$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има локален максимумв точка $x_(0) \in E$, ако съществува квартал $U$ на точка $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Извиква се локалният максимум строг , ако кварталът $U$ може да бъде избран по такъв начин, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, има $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Нека $f$ е реална функция на отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има локален минимумв точка $x_(0) \in E$, ако съществува квартал $U$ на точка $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локален минимум се казва, че е строг, ако кварталът $U$ може да бъде избран така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\вдясно)$.

Локалният екстремум съчетава понятията за локален минимум и локален максимум.

Теорема (необходимо условие за екстремум на диференцируема функция)
Нека $f$ е реална функция на отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ако в точка $x_(0) \in E$ функцията $f$ има локален екстремум и в тази точка, тогава $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Равенството на нула диференциал е еквивалентно на факта, че всички са равни на нула, т.е. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

В едномерния случай това е . Означете $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, където $h$ е произволен вектор. Функцията $\phi$ е дефинирана за достатъчно малки стойности по модул на $t$. Освен това по отношение на , той е диференцируем и $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нека $f$ има локален максимум при x $0$. Следователно функцията $\phi$ при $t = 0$ има локален максимум и според теоремата на Ферма $(\phi)' \left(0\right)=0$.
И така, получаваме, че $df \left(x_(0)\right) = 0$, т.е. функция $f$ в точка $x_(0)$ е равна на нула на всеки вектор $h$.

Определение
Точките, в които диференциалът е равен на нула, т.е. тези, при които всички частни производни са равни на нула, се наричат ​​стационарни. критични точкифункции $f$ са онези точки, в които $f$ не е диференцируема или е равна на нула. Ако точката е неподвижна, тогава все още не следва, че функцията има екстремум в тази точка.

Пример 1
Нека $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тогава $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, така че $\left(0,0\right)$ е неподвижна точка, но функцията няма екстремум в тази точка. Наистина, $f \left(0,0\right) = 0$, но е лесно да се види, че във всеки квартал на точката $\left(0,0\right)$ функцията приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2
Функцията $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ има произход на координатите като стационарна точка, но е ясно, че в тази точка няма екстремум.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).
Нека функция $f$ е два пъти непрекъснато диференцируема върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нека $x_(0) \in E$ е неподвижна точка и $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Тогава

1. ако $Q_(x_(0))$ – , то функцията $f$ в точката $x_(0)$ има локален екстремум, а именно минималният, ако формата е положително определена, и максимумът, ако формата е отрицателно-определени;
2. ако квадратичната форма $Q_(x_(0))$ е неопределена, тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ няма екстремум.

Нека използваме разширението според формулата на Тейлър (12.7 стр. 292) . Като се има предвид, че частичните производни от първи ред в точката $x_(0)$ са равни на нула, получаваме $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\вдясно) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ частичен x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ където $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ и $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ за $h \rightarrow 0$, тогава дясната страна е положителна за всеки вектор $h$ с достатъчно малка дължина.
Така стигнахме до заключението, че в някаква околност на точката $x_(0)$ неравенството $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ е изпълнено само ако $ x \neq x_ (0)$ (поставяме $x=x_(0)+h$\вдясно). Това означава, че в точката $x_(0)$ функцията има строг локален минимум и по този начин първата част от нашата теорема е доказана.
Да предположим сега, че $Q_(x_(0))$ е неопределена форма. Тогава има вектори $h_(1)$, $h_(2)$ такива, че $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тогава получаваме $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ За достатъчно малък $t>0$ дясната страна е положителен. Това означава, че във всяка околност на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности $f \left(x\right)$, по-големи от $f \left(x_(0)\right)$.
По същия начин получаваме, че във всеки квартал на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности, по-малки от $f \left(x_(0)\right)$. Това, заедно с предишното, означава, че функцията $f$ няма екстремум в точката $x_(0)$.

Обмисли специален случайот тази теорема за функция $f \left(x,y\right)$ от две променливи, дефинирани в някаква околност на точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$ и имащи непрекъснати частични производни от първи и втори ред. Нека $\left(x_(0),y_(0)\right)$ е неподвижна точка и нека $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\вдясно), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Тогава предишната теорема приема следната форма.

