Арифметик прогресстооны дараалал гэж нэрлэдэг (прогрессийн гишүүд)

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө шинэ нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.

Тиймээс, прогрессийн алхам ба түүний эхний гишүүнийг тохируулснаар та түүний аль ч элементийг томъёогоор олох боломжтой

Арифметик прогрессийн шинж чанарууд

1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.

Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн зэргэлдээх сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хоорондох гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдэл нь ямар ч дарааллыг шалгахад маш хялбар болгодог.

Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томъёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно

Хэрэв бид тэгшитгэлийн тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно

Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.

2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаж байгаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд энгийн амьдралын нөхцөлд нэлээд түгээмэл байдаг.

3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин k -р гишүүнээс эхлэн дарааллын нэг хэсгийг олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томьёо хэрэг болно.

4) k-р тооноос эхлэн арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг олох нь практик сонирхолтой юм. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу

Энэ нь онолын материалыг дуусгаж, практикт нийтлэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.

Жишээ 1. Арифметик прогрессийн дөчин гишүүнийг ол 4;7; ...

Шийдэл:

Нөхцөлийн дагуу бол бидэнд байгаа

Явцын алхамыг тодорхойл

Сайн мэддэг томьёог ашиглан бид прогрессийн дөчин гишүүнийг олно

Жишээ 2. Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүнээр нь өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томьёо ашиглан бичье

Бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олдог

Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олохын тулд олсон утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулна.

Бид прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцдог

Нарийн төвөгтэй тооцоололгүйгээр бид шаардлагатай бүх утгыг олсон.

Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний аль нэг гишүүн өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье

мөн эхнийхийг нь олоорой

Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 гишүүнийг олдог

Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг ол

ба эхний 100-ийн нийлбэр

Нийт явц нь 250 байна.

Жишээ 4.

Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдийн тоог ол.

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Шийдэл:

Бид тэгшитгэлийг эхний гишүүн болон прогрессийн алхамаар бичиж, тодорхойлно

Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх гишүүдийн тоог тодорхойлно

Хялбаршуулж байна

мөн квадрат тэгшитгэлийг шийд

Асуудлын нөхцөлд олдсон хоёр утгаас зөвхөн 8 тоо тохиромжтой. Ийнхүү дэвшлийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг шийд

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь арифметик прогрессийн нийлбэр юм. Түүний эхний гишүүнийг бичээд прогрессийн зөрүүг олъё

Эсвэл арифметик гэдэг нь сургуулийн алгебрийн хичээл дээр шинж чанарыг нь судалдаг эрэмбэлэгдсэн тоон дарааллын нэг төрөл юм. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ дэвшил юу вэ?

Асуултыг (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) авч үзэхээсээ өмнө юу хэлэлцэхийг ойлгох нь зүйтэй.

Өмнөх тоо бүрээс тодорхой утгыг нэмж (хасах) бодит тоонуудын аливаа дарааллыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Математикийн хэл рүү орчуулсан энэхүү тодорхойлолт нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i мөрийн элементийн дарааллын дугаар юм. Тиймээс, зөвхөн нэг үрийг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Дараахь тэгш байдал нь авч үзэж буй тоонуудын цувралд нийцэж байгааг хялбархан харуулж болно.

a n = a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р элементийн утгыг олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 удаа нэмнэ.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн онцгой тохиолдлыг авч үзэх нь зүйтэй. 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын прогрессийг өгвөл тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресс (10)-д цөөхөн гишүүд байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Нэг сонирхолтой зүйлийг анхаарч үзэх нь зүйтэй: нэр томъёо бүр нь дараагийнхаас ижил утгатай d = 1-ээр ялгаатай байдаг тул эхнийх нь арав дахь, хоёр дахь нь ес дэх гэх мэтийг хосоор нь нэгтгэх нь ижил үр дүнг өгөх болно. Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрнэ.

Хэрэв бид энэ үндэслэлийг ерөнхийд нь авч үзвэл дараах илэрхийллийг бичиж болно.

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэн дүгнэх шаардлагагүй гэдгийг харуулж байна, эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд нийт гишүүний тоо n байна.

