Хэрэв танд хэрэгтэй бол энэхүү онлайн математикийн тооцоолуур танд туслах болно функцийн хязгаарыг тооцоолох... Програм шийдлийн хязгаарлалтасуудалд зөвхөн хариулт өгдөггүй, харин өгдөг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл хязгаарыг тооцоолох үйл явцыг харуулна.

Энэхүү програм нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлтгэх, шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад тустай. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байх болов уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө багшлах ба/эсвэл дүү нартаа зааж сургах боломжтой бол шийдэж буй асуудлынхаа боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Функцийн илэрхийлэлийг оруулна уу

Хязгаарыг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Магадгүй та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байх.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс маш олон байна, таны хүсэлт дараалалд байна.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек ...

Хэрэв чи шийдвэрт алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөчи шийднэ, юу гэж талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, оньсого, эмуляторууд:

Жаахан онол.

X-> x 0 дахь функцийн хязгаар

Зарим X олонлог дээр f (x) функцийг тодорхойлж, \ (X-д x_0 \) эсвэл \ (x_0 \ X биш) цэгийг байг.

X-ээс x 0-ээс өөр цэгүүдийн дарааллыг авна.
x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
x * руу нийлэх. Энэ дарааллын цэгүүд дэх функцийн утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг
f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
мөн түүний хязгаар оршин тогтнох тухай асуудлыг тавьж болно.

Тодорхойлолт... Хэрэв аргументийн утгуудын x 0-д нийлдэг аливаа дарааллын (1) хувьд A тоог x = x 0 (эсвэл x -> x 0) цэг дэх f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. x 0-ээс бусад x утгын функцийн харгалзах дараалал (2) нь А-д нийлдэг.

$$ \ lim_ (x \ to x_0) (f (x)) = A $$

f (x) функц нь x 0 цэг дээр зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Энэ нь дэс дарааллаас үүдэлтэй
(f (x n)) нь зөвхөн нэг хязгаартай.

Функцийн хязгаарын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн тооны хувьд \ (\ varepsilon> 0 \) тоо байвал \ (\ delta> 0 \) бүх \ (x \ in X, \; x \ neq x_0 \) тэгш бус байдлыг хангах \ (| x-x_0 | Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ exists \ delta> 0) (\ forall x \ in X, \; x \ neq x_0, \; | x-x_0 | Тэгш бус байдал \ (x \ neq x_0) болохыг анхаарна уу. , \; | x-x_0 | Эхний тодорхойлолт нь тооны дарааллын хязгаарын тухай ойлголт дээр суурилдаг тул үүнийг ихэвчлэн "дарааллын хэл" гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь тодорхойлолтыг "\ (\ varepsilon - \ delta \)" гэж нэрлэдэг. тодорхойлолт.
Функцийн хязгаарын эдгээр хоёр тодорхойлолт нь ижил төстэй бөгөөд тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд аль нь илүү тохиромжтой вэ гэдгээс хамааран та тэдгээрийн аль нэгийг нь ашиглаж болно.

"Дарааллын хэлээр" функцын хязгаарын тодорхойлолтыг Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт, функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг "хэлээр \ (\ varepsilon -) гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. \ delta \)" -ийг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж нэрлэдэг.

X-> x 0 - ба x-> x 0 + үед функцийн хязгаар

Дараах зүйлд бид дараах байдлаар тодорхойлогдсон нэг талын функцийн хязгаарын тухай ойлголтуудыг ашиглах болно.

Тодорхойлолт A тоог x 0 цэг дэх f (x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв x 0-д нийлэх аливаа дарааллын (1) нь xn элементүүд нь x 0-ээс их (бага) x 0 бол харгалзах дараалал байна. (2) А-д нийлдэг.

Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичнэ.
$$ \ lim_ (x \ to x_0 +) f (x) = A \; \ зүүн (\ lim_ (x \ to x_0-) f (x) = A \ баруун) $$

Та "хэлний \ (\ varepsilon - \ delta \)" функцын нэг талын хязгаарын ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \ (\ varepsilon> 0 \) хувьд \ (\ delta> 0 \) байгаа бол х 0 цэг дэх f (x) функцын баруун (зүүн) хязгаар гэж нэрлэгддэг А тоог бүх x-ийн хувьд хангадаг. тэгш бус байдал \ (x_0 тэмдэгт оруулгууд:

\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ байгаа \ delta> 0) (\ forall x, \; x_0

Тогтмол тоо адуудсан хязгаар дараалал(x n) хэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьдε > 0 бүгд үнэ цэнэтэй N тоо байдаг x n, үүний хувьд n> N, тэгш бус байдлыг хангана

| x n - a |< ε. (6.1)

Тэд үүнийг дараах байдлаар бичнэ: эсвэл x n →а.

Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

оноо гэсэн үг x n, зарим n> N тооноос эхлэн интервал дотор хэвт (a-ε, a + ε ), i.e. ямар ч жижиг зүйлд унахε - цэгийн хөрш а.

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нийлэх, эс бөгөөс - зөрүүтэй.

Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f (n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.

f (x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгЭнэ функцийн домэйн D (f), өөрөөр хэлбэл, -аас өөр D (f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш цэг а... Оноо а D (f) олонлогт хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно.

Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функц f (x) цагт x →a if хандлагатай аргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n). а, харгалзах дараалал (f (x n)) ижил хязгаартай байна.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт,эсвэл " дарааллын хэлээр”.

Тодорхойлолт 2... Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функц f (x) цагт x →a if, дур зоргоороо жижиг эерэг тоог ε зааж өгснөөр, ийм δ-г олж болно> 0 (ε-ээс хамаарна), энэ нь бүгдэд зориулагдсан ххэвтэж байнаε-тооны хөршүүд а, өөрөөр хэлбэл төлөө хтэгш бус байдлыг хангаж байна
0 < х-а< ε , f (x) функцийн утгууд оршиноε-А тооны хөрш, i.e.|f (x) -A |< ε.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг функцийн Коши хязгаарын тодорхойлолт,эсвэл “ε - δ хэлээр “.

Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв f (x) функц нь x →нь байна хязгаарА-тай тэнцүү бол үүнийг ингэж бичнэ

. (6.3)

Ойролцоох аливаа аргын хувьд дараалал (f (x n)) тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд хтаны хязгаарт а, тэгвэл бид f (x) функцтэй байна гэж хэлдэг төгсгөлгүй хязгаар,мөн дараах байдлаар бичнэ үү.

Хязгаар нь тэг байх хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй бага үнэ цэнэ.

Хязгаар нь хязгааргүй хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.

Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.

Теорем 1 ... Хэрэв бүх хязгаар байгаа бол

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Сэтгэгдэл... 0/0 гэх мэт илэрхийллүүд, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - тодорхойгүй, жишээлбэл, хоёр хязгааргүй бага буюу хязгааргүй их хэмжээний харьцаа, ийм төрлийн хязгаарыг олохыг "тодорхойгүй байдлын илчлэлт" гэж нэрлэдэг.

Теорем 2. (6.7)

тэдгээр. та тогтмол экспонент бүхий градусын суурь дээр хязгаарт очиж болно, ялангуяа, ;

(6.8)

(6.9)

Теорем 3.

(6.10)

(6.11)

хаана д » 2.7 нь натурал логарифмын суурь юм. (6.10) ба (6.11) томъёог эхнийх гэж нэрлэдэг гайхалтай хязгаарболон хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ялангуяа хязгаар

Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x> a, дараа нь тэд x гэж бичнэ→ a + 0. Хэрэв ялангуяа a = 0 бол 0 + 0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүний нэгэн адил хэрэв x →a ба үүнээс гадна, x a-0. Тоонууд мөн зохих ёсоор дуудагддаг баруун талд хязгаарлахболон зүүн хязгаар функц f (x) цэг дээр а... f (x) функцийн хязгаар нь x → байхын тулднь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм ... f (x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0

. (6.15)

Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

,

өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.

Тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл тэгнэ цагт x = x o функц f (x) Байгаа завсарлага. y = 1 / x функцийг авч үзье. Энэ функцийн домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад нь. x = 0 цэг нь D (f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль нэгэнд нь, өөрөөр хэлбэл, 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервал нь D (f) цэгийг агуулна, гэхдээ энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f (x o) = f (0) утга тодорхойгүй тул функц x o = 0 цэг дээр тасалдалтай байна.

f (x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар

,

болон цэг дээр тасралтгүй үлдсэн x o, хэрэв хязгаар

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талын аль алинд нь түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f (x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.

1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f (x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f (x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн завсарлага,эсвэл харайх.

2. Хэрэв хязгаар нь байвал+ ∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй, тэгвэл тэд дотор гэж хэлдэг цэгх о функц нь цоорхойтой байна хоёр дахь төрөл.

Жишээлбэл, x-ийн хувьд y = ctg x функц→ +0 нь + ∞-тэй тэнцүү хязгаартай, иймээс x = 0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна. y = E (x) функц (бүхэл хэсэг х) бүхэл тоон абсцисс бүхий цэгүүдэд эхний төрлийн тасалдал буюу үсрэлтүүд байна.

Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэн v . Тасралтгүй функцийг хатуу муруй хэлбэрээр үзүүлэв.

Аливаа хэмжигдэхүүний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл, нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу шимтгэлийн өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактерийн нөхөн үржихүй гэх мэт орно.

Санаж үз Я.И.Перелманы жишээтооны тайлбарыг өгөх днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий ... Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв холболтыг илүү олон удаа хийвэл сонирхолыг бий болгоход их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. Банк 100 ден тавьж байг. нэгж жилийн 100 хувийн хүүтэй. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмж оруулах юм бол энэ өдөр гэхэд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо юу 100 дент болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв зургаан сар тутамд хүүгийн мөнгийг үндсэн капиталд нэмбэл. Хагас жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж өснө× 1.5 = 150, зургаан сарын дараа - 150× 1.5 = 225 (мөнгөний нэгж). Хэрэв холболтыг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж хувирна× (1 +1/3) 3 " 237 (мөнгөний нэгж). Хүүтэй мөнгө нийлүүлэх хугацааг 0.1 жил хүртэл, 0.01 жил хүртэл, 0.001 жил хүртэл нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь гарч ирнэ:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (мөнгөний нэгж),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (мөнгөний нэгж),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (мөнгөний нэгж).

Зээлийн хүүгийн нөхцлүүдийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, тодорхой хязгаарт ойртож, ойролцоогоор 271-тэй тэнцүү байна. Жилд 100% хуваарилсан хөрөнгийн хэмжээ хуримтлагдсан байсан ч 2.71 дахин нэмэгдэх боломжгүй. хязгаартай учир капиталд секунд тутамд хүү нэмэгдэж байсан

Жишээ 3.1.Тоон дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n = (n-1) / n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Шийдэл.Бид юу ч байсан үүнийг батлах хэрэгтэйε Бид > 0-ийг аваагүй, учир нь түүнд N натурал тоо байгаа тул бүх n N-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдал явагдана.| x n -1 |< ε.

Ямар ч e> 0-г авна. x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, тэгвэл N-ийг олохын тулд 1 / n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.< д. Тиймээс n> 1 / e тиймээс N-ийг 1-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно / e, N = E (1 / e ). Хязгаарлалт гэдгийг бид ийнхүү нотолсон.

Жишээ 3.2 ... Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол .

Шийдэл.Бид нийлбэрийн хязгаарын теоремыг хэрэглэж, гишүүн бүрийн хязгаарыг олно. Н-ийн хувьд→ ∞ гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x nэхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах замаар n 2, хоёр дахь нь дээр n... Дараа нь хуваалтын хязгаар ба нийлбэрийн хязгаарын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Жишээ 3.3. ... олох.

Шийдэл. .

