1 хэлбэлзлийг тодорхойлно уу. Тархалт ба стандарт хазайлт
Бид тооцоолноMSEXCELтүүврийн дисперс ба стандарт хазайлт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт мэдэгдэж байгаа тохиолдолд бид мөн түүний дисперсийг тооцдог.
Эхлээд бодож үзээрэй зөрүү, дараа нь стандарт хэлбэлзэл.
Түүврийн зөрүү
Түүврийн зөрүү (түүврийн зөрүү,дээжзөрүү) нь массив дахь утгын тархалтыг тодорхойлдог.
Бүх 3 томъёо нь математикийн хувьд тэнцүү байна.
Эхний томъёоноос харахад ийм байна түүврийн зөрүүмассив дахь утга бүрийн квадрат хазайлтын нийлбэр юм дунджаастүүврийн хэмжээ хасах 1-д хуваагдана.
зөрүү дээж авах DISP () функцийг ашиглаж байна. VAR нэр, өөрөөр хэлбэл. ХӨРӨНГӨ. MS EXCEL 2010 хувилбараас хойш түүний аналог DISP.B (), eng ашиглахыг зөвлөж байна. VARS нэр, өөрөөр хэлбэл. Жишээ VARiance. Нэмж дурдахад MS EXCEL 2010 хувилбараас хойш DISP.G (), англи хэлний функц байдаг. VARP нэр, өөрөөр хэлбэл. Тооцоолдог хүн амын VARiance зөрүүтөлөө нийт хүн ам... Бүх ялгаа нь хуваагч дээр ирдэг: DISP.V (), DISP.G () дээрх шиг n-1-ийн оронд хуваагч нь ердөө л n байна. MS EXCEL 2010-аас өмнө VARP () функцийг ерөнхий олонлогийн дисперсийг тооцоолоход ашигладаг байсан.
Түүврийн зөрүү
= Квадрат (Дээж) / (COUNT (Дээж) -1)
= (НИЙЛБЭЭ (Дээж) -COUNT (Дээж) * ДУНДЖ (Дээж) ^ 2) / (COUNT (Дээж) -1)- ердийн томъёо
= НИЙЛҮҮЛЭГ ((Дээж-дундаж (Дээж)) ^ 2) / (COUNT (Дээж) -1) –
Түүврийн зөрүү 0-тэй тэнцүү, зөвхөн бүх утгууд хоорондоо тэнцүү бөгөөд үүний дагуу тэнцүү байна дундаж... Дүрмээр бол үнэ цэнэ нь их байх болно зөрүү, массив дахь утгын тархалт их байх болно.
Түүврийн зөрүүцэгийн тооцоолол юм зөрүүсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт дээж... Барилгын тухай итгэлцлийн интервалуудүнэлэх үед зөрүүнийтлэлээс уншиж болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл
Тооцоолохын тулд зөрүүсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, та үүнийг мэдэх хэрэгтэй.
Учир нь зөрүүсанамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь ихэвчлэн Var (X) тэмдэглэгээг ашигладаг. Тархалтдундаж E (X)-аас хазайсан квадраттай тэнцүү: Var (X) = E [(X-E (X)) 2]
тархалттомъёогоор тооцоолно:
Энд x i нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утга, μ нь дундаж утга (), p (x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн х утгыг авах магадлал юм.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол тархалттомъёогоор тооцоолно:
Хэмжээ зөрүүанхны утгуудын хэмжих нэгжийн квадраттай тохирч байна. Жишээлбэл, түүвэр дэх утгууд нь тухайн хэсгийн жин (кг) хэмжигдэхүүн байвал дисперсийн хэмжээ нь кг 2 болно. Үүнийг тайлбарлахад хэцүү байж болох тул квадрат язгууртай тэнцүү утгын утгын тархалтыг тодорхойлоход хэцүү байж болно зөрүү – стандарт хэлбэлзэл.
Зарим шинж чанарууд зөрүү:
Var (X + a) = Var (X), энд X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн, а нь тогтмол байна.
Var (aX) = a 2 Var (X)
Var (X) = E [(XE (X)) 2] = E = E (X 2) -E (2 * X * E (X)) + (E (X)) 2 = E (X 2) - 2 * E (X) * E (X) + (E (X)) 2 = E (X 2) - (E (X)) 2
Энэ хэлбэлзлийн шинж чанарыг ашигладаг Шугаман регрессийн тухай нийтлэл.
Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 * Cov (X; Y), X ба Y нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Cov (X; Y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ковариац юм.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал тэдгээрийн ковариац 0-тэй тэнцүү, тиймээс Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y). Энэ хэлбэлзлийн шинж чанарыг гаралтад ашигладаг.
Бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд Var (X-Y) = Var (X + Y) болохыг харуулъя. Үнэхээр Var (X-Y) = Var (X-Y) = Var (X + (- Y)) = Var (X) + Var (-Y) = Var (X) + Var (-Y) = Var ( X) + ( - 1) 2 Var (Y) = Var (X) + Var (Y) = Var (X + Y). Энэхүү дисперсийн шинж чанарыг график зурахад ашигладаг.
Стандарт хазайлтын жишээ
Стандарт хазайлтын жишээЭнэ нь түүвэр дэх утгууд нь тэдгээрийнхтэй харьцуулахад хэр өргөн тархсаныг хэмжих хэмжүүр юм.
А - тэргүүн байр, стандарт хэлбэлзэл-ийн квадрат язгууртай тэнцүү зөрүү:
Стандарт хэлбэлзэлдахь утгын хэмжээг харгалздаггүй дээж, гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн эргэн тойрон дахь үнэт зүйлсийн тархалтын зэрэг дунд... Үүнийг харуулах жишээ энд байна.
(1; 5; 9) ба (1001; 1005; 1009) гэсэн 2 дээжийн стандарт хазайлтыг тооцоолъё. Хоёр тохиолдолд s = 4 байна. Мэдээжийн хэрэг, стандарт хазайлтыг массивын утгатай харьцуулсан харьцаа нь дээжийн хувьд мэдэгдэхүйц ялгаатай байна. Ийм тохиолдолд хэрэглэнэ Өөрчлөлтийн коэффициент(Хувьсах коэффициент, CV) - харьцаа Стандарт хэлбэлзэлдунд хүртэл арифметикхувиар илэрхийлнэ.
