumen wird, da er eine Vielzahl von Sätzen der mathematischen Analyse bewiesen hat, und ein Satz ist ekelhafter als der andere. In diesem Zusammenhang werden wir keine strenge Definition der Grenze in Betracht ziehen, sondern versuchen, zwei Dinge zu tun:

1. Verstehe, was eine Grenze ist.
2. Lernen Sie, die wichtigsten Arten von Limits zu lösen.

Ich entschuldige mich für einige unwissenschaftliche Erklärungen, es ist wichtig, dass das Material sogar für eine Teekanne verständlich ist, was eigentlich die Aufgabe des Projekts ist.

Was ist also die Grenze?

Und sofort ein Beispiel dafür, warum Sie Ihre Großmutter vögeln sollten ....

Jedes Limit besteht aus drei Teilen:

1) Das bekannte Limit-Icon.
2) Einträge unter dem Limit-Icon, in diesem Fall . Der Eintrag lautet "x tendiert zur Eins". Meistens - genau, obwohl es in der Praxis statt "x" andere Variablen gibt. Bei praktischen Aufgaben kann anstelle einer Einheit eine absolut beliebige Zahl sowie unendlich () stehen.
3) Funktioniert unter dem Grenzzeichen, in diesem Fall .

Der Rekord selbst lautet wie folgt: "der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen Eins strebt."

Lassen Sie uns Folgendes analysieren wichtige Frage Was bedeutet der Ausdruck „X“? sucht zur Einheit? Und was ist überhaupt „Streben“?
Der Begriff einer Grenze ist sozusagen ein Begriff, dynamisch. Lassen Sie uns eine Sequenz konstruieren: zuerst , dann , , …, , ….
Das heißt, der Ausdruck „x sucht zu eins" ist wie folgt zu verstehen - "x" nimmt konsistent die Werte an die der Einheit unendlich nahe sind und praktisch mit ihr zusammenfallen.

Wie löst man obiges Beispiel? Basierend auf dem Obigen müssen Sie nur die Einheit in der Funktion unter dem Grenzwertzeichen ersetzen:

Die erste Regel lautet also: Wenn Sie ein Limit erhalten, versuchen Sie zunächst, die Zahl in die Funktion einzufügen.

Wir haben die einfachste Grenze betrachtet, aber solche findet man auch in der Praxis und nicht so selten!

Beispiel Infinity:

Verstehen, was ist das? Das ist der Fall, wenn es unendlich zunimmt, also: zuerst, dann, dann, dann und so weiter bis ins Unendliche.

Und was passiert zu diesem Zeitpunkt mit der Funktion?
, , , …

Also: wenn , dann geht die Funktion gegen minus unendlich:

Grob gesagt setzen wir gemäß unserer ersten Regel unendlich in die Funktion anstelle von "x" ein und erhalten die Antwort .

Ein weiteres Beispiel mit unendlich:

Wieder beginnen wir, bis ins Unendliche zu steigen, und betrachten das Verhalten der Funktion:

Fazit: Für steigt die Funktion unendlich an:

Und noch eine Reihe von Beispielen:

Bitte versuchen Sie, Folgendes mental zu analysieren, und erinnern Sie sich an die einfachsten Arten von Grenzen:

, , , , , , , , ,
Wenn es irgendwo Zweifel gibt, können Sie einen Taschenrechner nehmen und ein wenig üben.
Versuchen Sie in diesem Fall, die Sequenz , , zu erstellen. Wenn, dann , , .

Hinweis: Diese Herangehensweise mit dem Bilden von Reihen aus mehreren Zahlen ist streng genommen falsch, aber für das Verständnis einfachster Beispiele durchaus geeignet.

Achten Sie auch auf Folgendes. Auch wenn ein Limit vorgegeben ist eine große Anzahl ganz oben, auch mit einer Million: dann ist es egal , denn früher oder später wird "x" so gigantische Werte annehmen, dass eine Million im Vergleich zu ihnen eine echte Mikrobe sein wird.