Гаусс сургуулийнхаа багшийн тавьсан асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын тухай анх бодож байсан гэж үздэг: эхний 100 бүхэл тооны нийлбэр.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүд) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын хариултыг өгдөг боловч ихэнхдээ асуудалд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тоог нэгтгэх шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Энэ асуултад хариулах хамгийн хялбар арга бол дараах жишээг авч үзэх явдал юм: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай. Асуудлыг шийдэхийн тулд прогрессийн m-ээс n хүртэлх өгөгдсөн сегментийг шинэ тоон цуврал хэлбэрээр үзүүлнэ. Энэ дүрслэлд m-р гишүүн a m эхнийх байх ба a n нь n- (m-1) болно. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар та дараах илэрхийллийг авна.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд өгөгдсөн томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доорх тоон дараалал байна, та түүний гишүүдийн нийлбэрийг 5-аас эхлээд 12-р тоогоор дуустал олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн ялгаа 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүний утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Үзэж буй алгебрийн прогрессийн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэж, мөн эгнээнд аль тоог эзэлж байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно. Энэ нь гарах болно:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Энэ утгыг өөр аргаар олж авах боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд стандарт томьёо ашиглан эхний 12 элементийн нийлбэрийг олж, дараа нь ижил томьёо ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, эхний нийлбэрээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Жишээ нь, дараалал \ (2 \); \(5\); \(найман\); \(арван нэгэн\); \ (14 \) ... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай байдаг (өмнөхөөс гурвалсан нэмэх замаар олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд ялгаа нь \ (d \) эерэг (\ (3 \)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Гэсэн хэдий ч \ (d \) нь сөрөг байж болно. Жишээлбэл, арифметик прогрессоор \ (16 \); \(арав\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... прогрессийн зөрүү \ (d \) хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогрессийг бүрдүүлж буй тоонууд үүнийг дууддаг гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээ нь, арифметик прогресс \ (a_n = \ зүүн \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ баруун \) \) элементүүдээс бүрдэнэ \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \ (a_n = \ зүүн \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ баруун \) \)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд дээрх мэдээлэл нь арифметик прогрессийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \ (b_1 = 7; d = 4 \) нөхцлөөр тодорхойлно. \ (b_5 \) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \ (b_5 = 23 \)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \ (62; 49; 36 ... \) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

	Бидэнд дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг бид мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаад аль нь болохыг олоорой: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Одоо бид шаардлагатай (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) \ (x \) үсгээр заасан элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

	\ (x \) -ийг олохын тулд бид дараагийн элемент нь өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хоёр мэдэгдэж буй хөрш элементүүдээс олъё: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \).
	Одоо бид хүссэн зүйлээ ямар ч асуудалгүйгээр оллоо: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдгээрийн утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг л өгдөг. Тиймээс бид эхлээд бидэнд өгсөн утгыг ашиглан утгыг ээлжлэн тооцоолно. \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Бидэнд шаардлагатай зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Таны хайж буй мөнгө олдлоо.

Хариулт: \ (S_6 = 9 \).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хувьд \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Энэ явцын ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \ (d = 7 \).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тоонуудын гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй ижил тоог нэмэх замаар олж авдаг (ялгаа явцын тухай).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгойгоор" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элемент \ (b_5 \) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \ (b_ (386) \) -ийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ юу вэ, бид \ (385 \) удаа дөрөв нэмнэ үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Чамайг тоолохын тулд эрүүдэн шүүх болно ...

Тиймээс ийм тохиолдолд тэд "толгойгоор" шийддэггүй, харин арифметик прогрессийн хувьд гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба эхний гишүүний нийлбэр \ (n \) томъёо юм.

Формула \ (n \) - th гишүүн: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), энд \ (a_1 \) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\ (n \) - хайж буй элементийн тоо;
\ (a_n \) нь \ (n \) тоотой прогрессийн гишүүн юм.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон дэвшлийн зөрүүг мэдэхийн тулд дор хаяж гурван зуу, бүр сая дахь элементийг хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (b_ (246) \) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \ (b_ (246) = 1850 \).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), энд

\ (a_n \) - сүүлчийн нийлбэр нэр томъёо;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \ (a_n = 3,4n-0,6 \) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \ (25 \) гишүүдийн нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Эхний хорин таван элементийн нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). Эхний элементийг \ (n \) -ийг нэгээр нь орлуулж тооцоолъё.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		Одоо бид \ (n \) оронд хорин тавыг орлуулж, хорин тав дахь гишүүнийг олно.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээгээ ямар ч асуудалгүйгээр тооцоолж болно.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \ (S_ (25) = 1090 \).

