Модульчлагдсан тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх. Онлайн тэгшитгэл
Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Хүчин чадал буюу экспоненциал тэгшитгэл нь хувьсагч нь зэрэглэл, суурь нь тоо байх тэгшитгэл юм. Жишээлбэл:
Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн 2 алхам юм.
1. Баруун болон зүүн талын тэгшитгэлийн суурь ижил эсэхийг шалгах шаардлагатай. Хэрэв үндэслэл нь ижил биш бол бид энэ жишээг шийдэх хувилбаруудыг хайж байна.
2. Суурь нь ижил болсны дараа бид градусыг тэнцүүлж, үүссэн шинэ тэгшитгэлийг шийднэ.
Дараах хэлбэрийн экспоненциал тэгшитгэл өгөгдсөн гэж үзье.
Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг суурийн шинжилгээнээс эхлэх нь зүйтэй. Суурь нь өөр - 2 ба 4, шийдлийн хувьд бид ижил байх шаардлагатай тул бид 4-ийг дараах томъёогоор хувиргана - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
Анхны тэгшитгэлд нэмнэ үү:
Хаалтуудыг гаргах \
Бид илэрхийлнэ \
Зэрэг нь ижил тул бид тэдгээрийг хаядаг:
Хариулт: \
Экспоненциал тэгшитгэлийг онлайн шийдлээр хаана шийдэж болох вэ?
Та манай https: // сайт дээрх тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй байдлын тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор онлайнаар шийдвэрлэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас видео зааврыг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай Вконтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.
I. сүх 2 = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b = 0, c = 0 ). Шийдэл: x = 0. Хариулт: 0.
Тэгшитгэлийг шийдэх.
2x (x + 3) = 6x-x 2.
Шийдэл.Хаалтуудыг үржүүлэх замаар өргөжүүлье 2xнэр томъёо бүрийн хувьд хаалтанд:
2х 2 + 6х = 6х-х 2; Бид нөхцөлүүдийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлнэ:
2x 2 + 6x-6x + x 2 = 0; Бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг:
3x 2 = 0, иймээс x = 0.
Хариулт: 0.
II. сүх 2 + bx = 0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (c = 0 ). Шийдэл: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 эсвэл ax + b = 0 → x 2 = -b / a. Хариулт: 0; -б / а.
5х 2 -26х = 0.
Шийдэл.Нийтлэг хүчин зүйлийг хас NSхаалтны гадна талд:
x (5x-26) = 0; хүчин зүйл бүр тэг байж болно:
x = 0эсвэл 5х-26 = 0→ 5x = 26, бид тэгш байдлын хоёр талыг хуваана 5 ба бид дараахийг авна: x = 5.2.
Хариулт: 0; 5,2.
Жишээ 3. 64x + 4x 2 = 0.
Шийдэл.Нийтлэг хүчин зүйлийг хас 4xхаалтны гадна талд:
4x (16 + x) = 0. Бид гурван хүчин зүйлтэй, 4 ≠ 0, тиймээс, эсвэл x = 0эсвэл 16 + x= 0. Сүүлийн тэгшитгэлээс бид x = -16 болно.
Хариулт: -16; 0.
Жишээ 4.(x-3) 2 + 5x = 9.
Шийдэл.Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратын томьёог ашиглан бид хаалт нээнэ.
x 2 -6x + 9 + 5x = 9; хэлбэрт хувиргах: x 2 -6x + 9 + 5x-9 = 0; Бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг:
x 2 -x = 0; авах NSхаалтанд бид дараахыг авна: x (x-1) = 0. Тиймээс эсвэл x = 0эсвэл x-1 = 0→ x = 1.
Хариулт: 0; 1.
III. сүх 2 + c = 0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b = 0 ); Шийдэл: сүх 2 = -c → x 2 = -c / a.
Хэрэв (-c / a)<0 , тэгвэл жинхэнэ үндэс байхгүй болно. Хэрэв (-s / a)> 0
Жишээ 5. x 2 -49 = 0.
Шийдэл.
x 2 = 49, тиймээс x = ± 7. Хариулт:-7; 7.
Жишээ 6. 9х 2 -4 = 0.
Шийдэл.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын квадратуудын нийлбэр (x 1 2 + x 2 2) эсвэл шоо нийлбэр (x 1 3 + x 2 3) -ийг олох нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг, бага тохиолдолд - урвуу утгуудын нийлбэр. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын язгуурын квадратууд эсвэл арифметик квадрат язгууруудын нийлбэр:
Виетийн теорем үүнд тусална.
x 2 + px + q = 0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
илэрхийлье хөндлөн хболон q:
1) тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэр x 2 + px + q = 0;
2) тэгшитгэлийн язгууруудын шоо нийлбэр x 2 + px + q = 0.
Шийдэл.
