Хязгаарын онол- Математик анализын нэг салбарыг эзэмшиж чаддаг бол бусад нь хязгаарыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг. Олон арван заль мэх байдаг тул хязгаарыг олох асуудал нэлээд ерөнхий юм. шийдлийн хязгаарлалттөрөл бүрийн. Ижил хязгаарыг L'Hôpital-ийн дүрмийн дагуу болон үүнгүйгээр хоёуланг нь олж болно. Хэд хэдэн хязгааргүй жижиг функцүүдийн хуваарь нь хүссэн үр дүндээ хурдан хүрэх боломжийг олгодог. Аливаа нарийн төвөгтэй функцийн хязгаарыг олох боломжийг олгодог хэд хэдэн заль мэх, заль мэх байдаг. Энэ нийтлэлд бид практикт ихэвчлэн тохиолддог хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно. Бид энд хязгаарын онол, тодорхойлолтыг өгөхгүй, Интернетэд үүнийг зажилж байгаа олон эх сурвалжууд байдаг. Тиймээс, практик тооцоололд орцгооё, энд "Би мэдэхгүй байна! Би яаж гэдгийг мэдэхгүй байна! Бидэнд заагаагүй!"

Орлуулах ашиглан хязгаарыг тооцоолох

Жишээ 1. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3).
Шийдэл: Онолын хувьд ийм төрлийн жишээг ердийн орлуулалтаар тооцдог

Хязгаар нь 18/11.
Ийм хязгаарт төвөгтэй, ухаалаг зүйл байхгүй - тэд утгыг орлуулж, тооцоолж, хариуд нь хязгаарыг бичсэн. Гэсэн хэдий ч ийм хязгаарлалтын үндсэн дээр хүн бүрт хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол утгыг функцэд орлуулах явдал юм. Цаашилбал, хязгаарлалтууд нь төвөгтэй бөгөөд тэд хязгааргүй, тодорхойгүй байдал гэх мэт ойлголтуудыг нэвтрүүлдэг.

Төгсгөлгүй төрлийн хязгаарыг хязгааргүйд хуваа. Тодорхой бус байдлыг тодруулах арга техник

Жишээ 2. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = хязгааргүй).
Шийдэл: Олон гишүүнтийн хэлбэрийн хязгаарыг тогтоож, олон гишүүнт хувааж, хувьсагч нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг.

Хязгаарыг олохын тулд хувьсагчийг олох ёстой утгыг энгийн орлуулах нь тус болохгүй, бид хязгааргүйд хуваагдсан хэлбэрийн хязгааргүй байдлын тодорхойгүй байдлыг олж авна.
Хөлс хязгаарын онол Хязгаарыг тооцоолох алгоритм нь тоологч эсвэл хуваагч дахь "x"-ийн хамгийн их хүчийг олох явдал юм. Цаашилбал, тоологч ба хуваагчийг түүгээр хялбарчилж, функцийн хязгаарыг олно

Хязгааргүй хүртэлх хувьсагчтай утга нь тэг рүү чиглэдэг тул тэдгээрийг үл тоомсорлож эсвэл эцсийн илэрхийлэлд тэг хэлбэрээр бичнэ.

Практикаас нэн даруй та тооцоололд зөвлөмж болох хоёр дүгнэлтийг гаргаж болно. Хэрэв хувьсагч нь хязгааргүй рүү тэмүүлж, тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас их байвал хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна. Үгүй бол, хуваагч дахь олон гишүүнт тоологч дахь олон гишүүнтээс өндөр дараалалтай байвал хязгаар нь тэг болно.
Хязгаарыг дараах байдлаар томъёогоор бичиж болно

Хэрэв бид бутархайгүй ердийн лог хэлбэрийн функцтэй бол түүний хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна.

Дараагийн төрлийн хязгаарлалт нь тэгтэй ойролцоо функцүүдийн үйл ажиллагаанд хамаарна.

Жишээ 3. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0).
Шийдэл: Энд олон гишүүнтийн тэргүүлэх хүчин зүйлийг хасах шаардлагагүй. Яг эсрэгээрээ, тоологч болон хуваагчийн хамгийн бага зэрэглэлийг олж, хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай.

X утга ^ 2; Хувьсагч тэг рүү чиглэх үед x нь тэг рүү чиглэдэг Тиймээс тэдгээрийг үл тоомсорлодог тул бид үүнийг олж авна.

хязгаар нь 2.5 байна.

Одоо та мэднэ функцийн хязгаарыг хэрхэн олоххэлбэр нь олон гишүүнт хувьсагч нь хязгааргүй буюу 0 хандлагатай бол олон гишүүнт хуваагдана. Гэхдээ энэ нь жишээнүүдийн зөвхөн жижиг бөгөөд хялбар хэсэг юм. Дараах материалаас та суралцах болно функцийн хязгаарын тодорхойгүй байдлыг хэрхэн илчлэх.

0/0 төрлийн тодорхойгүй хязгаарлалт ба түүнийг тооцоолох аргууд

Тэр даруй хүн бүр тэгээр хуваах боломжгүй дүрмийг санаж байна. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөлд хязгаарын онол нь хязгааргүй жижиг функцийг хэлнэ.
Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 4. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1).
Шийдэл: x = -1 хувьсагчийн утгыг хуваагч дээр орлуулахад бид тэг болно, энэ нь тоологч дээр гардаг ижил зүйл юм. Тэгэхээр бидэнд байгаа 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал.
Ийм тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх нь маш энгийн: та олон гишүүнт хүчин зүйл хийх хэрэгтэй, эс тэгвээс функцийг тэг болгож хувиргах хүчин зүйлийг сонгох хэрэгтэй.

Задаргааны дараа функцийн хязгаарыг ингэж бичиж болно

Энэ бол функцийн хязгаарыг тооцоолох бүх техник юм. Олон гишүүнт хуваагдсан олон гишүүнт хэлбэрийн хязгаар байгаа тохиолдолд бид мөн адил хийнэ.

