Ein Exponent ist eine Zahl, die angibt, wie oft ein Wert mit sich selbst multipliziert werden muss. Wenn der Exponent beispielsweise 3 und die Magnitude 4 ist, dann bedeutet 4 3 4 x 4 x 4, also 64. mathematischer Ausdruck um 2 meint bei X bei, und die Zahl 2 ist der Exponent.

Wie unterscheidet sich exponentielles Wachstum von linearem Wachstum? Bei linearem Wachstum steigt der Wert in jeder Stufe um ein und das selbe, nicht auf mehrere Nummer. Wenn mein Startkapital 1.000 $ beträgt und jedes Jahr um 100 $ steigt, dann werde ich es in 10 Jahren verdoppeln und 2.000 $ haben. Dies ist ein lineares Wachstum, jedes Jahr um den gleichen Betrag. Aber wenn mein Startkapital von 1.000 Dollar jedes Jahr um 10 Prozent steigt, dann habe ich in zehn Jahren 2.594 Dollar. Dies ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum mit einem konstanten Vielfachen des jährlichen Anstiegs von 1,1. Wenn ich mein Geschäft weitere 10 Jahre fortführe, bringt mir das lineare Wachstum insgesamt 3.000 US-Dollar, während das exponentielle Wachstum mir 6.727 US-Dollar einbringt.

Jeder Markt oder jedes Unternehmen, das über einen längeren Zeitraum eine Wachstumsrate von 10 Prozent oder mehr aufweist, wird einen weitaus größeren wertschöpfenden Effekt haben, als wir annehmen. Einige Unternehmen wie IBM oder McDonald's von 1950 bis

1985 oder Microsoft in den 1990er Jahren schafften es, eine Wachstumsrate von über 15 Prozent pro Jahr zu erzielen und ihr Kapital um ein Vielfaches zu erhöhen. Wenn Sie mit 100 US-Dollar beginnen und Ihr Kapital 15 Jahre lang um 15 Prozent pro Jahr steigern, erhalten Sie am Ende 3.292 US-Dollar, fast das 33-fache dessen, mit dem Sie begonnen haben. Eine leichte Erhöhung des Prozentsatzes des Wachstums führt zu einem großen Unterschied in den Ergebnissen.

So legte beispielsweise der amerikanische Börsenmakler William O'Neill für seine Mitschüler einen Fonds auf und verwaltete ihn von 1961 bis 1986. In dieser Zeit wurde aus den anfänglichen 850 US-Dollar nach Zahlung aller Steuern ein Betrag von 51.653 US-Dollar*. Das durchschnittliche Wachstum betrug 17,85 Prozent pro Jahr, was zu einer Erhöhung des Anfangsbetrags um den Faktor 61 führte. Wir sehen also, dass, wenn über 25 Jahre eine 15-prozentige Erhöhung das Kapital um das 33-fache erhöht, dann weniger hinzugefügt wird als 3 Prozentpunkte zur jährlichen Wachstumsrate erhöht das Ergebnis um das 61-fache.

Exponentielles Wachstum verändert die Dinge nicht nur quantitativ, sondern auch qualitativ. Beispielsweise verändert sich mit dem schnellen Wachstum der Branche – Peter Drucker nennt die Zahl 40 Prozent in 10 Jahren – ihre gesamte Struktur, und neue Marktführer treten in den Vordergrund. Schnelles Wachstum Märkte werden durch Innovation, Musterlosigkeit, neue Produkte, Technologien oder Verbraucher gefördert. Innovatoren machen die Dinge per Definition anders. Neue Wege passen selten zu den Gewohnheiten, Ideen, Abläufen und Strukturen bestehender Unternehmen. Innovatoren erhalten oft die Gelegenheit, mehrere Jahre lang zu überfliegen, bis traditionelle Führer sich für einen Gegenangriff entscheiden, aber dann kann es zu spät sein.

Einer der großen Mythen, die die Wirtschaft des späten 20. Jahrhunderts untermauerten, war der Mythos des exponentiellen Wachstums. Die Technologie sollte sich noch schneller ändern, damit auch die Wirtschaft exponentiell wachsen würde, wodurch wir alle reicher als unsere Eltern und unverhältnismäßig reicher als unsere Urgroßväter würden. Allerdings scheint seit 2000 zumindest in der Wirtschaft einiges schief gelaufen zu sein. Das Problem ist zum Teil auf den Kapitalabfluss in Schwellenmärkte zurückzuführen, der durch das Internet und moderne Kommunikationsmittel ermöglicht wird. Jenseits dieser unangenehmen Realität liegt jedoch der wirklich beunruhigende Gedanke, dass der technologische Fortschritt und damit die Möglichkeit zur Verbesserung des Lebensstandards möglicherweise überhaupt kein exponentielles Wachstum erzeugen.

In der Vision einiger Enthusiasten hat sich der Glaube an den exponentiellen technologischen Fortschritt in eine Singularität verwandelt, die entweder bereits stattfindet oder uns überholen wird. Sie soll zu einer weiteren Beschleunigung des Fortschritts führen, die so gewaltig sein wird, dass die Zukunft der Menschheitsgeschichte ganz anders aussehen wird als die Vergangenheit.

