Дүрс нь хамаарна. Математик тэмдгүүд
Хязгааргүй байдал.Ж.Уоллис (1655).
Английн математикч Жон Валисын "Шусан хэсгүүдийн тухай" зохиолд анх тааралдсан.
Байгалийн логарифмын суурь. Л.Эйлер (1736).
Математикийн тогтмол, трансцендент тоо. Энэ дугаарыг заримдаа дууддаг неперовШотландын хүндэтгэлдэрдэмтэн Напиер, "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар" бүтээлийн зохиогч (1614). 1618 онд хэвлэгдсэн дээр дурдсан Напиерийн бүтээлийн англи орчуулгын хавсралтад тогтмолыг анх удаа далд оруулсан болно. Яг ижил тогтмолыг анх Швейцарийн математикч Якоб Бернулли хүүгийн орлогын ахиу утгын асуудлыг шийдвэрлэх явцад тооцоолжээ.
2,71828182845904523...
Энэ тогтмолыг үсгээр тэмдэглэсэн анхны хэрэглээ б, 1690-1691 онд Лейбницийн Гюйгенст бичсэн захидлуудаас олдсон. Захидал дЭйлерийг 1727 онд ашиглаж эхэлсэн бөгөөд энэ захидлыг бичсэн анхны хэвлэл нь 1736 онд "Механик буюу хөдөлгөөний шинжлэх ухаан, аналитик байдлаар тайлбарласан" бүтээл байв. тус тус, дихэвчлэн дууддаг Эйлерийн тоо... Яагаад үсэг сонгосон юм бэ? д, энэ нь тодорхойгүй байна. Магадгүй энэ нь үг түүгээр эхэлдэгтэй холбоотой байх экспоненциал("Экспоненциал", "экпоненциал"). Өөр нэг таамаглал бол үсэг юм а, б, вболон гбусад зорилгоор аль хэдийн нэлээд өргөн хэрэглэгдэж байсан ба данхны "үнэгүй" захидал байсан.
Тойрог диаметртэй харьцуулсан харьцаа. В.Жонс (1706), Л.Эйлер (1736).
Математикийн тогтмол, иррационал тоо. "Pi" тоо, хуучин нэр нь Людольфын тоо юм. Аливаа иррационал тооны нэгэн адил π нь төгсгөлгүй үечилсэн бус аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдэнэ.
π = 3.141592653589793 ...
Энэ тоог анх удаа Грекийн π үсгээр тэмдэглэхийг Британийн математикч Уильям Жонс "Математикийн шинэ танилцуулга" номондоо ашигласан бөгөөд үүнийг Леонард Эйлерийн бүтээлийн дараа нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн. Энэ тэмдэглэгээ нь περιφερεια - тойрог, зах, περιμετρος - периметр гэсэн Грек үгийн эхний үсгээс гаралтай. Иоганн Генрих Ламберт 1761 онд π, Адриен Мари Лежендре 1774 онд π 2-ын иррационалийг баталжээ. Лежендре, Эйлер нар π нь трансцендентал байж болно гэж таамагласан, өөрөөр хэлбэл. Бүхэл тооны коэффициент бүхий ямар ч алгебрийн тэгшитгэлийг хангаж чадахгүй бөгөөд үүнийг 1882 онд Фердинанд фон Линдеман баталжээ.
Төсөөллийн нэгж. Л.Эйлер (1777, хэвлэлд - 1794).
тэгшитгэл гэдгийг мэддэг x 2 = 1хоёр үндэстэй: 1 болон -1 ... Төсөөллийн нэгж нь тэгшитгэлийн хоёр язгуурын нэг юм x 2 = -1, латин үсгээр тэмдэглэсэн би, өөр нэг үндэс: -и... Энэ тэмдэглэгээг Леонард Эйлер санал болгосон бөгөөд тэрээр Латин үгийн эхний үсгийг авчээ төсөөлөл(төсөөлөл). Тэрээр мөн бүх стандарт функцийг цогцолбор газар руу өргөтгөсөн, i.e. хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тооны багц a + ib, хаана аболон б- бодит тоо. "Цогцолбор тоо" гэсэн нэр томъёог 1831 онд Германы математикч Карл Гаусс өргөн хэрэглэж байсан ч өмнө нь 1803 онд Францын математикч Лазар Карно ижил утгаар хэрэглэж байсан.
Нэгж векторууд. W. Hamilton (1853).
Нэгж векторууд нь ихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор NS, тэмдэглэсэн би, тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор Ю, тэмдэглэсэн ж, ба тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор З, тэмдэглэсэн к... Векторууд би, ж, к orts гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь нэгж модулиудтай. "Орт" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, инженер Оливер Хевсайд (1892) болон тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн. би, ж, к- Ирландын математикч Уильям Хамилтон.
Тооны бүхэл хэсэг, antje. К.Гаусс (1808).
x тооны [x] тооны бүхэл хэсэг нь x-ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоо юм. Тэгэхээр = 5, [-3.6] = - 4. [x] функцийг мөн "x-ийн эсрэг" гэж нэрлэдэг. "Бүхэл тоо" функцийн тэмдгийг 1808 онд Карл Гаусс нэвтрүүлсэн. Зарим математикчид 1798 онд Лежендрегийн санал болгосон E (x) тэмдэглэгээг ашиглахыг илүүд үздэг.
Параллелизм өнцөг. Н.И. Лобачевский (1835).
Лобачевскийн хавтгай дээр - шулуун шугамын хоорондох өнцөгбцэгээр дамжин өнгөрөхОзэрэгцээ шулуунацэг агуулаагүйО, ба перпендикулярОдээр а. α Энэ перпендикулярын урт. Цэг хасагдсан тулОшулуунаас апараллелизмын өнцөг 90 ° -аас 0 ° хүртэл буурдаг. Лобачевский параллелизмын өнцгийн томъёог өгсөнNS( α ) = 2arctg e - α / q , хаана q- Лобачевскийн орон зайн муруйлттай холбоотой зарим тогтмол.
Үл мэдэгдэх эсвэл хувьсах утга. Р.Декарт (1637).
Математикийн хувьд хувьсагч гэдэг нь авч болох утгуудын багцаар тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь бодит физик хэмжигдэхүүнийг аль алиныг нь илэрхийлж болно, түүнийг физик нөхцөл байдлаас нь түр зуур тусад нь авч үзсэн, мөн бодит ертөнцөд ямар ч аналогигүй хийсвэр хэмжигдэхүүн. Хувьсагчийн тухай ойлголт 17-р зуунд үүссэн. эхэндээ байгалийн шинжлэх ухааны шаардлагын нөлөөн дор байсан бөгөөд энэ нь зөвхөн төлөв байдлыг бус хөдөлгөөн, үйл явцын судалгааг онцолсон. Энэхүү үзэл баримтлал нь түүнийг илэрхийлэх шинэ хэлбэрийг шаарддаг. Рене Декартын бичсэн цагаан толгойн алгебр, аналитик геометр нь яг ийм шинэ хэлбэрүүд байв. Тэгш өнцөгт координатын систем болон x, y тэмдэглэгээг анх удаа Рене Декарт 1637 онд "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Пьер Ферма мөн координатын аргыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан боловч түүний бүтээлүүд нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Фермат нар координатын аргыг зөвхөн хавтгайд ашигласан. Гурван хэмжээст орон зайн координатын аргыг анх 18-р зуунд Леонард Эйлер хэрэглэж байжээ.
Вектор. О.Коши (1853).
Анхнаасаа вектор гэдэг нь хэмжээ, чиглэл, (сонголтоор) хэрэглээний цэгтэй объект гэж ойлгогддог. Гауссын (1831) нийлмэл тоонуудын геометрийн загвартай хамт вектор тооцооллын үндсэн суурь гарч ирэв. Векторуудтай боловсруулсан үйлдлүүдийг Гамильтон өөрийн кватернионы тооцооллын нэг хэсэг болгон нийтлэв (вектор нь кватернионы төсөөллийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр үүсгэгдсэн). Хэмилтон энэ нэр томъёог өөрөө гаргасан вектор(Латин үгнээс вектор, тээвэрлэгч) ба вектор шинжилгээний зарим үйлдлүүдийг тайлбарлав. Энэхүү формализмыг Максвелл цахилгаан соронзонгийн талаархи бүтээлдээ ашигласан бөгөөд ингэснээр эрдэмтдийн анхаарлыг шинэ тооцоонд хандуулсан. Удалгүй Гиббсийн "Elements of Vector Analysis" (1880-аад он) гарч, дараа нь Heaviside (1903) нь вектор анализыг орчин үеийн дүр төрхтэй болгожээ. Вектор тэмдгийг өөрөө 1853 онд Францын математикч Августин Луи Коши хэрэглээнд нэвтрүүлсэн.
Нэмэх, хасах. Ж.Видман (1489).
Нэмэх ба хасах тэмдгийг Германы "коссистууд" (өөрөөр хэлбэл алгебристууд) математикийн сургуульд зохион бүтээсэн бололтой. Эдгээрийг 1489 онд хэвлэгдсэн Ян (Иоханнес) Видманы "Бүх худалдаачдад хурдан бөгөөд сайхан тоолох" сурах бичигт ашигласан. Үүнээс өмнө нэмэлтийг үсгээр тэмдэглэдэг байсан х(латин хэлнээс нэмэх"Илүү") эсвэл Латин үг гэх мэт("ба" холбоос), хасах нь үсэг юм м(латин хэлнээс хасах"Бага, бага"). Widman-д нэмэх тэмдэг нь зөвхөн нэмэх төдийгүй "ба" гэсэн холбоосыг орлодог. Эдгээр тэмдгүүдийн гарал үүсэл нь тодорхойгүй байгаа ч өмнө нь арилжаанд ашиг, алдагдлын үзүүлэлт болгон ашиглаж байсан байх. Энэ хоёр тэмдэг нь удалгүй Европт түгээмэл болсон - Италиас бусад нь хуучин тэмдэглэгээг зуун жилийн турш ашиглаж байжээ.
Үржүүлэх. В.Оутред (1631), Х.Лейбниц (1698).
Ташуу загалмай хэлбэрээр үржүүлэх тэмдгийг 1631 онд англи хүн Уильям Аутред нэвтрүүлсэн. Түүний өмнө энэ үсгийг ихэвчлэн ашигладаг байсан М, гэхдээ бусад тэмдэглэгээг санал болгосон боловч: тэгш өнцөгтийн тэмдэг (Францын математикч Эригон, 1634), од (Швейцарийн математикч Иоган Рахн, 1659). Хожим нь Готфрид Вильгельм Лейбниц загалмайг үсэгтэй андуурахгүйн тулд цэгээр (17-р зууны төгсгөл) сольжээ. х; Түүний өмнө ийм бэлгэдлийг Германы одон орон судлаач, математикч Региомонтанус (15-р зуун) болон Английн эрдэмтэн Томас Харриотт (1560-1621) нар олжээ.
Хэлтэс. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).
