Параболын тэгшитгэлийн гарал үүсэл. Гурван цэгийн тэгшитгэл: параболын оройг хэрхэн олох, томъёо

III түвшин

3.1. Гипербола шулуун шугамд хүрдэг 5 х – 6y – 16 = 0, 13х – 10y- - 48 = 0. Гиперболын тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

3.2. Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг хий

1) цэгээр дамжин өнгөрөх А(4, 1), Б(5, 2) ба C(5, 6);

2) зэрэгцээ шулуун шугам 10 х – 3y + 9 = 0;

3) перпендикуляр шулуун шугам 10 х – 3y + 9 = 0.

Параболакоординатууд нь тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн байрлал гэж нэрлэгддэг

Параболын параметрүүд:

Оноо Ф(х/ 2, 0) гэж нэрлэдэг анхаарлаа төвлөрүүл парабол, хэмжээ х – параметр , цэг О(0, 0) – оргил ... Түүнээс гадна шулуун OF, парабола тэгш хэмтэй байгаатай холбогдуулан энэ муруйн тэнхлэгийг тодорхойлно.

Тоо хэмжээ хаана М(х, y) Параболагийн дурын цэг гэж нэрлэгддэг фокусын радиус , Чигээрээ Д: х = –х/2 – захирал (энэ нь параболын дотоод мужтай огтлолцохгүй). Тоо хэмжээ параболын хазгай гэж нэрлэдэг.

Параболын үндсэн шинж чанар: параболын бүх цэгүүд нь чиглүүлэлт ба фокусаас ижил зайд байна (Зураг 24).

Координатын систем дэх түүний салбаруудын бусад чиглэлийг тодорхойлдог параболын каноник тэгшитгэлийн өөр хэлбэрүүд байдаг (Зураг 25):

Учир нь параболын параметрийн тодорхойлолт параметр болгон тпараболын цэгийн ординатын утгыг дараах байдлаар авч болно.

хаана т- дурын бодит тоо.

Жишээ 1.Параболын параметр ба хэлбэрийг каноник тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Шийдэл. 1. Тэгшитгэл y 2 = –8хцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно О Үхэр... Түүний салбарууд зүүн тийшээ чиглэнэ. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах y 2 = –2px, бид олдог: 2 х = 8, х = 4, х/ 2 = 2. Тиймээс анхаарал нь цэг дээр байна Ф(–2; 0), директрисын тэгшитгэл Д: х= 2 (зураг 26).

2. Тэгшитгэл х 2 = –4yцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно О(0; 0) тэнхлэгийн тэгш хэмтэй Өө... Түүний мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах х 2 = –2py, бид олдог: 2 х = 4, х = 2, х/ 2 = 1. Үүний үр дүнд анхаарал нь цэг дээр байна Ф(0; –1), директрисын тэгшитгэл Д: y= 1 (зураг 27).

Жишээ 2.Параметр болон муруй хэлбэрийг тодорхойлох х 2 + 8х – 16y- 32 = 0. Зураг зурах.

Шийдэл.Бүтэн квадрат сонгох аргыг ашиглан тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.

х 2 + 8х– 16y – 32 =0;

(х + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(х + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(х + 4) 2 – 16(y + 3).

Үүний үр дүнд бид авдаг

(х + 4) 2 = 16(y + 3).

Энэ нь (–4; –3) цэг дээр оройтой параболын каноник тэгшитгэл, параметр юм. х= 8, салбарууд дээш чиглэсэн (), тэнхлэг х= –4. Анхаарал төвлөрч байгаа зүйл дээр байна Ф(–4; –3 + х/ 2), өөрөөр хэлбэл. Ф(–4; 1) захирал Дтэгшитгэлээр өгөгдсөн y = –3 – х/ 2 эсвэл y= –7 (Зураг 28).

Жишээ 4.Нэг цэг дээрх параболыг оройтой тэнцүүл В(3; –2) цэг дээр анхаарлаа төвлөрүүл Ф(1; –2).

Шийдэл.Энэ параболын орой ба фокус нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг Үхэр(ижил ординатууд), параболын мөчрүүд зүүн тийш чиглэсэн (фокусны абсцисса нь оройн абсциссаас бага), фокусаас орой хүртэлх зай х/2 = 3 – 1 = 2, х= 4. Эндээс шаардлагатай тэгшитгэл

(y+ 2) 2 = –2 · 4 ( х- 3) эсвэл ( y + 2) 2 = = –8(х – 3).

Өөртөө туслах даалгавар

I түвшин

1.1. Параболын параметрүүдийг тодорхойлж, графикийг зур.

1) y 2 = 2х; 2) y 2 = –3х;

3) х 2 = 6y; 4) х 2 = –y.

1.2. Орой нь эхтэй параболын тэгшитгэлийг та мэдэж байгаа бол бичнэ үү.

1) парабола нь зүүн хагас хавтгайд тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй байрладаг Үхэрболон х = 4;

2) парабола нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрладаг Өөмөн цэгээр дамждаг М(4; –2).

3) директорыг 3-р тэгшитгэлээр өгөгдсөн y + 4 = 0.

1.3. Бүх цэгүүд (2; 0) цэг ба шулуун шугамаас ижил зайд байгаа муруйг тэнцүүл х = –2.

II түвшин

2.1. Муруйн төрөл ба параметрүүдийг тодорхойлно.

Магадгүй хүн бүр парабола гэж юу болохыг мэддэг байх. Гэхдээ үүнийг янз бүрийн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн зөв, чадварлаг ашиглах талаар бид доор тайлбарлах болно.

Нэгдүгээрт, бид алгебр, геометрийн энэ нэр томъёонд өгдөг үндсэн ойлголтуудыг тоймлов. Энэ графикийн бүх боломжит төрлүүдийг авч үзье.

Энэ функцын бүх үндсэн шинж чанарыг олж мэдье. Муруй бүтээх (геометрийн) үндсийг ойлгоцгооё. Энэ төрлийн диаграммын дээд болон бусад үндсэн утгыг хэрхэн олохыг сурцгаая.

Бид олж мэдэх болно: тэгшитгэлийн дагуу хүссэн муруйг хэрхэн зөв барих, юуг анхаарах хэрэгтэй. Энэхүү хосгүй үнэт зүйлийн хүний ​​амьдралд хэрэгжих үндсэн хэрэглээг харцгаая.

Парабол гэж юу вэ, энэ нь ямар харагддаг вэ

Алгебр: Энэ нэр томъёо нь квадрат функцийн графикийг хэлнэ.

Геометр: Энэ нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай хоёр дахь эрэмбийн муруй юм.

Каноник параболын тэгшитгэл

Зураг дээр тэгш өнцөгт координатын систем (XOY), экстремум, абсцисса тэнхлэгийн дагуух функцийн зургийн салбаруудын чиглэлийг харуулав.