Aber bevor das Erscheinen der Singularität begrüßt wird, sollte angemerkt werden, dass sie nach Ansicht der Befürworter dieser Theorie durch das Erscheinen von Maschinen verursacht wird, die intelligenter als Menschen sind, die sich später durchsetzen, noch intelligentere Roboter schaffen und die Menschheit „einlassen“ werden der Schweif". Somit wird die Singularity keine schier unendliche Verbesserung der Lebensqualität der Menschheit darstellen, denn offenbar werden sich solche superintelligenten Maschinen nicht sonderlich für den Lebensstandard der Menschen interessieren – oder uns gar als Versuchs- oder Haustiere nutzen wollen . (Wenn letzteres der Fall ist, werde ich zweifellos an der Spitze der Konkurrenten für die Liquidation stehen - ich habe wahrscheinlich nicht die Qualitäten eines Haustieres, die regelmäßig von unserer Katze Eudoxia gezeigt werden).

Wenn wir logisch denken, können wir drei Singularitäten unterscheiden, die in der Geschichte der Menschheit bereits stattgefunden haben: die Entstehung der Sprache, der Übergang vom Nomadenleben zum Sesshaften Landwirtschaft und später die industrielle Revolution. Jedes dieser Phänomene beschleunigte die Entwicklung der Menschheit um das Zehnfache, so dass Veränderungen, die allein unter dem Einfluss der Evolution Millionen von Jahren dauerten, nach dem Aufkommen der Sprache in Hunderttausenden von Jahren mit der Erfindung der Landwirtschaft begannen – in Zehntausende von Jahren und in nur zwei oder drei Jahrhunderten - Nach der industriellen Revolution. Jede dieser Veränderungen war komplett lebensverändernd; es bewegte sich auch in einem schnelleren Tempo und nach der industriellen Revolution in einem kurzen Menschenleben Es gibt große technologische Veränderungen.

Es lohnt sich, näher auf die Einzigartigkeit der Industriellen Revolution einzugehen. Sie machte ungefähr 200 Jahre lang weiter, und keine ihrer ersten Innovationen brachte bedeutende Veränderungen im Leben. Auto Neuling zum Pumpen von Wasser in Bergwerken, erfunden 1712, führte nicht direkt zu großen Veränderungen, es folgte kein viel fortschrittlicherer Motor, wie z James Watt, bis 1769 (und Watts Motoren wurden erst in den 1790er Jahren weit verbreitet). Die technologische Revolution wurde jedoch von einer ebenso wichtigen Revolution des menschlichen Denkens begleitet, die um die Gründung der Royal Society im Jahr 1662 herum begann und sich fortsetzte. Der Reichtum der Nationen» Adam Smith(1776) bis Anfang des 19. Jahrhunderts.

Obwohl der Bürger von 1785 den technischen Fortschritt im Vergleich zu seinem Vorfahren von 1660 nicht besonders genoss, während ein Jahrhundert zuvor Alchemisten in der Malerei der Berühmten verspottet wurden Josef Wright Sie dient jetzt als Cover für " Verlust Alchemisten". Die ersten großen technischen Früchte der Industriellen Revolution kamen später – die Textilproduktion begann erst nach den 1790er Jahren und das Eisenbahnnetz entstand erst nach 1830 – aber die mentalen Veränderungen, die die Singularität ausmachten, hatten bereits 1785 stattgefunden oder so.

In diesem Sinne sind wir noch von keiner Singularität bedroht. Das Internet, das die weltweite Kommunikation und unsere Lebensweise dramatisch verändert hat, ist nicht revolutionärer als das elektrische Licht, das Telefon oder das Auto. Das Leben im Jahr 2010 ist tatsächlich anders als das Leben im Jahr 1995. Heute können wir ein globales Produktions- oder Dienstleistungsunternehmen viel effizienter organisieren als noch 1995. Die meisten Das Leben außerhalb des Schlafes verbringen Jugendliche im Internet oder in Gesprächen weiter Handy, was sie bis 1995 nicht konnte.

Dies war jedoch auch 15-20 Jahre nach dem Erscheinen früherer schicksalhafter Technologien der Fall. 1845, nach der Erfindung der Eisenbahn, war das Reiseverhalten bereits anders als 1830. Im Jahr 1905, nach der Erfindung der Elektrizität, wurden städtische Arbeitsmuster eingeführt Abendzeit und Unterhaltung unterschieden sich stark von den Modellen von 1890. So das Leben in Landschaft Amerika wurde 1925 mit dem Aufkommen des Lizzie Tin (Ford Model T) völlig anders als 1910.

Somit hat jede dieser Erfindungen einige Aspekte der Lebensweise radikal verändert, aber gleichzeitig haben sie den Prozess der Erfindung und des Fortschritts immer noch nicht beschleunigt, wie die industrielle Revolution. Nach der Verbreitung von Erfindungen wurde das Leben anders, aber das Tempo technischer Fortschritt war sehr moderat. Das Internet ist dieser Art von Innovation ähnlich: Es hat unser Leben erheblich verändert, aber es hat den Wandel nicht so beschleunigt wie die industrielle Revolution, und dafür gibt es keine Voraussetzungen. Tatsächlich könnte man zu Recht argumentieren, dass die Generation, die die meisten revolutionären Veränderungen miterlebte, in der Zeit meiner Großtante Beatrice lebte, die 1889 geboren wurde und 1973 starb. In ihrer Kindheit wurden Gasbeleuchtung und Zugpferde verwendet, und im Alter flogen sie bereits mit Gewalt und Kraft in Flugzeugen und besuchten den Mond.

Mit Blick auf die Zukunft gibt es drei wahrscheinliche technologische Fortschritte, die das Tempo des Wandels möglicherweise beschleunigen könnten, auch wenn sie keine Singularität auslösen. Es ist die Erschaffung einer Maschine klüger als ein Mensch, die Entdeckung von Methoden der Genmanipulation, die die kognitiven Fähigkeiten des Menschen steigern können, sowie Entdeckungen technischer, medizinischer oder genetischer Natur, die zu einer erheblichen Erhöhung der menschlichen Lebenserwartung führen können.