Уильям Аутреад налуу зураасыг / хуваах тэмдэг болгон ашигласан. Готфрид Лейбниц хуваагдлыг хоёр цэгээр тэмдэглэж эхлэв. Тэдний өмнө энэ үсгийг ихэвчлэн ашигладаг байсан Д... Фибоначчигаас эхлээд Херон, Диофант, араб бичээсүүдэд ашигласан фракцийн хэвтээ шугамыг бас ашигладаг. Англи, АНУ-д ÷ (obelus) тэмдэг өргөн тархсан бөгөөд үүнийг 1659 онд Иоганн Рахн (Жон Пелл оролцсон байж магадгүй) санал болгосон. Америкийн үндэсний математикийн стандартын хорооны оролдлого ( Математикийн шаардлагын үндэсний хороо) obelus-ыг дасгалаас гаргах (1923) амжилтгүй болсон.
Хувь. М. де ла Порт (1685).
Нийтийн зууны нэгийг нэг болгон авсан. "Хувиар" гэдэг үг нь өөрөө "зуун" гэсэн утгатай латин "pro centum"-аас гаралтай. 1685 онд Парист Матье де ла Портагийн "Арилжааны арифметикийн гарын авлага" ном хэвлэгджээ. Нэг газар энэ нь ойролцоогоор хувь байсан бөгөөд дараа нь "cto" (центо гэсэн үг) гэсэн утгатай байв. Гэтэл бичээч энэ "cto"-г бутархай гэж андуураад "%" гэж хэвлэсэн. Тиймээс буруу хэвлэснээс болж энэ тэмдэг ашиглалтад орсон.
Зэрэг. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).
Экспонентийн орчин үеийн тэмдэглэгээг Рене Декарт өөрийн " Геометр"(1637), гэхдээ зөвхөн 2-оос их илтгэгчтэй байгалийн градусын хувьд. Хожим Исаак Ньютон тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг сөрөг болон бутархай илтгэгч (1676) болгон өргөтгөсөн бөгөөд энэ үед тайлбарыг аль хэдийн санал болгосон: Фламандын математикч ба инженер Саймон Стивин, Английн математикч Жон Уоллис, Францын математикч Альберт Жирард.
Арифметик үндэс n-бодит тооны-р зэрэглэл а≥0, сөрөг бус тоо n--р зэрэг а... 2-р зэргийн арифметик язгуурыг квадрат язгуур гэж нэрлэх ба зэргийг заахгүйгээр бичиж болно: √. 3-р зэргийн арифметик язгуурыг шоо язгуур гэнэ. Дундад зууны математикчид (жишээлбэл, Кардано) квадрат язгуурыг R x (Латин хэлнээс) тэмдгээр тэмдэглэсэн. Радикс, үндэс). Орчин үеийн тэмдэглэгээг анх 1525 онд Коссист сургуулийн Германы математикч Кристоф Рудольф хэрэглэж байжээ. Энэ тэмдэг нь ижил үгийн загварчилсан эхний үсгээс гаралтай цацраг... Радикал илэрхийлэл дээрх шугам нь эхэндээ байхгүй байсан; дараа нь Декарт (1637) өөр зорилгоор (хаалтны оронд) нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ шинж чанар нь удалгүй язгуур тэмдэгтэй нэгдсэн. 16-р зууны куб үндсийг дараах байдлаар тэмдэглэв: R x .u.cu (лат. Radix universalis cubica). Альберт Жирард (1629) дурын түвшний язгуурын ердийн тэмдэглэгээг ашиглаж эхэлсэн. Энэ форматыг Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц нарын ачаар нэгтгэсэн.
Логарифм, аравтын логарифм, натурал логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А.Приншейм (1893).
"Логарифм" гэсэн нэр томъёо нь Шотландын математикч Жон Напиерт хамаардаг. "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар", 1614); Энэ нь λογος (үг, хамаарал) ба αριθμος (тоо) гэсэн грек үгсийн нийлбэрээс үүссэн. Ж.Напиерийн логарифм нь хоёр тооны харьцааг хэмжих туслах тоо юм. Логарифмын орчин үеийн тодорхойлолтыг анх Английн математикч Уильям Гардинер (1742) өгсөн. Тодорхойлолтоор бол тооны логарифм бшалтгаанаар а (а ≠ 1, a> 0) - илтгэгч мэнэ тоог нэмэгдүүлэх ёстой а(логарифмын суурь гэж нэрлэдэг) авах б... тэмдэглэгдсэн бүртгэл a b.Тэгэхээр, м = бүртгэл а б, хэрэв a m = b.
Аравтын бутархай логарифмын анхны хүснэгтүүдийг Оксфордын математикийн профессор Хенри Бриггс 1617 онд хэвлүүлсэн. Тиймээс гадаадад аравтын логарифмыг ихэвчлэн Бригс логарифм гэж нэрлэдэг. "Натурал логарифм" гэсэн нэр томъёог Пьетро Менголи (1659), Николас Меркатор (1668) нар нэвтрүүлсэн боловч Лондонгийн математикийн багш Жон Спиделл 1619 онд натурал логарифмын хүснэгтийг эмхэтгэсэн.
19-р зууны эцэс хүртэл логарифмын суурь, нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ байгаагүй. адараа нь зүүн ба тэмдгийн дээр тэмдэглэгдсэн байна бүртгэлтэгээд дээр нь. Эцсийн эцэст математикчид үндсэн суурь тавих хамгийн тохиромжтой газар нь тэмдэгтийн дараа шугамын доор байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. бүртгэл... Логарифмын тэмдэг нь "логарифм" гэсэн үгийн товчлолын үр дүн нь логарифмын эхний хүснэгтүүд гарч ирэхтэй зэрэгцэн янз бүрийн хэлбэрээр тохиолддог. Бүртгэл- И.Кеплер (1624), Г.Бригс (1631), бүртгэл- B. Cavalieri-д (1632). Зориулалт lnУчир нь натурал логарифмыг Германы математикч Альфред Прингшейм (1893) нэвтрүүлсэн.
Синус, косинус, тангенс, котангенс. В.Оутред (17-р зууны дунд үе), И.Бернулли (18-р зуун), Л.Эйлер (1748, 1753).
Синус болон косинусын товчлолыг 17-р зууны дундуур Уильям Аутреад нэвтрүүлсэн. Тангенс ба котангенсийн товчлолууд: тг, ctg 18-р зуунд Иоганн Бернуллигийн танилцуулсан бөгөөд тэд Герман, Орос улсад өргөн тархсан. Бусад улс орнууд эдгээр функцүүдийн нэрийг ашигладаг бор, орАльберт Жирард бүр эрт буюу 17-р зууны эхээр санал болгосон. Тригонометрийн функцүүдийн онолыг орчин үеийн хэлбэрт нь Леонард Эйлер (1748, 1753) оруулсан бөгөөд бид түүнд жинхэнэ бэлгэдлийг нэгтгэх өртэй."Тригонометрийн функц" гэсэн нэр томъёог 1770 онд Германы математикч, физикч Георг Симон Клюгел нэвтрүүлсэн.
Энэтхэгийн математикчдын синусын шугамыг анх нэрлэжээ "Арха-жива"("Хагас утас", өөрөөр хэлбэл хагас хөвч), дараа нь үг "Арча"унасан ба синусын шугамыг энгийнээр нэрлэсэн Жива... Араб орчуулагчид энэ үгийг орчуулаагүй байна ЖиваАраб үг "Ватар", нум, хөвчийг илэрхийлж, араб үсгээр буулгаж, синусын шугамыг дуудаж эхлэв. Жиба... Араб хэл дээр богино эгшгийг заагаагүй, харин үгэнд урт "ба" гэж бичдэг Жиба"y" хагас эгшигтэй адилхан тэмдэглэгдсэн, арабууд синусын шугамын нэрийг дуудаж эхлэв. Жибэ, энэ нь шууд утгаараа "хөндий", "синус" гэсэн утгатай. Араб хэл дээрх бүтээлүүдийг латин хэл рүү орчуулахдаа Европын орчуулагчид уг үгийг орчуулсан ЖибэЛатин үг синус, ижил утгатай."Шүргэх" гэсэн нэр томъёо (лат.тангенс- талаар) Данийн математикч Томас Финке "Бөөрөнхий геометр" (1583) номондоо танилцуулсан.
Арксин. C. Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).
Урвуу тригонометрийн функцууд нь тригонометрийн функцээс урвуу байдаг математик функцууд юм. Урвуу тригонометрийн функцийн нэр нь "нуман" угтварыг (лат. нуман- нуман).Урвуу тригонометрийн функцууд нь ихэвчлэн arcsin, arccos, arctg, arcctg, arcsec, arccosec гэсэн зургаан функцийг агуулдаг. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тусгай тэмдэглэгээг анх удаа Даниел Бернулли (1729, 1736) ашигласан.Урвуу тригонометрийн функцийг угтвараар тэмдэглэх арга нуман(лат. нум, нум) нь Австрийн математикч Карл Шерфер дээр гарч ирсэн бөгөөд Францын математикч, одон орон судлаач, механикч Жозеф Луис Лагранжаар нэгтгэгджээ. Энэ нь жишээлбэл, ердийн синус нь тойргийн нумын дагуу агшсан хөвчийг олох боломжийг олгодог бөгөөд урвуу функц нь эсрэг талын асуудлыг шийддэг гэсэн үг юм. 19-р зууны эцэс хүртэл Англи, Германы математикийн сургуулиуд бусад тэмдэглэгээг санал болгосон: нүгэл -1 болон 1 / нүгэл, гэхдээ тэдгээр нь өргөн хэрэглэгддэггүй.
Гипербол синус, гипербол косинус. В.Рикати (1757).
Английн математикч Абрахам де Мойврын (1707, 1722) бүтээлүүдээс түүхчид гиперболын функцүүдийн анхны дүр төрхийг олж илрүүлжээ. Тэдний орчин үеийн тодорхойлолт, нарийвчилсан судалгааг Италийн Винченцо Риккати 1757 онд "Опускулорум" бүтээлдээ хийж, мөн тэдгээрийн тэмдэглэгээг санал болгов. Ш,ch... Риккати нэг гиперболыг авч үзсэний үндсэн дээр ажилласан. Гиперболын функцүүдийн шинж чанарыг бие даан нээж, цаашдын судалгааг Германы математикч, физикч, гүн ухаантан Иоганн Ламберт (1768) хийж, ердийн ба гипербол тригонометрийн томьёоны өргөн параллелизмыг тогтоожээ. Н.И. Дараа нь Лобачевский энэхүү параллелизмыг ашиглаж, ердийн тригонометрийг гиперболоор сольсон Евклидийн бус геометрийн нийцтэй байдлыг нотлохыг оролдов.
Тригонометрийн синус ба косинус нь координатын тойрог дээрх цэгийн координаттай адил гиперболын синус ба косинус нь гиперболын цэгийн координат юм. Гипербол функцууд нь экспоненциал функцээр илэрхийлэгддэг бөгөөд тригонометрийн функцуудтай нягт холбоотой байдаг. sh (x) = 0.5 (e x -e -x) , ch (x) = 0.5 (e x + e -x). Тригонометрийн функцуудтай зүйрлэвэл гипербол тангенс ба котангенс нь гиперболын синус ба косинус, косинус ба синусуудын харьцаагаар тодорхойлогддог.
Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, хэвлэлд 1684).