Was sollte aus dem oben Gesagten beachtet und verstanden werden?

1) Wenn eine Grenze gegeben ist, versuchen wir zuerst einfach, eine Zahl in die Funktion einzusetzen.

2) Sie müssen die einfachsten Grenzen verstehen und sofort lösen, wie z , , usw.

Jetzt betrachten wir die Gruppe der Grenzen, wenn , und die Funktion ein Bruch ist, in dessen Zähler und Nenner sich Polynome befinden

Beispiel:

Grenze berechnen

Gemäß unserer Regel werden wir versuchen, Unendlich in eine Funktion einzufügen. Was bekommen wir oben? Unendlichkeit. Und was passiert darunter? Auch unendlich. Wir haben also die sogenannte Unbestimmtheit der Form. Man könnte meinen, und die Antwort ist fertig, aber in Allgemeiner Fall dies ist überhaupt nicht der Fall, und es muss eine Lösung angewendet werden, die wir jetzt betrachten werden.

Wie kann man die Grenzen dieses Typs lösen?

Zuerst schauen wir uns den Zähler an und finden die höchste Potenz:

Die höchste Potenz im Zähler ist zwei.

Jetzt schauen wir uns den Nenner an und finden auch den höchsten Grad:

Die höchste Potenz des Nenners ist zwei.

Wir wählen dann die höchste Potenz von Zähler und Nenner: in dieses Beispiel sie fallen zusammen und sind gleich zwei.

Die Lösungsmethode lautet also wie folgt: Um die Unsicherheit aufzudecken, müssen Zähler und Nenner maximal durch dividiert werden.

Hier ist sie, die Antwort, und überhaupt nicht unendlich.

Was ist bei der Entscheidungsfindung wichtig?

Zuerst geben wir die Unsicherheit an, falls vorhanden.

Zweitens ist es wünschenswert, die Lösung für Zwischenerklärungen zu unterbrechen. Normalerweise verwende ich das Zeichen , es hat keine mathematische Bedeutung, sondern bedeutet, dass die Lösung für eine Zwischenerklärung unterbrochen wird.

Drittens ist es wünschenswert, in der Grenze zu markieren, was und wohin es tendiert. Wenn die Arbeit von Hand erstellt wird, ist es bequemer, dies wie folgt zu tun:

Für Notizen ist es besser, einen einfachen Bleistift zu verwenden.

Natürlich können Sie nichts dagegen tun, aber vielleicht bemerkt der Lehrer dann die Mängel in der Lösung oder fängt an, zusätzliche Fragen zur Aufgabe zu stellen. Und brauchst du es?

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze
Wieder im Zähler und Nenner finden wir im höchsten Grade:

Höchstgrad im Zähler: 3
Höchstgrad im Nenner: 4
Wählen größte Wert, in diesem Fall vier.
Gemäß unserem Algorithmus dividieren wir Zähler und Nenner durch , um die Unsicherheit aufzudecken.
Eine vollständige Aufgabe könnte so aussehen:

Teile Zähler und Nenner durch

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze
Der maximale Grad von "x" im Zähler: 2
Die maximale Potenz von "x" im Nenner: 1 (kann geschrieben werden als)
Um die Unsicherheit aufzudecken, ist es notwendig, Zähler und Nenner durch zu dividieren. Eine saubere Lösung könnte so aussehen:

Teile Zähler und Nenner durch

Der Rekord bedeutet nicht die Division durch Null (es ist unmöglich, durch Null zu dividieren), sondern die Division durch eine unendlich kleine Zahl.

Wenn wir also die Unbestimmtheit der Form offenlegen, können wir bekommen endliche Zahl, null oder unendlich.