Als beliebtester Grund für die angebliche Singularität galt die Möglichkeit eines Superroboters, doch bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass dies wohl kaum dazu führen wird. Singularitätstheoretiker zitieren gerne das Mooresche Gesetz, eine Theorie, die von vorgeschlagen wurde Gordon Moore 1965, wonach sich die Verarbeitungsgeschwindigkeit von Computern alle zwei Jahre verdoppelt. In Wirklichkeit nähern wir uns jedoch ernsthaft der Grenze dieses Fortschritts; Begrenzende Faktoren sind die Lichtgeschwindigkeit, die zum Betrieb von Mikroprozessoren (die Wärme erzeugen) erforderliche Energie, die Wellenlänge elektromagnetischer Strahlung und die Größe atomarer Strukturen.

In ein paar Generationen werden wir uns nach dem Mooreschen Gesetz einer vorübergehenden Barriere nähern, die den Fortschritt erheblich erschweren wird, und in 5-6 Generationen werden wir uns nach demselben Gesetz einer dauerhaften Barriere nähern, die mit Vorstellbarem überschritten wird dieser Moment technologischer Fortschritt wird unmöglich sein. Es muss zugegeben werden, dass weitere Fortschritte im Bereich der Computerintelligenz durch verbesserte Programmierung und Architektur mit massiver Parallelität realisiert werden, aber die Realität ist, dass nach den Fortschritten von 2015 bis 2020 in diesem Bereich eine erhebliche Verlangsamung einsetzen wird, keine Beschleunigung. So wie die Erfindung des Automatikgetriebes im Jahr 1939 die letzte wirklich revolutionäre Veränderung im Automobildesign war, ist klar, dass der endlose Fortschritt im Maschinendesign allmählich an eine natürliche Grenze stoßen wird.

Gentechnik zur Verbesserung der menschlichen Intelligenz wird zweifellos unsere Welt verändern, aber dies wird wahrscheinlich nicht sehr bald geschehen, da solche Veränderungen von den meisten westlichen religiösen Gruppen und Regierungen entschieden abgelehnt werden. Selbst das einfache Klonen, bei dem es sich einfach um die Reproduktion eines existierenden Individuums handelt, ist in zehn Jahren nicht weit fortgeschritten und könnte sich in der Zukunft um eine ganze Generation verzögern. Auch wenn mit Genehmigung der Regierungen die Sicherheitsüberprüfungen durchgeführt werden können, die vor dem Beginn von Experimenten zur Verbesserung der Intelligenz erforderlich sind, besteht die Möglichkeit, dass die ersten Tests dieser Art lediglich zu einer Erhöhung der Intelligenz auf das bestehende Niveau führen und nicht zu einer Ausweitung. Darüber hinaus aufgrund der biologischen Notwendigkeit, diese Kinder vor dem 15. Lebensjahr zu reifen, erhalten höhere Bildung In den nächsten 5-10 Jahren wird das Ergebnis dieser Änderungen frühestens in 50 Jahren sichtbar sein. In diesem Sinne kann ein Superroboter, wenn er real ist, schneller erstellt werden, da er sofort erwachsen wird! In Anbetracht der Tatsache, dass die ersten Instanzen des verbesserten Menschen ein winziger Bruchteil der menschlichen/neuen menschlichen Rasse sein werden, wird es offensichtlich, dass von hier bis zum nächsten Jahrhundert keine Makrobeschleunigung zu erwarten ist.

Dritte potenzielle Technologie, Lebensverlängerung, ist schon interessanter. Technisch würde jeder signifikante Effekt (abgesehen von medizinischen Fortschritten, der den Prozentsatz der Menschen erhöht, die 90-100 Jahre alt werden) wahrscheinlich ähnliche Fähigkeiten erfordern, um ein besseres Leben zu ermöglichen hohes Level Intellekt. Dieser Bereich wird jedoch auf viel weniger sludditischen Widerstand von Politikern und religiösen Führern stoßen, da die Vorteile eines längeren Lebens klar und theoretisch universell sind. Andererseits wird es viel schwieriger sein, die Lebenserwartung der bereits Lebenden zu erhöhen, als neue langlebige Menschen zu schaffen, und dies wird höchstwahrscheinlich später geschehen.

Es stellt sich heraus, dass wir bis 2050 wahrscheinlich in der Lage sein werden, Kinder zu gebären, die 150-200 Jahre alt werden (d. h. länger als es dauert, um Einschränkungen zu überwinden, von denen wir noch nichts wissen, weil sie keine Auswirkungen haben Hundertjährige). Einige Zeit später werden wir lernen, die Lebenserwartung bereits existierender Menschen zumindest teilweise zu erhöhen. Angesichts der potenziellen Massennachfrage nach solchen Technologien sollten sie sich schnell bei den meisten Menschen ausbreiten, da die Massenproduktion ihre Kosten auf ein akzeptables Niveau senken wird.

Obwohl die Verlängerung des Lebenszyklus das menschliche Leben erheblich verbessern wird, wird es den Fortschritt nicht beschleunigen. Hundertjährige werden erst mit mindestens 25 Jahren arbeiten, weil sie eine umfassendere Ausbildung erhalten als wir. Wenn sie zur Arbeit gehen, werden sie weniger risikoscheu und geduldiger sein als wir, da die Verzögerung einen kleineren Teil ihres restlichen Lebens in Anspruch nehmen wird. Auch ohne weitere Beschleunigung müssen sie sich wiederum alle 20 bis 25 Jahre umschulen, um zu verhindern, dass ihre Arbeitsfähigkeiten hoffnungslos veraltet sind. Da die Kosten für sie angesichts des schnellen Wandels größer sein werden als für uns, und der Nutzen geringer, werden sie selbst den Fortschritt bremsen wollen. Nur in Kombination mit einem höheren Maß an Intelligenz werden sie in der Lage sein, das schwindelerregende postrevolutionäre Tempo des Wandels zu akzeptieren.