Функцийн өсөлтийн үндсэн, шугаман хэсэг.Хэрэв функц у = f (x)нэг хувьсагч x-д зориулагдсан x = x 0дериватив, нэмэгдэлΔy = f (x 0 +? X) -f (x 0)функц f (x)хэлбэрээр төлөөлж болноΔy = f "(x 0) Δx + R (Δx) , гишүүн хаана байна Р-тай харьцуулахад хязгааргүй багаΔx... Эхний улиралdy = f "(x 0) ΔxЭнэ өргөтгөлийг функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг f (x)цэг дээрx 0... В Готфрид Лейбниц, Якоб, Иоганн Бернулли нарын бүтээлүүд"ялгаа""өсгөх" утгаар хэрэглэгдэж байсан, I. Бернулли Δ гэж тэмдэглэв. Г.Лейбниц (1675, 1684 онд хэвлэгдсэн) "хязгааргүй бага зөрүү" гэсэн тэмдэглэгээг ашигласан.г- үгийн эхний үсэг"дифференциал", -аас түүний үүсгэсэн"ялгаа".
Тодорхой бус интеграл. Г.Лейбниц (1675, хэвлэлд 1686).
"Интеграл" гэдэг үгийг анх Жейкоб Бернулли (1690) хэвлэлд ашигласан. Магадгүй энэ нэр томъёо нь Латин хэлнээс гаралтай байх бүхэл тоо- бүхэлд нь. Өөр нэг таамаглалаар бол үндэс нь латин үг байв интегро- өмнөх байдалд нь оруулах, сэргээх. ∫ тэмдэг нь математикт интегралыг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд латин үгийн эхний үсгийн загварчлагдсан дүрс юм. хураангуй -нийлбэр. Үүнийг анх Германы математикч, дифференциал ба интеграл тооцоог үндэслэгч Готфрид Лейбниц 17-р зууны сүүлчээр хэрэглэж байжээ. Дифференциал ба интеграл тооцооллын өөр нэг үндэслэгчдийн нэг Исаак Ньютон өөрийн бүтээлүүддээ интегралын өөр симболыг санал болгоогүй боловч функц дээр босоо зураас эсвэл функцийн урд байрлах дөрвөлжин тэмдэг гэх мэт янз бүрийн хувилбаруудыг туршиж үзсэн. хиллэдэг. Функцийн тодорхойгүй интеграл у = f (x)Энэ нь тухайн функцийн бүх эсрэг деривативуудын цуглуулга юм.
Тодорхой интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).
Функцийн тодорхой интеграл f (x)доод хязгаартай аба дээд хязгаар бялгаа гэж тодорхойлж болно F (b) - F (a) = a ∫ b f (x) dx , хаана F (x)- функцийн зарим эсрэг дериватив f (x) ... Тодорхой интеграл a ∫ b f (x) dx абсцисса тэнхлэгээр шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна x = aболон x = bба функцийн график f (x)... Францын математикч, физикч Жан Батист Жозеф Фурье 19-р зууны эхэн үед бидний дассан хэлбэрээр тодорхой интегралыг албан ёсны болгохыг санал болгосон.
Дериватив. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).
Дериватив гэдэг нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт юм f (x)аргументийн өөрчлөлт дээр х ... Хэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай үед функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог. Хэзээ нэгэн цагт хязгаарлагдмал деривативтай функцийг энэ цэгт дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Деривативыг тооцоолох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Урвуу үйл явц нь интеграци юм. Сонгодог дифференциал тооцоонд деривативыг ихэвчлэн хязгаарын онолын ойлголтоор тодорхойлдог боловч түүхэндээ хязгаарын онол дифференциал тооцооноос хожуу гарч ирсэн.
"Үүсмэл" гэсэн нэр томъёог 1797 онд Жозеф Луис Лагранж нэвтрүүлсэн; dy / dx- Готфрид Лейбниц 1675 онд. Цагийн деривативыг үсгийн дээгүүр цэгээр тэмдэглэх арга нь Ньютон (1691)-ээс гаралтай."Функцийн дериватив" гэсэн орос хэллэгийг Оросын математикч анх ашигласанВасилий Иванович Висковатов (1779-1812).
Хэсэгчилсэн дериватив. А.Лжендре (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).
Олон хувьсагчийн функцүүдийн хувьд хэсэгчилсэн деривативууд тодорхойлогддог - бусад аргументууд тогтмол байна гэсэн таамаглалаар тооцсон аргументуудын аль нэгэнд хамаарах деривативууд. Тэмдэглэлүүд ∂f / ∂ х, ∂ z / ∂ y 1786 онд Францын математикч Адриен Мари Лежендре танилцуулсан; еx ",z x "- Жозеф Луис Лагранж (1797, 1801) ∂ 2 з / ∂ x 2, ∂ 2 з / ∂ х ∂ y- хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд - Германы математикч Карл Густав Якоб Якоби (1837).
Зөрүү, өсөлт. И.Бернулли (17-р зууны сүүл - 18-р зууны эхний хагас), Л.Эйлер (1755).
Δ үсгийн өсөлтийн тэмдэглэгээг анх Швейцарийн математикч Иоган Бернулли ашигласан. Дельта тэмдэг нь 1755 онд Леонард Эйлерийн бүтээлийн дараа нийтлэг практик болсон.
нийлбэр. Л.Эйлер (1755).
Нийлбэр нь утгуудыг (тоо, функц, вектор, матриц гэх мэт) нэмсний үр дүн юм. a 1, a 2, ..., an гэсэн n тооны нийлбэрийг тэмдэглэхийн тулд Грекийн "сигма" Σ үсгийг ашигладаг: a 1 + a 2 + ... + an = Σ ni = 1 ai = Σ n 1 a i. Нийлбэрийн Σ тэмдгийг 1755 онд Леонард Эйлер нэвтрүүлсэн.
Ажил. К.Гаусс (1812).
Бүтээгдэхүүн нь үржүүлгийн үр дүн юм. a 1, a 2, ..., an n тооны үржвэрийг тэмдэглэхийн тулд Грекийн "pi" Π үсгийг ашиглана: a 1 · a 2 · ... · an = Π ni = 1 ai = Π n 1. a i. Жишээлбэл, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 =? 50 1 (2i-1). Ажлын Π тэмдгийг 1812 онд Германы математикч Карл Гаусс нэвтрүүлсэн. Оросын математикийн уран зохиолд "ажил" гэсэн нэр томьёо анх 1703 онд Леонтий Филиппович Магнитскийтэй таарч байжээ.
Факториал. К. Крамп (1808).
n тооны факториал нь (n !-ээр тэмдэглэгдсэн, "энто-фактор" гэж нэрлэдэг) нь n: n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэр юм! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Жишээлбэл, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Тодорхойлолтоор үүнийг 0 гэж үзнэ! = 1. Факториал нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоонд тодорхойлогддог. n тооны факториал нь n элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3! = 6, үнэхээр,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Гурван элементийн бүх зургаан ба зөвхөн зургаан сэлгэлт.
"Факториал" гэсэн нэр томъёог Францын математикч, улс төрч Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800) нэвтрүүлсэн бөгөөд n! - Францын математикч Кристиан Крамп (1808).
Модуль, үнэмлэхүй утга. K. Weierstrass (1841).
Модуль, бодит тооны абсолют утга х нь дараах байдлаар тодорхойлогддог сөрөг бус тоо юм: | x | = x нь x ≥ 0, мөн | x | = -x хувьд x ≤ 0. Жишээ нь, | 7 | = 7, | - 0.23 | = - (- 0.23) = 0.23. z = a + ib цогцолбор тооны модуль нь √ (a 2 + b 2) -тэй тэнцүү бодит тоо юм.
"Модуль" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, философич, Ньютоны шавь Рожер Кутс ашиглахыг санал болгосон гэж үздэг. Готфрид Лейбниц мөн энэ функцийг ашигласан бөгөөд үүнийг "модуль" гэж нэрлэж, моль х гэж тэмдэглэв. Үнэмлэхүй утгын нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг 1841 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс нэвтрүүлсэн. Нарийн төвөгтэй тоонуудын хувьд энэ ойлголтыг 19-р зууны эхээр Францын математикч Аугустин Коши, Жан Роберт Арган нар нэвтрүүлсэн. 1903 онд Австрийн эрдэмтэн Конрад Лоренц векторын уртын хувьд ижил төстэй тэмдэглэгээг ашигласан.
Норм. E. Schmidt (1908).
Норм гэдэг нь векторын орон зайд тодорхойлогдсон, векторын урт эсвэл тооны модулийн тухай ойлголтыг нэгтгэсэн функц юм. "Норм" тэмдгийг (Латин "норма" - "дүрэм", "дээж" гэсэн үгнээс) 1908 онд Германы математикч Эрхард Шмидт нэвтрүүлсэн.
Хязгаар. С.Люиллиер (1786), В.Гамильтон (1853), олон тооны математикчид (XX зууны эхэн үе хүртэл)
Хязгаар гэдэг нь математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд энэ нь түүний өөрчлөлтийг авч үзэх явцад тодорхой хувьсагчийн утга нь тодорхой тогтмол утгад хязгааргүй ойртож байгааг илэрхийлдэг. Зөн совингийн түвшний хязгаарын тухай ойлголтыг 17-р зууны хоёрдугаар хагаст Исаак Ньютон, түүнчлэн 18-р зууны Леонард Эйлер, Жозеф Луис Лагранж зэрэг математикчид ашигласан. Дарааллын хязгаарлалтын анхны хатуу тодорхойлолтыг 1816 онд Бернард Болзано, 1821 онд Августин Коши нар өгсөн. Лим тэмдэг (Латин үгийн эхний 3 үсэг - хил) 1787 онд Швейцарийн математикч Саймон Антуан Жан Луиллиер гарч ирсэн боловч түүний хэрэглээ орчин үеийнхтэй хараахан санагдаагүй байна. Бидний хувьд илүү танил болсон lim хэллэгийг анх Ирландын математикч Уильям Хамилтон 1853 онд хэрэглэж байжээ.Вейерштрасс орчин үеийнхтэй ойролцоо тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн боловч ердийн сумны оронд тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Сумыг 20-р зууны эхээр хэд хэдэн математикч нэгэн зэрэг гарч ирсэн - жишээлбэл, Английн математикч Годфрид Харди 1908 онд.
Zeta функц, d Риманы зета функц... Б.Риманн (1857).
σ> 1-ийн хувьд s = σ + it цогц хувьсагчийн аналитик функцийг Дирихлегийн цувралаар үнэмлэхүй бөгөөд жигд тодорхойлно.
ζ (s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ....
σ> 1-ийн хувьд Эйлерийн үржвэрийн дүрслэл хүчинтэй байна:
ζ (s) = Πх (1-p -s) -s,
Бүтээгдэхүүнийг бүх анхны тоон дээр авдаг p. Зета функц нь тооны онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.Бодит хувьсагчийн функцийн хувьд zeta функцийг 1737 онд (1744 онд хэвлэгдсэн) L. Euler нэвтрүүлж, түүнийг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэхийг заажээ. Дараа нь энэ функцийг Германы математикч Л.Дирихлет, ялангуяа Оросын математикч, механикч П.Л. Чебышев анхны тооны тархалтын хуулийг судлахдаа. Гэсэн хэдий ч zeta функцийн хамгийн гүн гүнзгий шинж чанаруудыг Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманы (1859) ажлын дараа нээсэн бөгөөд zeta функцийг комплекс хувьсагчийн функц гэж үзсэн; тэрээр мөн 1857 онд "zeta функц" гэсэн нэр болон ζ (s) тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн.
Гамма функц, Эйлер Γ-функц. А.Лжендре (1814).
