Standartiniai Taylor serijos išplėtimai. Maclaurin serija ir kai kurių funkcijų išplėtimas

Jei funkcija f (x) turi tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a, visų eilių išvestiniai, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:

kur r n- vadinamoji liekana arba likusi serijos dalis, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę:

, kur skaičius x yra tarp X ir a.

Jei už kokią nors vertę x r n®0 už n® ¥, tada riboje Teiloro formulė šiai reikšmei virsta konvergentine Taylor serija:

Taigi funkcija f (x) svarstomu momentu galima išplėsti į Taylor seriją X, jei:

1) turi visų eilučių išvestinius;

2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.

At a= 0 gauname seriją, vadinamą netoli Maclaurino:

1 pavyzdys f (x) = 2x.

Sprendimas... Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0

f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢ ¢ (x) = 2x 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:

Šios eilutės konvergencijos spindulys lygus begalybei, todėl šis išplėtimas galioja - ¥<x<+¥.

2 pavyzdys X+4) funkcijai f (x) = e x.

Sprendimas... Raskite funkcijos e išvestines x ir jų vertės taške X=-4.

f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢ ¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Todėl reikiamos Taylor funkcijos serijos forma yra tokia:

Šis išplėtimas taip pat galioja - ¥<x<+¥.

3 pavyzdys ... Išplėsti funkciją f (x)= ln x galių serijoje ( X- 1),

(t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1).

Sprendimas... Raskite šios funkcijos išvestinius.

Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname reikiamą Taylor seriją:

Naudojant d'Alembert testą, galima įsitikinti, kad serija sutampa

½ X- 1½<1. Действительно,

Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 gauname kintamąją eilutę, atitinkančią Leibnizo testo sąlygas. At X= 0 funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0; 2]).

Pateiksime panašiu būdu gautus išplėtimus Maclaurino serijoje (t.y. taško kaimynystėje X= 0) kai kurioms elementarioms funkcijoms:

(2) ,

(3) ,

( vadinamas paskutinis skilimas dvinario serija)

4 pavyzdys ... Išplėskite funkciją laipsnių serijoje

Sprendimas... Išplėtime (1) pakeičiame X ant - X 2, gauname:

5 pavyzdys ... Išplėskite Maclaurin serijos funkciją

Sprendimas... Mes turime

Naudodami (4) formulę galime parašyti:

pakeičiant Xį formulę -X, mes gauname:

Iš čia randame:

Išplėsdami skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir sumažinę panašius terminus, gauname

Ši serija susilieja intervale

(-1; 1), nes jis gaunamas iš dviejų eilučių, kurių kiekviena susilieja šiame intervale.

komentuoti .

Formulės (1) - (5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti Taylor serijoje, t.y. funkcijoms plėsti teigiamus sveikuosius laipsnius ( Ha). Norėdami tai padaryti, per tam tikrą funkciją reikia atlikti tokias identiškas transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1) - (5), kurioje vietoj X kainuoja k ( Ha) m, kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu keisti kintamąjį t=Ha ir išplėskite gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje.

Šis metodas iliustruoja teoremą apie funkcijos plėtimosi laipsnių eilutėje unikalumą. Šios teoremos esmė ta, kad šalia to paties taško negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, kad ir kaip būtų atlikta jos išplėtimas.

6 pavyzdys ... Išplėskite Taylor serijos funkciją taško kaimynystėje X=3.

Sprendimas... Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai reikia rasti funkcijos išvestines ir jų reikšmes X= 3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą skaidymą (5):

Gautos serijos suartėja už arba –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

7 pavyzdys ... Parašykite Taylor seriją galiomis ( X-1) funkcijos .

Sprendimas.

Serija susilieja ties , arba 2< x£5.

Jei funkcija f (x) turi visų eilių išvestines tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:
,
kur r n- vadinamoji liekana arba likusi serijos dalis, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę:
, kur skaičius x yra tarp x ir a.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Jei už kokią nors vertę X r n→ 0 už n→ ∞, tada riboje Teiloro formulė šiai reikšmei virsta konvergentine Taylor serija:
,
Taigi funkcija f (x) gali būti išplėsta Taylor serijoje nagrinėjamame taške x, jei:
1) turi visų eilučių išvestinius;
2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.

Jei a = 0, gauname eilutę, vadinamą netoli Maclaurino:
,
Paprasčiausių (elementarių) funkcijų išplėtimas Maclaurin serijoje:
Orientacinės funkcijos
, R = ∞
Trigonometrinės funkcijos
, R = ∞
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx nesiplečia x laipsniais, nes ctg0 = ∞
Hiperbolinės funkcijos

Logaritminės funkcijos
, -1
Dvejetainė serija
.