Эхний нөхцлийн \ (n \) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) -ийн оронд \ (a_n \) томъёог орлуулна \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), энд

\ (S_n \) - эхний элементүүдийн шаардлагатай нийлбэр \ (n \);
\ (a_1 \) - эхний нийлбэр гишүүн;
\ (d \) - явцын зөрүү;
\ (n \) - нийлбэр дэх зүйлийн тоо.

Жишээ. Эхний \ (33 \) - арифметик прогрессийн экс гишүүдийн нийлбэрийг ол: \ (17 \); \ (15.5 \); \(арван дөрөв\)…
Шийдэл:

Хариулт: \ (S_ (33) = - 231 \).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо танд бараг бүх арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэл байна. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь ашигтай байж болно ☺) асуудлыг авч үзэх замаар бид сэдвийг дуусгах болно.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18.7 \) ...
Шийдэл:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид мөн шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \ (d \) олдог.
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		Одоо бид нийлбэрийн томъёонд \ (d \) -ийг орлуулах болно ... энд жижиг нюанс гарч ирнэ - бид \ (n \) мэдэхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томьёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Ингээд бодоцгооё. Эхний эерэг элемент рүү ороход бид элемент нэмэхээ болино. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Яаж? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томъёог бичье: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) бидний тохиолдолд.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n-1) 0.3 \)		Бид тэгээс их байхын тулд \ (a_n \) хэрэгтэй. Энэ нь юу тохиолдохыг \ (n \) олж мэдье.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \ (0,3 \) гэж хуваана.
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Тэмдгийг өөрчлөхөө санаж, нэгийг хасна уу
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Бид тооцоолж байна ...
\ (n> 65,333 ... \)		... эхний эерэг элемент нь \ (66 \) гэсэн тоотой байх болно. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \ (n = 65 \) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		Тиймээс бид эхний \ (65 \) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) th-ээс \ (42 \) элементийн нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Энэ асуудалд та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \ (26 \) - th. Ийм тохиолдолд бидэнд ямар ч томъёо байхгүй. Хэрхэн шийдэх вэ? Хялбар - \ (26 \) -ээс \ (42 \) хүртэлх нийлбэрийг гаргах - өө, та эхлээд \ (1 \) - th -ээс \ (42 \) - өө хүртэлх нийлбэрийг олж, дараа нь нийлбэрийг хасах хэрэгтэй. үүнээс эхлээд \ (25 \) - th (зураг харна уу).
	Бидний дэвшлийн хувьд \ (a_1 = -33 \), ялгаа \ (d = 4 \) (эцсийн эцэст бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрвийг нэмнэ). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \ (42 \) - yh элементүүдийн нийлбэрийг олдог.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Одоо эхний \ (25 \) - ty элементийн нийлбэр.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Хариулт: \ (S = 1683 \).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв томьёоны оронд утгагүй зүйл байвал кэшийг цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчөөс хамгийн хэрэгцээтэй эх сурвалжийг хайж олоход анхаарлаа хандуулаарай

Тооны дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь эхний, аль нь хоёрдугаарт, цаашлаад сүүлчийнх нь хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (-дахь дугаар гэх мэт) үргэлж нэг байна.
Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүх дарааллыг ямар нэг үсэг гэж нэрлэдэг (жишээлбэл,) бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг юм:.

Манай тохиолдолд:

Бидэнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал байна гэж бодъё.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Энэ тооны дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Прогресс" гэсэн нэр томъёог 6-р зуунд Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд өргөн утгаар нь төгсгөлгүй тооны дараалал гэж ойлгодог байв. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн эзэмшиж байсан тасралтгүй пропорцын онолоос гаралтай.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоо дээр нэмсэн тоон дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн зөрүү гэж нэрлэх ба үүнийг тэмдэглэнэ.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Ойлгосон уу? Хариултаа харьцуулж үзье:
ньарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс руу () буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байдаг хоёртүүнийг олох арга зам.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тооны өмнөх утгыг нэмж болно. Бидэнд дүгнэх зүйл үлдээгүй нь сайн хэрэг - ердөө гурван үнэт зүйл:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах бөгөөд тоо нэмэхэд бид алдаа гаргахгүй байх нь баримт биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар хараарай ... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн 3-р гишүүний утга хэрхэн нэмэгдэхийг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн арифметик прогрессийн гишүүний утгыг ингэж өөрөө олохыг хичээ.