1) Илэрхийлэл x 1 2 + x 2 2тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгох замаар олно x 1 + x 2 = -p;
(x 1 + x 2) 2 = (- p) 2; хаалтуудыг тэлэх: x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; шаардлагатай нийлбэрийг илэрхийл: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2x 1 x 2 = p 2 -2q. Бид ашигтай тэгш байдлыг олж авсан: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
2) Илэрхийлэл x 1 3 + x 2 3Бид шоо нийлбэрийг томъёогоор илэрхийлнэ:
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q) ).
Өөр нэг ашигтай тэгш байдал: x 1 3 + x 2 3 = -p · (p 2 -3q).
Жишээ.
3) x 2 -3x-4 = 0.Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр илэрхийллийн утгыг тооцоол x 1 2 + x 2 2.
Шийдэл.
x 1 + x 2 = -p = 3,болон ажил x 1 ∙ x 2 = q =жишээнд 1) тэгш байдал:
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.Бидэнд байгаа -х= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q = x 1 x 2 = -4. Дараа нь x 1 2 + x 2 2 = 9-2 (-4) = 9 + 8 = 17.
Хариулт: x 1 2 + x 2 2 = 17.
4) x 2 -2x-4 = 0.Тооцоол: x 1 3 + x 2 3.
Шийдэл.
Виетийн теоремоор энэ бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 1 + x 2 = -p = 2,болон ажил x 1 ∙ x 2 = q =-4. Бидний хүлээн авсан зүйлийг хэрэгжүүлье ( жишээ 2 дээр) тэгш байдал: x 1 3 + x 2 3 = -p (p 2 -3q) = 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.
Хариулт: x 1 3 + x 2 3 = 32.
Асуулт: Хэрэв бидэнд урьд өмнө байгаагүй квадрат тэгшитгэл өгвөл яах вэ? Хариулт: Энэ нь үргэлж "багасгаж" болно, үүнийг эхний коэффициентээр нэр томьёо болгон хувааж болно.
5) 2х 2 -5х-7 = 0.Шийдвэрлэхгүйгээр тооцоолно уу: x 1 2 + x 2 2.
Шийдэл.Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн. Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т (эхний коэффициент) хувааж, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг гарга. x 2 -2.5x-3.5 = 0.
Виетийн теоремоор язгууруудын нийлбэр нь байна 2,5 ; үндэс нь бүтээгдэхүүн юм -3,5 .
Бид жишээний адилаар шийддэг 3) тэгш байдлыг ашиглан: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Хариулт: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2 = 0.Олно:
Бид энэ тэгш байдлыг өөрчилж, язгууруудын нийлбэрийг Виетийн теоремоор сольдог -х, болон дамжуулан үндэс бүтээгдэхүүн q, бид өөр нэг ашигтай томъёог олж авдаг. Томьёог гаргахдаа тэгшитгэл 1-ийг ашигласан болно): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
Бидний жишээнд x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙ x 2 = q =-2. Бид эдгээр утгыг үүссэн томъёонд орлуулна.
7) x 2 -13x + 36 = 0.Олно:
Бид энэ нийлбэрийг хувиргаж, квадрат тэгшитгэлийн язгуураас арифметик квадрат язгууруудын нийлбэрийг олох боломжтой томъёог олж авна.
Бидэнд байгаа x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙ x 2 = q = 36. Эдгээр утгыг үүсмэл томъёонд орлуулна уу:
Зөвлөгөө : квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тохиромжтой аргаар олох боломжийг үргэлж шалга. 4 хянан үзсэн ашигтай томъёоялангуяа ялгаварлан гадуурхагч нь "тохиромжгүй" тоо байх тохиолдолд даалгаврыг хурдан гүйцэтгэх боломжийг танд олгоно. Бүх энгийн тохиолдолд үндсийг нь олж, тэдгээрийг ажиллуул. Жишээлбэл, сүүлийн жишээнд бид Вьетнамын теоремын дагуу үндсийг сонгоно: язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байх ёстой. 13 , мөн үндэсийн бүтээгдэхүүн 36 ... Эдгээр тоо юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, 4 ба 9.Одоо эдгээр тоонуудын квадрат язгуурын нийлбэрийг тооцоол. 2+3=5. Ингээд л болоо!
И.Вьетагийн теорембууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд.
Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + px + q = 0нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
Виетийн теоремыг ашиглан багасгасан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Жишээ 1) x 2 -x-30 = 0.Энэ нь квадрат тэгшитгэлийг багасгасан ( x 2 + px + q = 0), хоёр дахь коэффициент p = -1болон чөлөөт нэр томъёо q = -30.Эхлээд өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэстэй, үндэс (хэрэв байгаа бол) бүхэл тоогоор илэрхийлэгдэх эсэхийг шалгаарай. Үүний тулд дискриминант нь бүхэл тооны төгс квадрат байх нь хангалттай юм.
Ялгаварлагчийг ол Д= b 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
Одоо Вьетнамын теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. ( -х), бүтээгдэхүүн нь чөлөөт хугацаатай тэнцүү, i.e. ( q). Дараа нь:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30.Тэдний бүтээгдэхүүн тэнцүү байхын тулд бид хоёр тоог сонгох хэрэгтэй -30 , нийлбэр нь байна нэгж... Эдгээр нь тоо юм -5 болон 6 . Хариулт: -5; 6.