Гамма функц нь факториал гэсэн ойлголтыг нийлмэл тоонуудын талбарт өргөжүүлдэг математик функц юм. Ихэвчлэн Γ (z) гэж тэмдэглэдэг. r-функцийг анх 1729 онд Леонард Эйлер танилцуулсан; Энэ нь дараах томъёогоор тодорхойлогддог.
Γ (z) = лимn → ∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).
Олон тооны интеграл, хязгааргүй үржвэр, цувралын нийлбэрийг Γ-функцээр илэрхийлдэг. Энэ нь аналитик тооны онолд өргөн хэрэглэгддэг. "Гамма функц" гэсэн нэр ба Γ (z) тэмдэглэгээг 1814 онд Францын математикч Адриен Мари Лежендре санал болгосон.
Бета функц, В функц, Эйлер В функц. Ж.Бинет (1839).
p> 0, q> 0-д тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон p ба q хоёр хувьсагчийн функц:
B (p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Бета функцийг Γ-функцээр илэрхийлж болно: B (p, q) = Γ (p) Г (q) / Г (p + q).Бүхэл тоонуудын гамма функц нь хүчин зүйлийн ерөнхий дүгнэлт болдог шиг бета функц нь нэг ёсондоо бином коэффициентүүдийн ерөнхий дүгнэлт юм.
Бета функцийг ашиглан олон шинж чанарыг тодорхойлсонэнгийн бөөмсоролцож байна хүчтэй харилцан үйлчлэл... Энэ онцлогийг Италийн онолын физикч анзаарсанГабриэль Венециано 1968 онд. Энэ нь эхлэлийг тавьсан юмхэлхээний онол.
"Бета функц" гэсэн нэр ба B (p, q) тэмдэглэгээг 1839 онд Францын математикч, механик, одон орон судлаач Жак Филипп Мари Бинет нэвтрүүлсэн.
Лаплас оператор, Лаплас. Р. Мерфи (1833).
x 1, x 2, ..., x n хувьсагчдад φ (x 1, x 2, ..., x n) функцийг оноодог шугаман дифференциал оператор Δ:
Δφ = ∂ 2 φ / ∂х 1 2 + ∂ 2 φ / ∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂х n 2.
Тодруулбал, нэг хувьсагчийн φ (х) функцийн хувьд Лаплас оператор нь 2-р деривативын оператортой давхцдаг: Δφ = d 2 φ / dx 2. Δφ = 0 тэгшитгэлийг ихэвчлэн Лапласын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Тиймээс "Лаплас оператор" эсвэл "Лаплас" гэсэн нэрс үүссэн. Δ гэсэн тэмдэглэгээг 1833 онд Английн физикч, математикч Роберт Мерфи нэвтрүүлсэн.
Хамилтон оператор, набла оператор, Хамилтониан. O. Heaviside (1892).
Маягтын вектор дифференциал оператор
∇ = ∂ / ∂x би+ ∂ / ∂y ж+ ∂ / ∂z к,
хаана би, ж, ба к- координатын нэгж векторууд. Вектор шинжилгээний үндсэн үйлдлүүд болон Лаплас операторыг набла оператороор дамжуулан байгалийн аргаар илэрхийлдэг.
1853 онд Ирландын математикч Уильям Роуэн Хамилтон энэ операторыг танилцуулж, ∇ тэмдгийг урвуу Грек үсгээр Δ (дельта) хэлбэрээр бүтээжээ. Хамилтонд тэмдгийн үзүүр зүүн тийшээ чиглэсэн байсан бол хожим Шотландын математикч, физикч Питер Гутри Тэйтийн бүтээлүүдэд тэмдэг нь орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан. Хамилтон энэ тэмдгийг "atled" гэсэн үг гэж нэрлэсэн ("дельта" гэсэн үг, эсрэгээр нь уншина уу). Хожим нь Английн эрдэмтэд, тэр дундаа Оливер Хэвисайд энэ тэмдгийг Финикийн цагаан толгойн ∇ үсгийн нэрний дараа "набла" гэж нэрлэх болсон. Үсгийн гарал үүсэл нь ятга төрлийн хөгжмийн зэмсэгтэй холбоотой бөгөөд эртний Грек хэлээр ναβλα (набла) нь "ятга" гэсэн утгатай. Операторыг Hamilton оператор буюу набла оператор гэж нэрлэдэг байв.
Чиг үүрэг. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).
Олонлогийн элементүүдийн хоорондын хамаарлыг тусгасан математикийн ойлголт. Функц нь нэг олонлогийн элемент бүр (тодорхойлолтын домэйн гэж нэрлэгддэг) өөр олонлогийн зарим элементтэй (утгын домэйн гэж нэрлэгддэг) холбоотой байдаг "хууль", "дүрэм" гэж бид хэлж чадна. Функцийн математик ойлголт нь нэг хэмжигдэхүүн нь нөгөө хэмжигдэхүүний утгыг хэрхэн бүрэн тодорхойлдог тухай зөн совингийн санааг илэрхийлдэг. Ихэнхдээ "функц" гэсэн нэр томъёо нь тоон функцийг хэлдэг; өөрөөр хэлбэл, нэг дугаарыг нөгөөд хуваарилах функц юм. Удаан хугацааны туршид математикчид хаалтгүйгээр аргументуудыг өгсөн, жишээлбэл, тиймээс - φх. Ийм тэмдэглэгээг анх удаа 1718 онд Швейцарийн математикч Иоганн Бернулли ашигласан.Хаалтанд зөвхөн олон аргументууд эсвэл аргумент нь нийлмэл илэрхийлэл байсан бол ашигласан. Өнөөдрийг хүртэл ашиглагдаж байгаа бичлэгүүд нь тэр үеийн цуурай юм.sin x, lg xболон бусад.Гэхдээ аажмаар f (x) хаалт хэрэглэх нь ерөнхий дүрэм болсон. Үүний гол гавьяа нь Леонард Эйлерт хамаарна.
Тэгш байдал. R. Бичлэг (1557).
Тэгш тэмдгийг Уэльсийн эмч, математикч Роберт Рекорд 1557 онд санал болгосон; Тэмдгийн хэлбэр нь хоёр зэрэгцээ сегментийн дүрсийг дуурайсан тул одоогийнхоос хамаагүй урт байв. Дэлхий дээр ижил урттай хоёр зэрэгцээ хэрчмээс илүү тэнцүү зүйл байхгүй гэж зохиолч тайлбарлав. Үүнээс өмнө эртний болон дундад зууны үеийн математикт тэгш байдлыг үгээр илэрхийлдэг байсан (жишээ нь est egale). 17-р зуунд Рене Декарт æ (лат. aequalis), мөн тэрээр коэффициент нь сөрөг байж болохыг харуулахын тулд орчин үеийн тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Франсуа Виетт хасах үйлдлийг тэнцүү тэмдгээр тэмдэглэв. Бичлэгийн тэмдэг шууд тархаагүй. Эрт дээр үеэс шулуун шугамын параллелизмыг ижил тэмдэгтээр тэмдэглэж ирсэн нь Бичлэгийн тэмдгийн тархалтад саад болж байсан; эцэст нь параллелизмын тэмдгийг босоо болгохоор шийдсэн. Эх газрын Европт "=" тэмдгийг Готфрид Лейбниц зөвхөн 17-18-р зууны төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл Роберт Рекорд нас барснаас хойш 100 гаруй жилийн дараа нэвтрүүлсэн бөгөөд үүнийг анх ашигласан.
Ойролцоогоор тэнцүү, ойролцоогоор тэнцүү. А.Гүнтер (1882).
гарын үсэг зурах " ≈ "харилцаа холбооны бэлгэдэл болгон ашигласан" нь 1882 онд "Германы математикч, физикч Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер"-тэй ойролцоо байна.
Илүү бага. Т.Гарриотт (1631).
Эдгээр хоёр тэмдгийг 1631 онд Английн одон орон судлаач, математикч, угсаатны зүйч, орчуулагч Томас Гарриот хэрэглээнд нэвтрүүлсэн бөгөөд үүнээс өмнө "илүү", "бага" гэсэн үгсийг хэрэглэж байжээ.
Харьцуулах чадвар. К.Гаусс (1801).
Харьцуулалт - n ба m хоёр бүхэл тооны харьцаа, эдгээр тоонуудын ялгаа n-m нь өгөгдсөн бүхэл тоонд хуваагдана гэсэн үг a харьцуулах модуль гэж нэрлэдэг; бичсэн: n≡m (mod a) ба "n ба m тоонуудыг харьцуулах боломжтой mod a" гэж уншина уу. Жишээлбэл, 3≡11 (mod 4), учир нь 3-11 нь 4-т хуваагддаг; 3 ба 11 тоонуудыг харьцуулах боломжтой модуль 4. Харьцуулалт нь тэгш байдлын шинж чанаруудтай төстэй олон шинж чанартай байдаг. Тиймээс, харьцуулалтын нэг хэсэгт байгаа нэр томъёог нөгөө хэсэгт нь эсрэг тэмдгээр шилжүүлж, ижил модультай харьцуулалтыг нэмэх, хасах, үржүүлэх, харьцуулалтын хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлэх гэх мэт боломжтой. . Жишээлбэл,
3≡9 + 2 (mod 4) ба 3-2≡9 (mod 4)
Зэрэгцээ зөв харьцуулалт. Мөн 3≡11 (mod 4) ба 1≡5 (mod 4) хоёр зөв харьцуулалтаас дараах зүйл зөв байна:
3 + 1≡11 + 5 (mod 4)
3-1≡11-5 (mod 4)
3 1≡11 5 (mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3 23≡11 23 (mod 4)
Төрөл бүрийн харьцуулалтыг шийдвэрлэх аргуудыг тоон онолд авч үздэг, өөрөөр хэлбэл. нэг төрлийн харьцуулалтыг хангасан бүхэл тоог олох аргууд.Модульчлагдсан харьцуулалтыг анх Германы математикч Карл Гаусс 1801 онд бичсэн "Арифметик судалгаа" номондоо ашигласан. Тэрээр мөн харьцуулах зорилгоор математикт тогтоосон бэлгэдлийг санал болгосон.
Баримтлал. Б.Риманн (1857).
Identity - үүнд орсон үсгүүдийн зөвшөөрөгдөх утгын хувьд хүчинтэй хоёр аналитик илэрхийллийн тэгш байдал. a + b = b + a тэгшитгэл нь a ба b-ийн бүх тоон утгын хувьд үнэн бөгөөд тиймээс ижил төстэй байдал юм. Зарим тохиолдолд таних тэмдэг бичихийн тулд 1857 оноос хойш "≡" ("ижил тэнцүү" гэж уншина) тэмдгийг ашигласан бөгөөд энэ хэрэглээний зохиогч нь Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманн юм. Та бичиж болно a + b ≡ b + a.
Перпендикуляр байдал. П.Эригон (1634).
Перпендикуляр байдал нь хоёр шулуун, хавтгай эсвэл шулуун ба хавтгайн харьцангуй байрлал бөгөөд заасан дүрсүүд нь зөв өнцгийг бүрдүүлдэг. Перпендикуляр байдлыг илэрхийлэх ⊥ тэмдгийг Францын математикч, одон орон судлаач Пьер Эригон 1634 онд нэвтрүүлсэн. Перпендикуляр байдлын тухай ойлголт нь хэд хэдэн ерөнхий ойлголттой байдаг боловч бүгд дүрмээр бол ⊥ тэмдгээр дагалддаг.