Каноник тэгшитгэл нь:

y 2 = 2 * p * x,

Энд p коэффициент нь параболын (AF) фокусын параметр юм.

Алгебрийн хувьд үүнийг өөрөөр бичих болно:

y = a x 2 + b x + c (таних загвар: y = x 2).

Квадрат функцийн шинж чанарууд ба график

Функц нь тэгш хэмийн тэнхлэг ба төв (экстремум) байна. Тодорхойлолтын домэйн - абсцисса тэнхлэгийн бүх утгууд.

Функцийн утгын хүрээ - (-∞, M) эсвэл (M, + ∞) нь муруйн салбаруудын чиглэлээс хамаарна. Энд байгаа M параметр нь мөрийн дээд талд байгаа функцийн утгыг илэрхийлнэ.

Параболагийн мөчрүүд хаашаа чиглэж байгааг хэрхэн тодорхойлох вэ

Илэрхийлэлээс ийм төрлийн муруйн чиглэлийг олохын тулд та алгебр илэрхийллийн эхний параметрийн өмнөх тэмдгийг тодорхойлох хэрэгтэй. Хэрэв ˃ 0 байвал тэдгээр нь дээш чиглэсэн байна. Хэрэв эсрэгээрээ - доош.

Параболын оройг томъёогоор хэрхэн олох вэ

Экстремумыг олох нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэх гол алхам юм. Мэдээжийн хэрэг, та тусгай онлайн тооны машинуудыг нээж болно, гэхдээ үүнийг өөрөө хийх боломжтой байх нь дээр.

Та үүнийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Тусгай жор байдаг. b нь 0-тэй тэнцүү биш үед та энэ цэгийн координатыг хайх хэрэгтэй.

Орой олох томъёо:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Жишээ.

y = 4 * x 2 + 16 * x - 25 функц байна. Энэ функцийн оройг олъё.

Ийм шугамын хувьд:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Бид оройн координатыг (-2, -41) авна.

Парабола офсет

Сонгодог тохиолдол, y = a x 2 + b x + c квадрат функцэд хоёр ба гурав дахь параметрүүд нь 0-тэй тэнцүү байх ба = 1 - орой нь (0; 0) цэг дээр байна.

Абсцисса буюу ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн нь b ба c параметрийн өөрчлөлтөөс шалтгаална.Хавтгай дээрх шугамыг шилжүүлэх нь параметрийн утгатай тэнцүү нэгжийн яг тоогоор хийгдэнэ.

Жишээ.

Бидэнд: b = 2, c = 3 байна.

Энэ нь муруйн сонгодог хэлбэр нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу 2 нэгж сегментээр, ордны тэнхлэгийн дагуу 3 нэгжээр шилжинэ гэсэн үг юм.

Квадрат тэгшитгэл ашиглан параболыг хэрхэн бүтээх вэ

Сургуулийн хүүхдүүдэд өгөгдсөн параметрийн дагуу параболыг хэрхэн зөв зурж сурах нь чухал юм.

Илэрхийлэл, тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийснээр та дараахь зүйлийг харж болно.

1. Ординат вектортой хайж буй шугамын огтлолцох цэг нь c-тэй тэнцүү утгатай байна.
2. Графикийн бүх цэгүүд (абсциссагийн дагуу) функцийн үндсэн экстремумтай тэгш хэмтэй байна.

Нэмж дурдахад OX-тэй огтлолцох цэгүүдийг ийм функцийн ялгаварлагчийг (D) мэдэж болно.

D = (b 2 - 4 * a * c).

Үүнийг хийхийн тулд та илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй.

Параболагийн үндэс байгаа эсэх нь үр дүнгээс хамаарна.

• D ˃ 0, дараа нь x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0, дараа нь x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, тэгвэл OX вектортой огтлолцох цэг байхгүй болно.

Бид параболыг бүтээх алгоритмыг олж авдаг.

• салбаруудын чиглэлийг тодорхойлох;
• оройн координатыг олох;
• у тэнхлэгтэй огтлолцох газрыг олох;
• абсциссатай огтлолцох цэгийг ол.

Жишээ 1.

y = x 2 - 5 * x + 4 функц өгөгдсөн. Парабол байгуулах шаардлагатай. Бид алгоритмын дагуу ажилладаг:

1. a = 1, тиймээс салбарууд дээшээ чиглэсэн;
2. экстремум координат: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. y = 4 утгаараа у тэнхлэгтэй огтлолцдог;
4. ялгагчийг ол: D = 25 - 16 = 9;
5. үндэс хайж байна:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (арав).

Жишээ 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 функцийн хувьд та параболыг бүтээх хэрэгтэй. Бид өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажилладаг.

1. a = 3, тиймээс салбарууд дээшээ чиглэсэн;
2. экстремум координат: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y = -1 утгаараа у тэнхлэгтэй огтлолцох болно;
4. ялгаварлагчийг ол: D = 4 + 12 = 16. Тэгэхээр үндэс нь:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Хүлээн авсан цэгүүдээс та параболыг барьж болно.

Захирал, хачирхалтай байдал, параболын төвлөрөл

Каноник тэгшитгэл дээр үндэслэн F фокус нь координаттай (p / 2, 0).

Шулуун AB нь директрикс (тодорхой урттай параболын нэг төрлийн хөвч) юм. Түүний тэгшитгэл: x = -p / 2.

Хачирхалтай байдал (тогтмол) = 1.

Дүгнэлт

Бид сурагчдын дунд сургуульд сурдаг сэдвийг авч үзсэн. Одоо та параболын квадрат функцийг хараад түүний оройг хэрхэн олох, мөчрүүд нь аль чиглэлд чиглэх, тэнхлэгийн дагуу шилжилт байгаа эсэх, графикийн алгоритмтай бол та түүний графикийг зурж болно.

Парабол гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байгаа хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм(анхаарлаа төвлөрүүл)мөн өгөгдсөн цэгээр дамждаггүй өгөгдсөн шулуун шугамаас (дарга нар)нэг хавтгайд байрладаг(зураг 5).

Энэ тохиолдолд координатын системийг тэнхлэгтэй байхаар сонгоно
фокусаар дамжих чиглүүрт перпендикуляр дамжих ба түүний эерэг чиглэлийг фокус руу чиглүүлэх чиглэлээс сонгоно. Ординатын тэнхлэг нь чиглүүлэлттэй параллель гүйдэг, директриц ба фокусын дунд байрладаг ба эндээс директорын тэгшитгэл үүсдэг.
, фокусын координат
... Гарал үүсэл нь параболын орой, абсцисса нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Параболагийн хазгай байдал
.