Тооцоолсон уу? Тэмдэглэлээ хариулттай харьцуулна уу:

Бид өмнөх утгад арифметик прогрессийн гишүүдийг дараалан нэмэхэд өмнөх аргын тоотой яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
Энэ томъёог "хувь хүнгүй болгох" оролдлого хийцгээе - бид үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулж, дараахь зүйлийг авна.

Арифметик прогрессийн тэгшитгэл.

Арифметик прогресс нь өсөж, заримдаа буурч байна.

Өгсөж байна- гишүүдийн дараагийн үнэ бүр өмнөхөөсөө их байх явцууд.
Жишээлбэл:

Багасаж байна- гишүүдийн дараагийн үнэ бүр өмнөхөөсөө бага байх явцууд.
Жишээлбэл:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алинд нь нэр томъёог тооцоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тоонуудаас бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн: Хэрэв бид үүнийг тооцоолохдоо томъёогоо ашиглавал энэ арифметик прогрессийн 2-р тоо ямар болохыг шалгацгаая.

Түүнээс хойш:

Тиймээс бид томъёо нь арифметик прогрессийн бууралт, өсөлтийн аль алинд нь ажилладаг эсэхийг шалгасан.
Энэ арифметик прогрессийн 3 ба 3-р гишүүнийг өөрөө олохыг хичээ.

Хүлээн авсан үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Даалгаврыг хүндрүүлье - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авах болно.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Хялбар, та аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхэлнэ.

a, тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ хэрэв бид нөхцөл байдалд тоо өгөгдсөн бол? Үүнийг хүлээн зөвшөөр, тооцоололд алдаа гаргах магадлал бий.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар ч томьёо ашиглан нэг үйлдлээр шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг, тийм ээ, бид одоо түүнийг татахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн шаардлагатай гишүүнийг бид үүнийг олох томъёог мэддэг гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргаж авсан томъёо юм.
, дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх гишүүн нь:
• явцын дараагийн гишүүн нь:

Процессын өмнөх болон дараагийн гишүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний хоёр дахин нэмэгдсэн утга болох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, өмнөх болон дараалсан утгууд нь мэдэгдэж байгаа прогрессийн гишүүний утгыг олохын тулд тэдгээрийг нэмж, хуваах шаардлагатай.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалаа засъя. Прогрессийн үнэ цэнийг өөрөө тооцоол, учир нь энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" - Карл Гауссыг өөртөө амархан гаргаж ирсэн сурах цорын ганц томъёо үлдсэн ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах багш хичээл дээр дараахь даалгаврыг тавьжээ: "Бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг (бусад эх сурвалжийн дагуу) хамааруулан тооцоол." Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) нэг минутын дотор асуудлын зөв хариултыг өгөхөд багшийн гайхшралыг төсөөлөөд үз дээ, ангийн ихэнх хүүхдүүд удаан тооцоолсны эцэст буруу үр дүн авсан ...

Залуу Карл Гаусс та амархан анзаарч болох тодорхой хэв маягийг анзаарсан.
--р гишүүдээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн өгөгдсөн гишүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ даалгаварт Гауссын хайж байсан шиг гишүүдийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Өгөгдсөн явцыг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг анхааралтай ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Та туршиж үзсэн үү? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо надад хэлээч, өгөгдсөн прогрессод хичнээн ийм хос байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү ба ижил төстэй хосуудын нийлбэрийг үндэслэн бид нийт нийлбэрийг олж авна.
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёо дараах байдалтай байна.