Параллелизм. В.Оутред (нас барсны дараах хэвлэл 1677).
Зэрэгцээ байдал нь тодорхой геометрийн дүрсүүдийн хоорондын хамаарал юм; жишээ нь, шулуун шугамууд. Янз бүрийн геометрээс хамааран өөр өөрөөр тодорхойлсон; жишээлбэл, Евклидийн геометр, Лобачевскийн геометрт. Зэрэгцээ байдлын шинж тэмдгийг эрт дээр үеэс мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Александрийн Херон, Паппус нар ашиглаж байжээ. Эхэндээ энэ тэмдэг нь одоогийн тэнцүү тэмдэгтэй төстэй байсан (зөвхөн урт), гэхдээ сүүлийнх нь гарч ирснээр төөрөгдөл гаргахгүйн тулд тэмдгийг босоо || эргүүлсэн. Энэ хэлбэрээр тэрээр анх 1677 онд Английн математикч Уильям Оуредын бүтээлүүдийн нас барсны дараах хэвлэлд гарч ирэв.
Уулзвар, нэгдэл. Ж.Пиано (1888).
Олонлогуудын огтлолцол гэдэг нь өгөгдсөн бүх олонлогт нэгэн зэрэг хамаарах тэдгээр болон зөвхөн тэдгээр элементүүд нь хамаарах олонлог юм. Олонлогуудын нэгдэл - анхны олонлогийн бүх элементүүдийг агуулсан багц. Уулзвар ба нэгдлийг дээрх дүрмийн дагуу зарим олонлогт шинэ багц оноох олонлог дээрх үйлдлүүд гэж бас нэрлэдэг. ∩ ба ∪-г тус тус тэмдэглэв. Жишээлбэл, хэрэв
A = (♠ ♣)болон B = (♣ ♦),
Тэр
А∩В = {♣ }
А∪В = {♠ ♣ ♦ } .
Агуулж байна, агуулна. Э.Шредер (1890).
Хэрэв А ба В нь хоёр олонлог бөгөөд А-д В-д хамаарахгүй элемент байхгүй бол А-г В-д агуулагддаг гэж нэрлэдэг. Тэд A⊂B эсвэл B⊃A гэж бичдэг (Б нь А-г агуулдаг). Жишээлбэл,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
"Агуулга" ба "агуулга" гэсэн тэмдгүүдийг 1890 онд Германы математикч логикч Эрнст Шрөдер гарч ирсэн.
харьяалал. Ж.Пиано (1895).
Хэрэв a нь А олонлогийн элемент юм бол тэд a∈A гэж бичээд "a нь А-д харьяалагдана" гэж уншина. Хэрэв a нь А олонлогийн элемент биш бол a∉A гэж бичээд "А-д хамаарахгүй" гэж уншина уу. Эхэндээ, "агуулагдсан" ба "харьяалах" ("элемент юм") харилцааг ялгаж салгаж чадаагүй боловч цаг хугацаа өнгөрөхөд эдгээр ойлголтууд нь ялгахыг шаарддаг. Гишүүнчлэлийн тэмдгийг ∈ анх 1895 онд Италийн математикч Жузеппе Пеано хэрэглэж байжээ. ∈ тэмдэг нь Грекийн εστι - байх гэсэн үгийн эхний үсгээс гаралтай.
Нийтлэг байдлын хэмжигч, оршихуйн хэмжигч. Г.Гэнзэн (1935), К.Пирс (1885).
Тоон тоологч нь предикатын (математикийн мэдэгдэл) үнэний талбарыг харуулсан логик үйлдлүүдийн ерөнхий нэр юм. Философичид предикатын үнэний хүрээг хязгаарладаг логик үйлдлүүдэд эртнээс анхаарч ирсэн боловч тэдгээрийг үйлдлүүдийн тусдаа анги гэж ялгадаггүй. Хэмжээ-логикийн бүтцийг шинжлэх ухаан болон өдөр тутмын ярианд өргөн ашигладаг хэдий ч тэдгээрийг албан ёсны болгох нь зөвхөн 1879 онд Германы логикч, математикч, философич Фридрих Людвиг Готлоб Фрежийн "Үзэл баримтлалын тооцоо" номонд гарсан. Фрежийн тэмдэглэгээ нь том график бүтэцтэй төстэй байсан тул хүлээн аваагүй. Дараа нь илүү олон амжилттай тэмдэгтүүдийг санал болгосон боловч нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ нь 1885 онд Америкийн философич, логикч, математикч Чарльз Пирсийн санал болгосон оршихуйн хэмжигдэхүүнийг ("оршдог", "байдаг" гэж уншина уу) ∃ болон ∀ болсон. 1935 онд Германы математикч, логикч Герхард Карл Эрих Гентзений бүтээсэн универсал байдлын хэмжигдэхүүн ("ямар ч", "бүгд", "бүгд" гэж уншина уу). ). Жишээлбэл, оруулга
(∀ε> 0) (∃δ> 0) (∀x ≠ x 0, | x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
дараах байдлаар уншина: "ямар ч ε> 0-ийн хувьд δ> 0 байгаа тул бүх x-ийн хувьд x 0-тэй тэнцүү биш, тэгш бус байдлыг хангадаг | x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Хоосон багц. Н.Бурбаки (1939).
Ямар ч элемент агуулаагүй олонлог. Хоосон багц тэмдгийг 1939 онд Николас Бурбакигийн номонд нэвтрүүлсэн. Бурбаки бол 1935 онд байгуулагдсан Францын математикчдын нэгдсэн нууц нэр юм. Бурбаки бүлгийн гишүүдийн нэг нь Ø тэмдгийн зохиогч Андре Вайл байв.
Q.E.D. Д.Кнут (1978).
Математикийн хувьд нотлох баримтыг тодорхой дүрмүүд дээр үндэслэсэн, тодорхой мэдэгдэл үнэн болохыг харуулсан үндэслэлийн дараалал гэж ойлгодог. Сэргэн мандалтын үеэс хойш нотолгооны төгсгөлийг математикчид "Quod Erat Demonstrandum" буюу "Нотлоход юу шаардлагатай байсан" гэсэн латин хэллэгээс "Q.E.D." гэсэн товчлолоор тэмдэглэв. 1978 онд ΤΕΧ компьютерийн бичгийн системийг бүтээхдээ Америкийн компьютерийн шинжлэх ухааны профессор Дональд Эдвин Кнут Унгар гаралтай Америкийн математикч Пол Ричард Халмосын нэрэмжит "Халмос тэмдэг" гэж нэрлэгддэг дүүргэсэн дөрвөлжин тэмдгийг ашигласан. Өнөөдөр нотлох баримтыг дуусгахыг ихэвчлэн Халмос тэмдгээр тэмдэглэдэг. Үүнээс гадна бусад тэмдгүүдийг ашигладаг: хоосон дөрвөлжин, тэгш өнцөгт гурвалжин, // (хоёр ташуу зураас), мөн Оросын товчлол "ch.d."
Математик тэмдэглэгээ("Language of mathematics") нь математикийн хийсвэр санаа, дүгнэлтийг хүний уншихуйц хэлбэрээр илэрхийлэхэд ашигладаг нийлмэл график тэмдэглэгээний систем юм. Энэ нь (түүний нарийн төвөгтэй байдал, олон янз байдлын хувьд) хүн төрөлхтний ашигладаг ярианы бус дохионы системийн нэлээд хувийг бүрдүүлдэг. Энэ нийтлэлд олон улсын нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээний системийг тайлбарласан болно, гэхдээ өнгөрсөн үеийн өөр өөр соёлууд өөр өөрийн гэсэн онцлогтой байсан бөгөөд тэдгээрийн зарим нь өнөөг хүртэл хязгаарлагдмал хэрэглээтэй байдаг.
Математик тэмдэглэгээг дүрмээр бол зарим байгалийн хэлний бичгийн хэлбэртэй хамт ашигладаг болохыг анхаарна уу.
Суурь болон хэрэглээний математикаас гадна математик тэмдэглэгээ нь физикт, түүнчлэн (тодорхой хэмжээгээр) инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухаан, эдийн засаг, ерөнхийдөө математик загвар ашигладаг хүний үйл ажиллагааны бүхий л салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Бодит математикийн болон хэрэглээний тэмдэглэгээний хэв маягийн ялгааг текстийн явцад авч үзэх болно.