Зарим тохиолдолд параболыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн гэж үздэг

а)

б)
(бүх тохиолдолд
)

v)
.

a) тохиолдолд парабол тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
ба түүний сөрөг тал руу чиглэсэн байна (Зураг 6).

b) ба c) тохиолдолд тэгш хэмийн тэнхлэг нь тэнхлэг юм
(зураг 6). Эдгээр тохиолдлуудад фокусын координатууд:

а)
б)
v)
.

Directrix тэгшитгэл:

а)
б)
v)
.

Жишээ 4.Гарал үүсэл нь оройтой парабола нэг цэгээр дамжин өнгөрдөг
ба тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна
... Түүний тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл:

Парабола нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул
мөн цэгээр дамждаг эерэг абсциссатай бол 5-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна.

Цэгийн координатыг орлуулах ийм параболын тэгшитгэлд оруулав
, бид авдаг
, өөрөөр хэлбэл
.

Тиймээс шаардлагатай тэгшитгэл

,

Энэ параболын төвлөрөл
, директрисын тэгшитгэл
.

4. Хоёрдугаар эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт шилжүүлэх.

Хоёрдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

коэффициентүүд хаана байна
нэгэн зэрэг алга болохгүй.

(6) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон аливаа шугамыг хоёрдугаар эрэмбийн шугам гэнэ. Координатын системийг өөрчилснөөр хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн (каноник) хэлбэрт оруулж болно.

1. Тэгшитгэлд (6)
... Энэ тохиолдолд (6) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Томъёоны дагуу координатын тэнхлэгүүдийн зэрэгцээ орчуулгыг ашиглан хамгийн энгийн хэлбэрт шилжүүлдэг

(8)

хаана
- шинэ эхлэлийн координатууд
(хуучин координатын системд). Шинэ тэнхлэгүүд
болон
хуучинтай зэрэгцээ байна. Оноо
нь эллипс эсвэл гиперболын төв ба параболын хувьд орой юм.

(7) тэгшитгэлийг тойрогт хийсэнтэй адил төгс квадратуудыг сонгох аргаар хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах нь тохиромжтой.

Жишээ 5.Хоёрдахь эрэмбийн шулууны тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Энэ шугамын төрөл, байршлыг тодорхойл. Фокусуудын координатыг ол. Зураг зурах.

Шийдэл:

Зөвхөн агуулсан гишүүдийг бүлэглэх гэхдээ зөвхөн , коэффициентүүдийг гаргаж авах болон хаалтны гадна:

Бид квадратуудыг дуусгахын тулд хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийг нэмж оруулав.

Тиймээс энэ тэгшитгэл нь хэлбэрт шилждэг

Бид тэмдэглэж байна

эсвэл

(8) тэгшитгэлтэй харьцуулбал эдгээр томьёо нь координатын тэнхлэгүүдийн цэг рүү параллель хөрвүүлэлтийг тодорхойлж байгааг бид харж байна.
... Шинэ координатын системд тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Чөлөөт нэр томъёог баруун тийш шилжүүлж, түүнд хуваахад бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Тэгэхээр энэ хоёр дахь эрэмбийн шугам нь хагас тэнхлэгтэй эллипс юм
,
... Зуувангийн төв нь шинэ эхлэл дээр байна
, түүний фокусын тэнхлэг нь тэнхлэг юм
... Төвөөс хол зайд анхаарлаа төвлөрүүлснээр зөв фокусын шинэ координатууд
... Ижил фокусын хуучин координатуудыг зэрэгцээ шилжүүлгийн томъёоноос олж болно.

Үүнтэй адилаар зүүн талын шинэ координатууд анхаарал хандуулдаг
,
... Түүний хуучин координатууд:
,
.

Энэ эллипсийг зурахын тулд бид хуучин болон шинэ координатын тэнхлэгүүдийг зурган дээр зурдаг. Цэгийн хоёр талд тэнхлэгийн дагуу хойшлуулсан урт , мөн тэнхлэгийн дагуу - урт ; ингэснээр эллипсийн оройг олж авахдаа эллипсийг өөрөө зурна (Зураг 7).

Сэтгэгдэл... Зургийг боловсронгуй болгохын тулд энэ шугамын (7) хуучин координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох нь ашигтай байдаг. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд (7) томъёог оруулах ёстой.
, Тэгээд
ба үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Нарийн төвөгтэй үндэс гарч ирэх нь шугам (7) нь харгалзах координатын тэнхлэгийг огтолдоггүй гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, дөнгөж дүн шинжилгээ хийсэн асуудлын эллипсийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг олж авна.

Эдгээр тэгшитгэлийн хоёр дахь нь нийлмэл үндэстэй тул эллипсийн тэнхлэг
гатлахгүй. Эхний тэгшитгэлийн үндэс:

Цэгүүд дээр
болон
эллипс тэнхлэгийг огтолно
(зураг 7).

Жишээ 6.Хоёрдахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Шугамын төрөл, байршлыг тодорхойлж, фокусын координатыг ол.

Шийдэл:

-тэй гишүүнээс хойш байхгүй бол зөвхөн бүрэн квадратыг сонгох шаардлагатай :

Бид мөн коэффициентийг гаргаж авдаг

.

Бид тэмдэглэж байна

эсвэл

Тиймээс координатын системийг цэг рүү параллель шилжүүлэх
... Шилжүүлсний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

.

Үүнээс үзэхэд энэ шугам нь парабол (Зураг 8), цэг юм түүний оргил юм. Парабола нь тэнхлэгийн сөрөг тал руу чиглэнэ бөгөөд энэ тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Тоо хэмжээ Учир нь энэ нь тэнцүү юм.

Тиймээс фокус нь шинэ координатуудтай болсон

.

Түүний хуучин координатууд

Хэрэв бид энэ тэгшитгэлд оруулбал
эсвэл
, дараа нь бид парабол тэнхлэгийг огтолж байгааг олж мэднэ
цэг дээр
ба тэнхлэг
гатлахгүй.

2. Тэгшитгэлд (1)
... Хоёрдахь зэргийн ерөнхий тэгшитгэл (1) нь (2) хэлбэрт шилжсэн, өөрөөр хэлбэл. 1-р зүйлд заасан зүйлд. тохиолдолд координатын тэнхлэгүүдийг өнцгөөр эргүүлэх замаар
томъёогоор

(9)

хаана
- шинэ координатууд. Тарилга
тэгшитгэлээс олно

Координатын тэнхлэгүүдийг эргүүлж, шинэ тэнхлэгүүд
болон
2-р эрэмбийн шугамын тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель байв.

Мэдэх
, олж болно
болон
тригонометрийн томъёогоор

,
.

Хэрэв эргэлтийн өнцөг
цочмог гэж үзэхийг зөвшөөрвөл эдгээр томъёонд нэмэх тэмдгийг авах шаардлагатай
мөн (5) тэгшитгэлийн эерэг шийдийг авах шаардлагатай.