Жишээ 5. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x = 2).
Шийдэл: Урагш солихыг харуулна
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
бидэнд байгаа зүйл тодорхойгүй байдлын төрөл 0/0.
Бид олон гишүүнтүүдийг онцгой байдлыг илтгэх хүчин зүйлээр хуваадаг


2-р эрэмбийн олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл "квадрат тэгшитгэл" хэлбэрийн олон гишүүнтүүдийг дискриминантаар шийдэх ёстой гэж заадаг багш нар байдаг. Гэвч бодит практик нь энэ нь илүү урт, илүү ойлгомжгүй гэдгийг харуулж байна, тиймээс заасан алгоритм дотор онцлог салахыг. Тиймээс бид функцийг анхны хүчин зүйлийн хэлбэрээр бичиж, хязгаарт тоолно

Таны харж байгаагаар ийм хязгаарлалтыг тооцоолоход хэцүү зүйл байхгүй. Хязгаарыг судлах үед та олон гишүүнтүүдийг хэрхэн хуваахыг мэддэг, ядаж л аль хэдийн давсан байх ёстой хөтөлбөрийн дагуу.
Даалгавруудын дунд тодорхойгүй байдлын төрөл 0/0Товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглах шаардлагатай зүйлүүд байдаг. Гэхдээ хэрэв та тэдгээрийг мэдэхгүй бол олон гишүүнтийг мономиал болгон хуваах замаар та хүссэн томьёог олж авах боломжтой.

Жишээ 6. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3).
Шийдэл: Бидэнд 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдал бий. Тоолуур дээр бид товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг

шаардлагатай хязгаарыг тооцоолох

Тодорхой бус байдлыг коньюгатаар үржүүлэх арга

Энэ аргыг тодорхой бус байдлын улмаас иррационал функцүүд үүсэх хязгаарт хэрэглэнэ. Тооцоологч эсвэл хуваагч нь тооцооллын цэг дээр тэг болж, хилийг хэрхэн олох нь тодорхойгүй байна.

Жишээ 7. Функцийн хязгаарыг ол
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x = 2).
Шийдэл:Бид хязгаарын томъёонд хувьсагчийг төлөөлдөг

Орлуулах нь 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлыг өгдөг.
Хязгаарын онолын дагуу энэ онцлогийг тойрч гарах схем нь иррационал илэрхийлэлийг коньюгатаар үржүүлэх явдал юм. Илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд хуваагчийг ижил утгад хуваах ёстой.

Квадратуудын зөрүүний дүрмээр бид тоологчийг хялбарчилж, функцийн хязгаарыг тооцоолно

Бид хязгаарт онцгой байдлыг үүсгэдэг нэр томъёог хялбарчилж, орлуулалтыг гүйцэтгэдэг

Жишээ 8. Функцийн хязгаарыг ол
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x = 3).
Шийдэл: Форвард орлуулалт нь хязгаар нь 0/0 хэлбэрийн онцлогтой болохыг харуулж байна.

Өргөтгөхийн тулд бид тоологчийн коньюгатаар үржүүлж, хуваана

Квадратуудын ялгааг бичих

Бид онцгой байдлыг танилцуулах нэр томъёог хялбарчилж, функцийн хязгаарыг олдог

Жишээ 9. Функцийн хязгаарыг ол
Лим ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x = 2).
Шийдэл: Томъёонд 2-ыг орлуулна

Бид авдаг тодорхойгүй байдал 0/0.
Хуваагчийг коньюгат илэрхийллээр үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд тоологч дээр та квадрат тэгшитгэлийг шийдэх эсвэл онцгой байдлыг харгалзан хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй. 2 нь язгуур гэдэг нь мэдэгдэж байгаа тул бид хоёр дахь язгуурыг Виетийн теоремоор олно

Тиймээс бид тоологчийг хэлбэрээр бичнэ

мөн хязгаарт орлуулах

Квадратуудын ялгааг бууруулснаар бид тоо болон хуваагч дахь онцгой шинж чанаруудаас сална.

Ийм байдлаар та олон жишээн дэх онцгой шинж чанараас ангижрах боломжтой бөгөөд орлуулах үед өгөгдсөн язгуурын зөрүү тэг болж хувирах бүрт програмыг тэмдэглэх хэрэгтэй. Бусад төрлийн хязгаарууд нь экспоненциал функц, хязгааргүй жижиг функц, логарифм, тусгай хязгаар болон бусад арга техникт хамаарна. Гэхдээ та энэ талаар доор жагсаасан хязгаарлалтын талаархи нийтлэлээс уншиж болно.

Тогтмол тоо адуудсан хязгаар дараалал(x n) хэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьдε > 0 бүгд үнэ цэнэтэй N тоо байдаг x n, үүний хувьд n> N, тэгш бус байдлыг хангана

| x n - a |< ε. (6.1)

Тэд үүнийг дараах байдлаар бичнэ: эсвэл x n →а.

Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

оноо гэсэн үг x n, зарим n> N тооноос эхлэн интервал дотор хэвт (a-ε, a + ε ), i.e. ямар ч жижиг зүйлд унахε - цэгийн хөрш а.

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нийлэх, эс бөгөөс - зөрүүтэй.

Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f (n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.

f (x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгЭнэ функцийн домэйн D (f), өөрөөр хэлбэл, -аас өөр D (f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш цэг а... Оноо а D (f) олонлогт хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно.

Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функц f (x) цагт x →a if хандлагатай аргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n). а, харгалзах дараалал (f (x n)) ижил хязгаартай байна.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт,эсвэл " дарааллын хэлээр”.

Тодорхойлолт 2... Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функц f (x) цагт x →a if, дур зоргоороо жижиг эерэг тоог ε зааж өгснөөр, ийм δ-г олж болно> 0 (ε-ээс хамаарна), энэ нь бүгдэд зориулагдсан ххэвтэж байнаε-тооны хөршүүд а, өөрөөр хэлбэл төлөө хтэгш бус байдлыг хангаж байна
0 < х-а< ε , f (x) функцийн утгууд оршиноε-А тооны хөрш, i.e.|f (x) -A |< ε.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг функцийн Коши хязгаарын тодорхойлолт,эсвэл “ε - δ хэлээр “.

Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв f (x) функц нь x →нь байна хязгаарА-тай тэнцүү бол үүнийг ингэж бичнэ

. (6.3)

Ойролцоох аливаа аргын хувьд дараалал (f (x n)) тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд хтаны хязгаарт а, тэгвэл бид f (x) функцтэй байна гэж хэлдэг төгсгөлгүй хязгаар,мөн дараах байдлаар бичнэ үү.

Хязгаар нь тэг байх хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй бага үнэ цэнэ.

Хязгаар нь хязгааргүй хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.

Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.

Теорем 1 ... Хэрэв бүх хязгаар байгаа бол

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Сэтгэгдэл... 0/0 гэх мэт илэрхийллүүд, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - тодорхойгүй, жишээлбэл, хоёр хязгааргүй бага буюу хязгааргүй их хэмжээний харьцаа, ийм төрлийн хязгаарыг олохыг "тодорхойгүй байдлын илчлэлт" гэж нэрлэдэг.

Теорем 2. (6.7)

тэдгээр. та тогтмол экспонент бүхий градусын суурь дээр хязгаарт очиж болно, ялангуяа, ;

(6.8)

(6.9)

Теорем 3.

(6.10)

(6.11)

хаана д » 2.7 нь натурал логарифмын суурь юм. (6.10) ба (6.11) томъёог эхнийх гэж нэрлэдэг гайхалтай хязгаарболон хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ялангуяа хязгаар

Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x> a, дараа нь тэд x гэж бичнэ→ a + 0. Хэрэв ялангуяа a = 0 бол 0 + 0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүний нэгэн адил хэрэв x →a ба үүнээс гадна, x a-0. Тоонууд мөн зохих ёсоор дуудагддаг баруун талд хязгаарлахболон зүүн хязгаар функц f (x) цэг дээр а... f (x) функцийн хязгаар нь x → байхын тулднь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм ... f (x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0

. (6.15)

Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

,

өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.

Тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл тэгнэ цагт x = x o функц f (x) Байгаа завсарлага. y = 1 / x функцийг авч үзье. Энэ функцийн домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад нь. x = 0 цэг нь D (f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль нэгэнд нь, өөрөөр хэлбэл, 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервал нь D (f) цэгийг агуулна, гэхдээ энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f (x o) = f (0) утга тодорхойгүй тул функц x o = 0 цэг дээр тасалдалтай байна.

f (x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар

,

болон цэг дээр тасралтгүй үлдсэн x o, хэрэв хязгаар

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талын аль алинд нь түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f (x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.

1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f (x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f (x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн завсарлага,эсвэл харайх.

2. Хэрэв хязгаар нь байвал+ ∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй, тэгвэл тэд дотор гэж хэлдэг цэгх о функц нь цоорхойтой байна хоёр дахь төрөл.

Жишээлбэл, x-ийн хувьд y = ctg x функц→ +0 нь + ∞-тэй тэнцүү хязгаартай, иймээс x = 0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна. y = E (x) функц (бүхэл хэсэг х) бүхэл тоон абсцисс бүхий цэгүүдэд эхний төрлийн тасалдал буюу үсрэлтүүд байна.

Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэн v . Тасралтгүй функцийг хатуу муруй хэлбэрээр үзүүлэв.

Аливаа хэмжигдэхүүний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл, нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу шимтгэлийн өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактерийн нөхөн үржихүй гэх мэт орно.

Санаж үз Я.И.Перелманы жишээтооны тайлбарыг өгөх днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий ... Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв холболтыг илүү олон удаа хийвэл сонирхолыг бий болгоход их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. Банк 100 ден тавьж байг. нэгж жилийн 100 хувийн хүүтэй. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмж оруулах юм бол энэ өдөр гэхэд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо юу 100 дент болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв зургаан сар тутамд хүүгийн мөнгийг үндсэн капиталд нэмбэл. Хагас жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж өснө× 1.5 = 150, зургаан сарын дараа - 150× 1.5 = 225 (мөнгөний нэгж). Хэрэв холболтыг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж хувирна× (1 +1/3) 3 " 237 (мөнгөний нэгж). Хүүтэй мөнгө нийлүүлэх хугацааг 0.1 жил хүртэл, 0.01 жил хүртэл, 0.001 жил хүртэл нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь гарч ирнэ:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (мөнгөний нэгж),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (мөнгөний нэгж),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (мөнгөний нэгж).

Зээлийн хүүгийн нөхцлүүдийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, тодорхой хязгаарт ойртож, ойролцоогоор 271-тэй тэнцүү байна. Жилд 100% хуваарилсан хөрөнгийн хэмжээ хуримтлагдсан байсан ч 2.71 дахин нэмэгдэх боломжгүй. хязгаартай учир капиталд секунд тутамд хүү нэмэгдэж байсан

Жишээ 3.1.Тоон дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n = (n-1) / n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Шийдэл.Бид юу ч байсан үүнийг батлах хэрэгтэйε Бид > 0-ийг аваагүй, учир нь түүнд N натурал тоо байгаа тул бүх n N-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдал явагдана.| x n -1 |< ε.

Ямар ч e> 0-г авна. x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, тэгвэл N-ийг олохын тулд 1 / n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.< д. Тиймээс n> 1 / e тиймээс N-ийг 1-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно / e, N = E (1 / e ). Хязгаарлалт гэдгийг бид ийнхүү нотолсон.

Жишээ 3.2 ... Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол .

Шийдэл.Бид нийлбэрийн хязгаарын теоремыг хэрэглэж, гишүүн бүрийн хязгаарыг олно. Н-ийн хувьд→ ∞ гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x nэхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах замаар n 2, хоёр дахь нь дээр n... Дараа нь хуваалтын хязгаар ба нийлбэрийн хязгаарын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Жишээ 3.3. ... олох.

Шийдэл. .

Энд бид градусын хязгаарын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь үндсэн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.4 ... олох ( ).

