Эрчим хүчний цуваа дахь функцуудыг өргөжүүлэх

Практик ур чадварыг сургах сайт дээр Тейлор, Маклаурин, Лорент нарын цуврал функцийг задлах. Функцийн энэхүү цуврал өргөтгөл нь математикчдад функцийн домэйны аль нэг цэг дэх ойролцоо утгыг тооцоолох санааг өгдөг. Функцийн ийм утгыг тооцоолох нь Bredis хүснэгтийг ашиглахтай харьцуулахад хамаагүй хялбар байдаг тул тооцоолох эрин үед хамааралгүй байдаг. Тейлорын цувралын функцийг өргөжүүлнэ гэдэг нь энэ цувралын шугаман функцүүдийн өмнөх коэффициентүүдийг тооцоолж, зөв ​​хэлбэрээр бичнэ гэсэн үг юм. Оюутнууд эдгээр хоёр мөрийг андуурч, ерөнхий тохиолдол юу болохыг, хоёрдугаарт ямар онцгой тохиолдол байгааг ойлгохгүй байна. Маклаурины цуврал бол Тейлорын цувралын онцгой тохиолдол, өөрөөр хэлбэл энэ нь Тейлорын цуврал боловч x = 0 цэг дээр. e ^ x гэх мэт мэдэгдэж буй функцүүдийн өргөтгөлийн талаархи бүх богино мэдэгдлийг бид нэг удаа сануулж байна. , Sin (x), Cos (x) болон бусад, эдгээр нь Тейлорын цувралын өргөтгөлүүд боловч аргументийн хувьд 0 цэгт байна. Нарийн төвөгтэй аргументуудын функцүүдийн хувьд Лоран цуврал нь хоёр талт хязгааргүй цувралыг төлөөлдөг тул TFKP-д хамгийн түгээмэл ажил юм. Энэ нь хоёр эгнээний нийлбэр юм. Бид таныг сайт дээр шууд задралын жишээг үзэхийг урьж байна, үүнийг хийх нь маш энгийн бөгөөд "Жишээ" дээр дурын тоогоор, дараа нь "Шийдэл" товчийг дарна уу. Функцийн ийм цуваа өргөтгөлтэй томжуулсан цуваа холбогддог бөгөөд хэрэв хувьсагч абсцисса мужид хамаарах бол ординатын тэнхлэгийн дагуу тодорхой муж дахь анхны функцийг хязгаарладаг. Вектор шинжилгээ нь математикийн өөр нэг сонирхолтой салбартай тулгардаг. Нэгэнт нэр томьёо бүрийг судлах шаардлагатай байдаг тул үйл явц нь маш их цаг хугацаа шаарддаг. Тэйлорын аль ч цувралыг Маклаурины цувралтай холбож x0-ийг тэгээр сольж болох боловч Маклаурин цувралын хувьд Тейлорын цувралыг арагшаа харуулсан нь заримдаа тодорхойгүй байдаг. Үүнийг цэвэр хэлбэрээр нь хийх шаардлагагүй ч ерөнхийдөө өөрийгөө хөгжүүлэх сонирхолтой байдаг. Лорентын цуваа бүр нь z-a-ийн бүхэл зэрэглэлийн хоёр талт хязгааргүй чадлын цуваа, өөрөөр хэлбэл, ижил Тейлор төрлийн цуваатай тохирч байгаа боловч коэффициентийн тооцоонд арай өөр байна. Хэд хэдэн онолын тооцоолол хийсний дараа бид Лорентын цувралын нэгдэх бүсийн талаар хэсэг хугацааны дараа ярих болно. Өнгөрсөн зууны нэгэн адил цуваа дахь функцийг алхам алхмаар өргөжүүлэх нь зөвхөн нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчрах замаар бараг хүрэх боломжгүй, учир нь хуваагч дахь функцууд нь шугаман бус байдаг. Функциональ утгын ойролцоо тооцоолол нь асуудлыг боловсруулахыг шаарддаг. Тейлорын цувралын аргумент нь шугаман хувьсагч байх үед өргөтгөл нь хэд хэдэн үйлдлээр явагддаг, гэхдээ нийлмэл эсвэл шугаман бус функц нь өргөтгөсөн функцийн аргумент болж ажиллах үед огт өөр дүр зураг гарч ирдэг гэдгийг бодоорой. Ийм функцийг чадлын цувралд илэрхийлэх нь ойлгомжтой, учир нь ийм Ийм учраас тооцоолоход хялбар байдаг, гэхдээ ойролцоо боловч тодорхойлолтын хүрээний аль ч цэгийн утгыг хамгийн бага алдаатай, цаашдын тооцоололд бага нөлөө