MS EXCEL 2007 болон түүнээс өмнөх хувилбаруудад тооцоолох Стандарт хазайлтын жишээфункцийг ашиглаж байна = STDEV (), eng. нэр STDEV, i.e. Стандарт хэлбэлзэл. MS EXCEL 2010 хувилбараас хойш түүний аналогийг ашиглахыг зөвлөж байна = STDEV.V (), eng. нэр STDEV.S, i.e. Стандарт хазайлтын жишээ.
Үүнээс гадна MS EXCEL 2010 хувилбараас эхлэн STDEV.G (), eng. нэр STDEV.P, i.e. Тооцоолдог хүн амын стандарт хазайлт стандарт хэлбэлзэлтөлөө нийт хүн ам... Бүх ялгаа нь хуваагч дээр ирдэг: STDEV.V () шиг n-1-ийн оронд STDEV.G () хуваарьт ердөө л n байна.
Стандарт хэлбэлзэлДараах томъёогоор шууд тооцоолж болно (жишээ файлыг үзнэ үү)
= ҮНДЭС (Квадрат (Дээж) / (COUNT (Дээж) -1))
= ROOT ((ДЭЭЖ) -COUNT (Дээж) * ДУНДЖ (Дээж) ^ 2) / (COUNT (Дээж) -1))
Бусад тархалтын арга хэмжээ
SQUARE () функц нь тооцоолно umma тэдний утгын квадратын хазайлт дунд... Энэ функц нь томьёотой ижил үр дүнг буцаана = DISP.G ( Дээж)*ШАЛГАХ( Дээж), хаана Дээж- түүврийн утгуудын массивыг агуулсан мужид хамаарах лавлагаа (). SQUARE () функц дэх тооцоог дараах томъёоны дагуу хийнэ.
AVEDEV () функц нь мөн өгөгдлийн багцын тархалтын хэмжүүр юм. AVEDEV () функц нь утгын хазайлтын үнэмлэхүй утгын дундажийг тооцоолдог дунд... Энэ функц нь томъёотой ижил үр дүнг буцаана = СУПРОДУКТ (ABS (Дээж-дундаж (Дээж))) / COUNT (Дээж), хаана Дээж- түүврийн утгуудын массив агуулсан мужид хамаарах лавлагаа.
AVEDV () функцийн тооцоог дараахь томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
Математикийн хүлээлт ба дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанар юм. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Практик олон асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн гүйцэд шинж чанар буюу тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тэдгээр нь тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тайлбараар хязгаарлагддаг.
Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь тархалтын шинж чанар, түүний математик хүлээлтийн талаархи санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбараас эхлээд математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг абсцисса тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая х1 , х 2 , ..., х n, мөн материаллаг цэг бүр нь харгалзах масстай х1 , х 2 , ..., х n... Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан тодорхойлсон абсцисса тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, цэг бүрийн абсцисс хбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийм аргаар олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэрийг эдгээр утгуудын магадлалаар илэрхийлнэ.
Жишээ 1.Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд үүнээс 400 нь тус бүр 10 рубль юм. 300-20 рубль тус бүр 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль. Нэг тасалбар худалдан авагчийн дундаж хожлын хэмжээ хэд вэ?
Шийдэл. 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 рубль болох нийт ялалтыг 1000-д (хожлын нийт дүн) хуваасан тохиолдолд бид дундаж ялалтыг олох болно. Дараа нь бид 50,000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж өгөөжийг тооцоолох илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Нөгөө талаас, эдгээр нөхцөлд ялалтын хэмжээ нь 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж өгөөж нь хожлын бүтээгдэхүүний нийлбэр ба түүнийг хүлээн авах магадлалтай тэнцүү байна.
Жишээ 2.Хэвлэлийн газар шинэ ном гаргахаар шийджээ. Тэр номоо 280 рублиэр зарах гэж байгаа бөгөөд үүнээс 200, 50 нь номын дэлгүүр, 30-ыг нь зохиолч авна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.
Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.
Шийдэл. Санамсаргүй утга "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтаас олсон орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.
| Тоо | Ашиг хби | Магадлал хби | хби хби |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Нийт: | 1,00 | 25000 |
Тиймээс бид нийтлэгчийн ашгийн математикийн хүлээлтийг олж авдаг.
.
Жишээ 3.Буудсан цохилтын магадлал х= 0.2. 5-тай тэнцэх цохилтын тоог математикийн таамаглалаар хангах сумны зарцуулалтыг тодорхойл.
Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл ашигласан математикийн хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлэв х- сумны хэрэглээ:
.
Жишээ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл хГурван цохилтын цохилтын тоо, хэрэв цохилт тус бүрт онох магадлал х = 0,4 .
Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг дараах байдлаар олно Бернулли томъёо .
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмолын математик хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс хэтрүүлэн авч болно.
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). ХАМТ, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:
Зөвхөн математикийн хүлээлтээр хязгаарлагдах боломжгүй үед
Ихэнх тохиолдолд математикийн хүлээлт дангаараа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг зохих ёсоор тодорхойлж чадахгүй.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье Xболон ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:
| Утга X | Магадлал |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Утга Ю | Магадлал |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:
Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн тархалтын шинж чанар нь өөр өөр байдаг. Санамсаргүй утга Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс бага зэрэг ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь өндөр, бага цалинтай ажилчдын эзлэх хувийг дүгнэх боломжгүй болгодог. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээр түүнээс ямар хазайлт, наад зах нь дунджаар байж болохыг дүгнэх боломжгүй юм. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт
Тархалтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематик хүлээлтээс түүний хазайлтын квадратын математик хүлээлт:
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xтүүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утгыг:
.
Жишээ 5.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох Xболон Ю, тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.
Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт Xболон Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. Цагийн тархалтын томъёоны дагуу Э(NS)=Э(y) = 0 бид дараахыг авна:
Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xболон Юбүрдүүлэх
.
Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний хуваарилалтын ялгааны үр дагавар юм.