Жишээ 2) x 2 + 6x + 8 = 0.Бид хоёр дахь коэффициент бүхий бууруулсан квадрат тэгшитгэлтэй байна p = 6мөн чөлөөт гишүүн q = 8... Бүхэл язгуур байгаа эсэхийг шалгацгаая. Ялгаварлагчийг ол D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Дискриминант D 1 нь тооны төгс квадрат юм 1 , тиймээс энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо юм. Виетийн теоремын дагуу үндсийг сонгоцгооё: язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байна –P = -6, мөн үндэсийн бүтээгдэхүүн нь юм q = 8... Эдгээр нь тоо юм -4 болон -2 .
Үнэн хэрэгтээ: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Хариулт: -4; -2.
Жишээ 3) x 2 + 2x-4 = 0... Энэ багасгасан квадрат тэгшитгэлд хоёр дахь коэффициент p = 2болон чөлөөт нэр томъёо q = -4... Ялгаварлагчийг ол D 1хоёр дахь коэффициент нь тэгш тоо тул. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ялгаварлагч нь тооны төгс квадрат биш тул бид үүнийг хийдэг гаралт: Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо биш бөгөөд Виетийн теоремоор олдохгүй.Энэ нь бид энэ тэгшитгэлийг ердийнхөөрөө томъёогоор (энэ тохиолдолд томьёог ашиглан) шийднэ гэсэн үг юм. Бид авах:
Жишээ 4).Хэрэв язгуурыг нь квадрат тэгшитгэл хий x 1 = -7, x 2 = 4.
Шийдэл.Хүссэн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ. x 2 + px + q = 0, ба, Вьетагийн теоремын үндсэн дээр –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. x 2 + 3x-28 = 0.
Жишээ 5).Дараах тохиолдолд түүний язгуурын квадрат тэгшитгэлийг байгуул.
II. Вьетагийн теоремБүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд сүх 2 + bx + c = 0.
Үндэсний нийлбэр нь хасах юм бхуваасан а, үндэсийн бүтээгдэхүүн нь хамтхуваасан а:
x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.
Жишээ 6).Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол 2х 2 -7х-11 = 0.
Шийдэл.
Энэ тэгшитгэл нь үндэстэй гэдэгт бид итгэлтэй байна. Үүнийг хийхийн тулд ялгаварлагчийн илэрхийлэл зохиоход хангалттай бөгөөд үүнийг тооцоолохгүйгээр ялгаварлагч нь тэгээс их байгаа эсэхийг шалгаарай. Д=7 2 -4∙2∙(-11)>0 ... Одоо ашиглацгаая теорем Вьетнамбүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд.
x 1 + x 2 = -b: a=- (-7):2=3,5.
Жишээ 7)... Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг ол 3х 2 + 8х-21 = 0.
Шийдэл.
Ялгаварлагчийг ол D 1, хоёр дахь коэффициентээс хойш ( 8 ) нь тэгш тоо юм. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 ... Квадрат тэгшитгэл нь байна 2 үндэс, Вьетнамын теоремын дагуу үндэсийн үржвэр x 1 ∙ x 2 = c: a=-21:3=-7.
I. сүх 2 + bx + c = 0- ерөнхий квадрат тэгшитгэл
Ялгаварлан гадуурхагч D = b 2 - 4ac.
Хэрэв D> 0, тэгвэл бид хоёр жинхэнэ үндэстэй болно:
Хэрэв D = 0, тэгвэл бид нэг үндэстэй (эсвэл хоёр тэнцүү үндэстэй) x = -b / (2a).
Хэрэв Д<0, то действительных корней нет.
Жишээ 1) 2х 2 + 5х-3 = 0.
Шийдэл. а=2; б=5; в=-3.
D = b 2 - 4ac= 5 2 -4 ∙ 2 ∙ (-3) = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0; 2 жинхэнэ үндэс.
4x 2 + 21x + 5 = 0.
Шийдэл. а=4; б=21; в=5.
D = b 2 - 4ac= 21 2 - 4 ∙ 4 ∙ 5 = 441-80 = 361 = 19 2> 0; 2 жинхэнэ үндэс.
II. сүх 2 + bx + c = 0 – хэсэгчилсэн квадрат тэгшитгэл тэгш секундын хамт
коэффициент б
Жишээ 3) 3x 2 -10x + 3 = 0.
Шийдэл. а=3; б= -10 (тэгш тоо); в=3.
Жишээ 4) 5х 2 -14х-3 = 0.
Шийдэл. а=5; б= -14 (тэгш тоо); в=-3.
Жишээ 5) 71x 2 + 144x + 4 = 0.
Шийдэл. а=71; б= 144 (тэгш тоо); в=4.
Жишээ 6) 9х 2 -30х + 25 = 0.
Шийдэл. а=9; б= -30 (тэгш тоо); в=25.