Im Moment dachte ich über eine mögliche Beschleunigung positiver Veränderungen nach. Es besteht jedoch die Möglichkeit katastrophal negativer Veränderungen, die die Zivilisation, den Lebensstandard und das Wissen auf ein primitiveres Niveau zurückbringen können. Eine mögliche Quelle dafür ist Weltkrieg, vielleicht anders als vor 50 Jahren. Ein weiterer Faktor kann sein ökologische Katastrophe. Hier wird nichts Gutes erwartet. Das derzeitige unvermeidliche Bevölkerungswachstum, das sich bis 2050 voraussichtlich verlangsamen, aber nicht stoppen wird, wird durch Entdeckungen verschärft, die zu einer Erhöhung der Lebenserwartung auf bis zu 200 Jahre geführt haben, sowohl aufgrund einer Abnahme der Zahl der Todesfälle als auch einer Zunahme in der Geburtenrate, da die Fortpflanzungsfähigkeit 100 Jahre erhalten bleibt. Ob die globale Erwärmung ein ernsthaftes Problem in einer Welt mit 7 bis 10 Milliarden Menschen ist, ist eine andere Frage, aber sie wird zweifellos zu einem ernsthaften Problem in einer Welt mit 20 Milliarden Menschen (und die Ressourcenverknappung wird dementsprechend eine realere Gefahr sein). Dementsprechend sollten Maßnahmen zur Verlangsamung des Bevölkerungswachstums oder, noch besser, zur Rückkehr zum Bevölkerungsrückgang oberste Priorität haben. Am Ende bis zur letzten Singularität Weltbevölkerung war nur 1 Milliarde; auf dieser Ebene, unsere Probleme mit Umgebung und Ressourcen würden verschwinden.

Abgesehen von der Möglichkeit eines Zusammenbruchs werden die zwei oder drei wahrscheinlichen technologischen Entwicklungen der nächsten 50 Jahre – das Erreichen der Grenzen des Mooreschen Gesetzes und eine steigende Lebenserwartung – das Tempo des Wandels wahrscheinlich eher verlangsamen als beschleunigen. Nur die dritte Option – genetisch verbesserte Intelligenz – hat das Potenzial, den Fortschritt zu beschleunigen, aber der systemische Widerstand gegen diese Technologie wird ihn wahrscheinlich sehr lange verzögern. Die menschliche Entwicklungskurve im 21. Jahrhundert wird daher eher asymptotisch [begrenzt] als exponentiell sein.