Ялангуяа, төлөө
координатын системийг өнцгөөр эргүүлэх шаардлагатай
... Өнцөгөөр эргүүлэх томъёо нь дараах байдалтай байна.

(11)

Жишээ 7.Хоёрдахь эрэмбийн шулууны тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул. Энэ шугамын төрөл, байршлыг тохируулна уу.

Шийдэл:

Энэ тохиолдолд
, 1
,
, тэгэхээр эргэлтийн өнцөг
тэгшитгэлээс олно

.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл
болон
... Хурц өнцөгт хязгаарлагдсан
, бид тэдгээрийн эхнийхийг нь авдаг. Дараа нь

,

,
.

Эдгээр утгыг орлуулах болон энэ тэгшитгэлд

Хашилтыг өргөжүүлж, ижил төстэй зүйлийг иш татвал бид олж авна

.

Эцэст нь чөлөөт гишүүнээр хуваахад бид эллипсийн тэгшитгэлд хүрнэ

.

Тиймээс үүнийг дагадаг
,
, мөн эллипсийн гол тэнхлэг нь тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ
, мөн жижиг - тэнхлэгийн дагуу
.

Энэ нь цэг болж хувирах болно
радиус нь хэнийх вэ
тэнхлэг рүү хазайсан
өнцгөөр
, Үүний төлөө
... Тиймээс, энэ цэгээр дамжуулан
мөн шинэ абсцисса тэнхлэг өнгөрөх болно. Дараа нь бид тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ
болон
зуувангийн оройнууд ба эллипсийг зур (Зураг 9).

Энэ эллипс нь квадрат тэгшитгэлээс олдсон цэгүүдэд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг огтолж байгааг анхаарна уу (хэрэв бид энэ тэгшитгэлд оруулбал).
эсвэл
):

болон
.

Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 1.

Лекц 17. Парабола.

Бүлэг 17. Парабола.

зүйл 1. Үндсэн тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт. Параболыг хавтгайн фокус гэж нэрлэгддэг нэг тогтмол цэгээс ижил зайд байрлах HMT хавтгай, директрикс гэж нэрлэгддэг нэг тогтмол шулуун шугам гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Хавтгайн дурын М цэгээс параболын фокус хүртэлх зайг М цэгийн фокусын радиус гэнэ.

Тэмдэглэгээ: F нь параболын фокус, r нь M цэгийн фокусын радиус, d нь M цэгээс D чиглэл хүртэлх зай юм.

Параболын тодорхойлолтоор бол М цэг нь параболын цэг юм
.

Параболын тодорхойлолтоор түүний фокус ба чиглүүлэлт нь тогтмол объектууд тул фокусаас директрикс хүртэлх зай нь өгөгдсөн параболын тогтмол утга юм.

Тодорхойлолт. Параболын фокусаас түүний чиглүүлэлт хүртэлх зайг параболын фокусын параметр гэж нэрлэдэг.

Зориулалт:
.

Параболагийн хувьд каноник гэж нэрлэх координатын системийг энэ хавтгайд оруулцгаая.

Тодорхойлолт. Директрикстэй перпендикуляр параболын фокусын дундуур татсан тэнхлэгийг параболын фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Параболын хувьд каноник PDSC байгуулъя, 2-р зургийг үз.

Абсцисса тэнхлэгийн хувьд бид фокусын тэнхлэгийг сонгож, чиглүүлэгчээс фокус руу чиглэсэн чиглэлийг сонгоно.

Ординатын тэнхлэгийг фокусын тэнхлэгт перпендикуляр FN сегментийн дундуур зурна. Дараа нь фокус нь координаттай болно
.

зүйл 2. Каноник параболын тэгшитгэл.

Теорем. Параболагийн каноник координатын системд параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (1)

Баталгаа. Бид хоёр үе шаттайгаар нотлох ажлыг гүйцэтгэдэг. Эхний шатанд бид парабол дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд (1) тэгшитгэлийг хангаж байгааг батлах болно. Хоёр дахь шатанд бид (1) тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь парабол дээр байрлах цэгийн координатыг өгдөг болохыг батлах болно. Эндээс (1) тэгшитгэлийг парабол дээр байрлах координатын хавтгайн зөвхөн тэдгээр цэгүүдийн координатууд хангана.

Үүнээс болон муруйн тэгшитгэлийн тодорхойлолтоос харахад тэгшитгэл (1) нь параболын тэгшитгэл болно.

1) M (x, y) цэгийг параболын цэг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл,

.

Бид координатын хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан өгөгдсөн M цэгийн фокусын радиусыг дараах томъёогоор олно.

.

Зураг 2-оос харахад параболын цэг нь сөрөг абсциссатай байж болохгүй гэдгийг бид харж байна энэ тохиолдолд
... Тийм ч учраас
болон
... Тиймээс бид тэгш байдлыг олж авдаг

.

Тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгоё:

мөн бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

.

2) Одоо (x, y) хос тоо (1) тэгшитгэлийг хангаж, M (x, y) нь Oxy координатын хавтгай дээрх харгалзах цэг байг.

Дараа нь бид M цэгийн фокусын радиусын илэрхийлэлд тэгш байдлыг (1) орлуулна.

, эндээс параболын тодорхойлолтоор M (x, y) цэг парабол дээр оршдог.

Энд бид тэгш байдал (1) нь үүнийг илэрхийлж байгааг ашигласан
Тиймээс
.

Теорем батлагдсан.

Тодорхойлолт. (1) тэгшитгэлийг параболын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Параболын каноник координатын системийн эхийг параболын орой гэж нэрлэдэг.

х 3. Параболагийн шинж чанарууд.

Теорем. (Параболын шинж чанарууд.)

1. Параболын каноник координатын системд туузан дотор

параболын цэгүүд байхгүй.

2. Параболын каноник координатын системд параболын орой О (0; 0) парабол дээр байрладаг.

3. Фокусын тэнхлэгт тэгш хэмтэй муруйг парабола гэнэ.

Баталгаа. 1, 2) Параболагийн каноник тэгшитгэлээс шууд гарч ирнэ.

3) M (x, y) нь параболын дурын цэг байг. Дараа нь түүний координатууд (1) тэгшитгэлийг хангана. Харин дараа нь цэгийн координатууд
(1) тэгшитгэлийг хангана, тиймээс энэ цэг нь мөн параболын цэг бөгөөд үүнээс теоремийн баталгаа үүснэ.

Теорем батлагдсан.

зүйл 4. Парабол барих.

Тэгш хэмийн улмаас эхний улиралд параболыг байгуулахад хангалттай бөгөөд энэ нь функцийн график юм.

,

дараа нь үүссэн графикийг абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуулна.