III. сүх 2 + bx + c = 0 – квадрат тэгшитгэл хувийн үзэмжийг өгсөн: a-b + c = 0.
Эхний үндэс нь үргэлж хасах нэг, хоёр дахь үндэс нь үргэлж хасах байдаг хамтхуваасан а:
x 1 = -1, x 2 = -c / a.
Жишээ 7) 2х 2 + 9х + 7 = 0.
Шийдэл. а=2; б=9; в= 7. Тэгш байдлыг шалгая: a-b + c = 0.Бид авах: 2-9+7=0 .
Дараа нь x 1 = -1, x 2 = -c / a = -7 / 2 = -3.5.Хариулт: -1; -3,5.
IV. сүх 2 + bx + c = 0 – тодорхой хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг өгсөн : a + b + c = 0.
Эхний үндэс нь үргэлж нэг, хоёр дахь үндэс нь үргэлж байдаг хамтхуваасан а:
x 1 = 1, x 2 = c / a.
Жишээ 8) 2х 2 -9х + 7 = 0.
Шийдэл. а=2; б=-9; в= 7. Тэгш байдлыг шалгая: a + b + c = 0.Бид авах: 2-9+7=0 .
Дараа нь x 1 = 1, x 2 = c / a = 7/2 = 3.5.Хариулт: 1; 3,5.
1 хуудасны 1 1
Энэ видеон дээр бид ижил алгоритмыг ашиглан шийддэг шугаман тэгшитгэлийн бүхэл бүтэн багцыг шинжлэх болно - тиймээс тэдгээрийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг.
Эхлээд тодорхойлъё: шугаман тэгшитгэл гэж юу вэ, тэдгээрийн хамгийн энгийн нь юу вэ?
Шугаман тэгшитгэл гэдэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай, зөвхөн нэгдүгээр зэрэгтэй тэгшитгэл юм.
Хамгийн энгийн тэгшитгэл нь бүтээцийг хэлнэ:
Бусад бүх шугаман тэгшитгэлийг алгоритмыг ашиглан хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон бууруулна.
- Хэрэв байгаа бол хашилтыг дэлгэнэ үү;
- Хувьсагч агуулсан нэр томьёог тэнцүү тэмдгийн нэг тал руу, хувьсагчгүй нөхцөлийг нөгөө тал руу нь шилжүүлэх;
- Тэнцүү тэмдгийн баруун, зүүн талд ижил төстэй нэр томьёо авчрах;
- Гарсан тэгшитгэлийг $ x $ хувьсагчийн коэффициентэд хуваа.
Мэдээжийн хэрэг, энэ алгоритм нь үргэлж тусалдаггүй. Баримт нь заримдаа эдгээр бүх заль мэхний дараа $ x $ хувьсагчийн коэффициент тэг болж хувирдаг. Энэ тохиолдолд хоёр сонголт байж болно:
- Тэгшитгэлд шийдэл огт байхгүй. Жишээлбэл, та $ 0 \ cdot x = 8 $ гэх мэт зүйлийг авах үед, i.e. зүүн талд нь тэг, баруун талд нь тэгээс өөр тоо байна. Доорх видеон дээр бид яагаад ийм нөхцөл байдал үүсч болох хэд хэдэн шалтгааныг нэг дор авч үзэх болно.
- Шийдэл нь бүх тоо юм. Энэ боломжтой цорын ганц тохиолдол бол тэгшитгэлийг $ 0 \ cdot x = 0 $ бүтэц болгон бууруулсан явдал юм. Бид ямар ч $ x $ орлуулахаас үл хамааран "тэг тэгтэй тэнцүү" болж хувирах нь маш логик юм. зөв тоон тэгш байдал.
Одоо энэ бүхэн бодит амьдрал дээрх асуудлуудад хэрхэн ажилладагийг харцгаая.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
Өнөөдөр бид шугаман тэгшитгэлүүдтэй харьцаж байгаа бөгөөд зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд юм. Ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэл гэдэг нь яг нэг хувьсагч агуулсан аливаа тэгшитгэлийг хэлдэг бөгөөд энэ нь зөвхөн эхний зэрэгтэй байдаг.
Ийм бүтээн байгуулалтыг ойролцоогоор ижил аргаар шийддэг.
- Юуны өмнө, хэрэв байгаа бол (бидний сүүлийн жишээн дээрх шиг) хаалтуудыг өргөжүүлэх хэрэгтэй;
- Дараа нь ижил төстэй зүйлийг авчир
- Эцэст нь хувьсагчийг хураана, i.e. хувьсагчтай холбоотой бүх зүйлийг - түүнд агуулагдаж буй нэр томьёо - нэг чиглэлд, үүнгүйгээр үлдсэн бүх зүйлийг нөгөө тал руу шилжүүлэх ёстой.
Дараа нь, дүрмээр, та олж авсан тэгш байдлын тал бүр дээр ижил төстэй зүйлсийг авчрах хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа "x" дээрх коэффициентээр хуваахад л үлдэх бөгөөд бид эцсийн хариултыг авах болно.