Коллежийн YouTube
1 / 5
✪ Математикт нэвтэрнэ үү
✪ Математикийн 3-р анги. Олон оронтой тооны хүснэгт
✪ Математикийн багцууд
✪ Математик 19. Математикийн хөгжилтэй - Шишкина сургууль
Хадмал орчуулга
Хөөе! Энэ видео нь математикийн тухай биш, харин этимологи, семиотикийн тухай юм. Гэхдээ танд таалагдана гэдэгт итгэлтэй байна. Яв! Куб тэгшитгэлийн шийдлийг ерөнхий хэлбэрээр хайхад математикчид хэдэн зуун жил үргэлжилсэн гэдгийг та мэдэх үү? Энэ нь зарим талаараа яагаад? Учир нь тодорхой бодлын тодорхой тэмдэг байхгүй байсан, эсвэл бидний цаг үе юм. Маш олон тэмдэгт байдаг тул та андуурч болно. Гэхдээ чи бид хоёрыг хуурч мэхэлж болохгүй, нэг л ойлгоцгооё. Энэ бол урвуу хэлбэртэй том A үсэг юм. Энэ нь "бүгд" болон "ямар ч" гэсэн үгсийн эхний жагсаалтад орсон англи үсэг юм. Орос хэл дээр энэ тэмдгийг контекстээс хамааран дараах байдлаар уншиж болно: хэнд ч, хүн бүрт, хүн бүрт, бүх зүйл гэх мэт. Ийм иероглифийг бид бүх нийтийн хэмжигч гэж нэрлэх болно. Энд бас нэг хэмжигч байна, гэхдээ аль хэдийн оршин тогтнож байна. Англи хэлний e үсэг нь Paint-д зүүнээс баруун тийш тусгалаа олсон бөгөөд ингэснээр хилийн чанад дахь "орших" үйл үгийг сануулж байна, бидний бодлоор бид: байдаг, оршин байдаг, өөр ижил төстэй байдлаар унших болно. Анхаарлын тэмдэг нь ийм оршихуйн хэмжигдэхүүнд өвөрмөц байдлыг нэмнэ. Хэрэв энэ нь тодорхой бол цаашаа явцгаая. Та арваннэгдүгээр ангид тодорхойгүй интегралтай таарсан байх, энэ бол зүгээр л нэг төрлийн эсрэг дериватив биш, харин интегралын бүх эсрэг деривативуудын цуглуулга гэдгийг танд сануулмаар байна. Тиймээс интегралын тогтмол болох С-ийн талаар бүү мартаарай. Дашрамд хэлэхэд, салшгүй тэмдэг нь өөрөө зүгээр л сунасан s үсэг, sum гэсэн латин үгийн цуурай юм. Энэ нь тодорхой интегралын геометрийн утга учир нь: хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийг нэгтгэн график дор байгаа дүрсийн талбайг хайх явдал юм. Миний бодлоор энэ бол тооцооллын хамгийн романтик үйл ажиллагаа юм. Гэхдээ сургуулийн геометр нь логиктой байхыг сургадгаараа хамгийн хэрэгтэй зүйл юм. Эхний жил гэхэд үр дагавар нь юу болох, эквивалент гэж юу болох талаар тодорхой ойлголттой байх ёстой. За яахав, хэрэгцээ, хүрэлцээ гэж андуурч болохгүй биз дээ? Жаахан гүн ухаж үзэцгээе. Хэрэв та дээд математик хийхээр шийдсэн бол таны хувийн амьдрал ямар муу байгааг би төсөөлж чадна, гэхдээ ийм учраас та бага зэрэг дасгал сургуулилтаа даван туулахыг зөвшөөрөх байх. Гурван цэг байдаг бөгөөд тус бүр нь зүүн, баруун хэсэгтэй бөгөөд та үүнийг гурван зурсан тэмдгийн аль нэгээр нь холбох хэрэгтэй. Түр зогсолт дээр дарж, өөрөө оролдоод, миний танд хэлэх зүйлийг сонсоорой. Хэрэв x = -2 бол | x | = 2, гэхдээ зүүнээс баруун тийш, хэллэг аль хэдийн бүтээгдсэн байна. Хоёрдахь догол мөрөнд зүүн, баруун талд яг адилхан бичигдсэн байна. Гурав дахь цэгийг ингэж тайлбарлаж болно: тэгш өнцөгт бүр параллелограмм боловч параллелограмм бүр тэгш өнцөгт биш юм. Тийм ээ, би чамайг жижиг байхаа больсон гэдгийг мэдэж байна, гэхдээ энэ дасгалыг эзэмшсэн хүмүүст миний алга ташилт. За, хангалттай, тооны багцыг санацгаая. Натурал тоонуудыг тоолоход ашигладаг: 1, 2, 3, 4 гэх мэт. Байгальд -1 алим байдаггүй, гэхдээ дашрамд хэлэхэд бүхэл тоо нь ийм зүйлийн талаар ярих боломжийг бидэнд олгодог. ℤ үсэг нь тэгийн чухал үүргийн талаар бидэнд хашгирч, оновчтой тоонуудын багцыг ℚ үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Англи хэлээр "quotient" гэдэг нь "хандлага" гэсэн утгатай. Дашрамд хэлэхэд, Бруклины хаа нэгтээ Африк гаралтай америк хүн тан дээр ирээд: "Үүнийг бодитоор хадгалаарай!" гэж хэлвэл энэ бол математикч, бодит тоог шүтэн бишрэгч гэдэгт та итгэлтэй байж болно. За тэгээд комплекс тоонуудын талаар нэг юм уншаарай, энэ нь илүү хэрэгтэй байх болно. Бид одоо буцаж, Грекийн хамгийн энгийн сургуулийн нэгдүгээр анги руу буцах болно. Товчхондоо эртний цагаан толгойг санацгаая. Эхний үсэг нь альфа, дараа нь бетта, энэ дэгээ нь гамма, дараа нь дельта, араас нь эпсилон гэх мэт хамгийн сүүлийн үсэг хүртэл омега. Грекчүүд бас том үсэгтэй гэдэгт итгэлтэй байж болно, гэхдээ бид одоо гунигтай зүйлийн талаар ярихгүй. Бид зугаа цэнгэлийн талаар илүү сайн байдаг - хязгаарлалтын талаар. Гэхдээ энд зүгээр л оньсого байхгүй, математикийн тэмдэг аль үгнээс гарч ирсэн нь шууд тодорхой болно. За ингээд бид видеоны эцсийн хэсэг рүү шилжиж болно. Одоо таны өмнө бичигдсэн тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг дуу хоолойгоор хэлэхийг оролдоно уу. Завсарлага дээр дарж, бодоод үзээрэй, "ээж" гэдэг үгийг таньсан нэг настай хүүхэд танд баярлах болтугай. Хэрэв тэгээс их эпсилонд натурал N байгаа бөгөөд N-ээс их тоон дарааллын бүх тоонуудын хувьд тэгш бус байдал | xₙ-a |<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Ерөнхий мэдээлэл
Энэ систем нь байгалийн хэл шиг түүхийн хувьд (математик тэмдэглэгээний түүхийг үзнэ үү) хувьсан өөрчлөгдөж, байгалийн хэлийг бичихтэй адил зохион байгуулалттай бөгөөд тэндээс олон тэмдэгтүүдийг (ялангуяа Латин, Грек цагаан толгойн үсгээс) зээлж авсан. Энгийн бичгийн нэгэн адил тэмдэглэгээг нэг төрлийн дэвсгэр дээр тодосгогч зураасаар дүрсэлсэн байдаг (цагаан цаасан дээр хар, харанхуй самбар дээр гэрэл, монитор дээрх тодосгогч гэх мэт) бөгөөд тэдгээрийн утга нь үндсэндээ хэлбэр, харьцангуй байрлалаар тодорхойлогддог. Өнгийг харгалздаггүй бөгөөд ихэвчлэн хэрэглэдэггүй ч үсгийг ашиглах үед энгийн бичгийн утгад нөлөөлдөггүй хэв маяг, тэр ч байтугай үсгийн хэлбэр зэрэг нь математикийн тэмдэглэгээнд утгыг ялгах үүрэг гүйцэтгэдэг.
Бүтэц
Ердийн математик тэмдэглэгээ (ялангуяа гэж нэрлэгддэг математикийн томьёо) нь ерөнхийдөө зүүнээс баруун тийш мөрөнд бичигдсэн боловч дараалсан тэмдэгтийн мөр байх албагүй. Тэмдэгтүүд нь босоо байрлалаар давхцаагүй байсан ч гэсэн тэмдэгтүүдийн бие даасан блокууд мөрийн дээд эсвэл доод хэсэгт гарч ирж болно. Мөн зарим хэсэг нь бүхэлдээ шугамын дээгүүр эсвэл доор байрладаг. Дүрмийн үүднээс авч үзвэл бараг ямар ч "томьёо" нь мод гэх мэт шаталсан зохион байгуулалттай бүтэц гэж үзэж болно.
Стандартчилал
Математик тэмдэглэгээ нь системийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хамаарлын утгаараа илэрхийлдэг боловч ерөнхийдөө үгүйалбан ёсны тогтолцоог бүрдүүлдэг (математикийн тухай ойлголтод). Ямар ч хэцүү тохиолдолд тэдгээрийг програмын аргаар задлах боломжгүй юм. Аливаа байгалийн хэлний нэгэн адил "математикийн хэл" нь үл нийцэх тэмдэглэгээ, гомограф, зөв гэж үзсэн зүйлийн янз бүрийн (түүний тээвэрлэгчдийн дунд) тайлбар гэх мэтээр дүүрэн байдаг. Математикийн тэмдэгтүүдийн ажиглаж болох цагаан толгой ч байдаггүй, ялангуяа Хоёр тэмдэглэгээг өөр тэмдэгт гэж үзэх үү, эсвэл нэг тэмдгийн өөр өөр бичиглэл үү гэсэн асуулт үргэлж хоёрдмол утгагүй шийдэгддэггүй.
Математикийн зарим тэмдэглэгээг (голчлон хэмжилттэй холбоотой) ISO 31-11 стандартад стандартчилсан боловч ерөнхийдөө тэмдэглэгээний стандартчилал нэлээд дутагдалтай байдаг.
Математик тэмдэглэгээний элементүүд
Тоонууд
Хэрэв араваас бага суурьтай тооллын системийг ашиглах шаардлагатай бол суурь нь 20003 8 гэсэн доод тэмдэгтээр бичигдэнэ. Араваас дээш тооны суурьтай тоон системийг нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн математик тэмдэглэгээнд ашигладаггүй (мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийг шинжлэх ухаан өөрөө судалдаг), учир нь тэдэнд хангалттай тоо байдаггүй. Компьютерийн шинжлэх ухааны хөгжилтэй холбоотойгоор 10-аас 15 хүртэлх тоог А-аас F хүртэлх эхний зургаан латин үсгээр тэмдэглэдэг 16-тын тооллын систем хамааралтай болсон. Компьютерийн шинжлэх ухаанд ийм тоог тэмдэглэхийн тулд хэд хэдэн өөр арга хэрэглэдэг. ашигласан боловч тэдгээрийг математикт шилжүүлээгүй.
Дээд болон доод тэмдэгтүүд
Хаалт, ижил төстэй тэмдэгт, тусгаарлагч
"()" хаалт ашиглаж байна:
Олон хос хаалт хэрэглэх шаардлагатай үед "" дөрвөлжин хаалт нь ихэвчлэн бүлэглэх утгаар ашиглагддаг. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг гадна талд нь байрлуулсан бөгөөд (цэвэр хэв маягтай) дотор талын хаалтаас өндөр өндөртэй байна.
Дөрвөлжин "" ба хашилт "()" нь хаалттай ба нээлттэй зайг тус тусад нь заадаг.
"()" буржгар хаалт нь ихэвчлэн дөрвөлжин хаалттай адил анхааруулгатай байдаг. Зүүн "(" ба баруун ")" хаалтуудыг тусад нь ашиглаж болно; Тэдний зорилгыг тодорхойлсон.
Өнцгийн хаалтны тэмдэгтүүд " ⟨⟩ (\ Displaystyle \ langle \; \ rangle)»Цэвэрхэн хэвлэмэл хэв маяг нь мохоо булантай байх ёстой бөгөөд ингэснээр тэгш эсвэл хурц өнцөгтэй ижил төстэй хэсгүүдээс ялгаатай байх ёстой. Практикт хүн үүнд найдах ёсгүй (ялангуяа гараар томьёо бичих үед) зөн совингоо ашиглан тэдгээрийг хооронд нь ялгах хэрэгтэй.
Томъёоны хэсгийг тодруулахын тулд жагсаасанаас бусад тэмдгийг оруулаад тэгш хэмтэй (босоо тэнхлэгийн тухай) хос тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг. Хосолсон хаалтны зорилгыг тайлбарласан болно.
Индексүүд
Байршлаас хамааран дээд болон доод тэмдэгтийг ялгадаг. Дээд тэмдэг нь бусад хэрэглээнд экспонентацийг илэрхийлж болно (гэхдээ заавал гэсэн үг биш).
Хувьсагч
Шинжлэх ухаанд хэмжигдэхүүнүүдийн багц байдаг бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь утгын багцыг авч, нэрлэж болно. хувьсагчутга (хувилбар), эсвэл зөвхөн нэг утгыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Математикийн хувьд хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн физик утгаас нь салгаж аваад дараа нь хувьсагч болдог. анхаарал сарниулсан(эсвэл тоон) дээр дурдсан тусгай тэмдэглэгээнд ороогүй зарим тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн хувьсагч.
Хувьсагч Xтүүний хүлээн зөвшөөрсөн утгуудын багцыг заасан бол өгсөн гэж үзнэ (x)... Тогтмол хэмжигдэхүүнийг тухайн олонлогийн хувьсагч гэж үзэх нь тохиромжтой (x)нэг элементээс бүрдэнэ.
Функц ба операторууд
Математикийн хувьд энэ хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байхгүй оператор(нэг), зураглалболон функц.
Гэсэн хэдий ч хэрэв өгөгдсөн аргументуудаас зураглалын утгыг бичихийн тулд үүнийг зааж өгөх шаардлагатай бол энэ зураглалын тэмдэг нь функцийг илэрхийлдэг бол бусад тохиолдолд операторын тухай ярих магадлал өндөр байдаг. Нэг аргументын зарим функцын тэмдэгтүүдийг хаалттай эсвэл хаалтгүйгээр ашигладаг. зэрэг олон анхан шатны функцууд sin x (\ displaystyle \ sin x)эсвэл нүгэл (x) (\ displaystyle \ sin (x)), гэхдээ энгийн функцууд үргэлж дуудагддаг функцууд.