Теорема
Нека $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тогава:

1. ако $\Delta>0$, тогава функцията $f$ има локален екстремум в точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$, а именно минимум, ако $a_(11)> 0$ и максимум, ако $a_(11)<0$;
2. ако $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция от много променливи:

1. Намираме стационарни точки;
2. Намираме диференциала от 2-ри ред във всички неподвижни точки
3. Използвайки достатъчното условие за екстремум на функция от няколко променливи, ние разглеждаме диференциала от втори ред във всяка неподвижна точка

1. Изследвайте функцията до екстремум $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Решение

   Намерете частични производни от 1-ви ред: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(case) \rightarrow \begin(case)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(случаи) \dightarrow \begin(case)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ От второто уравнение изразяваме $x=4 \cdot y^(2)$ — заместваме в 1-во уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ вдясно )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В резултат се получават 2 неподвижни точки:
   1) $y=0 \Стрелка надясно x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Нека проверим изпълнението на достатъчното екстремално условие:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) За точка $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) За точка $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, така че има екстремум в точката $M_(2)$ и тъй като $A_(2)>0 $, тогава това е минимумът.
   Отговор: Точката $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ е минималната точка на функцията $f$.
   

2. Изследвайте функцията за екстремум $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Решение

   Намерете стационарни точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Стрелка надясно \begin(случаи)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(случаи) \Стрелка надясно \begin(случаи) y = 2\\y + x = 1\край(случаи) \Стрелка надясно x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ е неподвижна точка.
   Нека проверим изпълнението на условието за достатъчно екстремум: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Отговор: няма крайности.
   

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на работни места)

0 от 4 задачи изпълнени

Информация

Вземете този тест, за да проверите знанията си по темата, която току-що прочетохте, Локални екстремуми на функциите на много променливи.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го стартирате отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да изпълните следните тестове, за да започнете този:

резултати

Правилни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Вие спечелихте 0 от 0 точки (0)

Вашият резултат е записан в класацията

1. С отговор
2. Проверих

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Изследвайте функцията $f$ за екстремни стойности: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

правилно


Неправилно


1. Задача 2 от 4

   2 .

   Брой точки: 1

   Функцията $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

Промяната на функция в определена точка и се дефинира като граница на нарастването на функцията до нарастването на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата на производните. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна към нула (в този случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, когато тази производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заменете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Приложете получените стойности ​​на координатната права и изчислете знака на производната за всяка от получените. На координатната линия се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например за предишната функция до интервала -1 можете да изберете стойността -2. За -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и на този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс до минус, тогава това е максимална точка.

Подобни видеа

Полезен съвет

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват необходимите стойности и показват резултата. На такива сайтове можете да намерите производно до 5 поръчки.

Източници:

• Една от услугите за изчисляване на деривати
• максимална точка на функцията

Максималните точки на функцията заедно с минималните точки се наричат ​​точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Екстремумите се определят на ограничени числови интервали и винаги са локални.

Инструкция

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете изследването, уверете се, че посоченият диапазон от стойности на аргументите принадлежи на разрешените стойности. Например за функцията F=1/x стойността на аргумента x=0 е невалидна. Или за функцията Y=tg(x), аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема през целия даден интервал. Намерете първата производна Y". Очевидно е, че преди да достигне точката на локален максимум, функцията се увеличава, а при преминаване през максимума функцията става намаляваща. Първата производна във физическото си значение характеризира скоростта на изменение на функция. Докато функцията се увеличава, скоростта на този процес е положителна стойност. При преминаване през локален максимум функцията започва да намалява и скоростта на процеса на промяна на функцията става отрицателна. Преходът на скоростта промяната на функцията през нула настъпва в точката на локалния максимум.

>> Крайности

Екстремум на функцията

Определение на екстремум

Функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ако диференцируема функция y \u003d f (x) на сегмент се увеличава (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f " (х )> 0

(е"(х)< 0).

точка х относно Наречен локална максимална точка (минимум) на функцията f (x ), ако има околност на точката х о, за всички точки на които неравенството f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Максималната и минималната точки се наричат екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейните екстремуми.

екстремни точки

Необходимите условияекстремум . Ако точка х относно е точка на екстремум на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0 или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на дадена функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие. Нека бъде х относно - критична точка. Ако е" (x ) при преминаване през точката х относно променя знака плюс на минус, след това в точката х офункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката х относно няма екстремум.

Второто достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х относно и втората производна в самата точка х о. Ако е"(х о) = 0, >0 ( <0), то точка х ое локален минимум (максимум) на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включват по-високи.