Энд бид градусын хязгаарын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь үндсэн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.4 ... олох ( ).

Шийдэл.Хязгаарын зөрүүний теоремыг хэрэглэх боломжгүй, учир нь бид хэлбэр нь тодорхойгүй байна ∞-∞ ... Бид нийтлэг гишүүний томъёог өөрчилдөг:

.

Жишээ 3.5 ... f (x) = 2 1 / x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дарааллын хувьд ашиглая. 0-д ойртох дарааллыг (x n) авна, өөрөөр хэлбэл. f (x n) = утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1 / n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1 / n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Жишээ 3.6 ... Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.x 1, x 2, ..., x n, ... нь дараалал байг
... (f (x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?

Хэрэв x n = p n бол sin x n = sin p бүгдэд нь n = 0 nболон хязгаар Хэрэв
x n = 2 p n + p / 2, дараа нь sin x n = нүгэл (2 p n + p / 2) = нүгэл p / 2 = 1 бүгдэд nтэгээд хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.

Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох виджет

Дээд цонхонд sin (x) / x-ийн оронд хязгаарыг нь олохыг хүсч буй функцийг оруулна уу. Доод цонхонд x-ийн хандлагатай тоог оруулаад Тооцооллын товчийг дарж, хүссэн хязгаараа аваарай. Хэрэв та үр дүнгийн цонхны баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдэлтэй болно.

Функц оруулах дүрэм: sqrt (x) - квадрат язгуур, cbrt (x) - шоо язгуур, exp (x) - экспонент, ln (x) - натурал логарифм, sin (x) - синус, cos (x) - косинус, тан (x) нь шүргэгч, cot (x) нь котангенс, arcsin (x) нь арксинус, arccos (x) нь урвуу косинус, арктан (x) нь арктангенс юм. Тэмдгүүд: * үржүүлэх, / хуваах, ^ экспонентаци, оронд нь хязгааргүйХязгааргүй байдал. Жишээ нь: функцийг sqrt (tan (x / 2)) хэлбэрээр оруулсан болно.