Оператор ба харилцаа холбоо (нэг ба хоёртын)
Функцүүд
Функцийг хоёр утгаар нь нэрлэж болно: өгөгдсөн аргументуудын утгын илэрхийлэл (бичсэн). f (x), f (x, y) (\ displaystyle f (x), \ f (x, y))гэх мэт) эсвэл өөрөө функц байдлаар. Сүүлчийн тохиолдолд зөвхөн функцийн тэмдгийг хаалтгүйгээр тавьдаг (хэдийгээр тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар бичдэг).
Нэмэлт тайлбаргүйгээр математикийн ажилд хэрэглэгддэг нийтлэг функцүүдийн олон тэмдэглэгээ байдаг. Үгүй бол функцийг ямар нэгэн байдлаар тайлбарлах ёстой бөгөөд үндсэн математикийн хувьд энэ нь үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд дурын үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Хувьсах функцийг илэрхийлэхэд f үсэг хамгийн түгээмэл байдаг ба g болон ихэнх Грек хэлийг мөн ихэвчлэн ашигладаг.
Урьдчилан тодорхойлсон (захиалагдсан) тэмдэглэгээ
Гэсэн хэдий ч хэрэв хүсвэл нэг үсэгтэй тэмдэглэгээг өөр утгаар өгч болно. Жишээлбэл, и үсгийг ихэвчлэн нийлмэл тоо ашигладаггүй контекстэд индекс болгон ашигладаг бөгөөд зарим төрлийн комбинаторын хувьд үсгийг хувьсагч болгон ашиглаж болно. Мөн онолын тэмдэгтүүдийг (жишээ нь " ⊂ (\ дэлгэцийн хэв маяг \ дэд багц)"ба" ⊃ (\ displaystyle \ supset)") Мөн саналын тооцоо (жишээ нь" ∧ (\ дэлгэцийн хэв маяг \ шаантаг)"ба" ∨ (\ displaystyle \ vee)») Өөр утгаар, ихэвчлэн дарааллын хамаарал болон хоёртын үйлдэл болгон ашиглаж болно.
Индексжүүлэх
Индексжүүлэх нь графикаар дүрслэгдсэн (ихэвчлэн доод, заримдаа дээд тал) бөгөөд нэг ёсондоо хувьсагчийн агуулгыг өргөжүүлэх арга юм. Гэхдээ энэ нь бага зэрэг ялгаатай (давхардсан ч) гурван утгаар хэрэглэгддэг.
Бодит тоонууд
Хэрэглэхтэй адил нэг үсгээр тэмдэглэсэн хэд хэдэн өөр хувьсагчтай байж болно. Жишээлбэл: x 1, x 2, x 3… (\ displaystyle x_ (1), \ x_ (2), \ x_ (3) \ ldots)... Ихэвчлэн тэд ямар нэгэн нийтлэг шинж чанартай холбоотой байдаг боловч ерөнхийдөө энэ нь шаардлагагүй юм.
Түүнээс гадна зөвхөн тоо төдийгүй ямар ч тэмдгийг "индекс" болгон ашиглаж болно. Харин өөр хувьсагч болон илэрхийллийг индекс болгон бичихэд энэ бичлэгийг “индекс илэрхийллийн утгаар тодорхойлогддог тоо бүхий хувьсагч” гэж тайлбарладаг.
Тензор шинжилгээнд
Шугаман алгебр, тензорын шинжилгээ, индекс бүхий дифференциал геометр (хувьсагчийн хэлбэрээр) бид бичдэг.
хоёр), 3> 2 (гурав нь хоёроос илүү) гэх мэт.Математикийн бэлгэдлийн хөгжил нь математикийн үзэл баримтлал, аргын ерөнхий хөгжилтэй нягт холбоотой байв. Эхнийх нь Математик тэмдгүүдтоонуудыг илэрхийлэх тэмдгүүд байсан - тоо, үүсэх нь бичихээс өмнө байсан бололтой. Хамгийн эртний тооллын системүүд болох Вавилон, Египет зэрэг нь МЭӨ 3 1/2 мянган жилийн өмнө гарч ирсэн. NS.
Эхнийх нь Математик тэмдгүүдУчир нь дур зоргоороо үнэ цэнэ нь Грект нэлээд хожуу (МЭӨ 5-4-р зууны үеэс) гарч ирсэн. Хэмжигдэхүүнүүдийг (талбай, эзэлхүүн, өнцөг) сегмент болгон, дурын хоёр төрлийн нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүний үржвэрийг харгалзах сегментүүд дээр барьсан тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлсэн. "Эхлэл" хэсэгт Евклид (МЭӨ 3-р зуун) утгыг хоёр үсгээр тэмдэглэдэг - харгалзах сегментийн эхний ба эцсийн үсэг, заримдаа нэг үсэг. Байна Архимед (МЭӨ 3-р зуун) сүүлчийн арга нь түгээмэл болсон. Энэхүү тэмдэглэгээ нь цагаан толгойн тоололыг хөгжүүлэх боломжийг агуулсан байв. Гэсэн хэдий ч эртний сонгодог математикт цагаан толгойн тоолол бий болоогүй.
Алгебрыг геометрийн хэлбэрээс ангижруулсны үр дүнд эллинизмын сүүл эриний үед үсэг, тооцооллын эхлэл тавигдсан. Диофант (магадгүй 3 в.) үл мэдэгдэх ( NS) ба түүний зэрэг нь дараахь шинж тэмдгээр илэрдэг.
[- Грек хэлнээс dunamiV (dynamis - хүч), үл мэдэгдэх квадрат гэсэн утгатай, - Грек хэлнээс cuboV (k_ybos) - шоо]. Үл мэдэгдэх эсвэл түүний градусын баруун талд Диофант коэффициентийг бичсэн, жишээлбэл, 3x5 дүрслэгдсэн байна.
(энд = 3). Нэмэхдээ Диофантус нэр томъёог бие биендээ хамааруулж, хасахдаа тусгай тэмдэг ашигласан; Диофант тэгш байдлыг i үсгээр тэмдэглэв [Грек хэлнээс isoV (isos) - тэнцүү]. Жишээлбэл, тэгшитгэл
(х 3 + 8х) - (5х 2 + 1) =NS
Диофант ингэж бичнэ.
(энд
нэгжид үл мэдэгдэх хүчний хэлбэрийн хүчин зүйл байхгүй гэсэн үг).
Хэдэн зууны дараа индианчууд янз бүрийн зүйлийг нэвтрүүлсэн Математик тэмдгүүдхэд хэдэн үл мэдэгдэх (үл мэдэгдэх өнгөний нэрсийн товчлол) дөрвөлжин, язгуур, хасагдсан тоо. Тэгэхээр, тэгшитгэл
3NS 2 + 10х - 8 = х 2 + 1
Бичлэгт Брахмагупта (7-р зуун) иймэрхүү харагдах болно:
Я ва 3 я 10 ру 8
Я ва 1 я 0 ру 1
(я - яватаас - тават - үл мэдэгдэх, va - варгаас - дөрвөлжин тоо, ru - рупаас - рупи зоос - чөлөөт нэр томъёо, тоон дээрх цэг нь хасагдсан тоог хэлнэ).
Орчин үеийн алгебрийн бэлгэдлийг бий болгох нь 14-17-р зууны үеэс эхэлдэг; Энэ нь практик арифметик, тэгшитгэлийн сургаалын амжилтаар тодорхойлогддог. Янз бүрийн улс орнуудад аяндаа гарч ирдэг Математик тэмдгүүдзарим үйлдэл болон үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүний чадлын хувьд. Энэ болон бусад тохиромжтой тэмдгийг боловсруулахаас өмнө олон арван жил, бүр олон зуун жил өнгөрдөг. Тиймээс, 15 ба төгсгөлд. Н. Шукке болон Л. Пачиоли нэмэх хасах тэмдгийг ашигласан
(лат. нэмэх ба хасахаас) Германы математикчид орчин үеийн + (лат. et товчилсон байж магадгүй) ба -. 17-р зуунд буцаж ирсэн. та арав орчим тоолж болно Математик тэмдгүүдүржүүлэх үйлдлийн хувьд.
Өөр байсан ба Математик тэмдгүүдүл мэдэгдэх ба түүний зэрэг. 16-17-р зууны эхэн үед. Жишээлбэл, зөвхөн үл мэдэгдэх талбайн төлөө арав гаруй нэр дэвшигч өрсөлдсөн хараач(тооллогооос - Грек хэл дээрх dunamiV-ийн орчуулга болсон латин нэр томъёо, Q(квадратаас), A (2), Aii, аа, a 2гэх мэт. Тэгэхээр тэгшитгэл
x 3 + 5 х = 12
Италийн математикч Ж.Кардано (1545) дараах хэлбэртэй байна.
Германы математикч М.Штифелээс (1544):
Италийн математикч Р.Бомбелли (1572):
Францын математикч Ф.Вьета (1591):
Английн математикч Т.Харриотоос (1631):
16-17-р зууны эхэн үед. тэнцүү тэмдэг болон хаалтууд хэрэглэгдэх болно: дөрвөлжин (R. Бомбелли , 1550), дугуй (Н. Тарталиа, 1556), буржгар (Ф. Вьетнам, 1593). 16-р зуунд. Бутархайн тэмдэглэгээ нь орчин үеийн хэлбэрийг авдаг.
Математик бэлгэдлийн хөгжилд чухал алхам бол Вьетнам (1591) хэлийг нэвтрүүлсэн явдал юм. Математик тэмдгүүдЛатин цагаан толгойн B, D үсгийн том гийгүүлэгч хэлбэрээр дурын тогтмолуудын хувьд анх удаа дурын коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэл бичиж, тэдгээртэй ажиллах боломжтой болсон. А, Е, том эгшгээр дүрслэгдсэн үл мэдэгдэх Вьетнам ... Жишээ нь, Вьетагийн тэмдэглэгээ.
Бидний тэмдэглэгээнд энэ нь дараах байдалтай байна.
x 3 + 3bx = г.
Виет бол алгебрийн томъёог бүтээгч байсан. Р. Декарт (1637) алгебрийн шинж тэмдгүүдийг орчин үеийн дүр төрхтэй болгож, үл мэдэгдэх зүйлийг лат-ын сүүлчийн үсгээр тэмдэглэв. цагаан толгой x, y, z,болон дурын өгөгдлийн утгууд - эхний үсгээр a, b, c.Тэрээр одоогийн эрдмийн зэрэгтэй дээд амжилтыг эзэмшдэг. Декартын нэршил нь өмнөх бүх хүмүүсээс ихээхэн давуу талтай байв. Тиймээс тэд удалгүй бүх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн.
Цаашдын хөгжил Математик тэмдгүүдЭнэ нь хязгааргүй жижигийн шинжилгээг бий болгохтой нягт холбоотой байсан бөгөөд бэлгэдлийг хөгжүүлэхийн тулд үндэс нь алгебр дээр аль хэдийн бэлтгэгдсэн байв.