Жишээ 6.Хөрөнгө оруулагч нь өөр хөрөнгө оруулалтын 4 төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.
| Төсөл 1 | Төсөл 2 | Төсөл 3 | Төсөл 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Альтернатив тус бүрийн математикийн хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг ол.
Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр утгыг хэрхэн тооцдог болохыг харуулъя.
Хүснэгтэнд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.
Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд хүн бүр ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүрийн нэгж гэж тайлбарлаж болно - энэ нь том байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл их байх болно. Хамгийн бага стандарт хазайлттай (0) тул эрсдэл ихтэй байхыг хүсдэггүй хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгоно. Хэрэв хөрөнгө оруулагч богино хугацаанд эрсдэл, их өгөөжийг илүүд үздэг бол тэрээр хамгийн том стандарт хазайлттай төслийг сонгох болно - төсөл 4.
Тархалтын шинж чанарууд
Энд дисперсийн шинж чанарууд байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг байна:
Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдэгээс гаргаж болно.
.
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн квадратыг хасна.
,
хаана 
.
Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:
Жишээ 7.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.
Шийдэл. -ээр тэмдэглэе хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал х1 = −3 ... Дараа нь үнэ цэнийн магадлал х2 = 7 1 байх болно - х... Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:
Э(X) = х 1 х + х 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,
Бид магадлалыг хаанаас авдаг: х= 0.3 ба 1 - х = 0,7 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | −3 | 7 |
| х | 0,3 | 0,7 |
Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг бид дисперсийн 3-р шинж чанараас томъёогоор тооцоолно.
Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 8.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлал бүхий 3-ын том утгыг хүлээн авдаг. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.
Жишээ 9.Уг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байна. 3 бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Гаргасан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X... Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Санамсаргүй утга X 0, 1, 2, 3 утгуудыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно. магадлалыг үржүүлэх дүрэм... Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| х | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Тиймээс өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс:
Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтрал бүхий абсцисса тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(х). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функцийн аргумент нь хбигэнэт өөрчлөгддөг бол тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд аргумент тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. ... Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгахдаа нягтын функцийг олох хэрэгтэй.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
Магадлалын онол бол зөвхөн их дээд сургуулийн оюутнуудын судалдаг математикийн тусгай салбар юм. Та тооцоолол, томъёонд дуртай юу? Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт, ансамблийн энтропи, математикийн хүлээлт, дисперстэй танилцах боломжоос та айхгүй байна уу? Тэгвэл энэ сэдэв танд маш сонирхолтой байх болно. Шинжлэх ухааны энэ салбарын хамгийн чухал суурь ойлголтуудтай танилцацгаая.
Үндсэн зүйлийг санацгаая
Хэдийгээр та магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтуудыг санаж байсан ч өгүүллийн эхний догол мөрийг үл тоомсорлож болохгүй. Үнэн хэрэгтээ үндсийг нь тодорхой ойлгохгүй бол доор авч үзсэн томьёотой ажиллах боломжгүй болно.
Тиймээс, санамсаргүй үйл явдал, зарим туршилт. Гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид хэд хэдэн үр дүнд хүрч чадна - тэдгээрийн зарим нь илүү түгээмэл, бусад нь бага байдаг. Үйл явдлын магадлал гэдэг нь нэг төрлийн бодит үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Зөвхөн энэ ойлголтын сонгодог тодорхойлолтыг мэдсэнээр та тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг судалж эхлэх боломжтой.
Дундаж
Сургуульд байхдаа математикийн хичээл дээр та арифметик дундажтай ажиллаж эхэлсэн. Энэ ойлголт нь магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг тул үүнийг үл тоомсорлож болохгүй. Одоогийн байдлаар бидний хувьд хамгийн гол зүйл бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийн томъёонд бид түүнтэй тулгарах болно.
Бидэнд тоонуудын дараалал байгаа бөгөөд арифметик дундажийг олохыг хүсч байна. Биднээс шаардагдах бүх зүйл бол боломжтой бүх зүйлийг нэгтгэж, дарааллын элементүүдийн тоонд хуваах явдал юм. Бидэнд 1-ээс 9 хүртэлх тоонууд байна гэж бодъё. Элементүүдийн нийлбэр нь 45 байх ба бид энэ утгыг 9-д хуваана. Хариулт: - 5.
Тархалт
Шинжлэх ухааны хэлээр хэлбэлзэл гэдэг нь тухайн шинж чанарын арифметик дунджаас олж авсан утгын хазайлтын дундаж квадрат юм. Нэгийг нь латин том D үсгээр тэмдэглэсэн. Үүнийг тооцоолоход юу хэрэгтэй вэ? Дарааллын элемент бүрийн хувьд боломжтой тоо болон арифметик дундаж хоёрын зөрүүг тооцоод квадрат болгоно. Бидний авч үзэж буй үйл явдлын үр дүн байж болохуйц олон үнэт зүйлс байх болно. Дараа нь бид хүлээн авсан бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваана. Хэрэв бидэнд таван боломжит үр дүн байгаа бол бид тавд хуваана.
Вариац нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэхийн тулд санаж байх ёстой шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X дахин нэмэгдүүлэхэд дисперс нь X дахин квадратаар нэмэгддэг (өөрөөр хэлбэл X * X). Энэ нь хэзээ ч тэгээс багагүй бөгөөд утгуудын ижил утгатай дээш эсвэл доош шилжихээс хамаардаггүй. Үүнээс гадна бие даасан тестийн хувьд нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Одоо бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн жишээ болон математикийн хүлээлтийг авч үзэх нь гарцаагүй.
Бид 21 туршилт хийж, 7 өөр үр дүнд хүрсэн гэж бодъё. Бид тус бүрийг 1,2,2,3,4,4, 5 удаа ажигласан. Ялгаа нь юу вэ?
Эхлээд арифметик дундажийг тооцоолъё: элементүүдийн нийлбэр нь мэдээж 21-тэй тэнцүү байна. 7-д хувааж, 3-ыг авна. Одоо анхны дарааллын тоо бүрээс 3-ыг хасч, утга тус бүрийг квадрат болгож, үр дүн нь хамтдаа. Энэ нь 12 болж хувирна. Одоо бид тоог элементүүдийн тоонд хуваахад л хангалттай, тэгээд л болоо. Гэхдээ барих зүйл байна! Үүнийг хэлэлцье.