1 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnių serijoje f (x) = 2x.
Sprendimas... Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0
f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2x ln2, f "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f "" (x) = 2x 2 2, f "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:

Šios eilutės konvergencijos spindulys lygus begalybei, todėl ši plėtra galioja -∞<x<+∞.

2 pavyzdys. Parašykite Taylor seriją galiomis ( X+4) funkcijai f (x) = e x.
Sprendimas... Raskite funkcijos e išvestines x ir jų vertės taške X=-4.
f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;
f "(x)= e x, f "(-4) = e -4 ;
f "" (x)= e x, f "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .
Todėl reikiamos Taylor funkcijos serijos forma yra tokia:

Šis išskaidymas galioja ir -∞<x<+∞.

3 pavyzdys. Išplėsti funkciją f (x)= ln x galių serijoje ( X- 1),
(t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1).
Sprendimas... Raskite šios funkcijos išvestinius.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname reikiamą Taylor seriją:

Naudojant d'Alembert testą, galima įsitikinti, kad serijos konverguoja ½x-1½<1 . Действительно,

Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X= 2 gauname kintamąją eilutę, atitinkančią Leibnizo testo sąlygas. Jei x = 0, funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0; 2]).

4 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnio serijoje.
Sprendimas... Išplėtime (1) pakeičiame x į -x 2, gauname:
, -∞

5 pavyzdys. Išplėskite Maclaurin funkciją.
Sprendimas... Mes turime
Naudodami (4) formulę galime parašyti:

vietoj x formulėje -x, gauname:

Iš čia randame: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Išplėsdami skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir sumažinę panašius terminus, gauname
... Ši eilutė susilieja intervale (-1; 1), nes ji gaunama iš dviejų eilučių, kurių kiekviena suartėja šiame intervale.

komentuoti .
Formulės (1) - (5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti Taylor serijoje, t.y. funkcijoms plėsti teigiamus sveikuosius laipsnius ( Ha). Norėdami tai padaryti, per tam tikrą funkciją reikia atlikti tokias identiškas transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1) - (5), kurioje vietoj X kainuoja k ( Ha) m, kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu keisti kintamąjį t=Ha ir išplėskite gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje.

Šis metodas pagrįstas funkcijos išplėtimo laipsnių eilutėje unikalumo teorema. Šios teoremos esmė ta, kad šalia to paties taško negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, kad ir kaip būtų atlikta jos išplėtimas.

5a pavyzdys. Išplėskite funkciją Maclaurin eilutėje, nurodykite konvergencijos sritį.
Sprendimas. Pirmiausia raskite 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x),.
į pradinę:

Trupmeną 3 / (1-3x) galima žiūrėti kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos su vardikliu 3x sumą, jei | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

su konvergencijos sritimi | x |< 1/3.

6 pavyzdys. Išplėskite funkciją Teiloro serijoje šalia taško x = 3.
Sprendimas... Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai reikia rasti funkcijos išvestines ir jų reikšmes X= 3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą skaidymą (5):
=
Gautos eilutės suartėja ties arba –3

Pavyzdys Nr.7. Funkcijos ln (x + 2) laipsniais (x -1) parašykite Teiloro eilutę.
Sprendimas.

Serija susilieja ties arba -2< x < 5.

8 pavyzdys. Išplėskite funkciją f (x) = sin (πx / 4) Teiloro eilutėje šalia taško x = 2.
Sprendimas... Padarykime pakeitimą t = x-2:

Naudodami išplėtimą (3), kuriame vietoj x pakeičiame π / 4 t, gauname:

Gauta eilutė konverguoja į nurodytą funkciją ties -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Šiuo būdu,
, (-∞

Apytiksliai skaičiavimai naudojant galios seriją

Galios serijos plačiai naudojamos apytiksliems skaičiavimams. Jų pagalba tam tikru tikslumu galite apskaičiuoti šaknų, trigonometrinių funkcijų, skaičių logaritmų, apibrėžtųjų integralų reikšmes. Serija taip pat naudojama integruojant diferencialines lygtis.
Apsvarstykite funkcijos išplėtimą laipsnių eilutėje:

Norint apskaičiuoti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikrame taške X priklausantis nurodytų eilučių konvergencijos sričiai, pirmasis n nariai ( n Yra baigtinis skaičius), o likę terminai atmetami:

Norint įvertinti gautos apytikslės reikšmės paklaidą, reikia įvertinti išmestą likutį r n (x). Tam naudojami šie metodai:

jei gauta serija kinta su ženklais, naudojama ši savybė: kintamos serijos, atitinkančios Leibnizo sąlygas, likusios absoliučios vertės eilutės dalis neviršija pirmojo atmesto nario.
jei duotoje eilutėje ženklas yra pastovus, tada eilutė, sudaryta iš atmestų terminų, lyginama su be galo mažėjančia geometrine progresija.
bendruoju atveju, norint įvertinti likusią Teiloro serijos dalį, galima naudoti Lagranžo formulę: a x ).