Өргөдөл

Оюутнууд болон сургуулийн сурагчдын дамжуулсан материалыг бүрэн нэгтгэх сайтыг онлайнаар хязгаарладаг. Манай нөөцийг ашиглан онлайнаар хязгаарыг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хийхэд маш амархан, та зөвхөн x хувьсагчтай эх функцийг зөв бичиж, сонгогчоос хүссэн хязгааргүйг сонгоод "Шийдвэр" товчийг дарахад л хангалттай. Функцийн хязгаарыг ямар нэгэн х цэг дээр тооцоолох шаардлагатай тохиолдолд та яг энэ цэгийн тоон утгыг зааж өгөх хэрэгтэй. Хязгаарыг шийдэх хариуг хэдхэн секундын дотор, өөрөөр хэлбэл хормын дотор хүлээн авах болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та буруу мэдээлэл оруулсан бол үйлчилгээ танд алдааны талаар автоматаар мэдэгдэх болно. Өмнө нь оруулсан функцийг засч, хязгаарыг зөв шийднэ үү. Хязгаарыг шийдэхийн тулд бүх боломжит заль мэхийг ашигладаг, ялангуяа L'Hôpital-ийн аргыг ашигладаг, учир нь энэ нь бүх нийтийн шинж чанартай бөгөөд функцийн хязгаарыг тооцоолох бусад аргуудаас илүү хурдан хариу өгөхөд хүргэдэг. Модуль байгаа жишээнүүдийг үзэх нь сонирхолтой юм. Дашрамд хэлэхэд, манай нөөцийн дүрмийн дагуу модулийг математикийн сонгодог босоо шугамаар "|" гэж тэмдэглэсэн болно. эсвэл латин абсолютаас Abs (f (x)). Ихэнхдээ тооны дарааллын нийлбэрийг тооцоолохын тулд хязгаарлалтын шийдэл шаардлагатай байдаг. Хүн бүр мэддэг тул та судалж буй дарааллын хэсэгчилсэн нийлбэрийг зөв илэрхийлэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь манай вэбсайтын үнэгүй үйлчилгээний ачаар бүх зүйл илүү хялбар болно, учир нь хэсэгчилсэн нийлбэрээс хязгаарыг тооцоолох нь тоонуудын эцсийн нийлбэр юм. дараалал. Ерөнхийдөө хязгаарт хүрэх онол нь бүх математик шинжилгээний үндсэн ойлголт юм. Бүх зүйл яг хязгаарт хүрэхэд суурилдаг, өөрөөр хэлбэл хязгаарын шийдэл нь математик анализын шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог. Интегралчлалын хувьд онолын дагуу интеграл нь хязгааргүй тооны талбайн нийлбэрээр илэрхийлэгдэх үед хязгаарт шилжих аргыг бас ашигладаг. Аливаа зүйлийн хязгааргүй тоо, өөрөөр хэлбэл объектын тоо хязгааргүй болох хандлага байгаа тохиолдолд хязгаарын шилжилтийн онол үргэлж хүчин төгөлдөр болдог бөгөөд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрээр энэ нь танил хязгаарын шийдэл юм. Сайт дээрх хязгаарлалтын онлайн шийдэл Энэ сайт нь бодит цаг хугацаанд үнэн зөв, шуурхай хариу хүлээн авах өвөрмөц үйлчилгээ юм. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар (функцийн хязгаарын утга) нь тухайн функцийн мужийг хязгаарлах нь түүний аргумент нь өгөгдсөн цэг рүү чиглэх үед авч үзэж буй функцийн утга чиглэдэг утга юм. Оюутнууд математикийн анализыг судлахдаа онлайн хязгаарлалтыг шийдэх асуулттай байдаг нь ховор биш бөгөөд бид байнга хэлдэг. Зөвхөн онцгой тохиолдлуудад л онлайнаар хязгаарыг нарийвчилсан шийдлээр шийдэх талаар гайхах үед хязгаарын тооцоолуур ашиглахгүйгээр хэцүү даалгаврыг даван туулах боломжгүй гэдэг нь тодорхой болно. Манай үйлчилгээгээр хязгаарын шийдэл нь үнэн зөв, энгийн байдлын баталгаа юм.Функцийн хязгаар гэдэг нь дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм: анх цэг дэх функцийн хязгаарыг хязгаар гэж ойлгодог. Өгөгдсөн цэгт ойртож буй функцийг тодорхойлох домэйны элементүүдийн дарааллын цэгүүдийн зургуудаас бүрдэх функцийн утгын хүрээний элементүүдийн дараалал (харгалзаж буй хязгаар); хэрэв ийм хязгаар байгаа бол функцийг заасан утгад нэгтгэнэ гэж хэлнэ; хэрэв тийм хязгаар байхгүй бол функцийг диверс гэж хэлнэ. Хязгаарыг онлайнаар шийдэх нь хэрэглэгчид вэб сайт ашиглан онлайнаар хэрхэн хязгаарлахаа мэддэг бол хялбар хариулт болно. Анхаарал төвлөрөлтэй байцгаая, алдаа нь биднийг хангалтгүй үнэлгээ хэлбэрээр асуудалд оруулахыг бүү зөвшөөр. Хязгаарлалтын аливаа онлайн шийдлийн нэгэн адил таны асуудлыг шийдлийг олж авах бүх дүрэм, журмын дагуу нарийвчилсан шийдэл бүхий тохиромжтой, ойлгомжтой хэлбэрээр танилцуулах болно. Ихэнхдээ функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг хөршүүдийн хэлээр томъёолдог. Энд функцийн хязгаарыг зөвхөн тухайн функцийн тодорхойлолтын мужийг хязгаарлаж буй цэгүүдэд авч үздэг бөгөөд энэ нь тухайн цэгийн хөрш бүрт яг энэ функцийн мужаас цэгүүд байдаг гэсэн үг юм. Энэ нь өгөгдсөн цэг рүү функцийн аргументын чиг хандлагын талаар ярих боломжийг бидэнд олгодог. Гэхдээ тодорхойлолтын хүрээний хязгаарын цэг нь тухайн тодорхойлолтын мужид хамаарах албагүй бөгөөд энэ нь хязгаарыг шийдэх замаар нотлогддог: жишээлбэл, функцийн хязгаарыг нээлттэй интервалын төгсгөлд авч үзэж болно. функцийг тодорхойлсон. Энэ тохиолдолд интервалын хил хязгаарыг өөрөө тодорхойлох талбарт оруулаагүй болно. Энэ утгаараа тухайн цэгийн цоорсон хөршүүдийн систем нь багцын ийм суурийн онцгой тохиолдол юм. Нарийвчилсан шийдлээр хязгаарыг онлайнаар шийдвэрлэх нь бодит цаг хугацаанд хийгддэг бөгөөд томъёог тодорхой хэлбэрээр ашигладаг.. Бид төлбөр шаарддаггүй тул та цаг хугацаа, хамгийн чухал нь мөнгөө хэмнэх боломжтой. Хэрэв функцийн домайн аль нэг цэгт хязгаар байгаа бөгөөд энэ хязгаарын шийдэл нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байвал тухайн цэг дээр функц тасралтгүй болж хувирна. Манай сайт дээр хязгаарын шийдлийг өдөрт хорин дөрвөн цаг, өдөр бүр, минут тутамд онлайнаар ашиглах боломжтой.