Онолын хувьд энэ нь сайхан бөгөөд энгийн харагддаг боловч практик дээр туршлагатай ахлах сургуулийн сурагчид хүртэл маш энгийн шугаман тэгшитгэл дээр доромжилсон алдаа гаргаж чаддаг. Ихэвчлэн хаалт нээх, эсвэл "нэмэх", "хасах"-ыг тооцоолохдоо алдаа гардаг.
Нэмж дурдахад, шугаман тэгшитгэл нь огт шийдэлгүй, эсвэл шийдэл нь бүхэл тооны шугам байх тохиолдол гардаг. ямар ч тоо. Өнөөдрийн хичээл дээр бид эдгээр нарийн ширийн зүйлийг шинжлэх болно. Гэхдээ та аль хэдийн ойлгосноор бид хамгийн энгийн ажлуудаас эхлэх болно.
Хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем
Эхлээд хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх бүх схемийг дахин бичье.
- Хэрэв байгаа бол хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
- Бид хувьсагчдыг нууцалдаг, өөрөөр хэлбэл. "x" агуулсан бүх зүйл нэг тал руу, "x" байхгүй бол нөгөө тал руу шилждэг.
- Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.
- Бид бүгдийг "x" гэсэн коэффициент болгон хуваадаг.
Мэдээжийн хэрэг, энэ схем үргэлж ажилладаггүй, үүнд тодорхой нарийн мэдрэмж, заль мэх байдаг бөгөөд одоо бид тэдэнтэй танилцах болно.
Энгийн шугаман тэгшитгэлийн бодит жишээнүүдийг шийдвэрлэх
Асуудлын дугаар 1
Эхний алхамд бид хаалтуудыг өргөжүүлэхийг шаарддаг. Гэхдээ тэд энэ жишээнд байхгүй тул бид энэ үе шатыг алгасаж байна. Хоёр дахь шатанд бид хувьсагчдыг хураах хэрэгтэй. Анхаарна уу: бид зөвхөн хувь хүний нэр томъёоны тухай ярьж байна. Ингээд бичье:
Бид зүүн болон баруун талд ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна, гэхдээ үүнийг энд аль хэдийн хийсэн. Тиймээс бид дөрөв дэх алхам руу шилжиж байна: коэффициентээр хуваана:
\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]
Тиймээс бид хариултаа авлаа.
Асуудлын дугаар 2
Энэ асуудалд бид хаалтуудыг ажиглаж болох тул тэдгээрийг өргөжүүлье:
Зүүн ба баруун талд хоёуланд нь бид ойролцоогоор ижил барилгыг харж байна, гэхдээ алгоритмын дагуу үргэлжлүүлье, өөрөөр хэлбэл. Бид хувьсагчдыг нууцалдаг:
Энд ижил төстэй зүйлүүд байна:
Энэ нь ямар үндэс дээр хийгддэг. Хариулт: аль ч тохиолдолд. Тиймээс $ x $ нь дурын тоо гэж бичиж болно.
Асуудлын дугаар 3
Гурав дахь шугаман тэгшитгэл нь аль хэдийн илүү сонирхолтой юм:
\ [\ зүүн (6-х \ баруун) + \ зүүн (12 + x \ баруун) - \ зүүн (3-2x \ баруун) = 15 \]
Энд хэд хэдэн хаалт байгаа боловч тэдгээрийг юугаар ч үржүүлээгүй, зүгээр л урд нь өөр өөр тэмдэгтэй байдаг. Тэднийг нээцгээе:
Бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан хоёр дахь алхмыг гүйцэтгэдэг.
\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]
Тоолж үзье:
Бид сүүлчийн алхамыг хийдэг - бид бүгдийг "x" коэффициентээр хуваадаг.
\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]
Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарах зүйлс
Хэт энгийн ажлуудаас гадна би дараахь зүйлийг хэлмээр байна.
- Дээр хэлсэнчлэн шугаман тэгшитгэл бүр шийдэлтэй байдаггүй - заримдаа үндэс байдаггүй;
- Хэдийгээр үндэс байгаа ч гэсэн тэдний дунд тэг байж болно - үүнд буруу зүйл байхгүй.
Тэг нь бусадтай ижил тоо тул та үүнийг ямар нэгэн байдлаар ялгаварлан гадуурхах ёсгүй, тэгвэл та буруу зүйл хийсэн гэж бодож болохгүй.
Өөр нэг онцлог нь хаалт нээхтэй холбоотой юм. Анхаарна уу: тэдний өмнө "хасах" тэмдэг байгаа бол бид үүнийг арилгана, гэхдээ хаалтанд тэмдэглэгээг өөрчилнө. эсрэг... Дараа нь бид үүнийг стандарт алгоритмуудыг ашиглан нээж болно: бид дээрх тооцоололд үзсэн зүйлээ олж авна.
Энэхүү энгийн баримтыг ойлгох нь ахлах сургуульд ийм үйлдэл хийхдээ тэнэг, хор хөнөөлтэй алдаанаас зайлсхийх боломжийг олгоно.