1 pavyzdys. Apskaičiuokite ln (3) 0,01 tikslumu.
Sprendimas... Naudokime skaidymą, kur x = 1/2 (žr. 5 pavyzdį ankstesnėje temoje):

Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po pirmųjų trijų plėtimosi narių, tam įvertiname naudodami be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą:

Taigi galime išmesti šią likutį ir gauti

2 pavyzdys. Apskaičiuokite 0,0001 tikslumu.
Sprendimas... Naudokime dvinarę eilutę. Kadangi 5 3 yra sveikojo skaičiaus, artimiausio 130, kubas, skaičių 130 patartina pavaizduoti kaip 130 = 5 3 +5.

kadangi jau ketvirtasis gautos kintamos eilės narys, atitinkantis Leibnizo kriterijų, yra mažesnis už reikalaujamą tikslumą:
, todėl jo ir po jo einančių narių galima atmesti.
Daugelio praktiškai būtinų apibrėžtųjų arba netinkamų integralų negalima apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę, nes jos taikymas yra susijęs su antidarinės suradimu, kuri elementariose funkcijose dažnai neturi išraiškos. Taip pat atsitinka, kad rasti antidarinį įmanoma, bet be reikalo sunku. Tačiau, jei integralas išplečiamas į laipsnių eilutę, o integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui, tada galimas apytikslis integralo apskaičiavimas iš anksto nustatytu tikslumu.

3 pavyzdys. Įvertinkite integralą ∫ 0 1 4 sin (x) x iki 10 -5.
Sprendimas... Atitinkamas neapibrėžtas integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, t.y. yra „nepalaužiamas integralas“. Čia neįmanoma pritaikyti Niutono-Leibnizo formulės. Apskaičiuokime integralą apytiksliai.
Padalijus seriją už nuodėmę x ant x, mes gauname:

Integruodami šią eilutę po termino (tai įmanoma, nes integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui), gauname:

Kadangi gauta serija tenkina Leibnizo sąlygas, pakanka paimti pirmųjų dviejų narių sumą, kad gautume norimą reikšmę tam tikru tikslumu.
Taigi, mes randame
.

4 pavyzdys. Integralą ∫ 0 1 4 e x 2 įvertinkite 0,001 tikslumu.
Sprendimas.
... Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po antrojo gautos serijos termino.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Funkcinių eilučių teorijoje centrinę vietą užima skyrius, skirtas funkcijos išplėtimui serijoje.

Taigi iškeliama problema: tam tikrai funkcijai reikia rasti tokią galių eilutę

kuri konvergavo kokiame nors intervale ir jo suma buvo lygi
, tie.

= ..

Ši užduotis vadinama funkcijos išplėtimo laipsnių eilutėje problema.

Būtina sąlyga funkcijos išplėtimui laipsnio eilutėje ar jo diferencijuojamumas yra begalinis kartų skaičius – tai išplaukia iš konverguojančių laipsnių eilučių savybių. Ši sąlyga, kaip taisyklė, yra įvykdyta elementarioms funkcijoms jų apibrėžimo srityje.

Taigi, tarkime, funkcija
turi bet kokios eilės išvestinių. Ar įmanoma ją išplėsti galios serijoje, jei įmanoma, kaip rasti šią seriją? Antrąją problemos dalį lengviau išspręsti, ir nuo jos pradėsime.

Tarkime, kad funkcija
gali būti pavaizduota kaip laipsnių eilutės, susiliejančios intervale, kuriame yra taškas, suma X 0 :

= .. (*)

kur a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... - neapibrėžti (dar) koeficientai.

Į lygybę (*) įdedame vertę x = x 0 , tada gauname

Atskirkime laipsnių eilutę (*) pagal terminą

= ..

ir darant prielaidą, kad čia x = x 0 , gauti

Atlikdami kitą diferenciaciją, gauname seriją

= ..

darant prielaidą x = x 0 , gauti
, kur
.