Хязгаарлалтын тооцоолуур ашиглах нь маш чухал бөгөөд хамгийн гол нь мэдлэгээ шалгах бүрт үүнийг ашиглах явдал юм. Оюутнууд энэ бүх функцээс тодорхой ашиг тустай байдаг. Хязгаарыг тооцоолох, зөвхөн онолыг ашиглах, ашиглах нь тухайн улсын их, дээд сургуулийн математикийн факультетийн туршлагатай оюутнуудын хэлдэг шиг тийм ч хялбар биш байх болно. Зорилго байгаа тохиолдолд баримт хэвээр үлддэг. Ихэвчлэн хязгаарлалтын олсон шийдэл нь асуудлыг боловсруулахад орон нутагт хэрэглэгдэхгүй. Оюутан зөвхөн өөртөө төдийгүй бүх хүнд зориулж интернет болон чөлөөтэй нэвтрэх боломжтой онлайн хязгаарын тооцоолуур олж авмагцаа баярлах болно. Томилгоо нь математик, ерөнхийдөө түүний ойлголт гэж үзэх ёстой. Хэрэв та интернетээс онлайнаар хязгаарыг хэрхэн олох талаар дэлгэрэнгүй асуувал хүсэлтийн үр дүнд гарч буй олон тооны сайтууд нь бидний хийх арга замд тус болохгүй. Талуудын зөрүүг тохиолдлын тэнцүү хэмжээгээр үржүүлнэ. Функцийн анхдагч хууль ёсны хязгаар нь математикийн асуудлыг өөрөө томъёолсноор тодорхойлогддог. Хэмилтон зөв байсан ч түүний үеийнхний хэлсэн үгийг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох нь хэн нэгэнд анх харахад тийм хэцүү ажил биш юм. Анхны нөхцөл байдал руу буцахдаа хязгаарыг хурдан, үр дүнтэй, цэвэрхэн боловсруулсан хэлбэрээр тооцоолох шаардлагатай. Өөрөөр яаж ийм зүйл хийх байсан юм бэ? Энэ хандлага нь ойлгомжтой бөгөөд үндэслэлтэй юм. Хязгаарын тооцоолуур нь мэдлэгийг нэмэгдүүлэх, гэрийн даалгавар бичих чанарыг сайжруулах, оюутнуудын ерөнхий сэтгэл санааг дээшлүүлэх зорилготой тул тэдэнд тохирсон байх болно. Та зүгээр л аль болох хурдан бодох хэрэгтэй бөгөөд оюун ухаан ялах болно. Онлайн интерполяцийн нэр томъёоны хязгаарын талаар тодорхой ярих нь мэргэжлийн хүмүүсийн хувьд маш нарийн мэргэжил юм. Бид огторгуйн цэгүүдэд төлөвлөгдөөгүй зөрүүний системийн харьцааг урьдчилан таамаглаж байна. Анхны илэрхийлэлийг аффинаар хувиргасны дараа өгөгдсөн абсцисса тэнхлэг дээрх локал цэгийн тодорхой орчимд болон хязгааргүйд функцийн хязгаар оршин байдаг тул асуудал дахин тодорхойгүй болж буурна. Онгоц болон огторгуйн орой дээрх цэгүүдийн өгсөлтийг шинжлэхэд хялбар байх болно. Ерөнхий төлөв байдлын хувьд математикийн томьёог гарган авах талаар байгалийн болон онолын аль алинд нь хэлдэггүй тул онлайн хязгаарын тооцоолуур нь энэ утгаараа зориулалтын дагуу ашиглагддаг. Онлайнаар хязгаарыг тодорхойлохгүйгээр муруй шугаман сансрын судалгааны чиглэлээр цаашид тооцоолоход хэцүү байна. Энэ нь үнэн зөв хариултыг олоход тийм ч хялбар биш байх болно. Хэрэв огторгуйн өгөгдсөн цэгийг урьдчилан тодорхойлоогүй бол хязгаарыг тооцоолох боломжгүй юу? Судалгааны чиглэлийн хариулт байгаа эсэхийг няцацгаая. Хязгаарын шийдлийг математик анализын үүднээс тэнхлэг дээрх цэгүүдийн дарааллыг судлах эхлэл гэж үзэж болно. Тооцоолол хүчин төгөлдөр байгаа нь хамаагүй байж магадгүй юм. Тоонууд нь хязгааргүй дараалал хэлбэрээр илэрхийлэгдэх бөгөөд бид онолын дагуу хязгаарыг онлайнаар нарийвчлан шийдсэний дараа эхний тэмдэглэгээгээр тодорхойлогддог. Зүгээр л хамгийн сайн үнэ цэнийн төлөө зөвтгөсөн. Функцийн хязгаарлалтын үр дүн нь буруу тавьсан асуудлын илэрхий алдаа болох тогтворгүй системийн бодит механик үйл явцын санааг гажуудуулж болзошгүй юм. Харааны талбарт шууд утгыг илэрхийлэх чадвар. Онлайн хязгаарыг ижил төстэй нэг талын хязгаарын утгын тэмдэглэгээтэй харьцуулсны дараа үүнийг цутгамал томъёо ашиглан тодорхой илэрхийлэхээс зайлсхийх нь дээр. Пропорциональ даалгаврын гүйцэтгэлийг эхлүүлэхээс гадна. Бид нэг талт хязгаарыг тооцоолж, хязгааргүйд бичиж чадсаны дараа олон гишүүнтийг өргөжүүлнэ. Энгийн эргэцүүлэл нь математик шинжилгээнд жинхэнэ үр дүнд хүргэдэг. Хязгаарлалтын энгийн шийдвэр нь ихэвчлэн гүйцэтгэсэн математик дүрслэлүүдийн тэгш байдлын өөр түвшинд хүртэл буурдаг. Фибоначчийн шугамууд болон тоонууд нь онлайн хязгаарын тооцоолуурыг тайлсан бөгөөд үүнээс хамааран та хязгааргүй тооцоог захиалж болох бөгөөд магадгүй нарийн төвөгтэй