На сегмент функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката или най-голямата стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.Защото е " (

Задачи за намиране на екстремум на функция

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
0 ≤ х≤
> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв.. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение.стр
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремумите на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Защото е " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), след това критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Крайните точки могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 = 3 функцията има минимум. Изчисляване на стойностите на функцията в точки
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.Необходимо е да се изгради правоъгълна зона близо до каменната стена, така че да бъде оградена с телена мрежа от три страни и да приляга към стената от четвъртата страна. За това има алинейни метри на мрежата. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Означете страните на сайта чрез хИ г. Площта на сайта е равна на S = xy. Нека бъде ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е налице равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S "= a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Дотолкова доколкото x = a /4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За x a /4 S "> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв.. единици). Тъй като S е непрекъснато и неговите стойности в краищата на S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-голямата стойност на функцията. Така най-благоприятното съотношение на страните при дадените условия на задачата е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се направи затворен цилиндричен резервоар с капацитет V=16 p ≈ 50 м 3. Какви трябва да са размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 = 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Така че S(R) = 2стр (R2+16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) = 4 p (R- 8 / R 2). С" (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

За функция f(x) от много променливи, точката x е вектор, f'(x) е векторът на първите производни (градиент) на функцията f(x), f ′ ′(x) е симетрична матрица на втори частни производни (матрица на Хесе − Хесиан) функции f(x).
За функция от няколко променливи условията за оптималност се формулират, както следва.
Необходимо условие за локална оптималност. Нека f(x) е диференцируема в точката x * R n . Ако x * е локална точка на екстремум, тогава f'(x *) = 0.
Както и преди, точките, които са решения на система от уравнения, се наричат ​​стационарни. Природата на стационарната точка x * е свързана със знаковата определеност на хесианската матрица f′ ′(x).
Знаковата определеност на матрицата A зависи от знаците на квадратната форма Q(α)=< α A, α >за всички различни от нула α∈R n .
Тук и по-нататък скаларното произведение на векторите x и y се обозначава. По дефиниция,

Матрица A е положително (неотрицателно) определена, ако Q(α)>0 (Q(α)≥0) за всички различни от нула α∈R n ; отрицателно (неположително) определено, ако Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 за някои различни от нула α∈R n и Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Достатъчно условие за локална оптималност. Нека f(x) е два пъти диференцируема в точката x * R n и f’(x *)=0, т.е. x * − неподвижна точка. Тогава, ако матрицата f (x *) е положително (отрицателно) определена, тогава x * е локална минимална (максимум) точка; ако матрицата f′′(x *) е неопределена, тогава x * е седловина.
Ако матрицата f′′(x *) е неотрицателна (неположително) определена, тогава за да се определи естеството на стационарната точка x *, е необходимо изследване на производни от по-висок ред.
За проверка на определеността на знака на матрица, като правило, се използва критерият на Силвестър. Според този критерий симетрична матрица A е положително определена, ако и само ако всички нейни ъглови минорни са положителни. В този случай ъгловият минор на матрицата A е детерминантата на матрицата, изградена от елементите на матрицата A, стояща в пресечната точка на редове и колони със същите (и първите) числа. За да проверите симетричната матрица A за отрицателна определеност, трябва да проверите матрицата (−A) за положителна определеност.
И така, алгоритъмът за определяне на точките на локалните екстремуми на функция от много променливи е както следва.
1. Намерете f′(x).
2. Системата е решена

В резултат на това се изчисляват стационарни точки x i.
3. Намерете f′′(x), задайте i=1.
4. Намерете f′′(x i)
5. Изчисляват се ъгловите минори на матрицата f′′(x i). Ако не всички ъглови минори са различни от нула, тогава за да се определи естеството на неподвижната точка x i е необходимо изследване на производни от по-висок ред. В този случай се извършва преходът към т. 8.
В противен случай преминете към стъпка 6.
6. Анализирани са знаците на ъгловите минори f′′(x i). Ако f′′(x i) е положително определена, тогава x i е локална минимална точка. В този случай се извършва преходът към т. 8.
В противен случай преминете към точка 7.
7. Изчисляват се ъгловите минори на матрицата -f′′(x i) и се анализират техните знаци.
Ако -f′′(x i) − е положително определено, тогава f′′(x i) е отрицателно определено и x i е локална максимална точка.
В противен случай f′′(x i) е неопределено и x i е седловина.
8. Проверява се условието за определяне естеството на всички стационарни точки i=N.
Ако е изпълнено, тогава изчисленията са завършени.
Ако условието не е изпълнено, тогава се приема i=i+1 и се извършва преходът към стъпка 4.

Пример №1. Определете точките на локалните екстремуми на функцията f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Тъй като всички минорни ъгли са различни от нула, характерът на x 2 се определя от f′′(x).
Тъй като матрицата f′′(x 2) е положително определена, x 2 е локална минимална точка.
Отговор: функцията f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 има локален минимум в точката x = (5/3; 8/3).