Po to P-kartų diferenciacija, gauname

Nustatymas paskutinėje lygybėje x = x 0 , gauti
, kur

Taigi, koeficientai rasti

,
,
, …,
,….,

pakeitę juos į seriją (*), gauname

Gauta serija vadinama šalia Teiloro už funkciją
.

Taigi mes tai nustatėme jei funkcija gali būti išplėsta laipsnių eilėje laipsniais (x - x 0 ), tada šis išplėtimas yra unikalus ir gaunama serija būtinai yra Taylor serija.

Atkreipkite dėmesį, kad Taylor eilutę galima gauti bet kuriai funkcijai, turinčiai bet kokios eilės išvestines taške x = x 0 . Bet tai nereiškia, kad tarp funkcijos ir gautos serijos galima dėti lygybės ženklą, t.y. kad serijos suma lygi pradinei funkcijai. Pirma, tokia lygybė gali turėti prasmę tik konvergencijos srityje, o funkcijai gautos Taylor eilutės gali skirtis, o antra, jei Teiloro eilutė suartėja, tada jos suma gali nesutapti su pradine funkcija.

3.2. Pakankamos sąlygos funkcijai išplėsti Taylor serijoje

Suformuluokime teiginį, kurio pagalba bus išspręsta iškelta užduotis.

Jei funkcija
kažkurioje taško x kaimynystėje 0 turi išvestinių iki (n+ 1) eilės imtinai, tada šioje kaimynystėjeformulę Teiloras

kurR n (X)yra Taylor formulės likusioji dalis – turi formą (Lagrange forma)

kur taškasξ yra tarp x ir x 0 .

Atkreipkite dėmesį, kad tarp Teiloro serijos ir Teiloro formulės yra skirtumas: Teiloro formulė yra baigtinė suma, t.y. P - fiksuotas numeris.

Prisiminkite, kad serijos suma S(x) galima apibrėžti kaip dalinių sumų funkcinės sekos ribą S P (x) tam tikru intervalu X:

Atitinkamai, išplėsti funkciją Taylor serijoje reiškia rasti tokią seriją, kuri tinka bet kuriai XX

Taylor formulę rašome formoje, kur

pastebėti, kad
apibrėžia gautą klaidą, pakeiskite funkciją f(x) daugianario S n (x).

Jeigu
, tada
, tie. funkcija išplečiama į Taylor seriją. Ir atvirkščiai, jei
, tada
.

Taigi, mes įrodėme Taylor serijos funkcijos išplėtimo kriterijus.

Kad tam tikru intervalu funkcijaf(x) išplėsta į Taylor seriją, būtina ir pakanka, kad šiame intervale
, kurR n (x) yra likusi Taylor serijos dalis.

Naudojantis suformuluotu kriterijumi galima gauti pakankamaisąlygos, kad funkcija būtų išplėsta Taylor serijoje.

Jei įtam tikra taško x kaimynystė 0 visų funkcijos išvestinių absoliučios vertės yra ribojamos tuo pačiu skaičiumi M≥ 0, t.y.

, To šioje kaimynystėje funkcija išplečiama Taylor serijoje.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia algoritmasfunkcijų skaidymas f(x) Taylor serijoje taško apylinkėse X 0 :

1. Raskite funkcijos išvestines f(x):

f (x), f '(x), f" (x), f '" (x), f (n) (x),...

2. Apskaičiuojame funkcijos reikšmę ir jos išvestinių reikšmes taške X 0

f (x 0 ), f '(x 0 ), f “(x 0 ), f ’“ (x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Formaliai užrašykite Teiloro eilutę ir suraskite gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį.

4. Patikriname pakankamų sąlygų įvykdymą, t.y. nustatome, kam X iš konvergencijos srities, likusi dalis R n (x) linkęs į nulį ties
arba
.

Funkcijų išplėtimas Taylor serijoje pagal šį algoritmą vadinamas funkcijos išplėtimas Taylor serijoje pagal apibrėžimą arba tiesioginis skilimas.

16.1. Elementariųjų funkcijų išplėtimas Taylor serijoje ir

Maclaurinas

Parodykime, kad jei aibėje apibrėžta savavališka funkcija
, netoli taško
turi daug išvestinių ir yra laipsnių eilutės suma:

tada galima rasti šios serijos koeficientus.

Pakaitalas galios eilėje
... Tada
.

Raskite pirmąją funkcijos išvestinę
:

At
:
.

Dėl antrosios išvestinės gauname:

At
:
.

Tęsiant šią procedūrą n kai tik gausime:
.