Зарим асуудлын хувьд бид 2-р нэр томъёог мэдэхгүй ч явцын ялгааг мэддэг. Томъёонд нийлбэр буюу 3-р гишүүний томъёог орлуулахыг хичээ.
Чи юу хийсэн бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гауссаас асуусан бодлого руугаа буцаж оръё: --р тооноос эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэд вэ, --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэд болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс гишүүдийн нийлбэр тэнцүү, гишүүдийн нийлбэр тэнцүү болохыг олж мэдэв. Ингэж шийдсэн үү?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн томьёог 3-р зуунд эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанаруудыг хүч ба голтой ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, Эртний Египт болон тэр үеийн хамгийн их амбицтай барилгын талбай болох пирамид барихыг төсөөлөөд үз дээ ... Зураг дээр түүний нэг талыг харуулж байна.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлэх вэ? Сайн ажиглаад пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Энэ нь арифметик прогресс биш гэж үү? Суурь дээр блок тоосго байрлуулсан бол нэг ханыг барихад хэдэн блок шаардлагатайг тооцоол. Таныг монитор дээр хуруугаа гүйлгэж тоолохгүй байх гэж найдаж байна. Та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

Энэ тохиолдолд ахиц дэвшил дараах байдалтай байна:.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн тоо.
Өгөгдлөө сүүлчийн томъёонд орлъё (бид блокуудын тоог 2 аргаар тоолох болно).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Энэ нь нийлсэн үү? Сайн байна, та арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж болохгүй, гэхдээ үүнээс үү? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Дасгал хийх

Даалгаварууд:

1. Зун гэхэд Маша бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний дасгал дээрээ суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа бөхийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Мод бэлтгэгчид гуалин хадгалахдаа дээд давхарга бүр өмнөхөөсөө нэг мод бага байхаар овоолно. Хэрэв лог нь өрлөгийн үндэс суурь болдог бол нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг.

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дараа Маша өдөрт нэг удаа бөхийх хэрэгтэй.

2. Эхний сондгой тоо, сүүлчийн тоо.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Сондгой тооны тоо нь тал хувь боловч бид энэ баримтыг арифметик прогрессийн --р гишүүнийг олох томъёогоор шалгана.

   Тоонууд нь сондгой тоонуудыг агуулдаг.
   Боломжтой өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр нь тэнцүү байна.

3. Пирамидын асуудлыг санацгаая. Бидний хувьд, a, дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул зөвхөн олон давхаргад, өөрөөр хэлбэл.
   Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Дүгнэж хэлье

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал. Энэ нь өсөж, буурч болно.
2. Томъёо олох-арифметик прогрессийн -р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.
4. Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Тооны дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ ч болно. Гэхдээ та аль нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт гэх мэтээр үргэлж хэлж болно, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүр нь тодорхой натурал тоо, цорын ганц тоотой холбоотой байж болно. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүх дарааллыг ямар нэг үсэг гэж нэрлэдэг (жишээлбэл,) бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг юм:.

Хэрэв дарааллын 3-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү ба ялгаа). Эсвэл (, ялгаа).

N-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд 3-р гишүүнийг олж мэдэхийн тулд та өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, ийм томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, үзье. Дараа нь:

За, одоо ямар томъёолол вэ?

Мөр бүрт бид нэмж, зарим тоогоор үржүүлнэ. Юуны төлөө? Маш энгийн: энэ бол одоогийн гишүүний тоо хасах:

Одоо хамаагүй илүү тохиромжтой, тийм үү? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Ялгаа нь юу вэ? Мөн энд юу байна:

(энэ нь прогрессийн дараалсан гишүүдийн зөрүүтэй тэнцэх зөрүү гэж нэрлэгддэг учраас тэр).

Тэгэхээр томъёо нь:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь:

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр агуу математикч Карл Гаусс 9 настай хүү байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний болон сүүлчийн тооны нийлбэр тэнцүү, хоёр дахь болон сүүлчийн тооны нийлбэр боловч нэг нь ижил, төгсгөлөөс гурав, гурав дахь тооны нийлбэр ижил байна гэх мэтийг анзаарсан. Ийм хос хэд байх вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томьёо нь:

Жишээ:
Бүх хоёр оронтой үржвэрийн нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо. Дараагийн тоо бүрийг өмнөх тоонд нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхож буй тоонууд эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогресс үүсгэдэг.