Туршилтын тооноос хамаарна
Эндээс харахад дисперсийг тооцоолохдоо хуваагч нь N эсвэл N-1 гэсэн хоёр тооны аль нэг нь байж болно. Энд N нь гүйцэтгэсэн туршилтын тоо эсвэл дараалсан зүйлийн тоо (үндсэндээ ижил байна). Энэ нь юунаас хамаардаг вэ?
Хэрэв туршилтын тоог хэдэн зуугаар хэмжсэн бол бид хуваагчийг N-д оруулна. Хэрэв нэгжээр байвал N-1. Эрдэмтэд хил хязгаарыг нэлээд бэлгэдэлтэй зурахаар шийдсэн: өнөөдөр энэ нь 30-ын тоогоор гүйж байна. Хэрэв бид 30-аас бага туршилт хийсэн бол нийлбэрийг N-1, түүнээс дээш бол N-д хуваана.
Даалгавар
Вариац болон хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээ рүүгээ буцаж орцгооё. Бид завсрын дугаар 12-ыг авсан бөгөөд үүнийг N эсвэл N-1-д хуваах шаардлагатай байв. Бид 30 хүрэхгүй 21 туршилт хийсэн тул хоёр дахь хувилбарыг сонгох болно. Тиймээс хариулт нь: дисперс нь 12/2 = 2 байна.
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
Энэ нийтлэлд зайлшгүй авч үзэх ёстой хоёр дахь үзэл баримтлал руу шилжье. Хүлээгдэж буй утга нь бүх боломжит үр дүнгийн нийлбэрийг харгалзах магадлалаар үржүүлсэн байна. Үр дүнгийн утга, түүнчлэн дисперсийг тооцоолох үр дүн нь хэчнээн үр дүнг авч үзсэнээс үл хамааран бүх асуудлын хувьд зөвхөн нэг удаа гарна гэдгийг ойлгох нь чухал юм.
Математикийн хүлээлтийн томьёо нь маш энгийн: бид үр дүнг авч, магадлалаар нь үржүүлж, хоёр дахь, гурав дахь үр дүнд ижил зүйлийг нэмнэ гэх мэт. Энэ үзэл баримтлалтай холбоотой бүх зүйлийг тооцоолоход хялбар байдаг. Жишээлбэл, хүлээлтийн нийлбэр нь нийлбэрийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Ажлын хувьд ч мөн адил. Магадлалын онолын бүх утга нь ийм энгийн үйлдлүүдийг өөртэйгөө хийх боломжийг олгодоггүй. Бодлого авч, нэг дор судалсан хоёр ойлголтын утгыг тооцоод үзье. Нэмж дурдахад бид онолд сатаарсан - дадлага хийх цаг болсон.
Бас нэг жишээ
Бид 50 туршилт явуулж, 0-ээс 9 хүртэлх 10 төрлийн үр дүнг өөр өөр хувиар авсан. Үүнд: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Магадлалыг олж авахын тулд утгыг 100-д хуваах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Тиймээс бид 0.02-ыг авна; 0.1 гэх мэт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба математикийн хүлээлтийн дисперсийн асуудлыг шийдэх жишээг үзүүлье.
Бид бага сургуулиас санаж байсан томъёогоор арифметик дундажийг тооцдог: 50/10 = 5.
Одоо тоолоход хялбар болгохын тулд магадлалыг үр дүнгийн тоонд "хэсгээрээ" хөрвүүлье. Бид 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ба 9-ийг авна. Олж авсан утга бүрээс арифметик дундажийг хасч, дараа нь олж авсан үр дүнгийн квадратыг авна. Жишээ болгон эхний элементийг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харна уу: 1 - 5 = (-4). Дараа нь: (-4) * (-4) = 16. Үлдсэн утгуудын хувьд эдгээр үйлдлийг өөрөө хий. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол бүгдийг нэмсний дараа 90 оноо авна.
90-ийг N-д хуваах замаар дисперс ба дундажийг үргэлжлүүлэн тооцоолъё. Яагаад бид N-1 биш харин N-г сонгосон бэ? Энэ нь зөв, учир нь хийсэн туршилтын тоо 30-аас давсан. Тэгэхээр: 90/10 = 9. Бид дисперсийг авсан. Хэрэв та өөр дугаар авсан бол цөхрөл бүү зов. Та тооцоололд нийтлэг алдаа гаргасан байх магадлалтай. Бичсэн зүйлээ дахин шалга, тэгвэл бүх зүйл байрандаа орох болно.
Эцэст нь математикийн хүлээлтийн томъёог эргэн санацгаая. Бид бүх тооцоог өгөхгүй, зөвхөн шаардлагатай бүх процедурыг дуусгасны дараа шалгаж болох хариултыг бичих болно. Хүлээгдэж буй түвшин 5.48 байх болно. 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... гэх мэт эхний элементүүдийн жишээг ашиглан үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг л эргэн санацгаая. Таны харж байгаагаар бид үр дүнгийн утгыг түүний магадлалаар үржүүлж байна.
Хазайлт
Дисперс ба математикийн хүлээлттэй нягт холбоотой өөр нэг ойлголт бол стандарт хазайлт юм. Үүнийг Латин үсгээр sd эсвэл Грекийн жижиг үсгээр "сигма" гэж тэмдэглэдэг. Энэ үзэл баримтлал нь утгууд нь үндсэн шинж чанараас дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулж байна. Үүний утгыг олохын тулд та дисперсийн квадрат язгуурыг тооцоолох хэрэгтэй.
Хэрэв та хэвийн тархалтыг зурж, квадрат хазайлтыг шууд харахыг хүсвэл үүнийг хэд хэдэн алхамаар хийж болно. Зургийн хагасыг горимын зүүн эсвэл баруун талд (төв утга) авч, үүссэн хэлбэрийн талбайнууд тэнцүү байхаар хэвтээ тэнхлэгт перпендикуляр зур. Тархалтын дунд хэсэг ба хэвтээ тэнхлэгт гарах проекцын хоорондох сегментийн утга нь стандарт хазайлтыг илэрхийлнэ.