Шийдэл.Хязгаарын зөрүүний теоремыг хэрэглэх боломжгүй, учир нь бид хэлбэр нь тодорхойгүй байна ∞-∞ ... Бид нийтлэг гишүүний томъёог өөрчилдөг:

.

Жишээ 3.5 ... f (x) = 2 1 / x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дарааллын хувьд ашиглая. 0-д ойртох дарааллыг (x n) авна, өөрөөр хэлбэл. f (x n) = утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1 / n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1 / n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Жишээ 3.6 ... Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.x 1, x 2, ..., x n, ... нь дараалал байг
... (f (x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?

Хэрэв x n = p n бол sin x n = sin p бүгдэд нь n = 0 nболон хязгаар Хэрэв
x n = 2 p n + p / 2, дараа нь sin x n = нүгэл (2 p n + p / 2) = нүгэл p / 2 = 1 бүгдэд nтэгээд хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.

Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох виджет

Дээд цонхонд sin (x) / x-ийн оронд хязгаарыг нь олохыг хүсч буй функцийг оруулна уу. Доод цонхонд x-ийн хандлагатай тоог оруулаад Тооцооллын товчийг дарж, хүссэн хязгаараа аваарай. Хэрэв та үр дүнгийн цонхны баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдэлтэй болно.

Функц оруулах дүрэм: sqrt (x) - квадрат язгуур, cbrt (x) - шоо язгуур, exp (x) - экспонент, ln (x) - натурал логарифм, sin (x) - синус, cos (x) - косинус, тан (x) нь шүргэгч, cot (x) нь котангенс, arcsin (x) нь арксинус, arccos (x) нь урвуу косинус, арктан (x) нь арктангенс юм. Тэмдгүүд: * үржүүлэх, / хуваах, ^ экспонентаци, оронд нь хязгааргүйХязгааргүй байдал. Жишээ нь: функцийг sqrt (tan (x / 2)) хэлбэрээр оруулсан болно.

Хязгаар нь бүх математикийн оюутнуудад маш их төвөг учруулдаг. Хязгаарыг шийдэхийн тулд заримдаа маш олон заль мэх хэрэглэж, янз бүрийн шийдлийн аргуудаас яг тодорхой жишээнд тохирохыг нь сонгох хэрэгтэй болдог.

Энэ нийтлэлд бид таны чадварын хязгаарыг ойлгох, хяналтын хязгаарыг ойлгоход туслахгүй, гэхдээ бид дээд математикийн хязгаарыг хэрхэн ойлгох вэ гэсэн асуултанд хариулахыг хичээх болно. Ойлголт нь туршлагаас ирдэг тул бид тайлбартай хязгаарлалтыг шийдвэрлэх хэд хэдэн дэлгэрэнгүй жишээг өгөх болно.

Математик дахь хязгаарын үзэл баримтлал

Эхний асуулт: энэ хязгаар гэж юу вэ, хязгаар нь юу вэ? Бид тоон дараалал, функцүүдийн хязгаарын талаар ярьж болно. Оюутнууд ихэвчлэн тэдэнтэй тулгардаг тул функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг бид сонирхож байна. Гэхдээ эхлээд хязгаарын хамгийн ерөнхий тодорхойлолт:

Ямар нэг хувьсагч байна гэж бодъё. Хэрэв өөрчлөлтийн явцад энэ утга нь тодорхой тоонд хязгааргүй ойртвол а , дараа нь а Энэ утгын хязгаар.

Тодорхой интервалд тодорхойлсон функцийн хувьд f (x) = y ийм тоог хязгаар гэж нэрлэдэг А , үүнд функц нь чиглэдэг NS тодорхой цэг рүү тэмүүлэх а ... Оноо а функц тодорхойлогдсон интервалд хамаарна.

Энэ нь төвөгтэй мэт санагдаж байгаа ч бичихэд маш энгийн:

Лим- англи хэлнээс хязгаархязгаар юм.

Хязгаарыг тодорхойлох геометрийн тайлбар бас байдаг, гэхдээ бид асуудлын онолын талаас илүү практикийг сонирхож байгаа тул энд онол руу орохгүй. Бид ингэж хэлэхэд NS ямар нэг утга руу чиглэдэг, энэ нь хувьсагч нь тухайн тооны утгыг авдаггүй, харин түүнд хязгааргүй ойрхон байна гэсэн үг юм.

Тодорхой жишээ хэлье. Сорилт нь хязгаарыг олох явдал юм.

Энэ жишээг шийдэхийн тулд утгыг орлуулна уу x = 3 функц болгон хувиргана. Бид авах:

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ сэдвээр тусдаа нийтлэл уншина уу.

Жишээнүүдэд NS ямар ч үнэ цэнийн төлөө зүтгэж чадна. Энэ нь ямар ч тоо эсвэл хязгааргүй байж болно. Хэзээ нэгэн жишээ энд байна NS хязгааргүй хандлагатай:

Хуваагч дахь тоо их байх тусам функцийн утга бага байх нь ойлгомжтой. Тиймээс, хязгааргүй өсөлттэй NS утга учир 1 / х буурч, тэг рүү ойртох болно.

Таны харж байгаагаар хязгаарыг шийдэхийн тулд та функцэд хичээх утгыг орлуулах хэрэгтэй. NS ... Гэсэн хэдий ч энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол юм. Хязгаарыг олох нь ихэвчлэн тийм ч тодорхой байдаггүй. гэх мэт тодорхойгүй байдал 0/0 эсвэл хязгааргүй / хязгааргүй ... Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Заль мэхэнд хандахын тулд!

Дотор нь тодорхойгүй байдал

Хязгааргүй / хязгааргүй хэлбэрийн тодорхойгүй байдал

Хязгаартай байцгаая:

Хэрэв бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг оролдвол тоологч болон хуваагчийн аль алинд нь төгсгөлгүй байх болно. Ерөнхийдөө ийм тодорхой бус байдлыг шийдвэрлэхэд урлагийн тодорхой элемент байдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу: тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд функцийг хэрхэн хувиргаж болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Манай тохиолдолд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг NS ахлах зэрэгт. Юу болсон бэ?