Grenzwerte mit Typunsicherheit und ein Verfahren zu ihrer Lösung

Die nächste Gruppe von Grenzwerten ist den eben betrachteten Grenzwerten etwas ähnlich: Es gibt Polynome im Zähler und Nenner, aber „x“ strebt nicht mehr gegen unendlich, sondern gegen letzte Zahl.

Beispiel 4

Lösen Sie die Grenze
Versuchen wir zunächst, -1 in einem Bruch zu ersetzen:

In diesem Fall erhält man die sogenannte Unsicherheit.

Allgemeine Regel : Wenn es Polynome im Zähler und Nenner gibt und es eine Unsicherheit der Form gibt, dann für ihre Offenlegung Faktorisiere Zähler und Nenner.

Dazu müssen Sie meistens eine quadratische Gleichung lösen und (oder) abgekürzte Multiplikationsformeln verwenden. Wenn diese Dinge vergessen sind, besuchen Sie die Seite Mathematische Formeln und Tabellen und auschecken methodisches Material Heiße Formeln Schulkurs Mathematik. Übrigens am besten ausdrucken, wird sehr oft benötigt, und Informationen aus Papier werden besser aufgenommen.

Lösen wir also unser Limit

Faktorisieren von Zähler und Nenner

Um den Zähler zu faktorisieren, müssen Sie die quadratische Gleichung lösen:

Zuerst finden wir die Diskriminante:

Und die Quadratwurzel daraus: .

Wenn die Diskriminante groß ist, zum Beispiel 361, verwenden wir einen Taschenrechner, die Extraktionsfunktion Quadratwurzel ist auf dem einfachsten Rechner.

! Wenn die Wurzel nicht vollständig gezogen wird (es wird eine Bruchzahl mit Komma erhalten), wurde sehr wahrscheinlich die Diskriminante falsch berechnet oder es liegt ein Tippfehler in der Aufgabe vor.

Als nächstes finden wir die Wurzeln:

Auf diese Weise:

Alles. Der Zähler wird faktorisiert.

Nenner. Der Nenner ist bereits der einfachste Faktor, und es gibt keine Möglichkeit, ihn zu vereinfachen.

Natürlich kann es verkürzt werden zu:

Jetzt ersetzen wir -1 in dem Ausdruck, der unter dem Grenzwertzeichen bleibt:

Natürlich hinein Kontrollarbeit, bei der Klausur wird die Entscheidung nie so ausführlich gemalt. In der endgültigen Version sollte das Design in etwa so aussehen:

Lassen Sie uns den Zähler faktorisieren.

Beispiel 5

Grenze berechnen

Zuerst eine "saubere" Lösung

Lassen Sie uns Zähler und Nenner faktorisieren.

Zähler:
Nenner:



,

Was ist in diesem Beispiel wichtig?
Zuerst sollten Sie gut verstehen, wie der Zähler aufgedeckt wird, zuerst haben wir 2 eingeklammert und dann die Formel für die Differenz der Quadrate verwendet. Dies ist die Formel, die Sie kennen und sehen müssen.

Thema 4.6 Berechnung von Grenzwerten

Der Grenzwert einer Funktion hängt nicht davon ab, ob sie am Grenzwertpunkt definiert ist oder nicht. Aber in der Praxis der Berechnung der Grenzen elementarer Funktionen ist dieser Umstand wesentlich.

1. Wenn die Funktion elementar ist und der Grenzwert des Arguments zu ihrem Definitionsbereich gehört, dann reduziert sich die Berechnung des Grenzwerts der Funktion auf eine einfache Substitution des Grenzwerts des Arguments, weil Grenze elementare Funktion f(x) x strebenaber , die im Definitionsbereich enthalten ist, ist gleich dem privaten Wert der Funktion bei x= aber, d.h. lim f(x)=f( ein) .

2. Wenn x geht gegen unendlich oder das Argument tendiert zu einer Zahl, die nicht zum Bereich der Funktion gehört, dann erfordert in jedem solchen Fall das Finden des Grenzwerts der Funktion eine spezielle Untersuchung.