Нарийн төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Илүү төвөгтэй тэгшитгэл рүү шилжье. Одоо бүтэц нь илүү төвөгтэй болж, янз бүрийн хувиргалт хийх үед квадрат функц гарч ирэх болно. Гэсэн хэдий ч та үүнээс айх ёсгүй, учир нь хэрэв зохиогчийн зорилгын дагуу шугаман тэгшитгэлийг шийдвэл хувиргах явцад квадрат функц агуулсан бүх мономиалууд цуцлагдах болно.
Жишээ №1
Мэдээжийн хэрэг, эхний алхам бол хашилтыг өргөжүүлэх явдал юм. Үүнийг маш болгоомжтой хийцгээе:
Одоо нууцлалын хувьд:
\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]
Энд ижил төстэй зүйлүүд байна:
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид хариултанд бичнэ:
\ [\ varnothing \]
эсвэл үндэс байхгүй.
Жишээ №2
Бид ижил алхамуудыг дагаж мөрддөг. Эхний алхам:
Хувьсагчтай бүх зүйлийг зүүн тийш, үүнгүйгээр баруун тийш шилжүүлнэ үү:
Энд ижил төстэй зүйлүүд байна:
Мэдээжийн хэрэг, энэ шугаман тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.
\ [\ varnothing \],
эсвэл үндэс байхгүй.
Шийдлийн нюансууд
Хоёр тэгшитгэл хоёулаа бүрэн шийдэгдсэн. Эдгээр хоёр илэрхийлэлийг жишээ болгон ашигласнаар бид хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлд ч гэсэн бүх зүйл тийм ч энгийн биш байж болох юм: нэг үндэс байж болно, эсвэл байхгүй, эсвэл хязгааргүй олон байж болно гэдгийг дахин нэг удаа батлав. Манай тохиолдолд бид хоёр тэгшитгэлийг авч үзсэн бөгөөд хоёуланд нь үндэс байхгүй.
Гэхдээ би та бүхний анхаарлыг өөр нэг баримтад хандуулахыг хүсч байна: хаалттай хэрхэн ажиллах, өмнө нь хасах тэмдэг байвал тэдгээрийг хэрхэн нээх вэ. Энэ илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй:
Илчлэхээсээ өмнө бүх зүйлийг "X" -ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Жич: үржүүлнэ бие даасан нэр томъёо бүр... Дотор нь хоёр нэр томъёо байдаг - тус тус хоёр нэр томъёо, үржүүлсэн.
Зөвхөн эдгээр энгийн мэт боловч маш чухал бөгөөд аюултай хувиргалтыг хийсний дараа та хашилтыг түүний ард хасах тэмдэг байгаа гэсэн үүднээс өргөжүүлж болно. Тийм ээ, тийм: зөвхөн одоо л, өөрчлөлтүүд дуусмагц бид хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгааг санаж байгаа бөгөөд энэ нь доош бууж буй бүх зүйл зүгээр л тэмдгийг өөрчилдөг гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хаалт нь өөрөө алга болж, хамгийн чухал нь тэргүүлэх хасах нь бас алга болно.
Бид хоёр дахь тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хийнэ:
Би эдгээр өчүүхэн мэт жижиг баримтуудад анхаарал хандуулж байгаа нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж энгийн хувиргалтуудын дараалал байдаг тул энгийн үйлдлүүдийг тодорхой, чадварлаг хийж чадахгүй байгаа нь ахлах сургуулийн сурагчид над дээр ирж, ийм энгийн тэгшитгэлийг шийдэж сурахад хүргэдэг.
Мэдээжийн хэрэг, өдөр ирэх болно, та эдгээр ур чадвараа автоматизмд оруулах болно. Та дахин маш олон хувиргалт хийх шаардлагагүй, бүх зүйлийг нэг мөрөнд бичих болно. Гэхдээ та дөнгөж сурч байхдаа үйлдэл бүрийг тусад нь бичих хэрэгтэй.
Бүр илүү төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Одоо бидний шийдэх гэж байгаа зүйл бол хамгийн энгийн ажил гэж нэрлэхэд хэцүү боловч утга нь хэвээр байна.
Асуудлын дугаар 1
\ [\ зүүн (7х + 1 \ баруун) \ зүүн (3х-1 \ баруун) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]
Эхний хэсгийн бүх элементүүдийг үржүүлье.
Нууцлалыг тодорхой болгоё:
Энд ижил төстэй зүйлүүд байна:
Бид сүүлчийн алхамыг хийдэг:
\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]
Энд бидний эцсийн хариулт байна. Хэдийгээр квадрат функц бүхий коэффициентүүдийг шийдвэрлэх явцад тэдгээр нь харилцан устгагдсан нь тэгшитгэлийг дөрвөлжин биш, яг шугаман болгодог.
Асуудлын дугаар 2
\ [\ зүүн (1-4х \ баруун) \ зүүн (1-3x \ баруун) = 6x \ зүүн (2х-1 \ баруун) \]
Эхний алхамыг сайтар хийцгээе: эхний хаалтанд байгаа элемент бүрийг хоёр дахь элемент бүрээр үржүүл. Нийтдээ өөрчлөлтийн дараа дөрвөн шинэ нэр томъёо байх ёстой.