Дээр дурдсан жишээнээс үзэхэд хуваагч дахь x-г агуулсан нэр томъёо тэг болох хандлагатай байгааг бид мэднэ. Дараа нь хязгаарлалтын шийдэл нь:

гэх мэт тодорхойгүй байдлыг ил болгох хязгааргүй / хязгааргүйтоологч ба хуваагчийг хуваана NSхамгийн дээд хэмжээнд хүртэл.

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулан 10%-ийн хямдрал зарлалаа

Өөр нэг төрлийн тодорхойгүй байдал: 0/0

Үргэлж байдаг шиг, утгын функц дэх орлуулалт x = -1 өгдөг 0 тоологч ба хуваарьт. Бага зэрэг анхааралтай ажиглавал бид тоологч хэсэгт квадрат тэгшитгэл байгааг анзаарах болно. Үндэсийг олоод бичнэ үү:

Богино болгоод авъя:

Тиймээс, хэрэв та тодорхой бус байдалтай тулгарвал 0/0 - тоологч ба хуваагчийг хасна.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд бид зарим функцийн хязгаар бүхий хүснэгтийг өгдөг.

Дотор нь L'Hopital-ийн дүрэм

Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдлыг арилгах өөр нэг хүчирхэг арга. Аргын мөн чанар юу вэ?

Хэрэв хязгаарт тодорхойгүй байдал байгаа бол бид тодорхойгүй байдал арилах хүртэл тооны болон хуваагчийн деривативыг авна.

L'Hôpital-ийн дүрэм дараах байдалтай байна.

Чухал цэг : тоологч ба хувагчийн оронд тоологч ба хувагчийн дериватив байх хязгаар байх ёстой.

Одоо бодит жишээний хувьд:

Ердийн тодорхойгүй байдал 0/0 ... Тоолуур ба хуваагчийн деривативуудыг авч үзье.

Voila, хоёрдмол утгагүй байдлыг хурдан бөгөөд гоёмсог байдлаар шийддэг.

Та энэ мэдээллийг практикт ашигтайгаар ашиглаж, "дээд математикийн хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ" гэсэн асуултын хариултыг олж чадна гэж найдаж байна. Хэрэв та цэг дээрх дарааллын хязгаар эсвэл функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай бол "ерөөсөө" гэсэн үгнээс энэ ажилд цаг хугацаа байхгүй бол мэргэжлийн оюутны үйлчилгээнд хандаж, хурдан бөгөөд нарийвчилсан шийдлийг аваарай.

Хязгаарын онол бол математик анализын нэг салбар юм. Төрөл бүрийн хязгаарлалтыг шийдвэрлэх олон арван арга байдаг тул хязгаарлалтыг шийдвэрлэх асуудал нэлээд өргөн хүрээтэй байдаг. Энэ эсвэл тэр хязгаарыг шийдэх олон арван нюанс, заль мэх байдаг. Гэсэн хэдий ч бид практикт хамгийн түгээмэл байдаг хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно.

Хязгаарын тухай ойлголтоос эхэлцгээе. Гэхдээ эхлээд түүхэн товч мэдээлэл. 19-р зуунд Францын иргэн Августин Луи Коши амьдарч байсан бөгөөд тэрээр математикийн анализын үндэс суурийг тавьж, хатуу тодорхойлолт, ялангуяа хязгаарын тодорхойлолтыг өгсөн. Энэ Коши математикийн анализын асар олон тооны теоремуудыг нотолсон бөгөөд нэг теорем нь нөгөөгөөсөө илүү жигшүүртэй байдаг тул физик, математикийн факультетийн бүх оюутнуудыг мөрөөдөж, зүүдэлж, хар дарсан зүүд зүүдлэх болно гэдгийг би хэлэх ёстой. Үүнтэй холбогдуулан бид хязгаарын хатуу тодорхойлолтыг авч үзэхгүй, харин хоёр зүйлийг хийхийг хичээх болно.

1. Хязгаар гэж юу болохыг ойлгох.
2. Хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдтэй харьцаж сур.

Шинжлэх ухааны үндэслэлгүй тайлбар өгсөнд хүлцэл өчье, уг материал нь цайны аяганд ч ойлгомжтой байх нь чухал бөгөөд энэ нь үнэндээ төслийн даалгавар юм.

Тэгэхээр хязгаар нь юу вэ?

Эмээ яагаад сэгсгэр байдгийн жишээ л дээ...

Аливаа хязгаарлалт нь гурван хэсэгтэй:

1) Сайн мэддэг хязгаарын дүрс.
2) Энэ тохиолдолд хязгаарлалтын дүрсийн доорх оруулгууд. Бичлэгт "x tends to one" гэж бичсэн байна. Ихэнх тохиолдолд - яг үнэндээ "x"-ийн оронд практикт өөр хувьсагч байдаг. Практик дасгалуудад нэгжийн оронд ямар ч тоо, мөн хязгааргүй () байж болно.
3) Энэ тохиолдолд хязгаарын тэмдгийн доорх функцууд.

Бичлэг өөрөө ингэж уншина: "х нь нэгдмэл байх үед функцийн хязгаар".

Дараагийн чухал асуултанд дүн шинжилгээ хийцгээе - "x эрэлхийлдэгнэг рүү"? Тэгээд ч "зорилго" гэж юу вэ?
Хязгаарын тухай ойлголт бол ойлголт юм, хэрэв би ингэж хэлж болох юм бол динамик... Дараалал үүсгэцгээе: эхлээд, дараа нь,,..., , ….
Энэ нь "x эрэлхийлдэгнэг нь "дараах ёстой гэж ойлгох ёстой -" x "дараалсан утгыг авдаг, Эдгээр нь нэгдмэл байдалд хязгааргүй ойрхон бөгөөд үүнтэй бараг давхцдаг.

Дээрх жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн та функцийн хязгаарын тэмдгийн доор нэгийг орлуулахад л хангалттай.

Тиймээс эхний дүрэм: Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд бид дугаарыг функцэд залгахыг оролдоно.

Бид хамгийн энгийн хязгаарыг авч үзсэн боловч практик дээр ийм зүйл олддог, үүнээс гадна тийм ч ховор биш юм!