Програм хангамж
Томъёо болон танилцуулсан жишээнүүдийн тайлбараас харахад дисперсийн тооцоо, математикийн хүлээлт нь арифметикийн үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн журам биш юм. Цагийг дэмий үрэхгүйн тулд дээд боловсролд ашигладаг хөтөлбөрийг ашиглах нь утга учиртай - үүнийг "R" гэж нэрлэдэг. Энэ нь статистик болон магадлалын онолоос олон ойлголтын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог функцуудтай.
Жишээлбэл, та утгын векторыг тодорхойлж байна. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Эцэст нь
Тархалт ба математикийн хүлээлт - үүнгүйгээр ирээдүйд юу ч тооцоолоход хэцүү байдаг. Их дээд сургуулиудын лекцийн үндсэн хичээлд энэ сэдвийг судалж эхэлсэн эхний саруудад аль хэдийн авч үздэг. Эдгээр энгийн ойлголтуудыг сайн ойлгоогүй, тооцоолж чаддаггүйн улмаас олон оюутнууд хөтөлбөрөөс шууд хоцорч, дараа нь хичээлийн дүнгээр муу үнэлгээ авч, тэтгэлэг авахаа больдог.
Доод тал нь нэг долоо хоног, өдөрт хагас цаг дадлага хийж, энэ нийтлэлд дурдсантай ижил төстэй даалгавруудыг шийдвэрлэх. Дараа нь магадлалын онолын аливаа шалгалтанд та гадны зөвлөмж, хуурамч хуудасгүйгээр жишээнүүдийг даван туулах болно.
Гэсэн хэдий ч дангаараа энэ шинж чанар нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахад хангалтгүй хэвээр байна. Хоёр буудагч бай руу буудаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Нэг нь оновчтой харваж, төвийн ойролцоо онож, нөгөө нь ... зүгээр л хөгжилтэй, онилдоггүй. Гэхдээ инээдтэй нь түүнийх дундажүр дүн нь эхний мэргэн буучтай яг адилхан байх болно! Энэ нөхцөл байдлыг дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээр уламжлалт байдлаар дүрсэлдэг.
"Мэргэн буудагч" математикийн хүлээлт нь "сонирхолтой зан чанар"-ын хувьд тэнцүү байна: - энэ нь бас тэг юм!
Тэгэхээр хэр хол байгааг тоон үзүүлэлтээр гаргах шаардлага гарч байна тараагдсансум (санамсаргүй хувьсагчийн утгууд) зорилтот төвтэй харьцуулахад (математикийн хүлээлт). сайн ба тараахЛатин хэлнээс зөвхөн гэж орчуулагддаг тархалт .
Хичээлийн 1-р хэсгийн жишээнүүдийн аль нэгэнд энэ тоон шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлохыг харцгаая. 
Тэнд бид энэ тоглоомын урам хугарсан математик хүлээлтийг олж мэдсэн бөгөөд одоо бид түүний дисперсийг тооцоолох хэрэгтэй. тэмдэглэсэнхөндлөн .
Дундажтай харьцуулахад хожил / хожигдол хэр хол "тарсан" байгааг олж мэдье. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд та тооцоолох хэрэгтэй ялгаахооронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудмөн тэр математикийн хүлээлт:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Одоо үр дүнг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ энэ зам нь тохиромжгүй - зүүн тийш хэлбэлзэл нь баруун тийш хэлбэлзэлтэй байх тул цуцална. Жишээлбэл, "сонирхогчийн" мэргэн бууч (дээрх жишээ)ялгаа нь 
, мөн нэмэх үед тэг өгөх болно, тиймээс бид түүний буудлагын тархалтын талаар ямар ч тооцоо олж авахгүй.
Энэ таагүй байдлыг даван туулахын тулд та бодож болно модулиудялгаа, гэхдээ техникийн шалтгааны улмаас тэдгээрийг квадрат болгоход энэ арга нь үндэс болсон. Шийдлийг хүснэгтээр зурах нь илүү тохиромжтой. 
Тэгээд энд тооцохыг гуйж байна жигнэсэн дундажхазайлтын квадратуудын утга. Энэ юу вэ? Тэднийх хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, энэ нь тархалтын хэмжүүр юм:
– тодорхойлолтзөрүү. Энэ нь тодорхойлолтоос шууд тодорхой харагдаж байна ялгаа сөрөг байж болохгүй- дасгал хийхдээ анхаараарай!
Хүлээлтийг хэрхэн олохыг санацгаая. Бид ялгаануудын квадратыг харгалзах магадлалаар үржүүлнэ (Хүснэгтийн үргэлжлэл):
- дүрслэлээр хэлбэл "татах хүч",
болон үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:
Хожлын цаана үр дүн нь хэтэрхий том болсон гэж та бодохгүй байна уу? Энэ нь зөв - бид квадрат болгож, тоглоомын хэмжээс рүү буцахын тулд бид квадрат язгуурыг задлах хэрэгтэй. Энэ утгыг гэж нэрлэдэг стандарт хэлбэлзэл
ба Грекийн "сигма" үсгээр тэмдэглэсэн:
Энэ утгыг заримдаа нэрлэдэг стандарт хэлбэлзэл .
Үүний утга учир юу вэ? Хэрэв бид математикийн хүлээлтээс зүүн ба баруун тийш стандарт хазайлтаар хазайвал: 
- тэгвэл энэ интервал дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгууд "баяжмал" болно. Үнэндээ бидний ажиглаж буй зүйл:
Гэсэн хэдий ч тархалтыг шинжлэхдээ бараг үргэлж дисперс гэсэн ойлголттой ажилладаг. Энэ нь тоглоомтой холбоотой ямар утгатай болохыг харцгаая. Хэрэв сумны хувьд бид байны төвтэй харьцуулахад цохилтын "нарийвчлал" -ын тухай ярьж байгаа бол энд хэлбэлзэл нь хоёр зүйлийг тодорхойлдог.