Taigi, mes gavome formos laipsnius:

kuris vadinamas šalia Teiloro už funkciją
taško apylinkėse
.

Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin serija adresu
:

Likusi Taylor (Maclaurin) serijos dalis gaunama išmetus pagrindines eilutes n pirmieji nariai ir žymimi kaip
... Tada funkcija
galima parašyti kaip sumą n ankstyvieji numerio nariai
o likusią dalį
:,

Likusi dalis paprastai yra
išreikštas skirtingomis formulėmis.

Vienas iš jų yra Lagrange forma:

, kur
.
.

Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje Maclaurin serija naudojama dažniau. Taigi, norint parašyti funkciją
laipsnių eilutės suma, būtina:

1) rasti Maclaurin (Taylor) eilučių koeficientus;

2) rasti gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį;

3) įrodyti, kad duotoji eilutė konverguoja į funkciją
.

Teorema1 (būtina ir pakankama Maclaurino eilučių konvergencijos sąlyga). Tegul serijos konvergencijos spindulys
... Kad ši serija suartėtų intervale
funkcionuoti
, būtina ir pakanka, kad sąlyga būtų įvykdyta:
nurodytu intervalu.

2 teorema. Jei funkcijos bet kurios eilės išvestinės
tam tikru intervalu
absoliučia verte apribotas tuo pačiu skaičiumi M, tai yra
, tada šiame intervale funkcija
gali būti išplėsta į Maclaurin seriją.

Pavyzdys1 . Išplėskite Taylor eilutę aplink tašką
funkcija.

Sprendimas.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergencijos regionas
.

Pavyzdys2 . Išplėsti funkciją Teiloro eilėje aplink tašką
.

Sprendimas:

Raskite funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
.

,
;

...........……………………………

,
.

Mes pakeičiame šias reikšmes iš eilės. Mes gauname:

arba
.

Raskime šios eilutės konvergencijos sritį. Pagal d'Alemberto bruožą serija susilieja, jei

Todėl bet kuriam ši riba yra mažesnė nei 1, todėl eilučių konvergencijos sritis bus:
.

Panagrinėkime keletą pagrindinių elementariųjų funkcijų Maclaurin serijos išplėtimo pavyzdžių. Prisiminkite, kad Maclaurin serija:

susilieja į intervalą
funkcionuoti
.

Atminkite, kad norint išplėsti funkciją serijoje, būtina:

a) raskite šios funkcijos Maklaurino eilučių koeficientus;

b) apskaičiuokite gautų eilučių konvergencijos spindulį;

c) įrodyti, kad gauta eilutė konverguoja į funkciją
.

3 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę at
.

Tada serijos skaitiniai koeficientai yra:

bet kam n. Pakeiskite rastus koeficientus į Maclaurin seriją ir gaukite:

Raskite gautų eilučių konvergencijos spindulį, būtent:

Vadinasi, serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija bet kokioms vertybėms nes bet koks tarpas
funkcija o jo išvestines absoliučia verte riboja skaičius .

Pavyzdys4 . Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad tolygios eilės vediniai
, o išvestinės yra nelyginės eilės. Rastus koeficientus pakeičiame į Maclaurin seriją ir gauname išplėtimą:

Raskime šios eilutės konvergencijos intervalą. Remiantis d'Alembert:

bet kam ... Vadinasi, serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.

Pavyzdys5 .
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Taigi šios serijos koeficientai:
ir
, taigi:

Panašiai kaip ir ankstesnėje eilutėje, konvergencijos regionas
... Serija susilieja su funkcija
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija
nelyginis ir serijos plėtimas nelyginiais laipsniais, funkcija
- tolygus ir serijos išplėtimas lygiomis galiomis.

Pavyzdys6 . Dvejetainė serija:
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Iš to aišku, kad:

Pakeiskite šias Maclaurin serijos koeficientų reikšmes ir gaukite šios funkcijos išplėtimą galios eilutėje:

Raskite šios eilutės konvergencijos spindulį:

Vadinasi, serija susilieja į intervalą
... Ribiniuose taškuose ties
ir
eilutė gali suartėti arba nekonverguoti priklausomai nuo eksponento
.

Tiriamos serijos susilieja su intervalu
funkcionuoti
, tai yra mokesčio suma
adresu
.

Pavyzdys7 . Išplėskime funkciją Maclaurin serijoje
.

Sprendimas.