Хязгааргүй жишээ:

Энэ юу болохыг ойлгож байна уу? Энэ нь хязгааргүй өсөх үед тохиолддог, өөрөөр хэлбэл: эхлээд, дараа нь, дараа нь, дараа нь гэх мэт хязгааргүй хүртэл нэмэгддэг.

Энэ үед функцэд юу тохиолдох вэ?
, , , …

Тэгэхээр: хэрэв, тэгвэл функц нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна:

Ойролцоогоор, бидний эхний дүрмийн дагуу "x"-ийн оронд бид функцэд хязгааргүйг орлуулж, хариултыг авна.

Хязгааргүй байдлын өөр нэг жишээ:

Дахин хэлэхэд бид хязгааргүй хүртэл нэмэгдэж, функцийн зан төлөвийг харна уу:

Дүгнэлт: функц нь тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдэх үед:

Мөн өөр нэг цуврал жишээ:

Дараахь зүйлийг сэтгэцийн хувьд задлан шинжилж үзээд хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг санаарай.

, , , , , , , , ,
Хэрэв та хаана ч эргэлзэж байвал тооны машин аваад бага зэрэг дасгал хийж болно.
Ийм тохиолдолд дараалал үүсгэхийг оролдоорой,,. Хэрэв, тэгвэл,,.

Анхаарна уу: Хэд хэдэн тоонуудын дарааллыг бүтээх энэ арга нь буруу боловч хамгийн энгийн жишээг ойлгоход тохиромжтой.

Мөн дараах зүйлд анхаарлаа хандуулаарай. Хязгаарыг дээд талд нь олон тоогоор өгсөн ч саятай ч гэсэн:, бүгд адилхан , учир нь "X" эрт орой хэзээ нэгэн цагт ийм асар их үнэ цэнийг авах болно, тэдэнтэй харьцуулахад сая нь жинхэнэ микроб болно.

Дээрхээс юу санаж, ойлгох хэрэгтэй вэ?

1) Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд бид дугаарыг функцэд залгахыг оролдоно.

2) Та хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг ойлгож, нэн даруй шийдвэрлэх ёстой , , гэх мэт.

Одоо бид тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт байдаг бутархай функц байх үеийн хязгаарын бүлгийг авч үзэх болно.

Жишээ:

Хязгаарыг тооцоолох

Манай дүрмийн дагуу бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг хичээх болно. Бид дээд талд юу авах вэ? Хязгааргүй байдал. Тэгээд доор юу болох вэ? Мөн хязгааргүй. Тиймээс бид төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг. Хариулт нь бэлэн байна гэж бодох болно, гэхдээ ерөнхийдөө энэ нь огт тийм биш бөгөөд та одоо авч үзэх зарим шийдлийн техникийг ашиглах хэрэгтэй.

Өгөгдсөн төрлийн хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Эхлээд бид тоологчийг хараад хамгийн их хүчийг олно:

Тоолуур дахь хамгийн дээд зэрэг нь хоёр байна.

Одоо бид хуваагчийг харж, хамгийн дээд хүчийг олж авна:

Хувагчийн хамгийн дээд хүч нь хоёр байна.

Дараа нь бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд хүчийг сонгоно: энэ жишээнд тэдгээр нь ижил бөгөөд хоёртой тэнцүү байна.

Тиймээс, шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна: тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн дээд хүчээр хуваах шаардлагатай.

Ийм л байна, хариулт нь хязгааргүй биш.

Шийдлийг боловсруулахад юу чухал вэ?

Нэгдүгээрт, хэрэв байгаа бол бид тодорхойгүй байдлыг зааж өгнө.

Хоёрдугаарт, завсрын тайлбар хийх шийдлийг тасалдуулах нь зүйтэй. Би ихэвчлэн тэмдэг ашигладаг, энэ нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй, гэхдээ завсрын тайлбарын хувьд шийдэл нь тасалдсан гэсэн үг юм.

Гуравдугаарт, хязгаарт юу тэмүүлж, хаана байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ажлыг өөрийн гараар хийж дуусгахад дараах байдлаар хийх нь илүү тохиромжтой.

Тэмдэглэгээ хийхийн тулд энгийн харандаа ашиглах нь дээр.

Мэдээжийн хэрэг, та үүнээс юу ч хийж чадахгүй, гэхдээ дараа нь багш шийдлийн дутагдлыг тэмдэглэж эсвэл даалгаврын талаар нэмэлт асуулт асууж эхлэх болно. Чамд хэрэгтэй юу?

Жишээ 2

Хязгаарыг ол
Дахин хэлэхэд, тоологч ба хуваарьт бид хамгийн дээд хүчийг олдог:

Тоолуур дахь дээд зэрэг: 3
Хуваагчийн дээд зэрэг: 4
Бид сонгодог хамгийн агууутга, энэ тохиолдолд дөрөв.
Бидний алгоритмын дагуу тодорхойгүй байдлыг илчлэхийн тулд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг.
Даалгаврын бүрэн загвар нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Жишээ 3

Хязгаарыг ол
Тоолуур дахь "x"-ийн хамгийн их зэрэг: 2
Хуваагч дахь "x"-ийн дээд зэрэг: 1 (ингэж бичиж болно)
Тодорхой бус байдлыг тодруулахын тулд тоологч ба хуваагчийг хуваана. Цэвэр шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Бичлэг хийх нь тэгээр хуваагдах гэсэн үг биш (та тэгээр хувааж болохгүй), харин хязгааргүй цөөн тоогоор хуваагдана гэсэн үг юм.

Тиймээс, зүйлийн тодорхойгүй байдлыг илчлэхдээ бид авч болно хязгаарлагдмал тоо, тэг эсвэл хязгааргүй.

Төрөл бүрийн тодорхойгүй хязгаарлалт ба тэдгээрийг шийдвэрлэх арга

Дараагийн бүлэг хязгаар нь сая авч үзсэн хязгаартай зарим талаараа төстэй юм: тоологч ба хуваагч дотор олон гишүүнт байдаг боловч "x" нь хязгааргүй байх хандлагатай болсон, харин хязгаарлагдмал тоо.