Энэ дэвшлийн 3-р томьёо нь:

Хэрвээ бүгд хоёр оронтой тоо байх ёстой бол хэдэн гишүүн дэвшилд орох вэ?

Маш амархан: .

Прогрессийн сүүлийн гишүүн тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Өдөр бүр тамирчин өмнөх өдрөөсөө илүү метр гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөхөөсөө илүү олон км замыг туулдаг. Эхний өдөр тэрээр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах шаардлагатай вэ? Аялалын сүүлчийн өдөр тэр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр буурдаг. Хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч, рублиэр зарагдсан бол зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан бол тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн:, үүнийг олох шаардлагатай.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь ойлгомжтой тул хариулт нь ийм байна.
   Сүүлийн өдрийн туулсан замыг 2-р хугацааны томъёогоор тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн:. олох: .
   Энэ нь илүү хялбар байж чадахгүй:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тоон дараалал юм.

Арифметик прогресс нь өсөх () ба буурах () байж болно.

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томьёо

томьёогоор бичигдсэн бөгөөд энэ нь прогресс дахь тооны тоо юм.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх гишүүд нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн гишүүнийг хялбархан олох боломжийг олгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр

Хэмжээ олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш сайхан байна.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та тэр 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл ирлээ.

Та энэ сэдвээр онолыг олж мэдсэн. Дахин хэлэхэд энэ бол ... энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Шалгалтаа амжилттай өгч, дээд сургуульд төсвөөр элсэх, хамгийн чухал нь насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье ...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Эдгээр нь статистик юм.

Гэхдээ энэ нь бас гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдэнд маш олон боломж бий болж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь ... илүү аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДЭВТИЙН АСУУДАЛ ШИЙДЭХ ГАРАА АВААРАЙ.

Шалгалтанд чамаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно асуудлыг хэсэг хугацаанд шийднэ.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж чадаагүй бол (МАШ ИХ!), Та хаа нэгтээ тэнэг андуурч, эсвэл зүгээр л цагтаа ирэхгүй байх болно.

Энэ нь спорттой адил юм - та үүнийг баттай ялахын тулд дахин дахин давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой, зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгаврын тусламжтайгаар гараа дүүргэхийн тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудыг хуваалцаарай -
2. Хичээлийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг нэг дор нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын туршид олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү төвөгшөө.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг олж, шийдээрэй!

Арифметик ба геометрийн прогресс

Онолын мэдээлэл

Онолын мэдээлэл

	Арифметик прогресс	Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт	Арифметик прогресс a nдараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор нэмэгдсэнтэй тэнцүү байна. г (г- явцын ялгаа)	Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (qпрогрессийн хуваагч юм)
Давтагдах томъёо	Аливаа байгалийн хувьд n a n + 1 = a n + d	Аливаа байгалийн хувьд n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
N-р хугацааны томъёо	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Онцлог шинж чанар
n-эхний гишүүдийн нийлбэр

Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ

Дасгал 1

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д

Нөхцөлөөр:

a 1= -6, тэгэхээр а 22= -6 + 21 d.

Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 2

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6; ....

1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёогоор:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Учир нь б 1 = -3,

2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)

Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: б 5 = -48.

Даалгавар 3

Арифметик прогрессоор ( a n) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.

Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь байна .

Тиймээс:

.

Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Хариулт: 95.

Даалгавар 4

Арифметик прогрессоор ( a n) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.

.

Энэ тохиолдолд тэдгээрийн алийг нь ашиглах нь илүү тохиромжтой вэ?

Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олж болно a 1, ба а 16ололгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглана.

Хариулт: 368.

Даалгавар 5

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.

Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 6

Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүдийг бичнэ:

Х үсгээр тэмдэглэсэн прогрессийн гишүүнийг ол.

Шийдэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашигладаг b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн анхны гишүүн. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд прогрессийн өгөгдсөн гишүүдээс аль нэгийг нь авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр та авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна, учир нь геометр прогрессоор өгөгдсөн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай.

Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт:.

Даалгавар 7

n-р гишүүний томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл тохирохыг нь сонго а 27 > 9:

Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт: 4.

Даалгавар 8

Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тэгш бус байдлыг хангах хамгийн том n утгыг тодорхойлно уу a n > -6.