Die folgenden sind die einfachsten Grenzen, basierend auf den Eigenschaften von Grenzen, die als Formeln verwendet werden können:

Mehr schwierige Fälle den Grenzwert einer Funktion finden:

jedes wird separat betrachtet.

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Möglichkeiten zur Offenlegung von Unsicherheiten vorgestellt.

1. Der Fall, wenn x strebenaber die Funktion f(x) stellt das Verhältnis zweier infinitesimaler Größen dar

a) Zunächst müssen Sie sicherstellen, dass der Grenzwert der Funktion nicht durch direkte Substitution gefunden werden kann und mit der angegebenen Änderung des Arguments das Verhältnis zweier infinitesimaler Größen darstellt. Um den Bruch um einen gegen 0 gehenden Faktor zu verkleinern, werden Transformationen durchgeführt. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion strebt das Argument x gegen seinen Grenzwert, ohne mit ihm zusammenzufallen.

Allgemein, wenn der Grenzwert einer Funktion gesucht wird x strebenaber , dann muss daran erinnert werden, dass x den Wert nicht annimmt aber, d.h. x ist nicht gleich a.

b) Der Satz von Bezout wird angewendet. Wenn Sie nach der Grenze eines Bruchs suchen, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, die am Grenzpunkt x \u003d zu 0 werden aber, dann sind nach obigem Satz beide Polynome ohne Rest durch x- teilbar aber.

c) Die Irrationalität im Zähler oder Nenner wird zerstört, indem der Zähler oder Nenner mit dem zum Irrationalen konjugierten Ausdruck multipliziert wird, dann wird nach Vereinfachung der Bruch gekürzt.

d) Die 1. bemerkenswerte Grenze (4.1) wird verwendet.

e) Wir verwenden den infinitesimalen Äquivalenzsatz und das folgende b.m.:

2. Der Fall, wenn x strebenaber die Funktion f(x) stellt das Verhältnis zweier unendlich großer Größen dar

a) Zähler und Nenner eines Bruchs dividieren durch der höchste Grad Unbekannt.

b) Im Allgemeinen können Sie die Regel verwenden

3. Der Fall, wenn x strebenaber die Funktion f(x) stellt das Produkt eines unendlich kleinen Wertes und eines unendlich großen dar

Der Bruch wird in eine Form umgewandelt, deren Zähler und Nenner gleichzeitig gegen 0 oder gegen unendlich gehen, also Fall 3 reduziert sich auf Fall 1 oder Fall 2.

4. Der Fall, wenn x strebenaber die Funktion f(x) stellt die Differenz zweier positiv unendlich großer Größen dar

Dieser Fall wird auf eine der folgenden Arten auf Art 1 oder 2 reduziert:

a) Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen;

b) Umwandlung der Funktion in die Form eines Bruchs;

c) Irrationalität loswerden.

5. Der Fall, wenn x strebenaber die Funktion f(x) stellt eine Potenz dar, deren Basis gegen 1 und deren Exponent gegen unendlich geht.

Die Funktion wird so transformiert, dass die 2. bemerkenswerte Grenze (4.2) verwendet wird.

Beispiel. Finden .

Als x geht gegen 3, dann tendiert der Zähler des Bruchs zur Zahl 3 2 +3 *3+4=22 und der Nenner zur Zahl 3+8=11. Folglich,

Beispiel

Hier stehen Zähler und Nenner des Bruchs bei x tendiert zu 2 gegen 0 tendieren (Unschärfe der Form), wir zerlegen Zähler und Nenner in Faktoren, wir erhalten lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Beispiel

Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem zum Zähler konjugierten Ausdruck, den wir haben

Wenn wir die Klammern im Zähler öffnen, erhalten wir

Beispiel

Level 2 Beispiel. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Anwendung des Konzepts des Grenzwerts einer Funktion in wirtschaftlichen Berechnungen geben. Stellen Sie sich eine gewöhnliche Finanztransaktion vor: das Verleihen eines Betrags S 0 mit der Bedingung, dass nach einer gewissen Zeit T Betrag wird erstattet S T. Lassen Sie uns den Wert definieren R relatives Wachstum Formel

r=(S T – S 0)/S 0 (1)

Das relative Wachstum kann in Prozent ausgedrückt werden, indem der resultierende Wert multipliziert wird R um 100.