Hallo! Heute werden wir versuchen herauszufinden, was exponentielles Wachstum ist. Exponentielles Wachstum - ein exponentieller Anstieg eines Wertes. Der Wert wächst proportional zu seinem Wert. Das bedeutet, dass jeder exponentiell wachsende Wert umso schneller wächst, je größer der Wert ist. Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Sie erinnern sich vielleicht aus der Biologie, dass sich Bakterien SEHR schnell vermehren. Das Wachstum einer Bakterienpopulation ist analog zum Wachstum kontinuierlich aufgelaufener Zinsen. Ich werde es zeigen, wenn wir das Problem gelöst haben. Das ist also unsere Aufgabe für exponentielles Wachstum. Hier ist die Bedingung: Erstphase Eine Bakterienkolonie enthält 100 Zellen und beginnt proportional zu ihrer Größe zu wachsen. Nach 1 Stunde steigt die Anzahl der Zellen auf 420. Zuerst müssen wir einen Ausdruck finden, der die Anzahl der Bakterien nach t Stunden zeigt. Machen wir weiter. Die Anzahl der Bakterien ist sozusagen eine Funktion der Zeit. Nennen wir es b. Also schreiben wir es auf. Die Anzahl der Bakterien als Funktion von t kann als b(t) geschrieben werden. Ich schreibe es hier auf: b(t). Somit ist die Anzahl der Bakterien als Funktion der Zeit gleich: Die anfängliche Anzahl der Bakterien, dh I ist Null (wenn wir eine Analogie zum Zins ziehen, dann ist dies unser Leihkörper). In diesem Fall ist dies die Nummer, mit der wir beginnen. Als nächstes haben wir e mit kt potenziert, wobei k eine Form des exponentiellen Wachstums ist. Wir haben I null, mit anderen Worten, die Anfangsgröße. t=0, weil Zum Anfangszeitpunkt ist die Zeit gleich Null, was bedeutet, dass die gesamte Potenz gleich Null ist und der gesamte Ausdruck hier gleich Eins ist. Logisch, oder? b(0) muss gleich I Null sein. Wenn Sie also wissen, mit welchem ​​Wert Sie beginnen müssen, sowie den zweiten Wert, können Sie k finden. Dann ersetzt du k durch den gefundenen Wert – und schon hast du den ersten Punkt der Aufgabe erledigt: Finde einen Ausdruck, der die Anzahl der Bakterien nach t Stunden anzeigt. Meine Frage ist also, was ist ich gleich Null? Wir kennen diese Nummer. Hier im Problem: Im Anfangsstadium enthält eine Bakterienkolonie 100 Zellen. Daher wissen wir, dass b(0) gleich 100 ist. Lassen Sie es mich anders ausdrücken: b(0)=I null*e hoch 0 =I null. Daher beträgt die Anzahl der Bakterien bei t=0 100. Hier sind wir mit der Lösung ein wenig fortgeschritten. Nun können wir sagen, dass b(t)=100*e hoch kt. Wenn wir also k hätten, könnten wir den ersten Teil der Aufgabe erledigen: Finde einen Ausdruck, der die Anzahl der Bakterien nach t Stunden zeigt. Aber wie können wir k finden? Und hier haben wir den zweiten Wert der Bakterienzahl: Nach 1 Stunde steigt die Zahl der Zellen auf 420 Stück. Was sagt uns das? Dass b(1), d.h. die Bevölkerung nach 1 Stunde ist 420 oder gleich 100*e hoch kt. Was ist T? t=1 also mit e hoch k multiplizieren. Also 420=100*e hoch k. Jetzt können wir k finden. Beginnen wir damit, beide Seiten der Gleichung durch 100 zu teilen. Also 4,2 ... Ich werde wahrscheinlich die Teile der Gleichung vertauschen. e hoch k ist also 4,2. Um nun k zu finden, müssen wir die natürlichen Logarithmen beider Seiten nehmen. Somit ist k = ln(4,2). Als Ergebnis erhalten wir eine Zahl. Wir werden es später mit einem Taschenrechner finden. Also haben wir zuerst den Wert 100 in diesen Ausdruck eingesetzt, herausgefunden, was I gleich Null ist und mit Hilfe zusätzlicher Daten k gefunden: k=ln(4,2). Jetzt haben wir einen Ausdruck, da bekannt ist, dass k und I Null sind. Daher hier die Antwort auf den ersten Punkt der Aufgabe: Die Funktion b (t) ist gleich: der Anfangsbetrag, dh 100, multipliziert mit e hoch kt, und da k \u003d ln (4 ,2) erhalten wir e hoch (ln (4 ,2))*t. So sieht unsere Funktion aus. Kommen wir nun zum zweiten Teil unserer Aufgabe. Hier ist er, der zweite Punkt: Finden Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Stunden. Dies ist einfach und einfach zu tun. Wir haben eine Funktion und t = 3, also können wir die Anzahl der Bakterien nach 3 Stunden finden. Also b(3)=100*e hoch (ln(4,2)*3). Und wir können den Wert dieses Ausdrucks berechnen, wenn Sie natürlich einen Taschenrechner haben. Was ist gleich natürlicher Logarithmus 4.2? Tatsächlich können wir den Wert analytisch finden. Das ist also dasselbe wie 100 mal e hoch ln(4,2) und das alles hoch 3, denn wenn zwei Potenzen multipliziert werden, dann ist das gleichbedeutend mit Potenzieren, was bedeutet, dass wir potenzieren die 3. Potenz. Und wenn wir hier vereinfachen, dann ist alles weiter klar. Aber was ist e hoch ln(4,2)? Das ist 4.2, richtig? Der natürliche Logarithmus sagt uns, wie viel e erhöht werden muss, um 4,2 zu erhalten. Schau, ich kann sogar auf einen Taschenrechner verzichten. Also 100*(4,2) hoch 3. Und jetzt müssen wir herausfinden, wie viel (4,2) im dritten Grad sein wird. Es werden etwa 70 sein. Lassen Sie uns später darauf eingehen. Hier ist die Antwort auf den zweiten Absatz unserer Aufgabe. Und Sie können den Wert mit einem Taschenrechner ermitteln. Das kannst du selbst machen. Was ist der dritte Punkt? Jetzt müssen wir die Wachstumsrate nach 3 Stunden finden. Was wollen sie an dieser Stelle von uns? Wir müssen die Steigung dieser Funktion