Šios funkcijos serijos išplėtimui naudojame dvinarę eilutę
... Mes gauname:

Remdamiesi laipsnių eilučių savybe (laipsnių eilutę galima integruoti į jos konvergencijos sritį), randame šios eilutės kairės ir dešinės pusių integralą:

Raskime šios serijos konvergencijos sritį:
,

tai yra, šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas
... Apibrėžkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. At

... Ši eilutė yra harmoninga, tai yra, ji skiriasi. At
gauname skaičių eilutę su bendru terminu
.

Leibnizo serija susilieja. Taigi šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas
.

16.2. Galios serijų taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Apytiksliuose skaičiavimuose galios eilutės vaidina labai svarbų vaidmenį. Jų pagalba buvo sudarytos trigonometrinių funkcijų lentelės, logaritmų lentelės, kitų funkcijų reikšmių lentelės, kurios naudojamos įvairiose žinių srityse, pavyzdžiui, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje. Be to, funkcijų išplėtimas laipsnio eilutėje yra naudingas jų teoriniam tyrimui. Apytiksliuose skaičiavimuose naudojant laipsnio eilutes pagrindinė problema yra klaidos įvertinimas, kai serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma. n nariai.

Apsvarstykite du atvejus:

funkcija išplečiama į kintamąsias serijas;

funkcija išplečiama į pastovią seriją.

Skaičiavimas naudojant kintamąsias eilutes

Tegul funkcija
išplėsta į kintamos galios eilutę. Tada apskaičiuojant šią funkciją konkrečiai vertei gauname skaitinę eilutę, kuriai galima pritaikyti Leibnizo testą. Pagal šią savybę, jei serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma n terminai, tada absoliuti paklaida neviršija pirmo likusios šios serijos dalies, ty:
.

Pavyzdys8 . Apskaičiuoti
tikslumas 0,0001.

Sprendimas.

Tam naudosime Maclaurin seriją
, pakeičiant kampo reikšmę radianais:

Jei palyginsime pirmąją ir antrąją serijos sąlygas tam tikru tikslumu, tada:

Trečiasis plėtros terminas:

mažesnis už nurodytą skaičiavimo tikslumą. Todėl norint apskaičiuoti
užtenka palikti du serialo narius, t

Šiuo būdu
.

Pavyzdys9 . Apskaičiuoti
0,001 tikslumu.

Sprendimas.

Naudosime dvinario eilutės formulę. Norėdami tai padaryti, parašykite
kaip:
.

Šioje išraiškoje
,

Palyginkime kiekvieną iš serijos narių nurodytu tikslumu. Tai aišku
... Todėl norint apskaičiuoti
užtenka palikti tris eilės narius.

arba
.

Skaičiavimas naudojant teigiamas eilutes

Pavyzdys10 . Apskaičiuokite skaičių tikslumu 0,001.

Sprendimas.

Iš eilės funkcijai
pakaitalas
... Mes gauname:

Įvertinkime paklaidą, kuri atsiranda, kai eilutės suma pakeičiama pirmosios suma nariai. Užrašykime akivaizdžią nelygybę:

tai yra 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Pagal problemos būklę reikia rasti n kad galiotų ši nelygybė:
arba
.

Nesunku tai patikrinti n= 6:
.

Vadinasi,
.

Pavyzdys11 . Apskaičiuoti
0,0001 tikslumu.

Sprendimas.

Atminkite, kad norint apskaičiuoti logaritmus, funkcijai galima taikyti seriją
, tačiau ši serija konverguoja labai lėtai, o norint pasiekti nurodytą tikslumą reikėtų paimti 9999 terminus! Todėl logaritmams apskaičiuoti, kaip taisyklė, funkcijos serija
kuris susilieja į intervalą
.

Paskaičiuokime
naudojant šią eilutę. Leisti
, tada .

Vadinasi,
,

Norint apskaičiuoti
tam tikru tikslumu imame pirmųjų keturių terminų sumą:
.

Likusios eilutės
išmesti. Įvertinkime klaidą. Tai akivaizdu

arba
.

Taigi eilėje, kuri buvo naudojama skaičiuojant, užteko paimti tik pirmuosius keturis funkcijos eilės narius, o ne 9999
.

Savęs patikrinimo klausimai

1. Kas yra Taylor serija?

2. Kokios buvo Maclaurin serijos?

3. Suformuluokite funkcijos išplėtimo teoremą Teiloro eilutėje.

4. Parašykite pagrindinių funkcijų Maclaurin serijos išplėtimą.

5. Nurodykite nagrinėjamų eilučių konvergencijos sritis.

6. Kaip įvertinti apytikslių skaičiavimų paklaidą naudojant galių eilutes?

Tarp funkcinių serijų svarbiausią vietą užima galios serijos.