Энэ функц нь интервалаар нэмэгдэж байгааг харгалзан бид энэ функцийн графикийг бүтээдэг
.

хуудас 5. Гиперболын фокусын параметр.

Теорем. Параболын фокусын параметр нь параболатай огтлолцохоос өмнө параболын фокус дээр сэргээгдсэн тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикулярын урттай тэнцүү байна.

Баталгаа. Гол цэгээс хойш
параболын огтлолцол юм
перпендикуляртай
(3-р зургийг үз), дараа нь түүний координатууд параболын тэгшитгэлийг хангана:

.

Эндээс бид олдог
, эндээс теоремын баталгаа үүснэ.

Теорем батлагдсан.

хуудас 6. Эллипс, гипербол, параболын нэгдсэн тодорхойлолт.

Зууван ба гиперболын батлагдсан шинж чанар, параболын тодорхойлолтыг ашиглан бид бүх гурван муруйд нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч чадна.

Тодорхойлолт. Фокус гэж нэрлэгддэг онгоцны нэг тогтмол цэг хүртэлх зайг чиглүүлэлт гэж нэрлэгддэг нэг тогтмол шулуун шугам хүртэлх зайд харьцуулсан харьцааг тогтмол утга гэж нэрлэдэг GMT онгоцуудыг:

a) хэрэв энэ тогтмол нь 1-ээс бага бол эллипс;

b) хэрэв энэ тогтмол нь 1-ээс их бол гипербол;

в) энэ тогтмол нь 1-тэй тэнцүү бол парабол.

Тодорхойлолтод дурдсан энэ тогтмолыг эксцентрисит гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ , энэ цэгээс фокус хүртэлх зай нь түүний фокусын радиус r, энэ цэгээс чиглүүлэлт хүртэлх зайг d-ээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолтоос харахад онгоцны эдгээр цэгүүд нь харьцаатай байдаг нь эллипс, гипербол эсвэл параболын хэлбэрийн тогтмол утга бөгөөд энэ харьцааны утгаас хамаарна.

Хэрэв
, тэгвэл бид зууван хэлбэртэй байвал авна
, тэгвэл бид хэрэв гиперболыг авна
, дараа нь бид параболыг авна.

хуудас 7. Параболатай шүргэгч.

Теорем. Байцгаая
- параболын дурын цэг

.

Дараа нь энэ параболын шүргэгчийн тэгшитгэл

цэг дээр
харагдаж байна:

. (2)

Баталгаа. Шүргэх цэг нь эхний улиралд оршдог тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай. Дараа нь параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

мөн үүнийг функцийн график гэж үзэж болно
.

Бид функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг ашигладаг
цэг дээр
:

хаана
- цэг дээрх энэ функцийн деривативын утга
.

Функцийн деривативыг ол
ба шүргэлтийн цэг дэх түүний үнэ цэнэ:

,
.

Энд бид мэдрэгчтэй цэгийг ашигласан
нь параболын цэг тул координатууд нь параболын тэгшитгэлийг хангадаг, өөрөөр хэлбэл.

.

Деривативын олсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулна.

,

бид хаанаас авдаг:

.

Гол цэгээс хойш
параболад хамаарах бол координатууд нь түүний тэгшитгэлийг хангана, өөрөөр хэлбэл.
, бид хаанаас авдаг

эсвэл
.

энэ нь гэсэн үг

.

Теорем батлагдсан.

х.8. Параболагийн толин тусгал шинж чанар.

Теорем. Параболын шүргэгч нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг ба шүргэгч цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг.

Баталгаа. Байцгаая
- хүрэх цэг, Энэ нь түүний фокусын радиус юм. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг N гэж тэмдэглэе. N цэгийн ординат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд N цэг нь шүргэгч дээр байрладаг тул координатууд нь шүргэгчийн тэгшитгэлийг хангаж байна. N цэгийн координатыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

эндээс N цэгийн абсцисса тэнцүү байна
.

Гурвалжинг авч үзье
... Энэ нь хоёр өнцөгт гэдгийг баталцгаая.

Үнэхээр,
... Энд бид параболын каноник тэгшитгэлийг гаргахдаа олж авсан тэгшитгэлийг ашигласан.

.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна. Эндээс

, гэх мэт.

Теорем батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Батлагдсан теоремыг параболын толин тусгал шинж чанар болгон томъёолж болно.

Параболын фокусаас ялгарах гэрлийн туяа нь параболын толинд туссаны дараа параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй зэрэгцэн явна.

Үнэн хэрэгтээ, шүргэгч дээрх туяа тусах өнцөг нь түүнээс тусах өнцөгтэй тэнцүү тул шүргэгч ба ойсон цацрагийн хоорондох өнцөг нь шүргэгч ба абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. туссан туяа нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна.

Сэтгэгдэл. Параболагийн энэ шинж чанарыг технологид өргөн ашигладаг. Хэрэв параболыг тэгш хэмийн тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл бид эргэлтийн параболоид гэж нэрлэгддэг гадаргуутай болно. Хэрэв та хувьсгалын параболоид хэлбэрээр тусгах гадаргууг хийж, гэрлийн эх үүсвэрийг фокус дээр байрлуулбал ойсон туяа параболоидын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель явна. Прожектор болон машины гэрэл ингэж ажилладаг. Гэсэн хэдий ч цахилгаан соронзон хэлбэлзлийг (долгион) хүлээн авах төхөөрөмжийг фокусын төвд байрлуулсан бол тэдгээр нь параболоидын гадаргуугаас тусгагдсан бөгөөд энэ хүлээн авагч төхөөрөмжид унадаг. Хиймэл дагуулын антеннууд ингэж ажилладаг.

Эрт дээр үед нэгэн генерал цэргүүдээ далайн эрэг дагуу жагсааж, парабола хэлбэртэй болгож байсан гэсэн домог байдаг. Дайчдын бамбайгаас туссан нарны гэрэл гялалзтал өнгөлж, цацрагт цугларав (барьсан параболын анхаарлын төвд). Ийнхүү дайсны хөлөг онгоцнууд шатжээ. Зарим эх сурвалж үүнийг Архимедтэй холбон тайлбарладаг. Ямар нэгэн байдлаар, гэхдээ арабууд хувьсгалын параболоидыг "шатдаг толь" гэж нэрлэдэг байв.

Дашрамд хэлэхэд "фокус" гэдэг үг нь латин хэл бөгөөд орчуулгад гал, голомт гэсэн утгатай. "Шатаагч толь"-ын тусламжтайгаар та нартай өдөр гал асааж, ус буцалгаж болно. Тэгэхээр энэ нэр томъёоны гарал үүсэл тодорхой болно.