Нэгдүгээрт, хувь хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр хэлбэлзэл нэмэгдэх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 10 дахин өсөх юм бол математикийн хүлээлт 10 дахин, дисперс нь 100 дахин нэмэгдэх болно. (энэ нь квадрат хэмжигдэхүүн бол)... Гэхдээ тоглоомын дүрэм өөрчлөгдөөгүй гэдгийг анхаарна уу! Зөвхөн ханш өөрчлөгдсөн, ойролцоогоор хэлэхэд бид 10 рубль бооцоо тавьдаг байсан бол одоо 100 болсон.
Хоёрдахь бөгөөд илүү сонирхолтой зүйл бол ялгаатай байдал нь тоглоомын хэв маягийг тодорхойлдог явдал юм. Тоглоомын ханшийг оюун ухаанаараа засъя тодорхой түвшинд, энд юу байгааг хараарай:
Бага зөрүүтэй тоглоом бол болгоомжтой тоглоом юм. Тоглогч хамгийн найдвартай схемийг сонгох хандлагатай байдаг бөгөөд тэр нэг удаад хэт их хожигддоггүй / хождоггүй. Жишээ нь, улаан / рулет дахь хар систем (Өгүүллийн 4-р жишээг үзнэ үү Санамсаргүй хувьсагч) .
Өндөр зөрүүтэй тоглоом. Түүнийг ихэвчлэн дууддаг тараагчтоглоом. Энэ бол тоглогч адреналин шахах схемийг сонгодог адал явдалт эсвэл түрэмгий тоглоомын хэв маяг юм. Ядаж санацгаая Мартингал, үүнд өмнөх догол мөрийн "чимээгүй" тоглоомоос илүү их хэмжээний мөнгөн дүн байдаг.
Покерын нөхцөл байдлыг илтгэж байна: гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нягтБолгоомжтой байж, тоглоомын хөрөнгөндөө "худалдан" байдаг тоглогчид (банкаар)... Гайхалтай нь тэдний мөнгөн дүн тийм ч их өөрчлөгддөггүй (бага хэлбэлзэлтэй). Эсрэгээр, хэрэв тоглогч өндөр зөрүүтэй бол энэ нь түрэмгийлэгч юм. Тэрээр ихэвчлэн эрсдэлд орж, том бооцоо тавьж, асар том банк эвдэж, унадаг.
Үүнтэй ижил зүйл Forex-д тохиолддог, гэх мэт - маш олон жишээ бий.
Түүнээс гадна, бүх тохиолдолд энэ нь хамаагүй - тоглоом нь пенни эсвэл олон мянган долларын үнэтэй эсэх. Түвшин бүр өөрийн гэсэн бага ба өндөр тархалттай тоглогчтой. За, дундаж үр өгөөжийн хувьд бидний санаж байгаагаар "хариуцлагатай" хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.
Зөрчлийг олох нь урт бөгөөд хэцүү үйл явц гэдгийг та анзаарсан байх. Гэхдээ математик нь өгөөмөр юм:
Дисперсийг олох томъёо
Энэ томьёо нь вариацын тодорхойлолтоос шууд үүсэлтэй бөгөөд бид үүнийг шууд эргэлтэнд оруулдаг. Би дээрээс бидний тоглоомтой хавтанг хуулах болно: 
болон олсон хүлээлт.
Хоёр дахь аргаар дисперсийг тооцоолъё. Нэгдүгээрт, бид математикийн хүлээлтийг олдог - санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат. By математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт:
Энэ тохиолдолд:
Тиймээс, томъёоны дагуу:
Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр. Мөн практик дээр мэдээжийн хэрэг томъёог хэрэглэх нь илүү дээр юм (хэрэв нөхцөл байдал өөрөөр заагаагүй бол).
Бид шийдэл, дизайны техникийг эзэмшдэг:
Жишээ 6
Түүний математик хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.
Энэ даалгавар нь хаа сайгүй байдаг бөгөөд дүрмээр бол ямар ч утга учиргүй байдаг.
Тодорхой магадлал бүхий галзуугийн байшинд асдаг хэд хэдэн чийдэнг та төсөөлж болно :)
Шийдэл: Үндсэн тооцооллыг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой. Эхлээд бид анхны өгөгдлийг дээд хоёр мөрөнд бичнэ. Дараа нь бид бүтээгдэхүүнийг тооцоолж, дараа нь баруун баганад байгаа нийлбэрүүдийг тооцоолно. 
Үнэндээ бараг бүх зүйл бэлэн болсон. Гурав дахь мөрөнд бэлэн математикийн хүлээлт багтсан болно. 
.
Бид зөрүүг томъёогоор тооцоолно.
Эцэст нь стандарт хазайлт:
- Би хувьдаа ихэвчлэн 2 аравтын орон хүртэл дугуйрдаг.
Бүх тооцооллыг тооцоолуур дээр эсвэл бүр илүү сайн - Excel дээр хийж болно.
энд алдаа гаргахад хэцүү байна :)
Хариулах:
Хүссэн хүмүүс амьдралаа илүү хялбарчилж, миний тооны машин (демо), энэ нь зөвхөн энэ асуудлыг даруй шийдвэрлэх төдийгүй, бас бүтээн байгуулах болно сэдэвчилсэн графикууд (бид удахгүй очно)... Хөтөлбөр боломжтой номын санд татаж авах- Хэрэв та дор хаяж нэг боловсролын материалыг татаж авсан эсвэл авах Өөр арга зам... Төслийг дэмжсэнд баярлалаа!
Бие даасан шийдлийн хэд хэдэн даалгавар:
Жишээ 7
Өмнөх жишээний санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тодорхойлолтоор тооцоол.
Мөн ижил төстэй жишээ:
Жишээ 8
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өөрийн тархалтын хуулиар өгөгдсөн:
Тийм ээ, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нэлээд том байж болно (бодит ажлын жишээ), энд боломжтой бол Excel-ийг ашиглана уу. Дашрамд хэлэхэд 7-р жишээн дээр энэ нь илүү хурдан, найдвартай, илүү тааламжтай байдаг.
Шийдэл ба хариултыг хуудасны доод талд байна.
Хичээлийн 2-р хэсгийн төгсгөлд бид өөр нэг ердийн асуудлыг шинжлэх болно, тэр ч байтугай жижиг эсэргүүцлийг хэлж болно.