Математикийн зарим шинж тэмдэг илэрсэн огноо
| тэмдэг | утга учир | Хэн танилцуулав | Танилцуулсан үед |
| Бие даасан объектуудын шинж тэмдэг | |||
| ¥ | Хязгааргүй байдал | Ж.Уоллис | 1655 |
| д | натурал логарифмын суурь | Л.Эйлер | 1736 |
| х | тойрог ба диаметрийн харьцаа | В. Жонс Л.Эйлер | 1706 |
| би | -1-ийн квадрат язгуур | Л.Эйлер | 1777 (1794 оны хэвлэлд) |
| би ж к | нэгж векторууд, нэгж векторууд | В.Гэмилтон | 1853 |
| P (a) | параллелизм өнцөг | Н.И. Лобачевский | 1835 |
| Хувьсах объектын тэмдэг | |||
| x, y, z | үл мэдэгдэх эсвэл хувьсагч | Р.Декарт | 1637 |
| r | вектор | О.Коши | 1853 |
| Хувь хүний үйл ажиллагааны тэмдэг | |||
| + | нэмэлт | Германы математикчид | 15-р зууны төгсгөл |
| – | хасах |
||
| ´ | үржүүлэх | В.Аутреад | 1631 |
| × | үржүүлэх | Г.Лейбниц | 1698 |
| : | хэлтэс | Г.Лейбниц | 1684 |
| a 2, a 3,…, a n | зэрэг | Р.Декарт | 1637 |
| I. Ньютон | 1676 |
||
| | үндэс | К.Рудольф | 1525 |
| А.Жирард | 1629 |
||
| Бүртгэл | логарифм | И.Кеплер | 1624 |
| бүртгэл | Б.Кавальери | 1632 |
|
| нүгэл | синус | Л.Эйлер | 1748 |
| cos | косинус |
||
| тг | шүргэгч | Л.Эйлер | 1753 |
| arc.sin | арксин | Ж.Лагранж | 1772 |
Ш | гиперболын синус | V. Риккати | 1757 |
Ч | гипербол косинус |
||
| dx, ddx, ... | дифференциал | Г.Лейбниц | 1675 (1684 хэвлэлд) |
d 2 x, d 3 x, ... |
|||
| | интеграл | Г.Лейбниц | 1675 (1686 хэвлэлд) |
| | дериватив | Г.Лейбниц | 1675 |
| ¦ ¢ x | дериватив | Ж.Лагранж | 1770, 1779 |
| y ' |
|||
| ¦ ¢ (x) |
|||
| Dx | ялгаа | Л.Эйлер | 1755 |
| | хэсэгчилсэн дериватив | А.Лжендре | 1786 |
| | тодорхой интеграл | Ж. Фурье | 1819-22 |
| | нийлбэр | Л.Эйлер | 1755 |
| NS | ажил | К.Гаусс | 1812 |
| ! | хүчин зүйл | К. Крамп | 1808 |
| | x | | модуль | К. Вейерштрасс | 1841 |
| лим | хязгаар | В.Гэмилтон, олон математикч | 1853, 20-р зууны эхэн үе |
| лим |
|||
| n = ¥ |
|||
| лим |
|||
| n ® ¥ |
|||
| х | zeta функц | Б.Риманн | 1857 |
| Г | гамма функц | А.Лжендре | 1808 |
| В | бета функц | Ж.Бинет | 1839 |
| Д | дельта (Лаплас оператор) | Р.Мөрфи | 1833 |
| Ñ | набла (Гэмилтон оператор) | В.Гэмилтон | 1853 |
| Хувьсах үйл ажиллагааны тэмдэг | |||
| jx | функц | И.Бернули | 1718 |
| f (x) | Л.Эйлер | 1734 |
|
| Хувь хүний харилцааны шинж тэмдэг | |||
| = | тэгш байдал | R. Бичлэг | 1557 |
| > | илүү | Т.Харриот | 1631 |
| < | жижиг |
||
| º | харьцуулах чадвар | К.Гаусс | 1801 |
| | параллелизм | В.Аутреад | 1677 |
| ^ | перпендикуляр байдал | П.Эригон | 1634 |
БА. Ньютон флюс болон флютын аргад (1666 ба түүнээс хойшхи жилүүд) тодорхой хэмжээний (хэлбэрээр) дараалсан флюсийн (үүсмэл) шинж тэмдгүүдийг нэвтрүүлсэн.
мөн хязгааргүй жижиг алхмуудын хувьд о... Өмнө нь Ж. Уоллис (1655) ¥ хязгааргүй тэмдгийг санал болгосон.
Дифференциал ба интеграл тооцооллын орчин үеийн бэлгэдлийг бүтээгч нь Г. Лейбниц. Тэр, ялангуяа, одоо ашиглаж байгаа эзэмшдэг Математик тэмдгүүддифференциалууд
dx, d 2 x, d 3 х
ба интеграл
Орчин үеийн математикийн бэлгэдлийг бий болгоход ихээхэн гавьяа байгуулсан нь Л. Эйлер. Тэрээр (1734) хувьсах үйлдлийн эхний тэмдэг болох функцийн тэмдгийг ерөнхий хэрэглээнд нэвтрүүлсэн. е(х) (lat.functio-аас). Эйлерийн ажлын дараа олон бие даасан функцүүдийн тэмдгүүд, жишээлбэл тригонометрийн шинж тэмдгүүд нь стандарт шинж чанартай болсон. Харин Эйлер тогтмолуудын тэмдэглэгээг эзэмшдэг д(байгалийн логарифмын суурь, 1736), p [магадгүй Грекийн perijereia (periphereia) - тойрог, зах, 1736], төсөөллийн нэгж
(Францын уран сэтгэмжээс - төсөөлөл, 1777, 1794 онд хэвлэгдсэн).
19-р зуунд. бэлгэдлийн үүрэг нэмэгдэж байна. Энэ үед үнэмлэхүй утгын шинж тэмдэг | x | (TO. Вейерштрасс, 1841), векторууд (О. Коши, 1853), тодорхойлогч
(А. Кейли, 1841), гэх мэт 19-р зуунд үүссэн олон онолууд, тухайлбал, тензорын тооцоолол нь тохиромжтой бэлгэдэлгүйгээр хөгжиж чадахгүй байв.
Тодорхой стандартчиллын үйл явцын хамт Математик тэмдгүүдОрчин үеийн уран зохиолд та ихэвчлэн олж болно Математик тэмдгүүдзөвхөн энэхүү судалгааны хүрээнд хувь хүний зохиогчид ашигладаг.
Математик логикийн үүднээс авч үзвэл, дунд Математик тэмдгүүддараах үндсэн бүлгүүдийг тодорхойлж болно: A) объектын шинж тэмдэг, B) үйл ажиллагааны шинж тэмдэг, C) харилцааны шинж тэмдэг. Жишээлбэл, 1, 2, 3, 4 тэмдэгтүүд нь тоонуудыг, өөрөөр хэлбэл арифметикаар судлагдсан объектуудыг илэрхийлдэг. Нэмэх тэмдэг + нь дангаараа ямар ч объектыг төлөөлөхгүй; ямар тоо нэмэгдсэнийг зааж өгсөн үед тэрээр сэдвийг хүлээн авдаг: 1 + 3 бичлэг нь 4-ийн тоог илэрхийлнэ.> тэмдэг (илүү) нь тоонуудын хоорондын хамаарлын тэмдэг юм. Харилцааны шинж тэмдэг нь аль объектуудын хооронд харилцааг авч үзэхийг зааж өгсөн тохиолдолд сайн тодорхойлсон агуулгыг хүлээн авдаг. Жагсаалтад орсон үндсэн гурван бүлэгт Математик тэмдгүүддөрөв дэх нь залгаа: D) үндсэн тэмдгүүдийн хослолын дарааллыг тогтоодог туслах тэмдгүүд. Ийм тэмдгүүдийн талаархи хангалттай санааг үйл ажиллагааны дарааллыг харуулсан хаалтанд оруулсан болно.
Гурван бүлэг тус бүрийн шинж тэмдэг A), B) ба C) хоёр төрлийн байна: 1) тодорхой тодорхойлогдсон объект, үйл ажиллагаа, харилцааны бие даасан шинж тэмдэг, 2) "түр зуурын бус", "үл мэдэгдэх" нийтлэг шинж тэмдэг. , объект, үйл ажиллагаа, харилцаа.
Эхний төрлийн шинж тэмдгүүдийн жишээг өгч болно (мөн хүснэгтийг үзнэ үү):
A 1) Натурал тоо 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9-ийн тэмдэглэгээ; трансцендент тоо дба p; төсөөллийн нэгж би.
B 1) Арифметик үйлдлийн тэмдэг +, -, ·, ´,:; үндэс олборлох, ялгах
олонлогуудын нийлбэр (нэгдэл) È ба үржвэрийн (уулзвар) Ç тэмдэг; Үүнд sin, tg, log гэх мэт бие даасан функцүүдийн шинж тэмдгүүд орно.
1) Тэгш ба тэгш бус байдлын тэмдэг =,>,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Хоёрдахь төрлийн тэмдгүүд нь тодорхой ангиллын дурын объект, үйл ажиллагаа, харилцааг эсвэл урьдчилан тогтоосон нөхцөл байдлын дагуу объект, үйл ажиллагаа, харилцааг дүрсэлдэг. Жишээ нь, хэн болохыг бичихдээ ( а + б)(а - б) = а 2 - б 2 үсэг аболон бдурын тоог илэрхийлэх; функциональ хамаарлыг судлах үед цагт = NS 2 үсэг NSболон у -өгөгдсөн хамаарлаар холбогдсон дурын тоо; тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед
NSЭнэ тэгшитгэлийг хангасан дурын тоог илэрхийлнэ (энэ тэгшитгэлийг шийдсэний үр дүнд бид зөвхөн +1 ба -1 гэсэн хоёр боломжит утгууд энэ нөхцөлтэй тохирч байгааг мэдэж байна).
Логикийн үүднээс авч үзвэл хувьсагчийн "өөрчлөлтийн бүс" нь дараахь зүйлээс бүрдэх болно гэсэн айдасгүйгээр математик логикт заншилтай байдаг шиг ийм ерөнхий тэмдгүүдийг хувьсагчийн тэмдэг гэж нэрлэх нь зүй ёсны хэрэг юм. нэг объект эсвэл бүр "хоосон" (жишээлбэл, шийдэлгүй тэгшитгэлийн хувьд). Энэ төрлийн шинж тэмдгүүдийн бусад жишээнүүд нь:
A 2) Геометрийн үсэг бүхий цэг, шулуун, хавтгай болон илүү төвөгтэй геометрийн дүрсүүдийн тэмдэглэгээ.
B 2) Тэмдэглэгээ f,, j функц болон операторын тооцооллын тэмдэглэгээ, нэг үсэг байх үед ЛЖишээ нь, дурын хэлбэрийн операторыг дүрслэх:
"Хувьсагчийн хамаарал" гэсэн тэмдэглэгээ нь тийм ч түгээмэл биш бөгөөд тэдгээрийг зөвхөн математик логикт ашигладаг (харна уу. Логикийн алгебр ) болон харьцангуй хийсвэр, голчлон аксиоматик, математикийн судалгаанд.
Гэрэл .:Кажори., Математик тэмдэглэгээний түүх, v. 1-2, Чи., 1928-29.
" гэдэг үгийн талаархи нийтлэл Математик тэмдгүүд"Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичигт 39767 удаа уншсан