"Мэх" гэдэг үг нь бас ямар нэгэн заль мэх, заль мэх гэсэн утгатай. Өмнө нь циркийг лангуу гэж нэрлэдэг байсан. Тиймээс, фарс уран бүтээлчид хүртэл эллипсийн толин тусгалын шинж чанарыг ашиглаж, эллипсийн нэг фокусын гэрлийг гэрэлтүүлж, нөгөө хэсэгт нь шатамхай зүйлийг асаадаг байв. Энэ үзвэрийг мөн фокус гэж нэрлэх болсон. (Н.Я.Виленкиний "Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард" хэмээх гайхалтай номыг уншина уу)

9-р зүйл. Эллипс, гипербол, параболын туйлын тэгшитгэл.

Хавтгай дээр бидний фокус гэж нэрлэх F цэг, директрикс гэж нэрлэх D шугамыг өгье. Фокусын дундуур чиглүүлэх (фокусын тэнхлэг) перпендикуляр шулуун шугамыг зурж, туйлын координатын системийг нэвтрүүлье. Бид туйлыг фокус дээр байрлуулж, туйлын туяа болгон бид шулуун шугамын шулуун шугамыг огтолдоггүй хэсгийг авдаг (5-р зургийг үз).

М цэгийг эллипс, гипербол эсвэл парабол дээр хэвтүүлнэ. Дараах зүйлд бид zlips гипербола эсвэл зүгээр л муруй парабола гэж нэрлэх болно.

Теорем. Байцгаая
- муруйн цэгийн туйлын координат (эллипс, гипербол эсвэл парабол). Дараа нь

, (3)

Энд p нь муруйн фокусын параметр, Энэ нь муруйн хазайлт (параболын хувьд бид таамаглаж байна
).

Баталгаа. М цэгийн муруйн фокусын тэнхлэг дээрх проекцийг Q гэж үзье, B - муруйн чиглүүлэлт рүү. Туйлын өнцгийг үзье М цэг нь 5-р зурагт үзүүлсэн шиг мохоо. Дараа нь

,

хаана, барилга байгууламжаар,
М цэгээс чиглүүлэлт хүртэлх зай, ба

. (4)

Нөгөө талаас эллипс, гипербол, параболын нэгдсэн тодорхойлолтын дагуу харьцаа

(5)

нь энэ муруйн аль ч М цэгийн харгалзах муруйн хазайлттай тэнцүү байна. Гол нь байя
- фокусын тэнхлэгт перпендикуляртай муруйн огтлолцох цэг, фокус дээр сэргээгдсэн ба A - түүний чиглүүлэлт рүү чиглэсэн проекц. Дараа нь

, хаана
... Гэхдээ
, хаана

мөн тэгш байдлыг (4) орлуулж бид олж авна

эсвэл тэгш байдлыг харгалзан (5),

Эндээс батлагдсан тэгш байдал (3) гарч ирнэ.

Туйлтын өнцөг үүссэн тохиолдолд тэгш байдал (4) хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу М цэг нь хурц, учир нь энэ тохиолдолд Q цэг нь F ба фокусын баруун талд байна

Теорем батлагдсан.

Тодорхойлолт. (3) тэгшитгэлийг эллипс, гипербол, параболын туйлын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Парабола гэдэг нь өгөгдсөн F цэг ба өгөгдсөн d шулуун шугамаас ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн байрлал бөгөөд өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрдөггүй. Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг лавлах параболын шинж чанар.

Параболагийн лавлах шинж чанар

F цэгийг параболын фокус гэж нэрлэдэг, d шугам нь параболын чиглүүлэгч, фокусаас директрис руу унасан перпендикулярын дунд О нь параболын орой, фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх p зай юм. параболын параметр ба параболын оройноос түүний фокус хүртэлх зай \ frac (p) (2) - фокусын урт (Зураг 3.45, а). Директрикстэй перпендикуляр, фокусыг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг параболын тэнхлэг (параболын фокусын тэнхлэг) гэж нэрлэдэг. Параболын дурын М цэгийг фокустай нь холбосон FM сегментийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Параболын хоёр цэгийг холбосон хэрчмийг параболын хөвч гэж нэрлэдэг.

Параболын дурын цэгийн хувьд фокусын зай ба чиглүүлэлт хүртэлх зайны харьцаа нэгтэй тэнцүү байна. Лавлах шинж чанарууд ба параболуудыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг дүгнэж байна параболын хазгай байдалтодорхойлолтоор нэгтэй тэнцүү (e = 1).

Параболагийн геометрийн тодорхойлолт, түүний лавлах шинж чанарыг илэрхийлдэг нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - параболын каноник тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугам:

Үнэхээр бид тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж байна (Зураг 3.45, b). Параболын О оройг координатын системийн эхлэл болгон авсан; фокус руу перпендикуляр дамждаг шулуун шугамыг абсцисса тэнхлэг болгон авна (о цэгээс F цэг хүртэлх эерэг чиглэл); абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр ба параболын оройг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг ординатын тэнхлэг болгон авна (ординатын тэнхлэг дээрх чиглэлийг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байхаар сонгосон).

Параболын лавлах шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан параболын тэгшитгэлийг байгуулъя. Сонгосон координатын системд фокусын координатыг тодорхойлно F \! \ Зүүн (\ frac (p) (2); \, 0 \ баруун)мөн x = - \ frac (p) (2) директрисын тэгшитгэл. Параболд хамаарах дурын M (x, y) цэгийн хувьд бид:

FM = MM_d,

хаана M_d \! \ Зүүн (\ frac (p) (2); \, y \ баруун) M (x, y) цэгийн директрикс дээрх ортогональ проекц юм. Бид энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичнэ.

\ sqrt ((\ зүүн (x- \ frac (p) (2) \ баруун) \^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно: (\ зүүн (x- \ frac (p) (2) \ баруун) \^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}... Ижил төстэй нэр томъёог багасгаснаар бид олж авдаг каноник параболын тэгшитгэл

y ^ 2 = 2 \ cdot p \ cdot x,тэдгээр. Сонгосон координатын систем нь каноник байна.

Үндэслэлийг урвуу дарааллаар хийснээр координат нь тэгшитгэл (3.51)-ийг хангасан бүх цэгүүд, зөвхөн тэдгээр нь парабол гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Тиймээс параболын аналитик тодорхойлолт нь параболын лавлах шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой тэнцүү байна.

Туйлын координатын систем дэх параболын тэгшитгэл

Fr \ varphi туйлын координатын систем дэх параболын тэгшитгэл (Зураг 3.45, в) хэлбэртэй байна.

r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),Энд p нь параболын параметр, e = 1 нь түүний хазайлт юм.