Точката на екстремум на функция е точката в домейна на функцията, където стойността на функцията приема минимална или максимална стойност. Стойностите на функцията в тези точки се наричат ​​екстремуми (минимум и максимум) на функцията.

Определение. точка х1 обхват на функцията е(х) е наречен максимална точка на функцията , ако стойността на функцията в тази точка е по-голяма от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво от нея (тоест неравенството е(х0 ) > е(х 0 + Δ х) х1 максимум.

Определение. точка х2 обхват на функцията е(х) е наречен минимална точка на функцията, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво от нея (тоест неравенството е(х0 ) < е(х 0 + Δ х) ). В този случай се казва, че функцията има в точката х2 минимум.

Да кажем същността х1 - максимална точка на функцията е(х) . След това в интервала до х1 функцията се увеличава, така че производната на функцията е по-голяма от нула ( е "(х) > 0 ), а в интервала след него х1 функцията намалява, така че производна на функцията по-малко от нула (е "(х) < 0 ). Тогда в точке х1

Да приемем също, че точката х2 - минимална точка на функцията е(х) . След това в интервала до х2 функцията намалява и производната на функцията е по-малка от нула ( е "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функцията се увеличава и производната на функцията е по-голяма от нула ( е "(х) > 0 ). В този случай също в точката х2 производната на функцията е нула или не съществува.

Теорема на Ферма (необходим критерий за съществуването на екстремум на функция). Ако точка х0 - екстремална точка на функцията е(х), то в този момент производната на функцията е равна на нула ( е "(х) = 0 ) или не съществува.

Определение. Извикват се точките, в които производната на функция е равна на нула или не съществува критични точки .

Пример 1Нека разгледаме функция.

В точката х= 0 производната на функцията е равна на нула, следователно, точката х= 0 е критичната точка. Въпреки това, както може да се види на графиката на функцията, тя се увеличава в цялата област на дефиниция, така че точката х= 0 не е точка на екстремум на тази функция.

По този начин, условията, че производната на функция в дадена точка е равна на нула или не съществува, са необходими условия за екстремум, но не са достатъчни, тъй като могат да бъдат дадени други примери за функции, за които тези условия са изпълнени, но функцията няма екстремум в съответната точка. Ето защо трябва да има достатъчно индикации, които дават възможност да се прецени дали има екстремум в определена критична точка и кой - максимум или минимум.

Теорема (първият достатъчен критерий за съществуване на екстремум на функция).Критична точка х0 е(х), ако производната на функцията промени знака при преминаване през тази точка и ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава минималната точка .

Ако е близо до точката х0 , вляво и вдясно от него, производната запазва знака си, това означава, че функцията или само намалява, или само нараства в някаква околност на точката х0 . В този случай в точката х0 няма екстремум.

Така, за да определите екстремалните точки на функцията, трябва да направите следното :

1. Намерете производната на функция.
2. Приравнете производната към нула и определете критичните точки.
3. Мислено или на хартия маркирайте критичните точки на числовата ос и определете знаците на производната на функцията в получените интервали. Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава критичната точка е минималната точка.
4. Изчислете стойността на функцията в точките на екстремум.

Пример 2Намерете екстремуми на функция .

Решение. Нека намерим производната на функцията:

Приравнете производната към нула, за да намерите критичните точки:

.

Тъй като за всякакви стойности на "x" знаменателят не е равен на нула, тогава приравняваме числителя на нула:

Имам една критична точка х= 3 . Определяме знака на производната в интервалите, ограничени от тази точка:

в диапазона от минус безкрайност до 3 - знак минус, тоест функцията намалява,

в диапазона от 3 до плюс безкрайност - знак плюс, тоест функцията се увеличава.

Тоест точка х= 3 е минималната точка.

Намерете стойността на функцията в минималната точка:

По този начин се намира точката на екстремум на функцията: (3; 0) и е минималната точка.

Теорема (вторият достатъчен критерий за съществуване на екстремум на функция).Критична точка х0 е точката на екстремум на функцията е(х), ако втората производна на функцията в тази точка не е равна на нула ( е ""(х) ≠ 0 ), освен това, ако втората производна е по-голяма от нула ( е ""(х) > 0 ), тогава максималната точка и ако втората производна е по-малка от нула ( е ""(х) < 0 ), то точкой минимума.

Забележка 1. Ако в точка х0 и първата, и втората производни изчезват, тогава в този момент е невъзможно да се прецени наличието на екстремум въз основа на втория достатъчен знак. В този случай трябва да използвате първия достатъчен критерий за екстремума на функцията.