үзүүлдэг. Энэ нь Маклаурин цувралд ч хамаатай. тэг цэгт функцийг тооцоолох шаардлагатай үед. Гэсэн хэдий ч Лоранын цуврал нь өөрөө энд төсөөллийн нэгжүүдтэй хавтгай задралаар илэрхийлэгддэг. Түүнчлэн, ерөнхий үйл явцын явцад асуудлыг зөв шийдэх нь амжилтанд хүрэхгүй байх болно. Математикийн хувьд энэ арга нь мэдэгддэггүй, гэхдээ энэ нь бодитой байдаг. Үүний үр дүнд та цэгийн дэд олонлог гэж нэрлэгддэг дүгнэлтэд хүрч болох бөгөөд функцийг цувралаар өргөтгөхдөө деривативын онолыг ашиглах гэх мэт энэ процесст мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Тооцооллын дараах тооцооллын үр дүнгийн талаар таамаг дэвшүүлсэн багшийн үнэн зөв гэдэгт бид дахин нэг удаа итгэлтэй байна. Математикийн бүх дүрэм журмын дагуу олж авсан Тейлорын цуврал нь бүхэл бүтэн тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ сайтын үйлчилгээний эрхэм хэрэглэгчид, анхны функцийн төрлийг бүү мартаарай, учир нь энэ нь гарч ирж магадгүй юм. эхлээд функцийн хамрах хүрээг тогтоох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл функц нь бодит тооны мужид тодорхойлогдоогүй цэгүүдийг бичиж, цаашдын авч үзэхээс хасах шаардлагатай. Энэ нь таны асуудлыг шийдвэрлэхэд хурдан гэдгийг харуулах болно гэсэн үг юм. Аргументын тэг утгатай Маклаурин цуврал бүтээх нь үл хамаарах зүйл биш юм. Үүний зэрэгцээ функцийг тодорхойлох талбарыг олох үйл явцыг хэн ч цуцалсангүй, та энэ математик үйлдэлд бүх нухацтай хандах хэрэгтэй. Хэрэв Лоранын цуврал нь үндсэн хэсгийг агуулж байвал "а" параметрийг тусгаарлагдсан ганц цэг гэж нэрлэх ба Лоранын цуваа нь цагираг хэлбэрээр өргөжих болно - энэ нь түүний хэсгүүдийн нийлэх мужуудын огтлолцол, тиймээс харгалзах теорем юм. дагана. Гэхдээ туршлагагүй оюутанд анх харахад бүх зүйл тийм ч төвөгтэй биш юм. Зөвхөн Тейлорын цувралыг судалсны дараа Лорентын цувралыг хялбархан ойлгох боломжтой - тоонуудын орон зайг тэлэх ерөнхий тохиолдол. Функцийг цуврал болгон өргөтгөх аливаа үйлдлийг зөвхөн тухайн функцийн домайн дахь цэг дээр гүйцэтгэж болно. Та ийм функцүүдийн шинж чанарыг харгалзан үзэх хэрэгтэй, жишээлбэл, үе үе эсвэл хязгааргүй ялгаатай байдал. Нэг функцийг манай онлайн тооцоолуурын хэрэглээнээс харж болох хэдэн арван өөр чадлын цувааг илэрхийлж болох тул энгийн функцүүдийн бэлэн Тэйлор цуврал өргөтгөлийн хүснэгтийг ашиглахыг бид мөн санал болгож байна. Онлайн Maclaurin цувралыг тодорхойлоход хялбар байдаг, хэрэв та сайтын өвөрмөц үйлчилгээг ашигладаг бол та зөв бичигдсэн функцийг оруулахад л хангалттай бөгөөд та өгсөн хариултыг хэдхэн секундын дотор хүлээн авах бөгөөд энэ нь үнэн зөв, үнэн зөв байх болно. стандарт бичгийн хэлбэр. Та үр дүнг багшид хүргэхийн тулд нэн даруй цэвэр хуулбар болгон дахин бичиж болно. Эхлээд авч үзэж буй функцийн аналитик чанарыг цагиргуудад тодорхойлж, дараа нь үүнийг бүх цагираг дахь Лорентын цувралд өргөтгөх боломжтой гэдгийг хоёрдмол утгагүйгээр батлах нь зөв байх болно. Сөрөг градус агуулсан Лорентын цувралын гишүүдийг анзаарахгүй байх нь чухал юм. Үүнд аль болох анхаарлаа хандуулаарай. Цуврал дахь функцийг бүхэл тоогоор тэлэх Лорентын теоремыг ашигла.