Serija vadinama galios serija

kurių terminai yra laipsnio funkcijos, išdėstytos didėjančiais sveikaisiais neneigiamais laipsniais x, a c0 , c 1 , c 2 , c n - pastovios vertės. Skaičiai c1 , c 2 , c n - serijos narių koeficientai, c0 - laisvas narys. Laipsnių eilutės nariai apibrėžti sveikoje skaičių eilutėje.

Susipažinkime su koncepcija laipsnių eilučių konvergencijos sritis. Tai yra kintamojo reikšmių rinkinys x dėl kurių serijos susilieja. Galios eilutės turi gana paprastą konvergencijos sritį. Tikrosioms kintamojo reikšmėms x konvergencijos sritis susideda iš vieno taško arba yra tam tikras intervalas (konvergencijos intervalas), arba sutampa su visa ašimi Jautis .

Kai pakeičiama laipsnio eilutėje, reikšmės x= 0 gausite skaičių seriją

c0 +0+0+...+0+... ,

kuris susilieja.

Todėl už x= 0 bet kuri laipsnio eilutė suartėja ir todėl jos konvergencijos sritis negali būti tuščias. Visų laipsnių eilučių konvergencijos srities struktūra yra vienoda. Jį galima nustatyti naudojant šią teoremą.

1 teorema (Abelio teorema)... Jei laipsnio eilutė suartėja pagal kokią nors vertę x = x 0 ne nulis, tada jis susilieja ir, be to, absoliučiai visoms reikšmėms |x| < |x 0 | ... Atkreipkite dėmesį: ir pradinė reikšmė „x yra nulis“, ir bet kuri „x“ reikšmė, kuri lyginama su pradine reikšme, imama modulo – neatsižvelgiant į ženklą.

Pasekmė. Jeigu galios serijos skiriasi tam tikra verte x = x 1 , tada jis skiriasi visoms vertėms |x| > |x 1 | .

Kaip sužinojome anksčiau, bet kuri laipsnio eilutė suartėja su verte x= 0. Yra laipsnių eilučių, kurios konverguoja tik už x= 0, o kitoms reikšmėms skiriasi X... Neatsižvelgdami į šį atvejį, darome prielaidą, kad laipsnio eilutė konverguoja tam tikrai vertei x = x 0 ne nulis. Tada pagal Abelio teoremą jis suartėja visuose intervalo taškuose] - | x0 |, |x 0 |[ (intervalas, kurio kairioji ir dešinioji ribos yra x reikšmės, prie kurių laipsnių eilutė suartėja, atitinkamai paimta su minuso ir pliuso ženklais), simetriškas kilmei.

Jei galios eilutė skiriasi tam tikra verte x = x 1 , tada, remiantis Abelio teoremos išvadomis, ji taip pat skiriasi visuose taškuose už atkarpos ribų [- | x1 |, |x 1 |] ... Iš to išplaukia, kad bet kuriai laipsnio eilei yra intervalas, simetriškas kilmei, vadinamas konvergencijos intervalas , kiekviename taške, kurio eilutė suartėja, ties ribomis ji gali suartėti ir gali skirtis, ir nebūtinai vienu metu, bet už atkarpos ribų serija skiriasi. Skaičius R vadinamas laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu.

Ypatingais atvejais laipsnių eilučių konvergencijos intervalas gali išsigimti iki taško (tada serija susilieja tik už x= 0 ir daroma prielaida, kad R= 0) arba vaizduoti visą skaičių tiesę (tada serija suartėja visuose skaičių tiesės taškuose ir tai laikoma).

Taigi laipsnių eilutės konvergencijos srities apibrėžimas susideda iš jos apibrėžimo konvergencijos spindulys R ir eilučių konvergencijos konvergencijos intervalo (at) ribose tyrimas.

2 teorema. Jei visi laipsnių eilučių koeficientai, pradedant nuo kurio nors vieno, yra nuliniai, tai jo konvergencijos spindulys yra lygus ribinei visų sekančių eilės narių koeficientų absoliučių verčių santykiui, t.y.

1 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos sritį

Sprendimas. čia

Naudodami (28) formulę randame šios eilutės konvergencijos spindulį:

Ištirkime eilučių konvergenciją konvergencijos intervalo galuose. 13 pavyzdys rodo, kad ši eilutė konverguoja x= 1 ir skiriasi ties x= -1. Vadinasi, konvergencijos sritis yra pusės intervalas.