Жишээ 4

Хязгаарыг нь шийд
Эхлээд бутархай дахь -1-ийг орлуулахыг оролдъё.

Энэ тохиолдолд тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.

Ерөнхий дүрэм: хэрэв тоологч ба хуваарьт олон гишүүнт байгаа бөгөөд хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байгаа бол түүнийг задлах та тоо болон хуваагчийг ялгах хэрэгтэй.

Үүнийг хийхийн тулд ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ба / эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв эдгээр зүйлс мартагдсан бол хуудас руу зочилно уу Математикийн томъёо, хүснэгтмөн сургалтын материалыг уншина уу Халуун томьёо сургуулийн математикийн курс... Дашрамд хэлэхэд үүнийг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм, энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг бөгөөд цаасан дээрх мэдээллийг илүү сайн шингээдэг.

Тиймээс бид хязгаараа тогтооно

Тоолуур ба хуваагчийг ялгаж салгая

Тоолуурыг задлахын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Эхлээд бид ялгагчийг олно:

Мөн үүний квадрат язгуур:.

Хэрэв дискриминант нь том бол, жишээ нь 361, бид тооцоолуур ашигладаг бол квадрат язгуур функцийг хамгийн энгийн тооцоолуур дээр ашиглах боломжтой.

! Хэрэв үндсийг бүрэн гаргаагүй бол (таслалтай бутархай тоог гаргавал) ялгаварлагчийг буруу тооцоолсон эсвэл ажлын алдаатай байх магадлалтай.

Дараа нь бид үндсийг нь олно:

Тиймээс:

Бүх зүйл. Тоолуурыг өргөтгөсөн.

Хуваагч. Хуваагч нь аль хэдийн хамгийн энгийн хүчин зүйл бөгөөд үүнийг хялбарчлах арга байхгүй.

Мэдээжийн хэрэг, үүнийг дараах байдлаар товчилж болно.

Одоо бид хязгаарын тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэлд -1-ийг орлуулна.

Мэдээжийн хэрэг, шалгалтанд, шалгалтанд, шалгалтанд шийдвэрийг хэзээ ч ийм нарийвчлан тайлбарладаггүй. Эцсийн хувилбарт загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Тоолуурыг хас.

Жишээ 5

Хязгаарыг тооцоолох

Нэгдүгээрт, "цэвэр" шийдэл

Тоолуур ба хуваагчийг ялгаж салгая.

Тоологч:
хуваагч:



,

Энэ жишээнд юу чухал вэ?
Эхлээд та тоологч хэрхэн илчлэгдэж байгааг сайн ойлгох хэрэгтэй, эхлээд хаалтны гадна талд 2-ыг гаргаж аваад дараа нь квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласан. Энэ томъёог мэдэж, харах ёстой.

Сэдэв 4.6 Хязгаарлалтын тооцоо

Функцийн хязгаар нь хязгаарын цэг дээр тодорхойлогдсон эсэхээс хамаардаггүй. Гэхдээ үндсэн функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох практикт энэ нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай.

1. Хэрэв функц нь энгийн бөгөөд хэрэв аргументийн хязгаарын утга нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах бол функцийн хязгаарын тооцоог аргументийн хязгаарын утгыг энгийн орлуулалт болгон бууруулна. f (x) энгийн функцийн хязгаар at х зорьж байнаа Тодорхойлолтын мужид орсон , x = дээрх функцийн тодорхой утгатай тэнцүү байна а, өөрөөр хэлбэл lim f (x) = f ( а) .

2. Хэрэв x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдагэсвэл аргумент нь функцийн мужид хамаарахгүй тоо руу чиглэдэг бол ийм тохиолдол бүрт функцийн хязгаарыг олохын тулд тусгай судалгаа шаардагдана.

Хязгаарлалтын шинж чанарт үндэслэсэн хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг томъёо болгон ашиглаж болно.

Функцийн хязгаарыг олох илүү төвөгтэй тохиолдлууд:

тус бүрийг тусад нь авч үздэг.

Энэ хэсэгт тодорхойгүй байдлыг илчлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулах болно.

1. The case when for х зорьж байнаа f (x) функц нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ

a) Эхлээд та функцийн хязгаарыг шууд орлуулах замаар олох боломжгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд аргумент дахь заасан өөрчлөлтөөр энэ нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ. 0-д чиглэсэн хүчин зүйлээр бутархайг хүчингүй болгохын тулд хувиргалтыг хийдэг. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу х аргумент нь хэзээ ч түүнтэй давхцдаггүй, түүний хязгаарын утга руу чиглэдэг.

Ерөнхийдөө хэрэв функцийн хязгаарыг хайж байгаа бол х зорьж байнаа , тэгвэл x нь утгыг авахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй а, өөрөөр хэлбэл x нь a-тай тэнцүү биш.

b) Безоутын теоремыг хэрэглэсэн. Хэрэв бид бутархайн хязгаарыг хайж байгаа бол тоологч ба хуваагч нь х = хязгаарын цэг дээр алга болох олон гишүүнтүүд юм. а, тэгвэл дээрх теоремын дагуу олон гишүүнт хоёулаа x-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. а.

в) Тоологч эсвэл хуваагч дахь иррационалийг иррационал илэрхийлэлд нэгтгэгчээр үржүүлснээр арилдаг бөгөөд хялбаршуулсаны дараа бутархайг цуцална.

d) Эхний гайхалтай хязгаарыг (4.1) ашигласан.

e) Бид хязгааргүй бага ба дараах хязгааргүй жижиг тоонуудын эквивалентийн тухай теоремыг ашигладаг.

2. The case when for х зорьж байнаа f (x) функц нь хоёр хязгааргүй их хэмжээний харьцааг илэрхийлнэ

a) Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэгт хуваах.

б) Ерөнхийдөө та дүрмийг ашиглаж болно

3. The case when for х зорьж байнаа f (x) функц нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүний үржвэрийг хязгааргүй их хэмжээгээр илэрхийлнэ.