Вэбсайтад математикийн томъёог хэрхэн оруулах вэ?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг эсвэл хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд тайлбарласны дагуу: математикийн томьёог Вольфрам Альфа автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. Энгийн байдлаас гадна энэхүү олон талын арга нь хайлтын системд таны сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ энэ нь аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та өөрийн сайт дээр математикийн томъёог тогтмол ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математикийн тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн кодоор та MathJax скриптийг өөрийн сайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ байршуулж, сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд таны сайтын хуудсуудын ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний үлгэр жишээг дага, 5 минутын дараа та вэбсайт дээрээ MathJax-ийн бүх функцийг ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг үндсэн MathJax сайт эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан кодын хоёр хувилбарыг ашиглан алсын серверээс холбож болно.

Эдгээр кодын хувилбаруудын аль нэгийг хуулж аваад вэб хуудасныхаа код руу, шошгонуудын хооронд оруулах нь дээр. болонэсвэл шошгоны дараа ... Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар дагаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: өөрийн сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан ачаалах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг дараах руу ойртуулна уу. загварын эхлэл (дашрамд хэлэхэд, MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан тул энэ нь огт шаардлагагүй). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та математикийн томьёог вэбсайтынхаа вэб хуудсанд оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу баригдсан бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж, 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо болон зэргэлдээ 6 шоо хасагдана. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдсэн багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.

Дээд математикийн оюутнууд бидэнд өгөгдсөн цувааг нэгтгэх интервалд хамаарах тодорхой чадлын цувааны нийлбэр нь тасралтгүй, хязгааргүй олон удаа дифференциаллагдсан функц гэдгийг мэдэх ёстой. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн дурын функц f (x) нь тодорхой чадлын цувралын нийлбэр гэж батлах боломжтой юу? Өөрөөр хэлбэл, ямар нөхцөлд f-ija f (x) хүчийг хүчний цуваагаар төлөөлж болох вэ? Ийм асуултын ач холбогдол нь f-yu f (x) -ийг хүчний цувааны эхний хэдэн гишүүний нийлбэрээр, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтээр орлуулах боломжтой байдагт оршино. Функцийг нэлээд энгийн илэрхийлэл буюу олон гишүүнтээр солих нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, тухайлбал: интегралыг шийдвэрлэх, тооцоолох гэх мэт.

Зарим fu ба f (x)-ийн хувьд (n + 1)-р дараалал хүртэлх деривативыг, түүний дотор сүүлчийнх нь ойролцоо (α - R; x 0 + R) тооцоолох боломжтой болох нь батлагдсан. x = α цэгийн хувьд энэ нь зөв томъёо юм:

Энэхүү томьёо нь нэрт эрдэмтэн Брук Тэйлорын нэрийг агуулсан байдаг. Өмнөх цувралаас олж авсан цувралыг Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг.