2 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos sritį

Sprendimas. Serijos koeficientai yra teigiami, ir

Raskime šio santykio ribą, t.y. laipsnių eilučių konvergencijos spindulys:

Ištirkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. Vertybių pakeitimas x= -1/5 ir x= 1/5 tam tikroje eilutėje suteikia:

Pirmoji iš šių eilučių suartėja (žr. 5 pavyzdį). Bet tada, remiantis skyriaus „Absoliuti konvergencija“ teorema, antroji eilutė taip pat suartėja, o jos konvergencijos sritis yra atkarpa

3 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos sritį

Sprendimas. čia

Naudodami (28) formulę randame eilučių konvergencijos spindulį:

Ištirkime verčių eilučių konvergenciją. Pakeisdami juos šioje eilutėje, atitinkamai gauname

Abi eilutės skiriasi, nes netenkinama būtinoji konvergencijos sąlyga (jų bendrosios sąlygos nėra linkusios į nulį). Taigi abiejuose konvergencijos intervalo galuose duotoji eilutė skiriasi, o jos konvergencijos sritis yra intervalas.

5 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos sritį

Sprendimas. Raskite ryšį, kur ir :

Pagal (28) formulę šios eilutės konvergencijos spindulys yra

tai yra, serija susilieja tik už x= 0 ir skiriasi kitoms reikšmėms X.

Pavyzdžiai rodo, kad eilutės konvergencijos intervalo galuose elgiasi skirtingai. 1 pavyzdyje eilutė suartėja viename konvergencijos intervalo gale, o skiriasi kitame; 2 pavyzdyje - abiejuose galuose; 3 pavyzdyje skiriasi abiejuose galuose.

Laipsnių eilutės konvergencijos spindulio formulė gaunama darant prielaidą, kad visi eilutės narių koeficientai, pradedant nuo kurio nors vieno, yra nuliniai. Todėl (28) formulę galima naudoti tik šiais atvejais. Jei ši sąlyga pažeidžiama, laipsnių eilučių konvergencijos spindulį reikia ieškoti naudojant d'Alemberto ženklas, arba, pakeitus kintamąjį, transformuoti eilutę į formą, kurioje tenkinama nurodyta sąlyga.

6 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos intervalą

Sprendimas. Šioje serijoje nėra narių su nelyginiais laipsniais. X... Todėl seriją transformuojame nustatydami. Tada gauname seriją

rasti konvergencijos spindulį, kurio formulė (28) gali būti taikoma. Kadangi, a, tada šios eilutės konvergencijos spindulys

Todėl iš lygybės, kurią gauname, ši eilutė suartėja su intervalu.

Galios eilučių suma. Maitinimo serijų diferencijavimas ir integravimas

Leiskite galios serijai

konvergencijos spindulys R> 0, t.y. ši serija susilieja į intervalą.

Tada kiekviena vertė X iš konvergencijos intervalo atitinka tam tikrą eilučių sumą. Vadinasi, laipsnių eilučių suma yra funkcija X konvergencijos intervale. Pažymėdamas tai per f(x), galime parašyti lygybę

suprasti tai ta prasme, kad serijų suma kiekviename taške X iš konvergencijos intervalo yra lygus funkcijos reikšmei f(x) Šiuo atveju. Ta pačia prasme sakysime, kad laipsnio eilutė (29) konverguoja į funkciją f(x) konvergencijos intervale.

Už konvergencijos intervalo ribų lygybė (30) yra beprasmė.

7 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės sumos sumą

Sprendimas. Tai geometrinė serija su a= 1 ir q= x... Todėl jo suma yra funkcija ... Eilutė konverguoja, jei ir yra jos konvergencijos intervalas. Todėl lygybė

galioja tik reikšmėms, nors funkcija apibrėžtos visoms vertėms X, Be to X= 1.

Galima įrodyti, kad laipsnių eilutės suma f(x) yra ištisinis ir diferencijuojamas bet kuriame atkarpoje konvergencijos intervale, ypač bet kuriame eilutės konvergencijos intervalo taške.

Pateiksime teoremas apie laipsnių eilučių diferencijavimą ir integravimą.

1 teorema. Laipsninės eilutės (30) jos konvergencijos intervale gali būti terminiškai diferencijuojamos neribotą skaičių kartų, o gautos laipsnių eilutės konvergencijos spindulys yra toks pat kaip ir pradinė eilutė, o jų sumos atitinkamai yra lygios.

2 teorema. Galios serijas (30) galima integruoti neribotą skaičių kartų diapazone nuo 0 iki X, if ir gautos laipsnio eilutės turi tokį patį konvergencijos spindulį kaip ir pradinės eilutės, o jų sumos yra atitinkamai lygios