finden. Mit anderen Worten, wir müssen die Ableitung dieser Funktion bei t=3 finden. Lassen Sie mich hier alles löschen, da wir diese Aufgaben bereits erledigt haben. Alles, was Sie hier tun müssen, ist einen Taschenrechner zu verwenden. Bereit. Kommen wir also zum dritten Punkt. Wir müssen die Wachstumsrate finden, also die Ableitung dieser Funktion. Die Ableitung der Funktion b’(t) ist also … Womit ist sie gleich? Wenden wir die Kettenregel an, d.h. das Prinzip der Differentiation einer komplexen Funktion. Da 100 also eine Konstante ist, können wir 100 vor die Funktion schreiben. Und die Ableitung dieses Ausdrucks ist gleich ln(4,2) mal der Ableitung e hoch ln(4,2)*t. Wir waren es, die die Wachstumsrate bei t gefunden haben, und wir müssen herausfinden, wie sie bei t=3 aussehen wird. Daher ist b'(3)=100*ln(4,2), und wir multiplizieren das alles mit e hoch ln(4,2)*t. Und wir haben bereits gesagt, dass dieser Ausdruck einfach gleich (4,2) hoch t ist. Hier multiplizieren wir also mit (4.2) in die dritte Potenz. Wie Sie sehen können, haben wir hier auch das Thema Logarithmen berührt. Nun, dann ist alles einfach und simpel: Wir haben den Wert 3 anstelle von t ersetzt. Ich hoffe, Sie verstehen. Wenn nicht, können Sie einfach den Rechner verwenden. Aber meiner Meinung nach muss man wissen: e vtepeni (ln x) = x. Was ist schließlich (ln x)? Dies ist die Kraft, die Sie benötigen, um e zu erhöhen, um x zu erhalten. Mit anderen Worten, wenn ich e mit x potenziere, erhalte ich x. Das ist alles, was ich sagen wollte. Also e hoch ((ln(4,2) hoch t)= (4,2) hoch t. Wie Sie sehen können, kann ich unseren ursprünglichen Ausdruck wie folgt umschreiben: 100*( 4,2) hoch t. Wir haben gerade die Antwort für den ersten Punkt der Aufgabe vereinfacht. So wird es besser sein. Dank dessen wäre es einfacher, eine Lösung für den zweiten Punkt zu finden. Nun, was den dritten Punkt betrifft, ist es besser, alles so zu lassen, wie es ist, da es viel einfacher ist, die Ableitung dieses Ausdrucks zu finden. Wir können diesen Ausdruck umschreiben als: b'(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) hoch t. Also habe ich diesen Ausdruck einfach so geändert. Entschuldigung, so habe ich es schon geschrieben. Und schließlich kommen wir zum letzten Punkt unserer Aufgabe: Finden Sie die Zeit, nach der die Anzahl der Bakterien 10.000 erreicht. Lassen Sie mich wohl die Entscheidung zum dritten Punkt streichen. Wie lange dauert es, bis Bakterien 10.000 erreichen? Schreiben wir unseren Ausdruck zunächst etwas einfacher. Also b(t)=100*e hoch (ln(4,2)*t). Und das ist gleich, wie gesagt, 100*(4,2)^t. Wir werden gefragt, wann die Bakterienzahl 10.000 erreicht. Mit anderen Worten, bei welchem ​​Wert von t ist die Funktion b(t) gleich 10.000. Also 10.000=100*e hoch ln(4,2)*t. Mal sehen, was wir hier haben. Wir können beide Seiten der Gleichung durch 100 teilen. Daher ist 100=e hoch (ln(4,2)*t). Und jetzt können wir beide Teile als natürliche Logarithmen schreiben. Was können wir hier tun? Nehmen wir eine andere Farbe, ln100 ist..., und wenn wir den natürlichen Logarithmus von e potenzieren, dann erhalten wir nur den natürlichen Logarithmus des Werts dieser Potenz. Mit anderen Worten, uns bleibt nur der Logarithmus des Ausdrucks, der in der Potenz steht. Schreiben wir es also auf: ln100=ln(4,2)*t. Und um t zu finden, müssen wir beide Seiten der Gleichung durch ln(4,2) dividieren. Daher ist t=(ln100)/(ln(4,2)) Auf diese Weise finden wir die Zeit, nach der die Bakterienzahl 10.000 erreicht. Es bleibt nur, einen Taschenrechner zu nehmen und den Wert dieses Ausdrucks zu finden. Betrachten wir nun interessehalber eine vereinfachte Version unseres Ausdrucks. Was würden wir also bekommen: 100*(4,2) hoch t=10.000. Wir dividieren beide Seiten der Gleichheit durch 100. Also (4.2) hoch t=100. Und um dies zu lösen, müssen wir den Logarithmus zur Basis 4,2 nehmen. Daher ist t gleich dem Logarithmus von 100 zur Basis 4,2. Wir werden darauf in einem Video über die Eigenschaften des Logarithmus zurückkommen. Es ist sehr wichtig zu wissen, wie man den Logarithmus zur Basis einer Zahl berechnet. Denn auf einem Taschenrechner kann man nur den Logarithmus zur Basis e oder 10 finden. Aber wie findet man den Logarithmus zur Basis einer anderen Zahl? Meine Antwort ist sehr einfach: Sie müssen nur den natürlichen Logarithmus von 100 nehmen und ihn durch den natürlichen Logarithmus dieses Werts teilen. Oder der Dezimallogarithmus ist 100 und dividiert durch den Dezimallogarithmus von 4,2. Das ist es, wir werden wahrscheinlich damit fertig werden, damit nicht alles in Ihrem Kopf durcheinander kommt. In dieser Lektion haben wir uns also mit exponentiellem Wachstum beschäftigt. Anstelle von "Bakterienkolonie" könnten wir schreiben "Die anfängliche Einzahlung beträgt 100 und wächst proportional zu ihrer Größe". Dann wäre es Zinseszins. Und hier könnten wir sagen: „Nach 1 Stunde hat sich der Betrag um, sagen wir, 4,2 $ erhöht. In einem solchen Fall würden wir nach kontinuierlich aufgelaufenen Zinsen suchen. Im Allgemeinen ist es dasselbe. Es spielt keine Rolle, was wir sehen. In Zukunft werde ich noch einige Beispiele zu diesem Thema zeigen, und wir werden auch das Problem des exponentiellen Zerfalls betrachten. Bis bald!