Маклаурин цувралд өргөтгөл хийх боломжтой болгодог дүрэм:

1. Нэгдүгээр, хоёр дахь, гурав дахь ... эрэмбийн деривативуудыг тодорхойл.
2. x = 0 дээрх деривативууд хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоол.
3. Энэ функцийн Маклаурины цувралыг бичээд дараа нь түүний нийлэх интервалыг тодорхойл.
4. Маклаурины томъёоны үлдэгдэл хэсгийг (-R; R) тодорхойлно

R n (x) -> 0 гэж n -> хязгааргүй. Хэрэв ийм байгаа бол f (x) функц нь Маклаурины цувралын нийлбэртэй давхцах ёстой.

Одоо бие даасан функцүүдийн хувьд Маклаурин цувралыг авч үзье.

1. Тэгэхээр эхнийх нь f (x) = e x болно. Мэдээжийн хэрэг, онцлог шинжээрээ ийм функц нь янз бүрийн эрэмбийн деривативтай ба f (k) (x) = e x, k нь бүгд тэнцүү байна. x = 0-ийг орлуулна. Бид f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2-ийг авна ... Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн e x мөр дараах байдлаар харагдах болно.

2. f (x) = sin x функцийн Маклаурины цуваа. Бүх үл мэдэгдэх f-s нь f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2) -аас гадна деривативтай байх болно гэдгийг нэн даруй тодруулцгаая. * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), энд k нь ямар ч натурал тоотой тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, энгийн тооцоолол хийснээр бид дүгнэлтэд хүрч болно. f (x) = sin x цуврал нь дараах хэлбэртэй байна:

3. Одоо f-yu f (x) = cos x гэж үзэхийг оролдъё. Бүх үл мэдэгдэхийн хувьд энэ нь дурын дарааллын деривативтай ба | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Тиймээс, бид Маклаурины цуврал болгон өргөжүүлж болох хамгийн чухал функцуудыг жагсаасан боловч зарим функцэд зориулж Тэйлорын цувралаар нэмж оруулсан болно. Одоо бид тэдгээрийг бас жагсаах болно. Тейлор ба Маклаурин цувралууд нь дээд математикийн цувралыг шийдвэрлэх семинарын чухал хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, Тейлор жагсаж байна.

1. Эхнийх нь f-ii f (x) = ln (1 + x) -ийн цуваа байх болно. Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил өгөгдсөн f (x) = ln (1 + x) хувьд бид Маклаурин цувралын ерөнхий хэлбэрийг ашиглан цуваа нэмж болно. Гэсэн хэдий ч, Маклаурины цувралыг энэ функцэд илүү хялбараар авч болно. Тодорхой геометрийн цувралыг нэгтгэснээр бид ийм түүврийн f (x) = ln (1 + x) цувралыг авна.

2. Мөн бидний өгүүлэлд эцсийн байх хоёр дахь нь f (x) = arctan x-ийн цуврал байх болно. [-1; 1] интервалд хамаарах x-ийн хувьд задрал хүчинтэй байна:

Тэгээд л болоо. Энэ нийтлэлд дээд математик, ялангуяа эдийн засаг, техникийн их сургуулиудад хамгийн их хэрэглэгддэг Тейлор, Маклаурин цувралуудыг авч үзсэн.

"f (x) функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол"- Математикийн дээд даалгавар яг ийм сонсогддог бөгөөд зарим оюутнууд үүнийг хийж чаддаг бол зарим нь жишээнүүдийг даван туулж чаддаггүй. Эрх мэдлийн цувралыг өргөжүүлэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд энд Маклаурины цувралын функцийг өргөжүүлэх аргачлалыг өгөх болно. Цуврал функцийг боловсруулахдаа деривативыг сайн тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ 4.7 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүл

Тооцоолол: Бид функцийн задралыг Маклаурины томъёоны дагуу гүйцэтгэдэг. Эхлээд бид функцийн хуваагчийг өргөжүүлнэ

Эцэст нь бид өргөтгөлийг тоологчоор үржүүлнэ.
Эхний гишүүн нь f (0) = 1/3 тэг дэх функцийн утга юм.
Нэгдүгээр ба дээд зэрэглэлийн f (x) функцын деривативууд ба эдгээр деривативуудын x = 0 цэг дээрх утгыг олъё.