Үнэн хэрэгтээ туйлын координатын системийн туйлын хувьд бид параболын F фокусыг, туйлын тэнхлэгийн хувьд F цэг дээрх гарал үүсэлтэй, директрикстэй перпендикуляр, түүнийг огтолдоггүй цацрагийг сонгоно (Зураг 3.45, в). ). Дараа нь параболад хамаарах дурын M цэгийн хувьд (r, \ varphi) параболын геометрийн тодорхойлолтын (сангийн шинж чанар) дагуу бид MM_d = r байна. Үүний хэрээр MM_d = p + r \ cos \ varphi, бид координат хэлбэрээр параболын тэгшитгэлийг олж авна.

p + r \ cdot \ cos \ varphi \ дөрвөлжин \ Зүүн баруун тийш \ дөрвөлжин r = \ frac (p) (1- \ cos \ varphi),

Q.E.D. Туйлын координатуудад эллипс, гипербол ба параболын тэгшитгэлүүд давхцаж байгааг анхаарна уу, гэхдээ тэдгээр нь хазайлтаар ялгаатай тул өөр өөр шугамуудыг дүрсэлнэ үү (0 \ leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 төлөө).

Параболын тэгшитгэл дэх параметрийн геометрийн утга

Бид тайлбарлая параметрийн геометрийн утгапараболын каноник тэгшитгэлд p. (3.51) тэгшитгэлд x = \ frac (p) (2) -ийг орлуулснаар бид y ^ 2 = p ^ 2, i.e. y = \ pm p. Иймд p параметр нь параболын тэнхлэгт перпендикуляр фокусаар дамжин өнгөрөх параболын хөвчний хагасын урт юм.

Параболын фокусын параметр, түүнчлэн эллипс ба гиперболын хувьд фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусыг дамжин өнгөрөх хөвчний хагас урт гэж нэрлэдэг (Зураг 3.45, в-ийг үз). Цагийн туйлын координат дахь параболын тэгшитгэлээс \ varphi = \ frac (\ pi) (2)бид r = p-г авна, өөрөөр хэлбэл. параболын параметр нь түүний фокусын параметртэй давхцаж байна.

Тайлбар 3.11.

1. Параболын p параметр нь түүний хэлбэрийг тодорхойлдог. P нь том байх тусам параболын мөчрүүд илүү өргөн, p нь тэг рүү ойртох тусам параболын мөчрүүд нарийсдаг (Зураг 3.46).

2. y ^ 2 = -2px (p> 0-ийн хувьд) тэгшитгэл нь ординатын тэнхлэгийн зүүн талд байрлах параболыг тодорхойлдог (Зураг 3.47, а). Энэ тэгшитгэлийг абсцисса тэнхлэгийн чиглэлийг өөрчилснөөр каноник болж буурна (3.37). Зураг дээр. 3.47, a нь өгөгдсөн координатын систем Oxy ба каноник Ox "y"-ийг харуулав.

3. Тэгшитгэл (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0О "(x_0, y_0) оройтой параболыг тодорхойлж, тэнхлэг нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 3.47.6). Энэ тэгшитгэлийг зэрэгцээ орчуулгын тусламжтайгаар каноник болгон бууруулсан (3.36).

тэгшитгэл (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, мөн О "(x_0, y_0) оройтой параболыг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэг нь ординатын тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 3.47, в). Энэ тэгшитгэлийг зэрэгцээ орчуулга (3.36) болон нэрийг өөрчлөх аргыг ашиглан каноник болгон бууруулсан. координатын тэнхлэгүүд (3.38).3.47, b, c, өгөгдсөн координатын систем Oxy ба каноник координатын систем Ox "y"-г үзүүлэв.

4. y = ax ^ 2 + bx + c, ~ a \ ne0цэг дээр оройтой парабола юм O "\! \ Зүүн (- \ frac (b) (2a); \, - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ баруун), тэнхлэг нь ординатын тэнхлэгтэй параболын салбарууд дээш (a> 0-ийн хувьд) эсвэл доош (а хувьд) чиглэсэн байна.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

у = a \ зүүн (x + \ frac (b) (2a) \ баруун) ^ 2- \ frac (b ^ 2) (4a) + c \ дөрвөлжин \ Зүүн баруун сум \ дөрвөлжин \! \ зүүн (x + \ frac ( б) (2a) \ баруун) ^ 2 = \ frac (1) (а) \ зүүн (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ баруун) \ !,

Энэ нь каноник хэлбэр (y ") ^ 2 = 2px" болгон бууруулсан байна, энд p = \ зүүн | \ frac (1) (2a) \ баруун |, солих замаар y "= x + \ frac (b) (2a)болон x "= \ pm \! \ зүүн (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ баруун).

Тэмдгийг тэргүүлэх коэффициент a-ийн тэмдэгтэй давхцахаар сонгосон. Энэ орлуулалт нь найрлагатай тохирч байна: зэрэгцээ шилжүүлэг (3.36). x_0 = - \ frac (b) (2a)болон y_0 = - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a), координатын тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчлөх (3.38), тохиолдолд a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ба а<0 соответственно.

5. Каноник координатын системийн абсцисса тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг y хувьсагчийг -y болгон өөрчлөхөд (3.51) тэгшитгэл өөрчлөгдөхгүй. Өөрөөр хэлбэл, параболд хамаарах М (х, у) цэгийн координат ба абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M "(x, -y) цэгийн координатууд (3) тэгшитгэлийг хангана. S1).каноник координатын системийн тэнхлэгүүдийг нэрлэнэ параболын үндсэн тэнхлэгүүд.

Жишээ 3.22. y ^ 2 = 2x параболыг каноник координатын Oxy системд зур. Фокусын параметр, фокусын координат, директрисын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид абсцисса тэнхлэгийн тэгш хэмийг харгалзан параболыг бүтээдэг (Зураг 3.49). Шаардлагатай бол бид параболын зарим цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, параболын тэгшитгэлд x = 2-ыг орлуулснаар бид олж авна y ^ 2 = 4 ~ \ Зүүн баруун сум ~ y = \ pm2... Тиймээс (2; 2), \, (2; -2) координаттай цэгүүд параболд хамаарна.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийг канониктай (3.S1) харьцуулж бид фокусын параметрийг тодорхойлно: p = 1. Фокусын координатууд x_F = \ frac (p) (2) = \ frac (1) (2), ~ y_F = 0, өөрөөр хэлбэл F \! \ Зүүн (\ frac (1) (2), \, 0 \ баруун)... Бид x = - \ frac (p) (2) директрисын тэгшитгэлийг байгуулна, i.e. x = - \ frac (1) (2).

Эллипс, гипербол, параболын ерөнхий шинж чанарууд

1. Лавлах өмчийг эллипс, гипербол, параболын нэг тодорхойлолт болгон ашиглаж болно (3.50-р зургийг үз): Хавтгайн цэгүүдийн байрлал, тус бүрийн хувьд өгөгдсөн цэгийн зайг өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрдөггүй d шулуун шугам хүртэлх зайд (фокус) харьцаа тогтмол ба тэнцүү байна. хазайлт e, гэж нэрлэдэг:

a) хэрэв 0 \ leqslant e<1 ;

b) хэрэв e> 1 бол;

в) e = 1 бол парабола.