Одоо үржүүлэлтийг гишүүн бүрт анхааралтай хийцгээе.
"x"-тэй нэр томьёог зүүн тийш, харин - баруун тийш шилжүүлье.
\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]
Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:
Дахин нэг удаа бид эцсийн хариултыг авлаа.
Шийдлийн нюансууд
Эдгээр хоёр тэгшитгэлийн талаархи хамгийн чухал тэмдэглэл нь дараах байдалтай байна: бид нэр томъёоноос илүү байгаа хаалтыг үржүүлж эхэлмэгц үүнийг дараах дүрмийн дагуу хийнэ: эхний ба эхний гишүүнээс эхний гишүүнийг авна. хоёр дахь элемент бүрээр үржүүлэх; Дараа нь бид эхнийхээс хоёр дахь элементийг авч, хоёр дахь элемент бүрээр ижил төстэй байдлаар үржүүлнэ. Үүний үр дүнд бид дөрвөн нэр томъёо авдаг.
Алгебрийн нийлбэр
Сүүлийн жишээгээр би оюутнуудад алгебрийн нийлбэр гэж юу болохыг сануулмаар байна. Сонгодог математикийн хувьд 1-7 доллараар бид энгийн бүтээцийг хэлнэ: нэгээс долоог хас. Алгебрийн хувьд бид үүгээрээ дараахь зүйлийг хэлнэ: "нэг" тоонд бид өөр тоо, тухайлбал "хасах долоо" тоог нэмнэ. Энэ нь алгебрийн нийлбэр нь ердийн арифметикээс ялгаатай юм.
Бүх хувиргалт, нэмэх, үржүүлэх бүрийг хийхдээ дээр дурдсантай ижил төстэй бүтцийг харж эхэлснээр олон гишүүнт ба тэгшитгэлтэй ажиллахад алгебрийн хувьд ямар ч асуудал гарахгүй.
Эцэст нь хэлэхэд, бидний саяхан үзсэнээс ч илүү төвөгтэй байх хэд хэдэн жишээг авч үзье, тэдгээрийг шийдэхийн тулд бид стандарт алгоритмаа бага зэрэг өргөжүүлэх хэрэгтэй болно.
Бутархайтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Иймэрхүү асуудлыг шийдэхийн тулд бид алгоритмдаа нэг алхам нэмэх шаардлагатай болно. Гэхдээ эхлээд би танд алгоритмаа сануулъя:
- Хаалтуудыг өргөжүүлэх.
- Хувьсагчдыг нууцлах.
- Ижил төстэйг нь авчир.
- Хүчин зүйлээр хуваах.
Харамсалтай нь, энэ гайхалтай алгоритм нь бүх үр дүнтэй боловч бидний өмнө бутархай байх үед тийм ч тохиромжтой биш юм. Бидний доор үзэх зүйлд бид хоёр тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бутархай байна.
Энэ тохиолдолд яаж ажиллах вэ? Бүх зүйл маш энгийн! Үүнийг хийхийн тулд та алгоритмд дахин нэг алхам нэмэх хэрэгтэй бөгөөд үүнийг эхний үйлдлээс өмнө болон дараа нь хийж болно, тухайлбал бутархай хэсгүүдээс ангижрах боломжтой. Тиймээс алгоритм дараах байдалтай байна.
- Бутархай хэсгүүдээс сал.
- Хаалтуудыг өргөжүүлэх.
- Хувьсагчдыг нууцлах.
- Ижил төстэйг нь авчир.
- Хүчин зүйлээр хуваах.
"Бутархайг арилгах" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Үүнийг яагаад эхний стандарт алхамын дараа болон өмнө хийж болох вэ? Үнэн хэрэгтээ, манай тохиолдолд бүх бутархай нь хуваагчаар тоон хэлбэртэй байдаг, i.e. хуваагчийн хаа сайгүй зүгээр л тоо. Тиймээс, хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ тоогоор үржүүлбэл бид бутархай хэсгүүдээс сална.
Жишээ №1
\ [\ frac (\ зүүн (2х + 1 \ баруун) \ зүүн (2х-3 \ баруун)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]
Энэ тэгшитгэлийн бутархай хэсгүүдээс салцгаая.
\ [\ frac (\ зүүн (2х + 1 \ баруун) \ зүүн (2х-3 \ баруун) \ cdot 4) (4) = \ зүүн (((x) ^ (2)) - 1 \ баруун) \ cdot 4\]
Анхаар: бүх зүйл нэг удаа "дөрөв" -ээр үрждэг, өөрөөр хэлбэл. Та хоёр хаалттай байна гэдэг нь тус бүрийг дөрөвөөр үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн үг биш юм. Ингээд бичье:
\ [\ зүүн (2х + 1 \ баруун) \ зүүн (2х-3 \ баруун) = \ зүүн (((x) ^ (2)) - 1 \ баруун) \ cdot 4 \]
Одоо нээцгээе:
Бид хувьсагчийн тусгаарлалтыг хийдэг:
Бид ижил төстэй нэр томъёоны бууралтыг хийдэг.