Цаашилбал, деривативын утгын өөрчлөлтийн зүй тогтлыг 0-д оруулснаар бид n-р деривативын томъёог бичнэ.

Тиймээс бид хуваагчийг Маклаурины цувралд тэлэлтийн хэлбэрээр төлөөлдөг

Бид тоологчоор үржүүлж, х-ийн чадлын цуваа дахь функцийн шаардлагатай өргөтгөлийг авна

Таны харж байгаагаар энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Бүх гол цэгүүд нь деривативыг тооцоолох чадвар, хамгийн өндөр эрэмбийн деривативын утгыг тэгээр хурдан нэгтгэх чадвар дээр суурилдаг. Дараах жишээнүүд нь функцийг дараалан хэрхэн хурдан зохион байгуулах талаар сурахад тусална.

Жишээ 4.10 Функцийн Маклаурины цуврал өргөтгөлийг ол

Тооцоолол: Таны таамаглаж байсанчлан бид тоологч дахь косинусыг эгнээ болгон өргөжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд та хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн томъёог ашиглаж болно, эсвэл деривативын хувьд косинусын тэлэлтийг гаргаж болно. Үүний үр дүнд бид x-ийн зэрэглэлийн дараагийн цувралд хүрнэ

Таны харж байгаагаар бид хамгийн бага тооцоолол, цуврал тэлэлтийн авсаархан дүрслэлтэй байна.

Жишээ 4.16 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ үү:
7 / (12-x-x ^ 2)
Тооцоолол: Энэ төрлийн жишээн дээр бутархайг хамгийн энгийн бутархайн нийлбэрээр нэмэгдүүлэх шаардлагатай.
Үүнийг хэрхэн хийхийг бид одоо харуулахгүй, гэхдээ тодорхойгүй коэффициентүүдийн тусламжтайгаар бид dox фракцын нийлбэрт хүрэх болно.
Дараа нь бид хуваагчдыг экспоненциал хэлбэрээр бичнэ

Маклаурины томъёог ашиглан нэр томъёог өргөжүүлэх хэвээр байна. "X"-ийн ижил зэрэгтэй нөхцөлүүдийг нэгтгэн бид функцийг цувралаар өргөтгөх ерөнхий томъёог бичнэ.



Цуврал руу шилжих шилжилтийн сүүлчийн хэсгийг эхэнд нь хэрэгжүүлэхэд хэцүү байдаг, учир нь хосолсон болон хосгүй индексийн (зэрэг) томъёог нэгтгэх нь хэцүү байдаг, гэхдээ дадлага хийснээр та илүү сайжирч, сайжирна.

Жишээ 4.18 Функцийн Маклаурин цувралын өргөтгөлийг ол

Тооцоолол: Энэ функцийн деривативыг ол:

McLaren-ийн томъёоны аль нэгийг ашиглан функцийг цувралаар өргөжүүлье.

Цувралыг аль аль нь туйлын давхцаж байна гэсэн үндсэн дээр нэр томъёогоор нэгтгэн гаргадаг. Цувралын бүх гишүүнийг гишүүнээр нь нэгтгэж, бид x-ийн зэрэглэлийн цуврал дахь функцийн өргөтгөлийг олж авна.

Өргөтгөлийн сүүлийн хоёр шугамын хооронд шилжилт байгаа бөгөөд энэ нь эхэндээ танд маш их цаг хугацаа шаардах болно. Цувралын томъёог нэгтгэх нь хүн бүрт амаргүй тул үзэсгэлэнтэй, авсаархан томьёог олж авах боломжгүй гэж санаа зовох хэрэггүй.

Жишээ 4.28 Функцийн Маклаурин цувралын өргөтгөлийг ол.