Laborarbeit №1.

"Populationsdynamik".

Simulation der Bevölkerungsdynamik mit dem Berechnungsprogramm

Zielsetzung: Populationsdynamische Modelle mit Hilfe eines Berechnungsprogramms untersuchen.

Zur Arbeit zugelassen

Ich habe die Arbeit gemacht

Arbeit verteidigt

2010 G.

1 THEORETISCHE EINFÜHRUNG

Nach der Definition des berühmten russischen Ökologen S. S. Schwartz, Population- Dies ist eine elementare Gruppierung von Organismen einer bestimmten Art, die über alle notwendigen Voraussetzungen verfügt, um ihre Population zu erhalten lange Zeit bei ständig wechselnden Umweltbedingungen.

Populationen sind wie jedes biologische offene System durch eine bestimmte Struktur, Wachstum, Entwicklung, Resistenz gegen abiotische und biotische Faktoren gekennzeichnet.

Der wichtigste Indikator für das Wohlbefinden einer Bevölkerung (Resilienz), ihre Rolle für das Funktionieren eines natürlichen Ökosystems, ist ihr Überfluss.

Die Bevölkerungsgröße wird hauptsächlich durch zwei Phänomene bestimmt - Fruchtbarkeit und Sterblichkeit sowie Migration.

Fruchtbarkeit - die Anzahl neuer Individuen, die pro Zeiteinheit durch Reproduktion entstanden sind. Im Fortpflanzungsprozess nimmt die Zahl der Individuen zu, sie ist theoretisch zu einer unbegrenzten Zahlvermehrung fähig.

Es gibt verschiedene Arten der Veränderung der Anzahl der Individuen in einer Population in Abhängigkeit von der Zeit (Populationsdynamik). Im einfachsten Fall lässt sich die Populationsdynamik durch einfache mathematische Modelle beschreiben, die es erlauben, Veränderungen in der Anzahl der Individuen vorherzusagen.

1. Exponentielles Bevölkerungswachstum.

Eines der frühesten Modelle des Bevölkerungswachstums wurde von vorgeschlagen T. Malthus 1798, in dem bekannten Werk "Über die Prinzipien der Bevölkerung". Dieses Modell heißt exponentiellAbhängigkeiten Bevölkerungswachstum (exponentielle Wachstumskurve). In diesem Modell wird davon ausgegangen unbegrenzte Menge an natürlichen Ressourcen, Personen in der Bevölkerung zur Verfügung und das Fehlen von einschränkenden Faktoren für das Bevölkerungswachstum. Unter solchen Annahmen wächst die Anzahl der Individuen in der Bevölkerung nach einem Potenzgesetz, d.h. sehr schnell u unbegrenzt.

Wenn gekennzeichnet durch n 0 die Anzahl der Individuen in der Population und die Anfangszeit (t 0 ), und durch N t die Anzahl der Individuen zu einem bestimmten Zeitpunkt t (t>t0). Dann die Änderung der Zahl ∆N über das Zeitintervall ∆ t. diese. Das Bevölkerungswachstum beträgt:

(1)

Ausdruck (1) zeigt die durchschnittliche Bevölkerungswachstumsrate. In der Populationsökologie wird jedoch häufiger nicht die absolute Durchschnittsrate verwendet, sondern die Wachstumsrate pro Organismus (spezifische Rate):

(2)

Mit diesem Indikator können Sie die Werte der Änderung der Anzahl von Populationen unterschiedlicher Größe vergleichen. Die Anzahl ist dabei definiert als die Steigerungsrate einer Person in einem bestimmten Zeitintervall.

Übergang zur Grenzform der Aufzeichnung der Geschwindigkeit bei
0 und
und Einführung einer neuen Notation:

(3)

Im Ausdruck (3) Index r kann als momentanes Spezifisches definiert werden Bevölkerungswachstumsrate. Für verschiedene Populationen derselben Art kann dieser Indikator unterschiedliche Werte haben. Der größte aller möglichen Werte (r max) wird als biotisches oder reproduktives Potenzial der Population bezeichnet

Unter Berücksichtigung des Ausdrucks (3) kann die Bevölkerungswachstumsrate durch den folgenden Ausdruck beschrieben werden

(4)

Wenn wir Ausdruck (4) differenzieren, erhalten wir das jederzeit unter der Bedingung r= mitonst (Wachstumskonstante) Die Anzahl der Personen in der Bevölkerung ist gleich:
(5)

Formel (5) beschreibt ein exponentielles Bevölkerungswachstumsmodell, das grafisch die Form einer Kurve hat (Abb. 1). Das exponentielle Wachstumsmodell erfüllt die Bedingungen unbegrenztes Wachstum die Zahl der Individuen in der Bevölkerung.

Reis. eines. Exponentielle Wachstumskurve für die Anzahl der Individuen in einer Population

1. Logistisches Wachstumsmodell

Die maximale Populationsgröße, die ein Ökosystem unter konstanten Umweltbedingungen auf unbestimmte Zeit aufrechterhalten kann, wird genannt Ökosystem Kapazität für diesen Typ.

Bevölkerungsveränderung- Dies ist das Verhältnis zwischen dem biologischen Potenzial (Zusatz von Individuen) und dem Widerstand der Umgebung (Tod von Individuen, Sterblichkeit). Umweltbedingte Widerstandsfaktoren führen zu einem Anstieg der Sterblichkeit, und die Abundanzkurve flacht ab oder geht sogar zurück, wenn die Bevölkerungsexplosion zur Erschöpfung lebenswichtiger Ökosystemressourcen geführt hat. Die Bevölkerungswachstumskurve mit Umweltwiderstand erwirbt S-bildlich Ansicht (Abb. 2).

Reis. 2 . S-förmiges Bevölkerungswachstumsmodell

Daher ist unter natürlichen Bedingungen ein unbegrenztes Wachstum früher oder später unmöglich Die Bevölkerung wird an ihre Grenzen stoßen, die bestimmt wird mittlere Kapazität(Räumlichkeit, Essen usw.). Wenn wir mit der maximal möglichen Anzahl von Individuen in einer Population einen bestimmten Wert bezeichnen K (mittlere Kapazität) und geben Sie einen Korrekturfaktor ein, der berücksichtigt "Widerstand" Umweltwachstum in Form eines Verhältnisses:

,

dann kann die Gleichung für diesen Fall geschrieben werden als bilden:

(7)

Die Lösung dieser Differentialgleichung wird wie folgt aussehen

(8)

wo a - Integrationskonstante, die die Position der Funktion relativ zum Ursprung bestimmt, kann aus dem Ausdruck gefunden werden (vorausgesetzt, dass r= konst).