\ [- 4x = -1 \ үлдсэн | : \ зүүн (-4 \ баруун) \ баруун. \]
\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]
Бид эцсийн шийдлийг олж авлаа, хоёр дахь тэгшитгэл рүү очно уу.
Жишээ №2
\ [\ frac (\ зүүн (1-х \ баруун) \ зүүн (1 + 5x \ баруун)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]
Энд бид бүх ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг:
\ [\ frac (\ зүүн (1-х \ баруун) \ зүүн (1 + 5x \ баруун) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]
\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]
Асуудал шийдэгдсэн.
Энэ бол үнэндээ миний өнөөдөр хэлэхийг хүссэн зүйл юм.
Гол оноо
Гол дүгнэлтүүд нь дараах байдалтай байна.
- Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг мэдэх.
- Хаалт нээх чадвар.
- Хэрэв та хаа нэгтээ квадрат функцтэй бол санаа зовох хэрэггүй, цаашдын өөрчлөлтийн явцад тэдгээр нь багасах магадлалтай.
- Шугаман тэгшитгэлийн үндэс, тэр ч байтугай хамгийн энгийн нь ч гэсэн гурван төрлийн байдаг: нэг язгуур, бүхэл тооны шугам нь үндэс, огт үндэс байхгүй.
Энэ хичээл нь бүх математикийг илүү сайн ойлгоход хялбар боловч маш чухал сэдвийг эзэмшихэд тусална гэж найдаж байна. Хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сайт руу орж, тэнд үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдээрэй. Хамтдаа байгаарай, өөр олон сонирхолтой зүйлс таныг хүлээж байна!
Тэгшитгэлийн системийн хоёр төрлийн шийдлийг авч үзье.
1. Орлуулах аргаар системийн шийдэл.
2. Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) замаар системийн шийдэл.
Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах аргаТа энгийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй:
1. Бид илэрхийлдэг. Аливаа тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг илэрхийл.
2. Орлуулах. Бид олж авсан утгыг илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчаар шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.
Шийдэхийн тулд Нэр томъёо нэмэх (хасах) системшаардлагатай:
1. Бид ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонго.
2. Бид тэгшитгэлийг нэмэх, хасах, эцэст нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авдаг.
3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.
Системийн шийдэл нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.
Жишээнүүдийг ашиглан системийн шийдлийг нарийвчлан авч үзье.
Жишээ №1:
Орлуулах аргаар шийдье
Орлуулалтын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх2x + 5y = 1 (1 тэгшитгэл)
x-10y = 3 (2 тэгшитгэл)
1. Экспресс
Хоёрдахь тэгшитгэлд 1 коэффициенттэй х хувьсагч байгааг харж болно, үүнээс харахад хоёр дахь тэгшитгэлээс x хувьсагчийг илэрхийлэхэд хамгийн хялбар байдаг.
x = 3 + 10y
2. Бид илэрхийлсний дараа эхний тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд 3 + 10y-г орлуулна.
2 (3 + 10y) + 5y = 1
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчаар шийд.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (хаалтуудыг дэлгэх)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0.2
Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцлын цэгүүд тул бид х ба у-г олох хэрэгтэй, учир нь огтлолцлын цэг нь х ба у-аас тогтдог.Х-г ол, тэнд илэрхийлсэн эхний догол мөрөнд y-г орлуулна.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0.2) = 1
Эхний ээлжинд бид x хувьсагч, хоёрдугаарт у хувьсагчийг бичдэг цэгүүдийг бичих заншилтай байдаг.
Хариулт: (1; -0.2)
Жишээ №2:
Нэр томьёогоор нэмэх (хасах) аргаар шийдье.
Тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар шийдвэрлэх3x-2y = 1 (1 тэгшитгэл)
2x-3y = -10 (2 тэгшитгэл)
1.Хувьсагчийг сонгоно уу, x-г сонгоно уу. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч нь 3 коэффициенттэй, хоёр дахь нь 2. Коэффицентүүдийг ижил болгох шаардлагатай, үүний тулд бид тэгшитгэлийг үржүүлэх эсвэл дурын тоогоор хуваах эрхтэй. Эхний тэгшитгэлийг 2-оор, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлснээр бид нийт 6 хүчин зүйлийг авна.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасаад х хувьсагчаас сална Шугаман тэгшитгэлийг шийд.
__6x-4y = 2
5y = 32 | :5
y = 6.4
3. x-г ол. Олсон y-г аль нэг тэгшитгэлд орлуулж эхний тэгшитгэлд оруулъя.
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3х-12.8 = 1
3x = 1 + 12.8
3х = 13.8 |: 3
x = 4.6
Уулзвар цэг нь x = 4.6 байх болно; y = 6.4
Хариулт: (4.6; 6.4)
Та шалгалтанд үнэ төлбөргүй суралцахыг хүсч байна уу? Онлайн багш үнэ төлбөргүй байдаг... Тоглоомгүй.