Жишээ 9
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: мөн. Магадлал, математикийн хүлээлт, дисперс нь мэдэгдэж байна.
Шийдэл: Үл мэдэгдэх магадлалаас эхэлцгээе. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлын магадлалын нийлбэр:
тэгээд тэр цагаас хойш.
Энэ нь олох л үлдлээ ... хэлэхэд амархан :) Гэхдээ бид явлаа. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор: 
- бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна:
- Энэ тэгшитгэлээс өөр юу ч шахаж чадахгүй, зөвхөн та үүнийг ердийн чиглэлд дахин бичиж болно. 
эсвэл: 
Цаашдын үйлдлүүдийн талаар та таах боломжтой гэж бодож байна. Системийг зохиож, шийдье: 
Аравтын бутархай нь мэдээжийн хэрэг бүрэн гутамшиг юм; Хоёр тэгшитгэлийг 10-аар үржүүлнэ: 
ба 2-т хуваана: 
Энэ нь хамаагүй дээр. 1-р тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг илэрхийлнэ. 
(энэ нь илүү хялбар арга юм)- бид 2-р тэгшитгэлд орлуулна:
Бид барьдаг дөрвөлжинболон хялбаршуулах: 
Үржүүлэх: 
Үр дүн нь квадрат тэгшитгэл, бид түүний ялгаварлагчийг олдог:
- төгс!
мөн бид хоёр шийдлийг олж авдаг:
1) хэрэв 
, дараа нь 
;
2) хэрэв 
, дараа нь.
Эхний хос утгууд нь нөхцөлийг хангаж байна. Өндөр магадлалтайгаар бүх зүйл зөв, гэхдээ бид түгээлтийн хуулийг бичнэ. 
мөн бид шалгах болно, тухайлбал бид хүлээлтийг олох болно:
Тархалтын төрлүүд:
Нийт зөрүүЭнэ өөрчлөлтийг үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор нийт популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог. Энэ утгыг томъёогоор тодорхойлно
Судалгаанд хамрагдсан нийт хүн амын нийт арифметик дундаж хаана байна.
Бүлэг доторх дундаж хэлбэлзэлЭнэ нь тодорхойлогдоогүй аливаа хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүсч болох санамсаргүй өөрчлөлтийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь бүлэглэлийн үндсэн шинж чанараас хамаардаггүй. Энэ хэлбэлзлийг дараах байдлаар тооцоолно: эхлээд тусдаа бүлгүүдийн дисперсийг (), дараа нь бүлэг доторх дундаж дисперсийг тооцоолно.
Энд n i нь бүлгийн нэгжийн тоо юм
Бүлэг хоорондын зөрүү(бүлэглэлийн дундаж хэлбэлзэл) нь системчилсэн хэлбэлзлийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. бүлэглэх үндэс болсон шинж чанар-хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүссэн судалж буй шинж чанарын хэмжээсийн ялгаа.
тусдаа бүлгийн дундаж утга хаана байна.
Бүх гурван төрлийн дисперс нь хоорондоо холбоотой: нийт дисперс нь бүлэг доторх дундаж дисперс ба бүлэг хоорондын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө:
25 Харьцангуй хэлбэлзлийн хувьсал
|
Хэлбэлзлийн коэффициент |
|
|
Харьцангуй шугаман хазайлт |
|
|
Өөрчлөлтийн коэффициент |
|
Коэф. Osc. Одундаж орчимд шинж чанарын хэт утгуудын харьцангуй хэлбэлзлийг тусгадаг. Rel. лин. унтраах... дунджаас үнэмлэхүй хазайлтын тэмдгийн дундаж утгын эзлэх хувийг тодорхойлдог. Коэф. Вариац нь дундаж үзүүлэлтүүдийн ердийн байдлыг үнэлэхэд хэрэглэгддэг хувьсах байдлын хамгийн түгээмэл хэмжүүр юм.
Статистикийн хувьд 30-35% -иас их хэлбэлзлийн коэффициенттэй популяцийг нэг төрлийн бус гэж үздэг.
Түгээлтийн цувралын тогтмол байдал. Түгээлтийн мөчүүд. Хуваарилалтын хэлбэрийн үзүүлэлтүүд
Цуврал өөрчлөлтийн хувьд давтамж ба өөр өөр шинж чанарын утгуудын хооронд холболт байдаг: онцлог шинж чанар нэмэгдэх тусам давтамжийн утга эхлээд тодорхой хязгаар хүртэл нэмэгдэж, дараа нь буурдаг. Ийм өөрчлөлтүүд гэж нэрлэдэг түгээлтийн хэв маяг.
Тархалтын хэлбэрийг тэгш бус байдал ба куртозын үзүүлэлтүүдийг ашиглан судалдаг. Эдгээр үзүүлэлтүүдийг тооцоолохдоо түгээлтийн моментуудыг ашигладаг.
K-р эрэмбийн моментийг зарим тогтмол утгаас атрибутын утгуудын хувилбаруудын хазайлтын k-р зэргийн дундаж гэж нэрлэдэг. Моментийн дарааллыг k-ийн утгаар тодорхойлно. Вариацын цувралд дүн шинжилгээ хийхдээ тэдгээр нь эхний дөрвөн эрэмбийн моментуудыг тооцоолоход хязгаарлагддаг. Моментийг тооцоолохдоо давтамж эсвэл давтамжийг жин болгон ашиглаж болно. Тогтмол хэмжигдэхүүнийг сонгохоос хамааран эхний, нөхцөлт, төв мөчүүд байдаг.
Хуваарилалтын хэлбэрийн үзүүлэлтүүд:
Тэгш бус байдал(As) тархалтын тэгш бус байдлын зэргийг тодорхойлсон үзүүлэлт .
Тиймээс (зүүн талын) сөрөг тэгш хэмтэй 
... (Баруун талт) эерэг тэгш хэмтэй 
.
Төвийн моментуудыг тэгш бус байдлыг тооцоолоход ашиглаж болно. Дараа нь:
,
хаана μ 3 Гурав дахь эрэмбийн гол мөч юм.