Aus Formel (1) lässt sich der Wert leicht ermitteln S T:

S T= S 0 (1 + R)

Bei der Berechnung von langfristigen Darlehen über mehrere volle Jahre wird ein Zinseszinsschema verwendet. Es besteht darin, dass wenn für das 1. Jahr der Betrag S 0 steigt in (1 + R) mal, dann für das zweite Jahr in (1 + R) mal die Summe erhöht S 1 = S 0 (1 + R), also S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Ähnlich stellt sich heraus S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Aus den obigen Beispielen können Sie eine allgemeine Formel zur Berechnung des Wachstums des Betrags für ableiten n Jahre bei Berechnung nach dem Zinseszinsschema:

Sn= S 0 (1 + R) n.

In Finanzrechnungen werden Schemata verwendet, bei denen Zinseszinsen mehrmals im Jahr berechnet werden. Gleichzeitig legt es fest Jährliche Rate R Und Zahl der Zahlungen pro Jahr k. Abgrenzungen erfolgen in der Regel in regelmäßigen Abständen, dh der Länge des jeweiligen Intervalls T k ist Teil des Jahres. Dann für einen Zeitraum von T Jahren (hier T nicht unbedingt eine ganze Zahl) S T nach der Formel berechnet

(2)

wo ist der ganzzahlige Teil der Zahl, der mit der Zahl selbst identisch ist, wenn zum Beispiel T? ganze Zahl.

Lassen Sie die Jahresrate sein R und produziert n Abgrenzungen pro Jahr in regelmäßigen Abständen. Dann für das Jahr den Betrag S 0 wird auf den durch die Formel ermittelten Wert erhöht

(3)

IN theoretische Analyse und in der Praxis finanzielle Aktivitäten das Konzept der „kontinuierlich verzinsten Zinsen“ wird oft angetroffen. Um auf kontinuierlich aufgelaufene Zinsen umzuschalten, ist es erforderlich, in den Formeln (2) und (3) die Zahlen jeweils unbegrenzt zu erhöhen k Und n(d. h. zielen k Und n bis unendlich) und berechnen, bis zu welcher Grenze die Funktionen streben S T Und S ein . Wenden wir dieses Verfahren auf Formel (3) an:

Beachten Sie, dass die Grenze in geschweiften Klammern dieselbe ist wie die zweite bemerkenswerte Grenze. Daraus ergibt sich die Jahresrate R bei laufender Aufzinsung der Betrag S 0 für 1 Jahr wird auf den Wert erhöht S 1 * , die aus der Formel ermittelt wird

S 1 * = S 0 äh (4)

Lassen Sie nun die Summe S 0 wird mit Zinsen verliehen n einmal im Jahr in regelmäßigen Abständen. Bezeichnen betreffend Jahreskurs, zu dem am Ende des Jahres der Betrag S 0 wird auf einen Wert erhöht S 1 * aus Formel (4). In diesem Fall werden wir das sagen betreffend- Das Jahreszinssatz n einmal im Jahr, was einem jährlichen Prozentsatz entspricht R mit laufender Anrechnung. Aus Formel (3) erhalten wir

S * 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Gleichsetzen der rechten Teile der letzten Formel und Formel (4) unter Annahme der letzten T= 1 können wir Beziehungen zwischen den Größen ableiten R Und betreffend:

Diese Formeln werden häufig in Finanzberechnungen verwendet.