2. Эллипс, гипербол, параболыг дугуй конусын хэсгүүдээс хавтгайгаар авдаг тул үүнийг нэрлэдэг. конус хэлбэрийн хэсгүүд... Энэ шинж чанар нь эллипс, гипербол, параболын геометрийн тодорхойлолт болж чаддаг.

3. Зуувангийн ерөнхий шинж чанаруудын дунд гипербол, парабол хоёр орно хоёр секторын өмчтэдгээрийн шүргэгч. Доод шүргэгчТүүний зарим K цэг дээрх шулуун руу чиглүүлэх нь авч үзэж буй шулуун дээр үлдсэн М цэг нь K цэг рүү чиглэх үед таслагч KM-ийн хязгаарлах байрлалыг ойлгодог. Шугамын шүргэгчтэй перпендикуляр ба шүргэгч цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг гэнэ хэвийнэнэ мөрөнд.

Эллипс, гипербол, параболын шүргэгч (болон норм) хоёр секторын шинж чанарыг дараах байдлаар томъёолсон болно. Эллипс эсвэл гиперболын шүргэгч (хэвийн) нь шүргэх цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг.(Зураг 3.51, a, b); параболын шүргэгч (хэвийн) шүргэгч цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг ба түүнээс чиглүүлэлт рүү унасан перпендикуляр(Зураг 3.51, в). Өөрөөр хэлбэл, К цэг дээрх эллипстэй шүргэгч нь F_1KF_2 гурвалжны гадна талын булангийн биссектриса (мөн норм нь F_1KF_2 гурвалжны дотоод булангийн биссектрис юм); гиперболын шүргэгч нь F_1KF_2 гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис (мөн хэвийн нь гадна талын өнцгийн биссектрис); параболын шүргэгч нь FKK_d гурвалжны дотоод булангийн биссектриса (мөн нормаль нь гадна талын булангийн биссектрис) юм. Параболын шүргэгчийн биссекториал шинж чанарыг эллипс ба гиперболын адилаар томъёолж болно, хэрэв бид параболыг хязгааргүй цэг дээр хоёр дахь фокустай гэж үзвэл.

4. Бисекторын шинж чанарууд нь илэрхийлдэг эллипс, гипербол, параболын оптик шинж чанарууд"фокус" гэсэн нэр томъёоны физик утгыг тайлбарлах. Фокусын тэнхлэгийн эргэн тойронд эллипс, гипербол, параболыг эргүүлснээр үүссэн гадаргууг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр гадаргуу дээр цацруулагч бүрхүүл түрхвэл эллипс, гипербол, параболик толь олж авна. Оптикийн хуулийн дагуу толин тусгал дээрх гэрлийн туяа тусах өнцөг нь тусгалын өнцөгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. туссан болон туссан туяа нь гадаргуугийн нормтой тэнцүү өнцөг үүсгэх ба туяа болон эргэлтийн тэнхлэг хоёулаа нэг хавтгайд байна. Тиймээс бид дараах шинж чанаруудыг олж авна.

- хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь зууван толины фокусын аль нэгэнд байгаа бол толинд туссан гэрлийн цацрагийг өөр фокус дээр цуглуулдаг (Зураг 3.52, а);

- хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь гипербол толины фокусын аль нэгэнд байгаа бол толинд туссан гэрлийн туяа өөр фокусаас ирсэн мэт хуваагдана (Зураг 3.52, b);

- хэрэв гэрлийн эх үүсвэр нь параболик толины анхаарлын төвд байгаа бол толин тусгалаас туссан гэрлийн туяа нь фокусын тэнхлэгт параллель явна (Зураг 3.52, в).

5. Диаметрийн шинж чанарЭллипс, гипербол, параболыг дараах байдлаар томъёолж болно.

– Зууван (гипербол) -ын зэрэгцээ хөвчүүдийн дунд цэгүүд нь эллипсийн төвийг (гипербол) дайран өнгөрөх нэг шулуун дээр байрладаг.;

– параболын зэрэгцээ хөвчүүдийн дунд цэгүүд нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй зэрэгцсэн шулуун шугам дээр байрладаг..

Зууван (гипербол, парабол) бүх параллель хөвчүүдийн дунд цэгүүдийн байрлалыг гэнэ. эллипсийн диаметр (гипербол, парабол)эдгээр хөвчтэй нийлдэг.

Энэ нь нарийн утгаараа диаметрийн тодорхойлолт юм (Жишээ 2.8-ыг үз). Өмнө нь эллипс, гипербол, парабол болон хоёр дахь эрэмбийн бусад шугамын диаметрийг бүх параллель хөвчний дунд цэгүүдийг агуулсан шулуун шугам гэж нэрлэдэг өргөн утгаараа диаметрийн тодорхойлолтыг өмнө нь өгсөн. Нарийн утгаараа эллипсийн голч нь түүний төвөөр дамжин өнгөрөх ямар ч хөвч юм (Зураг 3.53, а); гиперболын диаметр нь гиперболын төвөөр дамжин өнгөрөх аливаа шулуун шугам (ассимптотуудаас бусад) эсвэл ийм шулуун шугамын нэг хэсэг (Зураг 3.53.6); параболын диаметр нь параболын тодорхой цэгээс ялгарах, тэгш хэмийн тэнхлэгтэй зэрэгцсэн аливаа цацраг юм (Зураг 3.53, в).

Бүх хөвчийг өөр диаметртэй параллель болгон хуваасан хоёр диаметрийг коньюгат гэж нэрлэдэг. Зураг 3.53-д тод зураас нь эллипс, гипербол, параболын коньюгат диаметрийг илэрхийлнэ.

Х цэг дээрх эллипс (гипербол, парабол) руу шүргэгчийг M_1M_2 зэрэгцээ секантын хязгаарлах байрлал гэж тодорхойлж болно, энэ үед авч үзэж буй шулуун дээр үлдсэн M_1 ба M_2 цэгүүд K цэг рүү чиглэх хандлагатай байна. Энэ тодорхойлолтоос харахад хөвчтэй параллель шүргэгч нь эдгээр хөвчүүдийн диаметрийн коньюгатны төгсгөлийг дайран өнгөрдөг.

6. Эллипс, гипербол, парабол нь дээр дурдсанаас гадна олон тооны геометрийн шинж чанар, физик хэрэглээтэй байдаг. Жишээлбэл, 3.50-р зураг нь таталцлын төвийн F-ийн ойролцоо байрлах сансрын биетүүдийн траекторийн дүрслэл болж чадна.