- хөших (Э руу ) ижил хэлбэлзлийн хүчин чадалтай хэвийн тархалттай харьцуулахад функцийн графикийн налууг тодорхойлдог.
,
Энд μ 4 нь 4-р эрэмбийн төв момент юм.
Ердийн тархалтын хууль
Хэвийн тархалтын хувьд (Гауссын тархалт) тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Хүлээгдэж буй утга - стандарт хазайлт
Хэвийн тархалт нь тэгш хэмтэй бөгөөд дараах хамаарлаар тодорхойлогддог: Xav = Me = Mo
Хэвийн тархалтын куртоз нь 3, хазайлтын коэффициент нь 0 байна.
Хэвийн тархалтын муруй нь олон өнцөгт (тэгш хэмтэй хонх хэлбэртэй шугам) юм.
Тархалтын төрлүүд. Зөрчлийг нэмэх дүрэм. Эмпирик детерминацийн коэффициентийн мөн чанар.
Хэрэв анхны олонлогийг зарим нэг чухал шинж чанарын дагуу бүлэгт хуваавал дараах төрлийн хэлбэлзлийг тооцоолно.
Анхны популяцийн нийт хэлбэлзэл:
Энд анхдагч популяцийн нийт дундаж утга; f нь анхны популяцийн давтамж. Нийт хэлбэлзэл нь шинж чанарын бие даасан утгуудын анхны популяцийн нийт дундаж утгаас хазайлтыг тодорхойлдог.
Бүлэг доторх ялгаа:
Энд j - бүлгийн тоо; j-р бүлэг тус бүрийн дундаж утга; - j-р бүлгийн давтамж. Бүлэг доторх хэлбэлзэл нь бүлэг тус бүрийн шинж чанарын хувь хүний утгын бүлгийн дунджаас хазайлтыг тодорхойлдог. Бүлэг доторх бүх хэлбэлзлийн дунджийг дараах томъёогоор тооцоолно, энд j-р бүлэг тус бүрийн нэгжийн тоо байна.
Бүлэг хоорондын зөрүү:
Бүлэг хоорондын дисперс нь бүлгийн дундаж утгуудын анхны олонлогийн нийт дунджаас хазайлтыг тодорхойлдог.
Зөрчлийг нэмэх дүрэмЭнэ нь анхны олонлогийн нийт дисперс нь бүлэг хоорондын нийлбэр ба бүлэг доторх дисперсийн дундажтай тэнцүү байх ёстой.
Эмпирик детерминацийн коэффициентбүлэглэх шинж чанарын өөрчлөлтөөс шалтгаалж судлагдсан шинж чанарын өөрчлөлтийн эзлэх хувийг харуулж, дараах томъёогоор тооцоолно.
Дундаж ба дисперсийг тооцоолох нөхцөлт тэгээс тоолох арга (моментийн арга)
Моментийн аргаар дисперсийг тооцоолохдоо томъёо, 3 ба 4 дисперсийн шинж чанарыг ашиглахад үндэслэсэн болно.
(3. Хэрэв шинж чанарын бүх утга (сонголт) тогтмол А тоогоор өсөх (буурах) байвал шинэ олонлогийн дисперс өөрчлөгдөхгүй.
4. Хэрэв шинж чанарын бүх утгыг (сонголтуудыг) K нь тогтмол тоо K дахин ихэсгэвэл (үржүүлбэл) шинэ олонлогийн дисперс нь K 2 дахин нэмэгдэх (буурах) болно.)
Моментийн аргаар тэнцүү интервалтай вариацын цувааны дисперсийг тооцоолох томъёог бид олж авна.
A - нөхцөлт тэг, хамгийн их давтамжтай сонголттой тэнцүү (хамгийн их давтамжтай интервалын дунд хэсэг)
Моментийн аргаар дундаж утгыг тооцоолохдоо мөн дундаж утгын шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг.
Сонгомол ажиглалтын тухай ойлголт. Эдийн засгийн үзэгдлийг түүвэрлэлтийн аргаар судлах үе шатууд
Сонгомол ажиглалтыг анхдагч популяцийн бүх нэгжийг биш, зөвхөн нэг хэсгийг нь судалж, судалдаг ажиглалт гэж нэрлэдэг бол популяцийн тодорхой хэсгийг хамарсан судалгааны үр дүн нь бүхэл бүтэн анхдагч популяцид хамаарна. Цаашдын шалгалт, судалгаанд зориулж нэгжүүдийг сонгох багцыг дуудна ерөнхиймөн энэ багцыг тодорхойлсон бүх үзүүлэлтүүдийг нэрлэдэг ерөнхий.
Түүврийн дундажийн ерөнхий дунджаас хазайх боломжит хязгаарыг нэрлэнэ түүвэрлэлтийн алдаа.
Сонгосон нэгжийн багцыг дуудна сонгомолмөн энэ багцыг тодорхойлсон бүх үзүүлэлтүүдийг нэрлэдэг сонгомол.
Түүвэр судалгаа нь дараах үе шатуудыг агуулна.
Судалгааны объектын шинж чанар (эдийн засгийн массын үзэгдэл). Хэрэв нийт хүн ам цөөн бол түүвэрлэхийг зөвлөдөггүй, тасралтгүй судалгаа хийх шаардлагатай;
Дээжийн хэмжээг тооцоолох. Хамгийн бага зардлаар хүлээн зөвшөөрөгдсөн хязгаарт түүврийн алдаа гаргах боломжийг олгох оновчтой хэмжээг тодорхойлох нь чухал;
Санамсаргүй байдал, пропорциональ байдлын шаардлагыг харгалзан ажиглалтын нэгжийг сонгох.
Түүвэрлэлтийн алдааны тооцоонд үндэслэсэн төлөөллийн нотолгоо. Санамсаргүй түүврийн хувьд алдааг томъёогоор тооцоолно. Зорилтот түүврийн хувьд төлөөлөх чадварыг чанарын аргууд (харьцуулалт, туршилт) ашиглан үнэлдэг;
Дээжийн шинжилгээ. Хэрэв үүссэн дээж нь төлөөллийн шаардлагыг хангаж байвал аналитик үзүүлэлтүүдийг (дундаж, харьцангуй гэх мэт) ашиглан шинжилнэ.