Бутархай нь хэлбэрт хувирч, тоологч ба хуваагч нь нэгэн зэрэг 0 эсвэл хязгааргүй рүү чиглэдэг, өөрөөр хэлбэл. 3-р тохиолдол 1 эсвэл 2-р тохиолдол болж буурна.

4. The case when at х зорьж байнаа f (x) функц нь хоёр эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүний зөрүүг илэрхийлнэ

Дараах аргуудын аль нэгээр энэ тохиолдлыг 1 эсвэл 2 төрөл болгон бууруулна.

a) бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах;

б) функцийг бутархай хэлбэрт шилжүүлэх;

в) үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

5. The case when at at х зорьж байнаа f (x) функц нь зэрэглэлийг илэрхийлдэг ба түүний суурь нь 1, илтгэгч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Функцийг 2-р гайхалтай хязгаарыг (4.2) ашиглах байдлаар өөрчилсөн.

Жишээ.Хай .

Учир нь x 3 руу чиглэдэг, тэгвэл бутархайн тоо 3 2 +3 * 3 + 4 = 22, хуваагч нь 3 + 8 = 11 гэсэн тоо руу чиглэнэ. Тиймээс,

Жишээ

Энд бутархайн тоо ба хуваагч нь x 2 руу чиглэж байна 0 (хэлбэрийн тодорхойгүй байдал) руу чиглэнэ, бид тоологч ба хуваагчийг хасч, бид lim (x-2) (x + 2) / (x-2) (x-5) авна.

Жишээ

Тоолуур ба хуваагчийг тоологчтой нийлүүлэгч илэрхийллээр үржүүлэхэд бид байна

Тоолуур дахь хашилтыг өргөжүүл, бид олж авна

Жишээ

2-р түвшин. Жишээ. Функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг эдийн засгийн тооцоонд ашигласан жишээг өгье. Ердийн санхүүгийн гүйлгээг авч үзье: хэмжээний зээл олгох С 0 гэсэн нөхцөлтэйгээр тодорхой хугацааны дараа Тдүнг буцаан олгоно С Т... Үнэ цэнийг тодорхойлъё r харьцангуй өсөлттомъёо

r = (S T -S 0) / S 0 (1)

Харьцангуй өсөлтийг үр дүнгийн утгыг үржүүлэх замаар хувиар илэрхийлж болно r 100-аар.

Томъёогоор (1) утгыг тодорхойлоход хялбар байдаг С Т:

С Т= С 0 (1 + r)

Хэдэн бүтэн жилийг хамарсан урт хугацааны зээлийг тооцохдоо нийлмэл хүүгийн схемийг ашигладаг. Энэ нь 1-р жил бол энэ хэмжээнээс бүрддэг С 0 нэмэгдэнэ (1 + r) удаа, дараа нь хоёр дахь жилдээ (1 + r) дахин нэмэгдэнэ С 1 = С 0 (1 + r), тэр бол С 2 = С 0 (1 + r) 2. Үүний нэгэн адил энэ нь гарч байна С 3 = С 0 (1 + r) 3. Өгөгдсөн жишээнүүдээс та үнийн дүнгийн өсөлтийг тооцоолох ерөнхий томъёог гаргаж болно nНийлмэл хүүгийн схемийн дагуу тооцохдоо жил:

S n= С 0 (1 + r) n.

Санхүүгийн тооцоонд нийлмэл хүүг жилд хэд хэдэн удаа хуримтлуулдаг схемийг ашигладаг. Үүний зэрэгцээ тохиролцсон байна жилийн ханш rболон жилийн төлбөрийн тоо к... Дүрмээр бол төлбөрийг тогтмол давтамжтайгаар, өөрөөр хэлбэл интервал бүрийн уртаар хийдэг Т кжилийн нэг хэсэг юм. Дараа нь хугацааны хувьд Тжил (энд Тбүхэл тоо байх албагүй) дүн С Ттомъёогоор тооцоолно

(2)

Тухайн тоотой давхцаж буй тооны бүхэл хэсэг хаана байна, жишээ нь: Т? бүхэл тоо.

Жилийн ханш ийм байг rболон үйлдвэрлэсэн nтогтмол хугацаанд жил бүр төлбөр авдаг. Дараа нь тухайн жилийн дүн С 0 нь томьёогоор тодорхойлсон утга хүртэл өснө

(3)

Онолын шинжилгээ болон санхүүгийн үйл ажиллагааны практикт "тасралтгүй цэнэглэгдсэн хүү" гэсэн ойлголт ихэвчлэн тулгардаг. Тасралтгүй тооцоолсон хүү рүү шилжихийн тулд (2) ба (3) томъёонд тоонуудыг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кболон n(өөрөөр хэлбэл зорилго тавих кболон nхязгааргүй хүртэл) ба аль функцийг хязгаарлахыг тооцоол С Тболон С 1 . Бид энэ процедурыг (3) томъёонд хэрэглэнэ:

Буржгар хаалтны хязгаар нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай ижил байна гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс жилийн ханшаар ийм байна rтасралтгүй хүүтэй, хэмжээ С 1 жилийн 0-ийг үнэ цэнэ болгон нэмэгдүүлнэ С 1 *, томъёогоор тодорхойлогддог

С 1 * = С 0 e r (4)

Одоо нийлбэрээ гаргая С 0 хүүтэй зээлдүүлсэн nжилд нэг удаа тогтмол давтамжтайгаар. Бид тэмдэглэж байна r eжилийн эцсийн ханшийн хэмжээ С 0 нь утгыг бүрдүүлдэг С 1 * томъёоноос (4). Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно r e- энэ бол жилийн хүү nжилд нэг удаа, жилийн хувьтай тэнцэх rтасралтгүй хуримтлалтай.(3) томъёоноос бид олж авна

S * 1 = S 0 (1 + r e / n) n

Сүүлийн томьёо ба томъёоны (4) баруун гар талыг тэгшитгэж, сүүлчийнх нь тохируулна Т= 1, та хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг гаргаж болно rболон r e:

Эдгээр томъёог санхүүгийн тооцоололд өргөн ашигладаг.