Бид логарифмыг дараах байдлаар бичнэ

Маклаурины томьёог ашиглан логарифмын функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүл

Эцсийн нугалах нь эхлээд харахад хэцүү боловч тэмдгүүдийг ээлжлэн солих үед та үргэлж ижил төстэй зүйлийг олж авдаг. Функцуудыг дараалан төлөвлөх сэдвийн оролтын хичээл одоо дууслаа. Бусад ижил сонирхолтой задралын схемүүдийг дараах материалуудад дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Хэрэв функц f (x)цэгийг агуулсан зарим интервалтай байна а, бүх дарааллын деривативууд, тэгвэл Тэйлорын томъёог түүнд хэрэглэж болно:

хаана r n- цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэгийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.

, энд x тоо хоёрын хооронд байна NSболон а.

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд x r n®0 нь n® ¥, дараа нь хязгаарт Тейлорын томъёо нь энэ утгыг нэгтгэгч болгон хувиргадаг Тейлорын цуврал:

Тиймээс функц f (x)авч үзэж буй цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно NS, хэрэв:

1) бүх захиалгын деривативтай;

2) баригдсан цувралууд энэ цэг дээр нийлдэг.

At а= 0 гэж нэрлэгддэг цуврал гарч ирнэ Маклаурины ойролцоо:

Жишээ 1 f (x) = 2х.

Шийдэл... Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё NS=0

f (x) = 2х, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2х ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2х ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2х ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -¥-д хүчинтэй байна.<х<+¥.

Жишээ 2 NS+4) функцийн хувьд f (x) =д х.

Шийдэл... Функцийн деривативыг ол e хболон тэдний үнэ цэнэ NS=-4.

f (x)= e х, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e х, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e х, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e х, f (n) ( -4) = e -4 .

Тиймээс функцийн шаардлагатай Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ өргөтгөл нь - ¥-д мөн хүчинтэй<х<+¥.

Жишээ 3 ... Функцийг өргөжүүлэх f (x)= ln хэрх мэдлийн цувралд ( NS- 1),

(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд NS=1).

Шийдэл... Энэ функцийн деривативуудыг ол.

Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид шаардлагатай Тейлор цувралыг авна.

D'Alembert тестийг ашиглан цувралууд хоорондоо нийлж байгаа эсэхийг шалгаж болно

½ NS- 1½<1. Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ NS- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При NS= 2 Бид Лейбницийн тестийн нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. At NS= 0 функц тодорхойгүй байна. Тиймээс Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас нээлттэй интервал юм (0; 2).

Маклаурины цувралд ижил төстэй аргаар олж авсан өргөтгөлүүдийг танилцуулъя (өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоо). NS= 0) зарим энгийн функцүүдийн хувьд:

(2) ,

(3) ,

(сүүлчийн задрал гэж нэрлэдэг бином цуврал)

Жишээ 4 ... Хүч чадлын цуваа дахь функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл... Өргөтгөх хэсэгт (1) бид солино NSдээр - NS 2, бид авна:

Жишээ 5 ... Маклаурин цуврал функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл... Бидэнд байгаа

Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

орлуулж байна NSтомъёонд оруулна -Н.С, бид авах:

Эндээс бид олж мэднэ:

Хаалтуудыг өргөжүүлж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг бууруулснаар бид олж авна.

Энэ цуврал интервалд нийлдэг

(-1; 1), учир нь тус бүр нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас авсан.

Сэтгэгдэл .

Формула (1) - (5) нь мөн Тейлорын цувралын харгалзах функцуудыг өргөтгөхөд ашиглагдаж болно, жишээлбэл. эерэг бүхэл тоон дахь функцуудыг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн функц дээр (1) - (5) функцүүдийн аль нэгийг олж авахын тулд ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай байдаг. NSзардал k ( Ха) m, k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо. Хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теоремыг харуулсан болно. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ 6 ... Тейлорын цувралын функцийг цэгийн ойролцоо өргөжүүлэх NS=3.

Шийдэл... Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай. NS= 3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа задралыг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):

Үүссэн цуврал нь нийлдэг эсвэл -3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Жишээ 7 ... Тейлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( NS-1) функцууд .

Шийдэл.

Цуврал нэгдэн нийлдэг , эсвэл 2< х£ 5.