байдал нь ар тал руугаа орох болно. Гурван хэмжээст орон зайн зүсмэл дэх хавтгай дээрх графикийг задлах үйл явц үргэлжилж байна. Энэ нь математикийн нарийн төвөгтэй асуудлын талаар өөр өөр үзэл бодол шаардлагатай болоход хүргэсэн. Гэсэн хэдий ч үр дүн нь удахгүй гарахгүй. Гэсэн хэдий ч өгсөх ажлыг хэрэгжүүлэх явц нь шугамын орон зайг гажуудуулж, асуудлын томъёололтой танилцах онлайн хязгаарыг тэмдэглэж байна. Асуудлыг хуримтлуулах үйл явцын жам ёсны байдал нь математикийн бүх чиглэлээр мэдлэгийн хэрэгцээг тодорхойлдог. Маш сайн хязгаарын тооцоолуур нь чадварлаг оюутнуудын гарт зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болж, дижитал дэвшлийн аналогиас давуу талыг нь тэд үнэлэх болно. Сургуулиудад ямар нэгэн зүйлд онлайн хязгаарлалтыг институтээс өөрөөр нэрлэдэг. Аргументыг өөрчилснөөр функцийн утга өсөх болно. Функцын хязгаарыг олох нь зөвхөн хагас тулаан тул даалгаврыг логик дүгнэлтэд хүргэж, хариултыг өргөтгөсөн хэлбэрээр өгөх шаардлагатай гэж Лопитал хэлэв. Бодит байдал нь хэрэгт баримт байгаа нь хангалттай юм. Математикийн шинжлэх ухааны түүхэн чухал талууд нь онлайн хязгаартай холбоотой бөгөөд тооны онолыг судлах үндэс суурь болдог. Математик томьёо дахь хуудасны кодчилол нь хөтөч дээрх үйлчлүүлэгчийн хэл дээр байдаг. Хязгаарыг абсцисса тэнхлэгийн чиглэлд өөрчлөхийг албадахгүйгээр, зөвшөөрөгдөх хуулийн аргаар хэрхэн тооцох вэ. Ерөнхийдөө орон зайн бодит байдал нь зөвхөн функцийн гүдгэр байдал эсвэл түүний хонхор байдлаас хамаардаггүй. Асуудлаас үл мэдэгдэх бүх зүйлийг устгаж, хязгаарлалтыг шийдвэрлэх нь танд байгаа математикийн нөөцийг хамгийн бага зардал болгон бууруулах болно. Томъёолсон асуудлын шийдэл нь функцийг зуун хувь засах болно. Хүлээгдэж буй утга нь хамгийн бага ач холбогдолтой тодорхой харилцаанаас хазайсантай холбоотой онлайн хязгаарыг нарийвчлан харуулах болно. Шинжлэх ухааныг дэмжсэн математикийн шийдвэр гарснаас хойш гурав хоног өнгөрөв. Энэ бол үнэхээр өгөөжтэй үйл ажиллагаа юм. Хязгаарлалтгүй байх шалтгаангүйгээр онлайн нь нөхцөл байдлын асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий хандлагад зөрүүтэй гэсэн үг юм. 0/0-ийн тодорхойгүй байдал бүхий нэг талын хязгаарын хамгийн сайн нэр нь ирээдүйд эрэлт хэрэгцээтэй байх болно. Нөөц нь зөвхөн үзэсгэлэнтэй, сайн төдийгүй танд хязгаарыг тооцоолоход ашигтай байж болно. Агуу эрдэмтэн оюутан байхдаа шинжлэх ухааны бүтээл бичих үүргийг судалжээ. Арван жил өнгөрчээ. Янз бүрийн нюансуудын өмнө функцийн хязгаар нь зарчмын зөрүүтэй байдлыг харгалзан математикийн хүлээлтийг хоёрдмол утгагүй тайлбарлах нь зүйтэй юм. Тэд захиалсан шалгалтанд хариулсан. Математикийн хувьд багшлах онцгой байр суурь бол хачирхалтай нь харилцан бие даасан гадаад харилцаатай онлайн хязгаарыг судлах явдал юм. Ердийн тохиолдлуудын адил энэ нь тохиолддог. Та ямар нэгэн зүйлийг хуулбарлах шаардлагагүй. Оюутнуудыг математикийн онолд судлах арга барилд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид эцсийн шатны эцсийн шатанд хязгаарын шийдвэрийг сайтар үлдээх болно. Энэ бол дараах утга учир текстийг шалгана уу. Хугарал нь математик илэрхийллийг хүлээн авсан мэдээллийн мөн чанар гэж онцгойлон тодорхойлдог. Онлайн хязгаар нь олон чиглэлт векторуудын харьцангуйн математик системийн жинхэнэ байрлалыг тодорхойлох мөн чанар юм. Энэ утгаараа би өөрийнхөө үзэл бодлыг хэлмээр байна. Өмнөх даалгавартай адил. Онлайн ялгаатай хязгаар нь судалгааны чиглэлээр программчлагдсан дүн шинжилгээг дараалан судлах математикийн үзэл бодолд үзүүлэх нөлөөг нарийвчлан өргөжүүлдэг. Онолын хувьд математик бол зүгээр нэг шинжлэх ухаанаас дээгүүр зүйл юм. Үнэнч байх нь үйлдлээр батлагддаг. Хязгаарыг буруу тооцоолсон тохиолдолд дараалсан тоонуудын өсөлтийн хөдөлгөөнийг зориудаар таслах боломжгүй хэвээр байна. Хоёр талт гадаргуу нь байгалийн хэлбэрээр бүрэн хэмжээгээр илэрхийлэгддэг. Математик анализыг судлах боломжийг олгохын тулд функцын хязгаар нь функциональ цувааны дарааллыг тухайн цэг дэх эпсилон-хөрш байдлаар хавсаргана. Функцын онолоос ялгаатай нь тооцооллын алдааг үгүйсгэхгүй, гэхдээ энэ нь нөхцөл байдалд заасан байдаг. Онлайн асуудлын хязгаарт хуваахдаа гурван хэмжээст орон зайн шугаман бус системийн хурдан бүтээгдэхүүнд хувьсах дифференцийн функцийг зурж болно. Өчүүхэн хэрэг нь үйл ажиллагааны гол цөм юм. Энэ хэргийг шинжлэхийн тулд заавал оюутан байх албагүй. Үргэлжилсэн тооцооллын моментуудын багц, эхлээд хязгаарын шийдвэр нь олон тооны утгууд дээр ординатын тэнхлэгийн дагуух ахиц дэвшлийн бүхэл бүтэн системийн үйл ажиллагаа гэж тодорхойлогддог. Бид хамгийн бага математикийн утгыг үндсэн