(9)

Ausdruck (8) beschreibt die sog logistische Wachstumskurve(Abb. 2). Dies ist das zweiteinfachste mathematische Modell der Bevölkerungsdynamik unter der Bedingung der Obergrenze des Überflusses und des Widerstands der Umwelt gegen Bevölkerungswachstum. Nach diesem Modell Bevölkerungsgröße am AnfangStufe wächst schnell genug, aber dann verlangsamt sich die Bevölkerungswachstumsrate undwird in der Nähe des Wertes unendlich kleinZu (Die logistische Kurve nähert sich asymptotisch der Horizontalen ZU).

1. Klassen nichtlinearer Regressionen.

2. Parabolische Form der Abhängigkeit.

3. Hyperbolische Form der Abhängigkeit.

4. Exponentielle Form der Abhängigkeit.

5. Machtform der Abhängigkeit.

Zwischen wirtschaftlichen Phänomenen bestehen nichtlineare Beziehungen, die durch nichtlineare Funktionen ausgedrückt werden.

Es gibt zwei Klassen nichtlinearer Regressionen:

1. Regressionen, die nichtlinear in Bezug auf die in die Analyse einbezogenen erklärenden Variablen, aber linear in Bezug auf die geschätzten Parameter sind.Beispiele für solche Regressionen sind Funktionen:

Polynome unterschiedlichen Grades;

Gleichseitige Übertreibung.

2. Nichtlineare Regressionen gemäß den geschätzten Parametern umfassen die folgenden Funktionen:

Leistung;

Demonstrativ;

Exponentiell.

Die nichtlineare Regression der eingeschlossenen Variablen wird wie die lineare Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) definiert, da diese Funktionen lineare Parameter haben.

1. Parabolische Form der Abhängigkeit.

Die Regressionsgleichung 2. Ordnung der Parabel lautet:

Die normalen Gleichungen der kleinsten Quadrate für die parabolische Abhängigkeit sind:

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhalten wir die Werte der Parameter a, b und c.

Parabel zweiten Grades bei b > 0 und Mit< 0 ist symmetrisch in Bezug auf den Maximalpunkt, was die Richtung der Beziehung ändert, nämlich Wachstum zu Fall. Eine solche Funktion lässt sich in der Arbeitsökonomie bei der Untersuchung der Altersabhängigkeit der Löhne von Arbeitern beobachten: Mit zunehmendem Alter steigen die Löhne aufgrund der gleichzeitigen Zunahme an Erfahrung und Weiterbildung des Arbeiters. Ab einem bestimmten Alter kann jedoch aufgrund der Alterung des Körpers und einer Abnahme der Arbeitsproduktivität eine weitere Erhöhung des Alters zu einer Verringerung des Lohns des Arbeitnehmers führen.

Bei b < 0 und c > 0, ist die Parabel zweiter Ordnung symmetrisch in Bezug auf das Minimum der Funktion an dem Punkt, der die Richtung der Verbindung ändert, nämlich Abnahme zu Zunahme.

2. Hyperbolische Form der Abhängigkeit.

Die Hyperbel-Regressionsgleichung hat die folgende Form:

Aus dem System der normalen Gleichungen der kleinsten Quadrate für eine Hyperbel:

die Werte der Koeffizienten der hyperbolischen Regressionsgleichung werden bestimmt a und b.

Die hyperbolische Abhängigkeit kann auf der Mikro- und Makroebene verwendet werden - beispielsweise um den Zusammenhang zwischen den spezifischen Kosten von Rohstoffen, Materialien, Brennstoffen und der Produktionsmenge, dem Zeitpunkt des Warenumlaufs vom Wert des Umsatzes zu charakterisieren. Das klassische Beispiel ist die Kurve Phillips die das Verhältnis zwischen der Arbeitslosenquote und dem Prozentsatz des Lohnwachstums charakterisiert.

Stellen Sie sich eine Regression vor, die in den geschätzten Parametern nicht linear ist

3. Exponentielle Form der Abhängigkeit.

Allgemeine Ansicht der exponentiellen Regressionsgleichung:

Um den Algorithmus zur Verarbeitung der Stichprobenpopulation zu vereinfachen, wird die exponentielle Regressionsgleichung linearisiert, indem der Logarithmus der zweiten der dargestellten Gleichungen genommen wird

Nach dem Austausch ln j auf der z, es stellt sich heraus lineare Gleichung Typ:

z= a+ bx.

Bestimmen Sie die Parameter der Regressionsgleichung a und b. Durch die umgekehrte Substitution erhalten wir die Erfahrungswerte des resultierenden Merkmals.

4. Machtform der Abhängigkeit.

Gesamtansicht der Potenzregressionsgleichung:

Das Logarithmieren dieser Gleichung bringt sie in eine lineare Form:

Parameterschätzungen a und b Gleichungen können durch kleinste Quadrate gefunden werden. Das System der Normalgleichungen hat die Form:

Parameter b aus dem System ermittelt wird, und der Parameter a- Potenzierung des Ausdrucks lna.

Ein Indikator für die Enge einer nichtlinearen Korrelation ist der Korrelationsindex, der nach folgender Formel berechnet wird:

,

wo sind individuelle Werte bei nach der Beziehungsgleichung.

Korrelationsindex liegt innerhalb von: 0 < R < 1 und als näher an Eins, je enger die Beziehung der betrachteten Merkmale ist, desto zuverlässiger wird die Regressionsgleichung gefunden.

Bestimmungsindex R 2 wird verwendet, um die statistische Signifikanz der gesamten nichtlinearen Regressionsgleichung durch den Fisher-Test zu testen.