Забележка 2. Вторият достатъчен критерий за екстремум на функция също е неприложим, когато първата производна не съществува в стационарната точка (тогава и втората производна не съществува). В този случай е необходимо да се използва и първият достатъчен критерий за екстремума на функцията.

Локалният характер на екстремумите на функцията

От горните дефиниции следва, че екстремумът на функция има локален характер – това е най-голямата и най-малката стойност на функцията спрямо най-близките стойности.

Да предположим, че обмисляте печалбите си за период от една година. Ако през май сте спечелили 45 000 рубли, а през април 42 000 рубли и през юни 39 000 рубли, тогава майските приходи са максимумът на функцията за печалба в сравнение с най-близките стойности. Но през октомври сте спечелили 71 000 рубли, през септември 75 000 рубли, а през ноември 74 000 рубли, така че печалбата за октомври е минималната от функцията за печалба в сравнение с близките стойности. И лесно можете да видите, че максимумът сред стойностите април-май-юни е по-малък от минимума септември-октомври-ноември.

Най-общо казано, една функция може да има няколко екстремума на интервал и може да се окаже, че всеки минимум на функцията е по-голям от всеки максимум. Така че, за функцията, показана на фигурата по-горе, .

Тоест, не трябва да се мисли, че максимумът и минимумът на функцията са съответно нейните максимални и минимални стойности на целия разглеждан сегмент. В максималната точка функцията има най-голяма стойност само в сравнение с тези стойности, които има във всички точки, достатъчно близки до максималната точка, а в минималната точка, най-малката стойност само в сравнение с тези стойности, които той има във всички точки достатъчно близо до минималната точка.

Следователно можем да прецизираме горната концепция за точките на екстремум на функция и да наречем минималните точки локални минимални точки, а максималните точки - локални точки на максимум.

Заедно търсим екстремумите на функцията

Пример 3

Решение Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова права. Неговата производна също съществува на цялата числова права. Следователно в този случай само тези, при които , т.е., служат като критични точки. , откъдето и . Критични точки и разделят цялата област на функцията на три интервала на монотонност: . Избираме по една контролна точка във всяка от тях и намираме знака на производната в тази точка.

За интервала референтната точка може да бъде: намираме . Като точка в интервала, получаваме , и като точка в интервала, имаме . Така че, в интервалите и , и в интервала . Според първия достатъчен знак на екстремум, няма екстремум в точката (тъй като производната запазва знака си в интервала ), а функцията има минимум в точката (тъй като производната променя знака от минус на плюс при преминаване през тази точка). Намерете съответните стойности на функцията: , и . В интервала функцията намалява, тъй като в този интервал , и в интервала се увеличава, тъй като в този интервал.

За да изясним конструкцията на графиката, намираме точките на пресичане на нея с координатните оси. Когато получим уравнение, чиито корени и , т.е., две точки (0; 0) и (4; 0) от графиката на функцията се намират. Използвайки цялата получена информация, изграждаме графика (вижте в началото на примера).

Пример 4Намерете екстремумите на функцията и постройте нейната графика.

Доменът на функцията е цялата числова права, с изключение на точката, т.е. .

За да съкратим изследването, можем да използваме факта, че тази функция е четна, тъй като . Следователно неговата графика е симетрична спрямо оста ойи изследването може да се извърши само за интервала .

Намиране на производната и критични точки на функцията:

1) ;

2) ,

но функцията претърпява прекъсване в този момент, така че не може да бъде точка на екстремум.

По този начин, дадена функцияима две критични точки: и . Като вземем предвид четността на функцията, проверяваме само точката по втория достатъчен знак на екстремума. За да направим това, намираме втората производна и определяме неговия знак в : получаваме . Тъй като и , Тогава е минималната точка на функцията, докато .

За да получите по-пълна картина на графиката на функцията, нека разберем нейното поведение на границите на областта на дефиницията:

(тук символът показва желанието хдо нула вдясно и хостава положителен; по същия начин означава стремеж хдо нула вляво и хостава отрицателен). По този начин, ако , тогава . След това намираме

,

тези. ако , тогава .

Графиката на функцията няма пресечни точки с осите. Снимката е в началото на примера.

Продължаваме заедно да търсим екстремуми на функцията

Пример 8Намерете екстремумите на функцията.

Решение. Намерете домейна на функцията. Тъй като неравенството трябва да е валидно, получаваме от .

Нека намерим първата производна на функцията:

Нека намерим критичните точки на функцията.