утга болгон авдаг. Дүгнэлт нь ойлгомжтой. Онгоцны хоорондох зай нь онлайн хязгаарын онолын хувьд өргөжин тэлэх болно, учир нь ач холбогдлын тойргийн талыг ялгаатай тооцоолох аргыг хэрэглэх нь угаасаа утга агуулаагүй болно. Хэрэв хязгаарын тооцоолуур сервер дээр байрладаг бол маш сайн сонголт бөгөөд энэ нь талбайн гадаргуугийн өөрчлөлтийн ач холбогдлыг гажуудуулахгүйгээр авч болно, эс тэгвээс шугаман байдлын асуудал илүү өндөр болно. Математикийн бүрэн дүн шинжилгээ нь системийн тогтворгүй байдлыг, түүний тайлбарын хамт тухайн цэгийн хамгийн жижиг орчмын талбайд илрүүлсэн. Ординат ба абсциссуудын огтлолцлын тэнхлэгийн дагуух функцийн аливаа хязгаарын хувьд судалгааны үйл явцын функциональ хуваарилалтын хувьд тодорхой хамгийн бага хөршийн объектын тоон утгыг хавсаргах боломжтой. Даалгаврыг цэгээр нь бичье. Зохиол бичих үе шат гэж хуваагддаг. Хязгаарыг тооцоолох нь үнэхээр хэцүү эсвэл огтхон ч хялбар биш гэсэн эрдэм шинжилгээний мэдэгдлийг бүх бакалавр, магистрын оюутнуудын математикийн үзэл бодлын дүн шинжилгээгээр баталж байна. Боломжит завсрын үр дүн удахгүй гарахгүй. Дээрх хязгаарыг онлайнаар нарийвчлан судалж, объектуудын системийн ялгааны үнэмлэхүй хамгийн бага хэмжээ, үүнээс цааш математикийн орон зайн шугаман байдал гажиж байна. Талбайн том талбайн сегментчлэлийг оюутнууд онлайн хасах хязгаарын тооцоолуур бичсэний дараа олон магадлалыг тооцоолоход ашигладаггүй. Эхлэхийн дараа бид оюутнуудад математикийн орон зайн орчныг судлах даалгавруудыг дахин боловсруулахыг хориглоно. Функцийн хязгаарыг аль хэдийн олсон тул түүний судалгааны графикийг хавтгай дээр байгуулъя. Ординатын тэнхлэгүүдийг тусгай өнгөөр ​​сонгож, шугамын чиглэлийг харуул. Тогтвортой байдал бий. Хариултыг бичих явцад тодорхойгүй байдал удаан үргэлжилсэн. Анхны нөхцлүүдийн хязгаарын хязгаарын ялгааг шинжлэх замаар нэг цэг дээрх функцийн хязгаарыг тооцоол. Энэ аргыг хэрэглэгч бүр мэддэггүй. Бидэнд математикийн шинжилгээ хэрэгтэй. Хязгаарлалтын шийдвэр нь олон жилийн турш үеийнхний оюун санаанд хуримтлуулдаг. Үйл явцыг хүндрүүлэхгүй байх боломжгүй юм. Түүний дүгнэлтийг үе үеийн оюутнууд хариуцна. Тооцооллын хүчин чадлын зөрүүгээр хязгаарын тооцоолуураас хоцорч байгаа зарим цэгийн эргэн тойронд функцүүдийн байрлалыг засах аргумент байхгүй тохиолдолд дээр дурдсан бүх зүйл өөрчлөгдөж эхэлдэг. Үр дүнгийн хариултыг авахын тулд функцийн судалгаа хийцгээе. Дүгнэлт нь тодорхой биш байна. Математик илэрхийллийг хувиргасны дараа нийт тооноос далд тодорхойлогдсон функцуудыг хасч, эцсийн алхам бол хязгаарыг онлайнаар зөв, өндөр нарийвчлалтайгаар олох явдал юм. Энэ нь гаргасан шийдвэрийг хүлээн зөвшөөрөх эсэхийг шалгахад тавьсан. Үйл явц үргэлжилж байна. Функцуудаас тусгаарлагдсан дарааллыг түгжиж, асар их туршлагаа ашиглан математикчид судалгааны зөв чиглэлийг зөвтгөх хязгаарыг тооцоолох ёстой. Ийм үр дүнд онолын хувьд өсөх шаардлагагүй. Абсцисса тэнхлэгийн 0 биш цэгийн зарим хөршийн доторх тооны харьцааг тооцоолуур руу чиглүүлснээр математикийн бичсэн бодлогын дагуу орон зайн налуугийн онлайн хувьсагч өнцгийг хязгаарладаг. Сансар огторгуйн хоёр талбайг холбоно. Функцийн хязгаар нь орон зайд нэг талын утгын шинж чанарыг хэрхэн олж авах талаар шийдвэрлэгч нарын санал зөрөлдөөнийг оюутнуудын хяналттай гүйцэтгэлийг эрчимжүүлсэн байдлаар үл тоомсорлож болохгүй. Математикийн онлайн хязгаарын шугам нь эдгээр хязгаарыг тооцоолох тодорхой бус байдлын талаархи хамгийн бага маргаантай байр суурийг эзэлдэг. Тойргийн гурван радиустай ижил тэгш өнцөгт гурвалжин ба шоо дөрвөлжингийн өндрийн хязгаарын онлайн тооцоолуур нь оюутанд шинжлэх ухааны эхний шатанд цээжээр сурахад тусална. Үйл ажиллагаа явуулж буй математикийн суларсан системийг судлах хавтгайн талаас нь судлахад хязгаарлалтыг шийдвэрлэхийг оюутнуудын ухамсарт үлдээе. Тоонуудын онолын хувьд оюутны үзэл бодол хоёрдмол утгатай байдаг. Хүн бүр өөрийн гэсэн үзэл бодолтой байдаг. Математикийн хичээлийг зөв чиглүүлэх нь өндөр хөгжилтэй орнуудын их дээд сургуулиудад байдаг заншил ёсоор хязгаарыг жинхэнэ утгаар нь тооцоолоход тусална. Математик дахь котангенсыг хязгаарын тооцоолуураар тооцдог бөгөөд энэ нь аргументийн косинус ба синус гэх мэт бусад хоёр энгийн тригонометрийн функцүүдийн харьцаа юм. Энэ нь сегментүүдийг хоёр дахин багасгах шийдэл юм. Өөр нэг арга нь нөхцөл байдлыг өнгөрсөн агшинд ашигтайгаар шийдвэрлэх магадлал багатай юм. Онлайн хязгаарыг ямар ч бодолгүйгээр нарийвчлан шийдвэрлэхэд маш хэцүү, ашиггүй гэдгийг удаан хугацаанд хэлж болох ч энэ арга нь оюутнуудын дотоод сахилга батыг илүү сайн болгох хандлагатай байдаг.

Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт... Нэг цэг дээрх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох ба бусад олон зүйлийг хийх боломжтой. Бид танд өөрийн функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцын хувьсагч болон түүний зорьж буй хязгаарыг оруулбал anash үйлчилгээ таны өмнөөс бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгнө. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохта тоон цуваа болон шууд утга агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд олсон функцийн хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь хайлт хийх аливаа нарийн төвөгтэй асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаар... Тооцоолох замаар онлайн хязгаарлалт, та үр дүнг шалгахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, дүрмийг ашиглаж болно хязгаарыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай биелүүлэхэд хүргэнэ - та өөрийн алдаа, алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарын бие даасан тооцоололд нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарлалтуудыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тоон дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцоолох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байдлаар.

Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарболон дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүйд зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаарууд... Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдэл гаргаж байна онлайн хязгаарлалтсекундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Тооцооллын судалгаа нь үүнээс эхэлдэг хязгаарт хүрэх, хязгаарууднь дээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг шийдлийг онлайнаар хязгаарлах, энэ нь сайт юм.

Хязгааргүй функцийн хязгаар:
f (x) - a |< ε при |x| >Н

Коши хязгаарыг тодорхойлох
Ф функцийг үзье (x)нь хязгааргүй цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог, учир нь | x | > a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэге (x)Хэрэв дурын жижиг эерэг тоо ε байвал x нь хязгааргүйд () ханддаг > 0 , N ε тоо байна > Кε-ээс хамааран бүх x, | x |-ийн хувьд > N ε, функцийн утгууд нь a цэгийн ε - хөршид хамаарна:
f (x) - a |< ε .
Хязгааргүй функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.
.

Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичье.
.
Энэ нь утгууд нь функцийн хүрээнд байна гэж үздэг.

Нэг талын хязгаарлалт

Хязгааргүй функцийн зүүн хязгаар:
f (x) - a |< ε при x < -N

Функцийг зөвхөн x хувьсагчийн эерэг эсвэл сөрөг утгуудын хувьд (илүү нарийвчлалтай, цэгийн ойролцоо эсвэл) тодорхойлсон тохиолдол ихэвчлэн байдаг. Мөн эерэг ба сөрөг x утгуудын хязгаарын хязгаар нь өөр өөр утгатай байж болно. Дараа нь нэг талын хязгаарлалтыг ашигла.

Хязгааргүй зүүн хязгаарэсвэл x нь хасах хязгааргүй () хандлагатай байгаа хязгаарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Хязгааргүй баруун хязгаарэсвэл x-ийн хязгаарыг нэмэх хязгааргүй ():
.
Хязгааргүйд нэг талын хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
; .

Хязгааргүй функцийн хязгааргүй хязгаар

Хязгааргүй функцийн хязгааргүй хязгаар:
f (x) | > M нь | x | > Н

Кошигийн дагуу хязгааргүй хязгаарыг тодорхойлох
Ф функцийг үзье (x)нь хязгааргүй цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог, учир нь | x | > K, энд K нь эерэг тоо. Функцийн хязгаар f (x) x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай тул (), хязгааргүйтэй тэнцүү байнахэрэв дурын тооны хувьд М > 0 , N M тоо байна > КМ-ээс хамааран бүх x, | x | > N M, функцийн утгууд нь хязгааргүй цэгийн хөршид хамаарна:
f (x) | > М.
Х нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Үүний нэгэн адил тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараахтай тэнцүү ба танилцуулсан болно.
.
.

Хязгааргүйд нэг талт хязгаарын тодорхойлолтууд.
Зүүн хязгаар.
.
.
.
Зөв хязгаар.
.
.
.

Гейний функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Ф функцийг үзье (x)хязгааргүй х цэгийн зарим хөрш дээр тодорхойлогддог 0 хаана эсвэл эсвэл.
a тоог (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй алслагдсан) f функцийн хязгаар гэнэ (x) x цэг дээр 0 :
,
хэрэв ямар нэгэн дарааллын хувьд (х н) x-д ойртох 0 : ,
түүний элементүүд нь хөрш, дараалалд хамаарах (f (x n))нийлдэг:
.

Хэрэв бид хязгааргүй алслагдсан цэгийн ойр орчмыг: гэсэн тэмдэггүй авбал х нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг тул функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв бид хязгааргүй х дээрх цэгийн зүүн эсвэл баруун талын хөршийг авбал 0 : эсвэл, тэгвэл бид хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна, учир нь х нь хасах хязгааргүй, нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай байна.

Heine болон Cauchy хязгаарын тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.

Жишээ нь

Жишээ 1

Кошигийн тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг харуул
.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
.
Функцийн домайныг олъё. Бутархайн хуваагч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул хуваагч алга болох цэгээс бусад бүх х-д функц тодорхойлогдоно. Эдгээр цэгүүдийг олцгооё. Бид квадрат тэгшитгэлийг шийддэг. ;
.
Тэгшитгэлийн үндэс:
; .
Түүнээс хойш, түүнээс хойш.
Тиймээс функцийг дараах үед тодорхойлсон. Үүнийг бид ирээдүйд ашиглах болно.

Кошигийн дагуу хязгааргүйд байгаа функцийн төгсгөлийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.
Бид ялгааг өөрчилдөг:
.
Тоолуур ба хуваагчийг хувааж, үржүүлнэ -1 :
.

Байцгаая.
Дараа нь
;
;
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
.
Тиймээс үүнийг дагадаг
дээр, болон.

Үргэлж нэмэгдүүлэх боломжтой тул авч үзье. Дараа нь аль нэгнийх нь хувьд,
цагт.
гэсэн үг.

Жишээ 2

Байцгаая.
Коши хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан дараахь зүйлийг харуул.
1) ;
2) .

1) Х нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай шийдэл

Үүнээс хойш функц нь бүх x-ийн хувьд тодорхойлогддог.
Хасах хязгаартай тэнцүү үед функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.

Байцгаая. Дараа нь
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
Эерэг тоонуудыг оруулаад:
.
Үүнээс үзэхэд аливаа эерэг M тооны хувьд тоо байдаг тул,
.

гэсэн үг.

2) Х нь нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай шийдэл

Анхны функцийг өөрчилье. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлээд квадратын зөрүүний томъёог ашиглана уу.
.
Бидэнд байгаа:

.
Функцийн зөв хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя:.
Бид ялгааг өөрчилдөг:
.
Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.

Байцгаая
.
Дараа нь
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
Эерэг тоонуудыг оруулаад:
.
Тиймээс үүнийг дагадаг
болон.

Энэ нь аливаа эерэг тооны хувьд үнэн тул
.

Лавлагаа:
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.